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卡诺图化简步骤

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卡诺图化简

卡诺图化简

Z(A,B,C,D)=ABC+ABD+AC’D+C’D’+AB’C+A’CD’+++Z+BA=,(,,)C+BACADCDCABDABCACDD先填ABC项，即利用ABC=ABC（D+D’）=ABCD+ABCD’，如下图填入：图一’D,但ABCD项的表格已填入1，则不在填，只填ABC’D按照上述方法填好整个函数表达式，如下图：卡诺图圈“1”法化简步骤：1、先圈包含1个数最多的最大“1”圈，其中1格数只能为1、2、4、8、16；2、再圈包含1个数第二多的“1”圈，其中1格数也只能为1、2、4、8、16；以此类推，直到把卡诺图中所有的1格圈完。

3、检查每个“1”圈中是否至少有一个1格未被其它“1”圈圈过，若都被其他圈圈过，则该“1”圈舍去。

4、保留每个“1”圈中的不变的变量，其中“0”用原变量表示，“1”用反变量表示，变量之间用“.”连接，则构成该“1”圈的乘积项。

5、一个“1”圈对应一个乘积项，有多少“1”圈，就有多少乘积项，它们之间用“+”连接。

例题2：Y(A,B,C,D)=m1+m5+m6+m7+m11+m12+m13+m15解：1、在卡诺图中填充好函数表达式，如下图：4、圈完所有的1格，通过检查，发现原来圈4个1格的最大“1圈”中所有的1格都被其6、按照写化简后的函数逻辑表达式的规则，得化简后的函数表达式：Y（A,B,C,D）=A’C’D+ABC’+ ACD+A’BCABC’ACD A’BC。

知识点3.卡诺图化简法

知识点3.卡诺图化简法

相邻项相加能消去一个因子，合并为一项，如:
。
卡诺图化简就是建立在相邻项的基础上的，消去多余的因子，使函
数得到简化。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用卡诺图化简时，首先要把函数表示成最小项之 和的形式，称为标准与或式(或最小项表达式），求函 数标准与或式有两种方法:
①从真值表中求标准与或式 ②从一般表达式利用展开法求标准与或式
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例1】化简逻辑函数
化简得：
最小项合并结果有时不是唯一的，但合并后的项数和每一 项的因子数是相同的！
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
【例2】 用卡诺图法化简逻辑函数Z（A，B，C，D）
=∑m(0，1，2，3，4，5，6，7，10，11)。
化简得：
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
利用前面介绍的公式法化简逻辑函数，要熟练掌 握逻辑代数的基本公式、常用公式和一些定律，并 且需要有一定的技巧，这对许多人来说有困难。借 助卡诺图化简逻辑函数比较方便，容易掌握。卡诺 图是美国工程师karnaugh在20世纪50年代提出的， 它建立在最小项的基础上，所以首先要了解有关最 小项的内容。
b.四个小方格组成一个大方格、或组成一行（列）、或 处于相邻两行（列）的两端、或处于四角时，所代表的最小 项可以合并，合并后可消去两个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
c.八个小方格组成一个大方格、或组成相邻的两行 （列）、或处于两个边行（列）时，所代表的最小项可以合 并，合并后可消去三个变量。
逻辑函数的化简——卡诺图化简法
仔细分析上表，可以总结出最小项的性质： ①对任何一个最小项，只有一组变量的取值组合，使 它的值为1。反之，对于输入变量任何一组取值，有且 只有一个最小项的值为1。 ②任意两个最小项的乘积恒等于0 。 ③所有最小项之和为1。 ④具有相邻性的两个最小项之和能合并成一项且消去 一个因子。

逻辑函数的卡诺图化简法

逻辑函数的卡诺图化简法

[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：

第3讲 卡诺图化简法

第3讲 卡诺图化简法

例如： 例如：
F = A C D + BC + AB C + B CD A F = BC + AB C + A B D B
B C
& & & &
F
F = BC + AB C + A B D
= BC ⋅ AB C ⋅ A B D
C A B D
五、 五种逻辑函数类型的图形法化简
1. 与或式 与或式———卡诺图上圈“1”求和。 卡诺图上圈“ 求和 求和。 卡诺图上圈 2. 与非 与非式 与非-与非式 与非式———与或式两次求反，展开一层。 与或式两次求反， 与或式两次求反 展开一层。 3. 与或非式 与或非式———卡诺图上圈“０”取反。 卡诺图上圈“ 取反。 卡诺图上圈 4. 或与式 或与式———将上式展开。 将上式展开。 将上式展开 5. 或非式———或与式两次求反，展开一层。 或与式两次求反， 或与式两次求反 展开一层。 例如：或非-或非式 例如：或非 或非式
= AB(C + C ) + A( B + B )C + ( A + A) B C D = ABC + ABC + A B C + A B C D + A B C D
= ABCD + ABC D + ABC D + ABC D m7 m6 m5 m4 + A B C D + A B C D + AB C D + A B C D
F = A C D + BC + AB C + B CD
1. 二变量 的卡诺图
A
B
B
B

卡诺图化简法

卡诺图化简法

1 1
1
1 1
1
mi
例：将逻辑式
P = B C + ABD 填入卡诺图
D
CD 00 AB 00 01 11 01
C
11
1
10
1
填 BC 填 ABD
B AB
BC
1
1
1
1
10
ABD
mi
例：将逻辑式 P = CD + D 填入卡诺图
CD 00 AB 00 01 11 10 01 11 1 1 1 1 10 CD 00 AB 00 01 11 10 01 1 1 1 1 11 1 1 1 1 10
ABC D + ABC D = ABC ( D + D ) = ABC
所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合， 所以，在卡诺图中只要将有关的最小项重新排列、组合，就 有可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。 有可能消去一些变量，使逻辑函数得到化简。
CD 00 01 11 10 AB 0 0 0 0 00 0 0 01 0 011 0 0 10
7
11 11 10
1
13
1
15
所以ABD处于第三行和第二、第 处于第三行和第二、 所以 处于第三行和第二 三列的交点上（一行二列）。 三列的交点上（一行二列）。
mi
例：将逻辑式P= BC + B D 填入卡诺图
CD 0 0 00 1 00 AB 00 1 01 11 10
11
10 0
1
这是B， 先填 BC ， 这是 ， 这是 C ； 这一与项处于第二、 BC 这一与项处于第二、 第三行和第一、 第三行和第一、第二列的交 点处（二行二列）。 点处（二行二列）。 再填 B D ， 这是 B ， 这是 D 。 这一与项处于第一、 B D 这一与项处于第一、 第四行和第一、 第四行和第一、第四列的交点 二行二列）。 处（二行二列）。

18. 卡诺图化简法

18. 卡诺图化简法

二变量卡诺图
三变量的卡诺图
• 4变量的卡诺图
五变量的卡诺图
用卡诺图表示逻辑函数
1. 将函数表示为最小项之和的形式 mi 。
2. 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添入1 ，其余地方添0。
用卡诺图表示逻辑函数
Y (A, B,C, D) ABCD ABD AB
ABCD (C C)ABD AB[(CD) CD CD CD]
2.8 多输出逻辑函数的化简
例: Y1(A, B,C, D) (1, 4,5, 6, 7,10,11,12,13,14,15)
Y2 (A, B,C, D) (1,3, 4,5, 6, 7,12,14) Y3( A, B,C, D) (3, 7,10,11)
卡诺图化简
Y1( A, B,C, D) B AC ACD Y2 ( A, B,C, D) AD BD
m(1, 4据：具有相邻性的最小项可合并，消去 不同因子。
在卡诺图中，最小项的相邻性可以从图形 中直观地反映出来。
合并最小项的原则：
两个相邻最小项可合并为一项，消去一对因子
四个排成矩形的相邻最小项可合并为一项，消去 两对因子
在输入变量某些取值下，函数值为1或 为0不影响逻辑电路的功能，在这些取 值下为1的最小项称为任意项
逻辑函数中的无关项：约束项和任意项可以写
入函数式，也可不包含在函数式中，因此统称 为无关项。
2.7.2 无关项在化简逻辑函数中的应用
合理地利用无关项，可得更简单的化简结果。
加入（或去掉）无关项，应使化简后的项数最少， 每项因子最少······
CD
AB 00 01 11 10 00 1 0 0 1 01 1 0 0 1 11 1 1 1 1 10 1 1 1 1

卡诺图化简的具体步骤

卡诺图化简的具体步骤卡诺图化简是一种基于图形系统建模和分析技术，用于快速绘制系统状态变化的流程图，它可以帮助分析师们更加有效地深入理解系统的结构和行为。

这是通过一系列特定的步骤实现的，因此本文将详细介绍卡诺图化简的具体步骤，并解释如何使用它有效地分析系统。

卡诺图化简的第一步是建立初步识别系统中可能存在的元素和变量。

这一步包括提取和收集系统中有关问题和要素的所有信息，比如可能影响系统运行的因素和条件，并将它们进行分类和分析，以生成一张概要图。

接下来，要根据既定的准则验证图表中的元素和变量。

可以检查这些元素或变量是否吻合已经形成的模型，它们是否真的是系统的组成部分，以及它们是否有效地解释系统的运行情况。

然后，要构建卡诺图，以建立完整的系统状态或行为模型。

这一步需要使用卡诺图元素，有效地描述系统状态和行为之间的关系，以便将它们组装在一起创建一个完整的卡诺图。

此外，需要使用节点和弧，来表示图形中的元素和变量，以及它们之间的关系。

这样，就可以看出系统中不同元素和变量存在着什么样的关系，从而更加清楚的理解和分析系统的行为。

最后，需要测试以确保卡诺图能正确表达系统行为。

这可以通过模拟运行系统，或通过实际运行系统来完成，最终在系统中采取相应的行动，以达到预期的目标。

卡诺图化简是一种非常有效的技术，可以有效地分析系统的状态和行为，可以帮助分析师更好地理解系统的运行情况和未来变化趋势。

因此，对于系统分析师来说，学习卡诺图化简的步骤是十分有必要的。

总之，卡诺图化简的具体步骤包括：建立初步识别系统中可能存在的元素和变量；根据既定的准则验证图表中的元素和变量；构建卡诺图，运用节点和弧表示图形中的元素和变量；测试以确保卡诺图能正确表达系统行为。

它可以帮助分析师更好地理解系统，也可以帮助管理者有效地智能运行系统。

逻辑函数的卡诺图化简法

逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。

但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。

运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。

但首先需要了解最小项的概念。

一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。

由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。

（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。

（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。

（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。

3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。

以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。

下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。

例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。

6.逻辑函数的卡诺图化简法(数字系)

A B 0 0 Y 1 A 0
B
0
1
0 1
1 0 1 1
1
1
1 1
1
0
0
1
输出变量Y的值
例2：三输入变量
A 0 0 0 0 1 1 1 1
Y1 B C Z 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1
Y ABC ABC ABC
BC 00 A 0 0 1 01 11 10
10
0 1
ABC ABC BC
1 1
ABC
0
该方框中逻辑函数的取值与变量A无关，当 B=1、C=1时取“1”。
化简过程： BC 00 A 0 0 BC 01
0 0
11
1 1
10
0 1
1
0
AB
F=AB+BC
卡诺图适用于输入变量为3、4个的逻辑代数式的 化简；化简过程比公式法简单直观。
利用卡诺图化简的规则
例2：化简
CD 00 AB 00 1
01
01 11 10
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
FA
1 1 1
FD
11 10
FB
F A B D
例2：解二
CD 00 AB 00 1
01 11 10
01 11 10
1 1 0 1
1 1 0 1
1 1 1 1
ABD
1 1 1
F ABD A+B+D
A 0 0 0 0 1 1 1 1
Z1 B C 编号 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 2 0 1 1 1 3 0 0 0 4 1 0 1 0 5 1 0 1 6 7 1 1 1

逻辑函数的卡诺图化简法

CD 00 AB 00 01 11 10 01 11 10
0 0 4
0 1 0 5
0 3 0 7
0 2 0 6
1 1 0 1 12 13 15 14 1 8 1 9 1 11 1 10
3.合并最小项 3.合并最小项
(1) 画包围圈………. 画包围圈………. 根据含有1的相邻方格画包围圈…… 根据含有1的相邻方格画包围圈…… (2) 消去因子（消元） 消去因子（消元） 根据所画包围圈消去相应的因子…… 根据所画包围圈消去相应的因子……
第三步 画圈消元
BC AB
ACD ACD
ABCD
01 11 10
BD
(1) L = ∑m ( 3,4,5,6,9,12,13,14,15 )
第一步 ……. 第二步 画卡诺图 第三步 画圈消元 第四步 化简结果
BC AB
ACD ACD
ABCD
BD
L = AB + BC + BD + ACD + ACD + ABCD
L = ∑m ( 0, 2, 4, 6, 9, 13 )
(2)
第一步 ……. 第二步 画卡诺图
00 01Байду номын сангаас11 10
+ ∑d ( 1, 3, 5, 7, 11, 15 )
CD 00 AB 01 11 10
0 4
1 5
3 7
2 6
12 13 15 14 8 9 11 10
L = ∑m ( 0, 2, 4, 6, 9, 13 )
↑ 11
↑ 8
↑ 9
↑ 10
↑
↑ 12
↑ 13
14
L( A, B, C, D) = ∑m (8, 9, 10, 11, 12, 13, 14)
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EXIT
5-3 布 林 代 數 式簡 化法
1. 檢視各和項，並儘量提出公因數。
利用
刪除不必要的和項。
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EXIT
5-3 布 林 代 數 式簡 化法
化簡式子 將所有和項乘開求得積項和式，即
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5-4
5-5
5-6
5-1 布林代數式5-1布林代數式
積項之和（簡稱積項和）其形式如下：
積項和式就是將一個或一個以上的積項加在 一起所形成的運算式。
和項之積（以下簡稱和項積）其形式如下：
和項積式就是指一個或一個以上的和項相乘 所形成的運算式。
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5-1
EXIT
5-1 布 林 代 數 式
5-23
EXIT
5-3 布 林 代 數 式簡 化法
試化簡下列各式： (1)
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5-24
EXIT
5-3 布 林 代 數 式簡 化法
試化簡下列各式： (2)
5-1
5-2
5-3
5-4
5-5
5-6
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EXIT
5-3 布 林 代 數 式簡 化法
5. 簡化
5-1
5-2
5-3
(2) 將真值表轉換成和項積式，只要將輸出 0 的標 準和項相乘即可， 故
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EXIT
5-2 布 林 代 數 的獲 得
3. 函數 f (A , B , C) 中，只要 3 個輸入變數有奇數個 1 輸 入，其輸出結果就為 1，試寫出 f (A , B , C) 的積項和 式與和項積式。 在三位元二進制中輸入奇 數個1 的情況只有001 , 010 , 100 與 111 四種，其 真值表如圖所示。
依問題我們可以列出如下所示之真值表，其中贊成 者為 1，不贊成者為 0 。依 條 件只要有兩人以上輸 入 1，則 y = 1。故其布林代數式如下： (1) 將真值表轉換成積項和式，只要將輸出 1 的標
準積項相加即可， 故
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5-13
EXIT
5-2 布 林 代 數 的獲 得
1. 當輸入 ABC = 010 時，其標準積項為
；
標準和項為
。
2. 當輸入 ABC = 110 時，其標準積項為
；
標準和項為
。
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EXIT
5-1 布 林 代 數 式
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EXIT
5-1 布 林 代 數 式
5-1
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標準乘積項是指函數中所有變數都存在的乘積 項，又稱為最小項（minterm）。
標準和項是指函數中所有變數都存在的和項， 又稱為最大項（maxterm）
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EXIT
5-1 布 林 代 數 式
若最小項與最大項分別以 mi 和 Mi 來表示，而 i 是指該輸入對應的十進位數，則：
2. 請寫出 f (A , B , C , D) = ∏( 0 , 3 , 5 , 11 , 15 ) 的標準和 項積式。 f (A , B, C , D) = Π(0 , 3 , 5 , 11 , 15) = (0000)(0011)(0101)(1011)(1111) =
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EXIT
5-1 布 林 代 數 式
1. 請寫出 f (A , B , C , D) = ∑(1 , 4 , 5 , 10, 13 , 15) 的標 準積項和式。 f (A , B , C , D) = Σ( 1 , 4 , 5 , 10 , 13 , 15 ) =
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EXIT
5-3 布林代數式簡化法 5-3布林代數式簡化法
1. 項目合併，如 2. 項目刪除，如 3. 刪除多餘，如 4. 加入多餘項，如乘上
，再重新整合。
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5-3 布 林 代 數 式簡 化法
簡化 (1) 遇到非積項和式時，可將原式先展開為積項和式。
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5-2 布 林 代 數 的獲 得
依真值表可得輸出 f 之積項和式與和項積式如下：
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EXIT
5-2 布 林 代 數 的獲 得
欲將積項和式轉成和項積式，只要將未出現在積 項和式中的項次記列在和項積式中即可，反之亦然。
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EXIT
5-4 卡諾圖
5-4 卡 諾 圖
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5-4 卡 諾 圖
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5-1 布 林 代 數 式
5-1
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EXIT
5-1 布 林 代 數 式
請寫出 f (x , y , z ) = ∑(0 , 1 , 3 , 7) 的標準積項和式。 先將∑後的各數字轉換成二進制，再將二進制轉成 標準積項後加總即可。
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EXIT
5-2 布林代數的獲得 5-2布林代數的獲得
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5-11
EXIT
5-2 布 林 代 數 的獲 得
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5-6
5-12
EXIT
5-2 布 林 代 數 的獲 得
A、B、C 三人投票表決事件 y 的成立與否，依規定只要 有兩人以上贊成則 y 事件就通過，試依描述求 y 事件通 過的積項和式與和項積式。
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5-19
EXIT
5-3 布 林 代 數 式簡 化法
(2) 在各積項中尋找共同因子將其提出，如上式的 第一項和第二項有共同因子 ，而第三項和第 四項亦有 ，故
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5-20
EXIT
5-3 布 林 代 數 式簡 化法
4. 簡化
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5-8
EXIT
5-1 布 林 代 數 式
請寫出 f (A , B , C) = ∏(0 , 2 , 4 , 6) 的標準和項積式。 先將∏函數的各項數字轉成二進制，再將二進制轉 成標準和項積式即可。
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EXIT
5-1 布 林 代 數 式