(绝密)2019考研数学完整版及参考答案

考研数学2019完整版附参考答案仅供参考一、选择题：1－8小题，每小题4分，共32分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，若0x ∆>，则（ ）(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .（2）设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是（A ）连续的奇函数.（B ）连续的偶函数（C ）在0x =间断的奇函数（D ）在0x =间断的偶函数. （ ）（3）设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于（ ）（A ）ln 31-. （B ）ln3 1.--（C ）ln 2 1.--（D ）ln 2 1.-（4）函数212e e e xx x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ]（A ）23e .xy y y x '''--= （B ）23e .xy y y '''--=（C ）23e .xy y y x '''+-=（D ）23e .xy y y '''+-=（5）设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于（）（Ａ）0(,)d xx f x y y . （B ）0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D) 00(,)d y f x y x .（6）设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，下列选项正确的是（）(A) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 若00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.（7）设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，下列选项正确的是 [ ](A) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 若12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 若12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.（8）设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则（）（Ａ）1C P AP -=. （Ｂ）1C PAP -=.（Ｃ）T C P AP =. （Ｄ）T C PAP =.一．填空题 （9）曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为（10）设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a = （11）广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰. （12） 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 （13）设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==（14）设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分） 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x 是当0x →时比3x 高阶的无穷小.（16）（本题满分10分）求 arcsin e d exxx ⎰. （17）（本题满分10分）设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ （18）（本题满分12分）设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==（Ⅰ）证明lim n n x →∞存在，并求该极限；（Ⅱ）计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. （19）（本题满分10分） 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.（20）（本题满分12分）设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. （I ）验证()()0f u f u u'''+=； （II ）若(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式. （21）（本题满分12分）已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩（I ）讨论L 的凹凸性；（II ）过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； （III ）求此切线与L （对应于0x x ≤的部分）及x 轴所围成的平面图形的面积. （22）（本题满分9分） 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.（Ⅰ）证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；（Ⅱ）求,a b 的值及方程组的通解. （23）（本题满分9分）设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()T T121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解. (Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.数学答案1. A 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.本题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>，则0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.165【例6.1】，P.193【１（３）】. 2. B 【分析】由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰，而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项（Ｂ）正确，故选（Ｂ）.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷（数学三）（8）.3. C 【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可.【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln21g g h g g ++''===⇒=--，故选（C ）.【评注】本题考查复合函数求导，属基本题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】. 4. D 【分析】本题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方程的特解与对应齐次微分方程特征根的关系.故先从所给解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为 2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即.故对应的齐次微分方程为20y y y '''+-=.又*e xy x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =（C 为常数）.所以综合比较四个选项，应选（D ）.【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P.156【例5.16】，《数学题型集粹与练习题集》（理工类）P.195（题型演练3），《考研数学过关基本题型》（理工类）P.126【例14】及练习.5. C 【分析】 本题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y 型域，则原式0(,)d yy f x y x =.故选（Ｃ）.【评注】 本题为基本题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》（理工类）P.286【例10.6】，《考研数学过关基本题型》（理工类）P.93【例6】及练习.6. D 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ（0λ是对应00,x y 的参数λ的值）取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.（因为(,)0y x y ϕ'≠）， 若00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选（Ｄ）.【评注】 本题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 相关定理见《数学复习指南》（理工类）Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A 【分析】 本题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，若向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110110110,010********1001001001B AC B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ， 而 1110010001P --⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选（Ｂ）.【评注】（１）每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行（列）变换，相当于左（右）乘相应的初等矩阵.（２）牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》（理工类）P.381【例2.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例12.9. 【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4sin 14sin 1lim lim 2cos 52cos 55x x xx x x x x x x →∞→∞++==--. 故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（理工类）P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】本题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为 2203200sin d sin 1lim ()limlim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.本题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基本题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》（理工类）P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，本题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】222222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b b b b b x x x x x x b +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰. 【评注】 本题属基本题型，对广义积分，若奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》（理工类）P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可分离变量型，先分离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e x y Cx -=.（1e C C =）【评注】 本题属基本题型.完全类似公式见《数学复习指南》（理工类）P.139.13. 【分析】本题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导（注意y 是x 的函数），一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x yy x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d y y y x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x yx==-.方法三：令(,)1e y F x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y FF x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】 本题属基本题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》（理工类）P.50【例2.12】.14. 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 ()2B A E E -= 于是有4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =. 【评注】 本题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》（理工类）P.378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x 的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x 的泰勒级数展开式233e 1()26xx x x o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B AB C B C ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得 132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P.124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－e arcsin e x x x -=-+.令t =221ln(1),d d 21t x t x t t=-=--， 所以21111d d 1211x t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭⎰⎰111ln 212t C t -=+=+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.本题为基本题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.17. 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D 如右图所示.因为区域D 关于x 轴对称， 函数221(,)1f x y x y=++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xyg x y x y =++是变量y 的奇函数.则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xy x y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第1节例1和例2，《数学复习指南》（理工类）P.284【例10.1】18. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. （Ⅱ）的计算需利用（Ⅰ）的结果.【详解】 （Ⅰ）因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<.可推得10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是1sin 1n nn nx x x x +=<，（因当0sin x x x ><时，）， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1si n n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即l i m 0n n x →∞=.（Ⅱ） 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由（Ⅰ）知该极限为1∞型， 令n tx =，则,0n t →∞→，而22sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. （利用了sin x 的麦克劳林展开式）故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.19. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，（0,s i n 0x x x π<<>时）， 故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.20利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得（I ）.按常规方法解（II ）即可.【详解】 （I ）设u =((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂22()()zf u f ux∂'''=+∂()22322222()()x yf u f ux yx y'''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y xf u f uy x yx y∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z zx y∂∂∂∂代入2222z zx y∂∂+=∂∂得()()0f uf uu'''+=.（II）令()f u p'=，则d dp p upu p u'+=⇒=-，两边积分得1ln ln lnp u C=-+，即1Cpu=，亦即1()Cf uu'=.由(1)1f'=可得11C=.所以有1()f uu'=，两边积分得2()lnf u u C=+，由(1)0f=可得20C=，故()lnf u u=.【评注】本题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》（理工类）P.336【例12.14】,P.337【例12.15】21. 【分析】（I）利用曲线凹凸的定义来判定；（II）先写出切线方程，然后利用(1,0)-在切线上；（III）利用定积分计算平面图形的面积.【详解】（I）因为dd d d422d2,421dd d d2dyx y y ttt txt t x t tt-==-⇒===-2223d d d12110,(0)dd d d2dy ytxx t x t t tt⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<>⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L当0t≥时是凸的.（II）由（I）知，切线方程为201(1)y xt⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，设2001x t=+，20004y t t=-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为（2，3），故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.（III ）由题设可知，所求平面图形如下图所示，其中各点坐标为 (1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -， 设L 的方程()x g y =， 则()30()(1)d Sg y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得2t =(221x =+.由于（2，3）在L 上，则(2()219x g y y ==+=--.于是(309(1)d S y y y ⎡⎤=----⎣⎦⎰30(102)d 4y y y =--⎰⎰()()3233208710433y y y =-+-=. 【评注】 本题为基本题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》（理工类）P.187【例6.40】. 22. 【分析】 （I ）根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；（II ）利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 （I ） 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.（否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾）.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤. 又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤. 因此 ()2r A =. （II ） 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解. 13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 本题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》（理工类）P.427【例4.5】，P.431【例4.11】. 23. 解： 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=是对应的特征向量.对应3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭， 令[]123,,Q ηηη=，则1TQ Q -=，由A 是实对称矩阵必可相似对角化，得T300Q AQ ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。

2019年全国硕士研究生入学统一考试（数学三）试题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

1.当0→x 时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k =（ ） （A ）1（B ）2（C ）3（D ）4【答案】（C ）【解析】331~tan 3=∴--k x x x ，故选（C ） 2.已知方程550x x k -+=有3个不同的实根，则k 的取值范围是（ ） （A ）)4,(--∞ （B ）),4(+∞（C ）)4,4(-（D ）），44(- 【答案】（D ）【解析】设k x x x f +-=5)(5，则55)(4-='x x f ，令0)(='x f ，得1±=x 由题意知，f(x)=0有3个实根，在(,1),(1,1),(1,)-∞--+∞分别具有一个实根，又(),(1)4,(1)4,()(1)40,(1)40f f k f k f f k f k -∞=-∞-=+=-++∞=+∞∴-=+=-+＞＜故44＜＜k -3.已知微分方程xce by y a y =+'+''的通解为x e e x C C y x++=-)(21，则a ，b ，c 依次为（ ）（A ）1, 0, 1 （B ）1, 0, 2 （C ）2, 1, 3（D ）2, 1, 4【答案】（D ）【解析】由题意，xe y =是非齐次方程的特解，x e x c c y -+=)(21是齐次方程的通解，因此-1是特征方程02=++b a λλ的二重根且c b a =++1，由此解得4,1,2===c b a 4.若∑∞=1n n un 绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） （A ）∑∞=1n nn vu 绝对收敛（B ）∑∞=1n nn vu 绝对收敛（C ）∑∞=1n nn vu 收敛 （D ）∑∞=1n nn vu 发散【答案】（B ） 【解析】∑∞=1n n n v 条件收敛故0lim =n v n，由有界性，0..n v C s t C n ∃≤＞，故n ·nu nn n n v u v nu C n =≤，而1n n nu ∞=∑收敛5.设A 是4阶矩阵，A*为A 的伴随矩阵，若线性方程组Ax=0的基础解系中只有2个向量，则=)(*A r （ ） （A ）0（B ）1（C ）2（D ）3【答案】（A ）【解析】A x =b 的基础解系中只有2个向量，所以4()2r A -=，则r(A)=2。

2019全国研究生考试数学三真题及参考答案解析一、选择题1.（）为同阶无穷小，则与时，若当=-→k xx x x ktan 0 A.0 B.1 C.2 D.3 2.的取值范围为（）个不同的实根，则有已知k k x x 3055=+- A.()4-∞-, B.()∞+，4 C.]44[,- D.），（44- 3.c ,b ,a ,x C C y ce by y a y x -x x 则的通解为已知e )e (21++==+'+''的值为（ ）A.1,0,1B.1,0,2C.2,1,3D.2,1,44.的是（）条件收敛，则下列正确绝对收敛，已知∑∑∞=∞=11n nn n nv nu A.条件收敛nn n v u ∑∞=1 B.绝对收敛∑∞=1n nn v uC.）收敛（nn nv u +∑∞=1D.）发散（nn nv u +∑∞=15个的基础解析有的伴随矩阵，且为阶矩阵，为已知204*=Ax A A A 线性无关的解，则) ()(=*A r A.0 B.1 C.2 D.36.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++.B.232221y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P +=YB.).()()(B P A P AB P =C.).()(A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,σμ都有关. D.与2,σμ都无关.二．填空题，9~14小题，每小题4分，共24分.9.()=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++⨯+⨯∞→nn n n 11321211lim Λ 10. 曲线⎪⎭⎫⎝⎛-+=232cos 2sin ππ＜＜x x x y 的拐点坐标为 11. 已知()t t x f xd 114⎰+=，则()=⎰x x f x d 10212. A, B 两种商品的价格为A p ,B p ,A 商品的价格需求函数为222500B B A A p p p p +--,则当A p =10，B p =20时，A 商品的价格需求弹性AA η(0＞AA η)=13. 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=1101111012a A ，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b 10，若b Ax =有无穷多解，则a= 14 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题15.已知函数⎩⎨⎧≤+>=010)(2x xe x x x f x x ，求的极值并求)(f )('f x x16.设)(v u f ，具有连续的2阶偏导数，求),,(),(y x y x f xy y x g -+-=22222y gy x g x g ∂∂+∂∂∂+∂∂ 17.)(x y 显微分方程2221'x e xxy y =-满足条件e y =)1(的特解.（1）求)(x y（2）区域D {})(0,21,x y y x y x ≤≤≤≤）（，D 绕轴旋转的旋转体的体积 18.求曲线)0(sin >=-x x e y x与x 轴之间图形的面积。

2019年考研数学一真题一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与k x 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2. C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.C.3.设A.∞=n C.∞=1n 4.⎰Cy x P ,(A.y C.x 15.设Ax T 的规范形为A.3221y y y ++.B.321y y y -+.C.232221y y y --.D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A rB..2)(,2)(==A r A rC..2)(,1)(==A r A rD..1)(,1)(==A r A r7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是 A.(P B.(P C.(P D.(P 8.A.与B.与C.与D.与9. 10. 11. n =0. 12. 设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244= .13. 设），，（321αααA =为3阶矩阵.若 21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为 .14. 设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x x x f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（ . 三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1（216.设a ,的方向导（1（217.18.（1（219.. 20.标为c b ,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XY Z =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关. （3）X 与Z 是否相互独立?. （2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x e x x xex xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e ，)3,3(23-e .15. 解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，=y x +217.18.19.由对称性，2x，=y,0=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ102102101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 解得3a =⎧⎪（23R 的则P 21.（21=2λ2⎢⎥-⎣⎦B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---== 其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()z F z pe =；当0z >时，()()()()1111z z F z p p e p e --=+--=--则（II D （III 12P X F ⎧≤⎨⎩⎛= ⎝P X ⎧≤⎨⎩P X ⎧≤⎨⎩23. 从而A（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i nL x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他，当,1,2,,i x i n μ≥=L 时，取对数得()22211ln ln ln 22nii n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022nii d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n i i x n μ=-∑.。

2019考研数学一考试真题答案解析（完整版）来源：文都教育1.3tan 3x x x -- 若要tan x x -与b x 同阶无穷小，3k \=\选C2.①00(0)lim 0x x x f --®-¢==00ln (0)lim lim ln x x x x f x +++¢==不存在0x \=处()f x 不可导②当0x <时2()f x x =-()20f x x ¢=-> ()f x \单增当0x >时()ln f x x x =()ln 1f x x ¢=+ 1(0,e )x -Î时()0f x ¢<.()f x \单减0x \=为()f x 的极值点\选B.3.（D ）∵{a n }单调增加有界∴由单调有界收敛定理可得{u n }极限存在，设lim n n u A →∞=.()2211n n n uu ∞+=-∑则的前n 项和为22222112211n u nn S u u u u u u ++=-++-=-…222111lim lim n n n n S u u A u +→∞→∞=-=-.选（D ）4.由题意知，积分与路径无关则P Q y x∂∂=∂∂存在u (x ,y )使得(,),(,)u u P x y Q x y x y∂∂==∂∂∵xQ =∴(,)()x u x y c x y =-+则1()u P c x x y∂'==-+∂又∵x 可为0∴排除e ，选（D ）5.选（C ）解：由22A A E +=得22λλ=+，λ为A 的特征值，2=-l 或1，又1234A =λλλ=，故1231λ=λ=-2λ=，，规范形为222123y y y --，选（C ）6.选（A ）解：由条件知3张平面无公共交点，方程组无解，故()()r A r A ¹.又两平面交于一条直线，故()2r A =，因此()2,()3,r A r A ==选（A ）.7.选（C ）解：()()()P AB P A P AB =-()()()P B A P B P AB =-()()()()P A P B P AB P B A =\=选（C ）8.解：因为22(,)(,)X N u Y N u s s X 与Y 相互独立2(0,2)X Y N s \-{}121222X YP X Y P s s s -÷ç\-<==F -÷ç÷ç\与u 无关，即与2s 有关选择（A ）9.解析：'(sin sin )(cos )'(sin sin )(cos )z f y x x y x z f y x y x y∂=--+∂∂=-+∂所以11111'(sin sin )(cos )cos '(sin sin )cos cos cos cos cos cos cos cos z z x f y x x y yf y x x x y y x x y y y x x y∂∂+⋅=--⋅+⋅+⋅-+∂∂=+10.解析：2222'202'222yy y y y yy dy dx y --=+==+两边积分得2ln(2)ln y x C+=+22xy Ce +=由y (0)=1得C =3所以32x y e =-11.解析：200(1)(1)()()cos (2)!(2)!n n n n n n s x x x x n n ∞∞==--===∑∑12.解析：2222222222242222004444d 4(4)d d ||d d 2d sin 323x y x y x y x z x y x x y x y y x y y x y r d πθθθ+≤+≤+≤--∑=----====⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13.解：∵12,αα线性无关.∴()2r A ≥∵3132ααα=-+∴()3r A <∴()2r A =∴Ax =0为基础解系有()321n r A -=-=∵12320ααα-+=∴1231(,,)201ααα⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪⎝⎭∴通解为12.1k k R ⎛⎫ ⎪-∈ ⎪ ⎪⎝⎭14.X 的p.d.f 为02()20x x f x else⎧<<⎪=⎨⎪⎩3222200022232231184d d |22236300()024121{()1}{()}{2}2}32d 231412(4)144333x x EX x x x x x x F x x x P F x Ex P F x P x P x x P x x x =⋅====<⎧⎪⎪=≤<⎨⎪≥⎪⎩≥-=≥=≥≠<⎫=<<=⎬⎭==-=-=⎰⎰⎰15.解：22()()e x P x x Q x -==∵()d ()d e ()e d P x x P x x y Q x x c -⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎣⎦⎰22222d d 2222e e e d ee e d e ()x x x x x x x x x x c x c x c -----⎡⎤⎰⎰=+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤=⋅+⎢⎥⎢⎥⎣⎦=+⎰⎰∵y (0)=0∴c=0∴2e x y x -=∴22222222232222()e e ()(1)e ()2e (1)e()(3)e (3)(3)ex x x x x x x y x x x x y x x x x x x x x x -------'=+-=-''=-+--=-=+-令()0y x ''=∴123033x x x ===当30x -<<或3x >()0y x ''>∴y (x )的凹区间为(3,0)和3,)+∞当3x <或03x <<时，()0y x ''<.∴y (x )的凸区间为(,3)3)-∞和所以曲线y (x )的拐点为（0，0），3322(3,3),(3,3--16.解：（1）在点（3，4）处的梯度方向为(3,4)grad |((3,4),(3,4))(6,8)x y z z z a b ''==且(3,4)|grad ||10,z =由题意知36510,48510a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩故1.1a b =-⎧⎨=-⎩（2）由（1）知222z x y =--，由0z ≥得222x y +≤，令22{,|2}D x y x y =+≤，曲面面积为222222200222032221d 14()d 14d 12144)82(14)|43133x y D DS z z x y x y x ya r r rr r r πθπππ''=++=++=+=⨯++=⨯+=⎰⎰⎰17.解析：（1）22e 2x y xy x ¢-=()222222()d 2222e e d 2e e e d 2e d 2e x x xdx x x x x x x y ex C x x C xx C xx C 通解--÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç÷ç=×+÷ç÷÷ç÷ç=+÷ç÷ç=òòò由e (e f C +0C =所以22()=e x f x x （2）()2222222121222411e d e d e d e =e -e 222x x x xx V x xx xx p p p p p ÷ç÷ç=÷ç÷÷ç=×==òòò18.设1201(0,1,2,)n a x x dx n =-=⎰…（1）证明：数列{}n a 单调减少，且21(2,3,);2n n n a a n n --==+ （2）求1lim .nn n a a →∞-解析（1）1112212100011(1)10.n n n n a a x x dx x x dx x x x dx ----=---=--<⎰⎰⎰则{}n a 单调递减.1/2/2222200011sin sin cos sin (1sin ),2nn n n n n a x x dxx t t tdt t t dt I I I n ππ+=--⋅=⋅-=-=+⎰⎰⎰则2222111,.(2)(2)n n n n n n n a I a a I n n n n ------===++则（2）由（1）知，{}n a 单调递减，则211111, 1.222n n n n n an n n a a a n n n a ------=><<+++即由夹逼准则知，1lim 1.nn n a a →∞-=19.设W 是由锥面()222(1)(01)x y z z z +-=-与平面0z =围成的锥体，求W 的形心坐标.解：令()(){}222(,)1z D x y x y z z =+-£-，形心为(),x y z ，由于W 关于yOz 面对称.故0x =()1010*******20122300120d d d d d d d d d d z+sin d (1)d 311d (1)(1)sin d 233(1)d 14z z D D z z y x y y vy vzx y z r r r z zz z z z z z p p q q p q q p p p W W-===-=-+-=-=òò11200d 31d d d (1)d d z D z vz z x y z z z vpp p W W ===×-=，故W 的形心坐标为110,,÷ç÷ç÷ç.20.（1）由题意可知，123b c b a a a =++即1111112323112323b c b c a b c ab c ++=×+×+=++++023122b c b c a b c ì+=ïïïï++=íïïï+=-ïî即110023111202b c a ×=-110011001100231101110111120201020013A =----101110111002011101020102001300130013-----2,2,3b c a \==-=2323111111(2),,33100220,,231011ααβααβ==-=≠∴-线性无关.且向数量个数为3个23,,ααβ∴是Ｒ3的一个基.2323123123002(,,)2,2)(,,)102011ααβαααααααα⎛⎫ ⎪=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭（,,002102011P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭()123123002100102010102010011001011001100100210011010100121001002110101210021101(,,)01(,,)21002P E P ααβααα-⎛⎫ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪=-→ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪→- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪∴-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭即23(,,)ααβ到123(,,)ααα的过渡矩阵为11010121002⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭21.2212102201000200A x B y --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦与相似（1）1231~413()()242210(2)010(1)(2)(2)00021,2,21211211201242000001210001001000022A Bx y x tr A tr B y x y E B x x A E A E λλλλλλλλλξλ∴-=+=⎧∴=⇒⇒⎨=-+=-⎩---=+=++-=-=-=-=---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-+=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦=-+=T 时,　＝(-,,)时,()2311321410440125201050211240000000004212122102221200100112004000000211,122040A E P ξλξξξξ-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-→-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦T T ＝(-,,)时,　＝(-,,0), 111122P AP --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦1223310310100000113000100041010022010010001000000010010322030001100004000B E x B E x B E x λλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-→=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦T T 时， （-，，）时， （，，）时， （，，121232212212121211221()22122()1211030122001040130111212004101100()3000006100011011000P x x x P BP B P P B P P A PP P PP P iE -----⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦=-=---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦---⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦--→T ） 故＝03310010001101100010001100100311000030100011001103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥--⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎢⎥⎢⎥→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.（1）随机变量X 的分布函数为⎩⎨⎧<≥-=-0,00,1)(x x e x F x X {}{}{}{}())(1)()1(1,1,)(z F p z F p Y z X P Y z X P z XY P z Z P z F X X Z --+-=-=-≥+=≤=≤=≤=当0<z 时，()z X Z pe z F p z F =--=)(1)(当0≥z 时，()p e p z F p z F p z F z X X Z +--=--+-=-)1)(1()(1)()1()(则⎩⎨⎧≤>-=-0,0,)1()(z pe z e p z f z z Z （2）p EY EX XY E EZ EX 21)(,1-=⋅===()())21(221)()()()()(222p p EX DX Y E X E Y X E XZ E -=-+===当())()(2Z E X E XZ E =时，Z X ,不相关.即)21(221p p -=-，可得21=p .（3）因为{}{}01,1,11,1=≥-=≤=-≤≤X Y X P Z X P 又{}111--=≤e X P ，{}11-=-≤peZ P 则{}{}{}111,1-≤⋅≤≠-≤≤Z P X P Z X P ，故不独立.23.（1）由1222222222)(2)(==-=⎰⎰∞+----∞+πσμσμσμσμμA x d e A dx e A x x 可得：π2=A .（2）设n x x x ,,,21 为样本值，似然函数为()()⎪⎩⎪⎨⎧>∑⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==--else x x x e L n x n nn i i ,0,,,,2121212122μπσσμσ 当μ>n x x x ,,,21 时，()()()()2122221ln 2ln 2ln 2ln ∑----==n i i x n n L μσσπσ令()()()0)(2112ln 1222222=∑-+-==n i i x n d L d μσσσσ，可得()nx n i ∑=-=1212μσ故2σ的最大似然估计量为()n X n i ∑=-=1212μσ .。

2019年考研数学一真题一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当时，若与是同阶无穷小，则0→x x x tan -k x =k A.1. B.2.C.3.D.4.2.设函数则是的⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 0=x )(x f A.可导点，极值点. B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是{}n u A. B...1∑∞=n n nu nn nu 1)1(1∑∞=-C.. D..∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u ()∑∞=+-1221n nn u u4.设函数，如果对上半平面（）内的任意有向光滑封闭曲线都2),(y xy x Q =0>y C 有，那么函数可取为⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(),(y x P A..B..32yx y -321yx y -C.. D..y x 11-yx 1-5.设是3阶实对称矩阵，是3阶单位矩阵.若，且，则二次型A E E A A 22=+4=A 的规范形为Ax x T A.. B..232221y y y ++232221y y y -+C.. D..232221y y y --232221y y y ---6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为，则A A ,A..3)(,2)(==A r A r B..2(,2)(==A r A r C..2(,1)(==A r A r D..1)(,1)(==A r A r 7.设为随机事件，则的充分必要条件是B A ,)()(B P A P =A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P =C.((A B P B A P =D.).()(B A P AB P =8.设随机变量与相互独立，且都服从正态分布，则X Y ),(2σμN {}1<-Y X P A.与无关，而与有关.μ2σB.与有关，而与无关.μ2σC.与都有关.2,σμD.与都无关.2,σμ2、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.9.设函数可导，则= .)(u f ,)sin (sin xy x y f z +-=yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅1110.微分方程满足条件的特解.02'22=--y y y 1)0(=y =y 11.幂级数在内的和函数 .nn n n ∑∞=-0)!2()1()0∞+，（=)(x S12.设为曲面的上侧，则=.∑)0(44222≥=++z z y x dxdy z x z⎰⎰--224413.设为3阶矩阵.若线性无关，且，则），，（321αααA =21αα，2132ααα+-=线性方程组的通解为.0=x A 14.设随机变量的概率密度为 为的分布函数，X ⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，020,2)(x xx f ）（x F X 为的数学期望，则 .X E X {}=->1X X F P E ）（3、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数是微分方程满足条件的特解.)(x y 2'2x e xy y -=+0)0(=y （1）求；)(x y （2）求曲线的凹凸区间及拐点.)(x y y =16.（本题满分10分）设为实数，函数在点（3，4）处的方向导数中，沿方向b a ,222by ax z ++=的方向导数最大，最大值为10.j i l 43--=（1）求；b a ,（2）求曲面（）的面积.222by ax z ++=0≥z 17.求曲线与x 轴之间图形的面积.)0(sin ≥=-x x ey x18.设，n =（0，1，2…）dx x xa nn ⎰-=121（1）证明数列单调减少，且（n =2，3…）{}n a 221-+-=n n a n n a （2）求.1lim-∞→n nn a a19.设是锥面与平面围成的锥体，求的形Ω())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 0=z Ω心坐标.20.设向量组，为的一个基，T T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα3R 在这个基下的坐标为.T )1,1,1(=βT c b )1,,(（1）求.c b a ,,（2）证明，为的一个基，并求到的过度矩阵.32,a a β3R ,,32a a β321,,a a a 21.已知矩阵与相似⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012（1）求.y x ,（2）求可可逆矩阵，使得P .1B AP P =-22.设随机变量与相互独立，服从参数为1的指数分布，的概率分布为X Y X Y 令{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P XYZ =（1）求的概率密度.z （2）为何值时，与不相关.p X Z （3）与是否相互独立?X Z 23.（本题满分11分）设总体的概率密度为X ⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中是已知参数，是未知参数，是常数，来自总体的简μ0>σA n X …X X ，，21X 单随机样本.（1）求；A（2）求的最大似然估计量2σ2019年全国硕士研究生入学统一考试数学试题解析（数学一）1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos +10.23-xe 11.x cos 12.33213.为任意常数.，T)1,2,1(-k k 14.3215.解：（1），又，)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰0)0(=y 故，因此0=c .)(221x xex y -=（2），22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---=''令得0=''y 3,0±=x x)3,(--∞3-)0,3(-0)3,0(3),3(+∞y ''-+-+y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以，曲线的凹区间为和，凸区间为和)(x y y =)0,3(-),3(+∞)3,(--∞,拐点为，，.)3,0()0,0()33(23---e )3,3(23-e16.解：（1），，)2,2(by ax z =grad )8,6()4,3(b a z =grad 由题设可得，，即，又，4836-=-ba b a =()()108622=+=b a z grad 所以，.1-==b a （2）=dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1====dxdy y x y x ⎰⎰≤+++22222441ρρρθπd d ⎰⎰+20224120232)41(1212ρπ+⋅.313π17.18.19.由对称性，，2,0==y x =⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ10212101)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z 20.（1）即，123=b c βααα++11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭解得.322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩（2），所以，则()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，()233r ααβ=，，可为的一个基.23ααβ，，3R ()()12323=P αααααβ，，，，则.()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，21.（1）与相似，则，，即，解得A B ()()tr A tr B =A B =41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩32x y =⎧⎨=-⎩（2）的特征值与对应的特征向量分别为A ，；，；，.1=2λ11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭3=2λ-31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭所以存在，使得.()1123=P ααα,,111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦的特征值与对应的特征向量分别为B ，；，；，.1=2λ11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭2=1λ-21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭3=2λ-30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪⎪⎝⎭所以存在，使得.()2123=P ξξξ,,122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦所以，即112211=P AP P AP --=Λ1112112B P P APP P AP ---==其中.112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦22.解：（I ）的分布函数Z (){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当时，；当时，0z ≤()zF z pe =0z >()()()()1111z zF z p p e p e --=+--=--则的概率密度为.Z ()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩（II ）由条件可得，又()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，从而当时，，即不相关.()()1,12D X E Y p ==-12p =(),0Cov X Z =,X Z （III ）由上知当时，相关，从而不独立；当时，12p ≠,X Z 12p =121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而，，显12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭然，即不独立. 从而不独立.1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭,X Z ,X Z 23. 解：（I ）由，()2221xAedx μσμσ--+∞=⎰t=201t e dt +∞-==⎰从而A =（II ）构造似然函数，当()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他,1,2,,i x i n μ≥=L 时，取对数得，求导并令其()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σμσ==---∑为零，可得，解得的最大似然估计量为()22241ln 1022ni i d L n x d μσσσ==-+-=∑2σ.()211n ii x n μ=-∑。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学（三）试题参考答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1、当0x →时，若tan x x −与kx 是同阶无穷小，则k =（）A. 1. B. 2.C. 3. D.4.【答案】 C.【解析】当0x →时，31tan 3x xx −−，则=3k .2．已知方程550x x k −+=有3个不同的实根，则k 的取值范围为（）A 、 (,4)−∞− B 、(4,)+∞C 、{}4,4−D 、(4,4)−【答案】 D.【解析】令5()5f x x x k =−+，由()0f x '=得1x =±，当1x <−时，()0f x '>，当11x −<<时，()0f x '<，当1x >时，()0f x '>，又由于lim ()x f x →−∞=−∞，lim ()x f x →+∞=+∞，方程要有三个不等实根，只需要(1)=40f k −+>，(1)4<0f k =−+，因此k 的取值范围为44k −<<.3．已知微分方程e x y ay by c '''++=的通解为12()e e xx y C C −=++，则,,a b c 依次为（ ）A 、1,0,1B 、 1,0,2C 、2,1,3D 、2,1,4【答案】 D.【解析】由通解形式知，121λλ==−，故特征方程为221=21=0λλλ+++（），所以2,1a b ==，又由于e x y =是+2x y y y ce '''+=的特解，代入得4c =.4、若1n n nu ∞=∑绝对收敛，1nn v n ∞=∑条件收敛，则（ ） A 、1n nn u v∞=∑条件收敛B 、1n nn u v∞=∑绝对收敛C 、1()nn n uv ∞=+∑收敛D 、1()nn n uv ∞=+∑发散【答案】 B. 【解析】由1n n v n∞=∑条件收敛知，lim 0nn v n →∞=，故当n 充分大时，1n v n . 所以，nn n n n vu v nu nu n=⋅，由于1n n nu ∞=∑绝对收敛，所以1n n n u v ∞=∑绝对收敛.5、设A 是四阶矩阵，*A 是A 的伴随矩阵，若线性方程组=Ax 0的基础解系中只有2个向量，则*A 的秩是（ ） A.0 B.1 C.2D.3【答案】 A.【解析】由于方程组基础解系中只有2个向量，则()2r A =，()3r A <，()0r A *=. 6、设A 是3阶实对称，E 是3阶单位矩阵，若2=2A +A E 且4=A ，则二次型T x Ax 的规范形为（ ）A. 222123y y y ++ B.222123y y y +− C.222123y y y −− D.222123y y y −−−【答案】 C.【解析】22λλ+=，则λ只能为2−或1，又由于4=A ，则特征值分别为-2,-2,1，则二次型的规范形为222123y y y −−. 7、设,A B 为随机事件，则()()P A P B =充分必要条件是A.()()().P A B P A P B =+UB.()()().P AB P A P B =C.()().P AB P BA =D.()().P AB P AB =【答案】C【解析】()()()()()()()()P AB P BA P A P AB P B P AB P A P B =⇔−=−⇔=；选C.8、设随机变量X 和Y 相互独立，且都服从正态分布2(,)N μσ，则{1}P X Y −<A.与μ无关，而与2σ有关. B.与μ有关，而与2σ无关. C.与μ，2σ都有关. D.与μ，2σ都无关.【答案】A【解析】2~(0,2X Y N −σ，所以{1}21P X Y −<=Φ=Φ=Φ−；选A二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．9、111lim 1223(1)nn n n →∞⎡⎤+++=⎢⎥⋅⋅+⎣⎦____________ 【答案】1e .−【解析】111+++1223(1)1nn n n n n ⎡⎤⎛⎫= ⎪⎢⎥⨯⨯⨯++⎝⎭⎣⎦L ，则1lim e .1nn n n −→∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭10、曲线π3πsin 2cos ()22y x x x x =+−<<的拐点坐标为____________ 【答案】 π2−（，）. 【解析】令sin0y x x ''=−=，可得πx =，因此拐点坐标为π2−（，）. 11、已知1()f x t =⎰，则120()d xf x x =⎰____________【答案】1(118−.【解析】依题意，()f x '=(1)0f =.因此，11123310000111()d ()d ()(13318x f x x f x x x f x x x ⎡⎤==−=−⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰. 12、A 、B 两商品的价格分别为、，需求函数,, ,求A 商品对自身价格的需求弹性____________ .【答案】0.4. 【解析】因为d (2)d A A A AA A B A A AP Q PP P Q P Q η=−⋅=−⋅−−，将，，1000A Q =代入，可得104000.41000AA η=⋅=. 13、2101111011a −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭A ，01a ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭b ，=Ax b 有无穷多解，求____________ 【答案】1.【解析】因为=Ax b 由无穷多解，故()()3r r =<A A,b ，对矩阵()A,b 作初等行变换，因为P A P B Q A =500-P A 2-P A P B +2P B 2P A =10P B =20h AA =h >0()P A =10P B =20a =21010()01010011a a −⎛⎫ ⎪→ ⎪ ⎪−−⎝⎭A,b ，故2110a a −=−=，因此1a =.14、为连续型随机变量，概率密度为, 为的分布函数，为的期望，求{}()1P F X EX >−=____________【答案】2.3【解答】由条件可得224()d d 23x EX xf x x x +∞−∞===⎰⎰，且可求得分布函数20,0,(),02,41, 2.x xF x x x <⎧⎪⎪=<⎨⎪⎪⎩故可得12{()1}{()}.33P F X EX P F X >−=>=三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15、（本题满分10分）已知2,0,()e 1,0.x x x x f x x x ⎧>=⎨+⎩求()f x '，并求()f x 的极值.【答案】f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0，极大值f (0)=1.极小值1(1)1e f −=−，2e 1()e ef −=.【解析】解：当x >0时：f ′(x )=(e 2xlnx −1)′=(e 2xlnx )′=e 2xlnx (2lnx +2)=2x 2x (lnx +1)当x <0：f ′(x )=e x +xe x =e x (x +1)因此f ′(x )={2x 2x (lnx +1)；x >0e x (x +1)；x <0当x =0：X f (x )=x2,0<x <20,elseìíïîïF (x )X EX Xf +′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+x 2x −1x =lim x→0+e 2xlnx −1x =lim x→0+2xlnxx=−∞f −′(0)=lim x→0+f (x )−f(0)x =lim x→0+xe x x=lim x→0+e x =0当x >0时，f ′(0)<0，f (x )单调递减，当x <0时，f ′(0)>0，f (x )单调递增因此f (x )在x =0处取得极大值，且f (0)=1.令()0f x '=得，1x =−及1e x =. 又1(1)0,()0e f f ''''−>>，故极小值为1(1)1ef −=−，2e 1()e ef −=. 16、（本题满分10分）已知(,)f u v 具有二阶连续偏导数，且(,)(,)g x y xy f x y x y =−+−，求22222g g gx x y y ∂∂∂++∂∂∂∂.【答案】112213.f f ''''−−【解析】依题意知，12(,)(,)gy f x y x y f x y x y x∂''=−+−−+−∂， 12(,)(,)gx f x y x y f x y x y y∂''=−+−++−∂. 因为(,)f u v 具有二阶连续偏导数，故1221f f ''''=，因此，2111221221112222()()2gf f f f f f f x ∂''''''''''''''=−+−+=−−−∂， 21112212211221()()1gf f f f f f x y∂''''''''''''=−−−−=−+∂∂， 2111221221112222()()2gf f f f f f f y∂''''''''''''''=−−+−=−+−∂. 所以，22211222213.g g gf f x x y y∂∂∂''''++=−−∂∂∂∂17、（本题满分10分）已知()y x 满足微分方程22ex y xy '−=，且满足(1)y =（1）求()y x ；（2）若{}(,)12,0()D x y x y y x =，求区域D 绕x 轴旋转所得旋转体的体积.【答案】（1）22()e x y x =. （2）【解析】（1）22d d 22()e e e e (x xx x x x y x C C −−−⎛⎫⎰⎰=+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎰因为(1)y =0C =，所以22()e .x y x =（2）由旋转体体积公式，222224211ππe )d πe d (e e).2x x V x x x ===−⎰⎰18、（本题满分10分）求曲线()esin 0xy x x −=与x 轴之间图形的面积.解:设在区间[π,(1)π]n n +(0,1,2,)n =上所围的面积记为n u ,则(1)π(1)πππe |sin |d (1)e sin d n n xnx n n n u x x x x ++−−==−⎰⎰;记esin d xI x x −=⎰,则e d cos (e cos cos de )x x x I x x x −−−=−=−−⎰⎰ ecos e dsin e cos (e sin sin de )xx x x x x x x x x −−−−−=−−=−−−⎰⎰e (cos sin )x x x I −=−+−,所以1e (cos sin )2xI x x C −=−++;因此(1)π(1)πππ11(1)()e (cos sin )(e e )22n nxn n n n u x x +−−+−=−−+=+;(这里需要注意cos π(1)nn =−)因此所求面积为ππππ111e 11e 221e 2e 1n n n n u −∞∞−−===+=+=+−−∑∑. 19、（本题满分10分）设()10,1,2n a x x n ==⋅⋅⋅⎰（1）证明数列{}n a 单调递减；且()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+（2）求1lim−∞→n nn a a .(1)证明:110(0n n n a a x x +−=−<⎰,所以{}n a 单调递减.1333111212212220011(1)[(1)(1)]33n n n n a x d x x x x dx −−−=−−=−−−−⎰⎰1220110021(131()31(),3n n n n n x x x n x x x x n a a −−−−=−−=−−=−⎰⎰⎰从而有()212,32n n n a a n n −−==⋅⋅⋅+; (2)因为211n n n n n na a a a a a −−<<=,而21lim lim12n n n n a n a n →∞→∞−−==+,由夹逼准则知 1lim1nn n a a →∞−=.20、（本题满分11分）已知向量组I ：()()()21231,1,4,1,0,4,1,2,3TT Ta ===+αααII ：()()()21231,1,3,0,2,1,1,3,3TTTa a a =+=−=+βββ若向量组I 与II 等价，求a 的取值，并将3β用123,,ααα线性表示.【答案】1a ≠−；1a =时，3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；当1a ≠±时，3123=−+βααα.【解析】令123(,,)=A ααα,123(,,)=B βββ，所以，21a =−A ，22(1)a =−B .因向量组I 与II 等价，故()()(,)r r r ==A B A B ，对矩阵(,)A B 作初等行变换.因为2222111101111101(,)102123011022.443313001111a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=→− ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++−+−−−−⎝⎭⎝⎭A B 当1a =时，()()(,)2r r r ===A B A B ；当1a =−时，()()2r r ==A B ，但(,)3r =A B ；当1a ≠±时，()()(,)3r r r ===A B A B . 综上，只需1a ≠−即可. 因为对列向量组构成的矩阵作初等行变换，不改变线性关系.①当1a =时，12331023(,,,)01120000⎛⎫⎪→−− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，故3112233x x x =++βααα的等价方程组为132332,2.x x x x =−⎧⎨=−+⎩故3123(3)(2)k k k =−+−++βααα（k 为任意常数）；②当1a ≠±时，12331001(,,,)01010011⎛⎫⎪→− ⎪ ⎪⎝⎭αααβ，所以3123=−+βααα.21、（本题满分11分）已知矩阵22122002A x −−⎛⎫ ⎪=− ⎪⎪−⎝⎭与21001000B y ⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪⎝⎭相似.（1）求x ,y ;（2）求可逆矩阵P 使得1P AP B −=.解:(1)相似矩阵有相同的特征值,因此有2221,,x y −+−=−+⎧⎪⎨=⎪⎩A B 又2(42)x =−−A ,2y =−B ,所以3,2x y ==−.(2)易知B 的特征值为2,1,2−−;因此2102001000r⎛⎫⎪−⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A E ,取T 1(1,2,0)ξ=−,120001000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→ ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T 2(2,1,0)ξ=−,4012021000r⎛⎫ ⎪⎯⎯→− ⎪ ⎪⎝⎭A+E ,取T3(1,2,4)ξ=−令1123(,,)P ξξξ=,则有111200010002P AP −⎛⎫⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭;同理可得,对于矩阵B ,有矩阵2110030001P −⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,122200010002P BP −⎛⎫ ⎪=− ⎪ ⎪−⎝⎭,所以111122P AP P BP −−=,即112112B P P APP −−=,所以112111212004P PP −−−−⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭. 22、（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为(1)P Y p =−=,(1)1P Y p ==−,(01p <<)，令Z XY =.（1）求Z 的概率密度;（2）p 为何值时，X 与Z 不相关;（3）X 与Z 是否相互独立?【答案】（1）e ,0,()(1)e ,0.z Z zp z f z p z −⎧<=⎨−⎩（2）12p =；（3）不独立.【解析】（1）Z 的分布函数为()()(1,)(1,)Z F z P XY z P Y X z P Y X z ===−−+=，因为X 与Y 相互独立，且X 的分布函数为1e ,0,()0,0.x X x F x x −⎧−>=⎨⎩因此，e ,0,()[1()](1)()(1)(1e ),0.z Z X X zp z F z p F z p F z p z −⎧<=−−+−=⎨−−⎩所以，Z 的概率密度为e ,0,()()(1)e ,0.z Z Z zp z f z F z p z −⎧<'==⎨−⎩（2）当22(,)()0Cov X Z EXZ EX EZ EX EY EX EY DX EY =−⋅=⋅−⋅=⋅=时，X 与Z 不相关. 因为1DX =，12EY p =−，故1.2p = （3）不独立. 因为(01,1)(01,1)(01)P X Z P X XY P X ==，而1(1)(1)(1)(1e )1Z P Z F p −==−−≠，故(01,1)(01)(1)P X Z P X P Z ≠⋅， 所以X 与Z 不独立. 23、（本题满分11分）设总体X 的概率密度为22()22e ,,(;)0,,x A x f x x μσμσσμ−−⎧⎪=⎨⎪<⎩μ是已知参数，0σ>是未知参数，A 是常数. 12,,,n X X X 是来自总体X 简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量. 【解答】（1）由密度函数的规范性可知()d 1f x x +∞−∞=⎰，即222222()2220ed ed d 12x t t AAx t t μσσσμσσ−−−−+∞+∞+∞−∞====⎰⎰⎰，得A =（2）设似然函数22()22211()(;)i x nni i i L f x μσσσ−−====∏，取对数22221()1ln ()ln ]22ni n x L μσσσ=−=−∑； 求导数2221224241()()d ln ()1[]d 2222nin i i i x x L nμμσσσσσσ==−−=−+=−+∑∑，令导数为零解得2211()ni i x n σμ==−∑，故2σ的最大似然估计量为2211()ni i X n σμ==−∑.。

2019考研数学完整版及参考答案一、选择题：1－8小题，每题4分，共32分. 每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.〔1〕设函数()y f x =具有二阶导数，且()0,()0f x f x '''>>，x ∆为自变量x 在点0x 处的增量，d y y ∆与分别为()f x 在点0x 处对应的增量与微分，假设0x ∆>，则〔 〕(A) 0d y y <<∆. (B) 0d y y <∆<.(C) d 0y y ∆<<. (D) d 0y y <∆< .〔2〕设()f x 是奇函数，除0x =外处处连续，0x =是其第一类间断点，则()d x f t t ⎰是〔A 〕连续的奇函数.〔B 〕连续的偶函数〔C 〕在0x =间断的奇函数〔D 〕在0x =间断的偶函数. 〔 〕〔3〕设函数()g x 可微，1()()e ,(1)1,(1)2g x h x h g +''===，则(1)g 等于〔 〕〔A 〕ln31-. 〔B 〕ln3 1.--〔C 〕ln 2 1.--〔D 〕ln 2 1.-〔4〕函数212e e e xx x y C C x -=++满足的一个微分方程是 [ ]〔A 〕23e .xy y y x '''--= 〔B 〕23e .xy y y '''--=〔C 〕23e .x y y y x '''+-=〔D 〕23e .x y y y '''+-=〔5〕设(,)f x y 为连续函数，则140d (cos ,sin )d f r r r r πθθθ⎰⎰等于〔〕〔Ａ〕0(,)d xx f x y y . 〔B 〕0(,)d x f x y y .(C)(,)d yy f x y x . (D) 0(,)d y f x y x .〔6〕设(,)(,)f x y x y ϕ与均为可微函数，且(,)0y x y ϕ'≠，已知00(,)x y 是(,)f x y 在约束条件(,)0x y ϕ=下的一个极值点，以下选项正确的选项是〔〕(A) 假设00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '=. (B) 假设00(,)0x f x y '=，则00(,)0y f x y '≠. (C) 假设00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '=.(D) 假设00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.〔7〕设12,,,s ααα均为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，以下选项正确的选项是 [ ](A) 假设12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性相关. (B) 假设12,,,s ααα线性相关，则12,,,s A A A ααα线性无关. (C) 假设12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性相关.(D) 假设12,,,s ααα线性无关，则12,,,s A A A ααα线性无关.〔8〕设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得B ，再将B 的第1列的1-倍加到第2列得C ，记110010001P ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则〔〕〔Ａ〕1C P AP -=. 〔Ｂ〕1C PAP -=.〔Ｃ〕T C P AP =. 〔Ｄ〕T C PAP =.一．填空题 〔9〕曲线4sin 52cos x xy x x+=- 的水平渐近线方程为〔10〕设函数2301sin d ,0(),0x t t x f x x a x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩⎰ 在0x =处连续，则a =〔11〕广义积分22d (1)x xx +∞=+⎰. 〔12〕 微分方程(1)y x y x-'=的通解是 〔13〕设函数()y y x =由方程1e yy x =-确定，则d d x y x==〔14〕设矩阵2112A ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，E 为2阶单位矩阵，矩阵B 满足2BA B E =+，则=B .三 、解答题：15－23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 〔15〕〔此题总分值10分〕 试确定,,A B C 的值，使得23e (1)1()x Bx Cx Ax o x ++=++，其中3()o x是当0x →时比3x 高阶的无穷小.〔16〕〔此题总分值10分〕求 arcsin e d exxx ⎰. 〔17〕〔此题总分值10分〕设区域{}22(,)1,0D x y x y x =+≤≥， 计算二重积分221d d .1Dxyx y x y +++⎰⎰ 〔18〕〔此题总分值12分〕设数列{}n x 满足110,sin (1,2,)n n x x x n π+<<==〔Ⅰ〕证明lim n n x →∞存在，并求该极限；〔Ⅱ〕计算211lim n x n n n x x +→∞⎛⎫ ⎪⎝⎭. 〔19〕〔此题总分值10分〕 证明：当0a b π<<<时，sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.〔20〕〔此题总分值12分〕设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f=满足等式22220z zx y∂∂+=∂∂. 〔I 〕验证()()0f u f u u'''+=； 〔II 〕假设(1)0,(1)1f f '==，求函数()f u 的表达式.〔21〕〔此题总分值12分〕已知曲线L 的方程221,(0)4x t t y t t⎧=+≥⎨=-⎩〔I 〕讨论L 的凹凸性；〔II 〕过点(1,0)-引L 的切线，求切点00(,)x y ，并写出切线的方程； 〔III 〕求此切线与L 〔对应于0x x ≤的部分〕及x 轴所围成的平面图形的面积. 〔22〕〔此题总分值9分〕 已知非齐次线性方程组1234123412341435131x x x x x x x x ax x x bx +++=-⎧⎪++-=-⎨⎪+++=⎩ 有3个线性无关的解.〔Ⅰ〕证明方程组系数矩阵A 的秩()2r A =；〔Ⅱ〕求,a b 的值及方程组的通解. 〔23〕〔此题总分值9分〕设3阶实对称矩阵A 的各行元素之和均为3,向量()()TT121,2,1,0,1,1αα=--=-是线性方程组0Ax =的两个解. (Ⅰ) 求A 的特征值与特征向量；(Ⅱ) 求正交矩阵Q 和对角矩阵Λ,使得TQ AQ =Λ.数学答案1. A 【分析】 题设条件有明显的几何意义，用图示法求解. 【详解】 由()0,()0f x f x '''>>知，函数()f x 单调增加，曲线()y f x =凹向，作函数()y f x =的图形如右图所示，显然当0x ∆>时，00d ()d ()0y y f x x f x x ''∆>==∆>，故应选(Ａ).【评注】 对于题设条件有明显的几何意义或所给函数图形容易绘出时，图示法是求解此题的首选方法.此题还可用拉格朗日定理求解：0000()()(),y f x x f x f x x x x ξξ'∆=+∆-=∆<<+∆因为()0f x ''>，所以()f x '单调增加，即0()()f f x ξ''>，又0x ∆>，则0()()d 0y f x f x x y ξ''∆=∆>∆=>，即0d y y <<∆.定义一般教科书均有，类似例题见《数学复习指南》〔理工类〕P.165【例6.1】，P.193【１〔３〕】.2. B 【分析】由于题设条件含有抽象函数，此题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去计算0()()d x F x f t t =⎰，然后选择正确选项.【详解】取,0()1,0x x f x x ≠⎧=⎨=⎩. 则当0x ≠时，()2220011()()d lim d lim 22x xF x f t t t t x x εεεε++→→===-=⎰⎰，而0(0)0lim ()x F F x →==，所以()F x 为连续的偶函数，则选项〔Ｂ〕正确，故选〔Ｂ〕.【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.符合题设条件的函数在多教科书上均可见到，完全类似例题见2006文登最新模拟试卷〔数学三〕〔8〕.3. C 【分析】题设条件1()()e g x h x +=两边对x 求导,再令1x =即可.【详解】1()()e g x h x +=两边对x 求导,得1()()e ()g x h x g x +''=.上式中令1x =，又(1)1,(1)2h g ''==，可得1(1)1(1)1(1)e (1)2e (1)ln 21g g h g g ++''===⇒=--，故选〔C 〕.【评注】此题考查复合函数求导，属基此题型. 完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例12】，《数学复习指南》理工类P.47【例2.4】，《数学题型集粹与练习题集》理工类P.1【典例精析】.4. D 【分析】此题考查二阶常系数线性非齐次微分方程解的结构及非齐次方解分析出对应齐次微分方程的特征方程的根，然后由特解形式判定非齐次项形式.【详解】由所给解的形式，可知原微分方程对应的齐次微分方程的特征根为 121,2λλ==-.则对应的齐次微分方程的特征方程为 2(1)(2)0,20λλλλ-+=+-=即.故对应的齐次微分方程为20y y y '''+-=. 又*e x y x =为原微分方程的一个特解，而1λ=为特征单根，故原非齐次线性微分方程右端的非齐次项应具有形式()e x f x C =〔C 为常数〕.所以综合比较四个选项，应选〔D 〕.【评注】对于由常系数非齐次线性微分方程的通解反求微分方程的问题，关键是要掌握对应齐次微分方程的特征根和对应特解的关系以及非齐次方程的特解形式..完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第7讲第2节【例9】和【例10】，《数学复习指南》P.156【例5.16】，《数学题型集粹与练习题集》〔理工类〕〔题型演练3〕，《考研数学过关基此题型》〔理工类〕P.126【例14】及练习.5. C 【分析】 此题考查将坐标系下的累次积分转换为直角坐标系下的累次积分，首先由题设画出积分区域的图形，然后化为直角坐标系下累次积分即可.【详解】 由题设可知积分区域D 如右图所示，显然是Y型域，则原式2212d (,)d y yy f x y x -=⎰⎰.故选〔Ｃ〕.【评注】 此题为基此题型，关键是首先画出积分区域的图形.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第2节例4，《数学复习指南》〔理工类〕P.286【例10.6】，《考研数学过关基此题型》〔理工类〕P.93【例6】及练习.6. D 【分析】 利用拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+在000(,,)x y λ〔0λ是对应00,x y 的参数λ的值〕取到极值的必要条件即可.【详解】 作拉格朗日函数(,,)(,)(,)F x y f x y x y λλϕ=+，并记对应00,x y 的参数λ的值为0λ，则000000(,,)0(,,)0x y F x y F x y λλ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩， 即0000000000(,)(,)0(,)(,)0x x y y f x y x y f x y x y λϕλϕ⎧''+=⎪⎨''+=⎪⎩ .消去0λ，得00000000(,)(,)(,)(,)0x y y x f x y x y f x y x y ϕϕ''''-=, 整理得 000000001(,)(,)(,)(,)x y x y f x y f x y x y x y ϕϕ'''='.〔因为(,)0y x y ϕ'≠〕， 假设00(,)0x f x y '≠，则00(,)0y f x y '≠.故选〔Ｄ〕.【评注】 此题考查了二元函数极值的必要条件和拉格朗日乘数法. 相关定理见《数学复习指南》〔理工类〕Ｐ.251定理1及Ｐ.253条件极值的求法.7. A 【分析】 此题考查向量组的线性相关性问题，利用定义或性质进行判定.【详解】 记12(,,,)s B ααα=，则12(,,,)s A A A AB ααα=.所以，假设向量组12,,,s ααα线性相关，则()r B s <，从而()()r AB r B s ≤<，向量组12,,,s A A A ααα也线性相关，故应选(Ａ).【评注】 对于向量组的线性相关问题，可用定义，秩，也可转化为齐次线性方程组有无非零解进行讨论.8. B 【分析】利用矩阵的初等变换与初等矩阵的关系以及初等矩阵的性质可得.【详解】由题设可得110110*********,010010010001001001001B A C B A --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ，而 1110010001P --⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则有1C PAP -=.故应选〔Ｂ〕.【评注】〔１〕每一个初等变换都对应一个初等矩阵，并且对矩阵A 施行一个初等行〔列〕变换，相当于左〔右〕乘相应的初等矩阵.〔２〕牢记三种初等矩阵的转置和逆矩阵与初等矩阵的关系. 完全类似例题及性质见《数学复习指南》〔理工类〕P.381【例2.19】，文登暑期辅导班《线性代数》第2讲例12.9. 【分析】 直接利用曲线的水平渐近线的定义求解即可.【详解】 4sin 14sin 1lim lim 2cos 52cos 55x x xx x x x x x x →∞→∞++==--. 故曲线的水平渐近线方程为 15y =.【评注】此题为基此题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在，为什么？完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》〔理工类〕P.180【例6.30】，【例6.31】.10. 【分析】此题为已知分段函数连续反求参数的问题.直接利用函数的连续性定义即可.【详解】 由题设知，函数()f x 在 0x =处连续，则 0lim ()(0)x f x f a →==，又因为2203200sin d sin 1lim ()lim lim 33xx x x t t x f x x x →→→===⎰. 所以 13a =. 【评注】遇到求分段函数在分段点的连续性问题，一般从定义入手.此题还考查了积分上限函数的求导，洛必达法则和等价无穷小代换等多个基本知识点，属基此题型.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第1讲第1节【例13】，《数学复习指南》〔理工类〕P.35【例1.51】.88年，89年，94年和03年均考过该类型的试题，此题属重点题型.11. 【分析】利用凑微分法和牛顿－莱布尼兹公式求解.【详解】2022222200d 1d(1+)111111lim lim lim (1)2(1)21+21+22b b b b b x x x x x x b +∞→∞→∞→∞==-=-+=++⎰⎰. 【评注】 此题属基此题型，对广义积分，假设奇点在积分域的边界，则可用牛顿－莱布尼兹公式求解，注意取极限.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第5讲第6节【例1】，《数学复习指南》〔理工类〕P.119【例3.74】.12 .【分析】本方程为可别离变量型，先别离变量，然后两边积分即可【详解】 原方程等价为d 11d y x y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭， 两边积分得 1ln ln y x x C =-+，整理得e x y Cx -=.〔1e CC =〕【评注】 此题属基此题型.完全类似公式见《数学复习指南》〔理工类〕P.139.13. 【分析】此题为隐函数求导，可通过方程两边对x 求导〔注意y 是x 的函数〕，一阶微分形式不变性和隐函数存在定理求解.【详解】 方法一：方程两边对x 求导，得e e y y y xy ''=--.又由原方程知，0,1x y ==时.代入上式得d e d x x yy x=='==-.方法二：方程两边微分，得d e d e d y y y x x y =--，代入0,1x y ==，得0d e d x yx==-.方法三：令(,)1e y F x y y x =-+，则()0,10,10,10,1ee,1e 1yy x y x y x y x y F F x xy========∂∂===+=∂∂，故0,10,1d e d x y x x y F y xF xy=====∂∂=-=-∂∂.【评注】 此题属基此题型.求方程确定的隐函数在某点处的导数或微分时，不必写出其导数或微分的一般式完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第2讲第2节【例14】，《数学复习指南》〔理工类〕P.50【例2.12】.14. 【分析】 将矩阵方程改写为AX B XA B AXB C ===或或的形式，再用方阵相乘的行列式性质进行计算即可.【详解】 由题设，有 ()2B A E E -= 于是有4B A E -=，而11211A E -==-，所以2B =.【评注】 此题关键是将其转化为用矩阵乘积形式表示.类似题2005年考过.完全类似例题见文登暑期辅导班线性代数第1讲例6，《数学复习指南》〔理工类〕P.378【例2.12】15.【分析】题设方程右边为关于x 的多项式，要联想到e x 的泰勒级数展开式，比较x 的同次项系数，可得,,A B C 的值.【详解】将e x 的泰勒级数展开式233e 1()26xx xx o x =++++代入题设等式得 233231()[1]1()26x x x o x Bx Cx Ax o x ⎡⎤++++++=++⎢⎥⎣⎦整理得233111(1)()1()226B B x B C x C o x Ax o x ⎛⎫⎛⎫+++++++++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭比较两边同次幂系数得11021026B AB C BC ⎧⎪+=⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩，解得 132316A B C ⎧=⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩.【评注】题设条件中含有高阶无穷小形式的条件时，要想到用麦克劳林公式或泰勒公式求解.要熟练掌握常用函数的泰勒公式.相应公式见《数学复习指南》理工类P.124表格.16.【分析】题设积分中含反三角函数，利用分部积分法.【详解】arcsin e d arcsin e de e arcsin e e e x x x x x x xx x x --=-=-+⎰⎰⎰－21e arcsin e d 1ex x xx -=-+-⎰.令21e xt=-，则221ln(1),d d 21t x t x t t=-=--， 所以2211111d d d 12111e xx t t t t t ⎛⎫==- ⎪--+⎝⎭-⎰⎰⎰ 221111e 1ln ln 2121e 1x x t C t ---=+=+-+.【评注】被积函数中为两种不同类型函数乘积且无法用凑微分法求解时，要想到用分部积分法计算；对含根式的积分，要想到分式有理化及根式代换.此题为基此题型，完全相似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第3讲第3节【例6】，《数学复习指南》理工类P.79【例3.21】.17. 【分析】 由于积分区域D 关于x 轴对称，故可先利用二重积分的对称性结论简化所求积分，又积分区域为圆域的一部分，则将其化为极坐标系下累次积分即可.【详解】 积分区域D D 关于x 轴对称，函数221(,)1f x y x y =++是变量y 的偶函数，函数22(,)1xy g x y x y=++是变量y 的奇函数. 则112222220011ln 2d d 2d d 2d d 1112DD r x y x y r xy x y r ππθ===+++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰22d d 01Dxyx y x y =++⎰⎰， 故 22222211ln 2d d d d d d 1112D D Dxy xy x y x y x y x y x y x y π+=+=++++++⎰⎰⎰⎰⎰⎰. 【评注】只要见到积分区域具有对称性的二重积分计算问题，就要想到考查被积函数或其代数和的每一部分是否具有奇偶性，以便简化计算.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第10讲第1节例1和例2，《数学复习指南》〔理工类〕P.284【例10.1】18. 【分析】 一般利用单调增加有上界或单调减少有下界数列必有极限的准则来证明数列极限的存在. 〔Ⅱ〕的计算需利用〔Ⅰ〕的结果.【详解】 〔Ⅰ〕因为10x π<<，则210sin 1x x π<=≤<.可推得10sin 1,1,2,n n x x n π+<=≤<=，则数列{}n x 有界.于是 1sin 1n nn nx x x x +=<，〔因当0sin x x x ><时，〕， 则有1n n x x +<，可见数列{}n x 单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知极限lim n n x →∞存在.设lim n n x l →∞=，在1sin n n x x +=两边令n →∞，得 sin l l =，解得0l =，即lim 0n n x →∞=.〔Ⅱ〕 因 22111sin lim lim nn x x n n n n n n x x x x +→∞→∞⎛⎫⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由〔Ⅰ〕知该极限为1∞型， 令n tx =，则,0n t →∞→，而222sin 111111sin 1000sin sin sin lim lim 11lim 11tt t t t t t t t t t t t t t t -⋅-→→→⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥=+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又 33233000()1sin sin 13!lim 1lim lim 6t t t t t o t tt t t t t t t →→→-+--⎛⎫-===- ⎪⎝⎭. 〔利用了sin x 的麦克劳林展开式〕故 2211116sin lim lim e nn x x n n n n n n x x x x -+→∞→∞⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.19. 【详解】 令()sin 2cos sin 2cos ,0f x x x x x a a a a a x b πππ=++---<≤≤<，则 ()sin cos 2sin cos sin f x x x x x x x x ππ'=+-+=-+，且()0f π'=. 又 ()cos sin cos sin 0f x x x x x x x ''=--=-<，〔0,sin 0x x x π<<>时〕，故当0a x b π<≤≤<时，()f x '单调减少，即()()0f x f π''>=，则()f x 单调增加，于是()()0f b f a >=，即sin 2cos sin 2cos b b b b a a a a ππ++>++.20利用复合函数偏导数计算方法求出2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂即可得〔I 〕.按常规方法解〔II 〕即可.【详解】 〔I 〕设u =((z z f u f u x y ∂∂''==∂∂. 22()()z f u f u x ∂'''=∂()22322222()()x y f u f u x y x y '''=⋅+⋅++，()2223222222()()z y x f u f u y x y xy ∂'''=⋅+⋅∂++.将2222,z z x y ∂∂∂∂代入22220z zx y∂∂+=∂∂得 ()()0f u f u u'''+=. 〔II 〕 令()f u p '=，则d d 0p p up u p u'+=⇒=-，两边积分得 1ln ln ln p u C =-+，即1C p u=，亦即1()C f u u'=. 由(1)1f '=可得11C =.所以有1()f u u'=，两边积分得 2()ln f u u C =+，由(1)0f =可得20C =，故()ln f u u =.【评注】 此题为基础题型，着重考查多元复合函数的偏导数的计算及可降阶方程的求解.完全类似例题见文登暑期辅导班《高等数学》第8讲第1节【例8】，《数学复习指南》〔理工类〕P.336【例12.14】,P.337【例12.15】21. 【分析】 〔I 〕利用曲线凹凸的定义来判定；〔II 〕先写出切线方程，然后利用 (1,0)-在切线上 ； 〔III 〕利用定积分计算平面图形的面积.【详解】 〔I 〕因为d d d d 422d 2,421d d d d 2d yx y y t t t t x t t x t tt-==-⇒===-2223d d d 12110,(0)d d d d 2d y y t x x t x t tt t⎛⎫⎛⎫=⋅=-⋅=-<> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故曲线L 当0t ≥时是凸的.〔II 〕由〔I 〕知，切线方程为201(1)y x t ⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭，设2001x t =+，20004y t t =-，则220000241(2)t t t t ⎛⎫-=-+⎪⎝⎭，即23200004(2)(2)t t t t -=-+ 整理得 20000020(1)(2)01,2(t t t t t +-=⇒-+=⇒=-舍去）.将01t =代入参数方程，得切点为〔2，3〕，故切线方程为231(2)1y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭，即1y x =+.〔III 〕由题设可知，所求平面图形如以下图所示，其中各点坐标为 (1,0),(2,0),(2,3),(1,0)A B C D -， 设L 的方程()x g y =，则()30()(1)d S g y y y =--⎡⎤⎣⎦⎰ 由参数方程可得24t y =±-，即()2241x y =±-+.由于〔2，3〕在L 上，则()2()241924x g y yy y ==--+=---.于是 ()30944(1)d S y y y y ⎡⎤=-----⎣⎦⎰3300(102)d 44d y y y y =---⎰⎰()()3233208710433y yy =-+-=. 【评注】 此题为基此题型，第3问求平面图形的面积时，要将参数方程转化为直角坐标方程求解.完全类似例题和公式见《数学复习指南》〔理工类〕P.187【例6.40】.22. 【分析】 〔I 〕根据系数矩阵的秩与基础解系的关系证明；〔II 〕利用初等变换求矩阵A 的秩确定参数,a b ，然后解方程组.【详解】 〔I 〕 设123,,ααα是方程组Ax β=的3个线性无关的解，其中111114351,1131A a b β-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.则有 1213()0,()0A A αααα-=-=.则1213,αααα--是对应齐次线性方程组0Ax =的解，且线性无关.〔否则，易推出123,,ααα线性相关，矛盾〕.所以 ()2n r A -≥，即4()2()2r A r A -≥⇒≤. 又矩阵A 中有一个2阶子式111043=-≠，所以()2r A ≤.因此 ()2r A =. 〔II 〕 因为11111111111143510115011513013004245A a b a a b a a b a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=-→--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----+-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.又()2r A =，则42024503a ab a b -==⎧⎧⇒⎨⎨+-==-⎩⎩. 对原方程组的增广矩阵A 施行初等行变换，111111024243511011532133100000A --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--→-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，故原方程组与下面的方程组同解. 13423424253x x x x x x =-++⎧⎨=--⎩.选34,x x 为自由变量，则134234334424253x x x x x x x x x x =-++⎧⎪=--⎪⎨=⎪⎪=⎩. 故所求通解为12242153100010x k k -⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪ ⎪=++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，12,k k 为任意常数.【评注】 此题综合考查矩阵的秩，初等变换，方程组系数矩阵的秩和基础解系的关系以及方程组求解等多个知识点，特别是第一部分比较新颖. 这是考查综合思维能力的一种重要表现形式，今后类似问题将会越来越多.完全类似例题见《数学复习指南》〔理工类〕P.427【例4.5】，P.431【例4.11】. 23. 解： 由矩阵A 的各行元素之和均为3及矩阵乘法可得矩阵A 的一个特征值和对应的特征向量；由齐次线性方程组0Ax =有非零解可知A 必有零特征值，其非零解是0特征值所对应的特征向量.将A 的线性无关的特征向量正交化可得正交矩阵Q .【详解】 (Ⅰ) 因为矩阵A 的各行元素之和均为3，所以1311331131A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则由特征值和特征向量的定义知，3λ=是矩阵A 的特征值，T(1,1,1)α=3λ=的全部特征向量为k α，其中k 为不为零的常数.又由题设知 120,0A A αα==，即11220,0A A αααα=⋅=⋅，而且12,αα线性无关，所以0λ=是矩阵A 的二重特征值，12,αα是其对应的特征向量，对应0λ=的全部特征向量为1122k k αα+，其中12,k k 为不全为零的常数.(Ⅱ) 因为A 是实对称矩阵，所以α与12,αα正交，所以只需将12,αα正交.取11βα=，()()21221111012,3120,61112αββαβββ⎛⎫-⎪-⎛⎫⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪=-=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭. 再将12,,αββ单位化，得1212312,,0ββαηηηαββ⎛⎛⎪====== ⎪⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎪⎝⎭，令[]123,,Qηηη=，则1TQ Q-=，由A是实对称矩阵必可相似对角化，得T3Q AQ⎡⎤⎢⎥==Λ⎢⎥⎢⎥⎣⎦.。

2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试题及答案一、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）（1）曲线y=lnx 上与直线1=+y x 垂直的切线方程为 1-=x y .【分析】 本题为基础题型，相当于已知切线的斜率为1，由曲线y=lnx 的导数为1可确定切点的坐标。

【详解】 由11)(ln =='='xx y ，得x=1, 可见切点为)0,1(，于是所求的切线方程为 )1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y .【评注】 本题也可先设切点为)ln ,(00x x ，曲线y=lnx 过此切点的导数为11=='=x y x x ，得10=x ，由此可知所求切线方程为)1(10-⋅=-x y ， 即 1-=x y . （2）已知xx xe e f -=')(，且f(1)=0, 则f(x)=2)(ln 21x . 【分析】 先求出)(x f '的表达式，再积分即可。

【详解】 令t e x=，则t x ln =，于是有t t t f ln )(='， 即 .ln )(x xx f =' 积分得 C x dx x x x f +==⎰2)(ln 21ln )(. 利用初始条件f(1)=0, 得C=0，故所求函数为f(x)= 2)(ln 21x .（3）设L 为正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，则曲线积分⎰-Lydx xdy 2的值为π23 . 【分析】 利用极坐标将曲线用参数方程表示，相应曲线积分可化为定积分。

【详解】 正向圆周222=+y x 在第一象限中的部分，可表示为.20:,sin 2,cos 2πθθθ→⎩⎨⎧==y x于是θθθθθπd ydx xdy L]sin 2sin 22cos 2cos 2[220⋅+⋅=-⎰⎰=.23sin 2202πθθππ=+⎰d（4）欧拉方程)0(024222>=++x y dx dyx dx y d x 的通解为 221x c x c y +=. 【分析】 欧拉方程的求解有固定方法，作变量代换te x =化为常系数线性齐次微分方程即可。

2019全国硕士研究生考研数学一真题及答案解析一、选择题，1~8小题，每小题4分，共32分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.当0→x 时，若x x tan -与kx 是同阶无穷小，则=k A.1. B.2.C.3.D.4.2.设函数⎩⎨⎧>≤=,0,ln ,0,)(x x x x x x x f 则0=x 是)(x f 的A.可导点，极值点.B.不可导点，极值点.C.可导点，非极值点.D.不可导点，非极值点.3.设{}n u 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是A..1∑∞=n n nu B.nn n u 1)1(1∑∞=-.C.∑∞=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-111n n n u u . D.()∑∞=+-1221n n n u u.4.设函数2),(y xy x Q =，如果对上半平面（0>y ）内的任意有向光滑封闭曲线C 都有⎰=+Cdy y x Q dx y x P 0),(),(，那么函数),(y x P 可取为A.32yx y -.B.321yx y -.C.y x 11-. D.yx 1-.5.设A 是3阶实对称矩阵，E 是3阶单位矩阵.若E A A 22=+，且4=A ，则二次型Ax x T 的规范形为A.232221y y y ++. B.232221y y y -+.C.232221y y y --. D.232221y y y ---.6.如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程)3,2,1(321==++i d z a y a x a i i i i 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为A A ,，则A..3)(,2)(==A r A r B..2(,2)(==A r A r C..2(,1)(==A r A r D..1)(,1)(==A r A r 7.设B A ,为随机事件，则)()(B P A P =的充分必要条件是A.).()()(B P A P B A P += B.).()()(B P A P AB P =C.((A B P B A P =D.()(B A P AB P =8.设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布),(2σμN ，则{}1<-Y X P A.与μ无关，而与2σ有关.B.与μ有关，而与2σ无关.C.与2,σμ都有关.D.与2,σμ都无关.二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分.9.设函数)(u f 可导，,)sin (sin xy x y f z +-=则yz cosy x z cosx ∂∂⋅+∂∂⋅11=.10.微分方程02'22=--y y y 满足条件1)0(=y 的特解=y .11.幂级数nn n n ∑∞=-0)!2()1(在)0∞+，（内的和函数=)(x S .12.设∑为曲面)0(44222≥=++z z y x 的上侧，则dxdy z x z⎰⎰--2244=.13.设），，（321αααA =为3阶矩阵.若21αα，线性无关，且2132ααα+-=，则线性方程组0=x A 的通解为.14.设随机变量X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<<=，其他，20,2)(x xx f ）（x F 为X 的分布函数，X E 为X 的数学期望，则{}=->1X X F P E ）（.三、解答题：15~23小题，共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本题满分10分）设函数)(x y 是微分方程2'2x e xy y -=+满足条件0)0(=y 的特解.（1）求)(x y ；（2）求曲线)(x y y =的凹凸区间及拐点.16.（本题满分10分）设b a ,为实数，函数222by ax z ++=在点（3，4）处的方向导数中，沿方向j i l 43--=的方向导数最大，最大值为10.（1）求b a ,；（2）求曲面222by ax z ++=（0≥z ）的面积.17.求曲线)0(sin ≥=-x x ey x与x 轴之间图形的面积.18.设dx x x a n n ⎰-=121，n =（0，1，2…）（1）证明数列{}n a 单调减少，且221-+-=n n a n n a （n =2，3…）（2）求1lim-∞→n nn a a .19.设Ω是锥面())10()1(2222≤≤-=-+z z y x 与平面0=z 围成的锥体，求Ω的形心坐标.20.设向量组T T T a )3,,1(,)2,3,1(,)1,2,1(321===ααα，为3R 的一个基，T)1,1,1(=β在这个基下的坐标为T c b )1,,(.（1）求c b a ,,.（2）证明32,a a ，β为3R 的一个基，并求,,32a a β到321,,a a a 的过度矩阵.21.已知矩阵⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----=20022122x A 与⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧-=y B 00010012相似（1）求y x ,.（2）求可可逆矩阵P ，使得.1B AP P =-22.设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}),10(,11,1<<-===-=p p Y P p Y P 令XYZ =（1）求z 的概率密度.（2）p 为何值时，X 与Z 不相关.（3）X 与Z 是否相互独立?23.（本题满分11分）设总体X 的概率密度为⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=,0,2)(),(222μμσσA σx x u x e x f 其中μ是已知参数，0>σ是未知参数，A 是常数，n X …X X ，，21来自总体X 的简单随机样本.（1）求A ；（2）求2σ的最大似然估计量2019年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析1.C2.B3.D4.D5.C6.A7.C8.A9.yx x y cos cos +10.23-xe 11.xcos 12.33213.，T)1,2,1(-k k 为任意常数.14.3215.解：（1）)()()(2222c x ec dx e ee x y x xdxx xdx+=+⎰⎰=---⎰，又0)0(=y ，故0=c ，因此.)(221x xex y -=（2）22221221221)1(x x x ex ex ey ----=-='，222221221321221)3()3()1(2x x x x ex x ex x xe x xey -----=-=---=''，令0=''y 得3,0±=x x)3,(--∞3-)0,3(-0)3,0(3),3(+∞y ''-+-+y凸拐点凹拐点凸拐点凹所以，曲线)(x y y =的凹区间为)0,3(-和),3(+∞，凸区间为)3,(--∞和)3,0(,拐点为)0,0(，)3,3(23---e，)3,3(23-e .16.解：（1）)2,2(by ax z =grad ，)8,6()4,3(b a z =grad ，由题设可得，4836-=-ba ，即b a =，又()()108622=+=b a z grad ，所以，.1-==b a（2）dxdy y z x z S y x ⎰⎰≤+∂∂+∂∂+=22222)()(1=dxdy y x y x ⎰⎰≤+-+-+22222)2()2(1=dxdyy x y x ⎰⎰≤+++22222441=ρρρθπd d ⎰⎰+202241=2232)41(1212ρπ+⋅=.313π17.18.19.由对称性，2,0==y x ，⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--===ΩΩ1210211)1()1(dz z dz z z dxdy dz dxdy zdz dv zdv z zzD D ππ=.4131121)1()1(1212==--⎰⎰dz z dz z z 20.（1）123=b c βααα++即11112311231b c a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，解得322a b c =⎧⎪=⎨⎪=-⎩.（2）()23111111=331011231001ααβ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，，，所以()233r ααβ=，，，则23ααβ，，可为3R 的一个基.()()12323=Pαααααβ，，，，则()()1231231101=0121002P ααβααα-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，，，，.21.（1）A 与B 相似，则()()tr A tr B =，A B =，即41482x y x y -=+⎧⎨-=-⎩，解得32x y =⎧⎨=-⎩（2）A 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=20α⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，22=10α-⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎝⎭；3=2λ-，31=24α-⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()1123=P ααα,,，使得111212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.B 的特征值与对应的特征向量分别为1=2λ，11=00ξ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭；2=1λ-，21=30ξ⎛⎫ ⎪- ⎪⎪⎝⎭；3=2λ-，30=01ξ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭.所以存在()2123=P ξξξ,,，使得122212P AP -⎡⎤⎢⎥=Λ=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.所以112211=P AP P AP --=Λ，即1112112B P P APP P AP ---==其中112111212004P PP --⎡⎤⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎣⎦.22.解：（I ）Z 的分布函数(){}{}{}{}(){},1,11F z P XY z P XY z Y P XY z Y pP X z p P X z =≤=≤=-+≤==≥-+-≤从而当0z ≤时，()zF z pe =；当0z >时，()()()()1111z zF z p p e p e --=+--=--则Z 的概率密度为()(),01,0zzpez f z p e z -⎧<⎪=⎨->⎪⎩.（II ）由条件可得()()()()()()()()()22E XZ E X E Z E X E Y E X E Y D X E Y -=-=，又()()1,12D X E Y p ==-，从而当12p =时，(),0Cov X Z =，即,X Z 不相关.（III ）由上知当12p ≠时，,X Z 相关，从而不独立；当12p =时，121111111111,,,,2222222222112P X Z P X XY P X X P X X F e -⎧⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤=≤≤=≤≥-+≤≤⎨⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎛⎫⎛⎫==- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭而12112P X e -⎧⎫≤=-⎨⎬⎩⎭，121111112222222P Z P X P X e -⎛⎫⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤=≤+≥-=-⎨⎬⎨⎬⎨⎬ ⎪⎩⎭⎩⎭⎩⎭⎝⎭，显然1111,2222P X Z P X P Z ⎧⎫⎧⎫⎧⎫≤≤≠≤≤⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭，即,X Z 不独立.从而,X Z 不独立.23.解：（I ）由()2221x Aedx μσμσ--+∞=⎰t =212t e dt +∞-==⎰，从而A =（II ）构造似然函数()()22112212,,1,2,,,,,,0,ni i n x i n A e x i n L x x x μσμσσ=--⎧∑⎛⎫⎪≥= ⎪=⎨⎝⎭⎪⎩L L 其他，当,1,2,,i x i n μ≥=L 时，取对数得()22211ln ln ln 22ni i n L n A x σμσ==---∑，求导并令其为零，可得()22241ln 1022nii d L n x d μσσσ==-+-=∑，解得2σ的最大似然估计量为()211n ii x n μ=-∑.。