2020_2021学年高中数学第2章解析几何初步§11.4两条直线的交点ppt课件北师大版必修2

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高中数学第2章平面解析几何2.2直线及其方程2.2.3两条直线的位置关系第2课时两条直线的垂直课件新

解
(2)A，B 两点在直线 l 的同侧，P 是直线 l 上的一点，则||PB|－|PA||≤|AB|，当且仅当 A，B，P 三点共线时， ||PB|－|PA||取得最大值，为|AB|，点 P 即是直线 AB 与直线 l 的交点，又直线 AB 的方程为 y＝x－2，解yx＝－x2－y＋28，＝0，得xy＝＝1120，，故所求的点 P 的坐标为(12,10).
2．常用对称的特例 (1)A(a，b)关于 x 轴的对称点为 A′(a，－b)； (2)B(a，b)关于 y 轴的对称点为 B′(－a，b)； (3)C(a，b)关于直线 y＝x 的对称点为 C′(b，a)； (4)D(a，b)关于直线 y＝－x 的对称点为 D′(－b，－a)； (5)P(a，b)关于直线 x＝m 的对称点为 P′(2m－a，b)； (6)Q(a，b)关于直线 y＝n 的对称点为 Q′(a,2n－b)．
解
题型四平行与垂直的综合应用
例 4 已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四点，若顺次连接 A，B，
C，D 四点，试判定图形 ABCD 的形状．
[解] 由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置，如图所示，由
斜率公式可得
kAB＝2－5－－34＝13，
kCD＝－0－ 3－36＝13，
mn－－02＝－2，则
m＋2 n＋0 2 －2· 2 ＋8＝0，
解得mn＝＝8－，2，
故 A′(－2,8)．
解
因为 P 为直线 l 上的一点，则|PA|＋|PB|＝|PA′|＋|PB|≥|A′B|，当且仅当 B，P，A′三点共线时，|PA|＋|PB|取得最小值，为|A′B|，点 P 即是直线 A′B 与直线 l 的交点，解xx＝－－ 2y＋2，8＝0，得xy＝＝－ 3，2，故所求的点 P 的坐标为(－2,3)．

2019_2020学年高中数学第2章解析几何初步2_1_4两条直线的交点课件北师大版必修2

由25xx＋＋34yy＝＝a2，a＋1，得xy＝＝2aa－7＋ 723，，
由 2aa－7＋ 723<>00，，
得 a>－32， a<2.
∴－32<a<2.
[答案] －32，2
[引申探究] 若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限，则 a 的取值范围又如何？
[解] 由典例得交点坐标为2a＋ 7 3，a－7 2，
因为 l 过原点，所以 λ＝8. 则所求直线方程为 2x－y＝0.
[答案] B
[针对训练 3] 直线 l 经过原点，且经过另两条直线 2x＋3y ＋8＝0，x－y－1＝0 的交点，则直线 l 的方程为( )
A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0 C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0
[解析] 设所求直线方程为 2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即(2 ＋λ)x＋(3－λ)y＋8－λ＝0，
则由 2aa－7＋ 723<<00，，
得 a<－32.
解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式组而求得参数的取值范围．
[针对训练 1] 若直线 l1：y＝kx＋k＋2 与 l2：y＝－2x＋4 的交点在第一象限，则实数 k 的取值范围是( )
所以两直线的交点坐标为－35，－75. 又所求直线与直线 3x＋y－1＝0 平行，所以所求直线的斜率为－3. 故所求直线方程为 y＋75＝－3x＋35，即 15x＋5y＋16＝0.
[解] 解法一：解方程组x2＋x－y＋3y2－＝30＝，0，
得 xy＝＝－－3575，，
所以两直线的交点坐标为－35，－75. 又所求直线与直线 3x＋y－1＝0 平行，所以所求直线的斜率为－3.

2020_2021学年高中数学第二章解析几何初步2.1.4两条直线的交点ppt课件北师大版必修2

【精解详析】 (1)设点 P 关于直线 l 的对称点为 P′(x0，y0)，则线段 PP′的中点 M 在直线 l 上，且 PP′⊥l.
所以xyy000＋＋－2 211×＝－－1212·x＝0－2－2＋1 1
，解得x0＝25 y0＝159
，
即 P′25，159.
(2)直线 l1：y＝x－2 关于直线 l 对称的直线为 l2，则 l2 上任一点 P1(x，y)关于 l 的对称点 P1′(x′，y′)一定在直线 l1 上，反之也成立．
第二章
§1 直线与直线的方程
1.4 两条直线的交点
01 预习篇
02课堂篇
03提高篇
04 巩固篇
课时作业
知识点两条直线的交点 [填一填]
(1)求法：用代数方法求两条直线的交点坐标，两直线方程联立方程组，此方程组的解就是这两条直线的交点坐标，因此解方程组即可．
(2)应用：可以利用两直线的交点个数判断两直线的位
地，点 P 关于坐标原点 O 的对称点为 P′(－x0，－y0)．
2．点关于直线对称 (1)若点 P 关于直线 l 的对称点为 P′，则直线 l 为线段 PP′ 的中垂线，于是有等量关系：①kPP′·kl＝－1(直线 l 的斜率存在且不为零)；②线段 PP′的中点在直线 l 上；③直线 l 上任意一点 M 到 P，P′的距离相等，即|MP|＝|MP′|. (2)常见的点关于直线的对称点： ①点 P(x0，y0)关于 x 轴的对称点 P′(x0，－y0)； ②点 P(x0，y0)关于 y 轴的对称点 P′(－x0，y0)；
由xy＋＋22 xy11＝＝11
方法二：由(λ＋2)x－(λ－1)y＝－6λ－3，整理得(2x＋y＋3)

2020年高中数学第二章解析几何初步11.4两条直线的交点课件北师大版必修2

由x2－x＋y－y－4＝5＝0，0，得yx＝＝－3，1. ∴定点 P 的坐标是(3，－1)．答案：D
知识点三直线交点的综合问题 4．三条直线 ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10 与 2x－y＝0 相交于一点，则 a 的值为__________．解析：由24xx－＋y3＝y＝0，10，解得yx＝＝21，，交点为(1,2)，直线 ax＋2y＋8＝0 经过点(1,2)． ∴a＋2×2＋8＝0，解得 a＝－12. 答案：－12
当 l2∥l3 时，－m1 ＝－1，m＝1. 综上，m 的值为－17或 1.
【错因分析】错解考虑问题不全面，导致丢解．三条直线交于一点时也不能围成三角形．
【正解】若三条直线不能围成三角形，则至少有两条直线平行或三线共点．
由已知得 m≠0，则三条直线的斜率为 k1＝7，k2＝－1， k3＝－m1 . 若 l3∥l1，则 m＝－17.
【规律总结】本题采用的间接法求解，当直接求解问题有困难或很繁琐时，可考虑从问题的反面入手解决．
设三条直线 x－2y＝1,2x＋ky＝3,3kx＋4y
＝5 交于一点，求 k 的值．
解：解方程组2x－x＋2kyy＝＝13，，
得x＝kk＋＋64， y＝k＋1 4.
即前两条直线的交点坐标为kk＋＋64，k＋1 4. ∵三条直线交于一点，∴上述直线交点必在第三条直线上，
∴3k·kk＋＋64＋4·k＋1 4＝5，解得 k＝1 或 k＝－136.
若三条直线 l1：7x－y－9＝0，l2：x＋y－7＝0，l3： x＋my－27＝0 不能围成三角形，求实数 m 的值．
【错解】 ∵三条直线不能围成三角形， ∴三条直线中有两条直线平行．
当 l1∥l3 时，－1m＝7，m＝－17；

高中数学第二章解析几何初步2.1.4两条直线的交点课件北师大版必修2

[思路探究]
解方程组验证交点总思路一：令k＝0，k＝1 ―→ 求交点 ―→ 在直线上
变形方程，
解方程组
思路二：提取参数 ―→ 列方程组 ―→ 求出定点
[规范解答] 证明：证法一：当 k＝1 时，直线方程为 x＝1，2 分当 k＝0 时，直线方程为 x＋y＝0，4 分
x＝1 由x＋y＝0 得交点 P(1，－1)，8 分将 P(1，－1)代入原方程左边得 k＋1－(k－1)×(－1)－2k＝k＋1＋k－1－2k＝0，即点 P 的坐标总适合直线方程.10 分 ∴无论 k 取何实数，点 P(1，－1)总在直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0 上.12 分
∵直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
λ＋2 λ－3 2λ－3
11
∴ 3 ＝ 1 ≠ －1 ，解得 λ＝ 2 .
从而所求直线方程为 15x＋5y＋16＝0.

3
2x－3y－3＝0，
x＝－5，
方法三：由方程组x＋y＋2＝0，
解得y＝－75.
∵所求直线 l 与直线 3x＋y－1＝0 平行，
[提示] 直线l1与l2相交于点P，点P的坐标既适合l1的方程，也适合l2的方程，从而是两个方程的公共解，也就是两方程组成的方程组的解．
1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标． 2．会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系．
两条直线相交与方程组解的关系
已知两条不重合的直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0. A1x0＋B1y0＋C1＝0
2 ，解得－3＜k＜1.
求过两直线交点的直线方程
求经过两直线 l1：3x＋4y－2＝0 和 l2：2x＋y＋2＝0 的交点且过坐标原点的直线 l 的方程．

高中数学第二章解析几何初步2.1直线与直线的方程2.1.4两条直线的交点北师大版必修2

即 3x＋y＋6＝0.
两条直线的交点问题
求经过两直线 l1：x－2y＋4＝0 和 l2：x＋y－2＝0 的
交点 P，且与直线 l3：3x－4y＋5＝0 垂直的直线 l 的方程．
(链接教材 P71 例 13) [解] 法一：(直接法)解方程组xx＋－y2－y＋2＝4＝0，0，得 P(0，2)．
∵
l3
标就是方程组A1x＋
B1y＋
C1＝
0 的实
A2x＋ B2y＋ C2＝ 0
数解．(
√
)
(2)若方
程组A1x＋ A2x＋
B1y＋ B2y＋
C1＝ C2＝
0 无解，则两直线没有交点，两直 0
线平行．( √ )
(3)直线 x＝2 与 y＝3 没有交点．( × )
(4)直线 3.两条直线位置关系的公式法判断
当 A1B1C1≠0，且 A2B2C2≠0 时，l1 与 l2 相交⇔AA12≠BB12；l1∥l2
⇔A1＝B1≠C1； A2 B2 C2
l1
与
l2
重合⇔A1＝B1＝C1. A2 B2 C2
4．经过两条直线交点的直线系
经过两条直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A21 ＋B21≠0，A22＋B22≠0)的交点的直线系为 m(A1x＋B1y＋C1)＋ n(A2x＋B2y＋C2)＝0(其中 m，n 为参数，m2＋n2≠0)．当 m＝ 1，n＝0 时，方程即为 l1 的方程；当 m＝0，n＝1 时，方程即为 l2 的方程．
A． l1： 2x－ 3y＝ 7， l2： 4x＋ 2y＝ 1
B．
l1：
2x－
6y＋
4＝
0，l2：
y＝x＋2 33

2019_2020学年高中数学第二章解析几何初步1.4两条直线的交点课件北师大版必修2

A.－1，13 C.1，13
B.13，1 D.－1，－31
提示：B
3x＋4y－5＝0，由3x＋5y－示
3．直线(2k－1)x－(k＋3)y－(k－11)＝0(k∈R)所经过的定点是( )
1.4 两条直线的交点
[学习目标] 1.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标． 2. 会用方程组解的个数判定两条直线的位置关系． 3.会用求交点坐标的方法解决直线过定点，三条直线交于一点等问题.
课前自主学习
【主干自填】
两直线的位置关系与方程组的解
设两条直线的方程是 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.
A．(5,2)
B．(2,3)
C.－21，3
D．(5,9)
提示：B 由题可得 k(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0，则此直线经过 2x－y －1＝0 和 x＋3y－11＝0 的交点，解得xy＝＝32，，故所求的定点坐标为(2,3)．
提示
4．下列直线中，能够与直线 x＋3y＋4＝0 相交的直线是________． ①x＋3y＝1；②3x＋y＝0；③x2＋3y＝1；④y＝－13x＋4.
[解] (1)解方程组25xx＋－3y－y－97＝＝0，0，得xy＝＝12.，
所以交点坐标为(2,1)，所以 l1 与 l2 相交．
(2)解方程组24xx－－36yy＋＋510＝＝0， 0，
① ②
①×2 得 4x－6y＋10＝0.
因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1 与 l2 重合．
答案
证法二：∵(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5， ∴m(x＋2y－1)－(x＋y－5)＝0，则无论 m 为什么实数，直线(m－1)x＋(2m －1)y＝m－5 都通过直线 x＋2y－1＝0 与 x＋y－5＝0 的交点．由方程组xx＋＋2y－y－5＝1＝0，0，解得xy＝＝－9，4，即交点为(9，－4)． ∴不论 m 为什么实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5 都通过定点(9，－4)．

2021年高中数学第二章解析几何初步2.1.4两条直线的交点课件2北师大版必修2

y
3
直 (m 线 1 )x （ 2 m 1 ） y5 m 40 恒过 1 ， 3 ）定
这两条直线是否有交点
方程组 A1x+B1 y +C1=0，是否有唯一解。 A2x+B2 y +C2=0.
说明：假设方程组有唯一解，那么直线l1 与 l2 相交假设；方程组有无数解，那么直线l1 与 l2 重合假设；方程组无解，那么直线l1 与 l2 平行。
例1 求经过原点且经过以下两条直线交点
反过来，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是直线l1和l2的交点.
这两条直线是否有交点
方程组 A1x+B1 y +C1=0 是否有唯一解。 A2x+B2 y +C2=0
交点设两条直线的方程是
l1: A1x+B1 y +C1=0， l2: A2x+B2 y +C2=0.
(A1B1C10)
A1 B1 C1 A2 B2 C2
直线
l1与l2
重合的充要条件是：
(A1B1C10)
A1 A2
B1 B2
C1 C2
直线 l1与l2 相交充要条件是： (A1B1 0)
A1 B1 A2 B2
直线 l1⊥l2 的充要条件是：
A 1A 2B 1B 20.
教材第55页练习：
1.求以下各对直线的交点，并画图：
例 2 判定下列各对置直关线，若系的相位，交则求.交点
(1) l1:7x2y 10, l2:1x 4 4y 20.
(2) l1:(32 )x y 7 0 ,l2:x (32 )y 6 0.
(3) l1:3x5y10,l2:4x3y 50.

高中数学第二章解析几何初步21直线与直线的方程214两条直线的交点课件北师大版必修2(1)

(2)因为直线y＝ax＋1与y＝x＋b的交点为(1,1)，
所以11＝＝1a＋＋b1
⇒
a＝0 b＝0.
故填0和0.
(3)由方程组5x＋2x＋4y－3y－2mm－＝1＝ 0，0
解得xy＝＝2mm－77＋23.
所以两条直线的交点坐标为2m7＋3，m－7 2.
因为此交点在第四象限，所以2mm－77＋23<>0， 0 故所求m的取值范围是－32，2.
为( )
A．(3,2)
B．(2,3)
C．(－2，－3) D．(－3，－2)
解析：解方程组x2＋x－3yy－－111＝＝00，，得yx＝＝32，，故两条直线的交点坐标为(2,3)．答案：B
3．下列直线与直线x＋y＝0相交的是( ) A．y＝－x＋3 B．－x－y＋12＝0 C．x－y＋2＝0 D．2x＋2y－5＝0
解析：(1)2x＋3y－m＝0在y轴上的截距为
m 3
，直线x－my＋12
＝0在y轴上的截距为1m2，由1m2＝m3 得m＝±6.
(2)由24xx－＋y3＝y＝101，0 得yx＝＝－4 2.
将x＝4，y＝－2代入ax＋2y＋8＝0，得4a－4＋8＝0，所以a＝
－1.故填－1.
答案：(1)C (2)－1
(2)给出三条直线方程，方程中含有参数，且三条直线构成三角形，求参数的取值范围时，可以先找构不成三角形的条件，然后利用补集思想求其反面，即得所求参数的取值范围．
跟踪训练 3 (1)两条直线l1：2x＋3y－m＝0与l2：x－my＋12 ＝0的交点在y轴上，那么m的值为( )
A．－24 B．6 C．±6 D．以上答案均不对 (2)三条直线ax＋2y＋8＝0,4x＋3y＝10和2x－y＝10相交于一点，则a的值为________．

2020_2021学年高中数学第二章解析几何初步2.2.3.2圆与圆的位置关系课件北师大版必修2

半径为 3 的圆与 x 轴相切，且与圆 x2＋(y－1)2＝1 外切，求此圆的方程．
解：因为所求圆的半径为 3，且与 x 轴相切，所以设圆心坐标为(a，－3)或(a,3)．又因为所求圆与圆 x2＋(y－1)2＝1 外切，所以 a2＋4＝4 或 a2＋16＝4，即 a＝±2 3或 a＝0.所以所求圆的方程为(x±2 3)2＋(y－3)2 ＝9 或 x2＋(y＋3)2＝9.
【解】设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，则
a－12＋b2＝r＋1，
ba＋－33＝ 3，
|a＋ 2
3b|＝r，
a＝4，解得b＝0，
r＝2，
a＝0，或b＝－4 3，
r＝6.
故所求圆的方程为(x－4)2＋y2＝4 或 x2＋(y＋4 3)2＝36.
规律方法处理两圆相切问题，首先必须准确把握是内切还是外切，若只是告诉两圆相切，则必须分两圆内切和两圆外切两种情况讨论；其次，根据两圆相切，列出两圆的圆心距与两圆半径之间的关系式．
规律方法判断两圆的位置关系通常用几何法，这种方法比较直观，容易理解．设⊙O1 的半径为 r1，⊙O2 的半径为 r2，则有如下关系：
(1)相交⇔|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2；
(2)相切内外切切⇔⇔||OO11OO22||＝＝r|r11＋－rr22；|， (3)外离⇔|O1O2|>r1＋r2； (4)内含⇔|O1O2|<|r1－r2|.
(1)已知两圆的方程分别为圆 C1：x2＋y2＝81 和圆 C2：x2＋ y2－6x－8y＋9＝0，这两圆的位置关系是( C )
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
解析：圆 C1 的圆心为 C1(0,0)，半径长 r1＝9；圆 C2 的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－4)2＝42，圆心为 C2(3,4)，半径长 r2 ＝4，故|C1C2|＝ 3－02＋4－02＝5.又 r1－r2＝5，∴|C1C2|＝r1 －r2，∴圆 C1 和圆 C2 内切．故选 C.

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自主预习探新知
两直线的交点
已知两条不重合的直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2 ＝0.
(1)若点P(x0，y0)是l1与l2的交点，
则
A1x0＋B1y0＋C1＝0 A2x0＋B2y0＋C2＝0
， .
(2)若两直线方程组成的方程组 AA12xx＋＋BB12yy＋＋CC12＝＝00，，有唯一解 xy＝＝xy00，，则两条直线相交，交点坐标为 (x0，y0) ．因此求两条直线的交点，就是求这两条直线方程的公共解．
2．不论 m 取什么值：直线 y－2＝m(x＋3)恒过定点．求出此定点．
提示：由直线方程可知当 x＝－3 时 y＝2 与 m 的取值无关故直线恒过定点(－3,2)．
【例 3】求证：无论 k 取何值时，直线(k＋1)x－(k－1)y－2k ＝0 必过定点，并求出该定点坐标．
[证明] 法一：当 k＝1 时，直线方程为 x＝1. 当 k＝0 时，直线方程为 x＋y＝0. 由xx＋＝1y＝，0 得交点 P(1，－1)，将 P(1，－1)代入原方程左边得 k＋1－(k－1)×(－1)－2k＝k＋1＋k－1－2k＝0，即点 P 的坐标总适合直线方程． ∴无论 k 取何实数，点 P(1，－1)总在直线(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0 上．
法二：∵l2 不过原点， ∴可设 l 的方程为 3x＋4y－2＋λ(2x＋y＋2)＝0(λ∈R)，即(3＋2λ)x＋(4＋λ)y＋2λ－2＝0，将原点坐标(0,0)代入上式解得 λ＝1， ∴l 的方程为 5x＋5y＝0，即 x＋y＝0.
直线恒过定点问题
[探究问题] 1．不论 k 取什么值，直线 y＝kx＋2 恒过定点，试求出此定点．提示：由直线的方程可知当 x＝0 时 y＝2，此时与 k 的取值无关．故直线恒过点(0,2)．
[跟进训练] 2．求经过两直线 l1：3x＋4y－2＝0 和 l2：2x＋y＋2＝0 的交点且过坐标原点的直线 l 的方程．
[解] 法一：由方程组32xx＋＋4y＋y－22＝＝00，，解得xy＝＝－2，2，即 l1 与 l2 的交点坐标为(－2,2)． ∵直线过坐标原点，所以其斜率 k＝－22＝－1，直线方程为 y＝－x，一般式为 x＋y＝0.
[解] 法一：由3x－x＋y＋2y－1＝7＝0，0，得xy＝＝12，，又所求直线与直线 5x－y＋3＝0 平行，所以斜率 k＝5，由点斜式得 y－2＝5(x－1)，即 5x－y－3＝0.
法二：设所求直线方程为 3x＋2y－7＋λ(x－y＋1)＝0，即(λ＋3)x ＋(2－λ)y－7＋λ＝0.
思考：两条直线的交点同时满足这两条直线吗？提示：满足．
1．两条直线 l1：2x－y－1＝0 与 l2：x＋3y－11＝0 的交点坐标为
()
A．(3,2)
B．(2,3)
C．(－2，－3)
D．(－3，－2)
B [解方程组2x＋x－3yy－－111＝＝00，，得xy＝＝23，，故两条直线的交点坐标为(2,3)．]
[解] 解方程组x5＋x＋3y2－y＋4＝ 6＝0， 0 得xy＝＝－ 2，2， ∴直线 x＋3y－4＝0 和 5x＋2y＋6＝0 的交点坐标为(－2，2)，代入直线方程 ax＋2y＋8＝0，得－2a＋4＋8＝0，∴a＝6.
过两直线交点的直线方程
【例 2】求过直线 l1：3x＋2y－7＝0 与 l2：x－y＋1＝0 的交点，且平行于直线 5x－y＋3＝0 的直线方程．
§1 直线与直线的方程 1.4 两条直线的交点
学习目标
1.学会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标．(重点) 2.理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系．(难点)
核心素养 1.通过学习解方程组的方法求两直线交点坐标培养数学运算素养. 2.通过理解方程组的解和两直线交点坐标的对应关系提升数学抽象素养.
[由2y＝x－x＋y＋51，＝0，得交点(4,9)，
代入 y＝kx＋3 得 9＝4k＋3，∴k＝32.]
合作探究释疑难
两直线的交点问题
【例 1】判断下列各对直线的位置关系，如果相交，求出交点坐标．
(1)l1：2x＋3y－7＝0，l2：5x－y－9＝0； (2)l1：2x－3y＋5＝0，l2：4x－6y＋10＝0； (3)l1：2x－y＋1＝0，l2：4x－2y＋3＝0.
∵直线与 5x－y＋3＝0 平行， ∴－(λ＋3)＝5(2－λ)，解得 λ＝143， ∴所求直线为 3x＋2y－7＋143(x－y＋1)＝0，即 5x－y－3＝0.
经过两直线交点的直线系方程： ①与直线 Ax＋By＋C＝0 平行的直线系方程为 Ax＋By＋C′＝ 0C′≠C； ②与直线 Ax＋By＋C＝0 垂直的直线系方程为 Bx－Ay＋C′＝0； ③过两直线 l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0 的交点的直线系方程为 λ1A1x＋B1y＋C1＋λ2A2x＋B2y＋C2＝0λ1，λ2 为参数.,当 λ1＝1，λ2 ＝0 时，方程即为 l1；,当 λ1＝0，λ2＝1 时，方程即为 l2.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2．已知两条直线 l1：ax＋3y－3＝0，l2：4x＋6y－1＝0，若 l1 与 l2 相交，则实数 a 满足的条件是________．
a≠2 [由题意得 6a－12≠0，即 a≠2.]
3．直线 y＝kx＋3 过直线 2x－y＋1＝0 与 y＝x＋5 的交点，则 k 的值为________．
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[解] (1)解方程组25xx＋－3y－y－97＝＝00，，得xy＝＝21，，所以交点坐标为(2,1)，所以 l1 与 l2 相交．
(2)解方程组24xx－－36yy＋＋51＝0＝0，0，
① ②
①×2 得 4x－6y＋10＝0.
因此①和②可以化成同一方程，即①和②表示同一条直线，l1 与
l2 重合．
(3)解方程组24xx－－y2＋y＋1＝3＝0，0，
① ②
①×2－②，得－1＝0，矛盾，方程组无解，所以两条直线无公
共点，l1∥l2.
解答本题充分利用了直线相交与联立直线方程所得方程组之间的关系，以及直线上的点的坐标与直线的方程之间的关系，掌握并理解这些关系是解此类问题的基础.
[跟进训练] 1．直线 ax＋2y＋8＝0，x＋3y－4＝0 和 5x＋2y＋6＝0 相交于一点，求 a 的值．