北师大九年级上1.2矩形的性质与判定同步练习有答案第3课时矩形的性质与判定的综合应用

初中数学·北师大版·九年级上册——第一章特殊平行四边形2 矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定测试时间:15分钟一、选择题1.在四边形ABCD中,AC、BD交于点O,在下列各组条件中,不能判定四边形ABCD为矩形的是( )A.AB=CD,AD=BC,AC=BDB.AO=CO,BO=DO,∠BAD=90°C.∠BAD=∠BCD,∠ABC+∠BCD=180°,AC⊥BDD.∠BAD=∠ABC=90°,AC=BD答案 C ∵AB=CD,AD=BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,∴A能判定四边形ABCD为矩形;∵AO=CO,BO=DO,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠BAD=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴B能判定四边形ABCD为矩形;∵∠ABC+∠BCD=180°,∴AB∥DC,∵∠BAD=∠BCD,∴∠ABC+∠BAD=180°,∴AD∥BC,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵AC⊥BD,∴四边形ABCD是菱形,∴C不能判定四边形ABCD为矩形;∵∠BAD=∠ABC=90°,∴∠BAD+∠ABC=180°,∴AD∥BC.在Rt△ABC和Rt△BAD中,∴Rt△ABC≌Rt△BAD(HL),∴BC=AD,∴四边形ABCD是平行四边形,又∵∠BAD=90°,∴四边形ABCD是矩形,∴D能判定四边形ABCD为矩形.故选C.2.如图,在矩形ABCD中,点O为对角线的交点,E为BC的中点,OE=3,AC=12,则AD=( )A.6B.8C.6D.6答案 A ∵四边形ABCD为矩形,∴AD=BC,OB=OC=AC=6.∵OB=OC,BE=EC,∴OE⊥BC.∴EC=-=3.∴BC=2EC=6.故选A.二、填空题3.如图,矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形,如果四个小三角形的周长的和是86厘米,矩形的周长是30厘米,则对角线的长是厘米.答案14解析∵四边形ABCD是矩形,∴AB=CD,AD=BC,AC=BD,AO=OC,OD=OB,∴AO=OC=OD=OB,∵矩形ABCD被两条对角线分成的四个小三角形的周长的和是86厘米,∴OA+OD+AD+OD+OC+CD+OC+OB+BC+OA+OB+AB=86厘米,即8OA+2AB+2BC=86厘米,∵矩形ABCD的周长是30厘米,∴2AB+2BC=30厘米,∴8OA=56厘米,∴OA=7厘米,则AC=BD=2OA=14厘米.故答案为14.4.如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,若AE平分∠BAD交BC于点E,且BO=BE,连接OE,则∠BOE= .答案75°解析∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,AC=BD,OA=OC,OB=OD,∠BAD=90°,∴OA=OB,∠DAE=∠AEB,∵AE平分∠BAD,∴∠BAE=∠DAE=45°,∴∠BAE=∠AEB=45°,∴AB=BE,∵BO=BE,∴AB=BO=OA,∴△BAO是等边三角形,∴∠ABO=60°,∴∠OBE=90°-60°=30°,又∵OB=BE,∴∠BOE=∠BEO=×(180°-30°)=75°.三、解答题5.已知:如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,连接AD,取AD的中点E,过点A作BC的平行线与CE的延长线交于点F,连接DF.(1)求证:AF=DC;(2)当AD与CF满足什么条件时,四边形AFDC是矩形?并说明理由.解析(1)证明:∵AF∥BC,∴∠AFE=∠DCE,∵E为AD的中点,∴AE=DE,在△AEF和△DEC中,∴△AEF≌△DEC(AAS),∴AF=DC.(2)当AD=CF时,四边形AFDC是矩形.理由如下:由(1)得:AF=DC,又∵AF∥DC,∴四边形AFDC是平行四边形,又∵AD=CF,∴四边形AFDC是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形).6.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE平分∠ADC,DF平分∠BDC,那么EF=DC吗?试说明理由.解析EF=DC.理由如下:∵∠ACB=90°,D是AB的中点,∴DC=AD=DB=AB,∵DE平分∠ADC,DF平分∠BDC,∴DE⊥AC,DF⊥BC,∠ADE=∠EDC,∠CDF=∠BDF,又∵∠ADC+∠BDC=180°,∴∠EDC+∠CDF=×180°=90°.∴四边形ECFD是矩形,∴EF=DC.。

1.2.3矩形的性质与判定的运用 同步练习题2021-2022学年北师大版九年级数学上册A 组(基础题)一、填空题1.如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，BC ＝2 cm ，则AB 与CD 之间的距离为_____cm.2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为_____.3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，过点A 作AG ⊥BD 于点G ，则BG ＝_____.4.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，延长AD 到E ，使DE ＝BD ，连接BE.若∠EBC ＝27°，则∠ABD ＝_____度.二、选择题5.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为()A.4B.5C.6D.76.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为()A.103B.4C.4.5D.57.如图，在矩形钟面示意图中，时钟的中心在矩形对角线的交点上，矩形的宽为40 cm ，钟面数字2在矩形的顶点处，则矩形的长为____cm() A.80B.60C.50D.40 38.如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一动点，连接AE ，DE ，以AE ，DE 为边作▱AEDF ，当点E 从点B 运动到点C 的过程中，▱AEDF 的面积()A.先变小后变大B.先变大后变小C.保持不变D.一直变大三、解答题9.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，CE ，DE 相交于点E. (1)求证：四边形DOCE 是矩形.(2)若四边形DOCE 的面积是3，AC ＋BD ＝10，求AB 的长.B 组(中档题)四、填空题10.如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，矩形OABC 的对角线相交于点P ，顶点C 的坐标是(0，3)，∠ACO ＝30°，将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转150°后点P 的对应点P′的坐标是_____.11.如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，CD ＝2，点E 在边AB ，且AD ＝AE ，BE ＝BC ，则AE·BE 的值为_____.12.如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝8，点O ，P 分别是边AB ，AD 的中点，点H 是边CD 上的一个动点，连接OH ，将四边形OBCH 沿OH 折叠，得到四边形OFEH ，连接PE ，则PE 长度的最小值是_____.五、解答题13.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点P 在边OA 上，PH ⊥OB 于点H ，交ON 于点Q ，PM ∥OB 交ON 于点M ，MD ⊥OB 于点D ，QR ∥OB 交MD 于点R ，连接PR 交QM 于点S. (1)求证：四边形PQRM 为矩形.(2)若OP ＝12PR ，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由.C组(综合题)14.如图1，一张菱形纸片EHGF，点A，D，C，B分别是EF，EH，HG，GF边上的点，连接AD，DC，CB，AB，DB，且AD＝3，AB＝6；如图2，若将△FAB，△AED，△DHC，△CGB分别沿AB，AD，DC，CB对折，点E，F都落在DB上的点P处，点H，G都落在DB上的点Q处.(1)求证：四边形ADCB是矩形.(2)求菱形纸片EHGF的面积和边长.参考答案1.2.3矩形的性质与判定的运用 同步练习题2021-2022学年北师大版九年级数学上册A 组(基础题)一、填空题1.如图，AB ∥CD ，∠A ＝∠B ＝90°，AB ＝3 cm ，BC ＝2 cm ，则AB 与CD 之间的距离为2cm.2.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，对角线AC ，BD 相交于点O ，AE 垂直平分OB 于点E ，则AD 的长为3.如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，过点A 作AG ⊥BD 于点G ，则BG ＝95.4.如图，在矩形ABCD 中，BD 是对角线，延长AD 到E ，使DE ＝BD ，连接BE.若∠EBC ＝27°，则∠ABD ＝36度.二、选择题5.如图，在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD ，AC 与BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A.4B.5C.6D.76.如图，将矩形纸片ABCD 沿直线EF 折叠，使点C 落在AD 边的中点C′处，点B 落在点B′处，其中AB ＝9，BC ＝6，则FC′的长为(D)A.103B.4C.4.5D.57.如图，在矩形钟面示意图中，时钟的中心在矩形对角线的交点上，矩形的宽为40 cm ，钟面数字2在矩形的顶点处，则矩形的长为____cm(D) A.80B.60C.50D.40 38.如图，矩形ABCD 中，点E 是BC 上一动点，连接AE ，DE ，以AE ，DE 为边作▱AEDF ，当点E 从点B 运动到点C 的过程中，▱AEDF 的面积(C)A.先变小后变大B.先变大后变小C.保持不变D.一直变大三、解答题9.如图，菱形ABCD 的对角线相交于点O ，DE ∥AC ，CE ∥DB ，CE ，DE 相交于点E. (1)求证：四边形DOCE 是矩形.(2)若四边形DOCE 的面积是3，AC ＋BD ＝10，求AB 的长.(1)证明：∵DE ∥AC ，CE ∥DB ， ∴四边形DOCE 是平行四边形. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD. ∴∠COD ＝90°. ∴四边形DOCE 是矩形.(2)设OD ＝x ，OC ＝y ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD ，AC ⊥BD.∵AC ＋BD ＝10，四边形DOCE 的面积是3， ∴x ＋y ＝5，xy ＝3.∴x 2＋y 2＝(x ＋y)2－2xy ＝52－2×3＝19. ∴AB ＝OA 2＋OB 2＝x 2＋y 2＝19.B 组(中档题)四、填空题10.如图，在平面直角坐标系中，O 是原点，矩形OABC 的对角线相交于点P ，顶点C 的坐标是(0，3)，∠ACO＝30°，将矩形OABC 绕点O 顺时针旋转150°后点P 的对应点P′11.如图，在四边形ABCD 中，∠D ＝∠C ＝90°，CD ＝2，点E 在边AB ，且AD ＝AE ，BE ＝BC ，则AE·BE 的值为1.12.如图，在矩形ABCD 中，已知AB ＝4，BC ＝8，点O ，P 分别是边AB ，AD 的中点，点H 是边CD 上的一个动点，连接OH ，将四边形OBCH 沿OH 折叠，得到四边形OFEH ，连接PE ，则PE 长度的最小值是五、解答题13.如图，ON 为∠AOB 中的一条射线，点P 在边OA 上，PH ⊥OB 于点H ，交ON 于点Q ，PM ∥OB 交ON 于点M ，MD ⊥OB 于点D ，QR ∥OB 交MD 于点R ，连接PR 交QM 于点S. (1)求证：四边形PQRM 为矩形.(2)若OP ＝12PR ，试探究∠AOB 与∠BON 的数量关系，并说明理由.解：(1)证明：∵PH ⊥OB ，MD ⊥OB ， ∴PH ∥MD.∵PM ∥OB ，QR ∥OB ， ∴PM ∥QR.∴四边形PQRM 是平行四边形. ∵PH ⊥OB ，∴∠PHO ＝90°. ∵PM ∥OB ，∴∠MPQ ＝∠PHO ＝90°. ∴四边形PQRM 为矩形. (2)∠AOB ＝3∠BON.理由如下： ∵四边形PQRM 为矩形， ∴PS ＝SR ＝SQ ＝12PR.∴∠SQR ＝∠SRQ. 又∵OP ＝12PR ，∴OP ＝PS. ∴∠POS ＝∠PSO. ∵QR ∥OB ， ∴∠SQR ＝∠BON.在△SQR 中，∠PSO ＝∠SQR ＋∠SRQ ＝2∠SQR ＝2∠BON ， ∴∠POS ＝2∠BON.∴∠AOB ＝∠POS ＋∠BON ＝2∠BON ＋∠BON ＝3∠BON ，即∠AOB ＝3∠BON.C 组(综合题)14.如图1，一张菱形纸片EHGF ，点A ，D ，C ，B 分别是EF ，EH ，HG ，GF 边上的点，连接AD ，DC ，CB ，AB ，DB ，且AD ＝3，AB ＝6；如图2，若将△FAB ，△AED ，△DHC ，△CGB 分别沿AB ，AD ，DC ，CB 对折，点E ，F 都落在DB 上的点P 处，点H ，G 都落在DB 上的点Q 处. (1)求证：四边形ADCB 是矩形. (2)求菱形纸片EHGF 的面积和边长.解：(1)证明：由对折可知∠FAB＝∠PAB，∠EAD＝∠PAD，∴2(∠PAB＋∠PAD)＝180°，即∠BAD＝∠PAB＋∠PAD＝90°.同理：∠ADC＝∠ABC＝90°.∴四边形ADCB是矩形.(2)由对折可知：△AFB≌△APB，△AED≌△APD，△CHD≌△CQD，△CGB≌△CQB. ∴S菱形EHGF＝2S矩形ADCB＝2×3×6＝6 2.又∵AE＝AP＝AF，∴A为EF的中点，同理：C为GH的中点，即AF＝CG，且AF∥CG.连接AC，∴四边形ACGF为平行四边形.∴FG＝AC＝BD.∴FG＝BD＝（3）2＋（6）2＝3.。

北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。

1.2《矩形的性质和判定》同步练习1、矩形的对边 ，对角线 且 ，四个角都是 ，即是 图形又是 图形。

2、四边形ABCD 的对角线AC 、BD 互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是________。

3、已知矩形ABCD 的对角线相交于O ，对角线长8cm ，∠AOD=60°，则AD=________，AB=________。

4、如图，四边形ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，∠1=∠2，∠BOC=120°，AB=4，则四边形ABCD 的面积=________。

5、矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。

6、如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

7、 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________。

8、已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。

题4图 题8图9、若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 。

10、平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等 11、下列叙述错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角是90º的平行四边形是矩形12、下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角 D.测量两条对角线是否互相平分13、矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ）A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm14、下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形15、如图，四边形的对角线互相平分，要使它成为矩形，需要添加的条件是（ ）A.B. C. D.题15图 题16图16、如图，在矩形ABCD 中，两条对角线AC 与BD 相交于点O ，AB=6，OA=4，则AD 的长为（ ）A 、4B 、8C 、33D 、72yxP D CB A O解答题：1、如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒=∠120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

第1课时矩形的性质1.掌握矩形的的定义，理解矩形与平行四边形的关系.2.理解并掌握矩形的性质定理;会用矩形的性质定理进行推导证明;3.会初步运用矩形的定义、性质来解决有关问题，进一步培养学生的分析能力．自学指导：阅读课本P11~14，完成下列问题.1.有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.生活中你见到过的矩形有五星红旗、毛巾.3.矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质.4.矩形的四个角都是直角.5.矩形的对角线相等.6.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.知识探究1.在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上(作出对角线)，拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状.(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？(2)当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作、思考、交流、归纳后得到矩形的性质.矩形性质1 矩形的四个角都是直角.矩形性质2 矩形的对角线相等.2.如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OB与AC是什么关系？解：由矩形性质2得：AC=BD，再由平行四边形性质得：AO=OC，BO=OD，所以AO=BO=CO=DO=12AC=12BD.因此可得直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.3.请同学们拿出准备好的矩形纸片，折一折，观察并思考。

（1）矩形是不是中心对称图形? 如果是，那么对称中心是什么？（2）矩形是不是轴对称图形?如果是，那么对称轴有几条?解：矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.自学反馈1.矩形是轴对称图形吗?如果是的话它有几条对称轴?2.请用所学的知识诊断下面的语句,若正确请在括号里打“√”，若“有病”请开药方：(1).矩形是特殊的平行四边形,特殊之处就是有一个角是直角.( )(2).平行四边形是矩形.( )(3).平行四边形具有的性质(如平行四边形的对边平行且相等;平行四边形的对角相等;平行四边形的对角线互相平分)矩形也具有.( )3.已知△ABC 是Rt △,∠ABC=90°,BD 是斜边AC 上的中线.若BD=3㎝,则AC ＝_____㎝;活动1 小组讨论例1 如图，在矩形ABCD 中，两条对角线相交于点O ，∠AOD=120°，AB=2.5cm ，求矩形对角线的长.证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴ AC=BD(矩形的对角线相等),OA=OC=21AC ，OB=OD=21BD. ∴OA=OD.∵∠AOD=120°，∴∠ODA=∠OAD=21(180°-120°)= 30°. 又∵∠DAB=90°(矩形的四个角都是直角),∴BD=2AB =2×2.5=5.活动2 跟踪训练1.矩形具有一般平行四边形不具有的性质是（ ）A ．对边相互平行B ．对角线相等C ．对角线相互平分D ．对角相等2.如果矩形的两条对角线所成的钝角是120°，那么对角线与矩形短边的长度之比为（ ）A.3∶2B.2∶1C.1.5∶1D.1∶13.如图，在矩形ABCD 中，AB ＜BC ，AC ，BD 相交于点O ，则图中等腰三角形的个数是（ ）A.8B.6C.4D.24.在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，D 、E 为AB 、AC 的中点．则下列结论中错误的是（ ）A.CD ＝ADB.∠B ＝∠BCDC.∠AED ＝90°D.AC ＝2DEA B CDE5.在直角三角形中，两条直角边的长分别为12和5，则斜边上中线长为 .6.矩形的一条对角线长10cm ，且两条对角线的一个夹角为60°，则矩形的宽为 cm .7.如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长= cm ．8.如图，矩形ABCD 中，E 为AD 上一点，EF ⊥CE 交AB 于F ，若DE ＝2，矩形的周长为16，且CE ＝EF ，则AE ＝_______．A BCDEF9.在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE=AD ，DF ⊥AE ，垂足为F.求证：DF=DC ．课堂小结1.矩形的定义及性质.2.矩形是角特殊的平行四边形，决定了矩形的四个角都是直角，对角线相等.3.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.教学至此，敬请使用《名校课堂》相应课时部分.【预习导学】自学反馈1.解：既是轴对称图形，也是中心对称图形，对称轴有两条.2.(1)√ (2)× (3)√3.6【合作探究】活动2 跟踪训练1.B2.B3.C4.D5.6.5 6.57.98.39.解：连接DE．∵AD=AE，∴∠AED=∠ADE．∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∠C=90°．∴∠ADE=∠DEC，∴∠DEC=∠AED．又∵DF⊥AE，∴∠DFE=∠C=90°．∵DE=DE，∴△DFE≌△DCE．∴DF=DC．第2课时矩形的判定1.能够运用综合法和严密的数学语言证明矩形的性质和判定定理以及其他相关结论；2.经历探索、猜测、证明的过程，发展学生的推理论证能力，培养学生找到解题思路的能力，使学生进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用；3.学生通过对比前面所学知识，体会证明过程中所运用的归纳、概括以及转化等数学思想方法；4.通过学生独立完成证明的过程，让学生体会数学是严谨的科学，增强学生对待科学的严谨治学态度，从而养成良好的习惯。

北师大版数学九年级上册第一章特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定1.2.1矩形的性质同步课时练习题1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是()A．对边相等B．对角相等C．对角线相等D．对边平行2．矩形具有而菱形不具有的性质是()A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3.如图，矩形 ABCD的顶点 A，C分别在直线 a，b上，且 a∥b，∠ 1＝60°，则∠2的度数为()A．30°B．45°C．60°D．75°4.如图，在矩形ABCD中，对角线AC＝8cm，∠AOD＝120°，则AB的长为()A. 3 cm B．2 cm C．2 3 cm D．4 cm5.如图，对折矩形纸片 ABCD，使 AB与 DC重合得到折痕 EF，将纸片展平；再一次折叠，使点 D落到 EF 上点 G处，并使折痕经过点 A，展平纸片后∠ DAG的大小为()A．30°B．45°C．60°D．75°6.如图，已知矩形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O，AE⊥BD于点 E，若∠DAE∶∠ BAE＝3∶1，则∠ EAC的度数是()A．18°B．36°C．45°D．72°7.如图，在矩形 ABCD中， AB＝4，BC＝6，点 E 为 BC的中点．将△ ABE沿AE折叠，使点 B 落在矩形内点 F 处，连接 CF，则 CF的长为( )A. 9B.12C.16D.18 5 5 5 58. 已知四边形 ABCD，若 AB∥CD，AD∥BC，且∠ D＝90°，则四边形 ABCD为____．9.2cm，则该矩形的对角线长已知矩形的面积为 40 cm，一边长为 5为．10.如图，在 Rt△ABC中，∠C＝90°，D为AB的中点，且CD＝5，则AB＝____ cm.11.如图， Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝6，点E是斜边AB上任意一点，作 EF⊥AC于点 F，EG⊥BC于点 G，则矩形 CFEG的周长是 ____．12.如图，在Rt△ABC中，∠ ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若 EF＝4cm，则 CD＝____cm.13.如图，“人字形”屋梁中，AB＝AC，点E，F，D分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝6m，∠B＝30°，则支撑“人字形”屋梁的木料DE，AD，DF共有____m.14.直角三角形斜边上的高与中线分别是 5 cm和 6 cm，则它的面积是．15.如图，点 O是矩形 ABCD的对角线 AC的中点，点 M是 AD的中点，若 AB＝5，AD＝12，则四边形 ABOM的周长为 ____．16.如图，在矩形 ABCD中， AB＝3，对角线 AC，BD相交于点 O，AE垂直平分 OB 于点 E，则 AD的长为．17.如图所示，在△ ABC中， BD，CE是高，点 G，F分别是 BC，DE的中点，则下列结论中：① GE＝GD；② GF⊥DE；③ GF平分∠ DGE；④∠ DGE＝60°. 其中正确的是．( 填写序号)18.如图，矩形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，若 AB＝AO，求∠ ABD的度数．19.如图所示，矩形 ABCD的对角线 AC，BD相交于点 O，AE⊥BD，垂足为点E，∠1＝∠ 2，OB＝6cm.(1) 求∠ BOC的度数；(2)求△ DOC的周长．20.准备一张矩形纸片，按下图操作：将△ ABE沿 BE翻折，使点 A 落在对角线 BD上的 M点，将△ CDF沿 DF翻折，使点 C落在对角线 BD上的 N点．(1)求证：四边形 BFDE是平行四边形；(2)若四边形 BFDE是菱形， AB＝2，求菱形 BFDE的面积．参考答案：1---7CBCDC CD8.矩形9.89cm10.1011.1212. 413.9214. 30cm15. 2016. 3 317.①②③18. 解：在矩形 ABCD中， AC＝BD，AO＝1AC，BO＝1BD，2 2∴AO＝BO.又∵ AB＝AO，∴ AO＝BO＝AB，即△ ABO为等边三角形．∴∠ ABD＝60°19.解： (1) ∵AE⊥BD,∴∠ AEO＝∠ AEB＝90°，又∵ AE＝AE，∠ 1＝∠ 2，∴△ AEO≌△ AEB.∴AB＝AO.又∵ OA＝OB,∴△ AOB为等边三角形，∴∠ AOB＝60°，∴∠ BOC＝120°(2) 由矩形的性质可得△ OCD ≌△ OAB ，∴OC ＝OA ＝OB ＝6 cm.∴△ DOC 的周长为 18 cm20. (1) ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ A ＝∠ C ＝90°，AB ＝CD ，AB ∥CD ，∴∠ ABD＝∠ CDB ，由折叠可知，∠ EBD ＝∠ FDB ，∴ EB ∥DF ，∵ ED ∥BF ，∴四边形 BFDE为平行四边形(2) ∵四边形 BFDE 为菱形，∴ BE ＝BF ，∠ EBD ＝∠ FBD ＝∠ ABE ，∵四边形 ABCD 是矩形，∴ AD ＝BC ，∠ ABC ＝90°，∴∠ ABE ＝30°，∵∠ A ＝90°， AB ＝2，∴AE ＝2 3，BF ＝BE ＝2AE ＝43，33∴菱形 BFDE 的面积为43×2＝8 33 3。

第3课时矩形的性质与判定的综合应用1．下列关于矩形的说法，正确的是()A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分2．如图28，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OB，若AD＝4，∠AOD ＝60°，则AB的长为()图28A．4 3 B．2 3 C．8 D．8 33．已知矩形ABCD的一边长为5 cm，对角线长为13 cm，则它的面积为________ cm2.4．如图29，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是()A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 3图295.如图30，在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥CD，AB，BC，CD的长分别为2，2，23＋2，则∠BAD的度数为()图30A．120°B．135°C．150°D．以上都不对6．矩形ABCD的周长为16，P是矩形边上任一点，则点P到对角线AC，BD的距离之和的最大值是()A．8 B．4 C．4 2 D．2 27．如图31，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点P为AB边上任一点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，求线段EF的长的最小值．图318．如图32，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO，且∠ABC＋∠ADC＝180°.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)过点D作DF⊥AC，交BC于点F，若∠ADF∶∠FDC＝3∶2，则∠BDF的度数是多少？图329．如图33所示，在矩形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，AD，CD，BC的中点，若AB＝2 cm，AD＝4 cm，则四边形EFGH的面积为()图33A．2 cm2B．4 cm2C．6 cm2D．8 cm210．将矩形纸片ABCD按如图34所示的方式折叠，得到菱形AECF.若AB＝3，则BC 的长为________．图3411．如图35，菱形ABCD中，分别延长DC，BC至点E，F，使CE＝CD，CF＝CB，连接DB，BE，EF，FD.(1)如图①，求证：四边形DBEF是矩形；(2)如图②，当∠DFB＝30°时，连接AE交BF于点G，连接DG，若AB＝2，求DG的长．图3512．如图36，在矩形ABCD中，E是AD上一点，PQ垂直平分BE，分别交AD，BE，BC于点P，O，Q，连接BP，EQ.(1)求证：四边形BPEQ是菱形；(2)若AB＝6，F为AB的中点，OF＋OB＝9，求PQ的长．图3613．已知：如图37，O为坐标原点，四边形OABC为矩形，A(10，0)，C(0，4)，D是OA的中点，点P在BC上运动，当△ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为________．图3714．2017·威海如图38，四边形ABCD为一个矩形纸片，AB＝3，BC＝2，动点P自点D出发沿DC方向运动至点C后停止，△ADP以直线AP为轴翻折，点D落在点D1的位置．设DP＝x，△AD1P与原纸片重叠部分的面积为y.(1)当x为何值时，直线AD1过点C?(2)当x为何值时，直线AD1过BC的中点E?(3)求出y与x之间的函数表达式．图38参考答案1．D 2．A 3．60 4．A. 5．C. 6．D7．解：连接CP .∵∠ACB ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，由勾股定理，得AB ＝5. ∵PE ⊥AC ，PF ⊥BC ，∴∠PEC ＝∠PFC ＝∠ACB ＝90°， ∴四边形EPFC 是矩形，∴EF ＝CP .根据垂线段最短，过点C 作CD ⊥AB 于点D ， 则CP 长的最小值为CD 的长．根据三角形的面积公式得12AC ·BC ＝12AB ·CD ，∴CD ＝125，∴EF 的长的最小值为125.8．解：(1)证明：∵AO ＝CO ，BO ＝DO ， ∴四边形ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC ＝∠ADC . ∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°， ∴∠ABC ＝∠ADC ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．(2)∵∠ADC ＝90°，∠ADF ∶∠FDC ＝3∶2， ∴∠FDC ＝36°.∵DF ⊥AC ，∴∠DCO ＝90°－36°＝54°. ∵四边形ABCD 是矩形，∴CO ＝OD ， ∴∠ODC ＝∠DCO ＝54°，∴∠BDF ＝∠ODC －∠FDC ＝18°. 9．B 10.311．解：(1)证明：∵CE ＝CD ，CF ＝CB ， ∴四边形DBEF 是平行四边形． ∵四边形ABCD 是菱形， ∴CD ＝CB ，∴DE ＝BF ， ∴▱DBEF 是矩形．(2)∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CE ， ∴∠ABG ＝∠ECG ，∠GAB ＝∠GEC . 又∵CD ＝CB ＝CE ＝AB ＝2， ∴△ABG ≌△ECG ， ∴BG ＝CG ＝12BC ＝1.∵四边形DBEF 是矩形，∴∠BDF ＝90°. ∵∠DFB ＝30°，∴∠DBF ＝60°. ∵CD ＝CB ，∴△BCD 是等边三角形， ∴DG ⊥BC ，∴DG ＝DB 2－BG 2＝ 3.12．解：(1)证明：∵PQ 垂直平分BE ， ∴QB ＝QE ，OB ＝OE .∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ， ∴∠PEO ＝∠QBO . 在△BOQ 与△EOP 中，∠PEO ＝∠QBO ，OB ＝OE ，∠POE ＝∠QOB ， ∴△BOQ ≌△EOP (ASA)，∴PE ＝QB .又∵AD ∥BC ，∴四边形BPEQ 是平行四边形． ∵QB ＝QE ，∴四边形BPEQ 是菱形．(2)∵O ，F 分别为BE ，AB 的中点， ∴AE ＋BE ＝2OF ＋2OB ＝18. 设AE ＝x ，则BE ＝18－x .在Rt △ABE 中，62＋x 2＝(18－x )2，解得x ＝8，BE ＝18－x ＝10，∴OB ＝12BE ＝5.设PE ＝y ，则AP ＝8－y ，BP ＝PE ＝y . 在Rt △ABP 中，62＋(8－y )2＝y 2，解得y ＝254.在Rt △BOP 中，PO ＝（254）2－52＝154， ∴PQ ＝2PO ＝152.13．(2，4)或(3，4)或(8，4)14．解：(1)如图①，由题意得△ADP ≌△AD 1P ，∴AD ＝AD 1＝2，PD ＝PD 1＝x ，∠D ＝∠AD 1P ＝90°.∵直线AD 1过点C ，∴PD 1⊥AC .在Rt △ABC 中，AC ＝22＋32＝13，CD 1＝13－2. 在Rt △PCD 1中，PC 2＝PD 12＋CD 12， 即(3－x )2＝x 2＋(13－2)2， 解得x ＝213－43.∴当x ＝213－43时，直线AD 1过点C .(2)如图②，连接PE ，∵E 为BC 的中点，∴BE ＝CE ＝1，在Rt △ABE 中，AE ＝AB 2＋BE 2＝10. ∵AD 1＝AD ＝2，PD ＝PD 1＝x ，∴D 1E ＝10－2，PC ＝3－x . 在Rt △PD 1E 和Rt △PCE 中， x 2＋(10－2)2＝(3－x )2＋12， 解得x ＝210－23.∴当x ＝210－23时，直线AD 1过BC 的中点E .(3)如图③，当0＜x ≤2时，y ＝x ；如图④，当2＜x ≤3时，点D 1在矩形ABCD 的外部，PD 1交AB 于点F . ∵AB ∥CD ，∴∠1＝∠2.由折叠知∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∴AF ＝PF . 过点P 作PG ⊥AB 于点G .设PF ＝AF ＝a ，由题意得AG ＝DP ＝x ，FG ＝x －a . 在Rt △PFG 中，由勾股定理得(x －a )2＋22＝a 2， 解得a ＝4＋x 22x ， ∴y ＝12×2×4＋x 22x ＝x 2＋42x.综合上述，当0＜x ≤2时，y ＝x ；当2＜x ≤3时，y ＝x 2＋42x.。

1.2矩形的性质及判定分层训练提分要义【基础题】1．下列说法中正确的是（ ）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm ，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm ，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm4．如图，矩形ABCD 的顶点A 、C 分别在直线a 、b 上，且a ∥b ，∠1=60°，则∠2的度数为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°5. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 6. 如图，矩形ABCG(AB ＜BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是( )A.0B.1C.2D.37. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°8．如图，四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD于点E，且四边形ABCD 的面积为8，则BE＝( )2A.2B.3C.22D.39.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD=DE=a，则AB的长为（）A. 2aB. 22a C. 3a D.10.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=3，BC=10，则OB的长为（）A. 5B. 4C.D.【中档题】11．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．12. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________cm．13.如图，矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F 处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为_______.14.如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，P是边AD上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为_________.15.在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝3，E是AB边上一点，AE＝2，F是直线CD上一动点，将△AEF沿直线EF折叠，点A的对应点为点A'，当点E、A'、C三点在一条直线上时，DF的长度为．16.已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．17.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD 的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．【综合题】18. 如图在矩形ABCD中,AB＝3,BC＝4,M,N在对角线AC上,且AM＝CN,E,F分别是AD,BC的中点.(1)求证:△ABM≌△CDN;(2)点G是对角线AC上的点,∠EGF＝90°,求AG的长.19．如图1，矩形ABCD中，点E为AB边上的动点（不与A，B重合），把△ADE沿DE翻折，点A的对应点为A1，延长EA1交直线DC于点F，再把∠BEF折叠，使点B的对应点B1落在EF上，折痕EH交直线BC于点H．（1）求证：△A1DE∽△B1EH；（2）如图2，直线MN是矩形ABCD的对称轴，若点A1恰好落在直线MN上，试判断△DEF 的形状，并说明理由；（3）如图3，在（2）的条件下，点G为△DEF内一点，且∠DGF＝150°，试探究DG，EG，FG的数量关系．20．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边AB＝4，BC＝6．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当∠OAD＝30°时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos∠OAD的值．1.2矩形的性质及判定分层训练提分要义【基础题】1．下列说法中正确的是（）A. 对角线相等的四边形是矩形B. 对角线互相垂直的四边形是菱形C. 平行四边形的对角线平分一组对角D. 矩形的对角线相等且互相平分【答案】D；【解析】∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴A不正确；∵对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，∴B不正确；∵平行四边形的对角线互相平分，菱形的对角线平分一组对角，∴C不正确；∵矩形的对角线互相平分且相等，∴D正确；2．若矩形对角线相交所成钝角为120°，短边长3.6cm，则对角线的长为( )．A. 3.6cmB. 7.2cmC. 1.8cmD. 14.4cm【答案】B；【解析】直角三角形中，30°所对的边等于斜边的一半.3．矩形邻边之比3∶4，对角线长为10cm，则周长为( )．A.14cmB.28cmC.20cmD.22cm【答案】B；【解析】由勾股定理，可算得邻边长为6cm和8cm，则周长为28cm.4．如图，矩形ABCD的顶点A、C分别在直线a、b上，且a∥b，∠1=60°，则∠2的度数为（）A．30°B．45° C．60° D．75°【答案】C．【解析】过点D作DE∥a，∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD=∠ADC=90°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣60°=30°，∵a∥b，∴DE∥a∥b，∴∠4=∠3=30°，∠2=∠5，∴∠2=90°﹣30°=60°．故选C ．5. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 【答案】D ；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.6. 如图，矩形ABCG(AB ＜BC)与矩形CDEF 全等，点B 、C 、D 在同一条直线上，∠APE 的顶点P 在线段BD 上移动，使∠APE 为直角的点P 的个数是( )A.0B.1C.2D.3【答案】C ；【解析】当BP=AB 或BP=BC 时，∠APE 是直角.7. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B ′M 或B ′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°【答案】B ；【解析】∠EMF ＝∠EMB ′＋∠FMB ′＝21∠BMC ′＋21∠CMC ′＝21×180°＝90°. 8．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝( )A.2B.3C.22D.32【答案】C ；【解析】过点C 做BE 垂线，垂足为F ，易证△BAE ≌△CBF ，所以BF ＝AE ，BE ＝CF ，所以总面积＝AE ×BE ＋CF ×EF ＝ AE ×BE ＋BE ×（BE －AE ）＝28BE =，22BE =.9.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 是AB的中点，CD=DE=a ，则AB 的长为（ ）A. 2aB. 22a C. 3a D.【答案】 B 【考点】直角三角形斜边上的中线【解析】 【解答】解：∵CD ⊥AB ，CD=DE=a ，∴CE= a ，∵在△ABC 中，∠ACB=90°，点E 是AB 的中点，∴AB=2CE=2 a ， 故选B ．【分析】根据勾股定理得到CE= a ，根据直角三角形的性质即可得到结论10.如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB 交AD 于点M ，若OM=3，BC=10，则OB 的长为（ ）A. 5B. 4C.D.【答案】 D 【考点】矩形的性质【解析】【解答】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=90°，∵O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，OM ∥AB ，∴OM 是△ADC 的中位线，∴OM=3，∴DC=6，∵AD=BC=10，∴AC==2 ， ∴BO= AC= ，故选D ．【分析】已知OM 是△ADC 的中位线，再结合已知条件则DC 的长可求出，所以利用勾股定理可求出AC 的长，由直角三角形斜边上中线的性质则BO 的长即可求出．【中档题】11．如图，矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝3，对角线AC 的垂直平分线分别交AD ，BC 于点E 、F ，连结CE ，则CE 的长______． 【答案】136； 【解析】设AE ＝CE ＝x ，DE ＝3x -，()22232x x =-+，136x =. 12. 如图所示，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，∠AOD ＝120°，AB ＝4cm ，则矩形对角线AC 长为________cm ．【答案】8；【解析】由矩形的性质可知△AOB 是等边三角形，∴ AC ＝2AO ＝2AB ＝8cm ．14. 如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为_______.【答案】6；【解析】设AB ＝AF ＝x ，BE ＝EF ＝3，EC ＝5，则CF ＝4，()22284x x +=+，解得6x =.14.如图，矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，P 是边AD 上的动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为_________. 【答案】125； 【解析】BD ＝5，利用面积法，PE ＋PF ＝△AOD 中OD 边上的高＝345⨯. 15.在矩形ABCD 中，AB ＝6，AD ＝3，E 是AB 边上一点，AE ＝2，F 是直线CD 上一动点，将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A '，当点E 、A '、C 三点在一条直线上时，DF 的长度为 ．【答案】1或11；【解析】在旋转过程中A 有两次和E ，C 在一条直线上，第一次在EC 线段上，第二次在CE 线段的延长线上，利用平行的性质证出CF ＝CE ，即可求解；如图1：将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 的对应点为点A '，∴∠AEF ＝∠EA 'F ，AE ＝A 'E ，∵AB ∥CD ，∴∠AEF ＝∠CFE ，∴CF ＝CE ，∵AB ＝6，AD ＝3，AE ＝2，∴CF ＝CE ＝6﹣DF ，A 'E ＝2，BE ＝4，BC ＝3，∴EC ＝5，∴6﹣DF ＝5，∴DF ＝1；如图2：由折叠∠FEA '＝∠FEA ，∵AB ∥CD ，∴∠CFE＝∠CEF，∴CF＝CE，∴CF＝5，∴DF＝11；故答案为1或11；16.已知：如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，E，F分别为垂足．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）求证：四边形AECF是矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析．【解析】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC，∵AE⊥BC，CF⊥AD，∴∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝∠AFC＝90°，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（AAS）；（2）证明：∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠AEB＝90°，∴∠EAF＝∠AEC＝∠AFC＝90°，∴四边形AECF是矩形．17.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F．（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；（2）当DE＝DF时，求EF的长．【答案】见解析。

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72° D2．关于矩形的性质、下面说法错误的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD=2，CD=√5则EF=（）A．1B．4−√5C．√5−2 D4．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若∠BDC=2∠ADB，AB=1则FO的长度为（）A．√32B．12C．√3−1 D6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是（）A．2.5B．3C．4D．57．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确．．．的是（）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形8．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）10．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是；11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5且OE=2DE，则DE的长为.12．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm213．如图，在矩形ABCD中AD=4，AB=6作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为。