16动力学-机械振动基础

g = 70 rad/s
st
在初瞬时 t=0，物块位于未变形的梁上，其坐标 x0 = 0 = 2mm ，重物初
速 0 = 0 ，则振幅为 A =
初相角
x02 +
2
0 2
= 2mm
0
= arctan 0 x0 = arctan(
0
最后得系统的自由振动规律为
)= 2
x = 2 cos(70t)mm （式中 t 以s 计）
因此，上述串联弹簧系统的固有频率为
0=
k eq m
=
k1 k 2 m(k1 + k2 )
5． 其他类型的单自由度振动系统
前面我们研究的单自由度振动系统是振体沿直线运动的振动，但在工程
实际中还经常遇到其它类型的自由振动，如摆动系统、扭振系统等等。这些
系统形式上虽然不同，但它们的运动微分方程都具有相同的形式。
可见 0 只与表征系统本身特
性的质量 m 和刚度 k 有关，而
与运动的初始条件无关。它是 振动系统固有的特性，所以称
0 为固有角（圆）频率（一般 也称为固有频率）。固有频率是 振动理论中的重要概念，它反 映了振动系统的动力学特性， 计算系统的固有频率是研究系 统振动问题的重要课题之一。
对上述振动系统，只要知道重 力作用下的静变形，就可求得 系统的固有频率。
将初始化条件代入得：
x0 = Asin
v0 = A 0 cos 或 0 = Acos
0
解方程组得： A = x02 + ( v0 )2
0
tg
=
0 x0 v0
结论： 1） 质量弹簧系统的振动规律为自由谐振动。 2） 自由振动的固有频率反映振动系统的动力学特性，只与系统的固

4
nt
6
8
10
欠阻尼系统的衰减振动振动特性：
a. 阻尼系统的自由振动振幅按指数规律 衰减。 b. 阻尼系统的自由振动是非周期振动，但其相 邻两次沿同一方向经过平衡位置的时间间隔 均为
Td
def
ae n t
2
d

2
n 1 2

Tn 1 2
阻尼固有周期或自然周期
振动系统 确定性系统 (定则系统) 常参量系统 (定常系统)
随机系统
变参量系统 (非定常系统)
振动系统
确定性系统(定则系统)：参量的变化规律
可用时间的确定函数描述。 常参量系统(定常系统)：系统中的各个特 征参量都不随时间而变，即它们不是时间 的显函数。（常系数微分方程描述） 随机系统：系统参量变化无常，无法用时 间的确定函数描述，只能用统计特性描述。
c c 2 k ( ) 2m 2m m
引入一无量纲参数 :阻尼比
c 2 mk 2m n
def
c
s1,2 n n 1
2
（1）过阻尼情况（ 1）
( 2 1 ) n t ( 2 1 ) n t
u(t ) a1e
Vmax
1 mg( R r ) 2 , m 2
Tref
3 m( R r ) 2 2 m 4
Vmax n T ref
2g 3( R r )
2.3 粘性阻尼系统的自由振动
k (u+ s) cu k m c
s
k m f (t )
c u u
b
m O mg f (t )
c
u0 n u0

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专题16 机械振动与机械波第一部分 名师综述综合分析近几年的高考物理试题发现，试题在考查主干知识的同时，注重考查的基本概念和基本规律。

考纲要求(1)知道简谐运动的概念，理解简谐运动的表达式和图象；知道什么是单摆，知道在摆角较小的情况下单摆的运动是简谐运动,熟记单摆的周期公式；理解受迫振动和共振的概念,掌握产生共振的条件．（2） 知道机械波的特点和分类；掌握波速、波长和频率的关系，会分析波的图象。

3。

理解波的干涉、衍射现象和多普勒效应，掌握波的干涉和衍射的条件． 命题规律（1）考查的热点有简谐运动的特点及图象;题型以选择题和填空题为主,难度中等偏下，波动与振动的综合也有计算题的形式考查。

(2)考查的热点有波的图象以及波长、波速、频率的关系题型以选择题和填空题为主，难度中等偏下，波动与振动的综合也有计算题的形式考查．第二部分 知识背一背(1)简谐运动的特征 ①动力学特征：F ＝－kx 。

②运动学特征：x 、v 、a 均按正弦或余弦规律发生周期性变化（注意v 、a 的变化趋势相反)． ③能量特征:系统的机械能守恒,振幅A 不变．⑤简谐运动的运动学表达式：x ＝A sin （ωt ＋φ），其中A 代表振幅,ω＝2πf 表示简谐运动的快慢,（ωt ＋φ)代表简谐运动的相位，φ叫做初相。

Td
T
1 2
① 阻尼对振动周期的影响
由
Td
T
1 2
Td T
所以，阻尼使自由振动的周期变长。
☆ 阻尼使周期变长的程度
当 = 0.05 时，Td = 1.00125 T，增大 0.125%; 当 = 0.3 时， Td = 1.048 T ，增大 4. 8 %
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
则此一半长度的弹簧的刚度系数是多少？
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
4 其它类型的单自由度振动系统
■ 扭振系统 扭杆（扭转刚度 kt ） 扭簧产生的力矩:
扭簧
M kt
运动微分方程:
JO kt
kt 0
JO
n2
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
■ 摆振系统
微分方程：J0 mgl k(0 b)b
n c , 2m
2 n
k m
将方程化为标准形式:（阻尼系数n）
x 2nx n2 x 0
■阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
x ert
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
有阻尼自由振动微分方程的标准形式:
x 2nx n2 x 0
■ 阻尼自由振动微分方程的通解
设解的形式为:
A为振幅， 为初相位角。
设初始条件为: t 0时, x x0, x x0
则有: A
x02
x02
n2
,
tan
x0n
x0
机械动力学
Chapter6 单自由度系统的振动
3 、弹簧的并联和串联
并