解三角形复习课(一)教学设计

《解直角三角形》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形。

（2）能够将实际问题中的数量关系转化为解直角三角形的数学问题，并能正确选用适当的锐角三角函数关系式解决问题。

2、过程与方法目标（1）通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，培养学生分析问题和解决问题的能力。

（2）通过将实际问题转化为数学问题，体会数学建模的思想。

3、情感态度与价值观目标（1）通过数学学习，让学生体验数学与生活的密切联系，激发学生学习数学的兴趣。

（2）培养学生严谨的科学态度和合作交流的意识。

二、教学重难点1、教学重点（2）将实际问题转化为解直角三角形的数学问题。

2、教学难点将实际问题中的数量关系转化为直角三角形中元素之间的关系。

三、教学方法讲授法、讨论法、练习法四、教学过程1、复习引入（1）提问：直角三角形的三边有什么关系？锐角之间有什么关系？边角之间有什么关系？（2）在直角三角形 ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A、∠B、∠C 所对的边分别为 a、b、c。

已知 a ＝ 3，b ＝ 4，求 c 的长度。

（3）已知∠A ＝ 30°，斜边 c ＝ 6，求∠A 的对边 a 的长度。

通过复习，为学习解直角三角形做好知识铺垫。

2、讲授新课（1）解直角三角形的概念在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

直角三角形中，除直角外，共有五个元素，即三条边和两个锐角。

只要知道其中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。

（3）解直角三角形的方法①已知两条直角边 a、b，求斜边 c 及锐角 A、B。

由勾股定理\（c ＝＼sqrt{a^2 ＋ b^2}＼），＼（＼tan A ＝＼frac{a}｛b}＼），则\（A ＝＼arctan\frac{a}｛b}＼），＼（B ＝ 90° A\）。

28.2解直角三角形教学设计第1课时一、教学任务分析二、教学流程安排三、教学过程设计教学程序及教学内容师生行为设计意图 活动一：复习引入1．在三角形中共有几个元素？2．直角三角形ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 、∠A 、∠B 这五个元素间有哪些等量关系呢？ (1)边角之间关系a bA b aA c bA c a A ====cot ;tan ;cos ;sin b aB abB c aB c b B ====cot ;tan ;cos ;sin(2)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(3)锐角之间关系∠A+∠B=90°．3．通过课本中“比萨斜塔”倾斜的问题，引出结直角三角形。

教师引导学生进行锐角三角形相关知识回顾与复习。

要求学生了解解直角三角形的依据，通过复习，使学生便于应用。

活动二：探究新知通过课本中“比萨斜塔”倾斜的问题，引出结直角三角形，详见书本P85页. 进行探究1：（1）在直角三角形中，除直角外的5个元素之间有哪些关系？（2）知道5个元素中的几个，就可以求其余元素？思考与提问：我们已掌握Rt △ABC 的边角关系、三边关系、角角关系，利用这些关系，在知道其中的两个元素(至少有一个是边)后，就可求出其余的元素．这样的导语既可以使学生大概了解解直角三角形的概念，同时又陷入思考，为什么两个已知元素中必有一条边呢？例题1在△ABC 中，∠C 为直角，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b=2， a=6，解这个三角形． 解 ∵tanA=a b =62=3 ∴ 60B ∠=∴ 9030A B ∠=-∠=∴C=2b=22详见P86-88页，例2，例3，例4；教师提问，学生互动； (1)三边之间关系a 2 +b 2 =c 2 (勾股定理)(2)锐角之间关系∠A+∠B=90°． （3）边角之间的关系如果用α∠表示直角三角形的一个锐角，那上述式子就可以写成.引导学生思考分析完成后，让学生独立完成教师组织学生比较各种方法中哪些较好，选一种板演。

第28章解直角三角形（单元复习课）教学任务分析问题1：在Rt △ABC 中，∠C=90°则（1）∠A 、∠B 的关系是_________， （2）_____,,的关系是c b a（3）边角关系是________________________________________________________________________________问题2：你能根据上述边角关系得到30°、45°、60°角的三角函数值吗？填写下表。

问题3：同角的三角函数之间有什么关系？互余的两角呢？问题4：锐角的正弦值是怎样随着角度数的变化而变化的？余弦、正切呢？其锐角三角函数值的范围分别是什么？ 2、组织交流，总结要点；3、板书教师总结知识结构图（多媒体展示）。

【学生活动】 1、学生反思回顾知识点，回答和完成导学案中的问题及三个表格；2、绘制出自己总结的知识结构图；3、交流展示自己总结的知识结构图及自主学习的成果；4、看听记教师的总结。

用数学的意识。

帮助学生学会用数学的思考方法解决实际问题，引发认知冲突，激发学生学习兴趣。

【媒体应用】1、展示反思回顾的问题；2、展示导学案中提出的问题；3、展示师生共同总结的本章本章要点和本章知识结构图。

活动三 基础训练，查补缺漏： 【基础闯关】1、Rt △ABC 中，∠C=90°若SinA= 时，tanA= 。

2、Rt △ABC 中，∠C=90°，若AC=3BC ，则CosA= 。

3、菱形ABCD 中对角线AC 交BD 于点O ，且AC=8，BD=6，则下列结论中正确的为（ ）A 、Sin ∠ADB=B 、Cos ∠DAB=C 、tan ∠DBA =D 、tan ∠ADB=4、计算： （1）（2）丨Sin45°- 1丨-【教师活动】 1、操作多媒体出示问题。

2、组织学生交流和点评，得出正确答案。

【学生活动】 1、尝试完成练习，有困难的同学可以合作完成； 2、参与交流展示及点评。

《解三角形》（复习课案例）发表时间：2011-11-18T15:23:06.347Z 来源：《少年智力开发报（课改论坛）》2011年31期作者：郝言阳[导读] 以往的教学中，常常是教师总结知识点和例题，学生模仿练习，靠大量习题的训练来完成，这样显然不利于学生主动探索自主学习，学生的思维得到了限制和压抑，不会有好的效果。

山东省莱阳第一中学数学组郝言阳一、教学设计1.学情分析：以往的教学中，常常是教师总结知识点和例题，学生模仿练习，靠大量习题的训练来完成，这样显然不利于学生主动探索自主学习，学生的思维得到了限制和压抑，不会有好的效果。

正如皮亚杰强调的“教师的工作不是‘教给’学生什么，而是努力构建学生的知识结构，并以种种方式刺激学生的欲望。

这样，学习对学生来说，就是一个‘主动参与’的过程”。

我们初步进行了让学生自己建构总结，学生较平时有了一些主动性，能独立思考总结，从过去被动的接受知识逐步过渡到主动探究索取知识，增强了学习数学的兴趣。

2.教材分析：《课标》把“解三角形”这部分内容安排在数学五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章有联系密切的内容，这使这部分的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁。

比如对余弦定理的证明常用的方法是借助于三角的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力。

3.课标要求：掌握正余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。

能够运用正余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。

在处理解三角形的实际应用问题中，获得综合运用解三角形的知识和方法解决实际问题的经验，发展创新意识。

4.设计思路：多媒体展示本章的知识网络及重要知识点，让学生自己加以对比补充。

②展示题目、小组讨论、教师环视：小组讨论时，教师要巡视教室，参与到学生的讨论中，并积极捕捉学生中出现的一些“意见”，尽量快速判断出教学中有利用价值的动态资源，并力求能巧妙地运用在教学活动中。

一轮复习解三角形教学设计临高中学吴金竹教学目标同步教学知识内容掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题个性化学习问题解决主要利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积及解三角形的具体应用问题教学重点熟练运用正、余弦定理解三角形教学难点学会对知识进行整理达到系统化，提高分析问题和解决问题的能力教学过程教师活动一、知识点复习二、典型例题题型1 利用正、余弦定理解三角形【例1】在△ABC中,已知a=2,b=,A=45°,则满足条件的三角形有().A.1个B.2个C.0个D.无法确定在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a2-b2=bc,且sin C=2sin B,则角A的大小为.题型2 与三角形面积有关的问题【例2】△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=a cos C.(1)求A 的值;(2)若a=2,求△ABC 面积的最大值; (3)若a=2,求△ABC 周长的取值范围.变式训练2在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且满足2ac sin B=a 2+b 2-c 2.(1)求角C 的大小;(2)若b sin (π-A )=a cos B ,且b=,求△ABC 的面积.【点拨】判断三角形形状问题，一是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为边与边之间的关系，通过因式分解等方法化简得到边与边关系式，从而判断出三角形的形状；（角化边）二是应用正弦定理、余弦定理将已知条件转化为角与角之间三角函数的关系，通过三角恒等变形以及三角形内角和定理得到内角之间的关系，从而判断出三角形的形状。

（边化角）三、课堂练习：1、满足︒=45A ，c=6，a=2的ABC ∆的个数为m ，则m a 为2、已知a=5，b=35，︒=30A ，解三角形。

解直角三角形的复习课教案（ 1）执教者：上海市园南中学姚春花教学目标： 掌握直角三角形的基本方法，能灵活运用锐角三角比解直角三角形。

并在解题过程中渗透化归方程等数学思想。

通过习题的变式， 让学生感悟图形间的联系，以及知识的本质。

通过一题多解，培养学生的发散思维。

教学重点与难点 ：寻找合适的方法灵活求解直角三角形。

教学过程 ： 一、回顾与思考1、在 Rt △ABC 中，∠ C=90°， b=2，c= 2 2 ,则∠ B=度； a=2、在 Rt △ABC 中，∠ C=90°，∠ A=3 0°， AB=3，则 AC= ；∠ B=度、在 Rt △ABC 中，∠ B=90°， sin A= 3， a=3，则 c= ；b=3 54、在 Rt △ABC 中，∠ A=60°∠ B=75°， AB=8，则 AC=归纳：1、解一个直角三角形要具备什么样的条件？生：除直角外，已知三角形的两个元素（其中至少有一个条件与边有关） ，才能解这个直角三角形。

2、解直角三角形运用到哪些定理或定义？（依据） ①勾股定理 ②锐角三角比 ③两锐角互余（以上四题均给出图形，教师根据学生的回答，让学生回顾知识）归纳：解直角三角形首先要根据题目给出图形， 其次关键在于正确选用只含有一个未知数的三角比的式子。

3、你能归纳出解一般三角形的思路吗？ 构造有效的直角三角形二、小试牛刀1、已知在 Rt △ABC 中，∠ ACB=9 0°， CD 是斜边 AB 上的高，AB=10， tan A3，求 AC 的长 C4A BD归纳：常用解法：①寻找 Rt△（根据三角比）②转化角（等角的同名三角比相等）③设元（列方程求解）2、已知，如图，在△ ABC 中，∠ A=3 0°，F 为 AC上一点，且 AF : FC 4 : 1, EF ⊥ AB，E 为垂足，联结 EC，求 tan∠CEB 的值。

解三角形复习课——几何背景下的三角形解法一、教学目标：1.能够识别什么样的三角形可解；2.形成解三角形的基本思路；3.突出核心素养，提升思维能力. 二、学情分析：教学对象为高三学生，对正余弦定理有一定的了解，但是对几何背景下的三角形求解思路没有系统的复习，没有形成思路. 三、教学重、难点：教学重点：形成解三角形的基本思路，提升思维能力，核心素养的培养. 教学难点：提升思维能力，核心素养的培养.四、教学过程:教师活动学生活动 设 计 意 图一、复习引入引例：在ABC △中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为,,a b c . （1）若3,4,13,c b a ===求.A ∠ 解：由余弦定理:2221cos ,22b c a A bc +-==(0,)A π∈,3A π∴=.（2）若2cos ,4,33C b a ===，求sin B .解：方法一:余弦定理：2222cos ,23a b c C ab +-==3c ∴=,5sin 3C =,正弦定理：sin sin b cB C=得:45sin 9B =. 方法二:由余弦定理：2222cos ,23a b c C ab +-==3c ∴=,余弦定理：2221cos 29a cb B ac +-==,45sin 9B ∴=. （3）30,120,23,C A a ∠=∠==求边b . 解：由题知：30B ∠=,正弦定理sin sin b aB A=, 2.b = 学生完成3道练习题，复习回顾所学知识.给学生提供简单的例子，首先起到复习定理的作用，同时让学生在操作过程中感悟问题及问题的解法，让学生思考、归纳具备什么样的边角关系三角形可解.问1：以上三道题中剩下的边角是否可解？ 问2：以上三道题减少一个条件三角形是否可解？ 思考1：已知哪些边、角三角形可解？ 已知：三边、两边一角、两角一边三角形可解.通过以上3道训练题思考、总结.引导学生自我探究、发现问题. 在老师的引导下总结什么样的三角形可解.二、学以致用、能力提升 例1：（2023年高考全国乙卷）在ABC △中，已知120BAC ∠=，2AB =，1AC =. （1）求sin ABC ∠；（2）若D 为BC 上一点，且90BAD ∠=，求ADC △的面积.DAB C解：（1）由余弦定理:2222cos1207BC AB AC AB AC =+-⋅= 所以7BC =. 由正弦定理：sin sin AC BCB A =,即17sin sin120B =， 所以21sin 14ABC ∠=. （2）因为90BAD ∠=,所以30CAD ∠=. 又因为21sin 14ABC ∠=,所以57cos 14ABC ∠=，3tan 5ABC ∠=. 因为2AB =,所以235AD =,所以11717224ADC S =⨯⨯⨯=△. 学生根据刚刚所总结的“可解三角形”的条件解决一道高考题，学生亲身体验、实践所学方法.在学生归纳出解三角形基本思路基础之上，通过练习进一步强化思路，为形成解三角形的基本思路作铺垫.思考2：解三角形的基本思路：选择三角形⇒判断三角形是否可解⇒构建可解三角形⇒根据三角形几何特征选择定理.学生根据已经做出来的例题，思考、总结解三角形的基本思路. 在学生归纳出“可解三角形”所具备的条件后，通过一道高考题加以实践，重点在于通过这两个问让学生感悟、总结解三角形基本思路.课堂练习：在四边形ABCD 中，,10,1460,135AD CD AD AB BAD BCD ⊥==∠=∠=，,求BC 的长. 思路分析：选择△BCD ,目前只知道BCD ∠, 目前△BCD 不可解，需要 利用余弦定理求出BD 、cos ADB ∠、sin BDC ∠,利用正弦定理：sin sin BC BDBDC BCD=∠∠求出.BC 解析：由余弦定理得：2222cos 156BD AB AD AB AD BAD =+-⋅∠=所以239BD =.由余弦定理得：22239cos 226AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅, 由题知90ADC ∠=, 所以39sin cos 26CDB ADB ∠=∠=. 由正弦定理得：sin sin BC BDCDB BCD=∠∠， 即239392262BC =，32BC =.及时演练，感受解题思路与方法.考虑到课堂时间的有限，本题只让学生思考解题思路，巩固所总结的解三角形基本思路.DABC例2（2024年南京二模）在平面四边形ABCD 中，135,90,2,2A B D AB AD ∠=∠=∠===,求四边形ABCD 的面积. 解析：连接ABCD ABD BCD S S S =+△△, 由题知45C ∠=. 由余弦定理得：2222cos BD AB AD AB AD A =+-⋅⋅∠，10BD =.由正弦定理得：sin sin sin BD AD ABA ABD ADB ==∠∠∠, 解得10sin 10310cos 10ABD ABD ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠=⎪⎩,5sin 525cos 5ADB ADB ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠=⎪⎩.因为90B D ∠=∠=,所以310sin 1025sin 5CBD CDB ⎧∠=⎪⎪⎨⎪∠=⎪⎩.由正弦定理得：sin sin sin DC BC BD CBD CDB C==∠∠∠，解得32,4DC BC ==,所以1sin 62BCD S DC BC C =⋅⋅⋅∠=△，因为1sin 12ABD S AB AD A =⋅⋅⋅∠=△，所以7.ABCD ABD BCD S S S =+=△△ 根据“思路”思考解决问题方案.将四边形面积转化为两个三角形面积之和，在求BCD △的面积时，发现边角不够，暂不可解，需要分析，算出BCD △相应边角，构造出可解三角形，进而求BCD △的面积.提炼升华、提升能力。

《解直角三角形》复习教案一、复习目标：1. 掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。

2. 熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。

3. 能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。

4. 会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。

二、复习重点：先构造直角三角形，再综合应用勾股定理和锐角三角函数解决简单的实际问题。

三、复习难点：把实际问题转化为解直角三角形的数学问题。

四、复习过程： （一）知识回顾 1.三角函数定义:我们规定 ①斜边的对边A ∠叫∠A 的正弦.记作斜边的对边A A ∠=sin②斜边的邻边A ∠叫∠A 的余弦.记作斜边的邻边A A ∠=cos③的邻边的对边A A ∠∠叫∠A 的正切.记作tanA=的邻边的对边A A ∠∠2.特殊角的三角函数值CBA 的对边 ∠A 的邻边3.互为余角的函数关系式:90°-∠A 与∠A 是互为余角.有A A cos )90sin(=-A A sin )90cos(=-通过这两个关系式,可以将正,余弦互化.如 50cos 40sin = 8451sin 2138cos '=' 4.三个三角函数性质当∠A 从30°增长到45°,再增长到60°,它的正弦值从21增到22,再增到23.说明正弦值随着∠A 的增大而增大.即两个锐角,大角的正弦大,反之两个锐角的正弦值比较,正弦值越大,角越大.如 48sin 50sin >.同理正切函数也具有相同的性质,如tan53°>tan40°比较两个函数值的大小,通常化成同名函数,再根据性质比较大小. （二）综合运用：例1:已知2)cos (sin ,450ααα-<<化简 解:|cos sin |)cos (sin 2αααα-=- αααcos sin ,450<∴<<比如αααααcos sin ,23cos ,21sin ,30<==. 再如50sin 40cos cos ,40sin sin ,40====ααα ααcos sin ,40cos 40sin <∴<所以ααααsin cos |cos sin |-=-例2. 如图，已知在Rt △ABC 中，∠ACB=Rt ∠，CD ⊥AB ，D 为垂足，CD=5，BD=2，B求：(1) tanA; (2)cos ∠ACD;(3)AC 的长。

1.3 解直角三角形(1)一、教学内容解析：本节是在学习锐角三角函数之后，结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理，研究解直角三角形的问题.本课内容既能加深对锐角三角函数概念的理解，又为后续解决与其相关的实际问题打下基础，在本章起到承上启下作用.二、教学目标：1、使学生理解直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．2、通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．3、渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．三、教学重难点重点：直角三角形的解法.难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用.四、教学手段与教学方法教学手段：多媒体教学.教学方法：启发式教学、小组合作学习.五、教学过程：（一）、设疑，激发兴趣1、组织教学，激情口号：我自信、我出色，我努力、我成功.2、情景导入：同学们，幻灯片上的这幅图片是意大利著名的比萨斜塔，它已经有800多年的历史了，在它落成的时候由于地基等问题就已经发生了倾斜，但是在1972年比萨地区发生地震，造成塔顶中心点偏离垂直中心线达到了5.2米.比萨斜塔的高为54.5米，根据以上信息，我们可以把这道实际问题抽象成什么样的几何图形呢？在这个直角三角形中，AB代表比萨斜塔的高54.5米.BC代表塔顶到垂直中心线的距离5.2米，我们能否根据已知条件求出比萨斜塔的倾斜角∠A，或者∠B以及AB的长呢？你们有多少种求法？这就是本节课我们要学习的内容，解直角三角形.3、板书课题：1.3解直角三角形（1）4、请同学们齐读本节课的学习目标.（二）、活动一：自学初探各组组长检查各小组导学案第二部分主“动”展示完成情况.由各小组举牌主动展示以下三个问题.1、什么叫做解直角三角形？2、在一个直角三角形中，一共有几个元素，这五个元素分别是什么？那这五个元素之间有没有什么关系呢？哪组同学愿意主动展示一下第2道题？(1)三边之间关系：(2)两锐角之间关系：(3)边角之间关系：以上三点就是解直角三角形的依据，我们熟知后就可以拿来运用了.3、在直角三角形中，知道几个已知元素就可以求其余未知元素？（三）、活动二：合作再探现在我们回到比萨斜塔这道题，哪名同学愿意上黑板上写出已知元素和要求的未知元素，把它变成解直角三角形的问题.（教师通过这个过程可以观察到学生是否真的理解了什么叫做解直角三角形。