华师一2011届高三第二轮复习专题讲座(应用问题)第二讲：解三角形中的应用题

第2讲转化思想在解三角形中的应用转化思想是高中生必备的灵活性思维方式，也是解决数学问题的有效途径之一，其要点在于将陌生的问题情形转化为熟悉的情形，将复杂、抽象的数学问题简单化、直观化，或从不同角度切入以分析问题，逐步探索出解决问题的有效方法。

解三角形作为高中数学教学的重要内容之一，对于学生数学思维品质有着较高要求，需要学生运用三角形相关知识，结合已有条件求出三角形的三个边或三个角，其中便涉及到对转化思想的运用，例如将题干内的抽象语言转化为直观的图形、“爪型”问题的相关求解、边角互化的应用及三角形内角转化在解三角形中都有广泛的重要应用，而本文会重点就转化思想在解三角形中的几类应用展开详细讲解。

【应用一】转化思想在解三角形边角互化中的应用形如我们在学习解三角形时，会学习正弦定理及其变化的相关应用，对于基础型的“对边对角”类型，我们可以利用正弦定理直接求解，但有时也会遇到形如“cos cos sin b C c B a A +=、cos sin 0a C C b c --=、222sin sin sin sin sin A C A C B ++=、()()2sin sin sin sin sin A B A B C +-=”等类型的等式来求对应角的问题，那么此时我们该如何求解呢？我们不妨重新学习一下正弦定理，基本公式为R Cc B b A a 2sin sin sin ===（其中R 为ABC ∆外接圆的半径），可变形为①CR c B R b A R a sin 2,sin 2,sin 2===②,2sin ,2sin ,2sin Rc C R b B R a A ===③CB A c b a sin :sin :sin ::=其实上面3个变形已经解释了边角互化的本质，即R 2能否被抵消掉，能同时被抵消则可以实现边角互化。

我们在做题过程中遇见“边是一次”时，通常边化角；遇见“正弦乘积是二次或边与正弦乘积是二次”时，通常角化边后用余弦定理求解；例如下面这两道例题：本题是模考或高考中解三角形较常规的题型，解题关键突破口在于利用正弦定理进行边角互化求角，通过刚才分析，我们发现这是边为一次的齐次类型，我们可以边化角，即得到sin cos sin sin sin A B A B B C =+，此时我们发现有三个角，于是我们可以利用三角形内角和为︒180，进行角度转化，那么要替换哪个角呢？通过观察我们发现，B A 、角的正余弦值是乘积关系，于是我们可以替换C 角，即()sin cos sin sin sin A B A B B A B =++1cos A A =+，利用辅助角公式化简即可求值。

第2讲 平面向量、解三角形【课前热身】第2讲 平面向量、解三角形(本讲对应学生用书第4~6页)1.(必修4 P76习题7改编)在矩形ABCD 中，O 是对角线的交点，若BC u u u r =e 1，DC u u u r =e 2，则OC u u u r= .【答案】12(e 1+e 2)【解析】因为O 是矩形ABCD 对角线的交点，BCu u u r =e 1，DCu u u r =e 2，所以OCu u u r =12(BC u u u r +DC u u u r)=12(e 1+e 2).2.(必修4 P90习题19改编)已知向量a =(6，-3)，b =(2，x+1)，若a ⊥b ，则实数x= . 【答案】3【解析】因为a ⊥b ，所以a ·b =0，所以12-3x-3=0，解得x=3.3.(必修5 P10练习2改编)在锐角三角形ABC 中，设角A ，B 所对的边分别为a ，b.若2a sin B=3b ，则角A= .【答案】π3【解析】在△ABC 中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B=3sin B ，因为B 为△ABC的内角，所以sin B ≠0，所以sinA=32.又因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈π02⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以A=π3.4.(必修4 P80例5改编)已知向量a =(1，0)，b =(2，1)，则当k= 时，向量k a -b 与a +3b 平行.【答案】-13【解析】由题设知向量a 与b 不平行，因为向量k a -b 与a +3b 平行，所以1k =-13，即k=-13.5.(必修5 P16习题1(3)改编)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a=7，b=43，c=13，则△ABC 最小的内角为 .【答案】π6【解析】因为13<43<7，所以C<B<A ，又因为cosC=222-2a b c ab +=2743⨯⨯=32，所以C=π6.【课堂导学】平面向量与三角函数综合例1 (2016·淮安5月信息卷)已知向量m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，α∈(0，π).(1)若m ⊥n ，求角α的大小； (2)求|m +n |的最小值.【解答】(1)因为m =(cos α，sin α)，n =(3，-1)，且m ⊥n ，所以3cos α-sin α=0，即tan α=3.又因为α∈(0，π)，所以α=π3.(2)因为m +n =(cos α+3，sin α-1)，所以|m +n |=22(cos 3)(sin -1)αα++=523cos -2sin αα+=π54cos 6α⎛⎫++ ⎪⎝⎭. 因为α∈(0，π)，所以α+ππ7π666⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，故当α+π6=π，即α=5π6时，|m +n |取得最小值1.正弦定理、余弦定理的应用例2 (2016·苏州暑假测试)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.已知sin2-2A B+sin A sin B=22+.(1)求角C 的大小；(2)若b=4，△ABC 的面积为6，求c 的值.【解答】(1)sin2-2A B+sin A sin B=1-cos(-)2A B+2sin sin2A B=1-cos cos-sin sin2A B A B+2sin sin2A B=1-cos cos sin sin2A B A B+=1-(cos cos-sin sin)2A B A B=1-cos()2A B+=1-cos(π-)2C=1cos2C+=22+，所以cos C=22.又0<C<π，所以C=π4.(2)因为S=12ab sin C=12a×4×sinπ4=2a=6，所以a=32.因为c2=a2+b2-2ab cos C=(32)2+42-2×32×4×22=10，所以c=10.变式1(2016·南通一调)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知(a+b-c)(a+b+c)=ab.(1)求角C的大小；(2)若c=2a cos B，b=2，求△ABC的面积.【解答】(1)在△ABC中，由(a+b-c)(a+b+c)=ab，得222-2a b cab+=-12，即cosC=-12.因为0<C<π，所以C=2π3.(2)方法一：因为c=2a cos B，由正弦定理，得sin C=2sin A cos B.因为A+B+C=π，所以sin C=sin(A+B )，所以sin(A+B )=2sin A cos B ，即sin A cos B-cos A sin B=0， 所以sin(A-B )=0.又-π3<A-B<π3，所以A-B=0，即A=B ，所以a=b=2. 所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.方法二：由c=2a cos B 及余弦定理，得c=2a×222-2a c b ac +，化简得a=b ，所以△ABC 的面积为S △ABC =12ab sin C=12×2×2×sin 2π3=3.变式2 (2016·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州二调)在斜三角形ABC 中，tan A+tan B+tan A tan B=1.(1)求角C 的大小； (2)若A=15°，2，求△ABC 的周长.【解答】(1)因为tan A+tan B+tan A tan B=1， 即tan A+tan B=1-tan A tan B.因为在斜三角形ABC 中，1-tan A tan B ≠0，所以tan(A+B )=tan tan 1-tan tan A BA B +=1，即tan(180°-C )=1，tan C=-1. 因为0°<C<180°，所以C=135°.(2)在△ABC 中，A=15°，C=135°，则B=180°-A-C=30°.由正弦定理sin BC A =sin CAB =sin ABC ，得sin15BC o =°sin30CA=2=2，故BC=2sin 15°=2sin(45°-30°)=2(sin 45°cos 30°-cos 45°sin 30°)=6-2 2，CA=2sin 30°=1.所以△ABC的周长为AB+BC+CA=2+1+6-22=2622++.平面向量与解三角形综合例3(2016·无锡期末)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量a=(sin B-sin C，sin C-sin A)，b=(sin B+sin C，sin A)，且a⊥b.(1)求角B的大小；(2)若b=c·cos A，△ABC的外接圆的半径为1，求△ABC的面积.【解答】(1)因为a⊥b，所以a·b=0，即sin2B-sin2C+sin A(sin C-sin A)=0，即sin A sin C=sin2A+sin2C-sin2B，由正弦定理得ac=a2+c2-b2，所以cos B=222-2a c bac+=12.因为B∈(0，π)，所以B=π3.(2)因为c·cos A=b，所以bc=222-2b c abc+，即b2=c2-a2，又ac=a2+c2-b2，b=2R sin3，解得a=1，c=2.所以S△ABC =12ac sin B=3.变式(2016·苏锡常镇二调)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知向量m=(cos B，cos C)，n=(4a-b，c)，且m∥n.(1)求cos C的值；(2)若c=3，△ABC的面积S=15，求a，b的值.【解答】(1)因为m∥n，所以c cos B=(4a-b)cos C，由正弦定理，得sin C cos B=(4sin A-sin B)cos C，化简得sin(B+C)=4sin A cos C.因为A+B+C=π，所以sin(B+C)=sin A.又因为A∈(0，π)，所以sin A≠0，所以cos C=14.(2)因为C∈(0，π)，cos C=14，所以sin C=21-cos C=11-16=15.因为S=12ab sin C=15，所以ab=2.①因为c=3，由余弦定理得3=a2+b2-12ab，所以a2+b2=4，②由①②，得a4-4a2+4=0，从而a2=2，a=2(a=-2舍去)，所以a=b=2.【课堂评价】1.(2016·镇江期末)已知向量a=(-2，1)，b=(1，0)，则|2a+b|=. 【答案】13【解析】因为2a+b=(-3，2)，所以|2a+b|=22(-3)2+=13.2.(2016·南京学情调研)已知向量a=(1，2)，b=(m，4)，且a∥(2a+b)，则实数m=.【答案】2【解析】方法一：由题意得a=(1，2)，2a+b=(2+m，8)，因为a∥(2a+b)，所以1×8-(2+m)×2=0，故m=2.方法二：因为a∥(2a+b)，所以存在实数λ，使得λa=2a+b，即(λ-2)a=b，所以(λ-2，2λ-4)=(m，4)，所以λ-2=m且2λ-4=4，解得λ=4，m=2.3.(2016·南京、盐城一模)在△ABC中，设a，b，c分别为内角A，B，C的对边，若a=5，A=π4，cos B=35，则c=.【答案】7【解析】因为cos B=35，所以B∈π2⎛⎫⎪⎝⎭，，从而sin B=45，所以sin C=sin(A+B)=sinA cos B+cos A sin B=2×35+2×45=72，又由正弦定理得sinaA=sincC，即52 =72c，解得c=7.4.(2016·全国卷Ⅲ)在△ABC中，B=π4，BC边上的高等于13BC，则cos A=.(第4题)【答案】-10【解析】如图，作AD ⊥BC交BC 于点D ，设BC=3，则AD=BD=1，AB=2，AC=5.由余弦定理得32=(2)2+(5)2-2×2×5×cos A ，解得cos A=-10.5.(2016·南通一调)已知在边长为6的正三角形ABC 中，BD u u u r =12BC u u u r ，AE u u u r=13AC u u u r ，AD 与BE 交于点P ，则PB u u u r ·PD u u ur 的值为 .(第5题)【答案】274【解析】如图，以BC 为x 轴，AD 为y 轴，建立平面直角坐标系，不妨设B (-3，0)，C (3，0)，则D (0，0)，A (0，33)，E (1，23)，P 330⎛ ⎝⎭，，所以PB u u u r ·PD u u ur =|PD u u u r |2=233⎝⎭=274.温馨提示：趁热打铁，事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》第3～4页.【检测与评估】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1.(2016·苏州暑假测试)设x ，y ∈R ，向量a =(x ，1)，b =(2，y )，且a +2b =(5，-3)，则x+y= .2.(2016·盐城三模)已知向量a ，b 满足a =(4，-3)，|b |=1，|a -b |=21，则向量a ，b 的夹角为 .3.(2016·全国卷Ⅱ)设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos A=45，cos C=513，a=1，则b= .4.(2016·天津卷)在△ABC 中，若AB=13，BC=3，∠C=120°，则AC= .5.(2016·南京三模)如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB=4，AD=3，CD=2，AM u u u u r =2MD u u u u r .若AC u u u r ·BM u u u u r =-3，则AB u u u r ·AD u u u r = .(第5题)6.(2016·无锡期末)已知平面向量α，β满足|β|=1，且α与β-α的夹角为120°，则α的模的取值范围为 .7.在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c.若b a +ab =6cos C ，则tan tan C A +tan tan CB = .8.(2016·苏北四市摸底)在△ABC 中，AB=2，AC=3，角A 的平分线与AB 边上的中线交于点O ，若AO u u u r =x AB u u u r+y AC u u u r (x ，y ∈R )，则x+y 的值为 .二、 解答题9.(2016·苏北四市期末)已知在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin A=35，tan(A-B )=-12.(1)求tan B 的值； (2)若b=5，求c 的值.10.(2016·徐州、连云港、宿迁三检)如图，在梯形ABCD 中，已知AD ∥BC ，AD=1，BD=210，∠CAD=π4，tan ∠ADC=-2.(1)求CD 的长； (2)求△BCD 的面积.(第10题)11.(2016·南京三模)在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边.若向量m =(a ，cos A )，向量n =(cos C ，c )，且m ·n =3b cos B.(1)求cos B 的值；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A +1tan C 的值.【检测与评估答案】第2讲 平面向量、解三角形一、 填空题1. -1 【解析】由题意得a +2b =(x+4，1+2y )=(5，-3)，所以4512-3x y +=⎧⎨+=⎩，，解得1-2x y =⎧⎨=⎩，，所以x+y=-1.2. π3【解析】设向量a ，b 的夹角为θ，由|a -b|=，得21=(a -b )2=a 2+b 2-2a ·b =25+1-2·5·cos θ，即cos θ=12，所以向量a ，b 的夹角为π3.3. 2113 【解析】因为cos A=45，cos C=513，且A ，C 为三角形的内角，所以sin A=35，sin C=1213，所以sin B=sin(A+C )=sin A cos C+cos A sin C=6365.由正弦定理得sin b B =sin aA ，解得b=2113.4. 1【解析】设AC=x，由余弦定理得cos 120°=29-13 23xx+⋅⋅=-12，即x2+3x-4=0，解得x=1或x=-4(舍去)，所以AC=1.5.32【解析】方法一：设ABu u u r=4a，ADu u u r=3b，其中|a|=|b|=1，则DCu u u r=2a，AMu u u u r=2b.由ACu u u r·BMu u u u r=(ADu u u r+DCu u u r)·(BAu u u r+AMu u u u r)=-3，得(3b+2a)·(2b-4a)=-3，化简得a·b=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12a·b=32.方法二：建立平面直角坐标系，使得A(0，0)，B(4，0)，设D(3cos α，3sin α)，则C(3cos α+2，3sin α)，M(2cos α，2sin α).由ACu u u r·BMu u u u r=-3，得(3cos α+2，3sin α)·(2cos α-4，2sin α)=-3，化简得cos α=18，所以ABu u u r·ADu u u r=12cos α=32.6.23⎛⎤⎥⎝⎦，【解析】如图，设α=ABu u u r，β=ACu u u r，则β-α=BCu u u r，∠ABC=60°，设α与β的夹角为θ，则0°<θ<120°，由正弦定理可得°||sin(120-)θα=°||sin60β，所以|α|=233sin(120°-θ).因为0°<θ<120°，所以0°<120°-θ<120°，所以0<sin(120°-θ)≤1，所以0<|α|≤23.(第6题)7. 4 【解析】b a +ab =6cos C ⇒6ab cos C=a 2+b 2⇒3(a 2+b 2-c 2)=a 2+b 2⇒a 2+b 2=232c ，所以tan tan C A +tan tan CB =sin cosC C ·cos sin sin cos sin sin B A B A A B +=sin cos C C ·sin()sin sin A B A B +=1cos C ·2sin sin sin C A B =2222-aba b c +·2c ab =22223-2c c c=2222c c =4.8. 58 【解析】如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，CE 为AB 边上的中线，且AD ∩CE=O.在△AEO 中，由正弦定理得sin AE AOE ∠=sin EOEAO ∠.在△ACO 中，由正弦定理得sin AC AOC ∠=sin COCAO ∠，两式相除得AE AC =EO OC .因为AE=12AB=1，AC=3，所以EO OC =13，所以CO u u u r =3OE u u u r ，即AO u u u r -AC u u u r =3(AE u u u r -AO u u ur )，即4AO u u u r =3AE u u u r+AC u u u r ，所以4AO u u u r =32AB u u ur +AC u u u r ，从而AO u u u r =38AB u u u r +14AC u u u r .因为AO u u u r =x AB u u u r+y ACu u u r ，所以x=38，y=14，所以x+y=58.(第8题)二、 解答题9. (1) 方法一：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tan A=sin cos A A =34.由tan(A-B )=tan -tan 1tan ?tan A B A B +=-12，得tan B=2.方法二：在锐角三角形ABC 中，由sin A=35，得cos A=21-sin A =45，所以tanA=sin cos A A =34.又因为tan(A-B )=-12，所以tan B=tan[A-(A-B )]=tan -tan(-)1tan tan(-)A A B A A B +=31--42311-42⎛⎫ ⎪⎝⎭⎛⎫+⨯ ⎪⎝⎭=2. (2) 由(1)知tan B=2，得sin B=255，cos B=55， 所以sin C=sin(A+B )=sin A cos B+cos A sin B=11525，由正弦定理sin bB =sin cC ，得c=sin sin b C B =112.10. (1) 因为tan ∠ADC=-2，且∠ADC ∈(0，π)，所以sin ∠ADC=255，cos ∠ADC=-55. 所以sin ∠ACD=sinππ--4ADC ∠⎛⎫ ⎪⎝⎭ =sin ∠ADC+π4=sin ∠ADC ·cos π4+cos ∠ADC ·sin π4=，在△ADC 中，由正弦定理得CD=·sin sin AD DACACD ∠∠=.(2) 因为AD ∥BC ，所以cos ∠BCD=-cos ∠ADC=，sin ∠BCD=sin ∠ADC=.在△BDC 中，由余弦定理得BD 2=BC 2+CD 2-2BC ·CD ·cos ∠BCD ， 即BC 2-2BC-35=0，解得BC=7，所以S △BCD =12BC ·CD ·sin ∠BCD=12×7=7.11. (1) 因为m ·n =3b cos B ，所以a cos C+c cos A=3b cos B. 由正弦定理得sin A cos C+sin C cos A=3sin B cos B ， 所以sin(A+C )=3sin B cos B ， 所以sin B=3sin B cos B.因为B 是△ABC 的内角，所以sin B ≠0，所以cos B=13.(2) 因为a ，b ，c 成等比数列，所以b 2=ac. 由正弦定理得sin 2B=sin A ·sin C.因为cos B=13，B 是△ABC 的内角，所以sinB=，又1tan A +1tan C =cos sin A A +cos sin C C =cos ?sin sin ?cos sin sin A C A CA C +⋅ =sin()sin sin A C A C +⋅=sin sin sin B A C=2sin sin B B =1sin B=.。

高三数学第二轮专题讲座复习：灵活运用三角函数的图象和性质解题高考要求三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来 本节主要帮助考生掌握图象和性质并会灵活运用 重难点归纳1 考查三角函数的图象和性质的基础题目，此类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用1-1y=sinx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoy x1-1y=cosx-3π2-5π2-7π27π25π23π2π2-π2-4π-3π-2π4π3π2ππ-πoyxy=tanx3π2ππ2-3π2-π-π2oyxy=cotx3π2ππ22π-π-π2oyx2 三角函数与其他知识相结合的综合题目，此类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 在今后的命题趋势中综合性题型仍会成为热点和重点，并可以逐渐加强3 三角函数与实际问题的综合应用此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用典型题例示范讲解例1设z 1=m +(2－m 2)i , z 2=cos θ+(λ+sin θ)i , 其中m ,λ,θ∈R ，已知z 1=2z 2，求λ的取值范围错解分析 考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题技巧与方法 对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题解法一 ∵z 1=2z 2，∴m +(2－m 2)i =2cos θ+(2λ+2sin θ)i ,∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m∴λ=1－2cos 2θ－sin θ=2sin 2θ－si n θ－1=2(s in θ－41)2－89 当sin θ=41时λ取最小值－89，当sin θ=－1时，λ取最大值2 解法二 ∵z 1=2z 2 ∴⎩⎨⎧+=-=θλθsin 222cos 22m m ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--==222sin 2cos 2λθθm m , ∴4)22(4222λ--+m m =1 ∴m 4－(3－4λ)m 2+4λ2－8λ=0, 设t =m 2,则0≤t ≤4, 令f (t )=t 2－(3－4λ)t +4λ2－8λ,则⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥≥≤-≤≥∆0)4(0)0(424300f f λ或f (0)·f (4)≤0 ∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≤≥≤≤≤≤--≥0220434589λλλλλ或或 ∴－89≤λ≤0或0≤λ≤2 ∴λ的取值范围是［－89，2］ 例2如右图，一滑雪运动员自h =50m 高处A 点滑至O 点，由于运动员的技巧(不计阻力)，在O 点保持速率v 0不为，并以倾角θ起跳，落至B 点，令OB =L ，试问，α=30°时，L 的最大值为多少？当L 取最大值时，θ为多大？ 错解分析 考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活技巧与方法 首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题解 由已知条件列出从O 点飞出后的运动方程020cos cos 1sin 4sin 2S L v t h L v gt αθαθ==⎧⎪⎨-=-=-⎪⎩ ① ② 由①②整理得 v 0cos θ=.21sin sin ,cos 0gt t L v t L +-=αθα ∴v 02+gL sin α=41g 2t 2+22tL ≥2222412t L t g ⋅=gL 运动员从A 点滑至O 点，机械守恒有:mgh =21mv 02, ∴v 02=2gh ,∴L ≤)sin 1(2)sin 1(20αα-=-g ghg v =200(m)即L max =200(m),又41g 2t 2=22222L t h S =+ αθv 0hO∴θααcos 22cos cos ,20⋅====gL gh t v L S g L t 得cos θ=cos α,∴θ=α=30°∴L 最大值为200米，当L 最大时，起跳仰角为30° 例3如下图，某地一天从6时到14时的温度变化曲线近似满足函数y =A sin(ωx +φ)+b(1)求这段时间的最大温差 (2)写出这段曲线的函数解析式错解分析 不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母技巧与方法 数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式解 (1)由图示，这段时间的最大温差是30－10=20(℃)；(2)图中从6时到14时的图象是函数y =A sin(ωx +φ)+b 的半个周期的图象∴ωπ221⋅=14－6,解得ω=8π, 由图示A =21(30－10)=10，b =21(30+10)=20，这时y =10sin(8πx +φ)+20,将x =6,y =10代入上式可取φ=43π综上所求的解析式为y =10sin(8πx +43π)+20,x ∈［6,14］例4 已知α、β为锐角，且x (α+β－2π)＞0,试证不等式f (x )=)sin cos ()sin cos (αββα+x x ＜2对一切非零实数都成立证明 若x ＞0，则α+β＞2π∵α、β为锐角，∴0＜2π－α＜β＜2π;0＜2π－β＜2π,∴0＜sin(2π－α)＜sin β 0＜sin(2π－β)＜sin α，∴0＜cos α＜sin β,0＜cos β＜sin α,∴0＜cos sin αβ＜1,0＜αβsin cos ＜1,∴f (x )在(0,+∞)上单调递减，∴f (x )＜f (0)=2若x ＜0,α+β＜2π,∵α、β为锐角， 0＜β＜2π－α＜2π,0＜α＜2π－β＜2π, 0＜sin β＜sin(2π－α),∴sin β＜cos α,0＜sin α＜sin(2π－β),∴sin α＜cos β,∴cos sin αβ＞1, αβsin cos ＞1,∵f (x )在(－∞,0）上单调递增，∴f (x )＜f (0)=2,∴结论成立 学生巩固练习1 函数y =－x ·cos x 的部分图象是( )时间/h 温度/0C 30201014106o y xAoy xBoyxC oyxDo yx2 函数f (x )=cos2x +sin(2π+x )是( ) A 非奇非偶函数 B 仅有最小值的奇函数 C 仅有最大值的偶函数D 既有最大值又有最小值的偶函数3 函数f (x )=(31)｜cos x ｜在［－π，π］上的单调减区间为_________ 4 设ω＞0，若函数f (x )=2sin ωx 在［－4,3ππ，］上单调递增，则ω的取值范围是_________5 设二次函数f (x )=x 2+bx +c (b ,c ∈R ),已知不论α、β为何实数恒有f (sin α)≥0和f (2+cos β)≤0(1)求证 b +c =－1； (2)求证c ≥3； (3)若函数f (sin α)的最大值为8，求b ，c 的值 参考答案1 函数y =－x cos x 是奇函数，图象不可能是A 和C ，又当x ∈(0,2π)时，y ＜0答案 D 2 解析 f (x )=cos2x +sin(2π+x )=2cos 2x －1+cos x =2［(cos x +81)2212-］－1答案 D3 解 在［－π,π］上，y =｜cos x ｜的单调递增区间是［－2π,0］及［2π,π］ 而f (x )依｜cos x ｜取值的递增而递减,故［－2π,0］及［2π,π］为f (x )的递减区间4 解 由－2π≤ωx ≤2π，得f (x )的递增区间为［－ωπ2,ωπ2］，由题设得.230,23: 4232],2,2[]4,3[≤ω<∴≤ω⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧π≥ωππ-≤ωπ-∴ωπωπ-⊆ππ-解得 5 解 (1)∵－1≤sin α≤1且f (sin α)≥0恒成立，∴f (1)≥0 ∵1≤2+cos β≤3,且f (2+c os β)≤0恒成立 ∴f (1)≤0 从而知f (1)=0∴b +c +1=0(2)由f (2+cos β)≤0,知f (3)≤0,∴9+3b +c ≤0 又因为b +c =－1,∴c ≥3(3)∵f (sin α)=sin 2α+(－1－c )sin α+c =(sin α－21c +)2+c －()21(c +)2,当sin α=－1时，［f (sin α)］max =8,由⎩⎨⎧=++=+-0181c b c b 解得b =－4,c =3O B αy x。

高三数学第二轮专题讲座复习：应用性问题 高考要求 数学应用题是指利用数学知识解决其他领域中的问题 高考对应用题的考查已逐步成熟，大体是三道左右的小题和一道大题，注重问题及方法的新颖性，提高了适应陌生情境的能力要求重难点归纳 1 解应用题的一般思路可表示如下： 2 解应用题的一般程序 <1）读阅读理解文字表达的题意，分清条件和结论，理顺数量关系，这一关是基础<2）建将文字语言转化为数学语言，利用数学知识，建立相应的数学模型 熟悉基本数学模型，正确进行建“模”是关键的一关<3）解求解数学模型，得到数学结论 一要充分注意数学模型中元素的实际意义，更要注意巧思妙作，优化过程<4）答将数学结论还原给实际问题的结果 3 中学数学中常见应用问题与数学模型<1）优化问题 实际问题中的“优选”“控制”等问题，常需建立“不等式模型”和“线性规划”问题解决<2）预测问题 经济计划、市场预测这类问题通常设计成“数列模型”来解决<3）最<极）值问题 工农业生产、建设及实际生活中的极限问题常设计成“函数模型”，转化为求函数的最值 <4）等量关系问题 建立“方程模型”解决<5）测量问题 可设计成“图形模型”利用几何知识解决 典型题例示范讲解例1为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底宽为2M 的无盖长方体沉淀箱<如图），污水从A 孔流入，经沉淀后从B 孔流出，设箱体的长度为a M ，高度为b M ，已知流出的水中该杂质的质量分数与a 、b 的乘积ab 成反比，现有制箱材料60平方M ，问当a 、b 各为多少M 时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小<A 、B 孔的面积忽略不计）？命题意图 本题考查建立函数关系、不等式性质、最值求法等基本知识及综合应用数学知识、思想与方法解决实际问题能力 知识依托 重要不等式、导数的应用、建立函数关系式 错解分析不能理解题意而导致关系式列不出来，或a 与b 间的等量关系找不到 技巧与方法 关键在于如何求出函数最小值，条件最值可应用重要不等式或利用导数解决 解法一 设经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数为y ，则由条件y =(k ＞0为比例系数>其中a 、b 满足2a +4b +2ab =60①要求y 的最小值，只须求ab 的最大值 由①(a +2>(b +1>=32(a ＞0,b ＞0>且ab =30–(a +2b >应用重要不等式a +2b =(a +2>+(2b +2>–4≥BA 数学解答数学问题结论问题解决数学问题实际问题∴ab≤18，当且仅当a=2b时等号成立将a=2b代入①得a=6,b=3故当且仅当a=6,b=3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小解法二由2a+4b+2ab=60,得,记(0＜a＜30>则要求y的最小值只须求u的最大值由，令u′=0得a=6且当0＜a＜6时，u′＞0，当6＜u＜30时u′＜0,∴在a=6时取最大值，此时b=3从而当且仅当a=6，b=3时,y =取最小值例2某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相等为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？命题意图本题考查等比数列、数列求和解不等式等知识以及极限思想方法和运用数学知识解决实际问题的能力知识依托数列极限、等比数列、解不等式错解分析①不能读懂题意，找不到解题的突破口；②写出b n+1与x的关系后，不能进一步转化为极限问题；③运算出错，得不到准确结果技巧与方法建立第n年的汽车保有量与每年新增汽车数量之间的函数关系式是关键、尽管本题入手容易，但解题过程中的准确性要求较高解设2001年末的汽车保有量为b1万辆，以后各年汽车保有量依次为b2万辆，b3万辆，……每年新增汽车x万辆，则b1=30,b2=b1×0 94+x,…对于n＞1，有b n+1=b n×0 94+x=b n–1×0 942+(1+0 94>x,…所以b n+1=b1×0 94n+x(1+0 94+0 942+…+0 94n–1>=b1×0 94n +当≥0，即x≤1 8时，b n+1≤b n≤…≤b1=30当＜0，即x＞1 8时，并且数列{b n}逐项递增，可以任意靠近因此如果要求汽车保有量不超过60万辆，即b n≤60(n=1,2,…>则有≤60，所以x≤36综上，每年新增汽车不应超过36万辆例3一只小船以10 m/s的速度由南向北匀速驶过Array湖面，在离湖面高20M的桥上，一辆汽车由西向东以20 m/s的速度前进<如图），现在小船在水平P点以南的40M处，汽车在桥上以西Q点30M处<其中PQ⊥水面），则小船与汽车间的最短距离为<不考虑汽车与小船本身的大小）解读设经过时间t汽车在A点，船在B点，<如图），则AQ=30–20t,BP=40–10t,PQ=20,且有AQ⊥BP，PQ⊥A Q，PQ⊥PB，设小船所在平面为α,AQ,QP确定平面为β,记α∩β=l,由AQ∥α,AQβ得AQ∥l,又AQ⊥PQ，得PQ⊥l,又PQ⊥PB，及l∩PB=P得PQ⊥α作AC∥PQ，则AC⊥α连CB，则AC⊥CB，进而AQ⊥BP，CP∥AQ得CP⊥BP，∴AB2=AC2+BC2=PQ2+PB2+PC2=202+<40–10t）2+(30–20t>2=100［5(t–2>2+9］,t=2时AB最短，最短距离为30 m答案30 m例4 小宁中午放学回家自己煮面条吃，有下面几道工序 <1）洗锅盛水2分钟；<2）洗菜6分钟；<3）准备面条及佐料2分钟；<4）用锅把水烧开10分钟；<5）煮面条和菜共3分钟以上各道工序除<4）之外，一次只能进行一道工序，小宁要将面条煮好，最少用分钟解读按以下工序操作所需时间最少，①、④<并在此时完成②、③、⑤）所用时间为2+10+3=15分钟答案 15例 5 某产品生产厂家根据以往的生产销售经验得到下面有关销售的统计规律每生产产品x<百台），其总成本为G<x）万元，其中固定成本为2万元，并且每生产100台的生产成本为1万元<总成本=固定成本+生产成本），销售收入R(x>满足R(x>=假定该产品销售平衡，那么根据上述统计规律<1）要使工厂有盈利，产品x应控制在什么范围？<2）工厂生产多少台产品时赢利最大？并求此时每台产品的售价为多少？解依题意，G<x>=x+2,设利润函数为f(x>,则(1>要使工厂有赢利，则有f(x>>0当0≤x≤5时，有–0 4x2+3 2x–2 8>0,得1<x<7,∴1<x≤5当x>5时，有8 2–x>0,得x<8 2,∴5<x<8 2综上，要使工厂赢利，应满足1<x<8 2即产品应控制在大于100台小于820台的范围内<2）0≤x≤5时，f(x>=–0 4(x–4>2+3 6故当x=4时，f(x>有最大值3 6而当x>5时f(x><82–5=32所以当工厂生产400台产品时，赢利最大，此时只须求x=4时，每台产品售价为=2 4<万元/百台）=240<元/台）学生巩固练习1某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额①如果不超过200元，则不予优惠，②如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠，③如果超过500元，其500元按②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他一次购买上述同样的商品，则应付款( >A 413 7元B 513 7元C 546 6元D 548 7元 2 某体育彩票规定 从01到36共36个号码中抽出7个号码为一注，每注2元 某人想先选定吉利号18，然后再从01到17中选3个连续的号，从19到29中选2个连续的号，从30到36中选1个号组成一注，则此人把这种要求的号买全，至少要花( >A 1050元B 1052元C 2100元D 2102元 3 一个球从100M 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它最后静止在地面上时，共经过了M 4 有一广告气球直径为6M ，放在公司大楼上空<如图），当某行人在A 地观测气球时，其中心仰角为∠BAC =30°，并测得气球的视角β=2°，若θ很小时，可取sin θ=θ，试估计气球的高B C 的值约为M 5 运输一批海鲜，可在汽车、火车、飞机三种运输工具中选择，它们的速度分别为v 千M/小时、2v 千M/小时、10v 千M/小时，每千M 的运费分别为a 元、b 元、c 元 且b ＜a ＜c ,又这批海鲜在运输过程中的损耗为m 元/小时，若使用三种运输工具分别运输时各自的总费用<运费与损耗之和）互不相等 试确定使用哪种运输工具总费用最省 <题中字母均为正的已知量）参考答案 1 解读 此人购买的商品原价为168+423÷90%=638元，若一次购买同样商品应付款为500×90%+<638–500）×70%=450+96 5=546 6元 答案 C 2 解读 从01到17中选连续3个号有15种方法，从19到29中选连续2个号有10种选法，从30到36中选1个有7种选法，故购买注数为1050注至少花1050×2=2100元 C3 解读小球经过的路程为 m 答案 300 4 提示 sin2°= 答案86 m5 解设运输路程为S <千M ），使用汽车、火车、飞机三种运输工具运输时各自的总费用分别为y 1(元>、y 2(元>、y 3(元> 则由题意，,由a >b ,各字母均为正值，所以y 1–y 2>0，即y 2<y 1由y 3–y 2=［(c –b >–］S 令y 3–y 2>0,由c >b 及每字母都是正值，得c >b + 所以，当c >b +时y 2<y 3,由y 2<y 1即y 2最小，当b <a <c <b +时，y 3<y 2<y 1,y 3最小 申明：所有资料为本人收集整理，仅限个人学习使用，勿做商业用途。

课 题： 极限的综合应用 一、教学内容与教学目标（1）极限（12课时）数学归纳法。

数学归纳法应用举例。

数列的极限。

函数的极限。

极限的四则运算。

函数的连续性。

（2）教学目标（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

（2）从数列和函数的变化趋势了解数列极限和函数极限的概念。

（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限。

（4）了解连续的意义，借助几何直观理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质。

二、典例解析例1 已知函数f(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>+-+=<-+)1(11)1()1(12x x c bx x m x x bax（1）若函数f(x)在x=1处有极限，求a 、b 、c 的值； （2）若函数f(x)在x=1处连续，求m . 解：（1）∵-→1limx 12-+x bax存在，∴ax 2+b 含有因式x-1，即x=1是方程ax 2+b=0的根，∴a=-b ； ①∴-→1limx 12-+x bax=-→1lim x a(x+1)=2a ．同理由+→1lim x )11(+-+x c bx 存在，得b=-c ②；∴+→1lim x )11(+-+x c bx =+→1lim x (b+1)=b+1.∵1lim →x f(x)存在，∴2a=b+1， ③ 由①②③解得:a=31,b=-31,c=31；（2）若函数f(x)在x=1处连续，则有1lim →x =f(1)，由（1）知1lim →x f(x)=2a=32,∴m=32.例2 数列{a n }的前n 项和n S 满足：0*,,)12()1(1≠∈+=++t N n S t S t n n （1）求证{n a }是等比数列；（2）若{n a }的公比为)(t f ，数列{n b }满足：)1(,111nn b f b b ==+，求{b n }的通项公式；（3）定义数列{n c }为：nn n b b c 11+=，求{c n }的前n 项和n T ，并求.lim n n T ∞←解：（1）由：n n S t S t )12()1(1+=++，得1)12()1(-+=+n n S t S t ， 相减得：}{,121n nn a ta a ∴+=+是等比数列.（2）.12,1,2,2)1(111-===-∴+==++n b b b b b b f b n n n n nn 得（3）)121121(21)12)(12(111+--=-+==+n n n n b b c n n n ， ).1211(21)121121()5131()311[(21+-=+--++-+-=∴n n n T n .21lim =∴∞→n n T例3 已知等差数列}{n a 的公差d 大于0，且2a 、5a 是方程027122=+-x x 的两根，数列}{n b 的前n 项和为n T ，且n n b T 211-= )(*∈N n .（1）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （2）设数列}{n a 的前n 项和为n S ，试比较nb 1与1+n S 的大小.解：（1）由2a +5a =12，2a 5a =27，且d >0,所以2a =3，5a =9，从而1,23125==-=a a a d ，12-=∴n a n )(*∈N n 。

课 题： 导数(一) 一、教学内容与教学目标1．导数（15课时）导数的背景。

导数的概念。

多项式函数的导数。

利用导数研究函数的单调性与极值，函数的最大值与最小值。

利用导数研究简单实际问题的最大值与最小值。

微积分建立的时代背景和历史意义。

2. 教学目标（1）通过丰富的实际材料体验导数概念的背景。

（2）理解导数是平均变化率的极限；理解导数的几何意义。

（3）掌握函数y=Asin(ωx+φ)的导数公式，会求多项式函数的导数（4）理解极大值、极小值、最大值、最小值的概念，并会用导数求多项式函数的单调区间、极大值、极小值及闭区间上的最大值和最小值。

（5）通过解决科技、经济、社会中的某些简单实际问题，体验导数求最大值与最小值应用。

（6）通过介绍微积分建立的时代背景和过程，了解微积分科学价值、文化价值及基本思想。

二、典例解析例 1 已知定义在正实数集上的函数21()22f x x ax =+，2()3ln g x a x b =+，其中0a >．设两曲线()y f x =，()y g x =有公共点，且在该点处的切线相同．（I ）用a 表示b ，并求b 的最大值； （II ）求证：()()f x g x ≥（0x >）．解：（Ⅰ）设()y f x =与()(0)y g x x =>在公共点00()x y ，处的切线相同．()2f x x a '=+∵，23()a g x x '=，由题意00()()f x g x =，00()()f x g x ''=．即22000200123ln 232x ax a x b a x a x ⎧+=+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，， 由20032a x a x +=得：0x a =，或03x a =-（舍去）．即有222221523ln 3ln 22b a a a a a a a =+-=-． 令225()3ln (0)2h t t t t t =->，则()2(13l n )h t t t '=-．于是当(13ln )0t t ->，即130t e <<时，()0h t '>；当(13ln )0t t -<，即13t e >时，()0h t '<．故()h t 在130e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，为增函数，在13e ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，∞为减函数， 于是()h t 在(0)+，∞的最大值为123332h e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭． （Ⅱ）设221()()()23ln (0)2F x f x g x x ax a x b x =-=+-->， 则()F x '23()(3)2(0)a x a x a x a x x x -+=+-=>．故()F x 在(0)a ，为减函数，在()a +，∞为增函数， 于是函数()F x 在(0)+，∞上的最小值是000()()()()0F a F x f x g x ==-=．故当0x >时，2有()()0f x g x -≥，即当0x >时，()()f x g x ≥．例2 设3x =是函数23()()()x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点。