高三第一轮复习解三角形题型总结新

解三角形解答题十大题型总结【题型目录】题型一：利用正余弦定理面积公式解题题型二：解三角形与三角恒等变换结合题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题题型五：角平分线相关的定理题型六：有关三角形中线问题题型七：有关内切圆问题（等面积法）题型八：与向量结合问题题型九：几何图形问题题型十：三角函数与解三角形结合【典例例题】题型一：利用正余弦定理面积公式解题【例1】△ABC 的内角、、A B C 的对边分别为a b c 、、,已知△ABC 的面积为23sin a A(1)求sin sin B C ;(2)若6cos cos 1,3,B C a ==求△ABC 的周长.【答案】(1)2sin sin 3B C =(2)3+.【详解】：（1）由题设得21sin 23sin a ac B A=，即1sin 23sin a c B A =.由正弦定理得1sin sin sin 23sin A C B A =.故2sin sin 3B C =.（2）由题设及（1）得1cos cos sin sin ,2B C B C -=-，即()1cos 2B C +=-.所以23B C π+=，故3A π=.由题设得21sin 23sin a bc A A=，即8bc =.由余弦定理得229b c bc +-=，即()239b c bc +-=，得b c +=.故ABC 的周长为3【例2】的内角的对边分别为,,a b c ，已知2sin()8sin 2B AC +=．（1）求cos B ；（2）若6a c +=，ABC ∆面积为2，求b ．【答案】（1）1517；（2）2．【详解】：（1）()2sin 8sin 2B A C +=，∴()sin 41cos B B =-，∵22sin cos 1B B +=，∴()22161cos cos 1B B -+=，∴()()17cos 15cos 10B B --=，∴15cos 17B =；（2）由（1）可知8sin 17B =，∵1sin 22ABC S ac B =⋅=，∴172ac =，∴()2222222217152cos 2152153617154217b ac ac B a c a c a c ac =+-=+-⨯⨯=+-=+--=--=，∴2b =．【例3】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=.（1）求角C ；（2）若c =332ABC S ∆=，求ABC ∆的周长.【答案】（1）3C π=（2）5+【详解】：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23π∴+=⇒=⇒=C A B C C C（2）11sin 6222∆=⇒=⋅⇒=ABC S ab C ab ab 又2222cos +-= a b ab C c 2213a b ∴+=，2()255∴+=⇒+=a b a b ABC ∆∴的周长为5+【例4】已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，c ccosA =-.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆，求b ，c .【答案】(1)3A π=(2)b c ==2【详解】(Ⅰ)由sin cos c C c A =-及正弦定理得sin cos sin sin A C A C C-=由于sin 0C ≠，所以1sin 62A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0A π<<，故3A π=.(Ⅱ)ABC ∆的面积S =1sin 2bc A ,故bc =4，而2222cos a b c bc A =+-故22c b +=8，解得b c ==2【例5】（2022·陕西·安康市教学研究室高三阶段练习（文））在ABC 中a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边．sin sin 2A C c b C +=．(1)求角B 的大小；(2)若112,2tan tan tan b A C B+==，求ABC 的面积．，【题型专练】1.已知,,a b c 分别为ABC ∆三个内角,,A B C 的对边，（1）求角A （2）若2a =，ABC ∆的面积为；求,b c .【答案】（1）（2）b=c=2【解析】：（1）由及正弦定理得sin cos sin sin sin 0A C A C B C --=，因为B A C π=--sin cos sin sin 0A C A C C --=．由于sin 0C ≠，所以1sin(62A π-=．又0A π<<，故3A π=．（2）ABC ∆的面积1sin 2S bc A ==4bc =，而2222cos a b c bc A =+-，故228b c +=．解得2b c ==．2.已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =．（1）若a b =，求cos ;B（2）若90B = ，且a =求ABC ∆的面积．【答案】（1）14；（2）1【解析】：（1）由题设及正弦定理可得22b ac=又a b =，可得2,2b c a c==由余弦定理可得2221cos 24a cb B ac +-==（2）由（1）知22b ac=因为90B = ，由勾股定理得222a cb +=故222a c ac +=，得c a ==所以的面积为13.（2021新高考2卷）在ABC 中，角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，1b a =+，2c a =+.．（1）若2sin 3sin C A =，求ABC 的面积；（2）是否存在正整数a ，使得ABC 为钝角三角形?若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由．【详解】（1）因为2sin 3sin C A =，则()2223c a a =+=，则4a =，故5b =，6c =，2221cos 28a b c C ab +-==，所以，C 为锐角，则37sin 8C ==，因此，11sin 452284ABC S ab C ==⨯⨯⨯=△；（2）显然c b a >>，若ABC 为钝角三角形，则C 为钝角，由余弦定理可得()()()()22222221223cos 022121a a a a b c a a C ab a a a a ++-++---===++，解得13a -<<，则0<<3a ，由三角形三边关系可得12a a a ++>+，可得1a >，a Z ∈ ，故2a =.4.（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，cos sin B a B =+．(1)求角A 的大小；(2)若2sin a B C ==，求ABC 的面积．5．（2022·安徽省宿松中学高二开学考试）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,,tan sin a b c B A C B ==.(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的面积为196，求ABC 外接圆的半径.题型二解三角形与三角恒等变换结合【例1】ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知B =150°.（1）若a ，b ，求ABC 的面积；（2）若sin A C =22，求C .【答案】（1；（2）15︒.【分析】（1）由余弦定理可得2222282cos1507b a c ac c ==+-⋅︒=，2,c a ABC ∴==∴△的面积1sin 2S ac B ==；（2）30A C +=︒ ，sin sin(30)A C C C∴=︒-+1cos sin(30)222C C C =+=+︒=，030,303060C C ︒<<︒∴︒<+︒<︒ ，3045,15C C ∴+︒=︒∴=︒.【例2】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知25cos ()cos 24A A π++=．（1）求A ；（2）若33b c a -=，证明：△ABC 是直角三角形．【答案】（1）3A π=；（2）证明见解析【分析】（1）因为25cos cos 24A A π⎛⎫++=⎪⎝⎭，所以25sin cos 4A A +=，即251cos cos 4A A -+=，解得1cos 2A =，又0A π<<，所以3A π=；（2）因为3A π=，所以2221cos 22b c a A bc +-==，即222b c a bc +-=①，又33b c a -=②，将②代入①得，()2223b c b c bc +--=，即222250b c bc +-=，而b c >，解得2b c =，所以a =，故222b a c =+，即ABC 是直角三角形．【例3】在ABC ∆中，满足222sin cos sin cos A B A B C -+=-．（1）求C ；（2）设()()2cos cos cos cos 5cos 5A B A B ααα++==，，求tan α的值.【详解】（1）∵221cos B sin B =-，221cos C sin C =-，∴222sin A cos B cos C -=-变形为22211sin A sin B sin C --+=--（）（），即222sin A sin B sin C ++=，利用正弦定理可得：222a b c ++=，由余弦定理可得cosC=22-，即C=34π.（2）由（1）可得cos （A+B ）=2，A+B=4π，又cosAcosB=cos()cos 3225A B A B ++-=（），可得72cos(A B)10-=，同时cos （αA +）cos （αB +）=72cos(2α)cos(2αA B)cos A B 41022π+++++-=（），∴22272272cos(2α)sin2αcos(αA)cos(αB)410210222cos cos cos πααα++-+++===222222722sinαcosα2102cos sin cos sin cos ααααα--++（）=222622552cos sin cos ααα+-=2510tan α+- 2tan α=5，∴2tan 5tan 62αα-+=，∴ 1tan α=或4.【题型专练】1.ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（22b c +=，求sin C ．【答案】（1）3A π=；（2）sin 4C +=.【分析】【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C-=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C+-=由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,A π∈ 3A π∴=（2）2b c +=，由正弦定理得：sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：62sin 4C =或624因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故62sin 4C +=.（2）法二：2b c += sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1cos sin 2sin222C C C ++=整理可得：3sin C C ，即3sin 6C C C π⎛⎫=- ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+62sin sin()464C ππ=+=.2.（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）已知在锐角ABC 中，sin tan 1cos B A B =+.(1)证明：2B A =；(2)求tan tan 1tan tan B A A B-的取值范围.，再逆用正切的差角公式，结合第一问的结论得到3.在ABC 中，已知223sin cos sin cos sin 222A CB +=.（1）求证：2a c b +=；（2）求角B 的取值范围.【详解】证明：（1）223sin cossin cos sin 222C A A C B += 1cosC 1cos 3sin sin sin 222A A C B++∴+=()()sin 1cosC sin 1cos 3sin A C A B ∴+++=sin sin sin cosC sin cos 3sin A C A C A B∴+++=()sin sin sin C 3sin A C A B ∴+++=C A B π++= A C B π∴+=-()sin sin A C B∴+=sin sin 2sin A C B∴+=根据正弦定理得：2a c b +=，得证．（2）由（1）知在ABC 中，2a c b+=又222cos 2a c b B ac +-=消去b 化简得：()2231611cos 84842a c ac B ac ac +=-≥-=当且仅当a c =时取等号，又B 为三角形的内角，0,3B π⎛⎤∴∈ ⎥⎝⎦题型三：三角形面积最大值，及取值范围问题【例1】在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若()tan tan 2AB C +=，且2a =，则ABC 的面积的最大值为A ．33B ．32CD．【答案】A【解析】：因为()tan tan2AB C +=，且B C A +=π-，所以()22tan2tan tan 1tan 2A B C A A +=-=--tan 02A =>，所以tan 2A =，则2π3A =.由于2a =为定值，由余弦定理得222π42cos 3b c bc =+-，即224b c bc =++.根据基本不等式得22423b c bc bc bc bc =++≥+=，即43bc ≤，当且仅当b c =时，等号成立.所以11433sin 22323ABC S bc A =≤⨯⨯=.故选：A【例2】ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sinsin 2A Ca b A +=．（1）求B ；（2）若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，求ABC ∆面积的取值范围．【答案】(1)3B π=;(2)33(,)82.【分析】(1)根据题意sinsin 2A C a b A +=，由正弦定理得sin sin sin sin 2A CA B A +=，因为0A π<<，故sin 0A >，消去sin A 得sin sin 2A CB +=．0<B π<，02AC π+<<因为故2A C B +=或者2A CB π++=，而根据题意A BC π++=，故2A C B π++=不成立，所以2A CB +=，又因为A BC π++=，代入得3B π=，所以3B π=.(2)解法一：因为ABC 是锐角三角形，由（1）知3B π=，A B C π++=得到23A C π+=，故022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，解得62C ππ<<.又应用正弦定理sin sin a cA C=，1c =，由三角形面积公式有：222sin()111sin 33sin sin sin 222sin 4sin ABC C a A S ac B c B c B c C Cπ-=⋅=⋅==⋅22sin cos cos sin 2123133(sin cos )4sin 43tan 38tan 8C C C C C ππππ-=⋅=⋅-=+.又因3,tan 623C C ππ<<>,故3313388tan 82C <+<，故3382ABC S <<.故ABC S 的取值范围是33,82解法二：若ABC ∆为锐角三角形，且1c =，由余弦定理可得b ==，由三角形ABC 为锐角三角形，可得2211a a a +-+>且2211a a a +-+>，且2211a a a +>-+，解得122a <<，可得ABC ∆面积1sin 23S a π==∈．【例3】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，若4a c +=，2sin sin sin B A C =+，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C．D ．4【答案】A 【解析】因为2sin sin sin B A C =+，所以2b a c =+，因4a c +=，所以2=b ，由余弦定理得()acacac ac ac b ac c a ac b c a B 221224216222cos 22222-=--=--+=-+=所以ac B ac 212cos 2-=，所以acacB -=6cos ，所以()()()()acac ac ac ac B B 22222661cos 1sin --=--=-=因11sin 22ABCa c ac a c Sac B ac ac ∆==⋅==因为ac c a 2≥+，所以()442=+≤c a ac，ABC S ∆=≤=注：此题也可用椭圆轨迹方程做【例4】在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C的对边，若2a =，b =，则ABC △的面积的最大值为（）AB ．2C ．D ．4【答案】A 【解析】因为2a =，b =，由余弦定理得()2222222324432432cos c c cc cc bcac b A -=⋅-+=-+=所以()()2244244222223216324121632161232441cos 1sin c c c c c c c cc A A -+-=-+-=--=-=因21sin 2ABCS bc A ∆===设t c =2，则ABCS∆==≤注：此题也可用圆轨迹方程做【题型专练】1.已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为____________．【解析】：由，且，故()()()a b sinA sinB c b sinC +-=-，又根据正弦定理，得()()()a b a b c b c +-=-，化简得，222b c a bc +-=，故222122b c a cosA bc +-==，所以060A =，又224b c bc bc +-=≥，故12BAC S bcsinA ∆=≤2.已知，，分别为△ABC 角，，的对边，cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，且=3，则下列结论中正确的是()A.=3B.=23C.△ABC D.△ABC 【答案】B【解答】解∵cos 2−cos 2−cos 2=cosvos +cos −cos2，∴(1−sin 2p −(1−sin 2p −(1−sin 2p =cosvos −cos(+p −(1−2sin 2p ，∴sinLin +sin 2+sin 2−sin 2=0，由正弦定理可得B +2+2−2=0，∴cos =2+2−22B=−12，又0<<，∴=23，即2=3=2+2−23=2+2+B⩾2B +B =3B ，当且仅当==1时取等号，∴B⩽1，∴=12Bsin 故选：B ．3.ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知B c C b a sin cos +=．（Ⅰ）求B ；（Ⅱ）若2=b ，求ABC 面积的最大值.【详解】(1)∵Bc C b a sin cos +=∴由正弦定理知B C C B A sin sin cos sin sin +=①在三角形ABC 中，()C B A +-=π∴()B C C B C B A sin sin cos sin sin sin +=+=②由①和②得C B C B sin cos sin sin =而()π,0∈C ，∴0sin ≠C ，∴B B cos sin =又()π,0∈B ，∴4π=B (2)ac B ac S ABC 42sin 21==∆，由已知及余弦定理得：4＝a 2+c 2﹣2ac cos 4π≥2ac ﹣2ac 22⨯，整理得：ac≤，当且仅当a ＝c 时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为(1212222⨯=+1=+4.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，设sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ）．（1）若b +c =3a ，求A ；（2）若a ＝2，求△ABC 的面积的最大值．【解析】（1）∵sin A cos B ＝sin B （2﹣cos A ），结合正、余弦定理，可得a •2+2−22B=b •（2−2+2−22B），化简得，c ＝2b ，代入b +c =3a ，得a =3b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =2+42−322δ2=12，∵A ∈（0，π），∴A =3．（2）由（1）知，c ＝2b ，由余弦定理知，cos A =2+2−22B =52−442=5412，∴△ABC 的面积S =12bc sin A ＝b 21−c 22=b 2=16=当b 2=209时，S 取得最大值，为43．5.在ABC ∆中，内角、、A B C 所对的边分别为,,a b c ，D 是AB 的中点，若1CD =且1()sin ()(sin sin )2a b A c b C B -=+-，则ABC ∆面积的最大值是___【答案】5如图，设CDA θ∠=，则CDB πθ∠=-,在CDA ∆和C D B ∆中，分别由余弦定理可得22221144cos ,cos()c c b a c cθπθ+-+-=-=，两式相加，整理得2222()02c a b +-+=，∴2222()4c a b =+-．①由()()1sin sin sin 2a b A c b C B ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭及正弦定理得()()1c b 2a b a c b ⎛⎫-=+- ⎪⎝⎭，整理得2222aba b c +-=，②由余弦定理的推论可得2221cos 24a b c C ab +-==，所以sin 4C =．把①代入②整理得2242aba b ++=，又222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立，所以54222ab ab ab ≥+=，故得85ab ≤．所以118sin 22545ABCab C S ∆=≤⨯=．即ABC ∆面积的最大值是5．故答案为5．6.（2023·全国·高三专题练习）在ABC 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c，且cos sin a b C B -=．(1)求B ；(2)若2a =，且ABC 为锐角三角形，求ABC 的面积S 的取值范围．题型四：三角形周长最大值，及取值范围问题【例1】在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a，b ，c ，若ABC 的面积为()2224a b c +-，且4c =，则ABC 的周长的取值范围是________.【答案】4,12]+【解析】因为ABC 的面积为()2224a b c +-，所以()2221sin 42a b c ab C +-=，所以222sin 2a b c C ab +-=.由余弦定理可得222cos 2a b c C ab +-=，sin C C =，即tan C ，所以3Cπ=.由正弦定理可得sin sin sin 3a b c A B C ===，所以83832(sin sin )sin sin 8sin 3336a b A BA A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.因为ABC 为锐角三角形，所以62A ππ<<，所以sin 126A π⎛⎫<+ ⎪⎝⎭，则ssin()86A π<+，即8a b <+≤.故ABC 的周长的取值范围是4,12]+.【例2】在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c sin sin cos sin B CC C A++=(1)求A ；(2)若ABC 的外接圆的半径为1，求22b c +的取值范围.c【例3】（2022·重庆八中高三阶段练习）在锐角ABC 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sinsin ,2A Ca b A b +==(1)求角B 的大小；(2)求2a c -的取值范围.【例4】（2022·四川省仁寿县文宫中学高三阶段练习（文））在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()sin sin 2B Ca A B c ++=．(1)求角A 的大小；(2)若角B 为钝角，求b的取值范围．【题型专练】1.在ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知222cos sincos sin sin A B C A B =++.（1）求角C 的大小；（2）若c ，求ABC ∆周长的取值范围.【答案】（1）23π；（2）(2+（1）由题意知2221sin sin 1sin sin sin A B C A B -=+-+，即222sin sin sin sin sin A B C A B +-=-，由正弦定理得222a b c ab+-=-由余弦定理得2221cos 222a b c ab C ab ab +--===-，又20,3C C ππ<<∴=.（2）2,2sin ,2sin 2sin sin sin sin3a b c a A b BA B C π====∴==，则ABC ∆的周长()2sin sin 2sin sin 2sin 33L a b c A B A A A ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=++++++ ⎪ ⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦230,,sin 1333323A A A πππππ⎛⎫<<∴<+<<+≤ ⎪⎝⎭ ，2sin 23A π⎛⎫∴<++≤ ⎪⎝⎭，ABC ∴∆周长的取值范围是(2+.2.ABC 中，sin 2A －sin 2B －sin 2C =sin B sin C ．（1）求A ；（2）若BC =3，求ABC 周长的最大值.【答案】（1）23π；（2）3+【分析】【详解】（1）由正弦定理可得：222BC AC AB AC AB --=⋅，2221cos 22AC AB BC A AC AB +-∴==-⋅，()0,A π∈ ，23A π∴=.（2）由余弦定理得：222222cos 9BC AC AB AC AB A AC AB AC AB =+-⋅=++⋅=，即()29AC AB AC AB +-⋅=.22AC AB AC AB +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭（当且仅当AC AB =时取等号），()()()22223924AC AB AC AB AC AB AC AB AC AB +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：AC AB +≤（当且仅当AC AB =时取等号），ABC ∴周长3L AC AB BC =++≤+，ABC ∴ 周长的最大值为3+.3.已知a ，b ，c 分别为ABC △三个内角A ，B ，C 的对边，(cos )a C C b c +=+．（1）求角A ；（2）若5a =，求ABC △的周长的最大值．【详解】（1）由题意知()(cos )sin cos sin sin a C C b c A C C B C =+⇒+=+，所以()()sin cos sin sin A C C A C C +=++，即sin cos sin sin cos cos sin sin A C A C A C A C C+=++sin cos sin sin A C A C C =+，因0sin ≠C cos 1A A -=，即2sin 16A π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又50,,666A A ππππ⎛⎫<<∴-∈- ⎪⎝⎭ ，所以66A ππ-=，所以3π=A （2）由余弦定理得：222222cos 25a b c b c A b c bc =+-⋅=+-=，即()2325b c b c +-⋅=.22b c b c +⎛⎫⋅≤ ⎪⎝⎭ （当且仅当b c =时取等号），()()()22221253324b c b c b c b c b c +⎛⎫∴=+-⋅≥+-=+ ⎪⎝⎭，解得：10b c +≤（当且仅当b c =时取等号），ABC ∴ 周长51015L a b c =++≤+=，ABC ∴ 周长的最大值为15.题型五：角平分线相关的定理【例1】在中ABC △，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，120ABC ∠=︒，BD BC ⊥交AC 于点D ，且1BD =，则2a c +的最小值为．【详解】由题意知ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222ac B cBD ABD aBD CBD ∴=∠+∠，即1311111122222ac c a ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯即2c a =+，所以12a c =+，所以))12422224333a c a c a c a c c a ⎛⎫⎫+++=+++≥+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭【例2】△ABC 中D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC,BD=2DC ．（Ⅰ）求sin sin BC∠∠；（Ⅱ）若60BAC ∠= ,求B ∠.【详解】（Ⅰ）由正弦定理得,,sin sin sin sin AD BD AD DCB BADC CAD==∠∠∠∠因为AD 平分∠BAC,BD=2DC,所以sin 1.sin 2B DC C BD ∠==∠.（Ⅱ）因为()180,60,C BAC B BAC∠=-∠+∠∠=所以()31sin sin cos sin .22C BAC B B B ∠=∠+∠=∠+∠由（I ）知2sin sin B C ∠=∠,所以3tan ,30.3B B ∠=∠= 【例3】（河南省豫北名校普高联考2022-2023学年高三上学期测评（一）文科数学试卷）在ABC 中，内角,,A B C的对边分别为,,a b c ，且______．在①cos cos 2b C B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭；②2ABC S BC =⋅△ ；③tan tan tan A C A C +-这三个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并进行解答．(1)求角B 的大小；(2)若角B 的内角平分线交AC 于D ，且1BD =，求4a c +的最小值．ABC ABD BCD S S S =+ ，12π1sin 232ac c ∴=⋅即333444ac c a =+，a c ac ∴+=，a ac +∴()11444552a c a c a c ac c a ⎛⎫∴+=++=++≥+ ⎪⎝⎭【题型专练】1.在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23BAC π∠=，BAC ∠的平分线交BC 于点D ，1AD =，则b c +的最小值为．【详解】ABC ABD BCD S S S ∆∆∆=+ ，所以111sin sin sin 222bc A cAD BAD bAD CAD ∴=∠+∠，即11111222222bc c ∴⨯=⨯⨯+⨯⨯，即bc b c =+，所以111b c ∴=+，所以()111124b cb c b c b c c b ⎛⎫+=++=+++≥+= ⎪⎝⎭2.ABC ∆中，D 是BC 上的点，AD 平分∠BAC ，ABD ∆面积是ADC ∆面积的2倍．(1)求sin sin BC；(2)若AD ＝1，DC ＝22，求BD 和AC 的长．【详解】，1sin 2ACD S AC AD CAD ∆=⋅⋅∠，∵2ABD ACD S S ∆∆=，BAD CAD ∠=∠，∴2AB AC =．由正弦定理可知sin 1sin 2B AC C AB ∠==∠.（2）∵::2:1ABD ACD BD DC S S ∆∆==，22DC =，∴BD =．设AC x =，则2AB x =，在△ABD 与△ACD中，由余弦定理可知，2222cos 2AD BD AB ADB AD BD +-∠==⋅222232cos 2x AD CD AC ADC AD CD -+-∠==⋅∵ADB ADC π∠+∠=，∴cos cos ADB ADC ∠=-∠，2232x -=，解得1x =，即1AC =．题型六：有关三角形中线问题遇到角平分线问题一般有两种思路：思路一：中线倍长法思路二：利用平面向量【例1】在ABC ∆中，,,a b c 分别是内角,,A B C 所对的边，且满足cos 0cos 2B bC a c+=+，（1）求角B 的值；（2）若2c =，AC 边上的中线32BD =，求ABC ∆的面积.【详解】（1）cos cos sin 00cos 2cos 2sin sin B b B BC a c C A C+=⇔+=++,()cos 2sin sin sin cos 0B A C B C ⇒++=2sin cos cos sin sin cos 0A B B C B C ⇒++=()2sin cos sin 0A B B C ⇒++=.()1sin 2cos 10,sin 0,cos 2A B A B ⇒+=≠∴=-.所以23B π=,（2）解法一：中线倍长法：延长BD 到E ，使BD=DE ，易知四边形AECD 为平行四边形，在BEC ∆中，EC=2，,因为23ABC π∠=，所以3BCE π∠=，由余弦定理2222cos BE EC BC EC BC BCE =+-⋅⋅∠，即223222cos3a a π=+-⋅⋅，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=解法二：BC BA BD +=，所以()22BC BA BD +=B+=即︒++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛120cos 223222ac a c ，即⎪⎭⎫⎝⎛-⨯⨯++=21424432a a ，2210a a -+=，解得1a =，所以1133sin 122222ABC S ac B ∆==⋅⋅⋅=【例2】（2022·广东佛山·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知2π3A =．(1)若6a =，ABC的面积为D 为边BC 的中点，求AD 的长度；(2)若E 为边BC上一点，且AE =，:2:BE EC c b =，求2b c +的最小值．【题型专练】1．（2022·广东广州·一模）在ABC 中，内角A ，B ，C 所对边的长分别为a ，b ，c ，且满足cos sin 2B Cb a B +=.(1)求A ；(2)若a =，3BA AC ⋅=，AD 是ABC 的中线，求AD 的长.2．（2022·黑龙江·哈师大附中高三阶段练习）在①()()()()sin sin sin a c A B a b A B -+=-+；②2S BC =⋅；③cos sin b C a c B =；这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．问题：在ABC 中，角、、A B C 的对边分别为,,a b c ，且______．(1)求角B 的大小；(2)AC 边上的中线2BD =，求ABC 的面积的最大值．题型七：有关内切圆问题（等面积法）【例1】在▵B中，sin2=B=1，B=5，则A.B=25B.▵B 的面积为32C.▵BD.▵B【答案】B【解答】解：∵sin2=∴cos=1−2sin22=1−2×2=35，又B=1，B=5，∴由余弦定理，B2=B2+B2−2B⋅B⋅cos=52+12−2×5×1×(35)=20，∴B=25，故A正确；∵cos=35且为三角形内角，∴sin=1−cos2=45，所以△B的面积为=1=12×1×5×45=2，故B错误；根据正弦定理B sin=2o其中表示外接圆的半径)得：2=45=即△B C正确；如图，设△B内切圆圆心为，半径为，连接B，B，B，因为内切圆与边B ，B ，B 相切，故设切点分别为，，，连接B ，B ，B ，可知：B =B =B =，且B ⊥B ，B ⊥B ，，根据题意：△B =12B ⋅B ⋅sin =12×5×1×45=2，利用等面积可得：△B +△B +△B =△B ，即：12B ⋅+12B ⋅+12=2，∴=4B+B+B==D 正确．故选ACD ．【例2】（2022·四川·绵阳中学高二开学考试（理））已知在ABC 中，()254cos 4sin A B C ++=．(1)求角C 的大小；(2)若ABC 的内切圆圆心为O ，ABC 的外接圆半径为4，求ABO 面积的最大值．【题型专练】1.三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，则()A.三角形另一边长为6B.三角形的周长为20C.三角形内切圆面积为3D.【答案】B【解答】解：因为三角形有一个角是︒60，夹在这个角的两边长分别为8和5，A .由余弦定理得：三角形另一边长为82+52−2×8×5×cos60°=7，故A 错误；B .三角形的周长为8+5+7=20，故B 正确；C .设三角形内切圆的半径为，由面积法得到：12×8×5×sin60°=12×20×，解得=3，所以内切圆的面积为，故C 正确；D .设三角形外接圆的半径为，则由正弦定理得到7sin60°=2，解得=，故D 错误．故选BC ．2.（2022·全国·清华附中朝阳学校模拟预测）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2cos a cC Cb-=.(1)求角B 的大小；(2)若2b =，记r 为ABC 的内切圆半径，求r 的最大值.题型八：与向量结合问题【例1】锐角ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量()m a =与(cos ,sin )n A B = 平行．（1）求角A ；（2）若a =ABC ∆周长的取值范围．【解析】解：（1）因为：//m n，所以：sin cos 0a B A =，由正弦定理，得：sin sin cos 0A B B A -=，又因为：sin 0B ≠，从而可得：tan A =，由于：0A π<<，所以：3A π=．（2）因为：由正弦定理知sin sin sin 3b c aB C A====，可得：三角形周长sin )3l a b c B C =++=+，又因为：23C B π=-，所以：2sin sin sin sin()36B C B B B ππ+=+-=+，因为：ABC ∆为锐角三角形，所以：62B ππ<<，2(,)633B πππ+∈，3sin sin (2B C +∈，所以：l ∈．【例2】（2022·河北沧州·高三阶段练习）在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知(2)cos cos ,3b c A a C a -==．(1)求角A ；(2)若点D 满足1233BD BA BC =+，求BCD △面积的最大值．【题型专练】1.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a c >．已知2BA BC = ，1cos 3B =，3b =．求：（1）a 和c 的值；（2）cos()B C -的值．【解析】解：（1）2BA BC= ，1cos 3B =，3b =，可得cos 2ca B =，即为6ac =；2222cos b a c ac B =+-，即为2213a c +=，解得2a =，3c =或3a =，2c =，由a c >，可得3a =，2c =；（2）由余弦定理可得2229947cos 22339a b c C ab +-+-===⨯⨯，sin C ==，sin B ==，则17224223cos()cos cos sin sin 393927B C B C B C -=+=⨯+⨯．2.ABC ∆中，a 、b 、c 分别是三内角A 、B 、C 的对边，若1AB AC BA BC ==．解答下列问题：（1）求证：A B =；（2）求c 的值；（3）若||AB AC +=ABC ∆的面积．【解析】证明：（1）因AB AC BA BC =，故cos cos bc A ac B =，即cos cos b A a B =．由正弦定理，得sin cos sin cos B A A B =，故sin()0A B -=，因为A B ππ-<-<，故0A B -=，故A B =．⋯（4分）（2）因1AB AC = ，故cos 1bc A =，由余弦定理得22212b c a bc bc+-=，即2222b c a +-=；又由（1）得a b =，故22c =，故c =．⋯（10分）（3）由||AB AC += 22||||2||6AB AC AB AC ++=，即2226c b ++=，故224c b +=，因22c =，故b =，故ABC ∆是正三角形，故面积23342ABC S ∆=⨯=．⋯（16分）题型九：几何图形问题【例1】在ABC ∆中，3B π∠=，15AB =，点D 在边BC 上，1CD =，1cos 26ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求ABC ∆的面积．【解析】解：（1）由1cos 26ADC ∠=，可得153sin 26ADC ∠==，则11sin sin()sin cos cos sin 333226BAD ADC ADC ADC πππ∠=∠-=∠-∠=-⨯．（2）在ABD ∆中，由正弦定理可得sin sin BD AB BAD ADB =∠∠=，解得7BD =，所以718BC =+=，所以ABC ∆的面积11sin 158sin 223S AB BC ABD π=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=【例2】如图，在ABC ∆中，6B π∠=，AB =，点D 在BC 边上，且2CD =，1cos 7ADC ∠=．（1）求sin BAD ∠；（2）求BD ，AC 的长．【解析】解：（1）在ADC ∆中，因为1cos 7ADC ∠=，所以sin 7ADC ∠=，所以sin sin()BAD ADC B ∠=∠-∠sin cos cos sin ADC B ADC B=∠-∠433117272=-⨯1114=．（2）在ABD ∆中，由正弦定理得11sin 1411sin 437AB BADBD ADB⋅∠===∠，在ABC ∆中，由余弦定理得：222222cos 13213492AC AB BC AB BC B =+-⋅⋅=+-⨯⨯．所以7AC =．【例3】如图，在ABC ∆中，2AB =，1cos 3B =，点D 在线段BC 上．（1）若34ADC π∠=，求AD 的长；（2）若2BD DC =，ACD ∆sin sin BADCAD∠∠的值．【解析】解：（1）ABC ∆ 中，1cos 3B =，22sin 3B ∴=．34ADC π∠= ，4ADB π∴∠=．ABD ∆=，83AD ∴=；（2）设DC a =，则2BD a =，2BD DC = ，ACD ∆，1222323a ∴=⨯⨯⨯，2a ∴=AC ∴==由正弦定理可得42sin sin BAD ADB=∠∠，sin 2sin BAD ADB ∴∠=∠．242sin sin CAD ADC =∠∠，2sin 4CAD ADC ∴∠=∠，sin sin ADB ADC ∠=∠ ，∴sin sin BADCAD∠=∠【例4】如图，在平面四边形ABCD 中，45A ∠=︒，90ADC ∠=︒，2AB =，5BD =．（1）求sin ADB ∠；（2）若DC =，求BC ．【解析】解：（1）ABD ∆中，45A ∠=︒，2AB =，5BD =，由正弦定理得sin sin AB BDADB A=∠，即25sin sin 45ADB =∠︒，解得2sin 5ADB ∠=；（2）由90ADC ∠=︒，所以2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=，在BCD ∆中，由余弦定理得：222222cos 52525BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅∠=+-⨯⨯，解得5BC =．【例5】在平面四边形ABCD 中，90ADC ∠= ，45A ∠= ，2AB =，5BD =.（1）求cos ADB ∠；（2）若DC =，求BC .【答案】（1）5；（2）5.【分析】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin sin BD ABA ADB=∠∠.由题设知，52sin45sin ADB =∠o，所以2sin 5ADB ∠=.由题设知，90ADB ∠<o ，所以cos 5ADB ∠==；（2）由题设及（1）知，2cos sin 5BDC ADB ∠=∠=.在BCD ∆中，由余弦定理得22222cos 25825255BC BD DC BD DC BDC =+-⋅⋅⋅∠=+-⨯⨯=.所以5BC =.【题型专练】1.如图，在平面四边形ABCD 中，1AD =，2CD =，AC =（1）求cos CAD ∠的值；（2）若cos BAD ∠=21sin 6CBA ∠=，求BC 的长．【解析】解：1AD =，2CD =，AC =（1）在ADC ∆中，由余弦定理，得222cos 2AC AD CD CAD AC AD+-∠= ．∴cos CAD ∠=；（2）设BAC α∠=，则BAD CAD α=∠-∠，cos 21sin 7321sin 143sin 2CAD BAD CAD BAD α∠=∠=-∴∠=∠=∴=，在ABC ∆中，由正弦定理，sin sin BC ACCBAα=∠，解得：3BC =．即BC 的长为3．2.在平面四边形ABCD中，,2,2,AB BC AB BD BCD ABD ABD ⊥==∠=∠∆的面积为2．（1）求AD 的长；（2）求CBD ∆的面积．【解析】解：（1）由已知11sin 2sin 222ABD S AB BD ABD ABD ∆=∠=⨯∠= ，所以sin ABD ∠=(0,2ABD π∠∈，所以cos ABD ∠=在ABD ∆中，由余弦定理得：2222cos 5AD AB BD AB BD ABD =+-∠= ，所以AD =．（2）由AB BC⊥，得2ABD CBD π∠+∠=，所以5sin cos 5CBD ABD ∠=∠=，又42,sin 2sin cos 5BCD ABD BCD ABD ABD ∠=∠∠=∠∠=，()222BDC CBD BCD ABD ABD ABD CBD ππππ∠=-∠-∠=--∠-∠=-∠=∠，所以CBD ∆为等腰三角形，即CB CD =，在CBD ∆中，由正弦定理得：sin sin BD CDBCD CBD=∠∠，所以sin 51155455,sin 4sin 42244585CBDBD CBDCD S CB CD BCD BCD∆∠====∠=⨯⨯⨯=∠．3.如图，在平面四边形ABCD 中，2AB =，6BC =，4AD CD ==．（1）当四边形ABCD 内接于圆O 时，求四边形ABCD 的面积S ；（2）当四边形ABCD 的面积最大时，求对角线BD的长．【解析】（本题满分为14分）解：（1）连接BD ，由余弦定理可得：222222cos 24224cos BD AB AD AB AD A A =+-=+-⨯⨯⨯ ，222222cos 46246cos BD BC CD BC CD C C =+-=+-⨯⨯⨯ ，可得：2016cos 5248cos A C -=-，2⋯分又四边形ABCD 内接于圆O ，则又A C π+=，所以：2016cos 5248cos()A A π-=--，化简可得：1cos 2A =-，又(0,)A π∈，所以23A π=，3C π=，4⋯分所以12124sin 46sin 2323ABD BCD S S S ππ∆∆=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=，6⋯分（2）设四边形ABCD 的面积为S ，则11sin sin 22ABD BCD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ，可得：222222cos 2cos BD AB AD AB AD A BC CD BC CD C =+-=+- ，8⋯分可得：22221124sin 46sin 2224224cos 46246cos S A C A C ⎧=⨯⨯+⨯⨯⎪⎨⎪+-⨯⨯=+-⨯⨯⎩，可得：sin 3sin 423cos cos S A CC A⎧=+⎪⎨⎪=-⎩，平方后相加，可得：24106sin sin 6cos cos 16S A C A C +=+-，即：266cos()16S A C =-+，10⋯分又(0,2)A C π+∈，当A C π+=时，216S 有最大值，即S 有最大值．此时，A C π=-，代入23cos cos C A =-，可得：1cos 2C =，又(0,)C π∈，可得：3C π=，12⋯分在BCD ∆中，可得：222222cos 46246cos 283BD BC CD BC CD C π=+-=+-⨯⨯⨯= ，可得BD =．14⋯分4.如图所示，已知圆内接四边形ABCD ，记tan tan tan tan 2222A B C D T =+++．（1）求证：22sin sin T A B=+；（2）若6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，求T 的值及四边形ABCD 的面积S．【解析】解：（1）sincos sin cos222222tan tan tan tan tan cot tan cot 22222222sin sin cos sin cos sin 2222A AB BA B A B A A B B T A A B B A Bππ--=+++=+++=+++=+．（2）由于：6AB =，3BC =，4CD =，5AD =，由题知：cos cos 0BAD BCD ∠+∠=，可得：22222222470227AB AD BD BC CD BD BD AB AD BC CD +-+-+=⇒= ，则3cos 7A =，sin A =则1()sin 2S AD AB CD BC A =+= ，则1610()sin sin 219S AB BC AD CD ABC ABC =+∠=∠=，22sin sin T A B =+==5.如图，角A ，B ，C ，D 为平面四边形ABCD 的四个内角，6AB =，3BC =，4CD =．（1）若60B =︒，30DAC ∠=︒，求sin D ；（2）若180BAD BCD ∠+∠=︒，5AD =，求cos BAD ∠．【解析】解：（1）在ABC ∆中，222361cos 2362AC B +-==⨯⨯，222363627AC ∴=+-⨯=，AC ∴=ACD ∆中，由正弦定理sin sin DAC D CD AC∠=，sin sin sin 30AC D DAC CD ∴=⋅∠=︒=．（2）在ABD ∆中，22256cos 256BD BAD +-∠=⨯⨯，在BCD ∆中，22234cos 234BD BCD +-∠=⨯⨯，180BAD BCD ∠+∠=︒ ，cos cos 0BAD BCD ∴∠+∠=，∴22222256340256234BD BD +-+-+=⇒⨯⨯⨯⨯可得：222(2536)5(916)0120BD BD +-++-=，可得：22261252550BD BD ⨯-+⨯-=，可得27247BD =，则BD =22224725365637cos 256607BDBAD +-+-∴∠===⨯⨯．6.某市欲建一个圆形公园，规划设立A ，B ，C ，D 四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中A ，B ，C 的位置已确定，2AB =，6BC =（单位：百米），记ABC θ∠=，且已知圆的内接四边形对角互补，如图，请你为规划部门解决以下问题．（1）如果4DC DA ==，求四边形ABCD 的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为283π万平方米，求cos θ的值．【解析】解：（1）连结BD ，可得四边形ABCD 的面积为：11sin sin 22ABD CBD S S S AB AD A BC CD C ∆∆=+=+ ， 四边形ABCD 内接于圆，180A C ∴+=︒，可得sin sin A C =．11sin sin 22S AB AD A BC CD C =+ 1()sin 2AB AD BC CD A =+1(2464)sin 2A =⨯+⨯16sin A =．(*)⋯在ABD ∆中，由余弦定理可得：222222cos 24224cos 2016cos BD AB AD AB AD A A A =+-=+-⨯⨯=- ，同理可得：在CDB ∆中，222222cos 64264cos 5248cos BD CB CD CB CD C C C =+-=+-⨯⨯=- ，2016cos 5248cos A C ∴-=-，结合cos cos(180)cos C A A =︒-=-，得64cos 32A =-，解得1cos 2A =-，(0,180)A ∈︒︒ ，120A ∴=︒，代入(*)式，可得四边形ABCD面积16sin120S =︒=．（2） 设圆形公园的半径为R ，则面积为283π万平方米，可得：2283R ππ=，可得：2213R =，∴由正弦定理2sin AC R B ==sin θ==由余弦定理可得：AC ==sin θ∴==214sin 159cos θθ=-，22sin cos 1θθ+= ，∴2159cos cos 114θθ-+=，整理可得：2214cos 9cos 10θθ-+=，∴解得：1cos 7θ=，或12．7.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c已知sin 0,2A A a b +===.（1）求角A 和边长c ；（2）设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥,求ABD ∆的面积.【答案】（1）23π，4；（2）3.【解析】（1）sin 3cos 0,tan 3A A A +=∴=- ，20,3A A ππ<<∴=，由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-，即21284222c c ⎛⎫=+-⨯⨯- ⎪⎝⎭，即22240c c +-=，解得6c =-（舍去）或4c =，故4c =.(2)2222cos c b a ab C =+- ，162842272cos C ∴=+-⨯⨯⨯，22cos ,72cos 77AC C CD C∴=∴===，12CD BC ∴=，1134223222ABC S AB AC sin BAC ∆∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯=，132ABD ABC S S ∆∆∴==.8.四边形的内角与互补，．（1）求和；（2）求四边形的面积．【答案】（1）60C =︒，7BD =；（2）23．【详解】：（1）连接BD ．在ABD ∆和CBD ∆中，利用余弦定理列等式2222BD BC CD BC=+-cos CD C ⋅和2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅，且cos cos C A =-，代入数据得54cosC +，求cos C 的值，进而求C 和的值；（2）由（1）知ABD ∆和CBD ∆的面积可求，故四边形等于ABD ∆和CBD ∆的面积．（1）由题设及余弦定理得2222cos BD BC CD BC CD C=+-⋅．①2222cos BD AB DA AB DA A =+-⋅54cosC =+．②。

高考数学（解三角形）第一轮复习资料1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ． 2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =；②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2cC R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ；④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．3、三角形面积公式：111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ．4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cos c a b ab C =+-．5、余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac+-B =，222cos 2a b c C ab +-=．6、设a 、b 、c 是C ∆AB 的角A 、B 、C 的对边，则：①若222a b c +=，则90C =； ②若222a b c +>，则90C <；③若222a b c +<，则90C >．第一节 正弦定理与余弦定理1.（2008·陕西理，3）△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若c =2，b =6，B =120°,则 a 等于 （ ） A.6 B.2 C.3 D.2答案 D2.（2008·福建理，10）在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若（a 2+c 2-b 2）tan B =3ac ，则角B 的值为( ) A.6πB.3π C.6π或65π D.3π或32π答案 D3.下列判断中正确的是 （ ）A .△ABC 中，a =7，b =14，A =30°,有两解B .△ABC 中，a =30,b =25,A =150°，有一解C .△ABC 中，a =6,b =9，A =45°，有两解D .△ABC 中，b =9,c =10,B =60°,无解 答案 B4. 在△ABC 中，若2cos B sin A =sin C ,则△ABC 一定是（ ）A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形 答案 B5. 在△ABC 中，A =120°,AB =5,BC =7，则CBsin sin 的值为（ ）A.58 B.85C.35D.53答案 D6.△ABC 中，若a 4+b 4+c 4=2c 2(a 2+b 2),则∠C 的度数是 （ ） A.60° B.45°或135° C.120°D.30°答案 B7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ,b ,c ，若a =1,b =7,c =3,则B = . 答案65π 8. 在△ABC 中，A =60°,AB =5,BC =7,则△ABC 的面积为 . 答案 3109. （2008·浙江理，13）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .若（3b -c ）cos A =a cos C ，则cos A = . 答案33 10. 在△ABC 中，已知a =3,b =2,B =45°,求A 、C 和c . 解 ∵B =45°＜90°且a sin B ＜b ＜a ,∴△ABC 有两解. 由正弦定理得sin A =b B a sin =245sin 3︒=23, 则A 为60°或120°.①当A =60°时，C =180°-(A +B )=75°, c =B C b sin sin =︒︒45sin 75sin 2=︒︒+︒45sin )3045sin(2=226+.②当A =120°时，C =180°-(A +B )=15°, c =B C b sin sin =︒︒45sin 15sin 2=︒︒-︒45sin )3045sin(2=226-.故在△ABC 中，A =60°,C =75°,c =226+或A =120°,C =15°,c =226-.11. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A ，B ，C 的对边，且C B cos cos =-ca b+2.（1）求角B 的大小；（2）若b =13，a +c =4，求△ABC 的面积.解 （1）由余弦定理知：cos B =ac b c a 2222-+，cos C =ab c b a 2222-+.将上式代入C Bcos cos =-c a b +2得:ac b c a 2222-+·2222c b a ab -+=-ca b +2整理得:a 2+c 2-b 2=-ac ∴cos B =acb c a 2222-+=ac ac 2- =-21∵B 为三角形的内角，∴B =32π. （2）将b =13,a +c =4,B =32π代入b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b 2=(a +c )2-2ac -2ac cos B ∴b 2=16-2ac ⎪⎭⎫⎝⎛-211,∴ac =3.∴S △ABC =21ac sin B =433. 12. 在△ABC 中，a 、b 、c 分别表示三个内角A 、B 、C 的对边，如果（a 2+b 2）sin （A -B ）=（a 2-b 2）sin （A +B ），判断三角形的形状.解 方法一 已知等式可化为a 2［sin （A -B ）-sin （A +B ）］=b 2［-sin （A +B ）-sin(A -B )］∴2a 2cos A sin B =2b 2cos B sin A由正弦定理可知上式可化为：sin 2A cos A sin B =sin 2B cos B sin A∴sin A sin B (sin A cos A -sin B cos B )=0∴sin2A =sin2B ,由0＜2A ,2B ＜2π 得2A =2B 或2A =π-2B ,即A =B 或A =2π-B ,∴△ABC 为等腰或直角三角形. 方法二 同方法一可得2a 2cos A sin B =2b 2sin A cos B由正、余弦定理,可得a 2b bc a c b 2222-+= b 2a acb c a 2222-+ ∴a 2(b 2+c 2-a 2)=b 2(a 2+c 2-b 2)即(a 2-b 2)(a 2+b 2-c 2)=0∴a =b 或a 2+b 2=c 2∴△ABC 为等腰或直角三角形.13. 已知△ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ,b ,c ,若△ABC 的面积为S ，且2S =(a +b )2-c 2，求tan C 的值.解 依题意得ab sin C =a 2+b 2-c 2+2ab ,由余弦定理知,a 2+b 2-c 2=2ab cos C . 所以,ab sin C =2ab (1+cos C ),即sin C =2+2cos C ,所以2sin2C cos 2C =4cos 22C 化简得：tan 2C =2.从而tan C =2tan 12tan22C C-=-34. 14. 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos2B -8cos B +5=0,求角B 的大小并判断△ABC 的形状.解 方法一 ∵2cos2B -8cos B +5=0,∴2(2cos 2B -1)-8cos B +5=0.∴4cos 2B -8cos B +3=0, 即(2cos B -1)(2cos B -3)=0. 解得cos B =21或cos B =23（舍去）.∴cos B =21.∵0＜B ＜π,∴B =3π. ∵a ，b ，c 成等差数列，∴a +c =2b .∴cos B =acbc a 2222-+=acc a c a 2)2(222+-+=21，化简得a 2+c 2-2ac =0,解得a =c .又∵B =3π，∴△ABC 是等边三角形. 方法二 ∵2cos2B -8cos B +5=0，∴2（2cos 2B -1）-8cos B +5=0.∴4cos 2B -8cos B +3=0，即(2cos B -1)(2cos B -3)=0.解得cos B =21或cos B =23（舍去）.∴cos B =21,∵0＜B ＜π,∴B =3π, ∵a ,b ,c 成等差数列，∴a +c =2b .由正弦定理得sin A +sin C =2sin B =2sin 3π=3. ∴sin A +sin ⎪⎭⎫⎝⎛-A 32π=3，∴sin A +sin A cos 32π-cos A sin 32π=3. 化简得23sin A +23cos A =3,∴sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πA =1. ∴A +6π=2π,∴A =3π,∴C =3π,∴△ABC 为等边三角形. 15. （2008·广东五校联考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a +b =5，c =7，且4sin22B A +-cos2C =27. (1)求角C 的大小；（2）求△ABC 的面积. 解 （1）∵A +B +C =180°,由4sin 22B A +-cos2C =27,得4cos 22C-cos2C =27,∴4·2cos 1C +-(2cos 2C -1)=27,整理,得4cos 2C -4cos C +1=0,解得cos C =21, ∵0°＜C ＜180°,∴C =60°.(2)由余弦定理得c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,即7=a 2+b 2-ab ,∴7=(a +b )2-3ab ， 由条件a +b =5,得7=25-3ab ,ab =6,∴S △ABC =21ab sin C =21×6×23=233. 第二节 正弦定理、余弦定理的应用1.从A 处望B 处的仰角为α，从B 处望A 处的俯角为β，则βα、的关系为（ ） A.α＞βB.α=βC.α+β=90°D.α+β=180°答案 B2.已知A 、B 两地的距离为10 km,B 、C 两地的距离为20 km,现测得∠ABC =120°，则A 、C 两地的距离为 （ ） A.10 km B.3 km C.510 km D.107 km答案 D3. 为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20 m 的楼顶处测得塔顶A 的仰角为30°，测得塔基B 的俯角为45°，那么塔AB 的高度是 （ ）A.)331(20+m B.)231(20+ m C.)31(20+ m D.30 m答案 A4．如图，位于港口O 正东20海里B 处的渔船回港时出现故障．位于港口南偏西30°，距港口10海里C 处的拖轮接到海事部门营救信息后以30海里/小时的速度沿直线CB 去营救渔船，则拖轮到达B 处需要________小时．解析：由余弦定理得BC ＝202＋102－2×10×20cos120°＝107，从而需73小时到达B 处．答案：735．(2010年南京市高中联考)如图，海岸线上有相距5海里的两座灯塔A ，B ，灯塔B 位于灯塔A 的正南方向．海上停泊着两艘轮船，甲船位于灯塔A 的北偏西75°，与A 相距32海里的D 处；乙船位于灯塔B 的北偏西60°方向，与B 相距5海里的C 处．则两艘轮船之间的距离为________海里．解析：连结AC .则AC ＝5，在△ACD 中，AD ＝32，AC ＝5，∠DAC ＝45°，由余弦定理得CD ＝13.答案：136.(2010年宁波十校联考)一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西60°方向上，另一灯塔在南偏西75°方向上，则该船的速度是________海里/小时．解析：假设该船从A 处航行到了D 处，两座灯塔分别在B 、C 位置，如图，设AD 长为x ，则AB ＝x tan60°，AC ＝x tan75°，所以BC ＝x tan75°－x tan60°＝10，解得x ＝5，所以该船的速度v ＝50.5＝10(海里/小时)．答案：107.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．解析：连结OC ，在三角形OCD 中，OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17500，∴OC ＝507.答案：5078.(原创题)在Rt △ABC 中，斜边AB ＝2，内切圆的半径为r ，则r 的最大值为________．解析：∵r ＝a ＋b －c 2＝a ＋b 2－1，∵4＝a 2＋b 2≥(a ＋b )22，∴(a ＋b )2≤8，∴a ＋b ≤22，∴r ≤2－1.答案：2－19.(2009年高考辽宁卷)如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D 为两岛上的两座灯塔的塔顶，测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449)．解：在△ACD 中，∠DAC ＝30°， ∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°， 故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC，所以AB ＝AC sin60°sin15°＝32＋620. 同理，BD ＝32＋620≈0.33(km)，故B 、D 的距离约为0.33 km.。

333绵阳市开元中学高 2014 级高三一轮复习③ tan (A + B )= - tan C ；④sinA + BC = cos , ⑤cosA +B = sinC 《解三角形》知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：7．实际问题中的常用角 （1）仰角和俯角2 22 2 一、知识点归纳（★☆注重细节，熟记考点☆★）1. 正弦定理及其变形在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角（如图①）asin A = b sin B = c sin C= 2R (R 为三角形外接圆半径） 变式：（1） a = 2R sin A , b = 2R sin B , c = 2R sin C (边化角公式）（2）sin A = a ,sin B =2Rb , sin C =c 2R 2R (角化边公式） （2） 方位角（3）a : b : c = sin A : sin B : sin C(4) a = sin A , a = sin A , b =sin B b sin B c sin C c sin C2. 正弦定理适用情况： （1） 已知两角及任一边；（2） 已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）. 3. 余弦定理及其推论从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如 B 点的方位角为 α（如图②）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。

仰角与俯角是相对于水平线而言的， 而方位角是相对于正北方向而言的。

（3） 方向角：相对于某一正方向的水平角（如图③）如： ①北偏东 即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；a 2 =b 2 +c 2 - 2bc cos Acos A =b 2 +c 2 - a 22bc②“东北方向”表示北偏东（或东偏北） 45︒ .（4） 坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图④，角 θ 为坡角）b 2 = a 2 +c 2 - 2ac cos B c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos Ccos B =a 2 + c 2 -b 22ac a 2 + b 2 - c 2二、题型示例（★☆注重基础，熟记方法☆★）4. 余弦定理适用情况：cos C =2ab1．在V ABC 中，若∠A ＝60°，∠B ＝45°，BC ＝3 2，则 AC ＝ ()（1）已知两边及夹角；（2）已知三边.注．解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化(这也是正余弦定理的作用)，统一成边的形式或角的形式.5. 常用的三角形面积公式A.4B ．2C ．D ． 2 2．在V ABC 中， a 2 = b 2 + c 2 + 3bc ，则∠A 等于()A ．60°B ．45°C ．120°D ．150°（1） S ∆ABC = 1 ⨯ 底⨯高；2 （2） 1 1 1 abcS = ab sin C = ac sin B = bc sin A = (R 为∆A 接BC 圆半径 )（两边夹一角）；2 2 2 4R6. 三角形中常用结论（1） a + b > c , b + c > a , a + c > b (即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边） （2） 在∆A ，BC 即大边A 对> 大B ⇔角，a >大b 角⇔对s 大in 边A >）sin B ( （3） 在∆ABC 中， A + B + C = ，所以①sin (A + B )= sin C ；② cos (A + B )= -cos C ；3. 设V ABC 的内角 A , B , C 所对的边分别为a , b , c , 若b cos C + c cos B = a sin A , 则V ABC 的形状为( )A. 锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定4. 若△ABC 的三个内角满足sin A : sin B : sin C = 3 : 5 : 7 ，则△ABC ()3考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用 考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3 3 33 3 14 15 3 14 15考点四：利用正余弦定理求角2 考点三：利用正余弦定理求三角形的面积A. 一定是锐角三角形 B ．一定是直角三角形 C ．一定是钝角三角形D ．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形∴∠ADB ＝180°－(45°＋30°)＝105°.DBAB在△DAB 中，由正弦定理，得sin ∠DAB ＝sin ∠ADB ，cos A bAB ·sin ∠DAB 5(3＋\r(3))·sin 45°5. 在∆ABC 中，若cos B ＝a ，则△ABC 是()A. 等腰三角形 B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形6. 在∆ABC 中， AB =, AC = 1 , ∠A = 30︒ ，则∆ABC 面积为() ∴DB ＝sin ∠ADB ＝ sin 105°5(3＋\r(3))·sin 45°＝sin 45°cos 60°＋cos 45°sin 60°＝2＝10 3(海里)．又∠DBC ＝∠DBA ＋∠ABC ＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC ＝20 3(海里)， 在△DBC 中，由余弦定理，得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2BD ·BC ·cos ∠DBCA.B.C.或 D ．或 12424 2＝300＋1 200－2×10 3×20 3×2＝900， 7. 已知∆ABC 的三边长a = 3, b = 5, c = 6 ，则∆ABC 的面积为() ∴CD ＝30(海里)，A ．B ． 2C ．D ． 2 30∴需要的时间 t ＝30＝1(小时)．故救援船到达 D 点需要 1 小时．8. 在锐角中∆ABC ,角 A , B 所对的边长分别为a , b .若2a sin B = 3b ,则角等于 ()三、高考真题赏析A.B.C.D.1．（2016 年ft 东）在△ABC 中，角 A ，B ，C 的对边分别为 a ，b ，c ，已知tan A tan B126 4 3 2(tan A + tan B ) = + cos B .cos A9．在△ABC 中，若 a ＝18，b ＝24，A ＝45°，则此三角形有 ( )（Ⅰ）证明：a +b =2c ;（Ⅱ）求 cos C 的最小值.A ．无解B ．两解C ．一解D ．解的个数不确定1【解析】(Ⅰ)由2(tanA + tanB) = tanA tanB+ 得10. 在∆ABC ,内角 A , B , C 所对的边长分别为a , b , c . a sin B cos C + c sin B cos A = ∠B = ()b , 且a > b ,则2 2 ⨯ sinC =sinA cosB+ sinB cosA， A.B.C. 2D. 5cosAcosB cosAcosB cosAcosB 2sin C = sin B + sin C a + b = 2c633 6所以，由正弦定理，得．a 2 +b 2 -c 2 (a + b )2 - 2ab - c32c 3c 23 1（Ⅱ）由cos C == = - 1 ≥ - 1 = - 1 = ．11. 如图：A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3 + 3 )海里的两个观测点，现位于 A 点北偏东45︒ ，B 点2ab2ab2ab 2( a + b )2 2 2 2北偏西60︒ 的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60︒ 且与 B 点相距20 船立即前往营救，其航行速度为每小时 30 海里，该救援船到达 D 点需要多长时间？解 由题意知 AB ＝5(3＋ 3)海里，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝90°－45°＝45°，1海里的 C 点的救援所以cos C 的最小值为 ．22．（2016 年四川）在△ABC 中，角 A ,B ,C 所对的边分别是 a ,b ,c ,且cos A + cos B = sin C. a b c3 3 5 3(\r(3)＋1)3＋1 考点五：正余弦定理实际应用问题（I）证明：sin A sin B sin C ；3 3 Ctan tan tan 5（II ）若b 2 + c 2 - a 2 = 6bc ，求tan B .5∆ABC 中， D 是 BC 上的点， AD 平分∠BAC ， ∆ABD 面积是∆ADC 面积的 2 倍．a =b =c (Ⅰ) 求sin ∠B ；(Ⅱ)若 AD = 1 ， DC =2 ，求 BD 和 AC 的长．【解析】（I ）证明：由正弦定理 sin A sin Bsin C 可知sin ∠C2cos A + cos B = sin C = 1原式可以化解为 sin A sin B sin C∵ A 和 B 为三角形s i 内n A 角sin , B ∴sin A sin B ≠ 0 则，两边同时乘以，可得sin B cos A + sin A cos B = sin A sin B 由和角公式可知， sin B cos A + sin A cos B = sin (A + B )= sin (- C )= sin C原式得证。

高考数学一轮复习解三角形的题型分析三角形是高考数学题目中经常出现的一个重要几何形状。

解题时对于三角形的性质和特点的灵活运用可以帮助我们快速解题。

本文将分析高考数学中与三角形相关的各种题型，并对解题方法进行探讨和总结。

一、三角形的基本性质在解三角形相关的题目时，首先需要熟悉三角形的基本性质，包括内角和、外角和、三边关系、三线合一等等。

1. 内角和三角形的三个内角和等于180度，即A + B + C = 180度。

这是三角形基本性质之一，通过这一性质可以解决很多关于三角形内角的问题。

2. 外角和三角形的外角和等于360度，也就是说三角形的三个外角分别对应于三个内角的补角。

通过这一性质，我们可以解决一些涉及三角形外角的问题。

3. 三边关系三角形的三条边之间存在一定的关系。

例如，最长边的对边角最大，最短边的对边角最小；两边之和大于第三边，两边之差小于第三边等等。

熟悉这些三边关系可以帮助我们判断题目给出的条件是否成立，从而确定解题思路。

4. 三线合一三角形的三条三线（高线、中线、角平分线）可以通过一个点的交汇实现“三线合一”。

这一性质可以在解题过程中起到辅助作用，帮助我们找到正确的解题思路。

二、三角形的分类在解三角形题目时，有时需要对三角形进行分类，根据不同分类的特点寻找解题的突破点。

1. 根据角度分类按照三角形的内角大小，可以将三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。

对于不同类型的三角形，可以运用相关的性质和定理来解答问题。

2. 根据边长分类根据三边的长度关系，可以将三角形分为等边三角形、等腰三角形、普通三角形和直角三角形。

根据不同类型的三角形，可以应用对应的公式和定理解决问题。

三、常见三角形题型分析1. 三角形的面积计算对于已知三角形的底和高，可以根据公式S=1/2 * a * h来计算三角形的面积。

此外，还可以应用海伦公式或正弦定理、余弦定理来计算三角形的面积。

2. 三角形边长的求解对于已知三角形的两边和夹角，可以应用余弦定理计算出第三边的长度。

高考数学一轮复习三角函数与解三角形多选题知识归纳总结及答案一、三角函数与解三角形多选题1．已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>满足()()00112f x f x =+=-，且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值.则（ ）A ．0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭B ．若00x =，则()sin 26f x x ππ⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为3D ．()f x 在(0,2019)上的零点个数最少为1346个 【答案】AC 【分析】根据正弦函数图象的对称性可判断A ；根据已知三角函数值求角的方法，可得052,6x k k Z ωϕππ+=-∈，0(1)2,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减可求出ω，进而求得周期，从而可判断B 和C 选项；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期，为了算出零点“至少”有多少个，可取(0)0f =，进而可判断D ． 【详解】解：由题意得，()f x 在()00,1x x +的区间中点处取得最小值， 即0112f x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，所以A 正确； 因为()()00112f x f x =+=-， 且()f x 在()00,1x x +上有最小值，无最大值， 所以不妨令052,6k k Z ωϕππ+=-∈， ()012,6x k k Z πωϕπ++=-∈，两式相减得，23πω=， 所以23T πω==，即B 错误，C 正确；因为3T =，所以函数()f x 在区间(0,2019)上的长度恰好为673个周期， 当(0)0f =，即k ϕπ=时，()f x 在区间(0,2019)上的零点个数至少为673211345⨯-=个，即D 错误.故选:AC . 【点睛】本题考查与三角函数有关的命题的真假关系，结合三角函数的图象与性质，利用特殊值法以及三角函数的性质是解题的关键，综合性较强．2．（多选题）如图，设ABC 的内角、、A B C 所对的边分别为a b c 、、，若a b c 、、成等比数列，、、A B C 成等差数列，D 是ABC 外一点，1,3DC DA ==，下列说法中，正确的是（ ）A ．3B π=B ．ABC 是等边三角形C ．若A B CD 、、、四点共圆，则13AC =D ．四边形ABCD 面积无最大值 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的性质和三角形内角和可得3B π=，根据等比中项和余弦定理可得a c =，即ABC 是等边三角形，若A B C D 、、、四点共圆，根据圆内接四边形的性质可得23D π=，再利用余弦定理可求13AC =211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+和2222cos AC AD CD AD CD D 可得3335353sin cos 3sin()22232S D D D π=-+=-+，从而求出最大面积. 【详解】由、、A B C 成等差数列可得，2A+C =B ，又A B C π++=， 则3B π=，故A 正确；由a b c 、、成等比数列可得，2b ac =，根据余弦定理，2222cos b a c ac B =+-，两式相减整理得，2()0a c -=，即a c =，又3B π=，所以，ABC 是等边三角形，故B 正确；若A B C D 、、、四点共圆，则B D π+=，所以，23D π=， ADC 中，根据余弦定理，2222cos AC AD CD AD CD D ，解得AC =C 正确； 四边形ABCD 面积为：211sin sin 223ACD ABC S S S AD CD D AC π∆∆=+=⋅+23sin 2D AC = 又2222cos 106cos AC AD CD AD CD D D =+-⋅=-，所以，3sin 3sin()23S D D D π==-+因为(0,)D π∈，当四边形面积最大时，sin()13D π-=，此时max 3S =，故D 错误. 故选：ABC 【点睛】本题考查解三角形和平面几何的一些性质，同时考查了等差等比数列的基本知识，综合性强，尤其是求面积的最大值需要一定的运算，属难题.3．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且::4:5:6a b c =，则下列结论正确的是（ ）A ．sin :sin :sin 4:5:6ABC = B ．ABC 是钝角三角形C ．ABC 的最大内角是最小内角的2倍D ．若6c =，则ABC 【答案】ACD 【分析】由正弦定理可判断A ；由余弦定理可判断B ；由余弦定理和二倍角公式可判断C ；由正弦定理可判断D. 【详解】解：由::4:5:6a b c =，可设4a x =，5b x =，6c x =，()0x >， 根据正弦定理可知sin :sin :sin 4:5:6A B C =，选项A 描述准确；由c 为最大边，可得2222221625361cos 022458a b c x x x C ab x x +-+-===>⋅⋅，即C 为锐角，选项B 描述不准确；2222222536163cos 22564b c a x x x A bc x x +-+-===⋅⋅，291cos 22cos 121cos 168A A C =-=⨯-==， 由2A ，C ()0,π∈，可得2A C =，选项C 描述准确；若6c =，可得2sin cR C===，ABC，选项D 描述准确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化简运算能力，属于中档题.4．已知2π-＜θ2π＜，且sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），则关于tan θ的值，在以下四个答案中，可能正确的是（ ） A ．﹣3 B ．13C ．13-D ．12-【答案】CD 【分析】先由已知条件判断cos 0θ>，sin 0θ<，得到sin 1tan 0cos θθθ-<=<，对照四个选项得到正确答案. 【详解】∵sin θ+cos θ＝a ，其中a ∈（0，1），∴两边平方得：1+22sin cos =a θθ，∴21sin cos =02a θθ-<，∵22ππθ-<＜，∴可得cos 0θ>，sin 0θ<，∴sin tan 0cos θθθ=<， 又sin θ+cos θ＝a 0>，所以cos θ＞﹣sin θ，所以sin tan 1cos θθθ=>- 所以sin 1tan 0cos θθθ-<=<， 所以tan θ的值可能是13-，12-．故选：CD 【点睛】关键点点睛：求出tan θ的取值范围是本题解题关键．5．已知函数()()()sin 0,0,0πf x A x B A ωϕωϕ=++>><<的部分自变量、函数值如下表所示，下列结论正确的是（ ）．A ．函数解析式为()5π3sin 226f x x ⎛⎫ ⎝=⎪⎭++ B ．函数()f x 图象的一条对称轴为2π3x =- C ．5π,012⎛⎫-⎪⎝⎭是函数()f x 图象的一个对称中心 D ．函数()f x 的图象左平移π12个单位，再向下移2个单位所得的函数为奇函数 【答案】ABD 【分析】首先根据表格，利用最值求A 和B ，再根据周期求ω，以及根据最小值点求ϕ，求得函数的解析式，再分别代入23x π=-和512x π=-，判断BC 选项，最后根据平移规律求平移后的解析式. 【详解】由表格可知，2B =， 函数的最大值是5，所以25A B A +=+=，即3A =， 当3x π=时，函数取得最小值，最小值点和相邻的零点间的距离是71234πππ-=，所以12244ππωω⨯=⇒=， 当3x π=时，322,32k k Z ππϕπ⨯+=+∈，解得：526k πϕπ=+，0ϕπ<<， 56πϕ∴=，所以函数()53sin 226f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，故A 正确； B.当23x π=-时，252362πππ⎛⎫⨯-+=- ⎪⎝⎭，能使函数取得最小值，所以23x π=-是函数的一条对称轴，故B 正确； C.当512x π=-时，5520126ππ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，此时2y =，所以5,212π⎛⎫- ⎪⎝⎭是函数的一个对称中心，故C 不正确；D.函数向左平移12π个单位后，再向下平移2个单位后，得()53sin 2223sin 23sin 2126y x x x πππ⎡⎤⎛⎫=+++-=+=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，函数是奇函数，故D 正确.故选：ABD 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证次区间是否是函数sin y x =的增或减区间．6．将函数()2πsin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度后得到函数()g x 的图象，则下列说法正确的是（ ）A ．π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．π,06⎛⎫⎪⎝⎭是函数()g x 图象的一个对称中心 C ．函数()g x 在π0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()g x 在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是22⎡-⎢⎣⎦【答案】BC 【分析】首先求得函数()sin 23g x x π=-⎛⎫⎪⎝⎭，再根据选项，整体代入，判断函数的性质. 【详解】()2sin 2sin 2633g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，1sin 462g ππ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 错误；sin 0633g πππ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 正确；0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，2,,33622x πππππ⎡⎤⎡⎤-∈-⊆-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以函数()g x 在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π上单调递增，故C 正确；,63x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，22,333x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当232x ππ-=-时，函数取得最小值-1，当233x ππ-=时，函数取得最大值2，所以函数的值域是⎡-⎢⎣⎦.故选：BC 【点睛】思路点睛：本题考查()sin y A ωx φ=+的解析式和性质的判断，可以整体代入验证的方法判断函数性质：（1）对于函数()sin y A ωx φ=+，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点，因此判断直线0x x =或点()0,0x 是否是函数的对称轴和对称中心时，可通过验证()0f x 的值进行判断；（2）判断某区间是否是函数的单调区间时，也可以求x ωϕ+的范围，验证此区间是否是函数sin y x =的增或减区间.7．将函数cos 2y x =的图象上所有点向左平移6π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数()y f x =的图象，则（ ） A ．()f x 的图象的对称轴方程为()62k x k Z ππ=-+∈ B ．()f x 的图象的对称中心坐标为(),0212k k Z ππ⎛⎫+∈⎪⎝⎭C ．()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭D ．()f x 的单调递减区间为()2,63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【答案】AC 【分析】首先根据图象平移求函数()y f x =的解析式，再根据整体代入的方法判断函数的对称性和单调区间. 【详解】cos 2y x =的图象上所有点向左平移π6个单位长度，得到cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再向下平移1个单位长度后得到()cos 213y f x x π⎛⎫==+- ⎪⎝⎭， 对于A ，令23x k ππ+=，解得,62k x k Z ππ=-+∈，函数的对称轴是,62k x k Z ππ=-+∈，故A 正确；对于B ，令232x k πππ+=+，解得：,122k x k Z ππ=+∈，所以函数的对称中心,1,122k k Z ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭，故B 不正确； 对于C ，令2223k x k ππππ-+≤+≤，解得：236k x k ππ-+π≤≤-+π，所以函数的单调递增区间是2,,36k k k Z ππππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦，由于单点不具有单调性，所以()f x 的单调递增区间为()2,36k k k Z ππππ⎡⎫-+-+∈⎪⎢⎣⎭也正确，故C 正确；对于D ，令2223k x k ππππ≤+≤+，解得：63k x k ππππ-+≤≤+，所以函数单调递减区间是,63k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦，k Z ∈，故D 不正确.故选：AC 【点睛】方法点睛：本题考查函数的图象变换，以及()sin y A ωx φ=+的性质，属于中档题型，()sin y A x ϕ=+的横坐标伸长（或缩短）到原来的1ω倍，得到函数的解析式是()sin y A ωx φ=+，若sin y A x ω=向右（或左）平移ϕ（0ϕ>）个单位，得到函数的解析式是()sin y A x ωϕ=-⎡⎤⎣⎦或()sin y A x ωϕ=+⎡⎤⎣⎦.8．函数()cos |cos |f x x x =+，x ∈R 是（ ） A ．最小正周期是π B ．区间[0，1]上的减函数 C ．图象关于点(k π，0)()k Z ∈对称 D ．周期函数且图象有无数条对称轴 【答案】BD 【分析】根据绝对值的意义先求出分段函数的解析式，作出函数图象，利用函数性质与图象关系分别对函数的周期、单调区间、对称中心和对称轴进行判断求解. 【详解】2cos (22)22()30(22)22x k x k f x k x k ππππππππ⎧-+⎪⎪=⎨⎪+<≤+⎪⎩，则对应的图象如图：A 中由图象知函数的最小正周期为2π，故A 错误，B 中函数在[0,]2π上为减函数，故B 正确，C 中函数关于x k π=对称，故C 错误，D 中函数由无数条对称轴，且周期是2π，故D 正确 故正确的是B D 故选：BD【点睛】本题考查由有解析式的函数图象的性质. 有关函数图象识别问题的思路:①由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置； ②由函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③由函数的奇偶性，判断图象的对称性； ④由函数的周期性，判断图象的循环往复．二、数列多选题9．设数列{}n a 的前n 项和为*()n S n N ∈，关于数列{}n a ，下列四个命题中正确的是（ ）A ．若1*()n n a a n N +∈=，则{}n a 既是等差数列又是等比数列B ．若2n S An Bn =+(A ，B 为常数，*n N ∈)，则{}n a 是等差数列C ．若()11nn S =--，则{}n a 是等比数列D ．若{}n a 是等差数列，则n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈也成等差数列【答案】BCD 【分析】利用等差等比数列的定义及性质对选项判断得解. 【详解】选项A: 1*()n n a a n N +∈=,10n n a a +∴-=得{}n a 是等差数列，当0n a =时不是等比数列，故错;选项B:2n S An Bn =+,12n n a a A -∴-=,得{}n a 是等差数列，故对;选项C: ()11nn S =--,112(1)(2)n n n n S S a n --∴-==⨯-≥,当1n =时也成立，12(1)n n a -∴=⨯-是等比数列，故对;选项D: {}n a 是等差数列，由等差数列性质得n S ，2n n S S -，*32()n n S S n N -∈是等差数列，故对; 故选：BCD 【点睛】熟练运用等差数列的定义、性质、前n 项和公式是解题关键.10．已知数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则以下结论正确的是（ ） A ．11111n n n a a a +=-+ B ．{}n a 是单调递增数列 C ．211011111111a a a a +++>+++ D ．若1212120111n n a a aa a a ⎡⎤+++=⎢⎥+++⎣⎦，则122n =([]x 表示不超过x 的最大整数) 【答案】ABD 【分析】利用裂项法可判断A 选项的正误；利用数列单调性的定义可判断B 选项的正误；利用裂项求和法可判断C 选项的正误；求出1212111nn a a a a a a ++++++的表达式，可判断D 选项的正误. 【详解】在数列{}n a 中，112a =，且()11n n n a a a +=+，n *∈N ，则()21110a a a =+>，()32210a a a =+>，，依此类推，可知对任意的n *∈N ，0n a >.对于A 选项，()()()111111111n n n n n n n n n a a a a a a a a a ++-===-+++，A 选项正确； 对于B 选项，210n n n a a a +-=>，即1n n a a +>，所以，数列{}n a 为单调递增数列，B 选项正确；对于C 选项，由A 选项可知，11111n n n a a a +=-+， 所以，1212231011111110111111111111111a a a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=-< ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭，C 选项错误；对于D 选项，12122311111111111111111n n n n a a a a a a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 所以，()()()12121212111111111111n n n n a a a a a a a a a a a a +-+++=+++++++++-+-+ 121111*********n n n n n n a a a a a a ++⎛⎫⎛⎫=-+++=--=-+ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭， 由112a =，且()11n n n a a a +=+得234a =，32116a =， 又{}n a 是单调递增数列，则3n ≥时，1n a >，则101na <<， 从而1122120n n n a +⎡⎤-=-=⎢⎥⎣⎦+，得122n =，D 选项正确. 故选：ABD.【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法； （4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.。

解三角形题型分类解析1、正弦定理及其变形 2(sin sin sin a b c R R A B C ===为三角形外接圆半径）12sin ,2sin ,2sin a R A b R B c R C ===（）(边化角公式）2sin ,sin ,sin 222a b c A B C R R R===（）(角化边公式）3::sin :sin :sin a b c A B C=（）sin sin sin (4),,sin sin sin a A a A b B b B c C c C===做题大法：1）边化角：遇到分式或等式如（切记必须为齐次式，高B A b a BA b sin sin ,sin sin a =→=→考常考点）思考：若是否可行C B A bc sin sin sin a 22=−−−→−=是否可化为2）角化边形如这样的分式或等式b a B A bB A =→=→sin sin ,a sin sin 思路总结： 此为以上转换依据sin sin a b A B =2sin c R C ==⇒2、正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）；已知a ，b 和A ，不解三角形，求B 时的解的情况:AR sin 2a =B R sin 2b =B Rsin 2c =如果sin A ≥sin B ，则B 有唯一解；如果sin A <sin B <1，则B 有两解；如果sin B =1，则B 有唯一解；如果sin B >1，则B 无解.3、余弦定理及其推论2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C=+-=+-=+-222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bca cb B aca b c C ab +-=+-=+-=4、余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角； （2）已知三边。

高三第一轮复习解三角形题型总结新Last updated on the afternoon of January 3, 20212018高三第一轮复习解三角形题型总结题型一：正选定理的应用1.ABC ∆的三内角A 、B 、C 的对边边长分别为a b c 、、，若,2a A B ==，则cos _____B =如果111A B C ∆的三个内角的余弦值分别等于222A B C ∆的三个内角的正弦值，则（）A ．111ABC ∆和222A B C ∆都是锐角三角形 B ．111A B C ∆和222A B C ∆都是钝角三角形C ．111A B C ∆是钝角三角形，222A B C ∆是锐角三角形D ．111A B C ∆是锐角三角形，222A B C ∆是钝角三角形 3.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若()C a A c b cos cos 3=-，则=A cos _________________。

4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=abA ．． 5.ABC ∆中，3π=A ，BC ＝3，则ABC ∆的周长为（）A ．33sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB B ．36sin 34+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBC ．33sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πBD ．36sin 6+⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB6.在ABC ∆中，已知3,1,60===∆ABC S b A o ，则=++++CB A cb a sin sin sin7.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______8.（2017全国卷2文16）ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，若A c C aB b cos cos cos 2+=，则=B ________.9.在平面四边形ABCD 中，∠A ＝∠B ＝∠C ＝75°，BC ＝2，则AB 的取值范围是________．题型二：三角形解的个数的判断1.在ABC △中，根据下列条件解三角形，则其中有二个解的是 A 、10,45,70b A C ===B 、60,48,60a c B ===C 、7,5,80a b A ===D 、14,16,45a b A ===2.在ABC ∆中，若30,4A a b ∠===，则满足条件的ABC ∆A ．不存在B ．有一个C ．有两个D 不能确定 3.△ABC 中，∠A=60°,a=,b=4,那么满足条件的△ABC()A 有一个解B 有两个解C 无解D 不能确定 4.符合下列条件的三角形有且只有一个的是（）A ．a=1,b=2,c=3B ．a=1,b=2,∠A=30°C ．a=1,b=2,∠A=100° C ．b=c=1,∠B=45°5.如果满足k BC AC B ===,12,3π的ABC ∆恰有一个，那么k 的取值范围是38.=k A 120.≤<k B 12.≥k C 120.≤<k B 或38=k题型三：余弦定理的应用1.若ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的变a 、b 、c 满足4)(22=-+c b a ,且C=60°，则ab 的值为（A ）43（B ）8-(C)1(D)232.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若(a 2+c 2-b 2)tan B ,则角B 的值为 6π3π6π或56πD.3π或23π3.在△ABC 中，B ＝，BC 边上的高等于BC ，则cos A ＝( )C ．－D ．－4.（2013年高考安徽（文））设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别为,,a b c ,若2,3sin 5sin b c a A B +==,则角C =A ．3πB ．23πC ．34π D ．56π 5.（2013年高考课标Ⅰ卷（文））已知锐角ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,223cos cos 20A A +=,7a =,6c =,则b =A ．10B ．9C ．8D ．5 6.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为111,,13115，则此人能（）（A ）不能作出这样的三角形（B ）作出一个锐角三角形 （C ）作出一个直角三角形（D ）作出一个钝角三角形7.在锐角三角形ABC ，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，6cos b aC a b+=，则tan tan tan tan C CA B+=_________。

第四章 三角函数、解三角形第四讲 正、余弦定理及解三角形练好题·考点自测1.[2024全国卷Ⅲ,7,5分][理]在△ABC 中,cos C =23,AC =4,BC =3,则cos B =( ) A.19 B.13 C.12 D.232.[2024 山东,9, 5分][理]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若△ABC 为锐角三角形,且满意sin B (1+2cosC )=2sin A cos C +cos A sin C ,则下列等式成立的是( )A.a =2bB.b =2aC.A =2BD.B =2A3.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若a =18,b =24,A =45°,则此三角形( ) A.无解 B.有一解 C.有两解D.解的个数不确定4.下列说法正确的是(△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c )( ) ①在△ABC 中,若A >B ,则必有sin A >sin B ; ②在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则△ABC 为锐角三角形;③在△ABC 中,若A =60°,a =4√3,b =4√2,则B =45°或B =135°;④若满意条件C =60°,AB =√3,BC =a 的△ABC 有两个,则实数a 的取值范围是(√3,2); ⑤在△ABC 中,若a cos B =b cos A ,则△ABC 是等腰三角形. A.①③④⑤ B.①②③④ C.①④⑤D.①③⑤5.[2024全国卷Ⅱ,15,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.若b =6,a =2c ,B =π3,则△ABC 的面积为 .6.[2024浙江,14,6分]在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上.若∠BDC =45°,则BD = ,cos∠ABD = .7.[2024全国卷Ⅱ,13,5分][理]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b = .8.[2024深圳市高三统一测试]在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若(a +b )(sin A -sin B )= (a -c )sin C ,b =2,则△ABC 的外接圆面积为 .9.[湖北高考,5分][理]如图4-4-1,一辆汽车在一条水平的马路上向正西行驶,到A 处时测得马路北侧一山顶D 在西偏北30°的方向上,行驶600 m 后到达B 处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD = m .图4-4-1 拓展变式1.(1)[2024江淮十校联考]△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2a sin A -b sin B =2c sin C ,cos A =14,则sinB sinC=( ) A.4 B.3 C.2 D.1(2)在锐角三角形ABC 中,b =2,a +c =√7(a >c ),且满意2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,则a -c = . 2.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , (1)若cb <cos A ,则△ABC 的形态为 .(2)若c -a cos B =(2a -b )cos A ,则△ABC 的形态为 .3.[2024河南洛阳4月模拟]在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. (1)若△ABC 的面积S 满意4√3S +c 2=a 2+b 2,c =√7,a =4,且b >c ,求b 的值; (2)若a =√3,A =π3,且△ABC 为锐角三角形,求△ABC 周长的取值范围.4.[2024全国卷Ⅰ,17,12分][理]在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A =45°,AB =2,BD =5. (1)求cos∠ADB ; (2)若DC =2√2,求BC.5.(1)[解三角形与数列、基本不等式综合]设△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,且满意sin(A -C )-sin B =-√32,BC 延长线上有一点D ,满意BD =2,则△ACD 面积的最大值为( ) A .1 B .√34C .√32D .√63(2)[新课标全国Ⅰ,5分][理]在平面四边形ABCD 中,∠A =∠B =∠C =75°,BC =2,则AB 的取值范围是 . 6.[2024山东,15,5分]某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图4-4-6所示.O 为圆孔及轮廓圆弧AB 所在圆的圆心,A 是圆弧AB 与直线AG 的切点,B 是圆弧AB 与直线BC 的切点,四边形DEFG 为矩形,BC ⊥DG ,垂足为C ,tan ∠ODC =35,BH ∥DG ,EF =12 cm ,DE =2 cm ,A 到直线DE 和EF 的距离均为7 cm ,圆孔半径为1 cm ,则图中阴影部分的面积为 cm 2.图4-4-6答 案第四讲 正、余弦定理及解三角形1.A 由余弦定理得AB 2=AC 2+BC 2-2AC ×BC ×cos C =16+9-2×4×3×23=9,AB =3,所以cos B =9+9-162×9=19,故选A .2.A 由题意可知sin B +2sin B cos C =sin A cos C +sin(A +C ),即2sin B cos C =sin A cos C ,又cos C ≠0,故2sin B =sin A ,由正弦定理可知a =2b.故选A.3.C ∵b sin A =12√2<a <b ,∴三角形有两解.4.C 对于①,在△ABC 中,若A >B ,则a >b ,a 2R >b2R (R 为△ABC 的外接圆的半径),即sin A >sin B ,①正确;对于②,在△ABC 中,若b 2+c 2>a 2,则A 是锐角,但△ABC 不肯定是锐角三角形,②错误;对于③,由a sinA =b sinB 得sin B =ba sinA √24√3×√32=√22,因为a >b ,所以B <A ,所以B =45°,③错误;对于④,由条件可得BC sin C <AB <BC ,即√32a <√3<a ,解得√3<a <2,④正确;对于⑤,由a cos B =b cos A 得sinA cosB =sin B cos A ,即sin(A -B )=0,又A ,B 为三角形的内角,所以A =B ,故△ABC 是等腰三角形,⑤正确.故选C .5.6√3 因为a =2c ,b =6,B =π3,所以由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得62=(2c )2+c 2-2×2c ×c cos π3,得c =2 √3,所以a =4√3,所以△ABC 的面积S =12ac sin B =12×4 √3×2√3×sin π3=6√3.6.12√257√210 在Rt△ABC 中,易得AC =5,sin C =AB AC =45.在△BCD 中,由正弦定理得BD =BC sin∠BDC ×sin∠BCD =√2245=12√25,sin∠DBC =sin[180°-(∠BCD +∠BDC )]=sin(∠BCD +∠BDC )=sin∠BCD cos∠BDC +cos∠BCD sin∠BDC =45×√22+35×√22=7√210.又∠ABD +∠DBC =90°,所以cos∠ABD =sin∠DBC =7√210.7.2113解法一 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而sin B =sin(A +C )=sin A cos C +cos A sin C =35×513+45×1213=6365.由正弦定理a sinA =b sinB ,得b =asinB sinA =2113. 解法二 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213,从而cos B =-cos(A +C )=-cos A cos C +sin A sin C =-45×513+35×1213=1665.由正弦定理a sinA =c sinC ,得c =asinC sinA =2013. 由余弦定理b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,得b =2113.解法三 因为cos A =45,cos C =513,所以sin A =35,sin C =1213, 由正弦定理a sinA=c sinC,得c =asinC sinA=2013.从而b =a cos C +c cos A =2113.8.43π 利用正弦定理将已知等式转化为(a +b )(a -b )=(a -c )c ,即a 2+c 2-b 2=ac ,所以由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 22ac=12,因为0°<B <180°,所以B =60°.设△ABC 的外接圆半径为R ,则由正弦定理知,2R =b sinB=√3,R =√3,所以△ABC 的外接圆面积S =πR 2=43π.9.100√6 由题意,得∠BAC =30°,∠ABC =105°.在△ABC 中,因为∠ABC +∠BAC +∠ACB =180°,所以∠ACB =45°. 因为AB =600 m,由正弦定理可得600sin45°=BCsin30°,即BC =300√2 m .在Rt△BCD 中,因为∠CBD =30°,BC =300√2 m,所以tan 30°=CDBC =300√2,所以CD =100√6 m .1.(1)D 因为△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,2a sin A -b sin B =2c sin C ,利用正弦定理将角化为边可得2a 2-b 2=2c 2①,由①及余弦定理可得cos A =b 2+c 2-a 22bc=b 4c =14,化简得b c =1,即sinBsinC =1,故选D .(2)√3 因为2a sin B cos C +2c sin B cos A =√3b ,所以2sin A sin B cos C +2sin C sin B cos A =√3sin B.在锐角三角形ABC 中,sin B >0,所以2sin A cos C +2sin C cos A =√3,即sin(A +C )=√32,所以sin B =√32,cos B =12.因为b 2=a 2+c 2-2ac cosB =(a +c )2-2ac -2ac cos B ,所以ac =1.因为(a -c )2=(a +c )2-4ac =7-4=3,且a >c ,所以a -c =√3.2.(1)钝角三角形 已知c b<cos A ,由正弦定理,得sinCsinB<cos A ,即sin C <sin B cos A ,所以sin(A +B )<sin B cos A ,即sinB cos A +cos B sin A -sin B cos A <0,所以cos B sin A <0.又sin A >0,于是有cos B <0,即B 为钝角,所以△ABC 是钝角三角形.(2)等腰三角形或直角三角形 因为c -a cos B =(2a -b )cos A ,所以由正弦定理得sin C -sin A cos B =2sin A cos A -sinB cos A ,又C =π-(A +B ),所以sin C =sin(A +B ),所以sin A cos B +cos A sin B -sin A cos B =2sin A cos A -sin B cos A ,所以cos A (sin B -sin A )=0,所以cos A =0或sin B =sin A ,所以A =π2或B =A (B =π-A 舍去),所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.3.(1)因为4√3S =a 2+b 2-c 2,所以4√3×12ab sin C =2ab cos C , 所以tan C =√33,又0<C <π,所以C =π6.由余弦定理及c =√7,a =4,得cos π6=16+b 2-78b,解得b =3√3或b =√3.因为b >c =√7,所以b =3√3. (2)由正弦定理及a =√3,A =π3得√3sinπ3=b sinB =csinC ,故b =2sin B ,c =2sin C =2sin(2π3-B ).则△ABC 的周长为√3+2sin B +2sin(2π3-B )=√3+√3cos B +3sin B =√3+2√3sin(B +π6).由题意可知{0<B <π2,0<2π3-B <π2,解得π6<B <π2.所以π3<B +π6<2π3,故√32<sin(B +π6)≤1,因此三角形ABC 周长的取值范围为(3+√3,3√3]. 4.(1)在△ABD 中,由正弦定理得BD sinA=ABsin∠ADB.由题设知,5sin45°=2sin∠ADB ,所以sin∠ADB =√25. 由题设知,∠ADB <90°,所以cos∠ADB =√1-225=√235. (2)由题设及(1)知,cos∠BDC =sin∠ADB =√25.在△BCD 中,由余弦定理得BC 2=BD 2+DC 2-2×BD ×DC ×cos∠BDC =25+8-2×5×2√2×√25=25,所以BC =5.5.(1)B 因为△ABC 的角A ,B ,C 成等差数列,所以B =π3,又sin(A -C )-sin B =-√32,所以A =B =C =π3,设△ABC 的边长为x ,由已知有0<x <2,则S △ACD =12x (2-x )sin 2π3=√34x (2-x )≤√34(x+2-x 2)2=√34(当且仅当x =2-x ,即x =1时取等号),故选B .(2)(√6−√2,√6+√2) 如图D 4-4-1,作△PBC ,使∠B =∠C =75°,BC =2,作直线AD 分别交线段PB ,PC 于A ,D 两点(不与端点重合),且使∠BAD =75°,则四边形ABCD 就是符合题意的四边形.过C 作AD 的平行线交PB 于点Q ,在△PBC 中,可求得BP =√6+√2,在△QBC 中,可求得BQ =√6−√2,所以AB 的取值范围是(√6−√2,√6+√2).图D 4-4-16.5π2+4 如图D 4-4-2,连接OA ,作AQ ⊥DE ,交ED 的延长线于Q ,AM ⊥EF 于M ,交DG 于E',交BH 于F',记过O 且垂直于DG 的直线与DG 的交点为P ,设OP =3m ,则DP =5m ,不难得出AQ =7,AM =7,于是AE'=5,E'G =5,∴∠AGE'=∠AHF'=π4,△AOH 为等腰直角三角形,又AF'=5-3m ,OF'=7-5m ,AF'=OF',∴5-3m =7-5m ,得m =1,∴AF'=5-3m =2,OF'=7-5m =2,∴OA =2√2,则阴影部分的面积S =135360×π×(2√2)2+12×2√2×2√2−π2=(5π2+4)(cm 2).。