跨考教育考研数学高数第一章常考题型分析二

考研数学一大纲重点剖析数学分析部分典型题型解答数学分析是考研数学一科目中的一部分，是考生需要掌握的重点内容之一。

为了帮助考生更好地理解和掌握数学分析的典型题型，本文将从大纲的角度对数学分析部分进行重点剖析，并为每个典型题型提供详细解答。

以下是对各个典型题型的解析：一、极限与连续1.极限计算题：极限计算题是数学分析中常见的题型。

在解答这类题目时，我们需要运用相关的极限运算法则和极限的定义。

考生在解答这类题型时，需要注意运算的顺序和使用合适的极限运算法则。

此外，也需要注意极限的存在性及特殊情况的处理。

2.连续性题：连续性题主要考察对连续函数的理解。

考生需要掌握连续函数的定义，以及连续函数的运算性质。

在解答连续性题目时，需要注意极限的存在性和连续函数的性质。

二、导数与微分1.导数计算题：导数计算题是考研数学分析中的一大重点。

考生需要掌握导数的定义、导数的运算法则以及常见的导数计算方法。

在解答导数计算题时，需要注意运算的顺序和使用合适的导数运算法则。

同时，也需要注意特殊情况的处理和计算结果的合理性。

2.微分中值定理题：微分中值定理是微分学中的重要定理之一，也是常见的考点。

在解答微分中值定理题时，考生需要掌握中值定理的条件和具体应用。

同时，需要注意运用中值定理时的条件判断和结果的合理性。

三、积分计算1.定积分计算题：定积分计算题是考研数学分析中的一类常见题型。

在解答定积分计算题时，考生需要掌握定积分的定义、性质以及常见的计算方法。

同时，需要注意积分的限制条件和被积函数的性质。

2.不定积分计算题：不定积分计算题是考生需要掌握的重点内容之一。

在解答不定积分计算题时，考生需要掌握不定积分的定义、性质以及常见的计算方法。

同时，需要注意积分的限制条件和被积函数的性质。

四、级数1.数项级数判敛题：数项级数判敛题是数学分析中的一类常见题型。

在解答数项级数判敛题时，考生需要掌握级数的定义、性质以及常见的判别法。

同时，需要注意判别法的条件和结果的合理性。

高数第一章考试例题答案解析在学习高等数学时，一章考试是一个重要的环节。

在这里，我们将介绍一些常见的高等数学第一章考试例题及其答案解析，从而帮助广大学子更好地学习、运用和修正高等数学知识。

1.题：在平面直角坐标系中，若设$frac{dx}{dt}=6$,$frac{dy}{dt}=4$,并$x_0=2$,$y_0=0$，求点$(x,y)$的位置。

答案：其中$frac{dx}{dt}=6$表示$x$在$t$的变化率为$6$，而$frac{dy}{dt}=4$表示$y$在$t$的变化率为$4$，根据提供的条件，当$t=0$时，$x_0=2$，$y_0=0$。

因此，当$t$变化时，可得$x=2+6t$，$y=0+4t$。

设$t=k$，则$x=2+6k$,$y=4k$，所以点$(x,y)$的位置为$(2+6k,4k)$。

2.题：求函数$y=x^2+2x-3$关于$x$的一阶导数。

答案：设函数$y=x^2+2x-3$，其关于$x$的一阶导数为$frac{dy}{dx}$，根据微分法则，有$frac{dy}{dx}=2x+2$。

3.题：已知$f(x)=2x^2-7x+6$，求$f(x)$的极值答案：设函数$f(x)=2x^2-7x+6$，求$f(x)$的极值，其一阶导数为$f(x)=4x-7$，求$f(x)$的零点为$x=frac{7}{4}$，此时函数$f(x)$取得极值，由$f(x)=2x^2-7x+6$，算得极值为$f(frac{7}{4})=frac{25}{8}$。

4.题：已知函数$f(x)=frac{cos{x}+3sin{x}}{sin{x}}$，求$f(x)$的定义域。

答案：设函数$f(x)=frac{cos{x}+3sin{x}}{sin{x}}$，求$f(x)$的定义域，由于分母$sin{x}$不能为零，因此$f(x)$的定义域为$ {cos{x}eq -3sin{x}}$。

从上述例题分析可知，高等数学中各章考试例题的答案解析有着非常清晰的规律性和解题思路，如果可以找到正确的解题方法，就可以轻松解答大部分考试例题。

考研高数第一章试题及答案# 考研高数第一章试题及答案## 一、选择题（每题4分，共20分）1. 函数\( f(x) = x^2 \)在点x=1处的导数是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 若\( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = L \)，则L的值为（）A. 0B. 1C. 2D. 33. 曲线\( y = x^3 - 3x^2 + 2 \)在x=2处的切线斜率是（）A. -4B. -3C. 0D. 54. 已知\( \int_0^1 x^2 dx = \frac{1}{3} \)，则\( \int_0^1 x^3 dx \)的值为（）A. \( \frac{1}{4} \)B. \( \frac{1}{3} \)C. \( \frac{1}{2} \)D. \( \frac{3}{4} \)5. 函数\( f(x) = \ln(x) \)的定义域是（）A. \( (0, +\infty) \)B. \( (-\infty, 0) \)C. \( (-\infty, +\infty) \)D. \( [0, +\infty) \)## 二、填空题（每题4分，共20分）6. 若\( f(x) = 2x - 3 \)，则\( f'(2) = _______ \)。

7. 函数\( g(x) = \sqrt{x} \)的导数是\( g'(x) = _______ \)。

8. 极限\( \lim_{x \to 1} (x^2 - 1) / (x - 1) \)的值是 _______。

9. 函数\( h(x) = e^x \)的原函数是 _______。

10. 定积分\( \int_1^2 2x dx \)的值是 _______。

## 三、解答题（每题30分，共60分）11. 求函数\( f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)的导数，并求在x=2时的导数值。

考研数学一大纲重要知识点解析高等代数部分典型题型详细解读高等代数是考研数学一科目中的重要组成部分，掌握了高等代数的基本知识和解题技巧，将极大地有助于我们在考试中取得好成绩。

本文将详细解读考研数学一大纲中高等代数部分的典型题型以及重要知识点。

一、行列式行列式是高等代数中的重要内容，考研数学一中经常会出现与行列式相关的题目。

掌握行列式的性质和计算方法是解答这类题目的关键。

1.行列式的定义和性质行列式是一个方阵所具有的特征数，常用记号为|A|。

行列式具有以下性质：- 行列式的第i行和第j列的元素记作a_ij，其中i表示行标，j表示列标。

- 行列式的行与列可以互换，行列式的值不变。

- 如果行列式的两行/两列完全相同，行列式的值为0。

2.行列式的计算方法行列式的计算方法有多种，常用的有：- 拉普拉斯展开法：根据行列式的定义，利用代数余子式的概念，将行列式按某一行（列）展开成若干个代数余子式的乘积之和。

- 三角形法则：将矩阵化为上（下）三角矩阵，然后计算对角线上元素的积。

二、线性方程组线性方程组也是考研数学一中的重点内容，理解线性方程组的解的性质以及解的计算方法是解答这类题目的关键。

1.线性方程组的定义和性质线性方程组是形如a_11x_1 + a_12x_2 + ... + a_1nx_n = b_1，a_21x_1 + a_22x_2 + ... + a_2nx_n = b_2，...，a_m1x_1 + a_m2x_2 + ... + a_mnx_n = b_m的方程组。

线性方程组具有以下性质：- 如果齐次线性方程组有非零解，则其系数矩阵的行向量线性相关。

- 如果齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于未知量的个数n，则齐次线性方程组只有零解。

- 如果非齐次线性方程组的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，且秩的值等于未知量的个数n，则非齐次线性方程组有唯一解。

2.线性方程组的计算方法线性方程组的计算方法有多种，常用的有：- 列主元高斯消元法：通过逐列消元的方法将线性方程组化为上（下）三角矩阵，然后回代求解未知量。

xx考研《数学一》各题考点分析一、选择题部分：前四题是高等数学部分，第1题是关于一元函数积分学中的反常积分判别收敛问题，这部分是要求我们会计算反常积分和判别其收敛性的。

第2题是有关原函数的问题，这部分是要知道原函数的概念的，别切要求我们知道哪些函数一定有原函数(连续函数)，哪些函数一定没有原函数的(含有可去、跳跃、无穷间断点的函数)。

第3题是有关一阶微分方程解的性质的问题，关于常微分方程问题是我们常考的内容，在考试前我们已经做了大量的相关练习，因此这块内容相信同学们已经比较了解，做的也应该不错。

第4题是我们高等数学上册第一章节间断点的知识点。

关于间断点这一块，我们知道，它是常考内容，作为小题，其考察的也比较频繁的。

对于这一块内容，我们在找间断点前，首先要考虑的就是其间断点的嫌疑点问题，一是其无定义的点，一定是间断点，二是分段函数的分段点(有可能是间断点)。

选择题的5、6两题是线性代数部分的：第5题，是有关矩阵相似的问题，这题我们利用相似定义很快便可得出答案选C,关于矩阵相似的问题我们已经做过很多练习了，相对而言本题还是容易判别的。

第6题是关于二次型与空间解析几何中的双叶双曲面结合起来的。

其实对于这一部分数一单一的内容，我们在暑假的时候的二阶强化课讲义上就有类似的题，我们是要求考数一的同学一定要注意这些小的边角问题的。

记的在考前一周时，有数一的同学还特地问了我关于空间解析几何会考哪些东西，会与线代怎么结合，我是说了有关双曲面的问题的。

后面7、8两题是关于概率统计的：第7题是关于正态分布的题，这一题与我们之前做练习时所讲的题型，其实是没什么区别的，因此这题应该会做的，主要考察正态分布的知识内容。

第8题是关于相关系数的内容，此题的灵活性是比较大的，与10年考的拿到大题是差不多的，所以同学们在做这题时可能会有些难度。

关于数字特征这一章节我们讲的也比较多了，也讲了其也可能会与分布函数问题结合处大题的。

二、填空题部分：前四题是高数部分的内容，第9题是和往年差不多，也是考查了极限的计算问题，其是与变限积分相结合的，这里就要求同学们要掌握变限积分的求导方法，带有变限积分问题的极限往往要用洛必达法则来求解。

1高数部分1.1 高数第一章《函数、极限、连续》求极限题最常用的解题方向：1.利用等价无穷小；2.利用洛必达法则，对于00型和∞∞型的题目直接用洛必达法则，对于∞0、0∞、∞1型的题目则是先转化为00型或∞∞型，再使用洛比达法则；3.利用重要极限，包括1sin lim0=→x x x 、e x x x =+→10)1(lim 、e x x x =+∞→)1(1lim ；4.夹逼定理。

1.2 高数第二章《导数与微分》、第三章《不定积分》、第四章《定积分》第二章《导数与微分》与前面的第一章《函数、极限、连续》、后面的第三章《不定积分》、第四章《定积分》都是基础性知识，一方面有单独出题的情况，如历年真题的填空题第一题常常是求极限；更重要的是在其它题目中需要做大量的灵活运用，故非常有必要打牢基础。

对于第三章《不定积分》，陈文灯复习指南分类讨论的非常全面，范围远大于考试可能涉及的范围。

在此只提醒一点：不定积分⎰+=C x F dx x f )()(中的积分常数C 容易被忽略，而考试时如果在答案中少写这个C 会失一分。

所以可以这样建立起二者之间的联系以加深印象：定积分⎰dx x f )(的结果可以写为F(x)+1，1指的就是那一分，把它折弯后就是⎰+=C x F dx x f )()(中的那个C,漏掉了C 也就漏掉了这1分。

第四章《定积分及广义积分》可以看作是对第三章中解不定积分方法的应用，解题的关键除了运用各种积分方法以外还要注意定积分与不定积分的差异——出题人在定积分题目中首先可能在积分上下限上做文章：对于⎰-aa dx x f )(型定积分，若f(x)是奇函数则有⎰-aa dx x f )(=0；若f(x)为偶函数则有⎰-aa dx x f )(=2⎰a dx x f 0)(；对于⎰20)(πdx x f 型积分，f(x)一般含三角函数，此时用x t -=2π的代换是常用方法。

所以解这一部分题的思路应该是先看是否能从积分上下限中入手，对于对称区间上的积分要同时考虑到利用变量替换x=-u 和利用性质0=⎰-a a 奇函数 、⎰⎰=-a aa 02偶函数偶函数。

考研数学考点解析及必考题型总结考研数学考点分析及和考题型总结考研数学的卷种分三种，分别为数学一、数学二、数学三。

这三个卷中针对的专业不同，须使用数学一的招生专业为工学门类中的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、交通运输工程、传播与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业，授工学学位的管理科学与工程的一级学科。

工学门类中的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科，专业的选用数学一，对数学要求较高的选用数学二。

专业不同对数学的要求自然不同，从难度看数学一最难，其次是数学二，最后是数学三，从考试范围看，数学一考试范围最多，数学三次之，最后，数学二，三种卷中大部分考试内容是一样的，数一数二数三又各有自己特点和单独考查的内容。

下面跨考教育数学教研室边一老师就数学一单独考查内容进行一一盘点。

一元函数微分学：隐函数求导、曲率圆和曲率半径;一元积分学：旋转体的侧面积、平面曲线的弧长、功、引力、压力、质心、形心等;向量代数与空间解析几何：向量、直线与平面、旋转曲面、球面、柱面、常用的二次曲面方程及其图形、投影曲线方程;多元函数微分学：方向导数和梯度、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面和法线;隐函数存在定理;多元函数积分学：三重积分、第一型曲线积分、第二型曲线积分、第一型曲面积分、第二型曲面积分、格林公式、高斯公式、斯托克斯公式、散度、旋度;无穷级数：傅里叶级数;微分方程：伯努利方程、全微分方程、可降阶的高阶微分方程、欧拉方程。

以上内容为数学一单独考查的内容，是数学一特有的内容，所以这些内容每年必考。

其中：多元函数积分学中曲线曲面积分三重积分几乎每年必考，常与空间解析几何一起考查，尤见于大题，今年(2017年)考查了第一型曲面积分及投影曲线，散度旋度常见于小题。

数学复习具有基础性和长期性的特点，内容多而杂，量很大，因此对于考研的考生来说第一轮复习宜早不宜迟。

高等数学是考研数学的重中之重，所占分值大，需要复习的内容也比较多，它的主要内容有：一、函数、极限与连续主要考查分段函数极限或已知极限确定原式中的常数；讨论函数连续性和判断间断点类型；无穷小阶的比较；讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

二、一元函数微分学主要考查导数与微分的求解；隐函数求导；分段函数和绝对值函数可导性；洛比达法则求不定式极限；函数极值；方程的根；证明函数不等式；罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理与辅助函数的构造；最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用；用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

三、一元函数积分学主要考查不定积分、定积分与广义积分的计算；变上限积分的求导、极限等；积分中值定理和积分性质的证明题；定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

四、向量代数和空间解析几何主要考查求向量的数量积、向量积与混合积；求直线方程和平面方程；平面与直线间关系与夹角的判定；旋转面方程。

五、多元函数微分学主要考查偏导数存在、可微、连续的判断；多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数；二元、三元函数的方向导数和梯度；曲面和空间曲线的切平面和法线；多元函数极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用；二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。

六、多元函数的积分学这部分是数学一的内容，主要包括二、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序；第一型曲线和曲面积分计算；第二型（对坐标）曲线积分计算、格林公式、斯托克斯公式；第二型（对坐标）曲面积分计算、高斯公式；梯度、散度、旋度的综合计算；重积分和线面积分应用；求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。

七、无穷级数主要考查级数的收敛、发散、绝对收敛和条件收敛；幂级数的收敛半径和收敛域；幂级数的和函数或数项级数的和；函数展开为幂级数（包括写出收敛域）或傅立叶级数；由傅立叶级数确定其在某点的和（通常要用狄里克雷定理）。

高等数学讲义目录第一章函数、极限、连续 (1)第二章一元函数微分学 (24)第三章一元函数积分学 (49)第四章常微分方程 (70)第五章向量代数与空间解析几何 (82)第六章多元函数微分学 (92)第七章多元函数积分学 (107)第八章无穷级数（数一和数三） (129)第一章 函数、极限、连续§1.1 函数(甲) 内容要点一、函数的概念1．函数的定义 2．分段函数3．反函数 4．隐函数二、基本初等函数的概念、性质和图象三、复合函数与初等函数四、考研数学中常出现的非初等函数1．用极限表示的函数(1) )(lim x f y n n ∞→= (2) ),(lim x t f y xt →= 2．用变上、下限积分表示的函数(1) ⎰=x a dt t f y )( 其中)(t f 连续，则)(x f dx dy = (2) ⎰=)()(21)(x x dt t f y ϕϕ 其中)(),(21x x ϕϕ可导，)(t f 连续， 则2211[()]()[()]()dy f x x f x x dxϕϕϕϕ''=- 五、函数的几种性质1． 有界性：设函数)(x f y =在X 内有定义，若存在正数M ，使X x ∈都有M x f ≤)(，则称)(x f 在X 上是有界的。

2． 奇偶性：设区间X 关于原点对称，若对X x ∈，都有)()(x f x f -=-，则称)(x f 在X 上是奇函数。

若对X x ∈，都有()()f x f x -=，则称)(x f 在X 上是偶函数，奇函数的图象关于原点对称；偶函数图象关于y 轴对称。

3． 单调性：设)(x f 在X 上有定义，若对任意X x X x ∈∈21,，21x x <都有)()(21x f x f <)]()([21x f x f >则称)(x f 在X 上是单调增加的[单调减少的]；若对任意1x X ∈，2,x X ∈12x x <都有1212()()[()()]f x f x f x f x ≤≥，则称)(x f 在X 上是单调不减[单调不增]（注意：有些书上把这里单调增加称为严格单调增加；把这里单调不减称为单调增加。