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空间力系

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力学第三章空间力系

力学第三章空间力系

第三章空间力系二、基本内容1. 基本概念1) 力在空间直角坐标轴的投影(a) 直接投影法：巳知力F 和直角坐标轴夹角a 、丫,则力F 在三个轴上的投 影分别为X = F cos aZ = Feos/(b) 间接投影法(即二次投影法)：巳知力F 和夹角八°,则力F 在三个轴上的 投影分别为X = F sin/cos^9Y = F sin/sin 。

Z = F cos/2) 力矩的计算(a) 力对点之矩—、目的和要求能熟练地计算力在空间直角坐标轴上的投影。

熟练掌握力对点之矩与力对轴之矩的计算。

对空间力偶的性质及其作用效应有清晰的理解。

了解空间力系向一点简化的方法，明确空间力系合成的四种结果。

能正确地画出各种常见空间的约束反力。

会应用各种形式的空间力系平衡方程求解简单空间平衡问题。

对平行力系中心和重心应有清晰的概念，能熟练地应用坐标公式求物体 的重心。

1、2、3、4、5、6^ 7、在空间情况下力对点之矩为一个定位矢量，其定义为i j kM0(F) = rx F = x y z = (yZ - zY)i + (zX - xZ)j + (xY - yX)kX Y Zr = xi + yj + zk F = Xi+ Yj + Zk其中尸为力尸作用点的位置矢径(b)力对轴之矩在空间情况下力对轴之矩为一代数量，其大小等于此力在垂直于该轴的平面上的投影对该轴与此平面的交点之矩，其正负号按右手螺旋法则来确定，即M Z(F) = ±F u,h = +2AOAB在直角坐标条下有Mx (乃=yZ-zY M y (F)=zX-xZ M z (F) =xY-yX(c)力矩关系定理力对己知点之矩在通过该点的任意轴上的投影等于同一力对该轴之矩。

在直角坐标系下有Mo(F)^M x(F)i+My(F)j+M2(F)k(d)合力矩定理空间力系的合力对任一点之矩等于力系中各力对同一点之矩的矢量和，即Mo g)二 W, (F)空间力系的合力对任一轴(例如z轴)之矩等于力系中各力对同一轴之矩的代数和，即M z(F R)=ZM z(F)=Z(xY-yX)3)空间力偶及其等效条件(a)力偶矩矢空间力偶对刚体的作用效果决定于三个要素(力偶矩大小、力偶作用面方位及力偶的转向)，它可用力偶矩矢肱表示。

工程力学第五章 空间力系

工程力学第五章 空间力系

cos(k, MO (F ))
Mz MO (F )
0.25
§4 - 3 空间力系向一点简化
仍设物体上只作用三个力F1 、 F2 和 F3 ， 它们组成空间任意力系，在空间内任意取一 O 点，
分别将三力向此点简化。
右击
三按钮功能相同
O点称为简化中心；
R’ =F1’ + F2’ + F3’; M = M1 + M2 + M3 ; 对于力的数目为 n 的空间任意力系，推广为：
解：受力分析如图
W = 200N
∑X = 0， XA + XB－T cos30ºsin30 º= 0 ∑Y = 0， YA － T cos30 ºcos30 º= 0 ∑Z = 0， ZA + ZB － W + T sin30 º= 0
d MO MO sin
R
R
4、空间力系简化为平衡的情形
主矢R’ = 0；主矩M O = 0
§4 - 5 空间力系的平衡方程
由： R ( X )2 (Y)2 ( Z)2 0
MO [ M x (F )]2 [ M y (F )]2 [ M z (F )]2 0
合力矩定理
MO
O
O
O R’
R” d R’
d
R
R
R =∑Fi ，d= |MO| / R
∵力偶（R，R’’）的矩MO等于R 对O点的矩，即
MO = MO(R) ，而又有 MO = ∑MO(F)
∴得关系式
MO( R ) = ∑MO(F )
即：空间任意力系的合力对于任意一点的矩等于
各分力对同一点的矩的矢量和。
阴影部分的面积。

理论力学 第四章 空间力系

理论力学 第四章 空间力系

r FR = 0
∑F = 0
x
∑F = 0
y
称为空间汇交力系的平衡方程. 称为空间汇交力系的平衡方程. 空间汇交力系平衡的充要条件：该力系中所有 空间汇交力系平衡的充要条件： 充要条件 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零. 各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别为零.
例 题 1
求： 绳的拉力和墙体的约束反力 。
=
=
F = F′ = F2 1 1
= F2′ = F3 = F3′
= =
定位矢量 滑移矢量 自由矢量 力偶矩矢是自由矢量 力偶矩相等的力偶等效 (5)力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡. 力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
3．空间力偶系的合成与平衡条件
=
=
r r r r r r r r r M 1 = r1 × F1 , M 2 = r2 × F2 ,......, M n = rn × Fn
A
P
c a y
i
j k
O
MO ( P ) = r × P = 0 b 0 0 0 P = Pbi
（2）利用力矩关系
x
α
b
M OA ( P ) = M O ( P ) cos α = Pab a 2 + b2 + c 2
MO(P)
例 题 4
已知：OA=OB=OC =b, OA⊥OB⊥OC. 已知： 求： F 对OA边的中点 之矩在 方向的投影。 边的中点D之矩在 方向的投影。 力 边的中点 之矩在AC方向的投影
3、力对点的矩与力对过该点的轴的矩的关系 r r r r M x ( F ) = M x ( Fx ) + M x ( Fy ) + M x ( Fz ) = Fz ⋅ y − Fy ⋅ z

空间力系

空间力系

第三章 空间力系一、空间汇交力系（一）空间汇交力系的合成 1．空间力在坐标轴上的投影 （1）一次投影法如图3-1所示,若已知力F 与三个坐标轴x,y,z 间的夹角分别为θ、β和γ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为⎪⎭⎪⎬⎫===γβθcos cos cos z y x F F F （3.1）图3-1相应的，若已知力F 的三个投影，可以求出力F 的大小和方向，即大小为 222z y x F F F F ++=（3.2）方向 ⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===F FF F F F z yx γβθcos cos cos（3.3）（2）二次投影法如图3-2所示,若已知力F 与坐标轴Oxy 的仰角γ以及力F 在Oxy 平面上的投影xy F 与x 轴间的夹角ϕ，则力F 在三个坐标轴上的投影分别为γϕλϕγsin sin in cos in F F Fs F Fs F z y x ===，，图3-22．合力投影定理 合力在某轴上的投影，等于各分力在同一坐标轴上投影的代数和。

即∑=+++=xixn x x Rx FF F F F 21 同理 ∑∑==ziRz yi RyF F F F ，3．空间共点力系的合成空间共点力系可以合成为一个合力，该合力的作用线通过力系的公共作用点，合力的大小和方向为()()()222∑∑∑++=zyxR F F F F （3.4）()()()⎪⎪⎪⎭⎪⎪⎪⎬⎫===∑∑∑R z R R yRR xRF F F F F F k F j F i F ,cos ,cos ,cos（3.5）（二）空间汇交力系的平衡 1．空间汇交力系的平衡条件空间汇交力系平衡的充要条件是合力等于零，即()()()0222=++=∑∑∑zyxR F F F F2．空间汇交力系的平衡方程根据平衡条件，得到空间汇交力系的平衡方程为⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫===∑∑∑000y x zFFF（3.6）利用上述三个方程，可以求解3个未知量。

理论力学精品课程第六章空间力系

理论力学精品课程第六章空间力系
首先，我们需要明确力的合成和分解的基本原理。然后，根据题目给出的条件，我们可 以将一个力分解为若干个分力，或者将若干个分力合成为一个合力。通过这些操作，我
们可以求出物体所受的合力和分力。
习题三解析
总结词
该题考查了空间力系中力的矩和力矩 的平衡条件，通过构建力矩平衡方程， 可以求出未知的力和力矩。
详细描述
按力的分布范围分类
可分为集中力系和分布力系。
按力的方向分类
可分为同向力系、反向力系和任意方向力系。
空间力系性质
平衡性
力矩的存在性
空间力系在不受外力作用或处于平衡状态 下，合力为零。
空间力系可以产生旋转效应，即力矩。
力线平移定理
力的独立性
空间力系中，通过一定点可以作无数个平 行且等效的力，这些力的作用线均在该点 处与给定的力线重合。
力的平移
力平移定义
01
将力平行移动到刚体的任意点，同时保持力的方向和大小不变。
力平移性质
02
力的平移不改变力对刚体的作用效果，但会改变力矩的大小和
方向。
力平移实例
03
例如，在机械制造中，需要将机床的切削力平移到工件的任意
位置，以保证工件加工的精度和质量。
力在坐标轴上的投影
力在坐标轴上投影定义
将力沿坐标轴方向的分量表示为标量。
首先，我们需要明确力的矩和力矩平 衡条件的基本概念。然后，根据题目 给出的条件，我们可以构建力矩平衡 方程。通过解这个方程，我们可以求 出未知的力和力矩。
感谢您的观看
THANKS
航天器轨道
在航天器轨道分析中，空间力系 用于研究航天器的运动轨迹和受 力情况，以确保航天器的安全和 有效运行。
卫星姿态控制

第4章 空间力系

第4章 空间力系

Ai
A1 + A2
yC =
yi Ai = A1 y1 + A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 + A2
(2)负面积法
将该图形看成是一个大矩形I减去一个小矩
形II。它们的形心位置分别为C 1(xl，yl)、 C2 (x2，y2)。其面积分别为A1和A2。根据图 形分析可知，
x1=20mm ， y1=30mm ， A1=40 × 60=2400mm2
M z (F ) = M O (Fxy ) = Fxyd
结论：力对某轴之矩是力使物体绕该轴 转动效应的度量，其大小等于力对垂直 于某轴平面内力对O点（即某轴在该面 的投影点）之矩。
力对轴之矩的符号规定：
空间力系合力矩定理：
M FR = M F1 + M F2 + + M Fn
= M Байду номын сангаасi
x2=30mm ， y2=38mm ， A2=20 × 44=880mm2
则有：
xC =
xi Ai = A1x1 A2x2 = 14.21mm
Ai
A1 A2
yC =
yi Ai = A1 y1 A2 y2 = 25.37mm
Ai
A1 A2
习题参考解答或提示
二次投影法
力F 在三个轴上的投影分别为
Fx = F sin γcos φ Fy = F sin γsin φ Fz = F cos γ
F = Fx2 + Fy2 + Fz2
cosa = Fx F cos b = Fy F cos g = Fz F
§4－2 力对轴之矩
力对轴之矩（N·m）：度量力使物体绕轴的转动效应

五、空间力系


F1
z
F2
o x
y
Fn
FR F
7
FR ( Fx ) 2 ( Fy ) 2 ( Fz ) 2
FRx cos FR
二、空间汇交力系的平衡
空间汇交力系平衡的必要与充分条件是：力系的合力等
于零。由此得平衡方程：
Fx 0 Fy 0 F 0 z
A
a
M C
B
P
a
D
y
3
m
DD '
F3 2P 0;
F3 F 4 1A´ a F2 F
D´
F5
C´
F6
B´
y
x
2 F5 a Pa M 0, 2
F5 2 2P
27
m
C 'D'
0;
z
B P A F1 F5 0, F1 2 2P a M F6 mBD 0; D C F5 F3 F 2 B´ 4 F 2 P F F4 F5 0, 4 a F2 1A´ y 2 D´ C´ mB'C ' 0;
'
o x
mn
=
y
m2
F
' n
o x
y
F1' F1 F2' F2 ; ; m1 mo ( F1 ) m2 mo ( F2 )
Fn' Fn mn mo ( Fn )
14
F1
z
F2
z
o x
=
y
Fn
F1
'
m1
Mo
F2'
z

第六章 空间力系


求力F在三个坐标轴上的
投影。
参见动画：例题1(1)
例题
空间力系
解：
例 题 1
向x，y， z轴投影。
Fxy = Fcos30o
Fx=-Fcos30ocos45o
Fy = Fcos30osin45o
参见动画：例题1(2)
Fz =Fsin30o
mx(P) = mo(Pyz) = - Pyz d1 = -13.86 kN· cm
作和y轴垂直的平面
M2 .
z
B
5cm
D
3cm 找出交点O. 确定力P在平面M2 y o A 内的分力Pxz=P=1kN. d2 在平面M2内确定 x 力Pxz到矩心O的距 P 离即力臂d2=3.464cm 计算力Pxz对点A的矩亦即力P对y轴的矩
结论：力对平行它的轴的
矩为零。即力F与轴共面
时，力对轴之矩为零。
M z ( F ) M O ( Fxy ) Fxy h
力与轴相交或与轴平行（力与轴在同一平面内），力对该 轴的矩为零.
力对平行它的轴的矩为零。即力F与轴共面时，力对轴之矩为零。
2、力对点的矩以矢量表示 ——力矩矢
Ry Rx Rz cos ,cos ,cosg R R R
空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合 力的作用线通过汇交点.
三、空间汇交力系的平衡：
空间汇交力系平衡的充要条件是：力系的合力为零，即：
R Fi 0
∴几何法平衡充要条件为该力系的力多边形封闭。
∴解析法平衡充要条件为： X 0 称为平衡方程 Y 0 空间汇交力系的平衡方程
沿各轴的分力为
Fx ( Fn cos sin ) i Fy ( Fn cos cos ) j Fz ( Fn sin ) k

第4章空间力系


FRy Fy
FRz Fz
cos FRx
FR
cos FRz
2、空间汇交力系的平衡条件
FR
cos FRy
FR
FRx Fx 0
FRy Fy 0
FRz Fz 0
光滑球铰链 A
Fz
Fy Fx
Fz
Fy Fx
例4-1 图示为用起重
杆吊起重物。起重杆的
A端用球铰链固定在地 面上，而B端则用绳CB 和DB拉住，两绳分别
上面三式联立，解得 F1=F2=3.54 kN FA=8.66 kN
例 ：结构如图所示，杆重不计，已知力P， 求两杆的内力和绳BD的拉力。
z D
z D
C
F3
C
A
B
x
P
y A
y F2
F1
B
x
P
§4-2 空间力对点之矩和对轴之矩
一、力对点之矩
矢量
r
的矩
O
A
Mo( A) r A, Mo r A sin
i1
i1
z
M
Fz
FR
Mz
Fy
y
y
x
Fx
x
Mx
My
2、空间任意力系的简化结果分析
空间任意力系 {F1, F2,, Fn} {FR, MO} 简化结果
1、 FR 0, MO 0
平衡
2、FR 0, MO 0
合力
3、FR 0, MO 0 4、FR 0, MO 0
合力偶 ?
(1) FR 0, MO 0, FRMO
1、空间任意力系的简化
Fn An
o A2
A1 F2
F1
Fn'

第六章空间力系


B
30
D
G E
5m
60
45
45
A
桅杆式起重机可简化为如 图 所 示 结 构 。 AC 为 立 柱 ， BC ， CD和CE均为钢索，AB为起重 杆。A端可简化为球铰链约束。 设B点滑轮上起吊重物的重量 G=20 kN，AD=AE=6 m，其余 尺寸如图。起重杆所在平面 ABC与对称面ACG重合。不计 立柱和起重杆的自重，求起重 杆AB、立柱AC和钢索CD，CE 所受的力。
力对轴的矩
空间力对轴的矩是个代 数量,它等于这个力在 垂直于该轴的平面内的 投影对于这平面与该轴 交点的矩。
z
B F
A
o
y
d
B
x
A Fxy
Fxy F cos
Mz (F) Mo(Fxy ) Fxy h
例题6-5
已知：F,l, a, 求：M x F , M y F , M z F
解：把力 F分解如图
F3 2 2P
力对点的矩的矢量表示
❖ 对于平面力系，力对该平面内一点的矩有大小和 转向两个要素，所以可用代数量表示；
❖ 对于空间力系，不仅要考虑力矩的大小、转向， 还要注意力与矩心所组成的平面的方位。方位不 同，即使力矩大小一样，作用效果将完全不同。
力矩的大小 力矩的转向该 力矩作用面的方位
力对点的 矩三要素
这三个要素可以用一个矢量来表示:
Fz Fn sin Fxy Fn cos Fx Fxy sin Fn cos sin Fy Fxy cos Fn cos cos
例题6-2
已知：物重P=10kN，CE=EB=DE； 300
求：杆受力及绳拉力
解：画受力图如图， 列平衡方程
Fx 0
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mz (F ) = mo (Fxy ) = ± F xy⋅d
z z
( )
*正负号由右手螺旋法则来定。
2.当力与轴平行或相交时， 2.当力与轴平行或相交时，力对 当力与轴平行或相交时 轴之矩等于零。 轴之矩等于零。
空间力系的平衡方程
空间任意力系的平衡方程
∑ F = 0， ∑ F = 0， ∑ F = 0 ∑ M ( F ) = 0 ，∑ M ( F ) = 0 ，∑ M ( F ) = 0
X
r2
× 160 + Fr 1 × 360 + FBZ × 520 = 0
Fr 2 • 16 − Fr 1 • 36 0.799 • 16 − 0.575 • 36 = = −0.152(kN ) 52 52 将Fr 2、Fr 1、FBZ代入(2) FBZ = FAZ = Fr 2 − Fr 1 − FBZ = 0.799 − 0.575 − (−0.152) = 0.376(kN )
Z
160
FAZ r2 Fr2
x
200 Ft2
160
Fr 2 = Ft 2 tan 200 = 2.914 × 0.364 = 0.799(kN )
FBZ r1 Fr1 FBX
∑ F = 0，F + F + F + F = 0 − − − (1) ∑ F = 0，F − F + F + F = 0 − − − (2) ∑ M ( F ) = 0，F × 520 + F × 360 + F ×160 = 0
F y = 0 − F T cos 60 0 − F CD cos 60 0 + F AD cos 60 0 sin 30 0 ∑
∑F
z
= 0 F AD sin 60 0 + F BD sin 60 0 + F CD sin 60 0 − F T sin 60 0 − G = 0 F AD = F BD = 31.55kN F CD = 1.55kN
x y Z x y Z
空间汇交力系
空间平行力系（设各力 与Z轴平行）
∑ ∑ ∑
Fx = 0 Fy = 0 Fz = 0
∑F =0 ∑ M (F ) = 0 ∑ M (F ) = 0
z x y
习题3.5 利用三脚架ABCD和绞车E提升重物。若AD=BD=CD,三杆与水平面成60°夹角，又 AB=BC=CA，绳索DE与水平面成60°夹角，物重G=30kN。不计杆重，试求三杆所受的力。
x
γ
F
Fxy
y
ϕ
空间力矢量的表达式为 F = F x + F y + F z = F xi + F yj + F zk 力 F 的大小和方向 F2 x + F 2 y + F 2z Fx cos α = F2 x + F 2 y + F 2z Fy cos β = 2 2 2 F x+ F y+ F z Fz cos γ = F2 x + F 2 y + F 2z F=
图 三角形
y c =h/3 A =bh/2
h
形
形心位置
图 扇形
r
α
形
形心位置
2r sin α 3α 面积 A = r 2α Xc = 半圆 α = π / 2 Xc = 4r / 3π
b/2
yc
b
α
c
o
C
XC 梯形
XC = l / 4 Yc = 3 h / 10 面积 A = hl / 3
b b/2
第3章空间力系
教学目的要求： 1、了解力在空间直角坐标轴上的投影， 力对轴之矩。 2、了解空间任意力系的平衡方程。 3、明确重心的概念，了解重心及形心位 置的求法。
直接投影法
F x = F cos α F y = F cos β F z = F cos γ
γ
β
F
y
α
x
二次投影法
Fz = F cosγ Fx = F sin γ cosϕ Fy = F sin γ sin ϕ
+ 32 2
2
2 2
2
+ 32 + 3
2
2Y
2 XY
3
X
F F F F F F
3Y 3Y 3Z
= 700 ( N )
三力的矢量表达式为： 1 2 3
= − 447 i + 224 k = − 535 i − 803 j + 267 k = 700 i
力对轴之矩
1.力对轴之矩： 1.力对轴之矩：力在垂直于某轴的平面上的分力对此平面 力对轴之矩 与该轴的交点之矩。如将力F 与该轴的交点之矩。如将力F对Z轴之矩表示为 mz F 则有： 则有：
抛物线 h
C YC XC L
Yc = h(a + 2b) 3(a + b ) 面积 A = h(a + b) / 2
a/2 a
yC
h
习题3.10 图示为混了混凝土水坝截面简图，试求其形心位置。
解：（ 1）、求 Xc
2
Y
0.8m
A 1 = 0 . 7 × 0 . 2 = 0 . 14 m
X C1 = 0.1m = 0.6m 1 . 17 m + 0 . 5 • 1 . 17 0 .5
合力投影定理
设有空间汇交力系 F1，F2， ，Fn，利用力的平行四边形定 则， ⋯ 可合成一个合力矢 FR，且有 FR = F1 + F2 + ⋯ + Fn = ∑ F 不难得出 FRX = ∑ FX FRY = ∑ FY FRZ = ∑ FZ
习题3.1
图中空间三力 F1 = 500 N, F2 = 1000 N, F3 = 700 N, 求此三力在 X、Y、Z轴 上的投影；并写出三力的矢量表达式。
2m
0.2m 0.7m
A 2 = 2 × 0.8 = 1.6m 2 X C2 = 0.2 + 0.4 0.5 × 2 0.5 A3 = = 0 .5 m 2 X C3 = 1 + = 2 3 ∑ A i • X i = 0 . 14 • 0 . 1 + 1 . 6 • 0 . 6 XC = A 0 . 14 + 1 . 6 + = 0.696 （ m)
解： F F
1Y
F
1X
= − F 1 cos a = − 500 ×
2 12 + 2
2
= − 447（ N )
= 0 = F 1 sin a = 500 × = F
2
1 1 × ×
2
1Z
+ 2
2
= 224 ( N ) 1 = 267 ( N ) = 964 . 8 ( N ) = − 535 ( N ) = − 803 ( N )
重
重心坐标公式 xC
心
i•
∑G =
xi
G 如果物体是均质等厚平 板，称为平面图形形心 坐标公式 xc
yc =
G ∑ G i • yi
∑A =
i•
xi
A A，Ai分别为平面图形总面积 和各微元的面积
yc =
A ∑ Ai • y i
重心位置的求法
1.对称法
2.悬挂法 A
A
3.称重法 D C
B
B
E
常用图形形心位置表
Z
3m 1m F
β
F F F F
2Z
sin β = 1000 cos β = 1000
2 XY
12 + 2 2
2
2
+ 32 + 32
2
2 XY
= F = −F = −F = F = 0 = 0
3
2
F
α
2
12 + 2
1
ϕ
F
3
2m
Y
2 X
cos ϕ = − 964 . 8 × sin ϕ = −964.8 ×
X O
1.5m
（ 2）、求 Yc h(a + b) 2 (1 . 5 + 1 ) A1 = = = 2 .5 m 2 2 2 h (a + 2b ) 2 (1 . 5 + 2 × 1 ) YC1 = = = 0 . 933 m 3(a + b ) 3 (1 . 5 + 1 ) A 2 = − 0 . 2 × 1 . 3 = − 0 . 26 m Y C 2 = 0 .7 + Yc =
解得
习题 3 . 7已知 : r 1 = 100 mm , r 2 = 72mm ，压力角 试求：圆周力 F t 2 与 A 、 B 轮轴承约束力。
α = 20 0 , 圆周力 F t 1 = 1 . 58 KN .
解： My ( F ) = 0， Ft 1 × r 1 + Ft 2 × r 2 = 0 − ∑ Ft 2 = r1 100 Ft 1 = × 1.58 = 2.194(kN ) r2 72 Fr 1 = Ft 1 tan 200 = 1.58 × 0.364 = 0.575(kN )
Z D
60 °
60
°
Hale Waihona Puke A E60°G
O
60 °
Y FTcos60° C F BDcos60° x
FADcos60°
(D) O Y
FCDCOS60°
B
X
∑ Fx = 0
F AD cos60 0 cos 30 0 − F BD cos 60 0 cos 30 0 = 0 + F BD 60 0 sin 30 0 = 0