高一数学集合与常用逻辑用语

《第一章集合与常用逻辑用语》大单元整体教学设计一、内容分析与整合（一）教学内容分析《第一章集合与常用逻辑用语》是高中数学学习的起点，为学生后续学习函数、数列、不等式等数学内容提供了重要的逻辑基础。

本章内容主要分为五个部分：集合的概念、集合间的基本关系、集合的基本运算、充分条件与必要条件、以及全称量词与存在量词。

这些内容不仅在数学内部逻辑上紧密相连，而且在实际问题解决中也具有广泛的应用价值。

集合是现代数学的基本概念之一，它是描述事物群体及其相互关系的重要工具。

通过学习集合的概念，学生能够理解集合的确定性、互异性、无序性，并掌握集合的表示方法（如列举法、描述法等）。

集合的学习有助于学生形成分类讨论的数学思想，为后续学习打下坚实基础。

集合间的基本关系主要包括子集、真子集、相等关系等。

这些关系揭示了集合之间的层次结构和相互联系，是学习集合运算和逻辑推理的基础。

学生需要掌握判断集合间关系的方法，并能根据具体问题灵活应用。

集合的基本运算包括并集、交集、补集等。

这些运算是集合论中的重要内容，也是解决实际问题中常用的数学工具。

学生需要掌握集合运算的定义、性质及运算法则，并能够进行复杂的集合运算。

充分条件与必要条件是逻辑推理中的基本概念，它们描述了条件与结论之间的逻辑关系。

通过学习充分条件与必要条件，学生能够理解命题之间的逻辑关系，掌握推理的基本方法，提高逻辑思维能力。

全称量词与存在量词是数学语言中的重要组成部分，它们用于描述具有普遍性或特殊性的数学命题。

学生需要理解全称命题与特称命题的区别，掌握全称量词与存在量词的含义及用法，并能够运用量词进行逻辑推理和命题证明。

（二）单元内容分析本单元内容不仅涵盖了集合论和逻辑推理的基础知识，更在数学学科中占据着举足轻重的地位。

集合论，作为现代数学大厦的基石之一，为我们提供了一个描述和研究数学对象及其相互关系的强大框架。

它使我们能够更清晰地理解和表达数学中的基本概念，为深入学习更复杂的数学知识打下坚实的基础。

高一数学集合与常用逻辑用语试题答案及解析1.已知集合，集合，则集合（）A．B．C．D．【答案】B【解析】两集合的公共元素组成的集合，所以【考点】集合的运算2.在空间，下列命题错误的是（）A．一条直线与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交B．一个平面与两个平行平面相交，交线平行C．平行于同一平面的两个平面平行D．平行于同一直线的两个平面平行【答案】D【解析】平行于同一直线的两个平面平行也可能相交，只要面外直线与它们的交线平行即可．【考点】空间直线、平面的位置关系．3.已知集合A＝{a，b}，集合B＝{0,1}，下列对应不是A到B的映射的是（）【答案】C【解析】映射要满足对于A中的每一个元素a,b在B中都有唯一的元素与之对应，C项中对应关系不满足要求【考点】映射的概念4.已知集合A={0，1，4}，B={2，4}，则A∪B=（）A．{4}B．{0，1，2，4}C．{0，1，2}D．{0，2，4}【答案】B【解析】由并集的定义易得，．故选B．【考点】并集运算．5.定义集合运算：，设，，则集合的所有元素之和为．【答案】54【解析】由新定义运算可知集合中所有的元素是由集合，中的元素的乘积得到的，所有元素依次为0,4,5,8,10,12,15，求和得54【考点】新定义集合问题6.由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中不可能成立的是A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素【答案】C【解析】设,显然集合M中没有最大元素，集合N中有一个最小元素，即选项A可能；,显然集合M中没有最大元素，集合N中也没有最小元素，即选项B可能；,显然集合M中有一个最大元素，集合N中没有最小元素，即选项D可能；同时，假设答案C可能，即集合M、N中存在两个相邻的有理数，显然这是不可能的，故选C．【考点】以集合为背景的创新题型．【方法点睛】创新题型，应抓住问题的本质，即理解题中的新定义，脱去其“新的外衣”，转化为熟悉的知识点和题型上来．本题即为，有理数集的交集和并集问题，只是考查两个子集中元素的最值问题，即集合M、N中有无最大元素和最小元素．7.设，，若，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】要使， 当时，需有,解得;‚当时，需有，解得．综上，．故选C．【考点】由集合关系求参数范围．8.设全集集合则．【答案】【解析】集合M表示的是直线除去点（2，3）的所有点；集合P表示的是不在直线上的所有点，显然表示的是平面内除去点（2，3）的所有点，故．【考点】集合运算．9.已知集合，（Ⅰ）若，，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，，求实数的取值范围．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）解不等式，根据解分式不等式的方法，化不等式右端为0，即：，整理得：，化分式为整式，转化为，解得：，所以集合，若，则应先考虑B为空集时，此时有，解得：，然后再考虑集合B非空的情况，则应有：，解得：，所以，综合两种情况，所以；（Ⅱ）由于集合，若，则B为非空集合，所以应满足：，解得：，所以．试题解析：解不等式，得，即（Ⅰ）①当时，则，即，符合题意；②当时，则有解得：综上：（Ⅱ）要使，则，所以有解得：【考点】1．集合间的关系；2．分类讨论在集合中的应用．10.已知集合，,（1）当时，求（2）当时，求的取值范围．【答案】（1）[3，4）（2）m≥3或m≤一3【解析】（1）当代入不等式，求两集合的交集即两集合的公共部分；（2）由可知A B，借助于数轴可得两集合边界值的大小关系，从而得到不等式，求得的取值范围试题解析：（1） m=l时，A={x11<X<4}B={xIx≤0或x≥3}A B=[3，4）（2）A B=BA Bm+3≤0或m≥3解得m≥3或m≤一3【考点】1．集合的交集运算；2．集合子集关系11.（14分）已知集合，．（1）求；（2）求；（3）若，且，求的取值范围．【答案】（1）（2）（3）【解析】（1）（2）求集合的交并补运算时常借助于数轴求解，将两集合标注在数轴上，交集即两集合公共部分，并集即所包含的所有部分，（3）中由集合的子集关系得到集合边界值的大小关系，得到关于的不等式从而求解的值试题解析：（1）∵＝∴（2）∵∴（3）∵，又∴∴∴∴的取值范围为【考点】1．集合的交并补运算；2．集合的子集关系12.设集合，，则（）A．B．C．D．【解析】画数轴分析可得．故B正确．【考点】集合的运算．【易错点晴】本题主要考查的是集合的交集运算，属于容易题．解不等式时一定要注意端点处等号是否成立,否则很容易出现错误．13.下列各组对象中不能构成集合的是（）A．正三角形的全体B．所有的无理数C．高一数学第一章的所有难题D．不等式2x＋3>1的解【答案】C【解析】C中难题并没有确定的标准，因此不满足几何元素的确定性，不能构成集合【考点】集合元素特征14.（10分）集合A＝{x|3≤x<10}，集合B＝{x|2x－8≥0}．（1）求A∪B；（A∩B）．（2）求∁R【答案】（1）{x|x≥3}（2）{x|x<4或x≥10}【解析】首先由已知条件解不等式化简集合B，两集合A,B的并集为两集合所有的元素构成的集合；两集合的交集为相同的元素构成的集合，其补集为全集中除去A∩B的元素，剩余的元素构成的集合试题解析：（1）B＝{x|x≥4}，∴A∪B＝{x|x≥3}．（A∩B）＝{x|x<4或x≥10}．（2）A∩B＝{x|4≤x<10}，∁R【考点】集合的交并补运算15.已知集合，则下列式子表示正确的有（）①②③④A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】，所以①③④正确；②中两集合的关系应该是关系【考点】元素与集合，集合与集合间的关系16.设集合，则f:A→B是映射的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据映射定义A中的元素都有唯一的元素与之对应，可得B满足，故选择B【考点】映射定义17.若集合且对应关系是从A到B的映射，则集合B中至少有（）个元素A．2B．3C．4D．5【解析】根据题意可得对应关系如下：所以集合B中至少有四个元素，故选择C【考点】映射定义18.设，则=__________________．【答案】（—1，3）【解析】．【考点】集合的运算．19.已知集合，，则与的关系是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】试题分析:，因此，故答案为C．【考点】1、三角函数的诱导公式；2、集合间的关系．20.已知，，则 _____．【答案】【解析】因为，，所以．【考点】1．集合交、补集运算；2．指数、对数运算．【思路点睛】首先根据集合，将其转化为，然后再借助指数函数的单调递减的性质，即可求出集合，由此可求出，进而求出结果．21.设集合U=R，；（1）求：，；（2）设集合，若，求a的取值范围．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）解不等式分别求出集合A、B，然后根据交集、补集、并集运算即可求出，．（2）易得，．然后由子集关系列出关于a的不等式组即可求解，但要注意对集合C为空集和非空两种情况讨论，否则易漏解．试题解析：（1）可得，所以，，（2）易得，，i）时，即，显然符合题意；ii）时，，【考点】•集合的交集、并集、补集运算；‚由子集关系求参数范围．22.设集合，B={x|＜1}，．（1）求；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据条件解不等式得出集合，然后借助数轴即可得到；（2）根据得到，然后即可列出不等式组得到的取值范围．试题解析：（1），所以（2）因为，所以，若是空集，则，得到；若非空，则，得；综上所述，．【考点】集合间的基本关系．23.设全集则等于（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知，所以，所以．【考点】集合的交、并、补运算．24.已知集合，若，则实数的值为．【答案】0，±1【解析】当时，集合，满足；当时，，又，所以若，则有，综上实数的值为0，±1．【考点】利用子集关系求参数．25.下列说法正确的是（）A．很小的实数可以构成集合B．=C．自然数集中最小的数是D．空集是任何集合的子集【答案】A【解析】根据子集的定义，可判断A；根据集合相等的定义，可判断B；根据自然数集元素的特征，可判断C；根据集合元素的确定性，可判断D．空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，故A正确；集合是一个数集，集合是一个点集，故不是同一个集合，故B错误；自然数集N中最小的数是0，不是1，故C错误；很小的实数不具备确定性，不可以构成集合，故D错误；故选：A【考点】命题的真假判断与应用26.“”是“”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】故“”是“”成立的充分不必要条件，故选：A．【考点】充分必要条件27.集合的真子集个数为（）A．3B．4C．7D．8【答案】C【解析】，它的真子集分别为，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}．一般一个集合中含有n个元素，则它的子集的个数为个，真子集去掉它本身之后为．【考点】集合的关系：真子集．28.集合{x|x1}用区间表示为．【答案】【解析】集合{x|x＜1}表示小于等于1的实数，用区间表示为【考点】集合的表示法29.满足条件的集合有个．【答案】8【解析】本题所求集合M的个数是所有由a,b,c组成的所有子集的个数8，【考点】子集的概念．30.（2014•海淀区校级模拟）集合，集合则P与Q的关系是（）A．P=Q B．P⊋Q C．P⊊Q D．P∩Q=ϕ【答案】C【解析】先求出集合P和集合Q，然后再判断集合P和集合Q的相互关系．解：∵集合={}x|x≥1}，集合={y|y≥0}，∴P⊊Q．故选C．【考点】集合的包含关系判断及应用．31.（2013•建平县校级一模）已知集合，集合N={x|2x+3＞0}，则（∁M）∩N=（）RA．[﹣）B．（﹣）C．（﹣]D．[﹣]【答案】C【解析】分别求出集合M和N中不等式的解集，确定出M和N，由全集为R，找出不属于M的部分，求出M的补集，找出M补集与N的公共部分，即可求出所求的集合．解：由集合M中的不等式移项得：﹣1≥0，即≥0，解得：x＞1，∴集合M=（1，+∞），又全集为R，∴CM=（﹣∞，1]，R由集合N中的不等式2x+3＞0，解得：x＞﹣，∴集合N=（﹣，+∞），M）∩N=（﹣，1]．则（CR故选C【考点】交、并、补集的混合运算．32.已知A=，B＝．（Ⅰ）若，求的取值范围；（Ⅱ）若，求的取值范围．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】（1）求集合的交集通常画数轴来解；（2）由，可得，画数轴来解；试题解析：（1），，解得；（2），即，得或，得．【考点】集合的运算、解不等式．33.若集合，，且，则的值为（）A．B．C．或D．或或【答案】D【解析】由，当时，，当时，，当时，，故选 D．【考点】子集概念34.已知，则．【答案】【解析】因为，所以．【考点】1．指数、对数不等式运算；2．集合的并集运算．【方法点睛】指数不等式、对数不等式的解法指数不等式：转化为代数不等式对数不等式：转化为代数不等式．35.已知为实数，则“且”是“且”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】是实数，“且”“且”；“且”则得与同号，又，所以必有“且”，“且”是“且” 的充要条件，故选C．【考点】1、充分条件与必要条件；2、不等式的性质．36.已知集合，集合，若，则为（）A．B．C．或D．或【答案】D【解析】，集合，又或，故选D．【考点】1、集合的表示；2、集合的交集．37.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】集合表示直线上的点，集合表示直线上的点，表示这两条直线的交点，联立方程得，用列举法表示为，选B．【考点】1、集合的表示方法；2、集合的运算．38.（2015秋•赣州期末）已知集合A={1，2，3}，则B={x﹣y|x∈A，y∈A}中的元素个数为（）A．9B．5C．3D．1【答案】B【解析】根据集合B中元素与A中元素之间的关系进行求解．解：∵A={1，2，3}，B={x﹣y|x∈A，y∈A}，∴x=1，2，3，y=1，2，3．当x=1时，x﹣y=0，﹣1，﹣2；当x=2时，x﹣y=1，0，﹣1；当x=3时，x﹣y=2，1，0．即x﹣y=﹣2，﹣1，0，1，2．即B={﹣2，﹣1，0，1，2}共有5个元素．故选：B．【考点】元素与集合关系的判断．39.集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}（1）求A∩B：（2）若集合C={x|2x+a＞0}．满足B∪C=C．求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B={x|2≤x＜3}；（2）a＞﹣4【解析】（1）化简B，根据集合的基本运算即可得到结论；（2）化简C，利用B∪C=C，可得B⊆C，即可求实数a的取值范围．解：（1）∵A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}．∴A∩B={x|2≤x＜3}；（2）C={x|2x+a＞0}={x|x＞﹣a}．∵B∪C=C，∴B⊆C，∴﹣a＜2，∴a＞﹣4．【考点】集合的包含关系判断及应用．40.已知集合，则集合＝（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由并集的定义知：.故选B.【考点】并集.41.已知集合，．⑴若，求；⑵若，求实数的取值范围．【答案】(1)（2）【解析】(1)由题已知集合，，若，由交集的定义易得（2）由已知，由子集的定义，结合数轴可求出的取值范围.试题解析：⑴若，则，∩⑵，则，所以实数的取值范围是【考点】1.交集的定义； 2.子集的含义.42.设集合，集合B为函数的定义域，，则=（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题，.则根据并集运算得：【考点】对数函数定义域与并集运算.43.已知集合，集合，则是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【考点】集合运算44.满足条件的所有非空集合的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】满足条件的有如下：,共3个．故选C．【考点】集合的运算．45.设，集合，.（1）若，求集合B（用区间表示）；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）;（2）.【解析】（1）代入，解一元二次不等式：分解因式，求两根，写成区间形式；（2）若A=B,表示不等式恒成立，所以分或两种情况讨论.试题解析：时，，解得集合B:（2）当A=B=R时（ⅰ）当时，即时，符合题意（ⅱ）当时，则有解得：综上：A的取值范围：.【考点】一元二次不等式46.设集合和都是坐标平面上的点集，，映射使集合中的元素映射成集合中的元素，则在映射下，象（2,1）的原象是（）A．（3,1）B．C．D．（1,3）【答案】B【解析】由题可知原象满足且,解得.故象的原象是,故本题答案选B.【考点】映射．47.设全集，，，则如图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，集合，集合，所以阴影部分表示的集合为，故选B.【考点】集合的运算.48.设集合A={x|x2﹣3x+2=0}，B={x|x2+2（a﹣1）x+（a2﹣5）=0}（1）若A∩B={2}，求实数a的值；（2）若A∪B=A，求实数a的取值范围．【答案】（1）a=﹣5或a=1（2）a＞3【解析】（1）先解出集合A，根据2是两个集合的公共元素可知2∈B，建立关于a的等式关系，求出a后进行验证即可．（2）一般A∪B=A转化成B⊆A来解决，集合A两个元素故可考虑对集合B的元素个数进行讨论求解试题解析：（1）由题可知：A={x|x2﹣3x+2=0}={1，2}，∵A∩B={2}，∴2∈B，将2带入集合B中得：4+4（a﹣1）+（a2﹣5）=0解得：a=﹣5或a=1当a=﹣5时，集合B={2，10}符合题意；当a=1时，集合B={2，﹣2}，符合题意综上所述：a=﹣5，或a=1．（2）若A∪B=A，则B⊆A，∵A={1，2}，∴B=∅或B={1}或{2}或{1，2}．若B=∅，则△=4（a﹣1）2﹣4（a2﹣5）=24﹣8a＜0，解得a＞3，若B={1}，则，即，不成立．若B={2}，则，即，不成立，若B={1，2}．则，即，此时不成立，综上a＞3．【考点】集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算49.已知集合A={x|x2-3x+2=0}，B={x|ax-2=0}，若A∪B=A，求实数a的值所组成的集合.【答案】{0，1，2}【解析】由条件可得B⊆A，分a=0和a≠0，分别求出B，再由B⊆A，求得a的值，即可得到实数a的值所组成的集合试题解析：A={1，2}，由A∪B=A得：B⊆A．①若a=0，则B=∅，满足题意．②若a≠0，则B＝{}，由B⊆A得：＝1或＝2，∴a=1或a=2，∴a的值所组成的集合为{0，1，2}．【考点】集合关系中的参数取值问题50.已知集合,,,则与的关系是（）（R为实数集）A．B．C．D．不能确定【答案】A【解析】中的元素为所有奇数的四分之一，而中的元素为所有整数的四分之一，所以Ü.故选A.【考点】集合的含义.51.下列语句错误的是（）A．如果不属于的元素也不属于，则B．把对数式化成指数式为C．对数的底数必为正数D．“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效【答案】D【解析】根据子集的定义知A正确；由对数的定义及性质知B，C正确，对于D，当零点左右符号相同时不能用二分法，故D错，故选D.【考点】1、子集的定义及对数的定义与性质；2、二分法的基本含义.52.若集合，，且，则的值为（）A．1B．-1C．1或-1D．1或-1或0【答案】D【解析】由可得中元素可以为或空集，代入相应值可求得为1或-1或0【考点】集合的子集关系53.集合，，则=（）A．B．C．D．【答案】A【解析】集合，所以，集合，所以，故选A.【考点】1、一元二次不等式的解法；2、集合的运算.54.已知集合，，且满足，则实数的取值范围是 .【答案】【解析】由可知两集合无公共点，结合数轴可得实数的取值范围是【考点】集合子集关系55.已知集合S={x|},P={x|a+1<x<2a+15}.(1)求集合S；(2)若S P，求实数a的取值范围．【答案】(1)；（2）.【解析】（1），，所以，根据函数是减函数，可得，求出的取值范围；（2）若，根据数轴表示两个集合，比较不等式的端点值，列不等式求解的取值范围.试题解析：由得解得－2<x<5，所以集合S＝{x|－2<x<5}．(2)因为S P，所以解得,所以a∈[－5，－3]．【考点】1.对数不等式；2.集合的关系.56.满足的集合的个数为（）A．15B．16C．31D．32【答案】C【解析】实际上求真子集个数：，选C.【考点】集合子集57.若，则这样的集合共有__________个.【答案】【解析】,或或或.故答案为：【考点】集合的子集.58.已知集合，，（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）；(2).【解析】集合的交并补运算常借助于数轴求解，将两集合标注在数轴上，求交集需找两集合重合的部分，两集合交集为空集则需满足两集合无重合部分，求解时集合需分是否为空集两种情况.试题解析：（1）（2）当时，需满足解得：；当时，需满足或解得：；综上，的取值范围为.【考点】集合的运算.59.已知集合，．（1）求集合；（2）若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）根据指数函数的性质，得到，即可求解集合；（2）由，分和两种情况分类讨论，即可求解实数的取值范围．试题解析：（1），，∴，∴，∴．…………5分（2）若，则，解得，此时满足题意；若，且，∴必有，解得，综上所述的取值范围为．…………10分【考点】集合的运算及指数函数的性质．60.设全集U={x∈N+|x＜6}，集合A={1，3}，B={3，5}，则∁U（A∪B）=（）A．{1，4} B．{1，5} C．{2，4} D．{2，5}【答案】C【解析】【考点】集合运算61.已知全集，集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，所以，故选B.【考点】集合的运算.62.设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x|x=b﹣a，a∈A，b∈B}，则C中元素的个数是（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由题意可知集合C为，共4个元素【考点】集合运算63.已知，.（1）若，求；（2）若，求实数的取值范围.【答案】（1）;(2)【解析】（1）将代入到不等式中可得集合，再对集合进行求交集运算；（2）由题意，集合是集合的子集，得，则可得到实数的取值范围.试题解析：（1）当时，所以．（2）因为，则，即，所以实数的取值范围为．64.已知集合，，且，则实数的取值范围是( )A．或B．C．或D．【答案】D【解析】依题意，由于是的子集，所以，解得.65.若集合，．(1)若全集，求；(2)若，求实数的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析:（1）解一元二次不等式可求得集合的取值范围，由此求得其补集；（2）由于，所以是的子集，故的左端点不大于，即.试题解析：（1），∴．（2），由，得，则有．66.若，则．【答案】．【解析】因为，所以,所以．【考点】集合间的交运算．67.已知集合，，则__________．【答案】【解析】由得：，则，故答案为.68.已知集合，集合，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，则，应选答案B。

高一数学第一册考点回顾 n a }一组对象的全体. x A ∈Ａ的子集有真子集有2,A B B ⊆⊆{|x B A ={|x B A ={|U x x A =2n n a a n++≥（正数2||(,ab R ≥∈当且仅当32a b +≥，33a b ++33b c abc ++≥（a b +3a b c ++ ⇒(3a b c ++≤{4}-，不能写成()f x 为奇函数。

这两个式子有意义的前提条件是：定义域关于原点对称。

确定奇偶性方法有定义法、图像法等；如判断函数(f）奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性；偶函数在对称的单调区间内有相反单调性；；定义域含零的奇函数必过原点(1,2)②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性③根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内单调性.研究内外层函数的单调性的关系；的取值范围是翻折变换()|()|f x f x→；()(||)f x f x→.注意翻折时机和翻折的本质：如|3|2xy-=由||2xy=向右平移3单位求函数值域（最值）的方法配方法二次函数（二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间[,]m n上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。

求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意“两看”：一看开口方向；二看对称轴与所给区间的相对位置关系），如求函数225,[1,2]y x x x=-+∈-的值域（答：[4,8]）；换元法通过换元把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，如211y x x=++-的值域为_____（答：(3,)+∞）（令1x t-=，0t≥。

运用换元法时，要特别要注意新元t的范围）；有界性利用已学过函数的有界性，确定值域，最常用的就是三角函数的有界性，如2sin11sinyθθ-=+1(,]2-∞单调性利用一次函数，反比例函数，指数函数，对数函数等函数的单调性，如求229sin1siny xx=++；11[,9]2；数形结合函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离、直线斜率、等等，如已知点(,)P x y在圆221x y+=上，求2yx+的取值范围（答：33[,]33-）；求22(2)(8)y x x=-++的值域（答：[10,)+∞）；判别式求21xyx=+的值域（答：11[,]22-）；不等式利用基本不等式2(,)a b ab a b R++≥∈求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧。

第一章集合与常用逻辑用语集合的概念
集合间的基本关系
全称量词与存在量词
集合的基本运算
充分条件与必要条件
定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体
叫做集合（简称为集）
集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性.
集合的表示方法：列举法、描述法
空集：∅，空集是任何集合的子集
子集：集合A为集合B的子集，记作或
真子集：集合A是集合B的真子集，记作或
或
且
且
若则是的充分条件是的必要条件
若则是的充要条件，也是的充要条件
全称量词命题：
存在量词命题：
否定：
否定：
集合与元素的字母表示：通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示集合，
用小写拉丁字母a,b,c,…表示集合中的元素
元素与集合的关系：。

高一数学第一章集合与常用逻辑用语好嘞，今天咱们聊聊高一数学的第一章，集合与常用逻辑用语。

听起来有点儿高深，但其实挺有趣的，像是一场数学的冒险。

集合这个词，听起来是不是有点像“大杂烩”？对，就是把不同的东西放到一起的感觉。

想象一下，咱们把各种水果放到一个篮子里，苹果、香蕉、橘子，统统都来了。

这就是集合。

它可以包含任何东西，比如数字、字母，甚至你最喜欢的动画角色。

把这些东西放到一起，就成了一个集合。

要是你问我，“嘿，集合里有什么？”我会说：“看你想要什么呀！我这儿有无限可能！”哈哈，没错，集合就这么简单又神奇。

然后呢，咱们得聊聊集合的运算。

听起来有点儿复杂，但其实就像打游戏一样。

咱们可以把集合进行并、交、补等操作。

并集就是把两个集合合起来，想象一下把你和朋友的零食合在一起，太完美了！交集嘛，就是找到两个集合里都存在的元素。

就好比你和朋友都是篮球迷，爱看的都是詹姆斯的比赛，那你们的共同爱好就是交集啦。

至于补集，简单来说就是集合外的那些东西。

就像你在学校里，咱们班的同学就是一个集合，而不在班里的同学就是补集。

数学可真有意思，让人忍不住想继续探索下去。

逻辑用语登场了！逻辑就像是数学的语言，表达方式别提多重要了。

有些小伙伴可能会觉得，逻辑和数学好像没什么关系，但其实是密不可分的。

想象一下，你在班级里开会，得说服大家去参加一次活动。

你要用逻辑，清晰地表达理由，才能让大家心服口服。

比如，“如果咱们去爬山，那就能锻炼身体”，这就是一个条件句。

听着就让人想动一动，对吧？逻辑用语的“如果……那么……”这种结构，让咱们表达观点时更有说服力。

除了“如果……那么……”，还有“并且”和“或者”，这两个小家伙就像是数学的调味料。

并且，表示两者同时成立，像你吃饭的时候，既要有米饭又要有菜，才能吃得饱饱的。

而“或者”就有趣多了，给你选择的自由。

就像你今天想喝可乐还是果汁，随便你，反正你都能爽一把。

用这些逻辑用语，我们可以搭建出严密的数学论证，简直就像建房子一样，一层一层的，稳稳当当。

高中数学必修一第一章集合与常用逻辑用语知识点汇总单选题1、设集合A={1,2},B={2,4,6}，则A∪B=（）A．{2}B．{1,2}C．{2,4,6}D．{1,2,4,6}答案：D分析：利用并集的定义可得正确的选项.A∪B={1,2,4,6}，故选：D.2、已知集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}，则M∪N=（）A．{x|x=6k+2,k∈Z}B．{x|x=4k+2,k∈Z}C．{x|x=2k+1,k∈Z}D．∅答案：C分析：通过对集合N的化简即可判定出集合关系，得到结果.因为集合M={x|x=2k+1,k∈Z}，集合N={y|y=4k+3,k∈Z}={y|y=2(2k+1)+1,k∈Z}，因为x∈N时，x∈M成立，所以M∪N={x|x=2k+1,k∈Z}.故选：C.3、已知集合S={x∈N|x≤√5}，T={x∈R|x2=a2}，且S∩T={1}，则S∪T=（）A．{1，2}B．{0，1，2}C．{-1，0，1，2}D．{-1，0，1，2，3}答案：C分析：先根据题意求出集合T，然后根据并集的概念即可求出结果.S={x∈N|x≤√5}={0,1,2}，而S∩T={1}，所以1∈T，则a2=1，所以T={x∈R|x2=a2}={−1,1}，则S∪T={−1,0,1,2}故选：C.4、已知p：√x−1>2，q：m−x<0，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是（）A．m<3B．m>3C．m<5D．m>5答案：C分析：先求得命题p、q中x的范围，根据p是q的充分不必要条件，即可得答案.命题p：因为√x−1>2，所以x−1>4，解得x>5，命题q：x>m，因为p是q的充分不必要条件，所以m<5.故选：C5、已知集合A＝{x|－1<x<1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（）A．{x|0≤x<1}B．{x|－1<x≤2}C．{x|1<x≤2}D．{x|0<x<1}答案：B分析：由集合并集的定义可得选项.解：由集合并集的定义可得A∪B＝{x|－1<x≤2}，故选：B.6、已知集合P={x|x=2k−1,k∈N∗}和集合M={x|x=a⊕b，a∈P，b∈P}，若M⊆P，则M中的运算“⊕”是（）A．加法B．除法C．乘法D．减法答案：C分析：用特殊值，根据四则运算检验．若a=3,b=1，则a+b=4∉P，a−b=2∉P，ba =13∉P，因此排除ABD．故选：C．7、等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，设甲：q>0，乙：{S n}是递增数列，则（）A．甲是乙的充分条件但不是必要条件B．甲是乙的必要条件但不是充分条件C．甲是乙的充要条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件答案：B分析：当q>0时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当{S n}是递增数列时，必有a n>0成立即可说明q> 0成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．由题，当数列为−2,−4,−8,⋯时，满足q>0，但是{S n}不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．若{S n}是递增数列，则必有a n>0成立，若q>0不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则q>0成立，所以甲是乙的必要条件．故选：B．小提示：在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程．8、设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（）A．–4B．–2C．2D．4答案：B分析：由题意首先求得集合A,B，然后结合交集的结果得到关于a的方程，求解方程即可确定实数a的值.求解二次不等式x2−4≤0可得：A={x|−2≤x≤2}，}.求解一次不等式2x+a≤0可得：B={x|x≤−a2=1，解得：a=−2.由于A∩B={x|−2≤x≤1}，故：−a2故选：B.小提示：本题主要考查交集的运算，不等式的解法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.多选题9、下列条件中，为“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有（）A．0≤m<4B．0<m<2C．1<m<4D．−1<m<6答案：BC分析：对m讨论：m=0；m>0，Δ<0；m<0，结合二次函数的图象，解不等式可得m的取值范围，再由充要条件的定义判断即可.因为关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，当m=0时，原不等式即为1>0恒成立；当m>0时，不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立，可得Δ<0，即m2−4m<0，解得：0<m<4.当m<0时，y=mx2−mx+1的图象开口向下，原不等式不恒成立，综上：m的取值范围为：[0,4).所以“关于x的不等式mx2−mx+1>0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件的有0<m<2或1<m<4.故选：BC.10、某校举办运动会，高一的两个班共有120名同学，已知参加跑步､拔河､篮球比赛的人数分别为58，38，52，同时参加跑步和拔河比赛的人数为18，同时参加拔河和篮球比赛的人数为16，同时参加跑步､拔河､篮球三项比赛的人数为12，三项比赛都不参加的人数为20，则（）A．同时参加跑步和篮球比赛的人数为24B．只参加跑步比赛的人数为26C．只参加拔河比赛的人数为16D．只参加篮球比赛的人数为22答案：BCD分析：设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得集合的元素个数关系．设同时参加跑步和篮球比赛的人数为x，由Venn图可得，58+38+52−18−16−x+12=120−20，得x=26，则只参加跑步比赛的人数为58−18−26+12=26，只参加拔河比赛的人数为38−16−18+12= 16，只参加篮球比赛的人数为52−16−26+12=22.故选：BCD．11、对于集合M，N，我们把属于集合M但不属于集合N的元素组成的集合叫作集合M与N的“差集”，记作M−N，即M−N={x|x∈M，且x∉N}；把集合M与N中所有不属于M∩N的元素组成的集合叫作集合M与N的“对称差集”，记作MΔN，即MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}.下列四个选项中，正确的有（）A．若M−N=M，则M∩N=∅B．若M−N=∅，则M=NC．MΔN=(M∪N)−(M∩N)D．MΔN=(M−N)∪(N−M)答案：ACD分析：根据集合的新定义得到A正确，当M⊆N时，M−N=∅，B错误，根据定义知C正确，画出集合图形知D正确，得到答案.若M−N=M，则M∩N=∅，A正确；当M⊆N时，M−N=∅，B错误；MΔN={x|x∈M∪N，且x∉M∩N}=(M∪N)−(M∩N)，C正确；MΔN和(M−N)∪(N−M)均表示集合中阴影部分，D正确.故选：ACD.填空题12、已知集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，则A∩B=______．答案：(2,3)分析：利用交集定义直接求解．解：∵集合A=(1,3)，B=(2,+∞)，∴A∩B=(2,3)．所以答案是：(2,3)．13、已知集合A={−1,3,0},B={3,m2}，若B⊆A，则实数m的值为__________.答案：0分析：解方程m2=0即得解.解：因为B⊆A，所以m2=−1（舍去）或m2=0，所以m=0.所以答案是：014、集合A={x|(x−1)(x2+ax+4)=0,x∈R}中所有元素之和为3，则实数a=________．答案：−4分析：由(x−1)(x2+ax+4)=0得x1+x2+x3=1−a，即可求解参数．由(x−1)(x2+ax+4)=0得x−1=0或x2+ax+4=0所以x1=1∈A，x2+ax+4=0，当Δ=a2−16=0时，x=2是方程x2+ax+4=0的根，解得a=−4，当Δ>0时，若方程x2+ax+4=0的一根为1，则a=−5，方程的另一根为4，不合题意；若1不是方程x2+ax+4=0的根，则方程两根x2+x3=−a=2，此时a=−2不满足Δ>0，舍去. 所以答案是：−4．解答题15、已知M＝{x|2≤x≤5}，N＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}．(1)若M⊆N，求实数a的取值范围；(2)若M⊇N，求实数a的取值范围．答案：(1)a∈∅(2)a≤3分析：（1）利用M⊆N，建立不等关系即可求解；（2）利用M⊇N，建立不等关系即可求解，注意当N＝∅时，也成立（1）∵M⊆N，∴{a+1≤22a−1≥5，∴a∈∅；（2）①若N＝∅，即a+1＞2a﹣1，解得a＜2时，满足M⊇N．②若N≠∅，即a≥2时，要使M⊇N成立，则{a+1≥22a−1≤5，解得1≤a≤3，此时2≤a≤3．综上a≤3．。

高一数学必修第一册知识点第一章集合与常用逻辑用语1元素：研究的对象统称为元素，用小写拉丁字母 ,,,c b a 表示，元素三大性质：互异性，确定性，无序性．2集合：一些元素组成的总体叫做集合，简称集，用大写拉丁字母 ,,,C B A 表示．3集合相等：两个集合B A ,的元素一样，记作B A ．4元素与集合的关系：①属于：A a ;②不属于：A a ．5常用的数集及其记法：自然数集N ；正整数集 N N 或*；整数集Z ；有理数集Q ；实数集R ．6集合的表示方法：①列举法：把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法；②描述法：把集合中所有具有共同特征)(x P 的元素x 所组成的集合表示为})(|{x P A x 的方法；③图示法(Ve nn 图)：用平面上封闭曲线的内部代表集合的方法．7集合间的基本关系：子集：对于两个集合B A ,，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，就称集合A 为集合A 的子集，记作，读作A 包含于B ；真子集：如果B A ，但存在元素B x ，且A x ，就称集合A 是集合B 的真子集，记作A B ，读作A 真包含于B ．8空集：不含任何元素的集合，用 表示，空集的性质，空集是任何集合的子集，是任何集合的真子集．9集合的基本运算：并集},|{B x A x x B A 或 ；交集},|{B x A x x B A 且 ；补集},|{A x U x x A C U且(U 为全集，全集是含有所研究问题中涉及的所有元素)．运算性质：B A B B A ；B A A B A ；A A ； A ；U C U C A A C C U U U U ,,)(，)()()(),()()(B A C B C A C B A C B C A C UU U U U U ．10充分条件与必要条件：一般地，“若p ，则q ”为真命题，p 可以推出q ，记作q p ，称p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；p 是q 的条件的四种类型：若q q p , p ，则p 是q 的充分不必要条件；若p p q , q ，则p 是q 的必要充分不条件；若q p ，则p 是q 的充要条件；若p q ，q p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．11全称量词及全称量词命题：短语“所有的”，“任意一个”在逻辑中叫做全称量词，并用符号 表示，含有全称量词的命题成为全称量词命题．12存在量词及存在量词命题：短语“存在一个”，“至少有一个”在逻辑中叫做存在量词，并用符号 表示，含有存在量词的命题成为存在量词命题．13全称量词命题与存在量词命题的否定：全称量词命题的否定是存在量词命题；存在量词命题的否定是全称量词命题．第二章一元二次函数、方程不等式1不等式的性质不等式的性质：①对称性a b b a ；②传递性,a b b c a c ；③可加性a b a c b c ；④可乘性,0a b c ac bc ，,0a b c ac bc ；⑤同向可加性,a b c d a c b d ；⑥同向可乘性0,0a b c d ac bd ；⑦可乘方性 0,1nna b a b n n ；⑧可开方性 0,1nna b ab n n．⑨可倒数性bab a 11．2重要不等式：若R b a ,，则ab b a 222，当且仅当b a 时等号成立．3基本不等式：若0a ，0b ，则2a b ab，即2abab，当且仅当b a 时等号成立．4不等式链：若0a ，0b ，则baabbab a1122222，当且仅当b a 时等号成立；一正二定三相等．5一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式．6一元二次不等式的解法：二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：判别式24b ac0 0 0 二次函数2y a x b x c0a的图象一元二次方程2a xb x 0c0a的根有两个相异实数根1,22b x a12x x 有两个相等实数根122bx x a没有实数根一元二次不等式的解集20a x b x c 0a 12x xx x x 或2bx xaR2a xb x c0a12x x x x第三章函数的概念与性质1函数的概念：一般地，设B A ,是非空的实数集，如果对于集合A 中的任意一个数x ，按照某种确定的对应关系f ，在集合B 中都有唯一确定的数y 与它对应，那么就称B A f :为从集合A 到集合B 的一个函数，记作A x x f y ),(，其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域，与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合}|)({A x x f 叫做函数的值域，值域是集合B 的子集．2函数的三要素：定义域、对应关系、值域．求函数定义域的原则：(1)若 f x 为整式，则其定义域是R ；(2)若 f x 为分式，则其定义域是使分母不为0的实数集合；(3)若 f x 是二次根式(偶次根式)，则其定义域是使根号内的式子不小于0的实数集合；(4)若 0f x x ，则其定义域是 0x x ；(5)若 0,1xf x aaa ，则其定义域是R ；(6)若 lo g 0,1af x x aa ，则其定义域是 0xx；(7)若x x f t a n )( ，则其定义域是},2|{Z k k x x；求函数值域的方法：配方法，换元法，图象法，单调性法等；求函数的解析式的方法：待定系数法，换元法，配凑法，方程组法等；3函数的表示方法：解析法(用函数表达式表示两个变量之间的对应关系)、图象法(用图象表达两个变量之间的对应关系)、列表法(列出表格表示两个变量之间的对应关系)．4分段函数：在定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有不同对应关系的函数．6函数的单调性：(1)单调递增：设任意D x x 21,(I D ,I 是 f x 的定义域)，当12x x 时，有12()()f x f x .特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为增函数；(2)单调递减：设任意D x x 21,(I D ,I 是 f x 的定义域)，当12x x 时，有12()()f x f x.特别的，当函数在它的定义域上单调递增时，该函数称为减函数．7单调区间：如果函数在区间上单调递增或单调递减，那么就说函数在这一区间有(严格的)单调性，区间就叫做函数的单调区间，单调区间分为单调增区间和单调减区间．8复合函数的单调性：同增异减．9函数的最大值、最小值：一般地，设函数)(x f y 的定义域为I ，如果存在实数M 满足:I x ,都有))(()(M x f M x f ；I x 0使得M x f )(0，那么称M 是函数的最大(小)值．10函数的奇偶性：偶函数：一般地，设函数)(x f y 的定义域为I ，如果I x ，都有I x ，且)()(x f x f ，那么函数叫做偶函数；偶函数的图象关于y 轴对称；偶函数)(x f y 满足|)(|)()(x f x f x f ；奇函数：一般地，设函数)(x f y 的定义域为I ，如果I x ，都有I x ，且)()(x f x f ，那么函数叫做奇函数；奇函数的图象关于原点对称；若奇函数)(x f y 的定义域中有零，则其函数图象必过原点，即(0)0f .11幂函数：一般地，函数 x y 叫做幂函数，其中x 是自变量， 是常数．12幂函数 f x x 的性质：①所有的幂函数在 0, 都有定义，并且图象都通过点 1,1；②如果0 ，则幂函数的图象过原点，并且在区间 0, 上是增函数；③如果0 ，则幂函数的图象在区间 0, 上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于 时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；④在直线1 x 的右侧，幂函数图象“指大图高”；⑤幂函数图象不出现于第四象限．第四章指数函数与对数函数1、n 次方根与分数指数幂、指数幂运算性质(1)若nx a ，则 n na n xa n为奇数为偶数；(2)n n a n a n a为奇数为偶数；(3)()nna a ；(4)*(0,,,1)mnmn a a am n N n 且；(5)*1(0,,1)m nnmaam n N n a,且；(6)0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义.(7) 0,,r s r s a a a a r s R ；(8) ()0,,r s r s a a a r s R ；(9) ()0,0,,r r r ab a b a b r s R .2、对数、对数运算性质(1) lo g 0,1x a a N x N a a ；(2) lo g 100,1aa a ；(3) lo g 10,1aaa a ；(4)； lo g 0,1a NaNaa ；(5) lo g 0,1maam a a ；(6) lo g ()lo g lo g 0,1,0,0aaaM N MN aa ；(7) lo g lo g lo g 0,1,0,0aaaM MN aa N；(8) lo glo g 0,1,0naaMn M aa ；(9)换底公式 lo g lo g 0,1,0,0,1lo g c a c b b aa b c c a；(10)l o g l o g 0,1,,*mna a n bb aa n m Nm；(11) 1lo g lo g 0,1,0,naa MM aa M n R n；(12) lo g lo g lo g 10,1,0,1,0,1a b c b c a a a b b c c .3、指数函数)1,0( a a a y x且及其性质：①定义域为 , ；②值域为 0, ；③过定点 0,1；④单调性：当1a 时，函数 f x 在R 上是增函数；当01a 时，函数 f x 在R 上是减函数；⑤在y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高”．4、对数函数)1,0(lo ga ax y a且及其性质：①定义域为 0, ；②值域为 , ；③过定点 1,0；④单调性：当1a 时，函数f x 在 0, 上是增函数；当01a 时，函数 f x 在 0, 上是减函数；⑤在直线1 x 的右侧，对数函数的图象“底大图低”．5指数函数xa y 与对数函数)1,0(lo g a a x y a且互为反函数，它们的图象关于直线x y 对称．6不同函数增长的差异：线性函数模型)0( k b kx y 的增长特点是直线上升，其增长速度不变；指数函数模型)1( a a y x的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，呈“指数爆炸”状态；对数函数模型)1(lo g a x y a的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大速度越来越慢，即增长速度平缓；幂函数模型)0( n x y n的增长速度介于指数函数和对数函数之间．7函数的零点：在函数)(x f y 的定义域内，使得0)( x f 的实数x 叫做函数的零点．8零点存在性定理：如果函数 f x 在区间 ,a b 上的图象是连续不断的一条曲线，且有0f a f b ，那么函数y f x在区间 ,a b 内至少有一个零点，即存在 ,c a b ，使得0f c ，这个c 也就是方程 0f x 的根.9二分法：对于区间],[b a 上图象连续不断且 0f a f b 的函数)(x f y，通过不断把它的零点所在区间一分为二，使得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．10给定精确度 ，用二分法求函数)(x f y 零点0x 近似值的步骤：⑴确定零点0x 的初始区间 ,a b ，验证 0f a f b ；⑵求区间 ,a b 的中点c ；⑶计算)(c f ，并进一步确定零点所在的区间；①若0)( c f ，则c 就是函数的零点；②若0)()( c f a f (此时),(0c a x )，则令c b ；③若0)()( b f c f (此时),(0b c x )，则令c a ；⑷判断是否达到精确度 ：若a b ，则得到零点的近似值a (或b )；否则重复上面的⑵至⑷.第五章三角函数1任意角的分类：按终边的旋转方向分：正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角2象限角：角 的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称 为第几象限角．第一象限角的集合为 36036090,k k k ;第二象限角的集合为 36090360180,k k k ;第三象限角的集合为 360180360270,k k k ;第四象限角的集合为360270360360,k k k 角 的终边不在任何一个象限，就称这个角不属于任何一个象限终边在x 轴非负半轴的角的集合},2|{Z k k ；终边在x 轴非正半轴的角的集合},2|{Z k k ；终边在y 轴非负半轴的角的集合},22|{Z k k；终边在y 轴非正半轴的角的集合},22|{Z k k；终边在x 轴的角的集合},|{Z k k ；终边在y 轴的角的集合},2|{Z k k；终边在坐标轴的角的集合},2|{Z kk；2终边相同的角：与角 终边相同的角的集合为 360,k k ．3弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度．4角度与弧度互化公式：2360 ，1180 ，180157.3．5扇形公式：半径为r 的圆的圆心角 所对弧的长为l ，则角 的弧度数的绝对值是lr ．若扇形的圆心角为 为弧度制，半径为r ，弧长为l ，周长为C ，面积为S ，则l r ，2Cr l ，21122S l rr．6三角函数的概念：设 是一个任意大小的角， 的终边上任意一点P 的坐标是 ,x y ，它与原点的距离是 220r r xy，则si n y r，c os x r， t a n 0y xx．7三角函数的符号：一全正二正弦三正切四余弦．8记忆特殊角的三角函数值：15 30 45 60759012013515018027036012643125 232 43 65232 sin 426212223426123222101c os4262322214260212223101t a n 321332不存在3133不存在9同角三角函数的基本关系：221si n c os 1 ， 2222si n 1c os ,c os 1si n ；si n 2t a n c ossi n sinta n c os ,c os t a n．10诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限．1si n 2si n k ， c os 2c os k ， t a n 2t a n k k ．2si n si n， c os c os ， t a n t a n ． 3si n si n ， c os c os ， t a n t a n ． 4si n si n， c os c os ， t a n t a n ．5si n c os 2，c os si n 2 ． 6si n c os 2 ，c os si n 2．11三角函数的图象与性质：si n yxc os yxt a n yx图象定义域RR,2x xk k值域1,11,1 R函数性质12两角和差的正弦、余弦、正切公式：(1) c os c os c os si n si n ；(2) c os c os c os si n si n ；(3) si n si n c os c os si n ；(4) si n si n c os c os si n ；(5) t a n t a n t a n 1t a n t a n( t a n t a n t a n 1t a n t a n )；(6) t a n t a n t a n 1t a n t a n( t a n t a n t a n 1t a n t a n )．13二倍角公式：(1)si n 22si n c os ；(2)2222c os 2c os si n 2c os 112si n ；(2c os 21c os 2 ，21c os 2si n 2)；(3)22t a n t a n 21t a n ；14半角公式：(1)2c os 12sin ；(2)2c os12c os；(3)c os 1c os12t a n；(4)c os 1sin sin c os 12t a n15辅助角公式：的终边上在角点其中 ),(,t a n ),sin (c ossin 22b a ab xb axb xa．最值当22x kk时，m a x1y ；当22x kk时，m i n 1y ．当 2x k k 时，m a x1y ；当2x kk时，m i n 1y ．既无最大值也无最小值周期性22奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在2,222k kk上是增函数；在32,222k kk上是减函数．在2,2k k k上是增函数；在2,2k k k上是减函数．在,22k kk上是增函数．对称性对称中心 ,0k k 对称轴2x k k对称中心 ,02k k对称轴x k k 对称中心 ,02k k无对称轴16函数b x A y )sin ( 的图象与性质：图象变换：（1）先平移后伸缩：函数si n y x 的图象上所有点向左(右)平移 个单位长度，得到函数 si n yx 的图象；再将函数 si n y x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数 si n y x 的图象；再将函数 si n y x 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变)，得到函数 si n y x 的图象．（2）先伸缩后平移：函数si n y x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的1倍(纵坐标不变)，得到函数si n y x 的图象；再将函数si n y x 的图象上所有点向左(右)平移个单位长度，得到函数 si n y x 的图象；再将函数 si n y x 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的 倍(横坐标不变)，得到函数 si n y x 的图象．五点法画图函数 si n 0,0y x 的性质：①定义域为R ；②值域为],[A A ；③单调性：根据函数x y sin 的单调区间求函数的单调区间；④奇偶性：当Z k k , 时，函数 si n y x 是奇函数；当Z k k ,2时，函数si n yx 是偶函数；⑤周期：2T ；⑥对称性：根据函数x y sin 的对称性研究函数的对称性1217函数B x A y )sin ( 的应用①振幅：A ；②周期：2 ；③频率：12f；④相位：x ；⑤初相： ．⑥最值：函数B x A y )sin ( ，当1x x 时，取得最小值为m i n y ；当2x x 时，取得最大值为m a xy，则 m a xm i n 12y y， m a xm i n 12y y，21122x x x x．。