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专题一：三角函数与解三角形 第1讲 三角函数的图象与性质一：高考定位 三角函数的图象与性质是高考考查的重点和热点内容，主要从以下两个方面进行考查：1.三角函数的图象，涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题，主要以选择题、填空题的形式考查；2.利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查.二：真 题 感 悟1.(2020全国1理7)设函数f (x )＝cos(ωx ＋π6)在[－π，π]的图象大致如下图，则f (x )的最小正周期为( )A ．10π9B ．7π6C ．4π3D ．3π22.(2020山东、海南10)（多选）下图是函数y ＝sin(ωx ＋φ)的部分图象，则sin(ωx ＋φ)＝( )A ．sin(x ＋π3)B ．sin(π3－2x )C ．cos(2x ＋π6)D ．cos(5π6－2x )3.(2020全国3文5)已知sin θ＋sin(θ＋π3)＝1，则sin(θ＋π6)＝( )A ．12B ．33C ．23D ．224.(2019·全国Ⅱ卷)下列函数中，以π2为周期且在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2单调递增的是( )A.f (x )＝|cos 2x |B.f (x )＝|sin 2x |C.f (x )＝cos|x |D.f (x )＝sin|x |5.(2020·江苏卷)将函数y ＝3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移π6个单位长度，则平移后的图象中与y 轴最近的对称轴的方程是________.6.(2020·北京卷)若函数f (x )＝sin(x ＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为__________.7.(2019·全国Ⅰ卷)函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3π2－3cos x 的最小值为________.8.(2020全国3理9)已知2tan θ–tan(θ＋π4)＝7，则tan θ＝( )A ．–2B ．–1C ．1D ．29.(2020全国3理16)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题：①f (x )的图象关于y 轴对称． ②f (x )的图象关于原点对称． ③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称．④f (x )的最小值为2．其中所有真命题的序号是__________．三：考 点 整 合1.常用的三种函数的图象与性质(下表中k ∈Z ) 函数y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象递增 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π2，2k π＋π2 [2k π－π，2k π]⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2 递减 区间 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π2，2k π＋3π2 [2k π，2k π＋π]奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心(k π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎫k π＋π2，0 ⎝ ⎛⎭⎪⎫k π2，0对称轴 x ＝k π＋π2 x ＝k π 周期性2π2ππ2.三角函数的常用结论(1)y ＝A sin(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )求得. (2)y ＝A cos(ωx ＋φ)，当φ＝k π＋π2(k ∈Z )时为奇函数；当φ＝k π(k ∈Z )时为偶函数；对称轴方程可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )求得. (3)y ＝A tan(ωx ＋φ)，当φ＝k π(k ∈Z )时为奇函数. 3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ――——————————→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φ|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)――——————————→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0).y ＝sin ωx ―————————————―→向左(φ＞0)或向右(φ＜0)平移|φω|个单位y ＝sin(ωx ＋φ)————————————―→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0). 四：热点解析热点一 三角函数的定义与同角关系式1.已知512sin ,cos ,1313αα==-，则角α的终边与单位圆的交点坐标是（ ） A ．512(,)1313- B ．512(,)1313- C ．125(,)1313- D ．125(,)1313-2.(2018全国1文11)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点A (1，a )，B (2，b )，且cos2α＝23，则|a －b |＝( )A ．15B ．55C ．255D ．13.若sin α＝－513，且α为第四象限角，则tan α的值等于_____________．4.已知tan α＝2，则sin αcos α＋cos 2α2sin αcos α＋sin 2α＝，sin 2α－2sin αcos α＋2＝ ．5.已知sin α＋cos α＝15，α∈(0，π)，则cos α－sin α＝ ，tan α＝ ．探究提高1．三角函数求值(1) 知一求其余三角函数值；(2)关于sin α与cos α的齐次式，同除cos α或cos 2α，如果不是齐次，借助1＝sin 2α＋cos 2α构造齐次．(3)sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α间关系式注意 根据角的范围确定三角函数值正负．无法确定正负时可根据三角函数值的正负(或与特殊角的三角函数值)缩小角的范围．6．如图，在直角坐标系xOy 中，角α的顶点是原点，始边与x 轴正半轴重合，终边交单位圆于点A ，且(,)62ππα∈. 将角α的终边按逆时针方向旋转3π，交单位圆于点B ，记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2).（1）若113x =，求2x ；（2）分别过A ，B 作x 轴的垂线，垂足依次为C ，D ，记△AOC 的面积为S 1，△BOD 的面积为S 2，若122S S =，求角α的值.7.如图，在平面直角坐标系xOy 中，312A ⎫⎪⎪⎝⎭为单位圆上一点，射线OA 绕点O 按逆时针方向旋转θ后交单位圆于点B ，点B 的纵坐标y 关于θ的函数为()y fθ=.（1）求函数()y f θ=的解析式，并求223f f ππ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；（2）若1()3f θ=，求s inα＋s inα－s inαcosαinα和cosα tan αsin2α7cos sin 36ππθθ⎛⎫⎛⎫--+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值.热点二 三角函数的图象辨析(2019全国1理5)函数f (x )=sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．(2019全国1文5)函数f (x )＝sin x ＋xcos x ＋x 2在[－π，π]的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．3.(2017全国1文8)函数y ＝sin2x1－cos x的部分图象大致为( )A ．B ．C ．D ．12．（2020·天津和平区·高一期末）如图是函数()2sin()0,||2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的部分图象，则ω和ϕ的值分别为（ ）A ．2,6πB ．2,3π-C ．1,6πD ．1,3π-2.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个“零点”作为突破口，可以从图象的升降找准第一个“零点”的位置.2．（多选）已知函数()()()2sin 0,||f x x ωϕωϕπ=+><的部分图象如图所示，则（ ）A ．2ω=B ．3πϕ=C ．若123x x π+=，则()()12f x f x =D ．若123x x π+=，则()()120f x f x +=3．（多选）函数()sin(2)0,||2f x A x A πϕϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭部分图象如图所示，对不同x 1，x 2∈[a ，b ]，若f （x 1）＝f （x 2），有f （x 1+x 2）3=，则（ ）A ．a +b ＝πB ．2b a π-=C ．3πϕ=D ．()3f a b +=热点四 三角函数的性质1.已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是 ．2.已知函数y ＝A sin(2x ＋φ)的对称轴为x ＝π6，则φ的值为 ．3.已知函数y ＝cos(2x ＋φ)为奇函数，则φ的值为 ．4.将函数()π()2sin 26f x x =+的图象至少向右平移 个单位，所得图象恰关于坐标原点对称．5.若函数()sin()(0,0)f x A x A ωϕω=+>>的图象与直线y m =的三个相邻交点的横坐标分别是6π，3π，23π，则实数ω的值为 ．6.已知函数()sin()(030)f x x ωϕωϕ=+<<<<π，．若4x π=-为函数()f x 的一个零点，3x π=为函数()f x 图象的一条对称轴，则ω的值为 ．探究提高：三角函数对称问题方法：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ) 若x ＝x 0为对称轴⇔f (x 0)＝±A ． 若(x 0，0)为中心对称点⇔f (x 0)＝0．推论：对于函数y ＝A sin(ωx ＋φ)或y ＝A cos(ωx ＋φ)若函数y ＝f (x )为偶函数⇔f (0)＝±A ．若函数y ＝f (x )为奇函数⇔f (0)＝0．7.将函数()π()sin 6f x x ω=-（0ω>）的图象向左平移π3个单位后，所得图象关于直线πx =对称，则ω的最小值为 ． 8.对于函数()12sin 3()42f x x x R π⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭，有以下四种说法： ①函数的最小值是32-②图象的对称轴是直线()312k x k Z ππ=-∈ ③图象的对称中心为,0()312k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭④函数在区间7,123ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增． 其中正确的说法的个数是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．49.下列命题正确的是（ ）A ．函数sin ||y x =是偶函数又是周期函数B ．函数y =是奇函数C ．函数tan 6y ax π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的最小正周期是a π D ．函数cos(sin )y x =是奇函数10.设函数()()2sin 3f x x x R π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，下列结论中错误的是（ ） A ．()f x 的一个周期为2π吗 B ．()f x 的最大值为2 C ．()f x 在区间263ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减 D ．3f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的一个零点为 6x π=热点四 三角函数性质与图象的综合应用1.若动直线x a =与函数())12f x x π=+与()cos()12g x x π=+的图象分别交于M 、N 两点，则||MN 的最大值为（ ）A B ．1C ．2D ．32．设函数()()2sin 0,2f x x πωφφφ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的部分图象如图.若对任意的()()2x R f x f t x ∈=-，恒成立，则实数t 的最小正值为____.3．（多选）已知函数，f （x ）＝2sin x -a cos x 的图象的一条对称轴为6x π=-，则（ ）A ．点(,0)3π是函数，f （x ）的一个对称中心B ．函数f （x ）在区间(,)2ππ上无最值C ．函数f （x ）的最大值一定是4D ．函数f （x ）在区间5(,)66ππ-上单调递增4．已知函数()sin cos f x x a x =+的图象关于直线6x π=对称，1x 是()f x 的一个极大值点，2x 是()f x 的一个极小值点，则12x x +的最小值为______．。
第三讲 三角函数与解三角形——大题备考大题一般为两问：第一问一般为利用正、余弦定理实施“边角互化”求角，多与三角形的内角和定理、两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式等相结合；第二问一般与三角形的面积、周长问题相结合，有时与基本不等式相结合求三角形的周长或面积的最值等．微专题 1 三角函数的图象与性质保 分 题1.已知函数f(x)＝√3sin (ωx ＋π6)＋2sin 2(ωx 2+π12)－1(ω>0)的相邻两对称轴间的距离为π2.(1)求f(x)的解析式；(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y ＝g(x)的图象，当x ∈[－π12，π6]时，求函数g(x)的值域．2．[2022·湖南永州二模]已知函数f(x)＝A sin (ωx ＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示．(1)求f(x)；(2)将函数y ＝f(x)图象向左平移π12个单位，得到函数y ＝g(x)的图象，求g(x)在[0，π3]上的值域．技法领悟1．借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y＝A sin (ωx＋φ)＋B或(y＝A cos (ωx＋φ)＋B)的形式；2．把“ωx＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y＝A sin (ωx＋φ)＋B或(y＝A cos (ωx＋φ)＋B)的单调性、奇偶性、最值、对称性等问题．微专题2利用正弦、余弦定理解三角形保分题1.[2022·全国乙卷]记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin C sin (A－B)＝sin B sin (C－A)．(1)证明：2a2＝b2＋c2；(2)若a＝5，cos A＝25，求△ABC的周长．312．[2022·广东茂名二模]在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且a∶b＝2∶√3，2sin B＋√3sin A＝2√2.(1)求角B的大小；(2)若a＝2，求△ABC的面积．提 分 题 例1[2022·新高考Ⅰ卷]记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos A 1+sin A＝sin 2B 1+cos 2B.(1)若C ＝2π3，求B ；(2)求a 2+b 2c 2的最小值．听课笔记： 例2[2022·山东烟台三模]在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且b ＝2a cos A cos C ＋2c cos 2A. (1)求角A ；(2)若a ＝4，求c －2b 的取值范围． 听课笔记：技法领悟ab 1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S＝12 sin C型面积公式及基本不等式求解．2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．巩固训练11.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b(2sin A －√3cos A)＝a sin B.(1)求A；(2)若a＝2，点D为BC的中点，求AD的最大值．2．[2022·山东济南二模]已知△ABC 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，A＋C＝2B，a.△ABC的面积S＝√34(1)求边c；(2)若△ABC为锐角三角形，求a的取值范围．第三讲 三角函数与解三角形微专题1 三角函数的图象与性质保分题1．解析：(1)由题意，函数f (x )＝√3sin (ωx ＋π6)＋2sin 2[12(ωx ＋π6)]－1＝√3sin(ωx ＋π6)－cos (ωx ＋π6)＝2sin (ωx ＋π6−π6)＝2sin ωx因为函数f (x )图象的相邻两对称轴间的距离为π2，所以T ＝π，可得ω＝2.故f (x )＝2sin 2x .(2)将函数f (x )的图象向右平移π6个单位长度，可得y ＝2sin (2x －π3)的图象． 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y ＝g (x )＝2sin (4x －π3)的图象．当x ∈[－π12，π6]时，4x －π3∈[－2π3，π3]，当4x －π3＝－π2时，函数g (x )取得最小值，最小值为－2， 当4x －π3＝π3时，函数g (x )取得最大值，最大值为√3， 故函数g (x )的值域为[－2，√3].2．解析：(1)由最大值可确定A ＝2，因为T2＝7π12−π12＝π2，所以ω＝2πT ＝2， 此时f (x )＝2sin (2x ＋φ)，代入最高点(π12，2)， 可得：sin (π6＋φ)＝1，从而π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，结合|φ|<π2，于是当k ＝0时，φ＝π3， 所以f (x )＝2sin (2x ＋π3)．(2)由题意，g (x )＝f (x ＋π12)＝2sin [2(x ＋π12)＋π3]＝2sin (2x ＋π2)＝2cos 2x ， 当x ∈[0，π3]时，2x ∈[0，2π3]，则有cos 2x ∈[－12，1]，所以g (x )在区间[0，π3]上的值域为[－1，2].微专题2 利用正弦、余弦定理解三角形保分题1．解析：(1)证明：∵sin C sin (A －B )＝sin B sin (C －A )，∴sin C sin A cos B －sin C cos A sin B ＝sin B sin C cos A －sin B cos C sin A ， ∴sin C sin A cos B ＝2sin B sin C cos A －sin B cos C sin A . 由正弦定理，得ac cos B ＝2bc cos A －ab cos C . 由余弦定理，得a 2+c 2−b 22＝b 2＋c 2－a 2－a 2+b 2−c 22.整理，得2a 2＝b 2＋c 2. (2)由(1)知2a 2＝b 2＋c 2. 又∵a ＝5，∴b 2＋c 2＝2a 2＝50.由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 即25＝50－5031bc ，∴bc ＝312.∴b ＋c ＝√b 2+c 2+2bc ＝√50+31＝9， ∴a ＋b ＋c ＝14.故△ABC 的周长为14.2．解析：(1)由正弦定理知：asin A ＝bsin B ，则ab ＝sin Asin B ＝√3，所以2sin B ＋√3sin A ＝4sin B ＝2√2，则sin B ＝√22且π>B >0，可得B ＝π4或B ＝3π4， 又π>A >B >0，所以B ＝π4.(2)由题设，a ＝2，则b ＝√3，又B ＝π4， 所以cos B ＝a 2+c 2−b 22ac＝1+c 24c＝√22，整理得c 2－2√2c ＋1＝0，解得c ＝√2±1，满足题设．由S △ABC ＝12ac sin B ＝√22c ，所以，当c ＝√2＋1时S △ABC ＝1＋√22；当c ＝√2－1时S △ABC ＝1－√22.提分题[例1] 解析：(1)由已知条件，得sin 2B ＋sin A sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B .所以sin 2B ＝cos A ＋cos A cos 2B －sin A sin 2B ＝cos A ＋cos (A ＋2B )＝cos [π－(B ＋C )]＋cos [π－(B ＋C )＋2B ]＝－cos (B ＋C )＋cos [π＋(B －C )]＝－2cos B cos C ，所以2sin B cos B ＝－2cos B cos C ， 即(sin B ＋cos C )cos B ＝0.由已知条件，得1＋cos 2B ≠0，则B ≠π2，所以cos B ≠0，所以sin B ＝－cos C ＝12. 又0＜B ＜π3，所以B ＝π6.(2)由(1)知sin B ＝－cos C ＞0，则B ＝C －π2， 所以sin A ＝sin (B ＋C )＝sin (2C －π2)＝－cos 2C . 由正弦定理，得a 2+b 2c 2＝sin 2A+sin 2Bsin 2C＝cos 22C+cos 2Csin 2C＝(1−2sin 2C )2+(1−sin 2C )sin 2C＝2+4sin 4C−5sin 2Csin 2C＝2sin 2C ＋4sin 2C －5≥2√2sin 2C ·4sin 2C －5＝4√2－5，当且仅当sin 2C ＝√22时，等号成立，所以a 2+b 2c 2的最小值为4√2－5.[例2] 解析：(1)因为b ＝2a cos A cos C ＋2c cos 2A ， 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos A cos C ＋2sin C cos 2A ， 即sin B ＝2cos A (sin A cos C ＋sin C cos A )， 即sin B ＝2cos A sin (A ＋C )，因为A ＋B ＋C ＝π，所以A ＋C ＝π－B ，所以sin B ＝2cos A sin B . 因为B ∈(0，π)，所以sin B ≠0，所以cos A ＝12，因为A ∈(0，π)，所以A ＝π3. (2)由正弦定理得asin A ＝8√33， 所以c －2b ＝8√33(sin C －2sin B )＝8√33[sin (π－π3－B )－2sin B ] ＝8√33(√32cos B －32sin B )＝8(cos B cos π3－cos B sin π3)， 所以c －2b ＝8cos (B ＋π3)．因为B ∈(0，2π3)，所以B ＋π3∈(π3，π)，所以cos (B ＋π3)∈(－1，12)，所以c －2b ∈(－8，4)． [巩固训练1]1．解析：(1)在△ABC 中，由正弦定理得a sin B ＝b sin A .因为b (2sin A －√3cos A )＝a sin B ，所以b (2sin A －√3cos A )＝b sin A . 又b ≠0，所以sin A －√3cos A ＝0，所以tan A ＝√3. 因为△ABC 中，0<A <π，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，由a ＝2，A ＝π3及余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得4＝b 2＋c 2－bc ，所以b 2＋c 2＝bc ＋4≥2bc ，所以bc ≤4，当且仅当b ＝c ＝2时等号成立． 又点D 为BC 的中点，所以 AD⃗⃗⃗⃗⃗ 2＝(AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗2)2＝AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+2AB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗4＝c 2+b 2+bc4＝2bc+44≤3，所以|AD⃗⃗⃗⃗⃗ |max ＝√3， 即AD 的最大值为√3.2．解析：(1)因为A ＋C ＝2B ，A ＋B ＋C ＝π，所以B ＝π3； 因为S ＝12ac sin B ＝√34ac ＝√34a ，所以c ＝1.(2)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝csin C ，由(1)知B ＝π3，c ＝1，代入上式得：a ＝sin Asin C ＝sin(C+π3)sin C ＝12sin C+√32cos C sin C＝12+√32tan C ，因为△ABC 为锐角三角形，则A ＋C ＝2π3，A ＝2π3－C <π2，所以C ∈(π6，π2)，所以tan C ∈(√33，＋∞)， 所以a ＝12+√32tan C ∈(12，2)．。
三角函数与解三角形考纲要求：（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；（2）能利用单位圆中的三角函数线推导出απ±2、απ±的正弦、余弦、正切的诱导公式，能画出x y sin =、x y cos =、x y tan =的图像，了解三角函数的周期性；（3）理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π的性质（如单调性、最大值和最小值以及与x 轴交点等）.理解正切函数在区间)2,2(ππ-内的单调性；（4）理解同角三角函数的基本关系式：1cos sin 22=+x x ，x xxtan cos sin =； （5）了解函数)sin(ϕω+=x A y 的物理意义；能画出)sin(ϕω+=x A y 的图像，了解参数A 、ω、ϕ对函数图像变化的影响；（6）了解三角函数是描述周期变化现在的重要函数模型，会用三角函数解决简单实际问题；（7）会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．（8）能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．（9）能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．（10）能运用上述公式进行简单的恒等变换（包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）．（11）掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． （12）能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 考题分析：历年高考中的三角函数题的考查内容有三大重点：①三角函数的定义与求值；②三角函数的图象与性质；③解三角形.其特点是考查三角函数的基本知识和基本思维、技巧，可能会与平面向量结合，利用平面向量知识给出角或函数的条件.而近几年广东高考理科数学则以三角函数求值问题作为重点考查的知识，尤其是对三角函数定义的掌握.在二轮的复习中，建议抓住三大基本题型的结合，抓住三角恒等变换的基本思维方式，注意解三角形问题在实际问题上的应用.题型一：三角函数的定义与求值例1．如图，以Ox 轴为始边作角α与β（παβ<<<0），它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为（53-，54）. （1）求αααtan 112cos 2sin +++的值；（2）若OP ·0=OQ ，求)sin(βα+.例2．如图，在平面直角坐标系xoy 中，以ox 轴为始边做两个锐角α,β，它们的终边分别与单位圆相交于A,B 两点，已知A,B 的横坐标分别为10． （1）求tan(αβ+)的值； （2）求2αβ+的值．例3．已知向量(cos ,sin )OA αα=,02πα<<.向量)1,2(=m ，)5,0(=n ,且)(n OA m -⊥.（1）求向量OA ；（2）若sin()2πβ+=,0βπ<<，求2αβ+的值.题型二：三角函数的图象与性质例4．函数sin()y A x ωϕ=+（,,A ωϕ为常数，0>A ，0>ω）在闭区间[,0]π-上的图象如图所示，则ω= .例5．把函数)(sin R x x y ∈=的图象上所有的点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ） A ．)32sin(π-=x y ，R x ∈；B ．)62sin(π+=x y ，R x ∈；C ．)32sin(π+=x y ，R x ∈；D ．)322sin(π+=x y ，R x ∈.例６．已知函数()2sin()cos f x x x π=-. （1）求()f x 的最小正周期； （2）求函数()f x 的单调减区间 （3）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.例７．设函数⎪⎭⎫⎝⎛π-+=2sin sin )(x x x f ωω，R ∈x ． （1）若21＝ω，求)(x f 的最大值及相应的x 的集合； （2）若8π=x 是)(x f 的一个零点，且100<<ω，求ω的值和)(x f 的最小正周期．例8．已知向量()()2sin ,cos m x x π=--，3cos ,2sin()2n x x π⎛⎫=- ⎪⎭，函数()1f x m n =-⋅． （1）求函数()f x 的解析式；（2）当[]0,x π∈时，求()f x 的单调递增区间；（3）说明()f x 的图象可以由()sin g x x =的图象经过怎样的变换而得到．题型三：解三角形及其应用例9．在锐角ABC ∆中，1,2,BC B A ==则cos ACA的值等于 ，AC 的取值范围为 .例10．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，S 是该三角形的面积，（1）若(2sin cos ,sin cos )2B a B B B =-，(sin cos ,2sin )2Bb B B =+，//a b ，求角B ；（2）若8a =，23B π=，S =b 的值.例11．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 6B π=，4cos ,5A b ==（1）求a 的值；（2）求sin(2)A B -的值；60ABC东西北α例12．如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60方向的B 处，且与岛屿A 相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶 渔船乙，刚好用2小时追上． （1）求渔船甲的速度； （2）求sin α的值．专题练习二：1．下列关系式中正确的是（ ） A ．000sin11cos10sin168<<；B ．000sin168sin11cos10<<；C ．000sin11sin168cos10<<；D ．000sin168cos10sin11<<. 2．“sin α=21”是“212cos =α”的（ ）条件. A ．充分而不必要； B ．必要而不充分； C ．充要； D ．既不充分也不必要.3．已知3tan =α，则αα2cos 2sin 的值为______． 4．已知53)2cos(=+απ，且23,2(ππα∈，则=αtan ______. 5．函数R x x x y ∈+--=),6cos()3sin(2ππ的最小值是________．6．把函数)42sin(π+=x y 的图象向右平移8π个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的21，则所得图象的函数解析式为______________． 7．设函数)0(cos )(>=ωωx x f ，将)(x f y =的图象向右平移3π个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值为________．8．已知534sin 6cos(=+-απα，则)67sin(πα+的值是________． 9．如图所示，与函数)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω，πϕ<<0）的图象相对应的函数的解析式是__________．10．函数x x x f 52sin 52cos 3)(+=的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．11．已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x 轴的正半轴，若),4(y P 是角θ终边上一点，且552sin -=θ，则=y ________. 12．函数)sin()(ϕω+=x x f （0>ω，2πϕ<）的最小正周期为π，若其图象向左平移6π个单位后得到的函数为奇函数，则函数)(x f 图象的对称轴方程为______________．13．给出命题：①函数R x x x y ∈+--=),6cos()3sin(2ππ的最小值等于1-；②函数x x y ππc o s si n =是最小正周期为2的奇函数； 函数)4sin(x y +=π在区间]2,0[π上是单调递增的；③若02sin <α，0sin cos <-αα，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________．(写出所有真命题的序号)14．已知ABC ∆中，内角C B A ∠∠∠,,的对边分别为,,a b c ，若a c ==75A ∠=o，则b =_____________.15．在直角坐标系xOy 中，若角α的始边为x 轴的非负半轴，终边为射线)0(22:≥=x x y l ． （1）求)6sin(πα+的值；（2）若点Q P ,分别是角α始边、终边上的动点，且4=PQ ，求POQ ∆面积最大时，点Q P ,的坐标．16.函数)sin()(ϕω+=x A x f （0>A ，0>ω，2πϕ<）的一段图象如图所示． （1）求函数)(x f y =的解析式； （2）将函数)(x f y =的图象向右平移4π个单位，得到)(x g y =的图象，求直线2=y 与函数)()(x g x f y +=的图象在),0(π内所有交点的坐标．17．已知()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最大值是1，其图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． （1）求()f x 的解析式；（2）已知π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值．18．已知向量a )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin x x b x x ==b )3cos 3,3(cos ),3cos ,3(sin xx b x x a ==，函数()f x a b =a ·b ，（1）求函数)(x f 的单调递增区间；（2）如果△ABC 的三边a 、b 、c 满足ac b =2，且边b 所对的角为x ，试求x 的范围及函数)(x f 的值域．19．已知函数2()cos 2cos 1()f x x x x x R =+-∈ （1）求函数()f x 的最小正周期及在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值； （2）若006(),,542f x x ππ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，求0cos 2x 的值．20．已知22()(sin cos )2cos f x x x x =++2-． （1）求()f x 的最大值及相应的x 值；（2）当(0,)2πα∈时，已知()285f απ-=，求()f α的值.参考答案1.C ；2.A ；3.6；4.43；5.1-；6.x y 4sin =；7.6；8.54-； 9.)3221sin(2π+=x y ； 10.25π； 11.8-； 12.Z k k x ∈+=,1252ππ； 13.①③； 14.2；15.（1）设角α的终边)0(22:≥=x x y l 与单位圆122=+y x 的交点为),(y x A ，则有31=x ，322=y ，所以322sin =α，31cos =α， 所以2162cos 21sin 23)6sin(+=+=+ααπα. （2）依题意，设)0,(a P ，)22,(b b Q ，其中0>a ，0>b .因为4=PQ ，所以168)(22=+-b a b ，即162922+=+ab b a ， 所以ab b a ab 6916222≥+=+，所以4≤ab ， 所以POQ ∆面积2422221≤=⨯=ab b a S ，当且仅当b a 3=时等号成立. 即当32=a ，332=b 时，POQ ∆面积最大，最大值为24， 此时点P 的坐标为)0,32(，点Q 的坐标为)364,332(. 16.（1）由图可知)(x f 的最大值为2，且0>A ，所以2=A ；由)(x f 的最小正周期为πππωπ=--==)12(12112T ，且0>ω，所以2=ω； 又当6412πππ=+-=x 时，)(x f 有最大值，所以62ππϕ+=k （Z k ∈），因为2πϕ<，所以6πϕ=，所以)62sin(2)(π+=x x f . （2）依题意得)62cos(2)622sin(2)(πππ+-=+-=x x x g ，所以)122sin(22)()(π-=+x x g x f ，令2)122sin(22=-πx ，得22)122sin(=-πx ， 所以42122πππ+=-k x （Z k ∈），或432122πππ+=-k x （Z k ∈）， 所以6ππ+=k x （Z k ∈），或125ππ+=k x （Z k ∈）， 因为),0(π∈x ，所以6π=x ，或125π=x ， 即直线与函数)()(x g x f y +=的图象在),0(π内所有交点的坐标为)2,6(π和)2,125(π． 17.（1）因为)(x f 的最大值为1，且0>A ，所以1=A ；又因为)(x f 图像经过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，所以21)3sin()3(=+=ϕππf ， 所以623πππϕ+=+k （Z k ∈），或6523πππϕ+=+k （Z k ∈）， 所以62ππϕ-=k （Z k ∈），或22ππϕ+=k （Z k ∈），因为πϕ<<0，所以2πϕ=，所以x x x f cos )2sin()(=+=π.（2）由（1）知53cos )(==ααf ，1312cos )(==ββf ，因为π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，所以54cos 1sin 2=-=αα，135cos 1sin 2=-=ββ， 所以()f αβ-6556135********sin sin cos cos )cos(=⨯+⨯=+=-=βαβαβα. 18.（1）依题意，知23)332sin(2332cos 2332sin 213cos 33cos 3sin )(2++=++=+=πx x x x x x x f ， 令2233222πππππ+≤+≤-k x k ，Z k ∈，解得43453ππππ+≤≤-k x k ，Z k ∈，所以函数)(x f 的单调递增区间是]43,453[ππππ+-k k ，Z k ∈. （2）因为ac b =2，所以由余弦定理得212222cos 22222=-≥-+=-+=ac ac ac ac ac c a ac b c a x ，当且仅当c a =时等号成立.又因为x 是△ABC 的内角，所以x 的范围是]3,0(π.从而]95,3(332πππ∈+x ，所以1)332sin(23≤+<πx ，所以123)(3+≤<x f ， 即函数)(x f 的值域是]123,3(+． 19.（1）)62sin(2cos 2sin 31cos 2cos sin 32)(2π+=+=-+=x x x x x x x f ，所以函数()f x 的最小正周期π=T .因为]2,0[π∈x ，所以]67,6[62πππ∈+x ，所以1)62sin(21≤+≤-πx ，所以2)(1≤≤-x f ，所以当262ππ=+x 即6π=x 时，()f x 有最大值为2；当6762ππ=+x 即2π=x 时，()f x 有最小值为1-.（2）由（1）知56)62sin(2)(00=+=πx x f ，所以53)62sin(0=+πx .因为]2,4[0ππ∈x ，所以]67,32[620πππ∈+x ，所以54)62cos(0-=+πx ， 所以6sin )62sin(6cos )62cos()662cos(2cos 0000ππππππ+++=-+=x x x x 1034321532354-=⨯+⨯-=. 20.（1）)42sin(22cos 2sin 1cos 2cos sin 22cos 2)cos (sin )(222π+=+=-+=-++=x x x x x x x x x x f ，所以()f x 的最大值为2， 此时，2242πππ+=+k x （Z k ∈），即8ππ+=k x （Z k ∈）.（2）由（1）知523sin 2)82(==-απαf ，所以53sin =α. 因为(0,)2πα∈，所以54sin 1cos 2=-=αα，所以25242sin =α，2572cos =α，所以25312cos 2sin )4sin 2cos 4cos 2(sin 2)42sin(2)(=+=+⨯=+=ααπαπαπααf .。
