逻辑函数的卡诺图化简法

逻辑函数的卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图化简法由前面的学习得知，利用代数法可以使逻辑函数变成较简单的形式。

但要求熟练掌握逻辑代数的基本定律，而且需要一些技巧，特别是经化简后得到的逻辑表达式是否是最简式较难确定。

运用卡诺图法可以较简便的方法得到最简表达式。

但首先需要了解最小项的概念。

一、最小项的定义及其性质1.最小项的基本概念由A、B、C三个逻辑变量构成的许多乘积项中有八个被称为A、B、C的最小项的乘积项，它们的特点是1. 每项都只有三个因子2. 每个变量都是它的一个因子3. 每一变量或以原变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，或以反（非）变量(Ａ、Ｂ、Ｃ)的形式出现，各出现一次一般情况下，对ｎ个变量来说，最小项共有2n个，如n ＝3时，最小项有23＝8个2.最小项的性质为了分析最小项的性质，以下列出３个变量的所有最小项的真值表。

由此可见，最小项具有下列性质：（1）对于任意一个最小项，只有一组变量取值使得它的值为1，而在变量取其他各组值时，这个最小项的值都是0。

（2）不同的最小项，使它的值为1的那一组变量取值也不同。

（3）对于变量的任一组取值，任意两个最小项的乘积为0。

（4）对于变量的任一组取值，全体最小项之和为1。

3.最小项的编号最小项通常用mi表示，下标i即最小项编号，用十进制数表示。

以ABC为例，因为它和011相对应，所以就称ABC是和变量取值011相对应的最小项，而011相当于十进制中的3，所以把ABC记为m3按此原则，3个变量的最小项二、逻辑函数的最小项表达式利用逻辑代数的基本公式，可以把任一个逻辑函数化成一种典型的表达式，这种典型的表达式是一组最小项之和，称为最小项表达式。

下面举例说明把逻辑表达式展开为最小项表达式的方法。

例如，要将化成最小项表达式,这时可利用的基本运算关系,将逻辑函数中的每一项都化成包含所有变量A、B、C的项，然后再用最小项下标编号来代表最小项，即又如，要将化成最小项表达式，可经下列几步：（1）多次利用摩根定律去掉非号，直至最后得到一个只在单个变量上有非号的表达式；（2）利用分配律除去括号，直至得到一个与或表达式；（3）在以上第5个等式中，有一项AB不是最小项（缺少变量C），可用乘此项，正如第6个等式所示。

（完整版）逻辑函数的卡诺图化简法第⼗章数字逻辑基础补充：逻辑函数的卡诺图化简法1．图形图象法：⽤卡诺图化简逻辑函数，求最简与或表达式的⽅法。

卡诺图是按⼀定规则画出来的⽅框图。

优点：有⽐较明确的步骤可以遵循，结果是否最简，判断起来⽐较容易。

缺点：当变量超过六个以上，就没有什么实⽤价值了。

公式化简法优点：变量个数不受限制缺点：结果是否最简有时不易判断。

2．最⼩项（1）定义：是⼀个包括所有变量的乘积项，每个变量均以原变量或反变量的形式出现⼀次。

注意：每项都有包括所有变量，每个乘积它中每个变量出现且仅出项1次。

如：Y=F （A ，B ）（2个变量共有4个最⼩项B A B A B A AB ）Y=F （A ，B ，C ）（3个变量共有8个最⼩项C B A C B A C B A BC A C B AC B A C AB ABC ）结论： n 变量共有2n 个最⼩项。

三变量最⼩项真值表（2）最⼩项的性质①任⼀最⼩项，只有⼀组对应变量取值使其值为1：②任意两个最⼩项的乘种为零；③全体最⼩项之和为1。

（3）最⼩项的编号：把与最⼩项对应的变量取值当成⼆进制数，与之相应的⼗进制数，就是该最⼩项的编号，⽤m i 表⽰。

3．最⼩项表达式——标准与或式任何逻辑函数都可以表⽰为最⼩项之和的形式——标准与或式。

⽽且这种形式是惟⼀的，即⼀个逻辑函数只有⼀种最⼩项表达式。

例1．写出下列函数的标准与或式：Y=F(A,B,C)=AB+BC+CA 解：Y=AB(C +C)+BC(A +A)+CA(B +B)=ABC C B A ABC BC A ABC C AB +++++ =ABC C B A BC A C AB +++ =3567m m m m +++例2.写出下列函数的标准与或式：C B AD AB Y ++=解：))()(C B D A B A Y +++=（ ))((C B D B A ++= D C B C A B A B A +++=D C B A D C B A C B A C B A BC A ++++=D C B A D C B A D C B A D C B A D C B A D BC A BCD A ++++++=_ 8014567m m m m m m m ++++++=＝）8,7,6,5,4,1,0(m ∑ 列真值表写最⼩项表达式。

数字电路基础 120 第7章 A ACD CE DE =+++（吸收律） A CD CE DE =+++（吸收律） A CD (C =+++A CD CDE =++（摩根定律） A CD E =++（吸收律） 例7.12 化简逻辑式 Y B(ABC AB ABC)=++ 解： Y B(ABC AB ABC)=++B[AB(C C)AB]++B(AB AB)+（吸收律） AB =（吸收律） 配项法与合项法相反，就是给某个与项乘上A A +，以寻找新的组合关系，使化简继续进行。

例7.13 化简逻辑式Y AB BC BC AB =+++ 解： Y AB BC BC AB =+++ AB(C C)BC(A A)BC AB =+++++（配项法） ABC ABC ABC ABC BC AB =+++++(ABC BC)AC(B B)ABC AB =+++++ （合并）BC AC AB =++（吸收律） 7.4.5 逻辑函数的卡诺图化简逻辑函数的代数法化简法由于没有统一的规范，通常需要个人的经验和技巧。

因此，对于较复杂的逻辑函数用代数法化简往往很麻烦，而且化简的逻辑函数是否为最简式有时也不容易判断。

下面介绍的逻辑函数化简方法是由美国工程师卡诺（Karnaugh ）在1953年首先提出的，故称为卡诺图法。

利用卡诺图化简逻辑函数比较直观方便，容易化为最简形式。

因此，在逻辑电路设计中被广泛应用。

1．最小项和最小项表达式（1）最小项的概念。

最小项：n 个变量X 1，X 2，…X n 的最小项，是n 个变量的逻辑乘，每一个变量既可以是原变量X i ，也可以是反变量X i 。

每一个变量均不可缺少。

如有A ，B 两个变量时，最小项为：AB ，AB ，AB ，AB ，共有22 =4个最小项。

以此类推，3个变量就有8个最小项；4个变量有16个最小项。

最小项用小写字母m 表示，它们的下标的数字为二进制数相对应的十进制数的数值。