北师大版初中数学《矩形的性质与判定》同步练习(含答案)

矩形 同步测试题一.选择题1.下列关于矩形的说法中正确的是( )A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分2. 矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm 和3cm 两部分，则它的面积为（ ）A.32cmB. 42cmC. 122cmD. 42cm 或122cm 3.已知：如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长BA 到点E ，使AE=AB ，联结ED ，EC ，AC ，添加一个条件，能使四边形ACDE 成为矩形的是（ ）A ．AC=CDB ．AB=ADC ．AD=AED ．BC=CE4. 把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠,EM 、FM 为折痕,折叠后的C 点落在B′M 或B′M 的延长线上,那么∠EMF 的度数是( )A.85°B.90°C.95°D.100°5．如图，四边形ABCD 中，AB ＝BC ，∠ABC ＝∠CDA ＝90°，BE ⊥AD 于点E ，且四边形ABCD 的面积为8，则BE ＝( )A.2B.3C.22D.326. 矩形的面积为1202cm ，周长为46cm ，则它的对角线长为（ ）A.15cmB.16cmC.17cmD.18cm二.填空题7．如图，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD ＝2AB ，若沿过点D 的折痕DE 将A 角翻折，使点A 落在BC 上的A 1处，则∠EA 1B ＝______°.8．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，对角线AC的垂直平分线分别交AD，BC于点E、F，连结CE，则CE的长______．9. 如图所示，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝4cm，则矩形对角线AC长为________cm．10.如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边CD、BC上，DC=3DE=3a，将矩形沿直线EF折叠，使点C恰好落在AD边上的点P处，则FP=_______.11.矩形ABCD的∠A的平分线AE分BC成两部分的比为1：3，若矩形ABCD的面积为36，则其周长为．12.如图所示，将矩形ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的F处，若△AFD的周长为9，△ECF的周长为3，则矩形ABCD的周长为___________.13．如图，点P是正方形ABCD的对角线BD上一点，PE⊥BC于点E；PF⊥CD于点F，连接EF，给出下列五个结论：①AP=EF；②AP⊥EF；③∠PFE=∠BAP；④PD=EC；⑤PB2+PD2=2PA2，正确的有几个？14.已知：如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．（1）求证：△BOE≌△DOF；（2）若OA＝12BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？说明理由．15.已知：如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边BC、AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED．求证：AE平分∠BAD．一.选择题1.【答案】D ；2.【答案】D ；【解析】矩形的短边可能是1，也可能是3，所以面积为4×1或4×3.3.【答案】D ；【解析】添加一个条件BC=CE.理由：∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AB ∥CD 且AB=CD ，∵AE=AB ，∴AE ∥CD 且AE=CD ，∴四边形DEAC 为平行四边形，∵BC=EC ，AE=AB ，∴∠EAC=90°，∴平行四边形ACDE 是矩形.4.【答案】B ； 【解析】∠EMF＝∠EMB′＋∠FMB′＝21∠BMC′＋21∠CMC′＝21×180°＝90°. 5．【答案】C ；【解析】过点C 做BE 垂线，垂足为F ，易证△BAE ≌△CBF ，所以BF ＝AE ，BE ＝CF ，所以总面积＝AE ×BE ＋CF ×EF ＝ AE ×BE ＋BE ×（BE －AE ）＝28BE =，22BE =.6.【答案】C ；【解析】设边长为a b 、，则23,120,a b ab +==解得22289a b +=，所以对角线为28917=.二.填空题7．【答案】60°；【解析】AD ＝A 1D ＝2CD ，所以∠CA 1D ＝30°，∠EA 1B ＝60°.8.【答案】136； 【解析】设AE ＝CE ＝x ，DE ＝3x -，()22232x x =-+，136x =. 9.【答案】8；【解析】由矩形的性质可知△AOB 是等边三角形，∴ AC ＝2AO ＝2AB ＝8cm ．10.【答案】23a ；【解析】作FM ⊥AD 于M ，如图所示：则MF=DC=3a ，由题意可得：CE=2a ，由折叠可得：PE=CE=2a =2DE ，∠EPF=∠C=90°，∴∠DPE=30°，∴∠MPF=60°，∠MFP=30°，∴FP=2233a ⨯=. 11.【答案】30或10；【解析】∵AE 平分∠DAB ，∴∠DAE=∠EAB ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，DC=AB ，AD ∥BC ，∴∠DEA=∠BEA ，∴∠EAB=∠BEA ，∴AB=BE ，①设BE=x ，CE=3x ，则AD=4x ，AB=x ，∵矩形ABCD 的面积为36，∴x•4x=36，解得：x=3（舍负），即AD=BC=4x=12，AB=CD=x=3，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（3+12）=30；②设BE=3x ，CE=x ，则AD=4x ，AB=3x ， ∵矩形ABCD 的面积为36，∴3x•4x=36， 解得：x=（舍负）， 即AD=BC=4x=4，AB=CD=x=，∴矩形的周长为：AB+BC+CD+AD=2×（4+）=10；故答案为：30或10．12.【答案】12； 【解析】设BE ＝EF ＝x ，CE ＝b ，CF ＝a ，DF ＝y ，则9,3x b y y a x a b ++++=++=，解得3y =，矩形ABCD 的周长＝()()223312y a x b +++=⨯+=.三.解答题13.【解析】解：①正确，连接PC ，可得PC=EF ，PC=PA ，∴AP=EF ；②正确；延长AP，交EF于点N，则∠EPN=∠BAP=∠PCE=∠PFE，可得AP⊥EF；③正确；∠PFE=∠PCE=∠BAP；④错误，PD=PF=CE；⑤正确，PB2+PD2=2PA2．所以正确的有4个：①②③⑤.14.【解析】（1）证明：∵BE⊥AC．DF⊥AC，∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∵点O是EF的中点，∴OE＝OF，又∵∠DOF＝∠BOE，∴△BOE≌△DOF（ASA）；（2）解：四边形ABCD是矩形．理由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OA＝12BD，OA＝12AC，∴BD＝AC，∴ABCD是矩形．15.【解析】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB＝CD，∴∠BEF＋∠BFE＝90°．∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°．∴∠BFE＝∠CED．又∵EF＝ED，∴△EBF≌△DCE．∴BE＝CD．∴BE＝AB．∴∠BAE＝∠BEA＝45°．∴∠EAD＝45°．∴∠BAE＝∠EAD．∴AE平分∠BAD．。

2023-2024学年北师大版九年级数学上册《第一章矩形的性质与判定》同步练习题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。

在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1. 若菱形的周长为48cm，则其边长是( )A. 24cmB. 12cmC. 8cmD. 4cm2. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A. 两组对边分别相等B. 两条对角线相等C. 四个内角都是直角D. 每一条对角线平分一组对角3. 如图，广场中心菱形花坛ABCD的周长是32米∠A=60°，则A、C两点之间的距离为( )A. 4米B. 4√ 3米C. 8米D. 8√ 3米4. 下列选项中能使▱ABCD成为菱形的是( )A. AB=CDB. AB=BCC. ∠BAD=90°D. AC=BD5. 如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC.若AB=2cm，四边形OACB的面积为4cm2.则OC的长为( )A. 2B. 3C. 4D. 56. 如图，小聪在作线段AB的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A和B为AB的长为半径画弧，两弧相交于C、D，则直线CD即为所求．根圆心，大于12据他的作图方法可知四边形ADBC一定是( )A. 矩形B. 菱形C. 正方形D. 等腰梯形7. 如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，重合部分构成一个四边形ABCD，其中一张纸条在转动过程中，下列结论一定成立的是( )A. 四边形ABCD周长不变B. AD=CDC. 四边形ABCD面积不变D. AD=BC8. 如图，在Rt△ABC中∠C=90°，∠A=30°，AB=2，将△BEF沿EF所在直线翻折得到△DEF，点D为∠ABC的平分线与边AC的交点，则线段EF长度为( )A. 12B. √ 32C. 23√ 3D. 239. 如图，菱形ABCD的边长为13，对角线AC=24，点E、F分别是边CD、BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=( )A. 13B. 10C. 12D. 510. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点D作DH⊥BC于点H，连接OH，若OA=4，OH的长为1.5，则S菱形ABCD=( )A. 24B. 12C. 8D. 6二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11. 菱形的边长为5，则它的周长是．12. 已知菱形的两条对角线长分别是6和8，则这个菱形的面积为．13. 如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知OB=4，菱形ABCD的面积为24，则AC的长为______14. 如图，将菱形纸片ABCD沿过点C的直线折叠，使点D落在射线CA上的点E处，折痕CP交AD于点P.若∠ABC=30°，AP=2则PE的长等于______ ．15. 菱形ABCD的边长为2，∠ABC=45°点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为______．16. 如图，在∠MON的两边上分别截取OA、OB，使OA=OB；分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；连接AC、BC、AB、OC若AB=2cm，四边形OACB的面积为5cm2.则OC的长为____cm．17. 已知菱形的一边与两条对角线的夹角之差是18°，则此菱形的各个内角分别是______ ．18. 如图，菱形ABCD的边长为10，对角线AC=18，点E、F分别是边CD，BC的中点，连接EF并延长与AB的延长线相交于点G，则EG=______ ．19. 如图，在菱形ABCD中∠ABC=60°°，在对角线AC上任取一点P(端点除外)，连接PD、PB.在BA的延长线上取一点Q，使PD=PQ.当点P在线段AC上移动时：①∠PDA=PBA②当点P沿CA方向运动时，∠DPQ的度数先变小，后变大③PC=AQ④PB=PD.其中，说法正确的序号是______ ．20. 将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF.若AB=3，则菱形AECF的面积为______．三、解答题（本大题共5小题，共40.0分。

数学北师大版九年级上册1.2矩形的性质与判定（1）同步训练（含解析）A.B.C.D.5.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，过点O作BD的垂线分别交AD，BC于E，F两点．若AC=2 ，∠AEO=120°，则EF的长度为（）A. 1B. 2C.D.6.如图，矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为（）A. 6B. 10C. 8D. 127.如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，且E是AC的中点.若AD=6，DE=5，则CD的长等于（）A. 5B. 6C. 7D. 88.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D，E分别是AB，AC的中点，连接CD，过E作EF∥DC交BC的延长线于F，若四边形DCFE的周长为25cm，AC的长5cm，则AB的长为（）A. 13cmB. 12cmC. 10cmD. 8cm9.如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝6，△DEF的周长是7，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，且点D是AB 的中点，则AF的长为( )A.C.D. 710.如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，把矩形ABCD沿过点A的直线AE折叠点D落在矩形ABCD内部的点D处，则CD′的最小值是（）A. 2B.C. 2-2D. 2 +2二、填空题11.如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AC=8，则EF=________.12.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，BN的长为________．13.如图，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB 边上的中线．则CD=________．14.如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，△ABC是边长为16的正三角形，点A、B分别在x轴的正半轴、y轴的正半轴上滑动，点C在第一象限，连接OC，则线段OC的长的最大值是________．15.如图，矩形ABCD中，，，CE 是的平分线与边AB的交点，则BE的长为________．三、解答题16.如图，在矩形ABCD，AD=AE，DF⊥AE于点F．求证：AB=DF．17.如图，将矩形ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点F处，FC交AD于E．（1）求证：△AFE ≌△CDF；（2）若AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积．18.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE=DF，（1）求证：AE=CF；（2）若AB=3，∠AOD=120°，求矩形ABCD的面积．19.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD是BC边上的中线，ED⊥BC于D，交BA延长线于点E，若∠E=35°，求∠BDA的度数．20.如图，在四边形ABCD中，,AC=AD,M,N分别为AC,AD的中点，连接BM,MN,BN.（1）求证：BM=MN;（2） ,AC平分 ,AC=2,求BN的长。

2023-2024学年九年级数学上册《第一章矩形的性质与判定》同步练习题有答案（北师大版)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．四条边相等2．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，AE⊥BD于F，则线段AF的长是（）A．6 B．5 C．4.8 D．43．如图，把矩形ABCD沿EF对折后使两部分重合，若∠1=50°，则∠AEF=( )A．110°B．115°C．120°D．130°4．如图，▱ABCD中，增加下列选项中的一个条件，不一定能判定它是矩形的是（）A．∠ABC=90°B．AC⊥BD C．AC=BD D．∠OBA=∠OAB 5．如图，矩形ABCD的周长是28，对角线AC、BD相交于点O，点E是CD的中点，AC＝10，则△DOE的周长是（）A．12 B．13 C．14 D．156．如图，四边形ABCD的对角线为AC、BD，且AC=BD，则下列条件能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．BA=BC B．AC、BD互相平分C．AC⊥BD D．AB∥CD7．如图，在矩形ABCD中，AB=5，BC=8，E是边BC的中点，M是AE的中点，连接CM，则CM的长为（）A．6 B．6.5 C．7 D．7.58．如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，AC与BD相交于O，E为DC的一点，过点O作OF⊥OE交BC于F．记d=√DE2+BF2，则关于d的正确的结论是（）A．d=5 B．d＜5 C．d≤5 D．d≥5二、填空题9．如图，矩形ABCD中，∠AOB＝60°，BC＝3√3，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为．10．如图，在菱形ABCD中，AC、BD交于点O，AC＝6，BD＝8，若DE∥AC，CE∥BD，则OE的长为.11．如图，矩形ABCD沿AF折叠，使点D落在BC边上E处，如果∠BAE=50°，则∠DAF= .12．如图，把矩形ABCD纸片沿着过点A的直线AE折叠，使得点D落在BC边上的点F处，若∠BAF= 40°则∠DAE=°13．如图，矩形ABCD中AB=6，BC=8对角线AC、BD相交于点O，点P是线段AD上任意一点（点Р不与A、D重合），过P作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE+PF等于．三、解答题14．如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2.求证：四边形ABCD是矩形.15．已知：如图，M为平行四边形ABCD边AD的中点，且MB＝MC．求证：四边形ABCD是矩形．16．如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D（不与点B重合）在BC上，点E是AB的中点，过点A作AF∥BC交DE延长线于点F，连接AD，BF．（1）求证：△AEF≌△BED．（2）若BD=CD，求证：四边形AFBD是矩形．18．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．参考答案1．D2．C3．B4．B5．A6．B7．B8．D9．3210．511．20°12．2513．24514．解：在□ABCD中，应用平行四边形性质得到AO=CO，BO=DO，又∵∠1=∠2 ，∴BO=CO，∴AO=BO=CO=DO，∴AC=BD，∴□ABCD为矩形.15．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝CD，AB∥CD∴∠A+∠D＝180°在△ABM和△DCM中{AM=DM AB=DC BM=CM∴△ABM≌△DCM（SSS）∴∠A＝∠D＝90°∴平行四边形ABCD是矩形．16．证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD，AB=CD∵CE=DC∴AB=EC，AB∥EC∴四边形ABEC是平行四边形∴FA=FE，FB=FC∵四边形ABCD是平行四边形∴∠ABC=∠D又∵∠AFC=2∠D∴∠AFC=2∠ABC∵∠AFC=∠ABC+∠BAF∴∠ABC=∠BAF∴FA=FB∴FA=FE=FB=FC∴AE=BC∴四边形ABEC是矩形．17．证明：（1）∵AF∥BC∴∠AFE=∠EDB∵E为AB的中点∴EA=EB在△AEF和△BED中∴△AEF≌△BED（ASA）；（2）∵△AEF≌△BED∴AF=BD∵AF∥BD∴四边形AFBD是平行四边形∵AB=AC，BD=CD∴AD⊥BD∴四边形AFBD是矩形．18．（1）解：BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC ∴∠AFE=∠DCE∵E是AD的中点∴AE=DE在△AEF和△DEC中{∠AFE=∠DCE∠AEF=∠DECAE=DE∴△AEF≌△DEC（AAS）∴AF=CD∵AF=BD∴BD=CD；（2）解：当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD∴四边形AFBD是平行四边形∵AB=AC，BD=CD（三线合一）∴∠ADB=90°∴▱AFBD是矩形。

北师大版九年级数学上册《1.2 矩形的性质与判定》同步练习题-附答案一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC、BD相交于点O，若OB=5．则AC=（）A．10 B．8 C．5√3D．52．如图，矩形纸片ABCD中，点E是AD的中点，且AE＝1，BE的垂直平分线MN恰好过点C.则AB的长度为（）A．1 B．√2C．√3D．23．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC 的度数是（）A．18°B．36°C．45°D．72°4．如图，在矩形ABCD中E，F分别是AD，CD的中点，连接BE，BF，且G，H分别是BE，BF的中点，已知BD=20，则GH的长为( )A．4B．5C．8D．105．如图∠BAC=90°，AB=6，AC=8，P为边BC上一动点（点P不与点B，C重合），PE⊥AB于点E，PF⊥AC 于点F，则EF的最小值为（）A．4 B．4.8C．5.2D．66．如图，在矩形纸片ABCD中AB=10，AD=6点E为AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A恰好落在CD边上点F处，则AE长为（）A．83B．72C．103D．1347．如右图，A，B为5×5的正方形网格中的两个格点，称四个顶点都是格点的矩形为格点矩形，则在此图中以A，B为顶点的格点矩形共可以画出（）A．1个B．2个C．3个D．4个8．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点M是AB边的中点，点N是AD边上任意一点，将线段MN绕点M顺时针旋转90°，点N旋转到点N'，则△MBN'周长的最小值为（）A．15 B．5+5√5C．10+5√2D．18二、填空题9．在矩形ABCD中AB=2，对角线AC与BD相交于点 O，若∠BAO=60°，则边BC的长为．10．如图，矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,∠AOD=120°若AB=3cm，则AC=cm．11．如图所示的长方形纸条ABCD，将纸片沿MN折叠，MB与DN交于点K，若∠1=70°，则∠KNC=°12．如图，在矩形ABCD中AB=2AD=6，点P为AB边上一点，且AP≤3，连接DP，将ΔADP沿DP折叠，点A落在点M处，连接CM,BM，当ΔBCM为等腰三角形时，BP的长为．13．如图，在矩形ABCD中AB=8，BC=12，E为BC上一点，CE=4，M为BC的中点．动点P，Q从E出发，分别向点B，C运动，且PE=2QE．若PD和AQ交于点F，连接MF，则MF的最小值为．三、解答题14．如图，折叠长方形纸片ABCD的一边，使点D落在BC边的D′处AB=6cm，BC=10cm求CE的长．15．如图，在矩形ABCD中，点E在BC边上，点F在CD边上，且AB=4，BE=3，EF=6，AF=√61求三角形AEF的面积．16．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且AE=CG,BF=DH，连接EG、FH．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）若EG=FH,∠AHE=35°，求∠DHG的度数．17．如图，四边形ABCD中∠DAB=45°，AB=8，AD=3√2，E为AB中点，且CD⊥DE，连接CE．（1）求DE的长度；（2）若∠BEC=∠ADE，求BC的长度．18．已知：如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F，点O既是AC的中点，又是EF的中点。

第一章特殊平行四边形 1.2 矩形的性质与判定1. 如图，在△ABC中，BD，CE是高，点G，F分别是BC，DE的中点，则下列结论中错误的是( )A．∠DGE＝60° B．GF⊥DE C．GF平分∠DGE D．GE＝GD2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD 的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则△AEF的周长等于( )A. 7cmB. 8cmC. 9cmD. 10cm3. 如图，△ABC中，AB＝AC＝10，BC＝8，AD平分∠BAC交BC于点D，点E为AC的中点，连接DE，则△CDE的周长为( )A. 13B. 14 C, 15 D. 164. 如图，在△ABC中，点D，E，F分别为边BC，AC，AB的中点，AH⊥BC于点H，若FD＝8 cm，则HE等于( )A. 11cmB. 10cmC. 9cmD. 8cm5. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A．对边相等 B．对角线相等 C．对角相等 D．对角线互相平分6. 下列四边形不是矩形的是( )A．有三个角都是直角的四边形B．四个角都相等的四边形C．对角线相等且互相平分的四边形D．一组对边平行，且对角相等的四边形7. 如图，顺次连接四边形ABCD各边中点得四边形EFGH，要使四边形EFGH为矩形，应添加的条件是( )A．AC⊥BD B．AC＝BD C．AB∥DC D．AB＝DC8. 在数学活动课上， 老师和同学们判断一个四边形门框是否为矩形， 下面是某合作学习小组的4位同学拟订的方案， 其中正确的是( ) A ．测量两组对边是否分别相等 B ．测量对角线是否相互平分 C ．测量其内角是否都为直角 D ． 测量对角线是否垂直9. 如图，在矩形ABCD 中(AD ＞AB)，点E 是BC 上一点，且DE ＝DA ，AF ⊥DE ，垂足为点F ，在下列结论中，不一定正确的是( )A ．BE ＝AD －DFB ．AF ＝12ADC ．AB ＝AFD ．△AFD ≌△DCE10. 如图，点P 是矩形ABCD 的边AD 上的一动点，矩形的两条边AB ，BC 的长分别是6和8，则点P 到矩形的两条对角线AC 和BD 的距离之和是( )A ．4.8B ．5C ．6D ．7.211. 如图，矩形ABCD 的顶点A ，C 分别在直线a ，b 上，且a∥b，∠1＝60°，则∠2=12. 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB＝120°，AD＝2，则矩形ABCD的面积=13. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知条件：①AB∥CD；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD，则下列条件的组合不能使四边形ABCD成为矩形的选项是 (填序号)14. 在平面直角坐标系中，A点坐标为(3，0)，B点坐标为(0，2)，要使四边形OBCA为矩形，则C点的坐标为________．15. 已知一直角三角形的周长是4＋26，斜边的中线长是2，则这个三角形的面积是16. 如图，将△ABC绕AC的中点O顺时针旋转180°得到△CDA，添加一个条件，使四边形ABCD为矩形．17. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形OCED的周长为18. 如图，对折矩形纸片ABCD，使AB与DC重合得到折痕EF，将纸片展平；再一次折叠，使点D落到EF上点G处，并使折痕经过点A，展平纸片后∠DAG的大小为19. 矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，点B的坐标为(3，4)，D 是OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长最小时，点E的坐标为20. 如图，在矩形ABCD中，AB＝1，点E，F分别为AD，CD的中点，沿BE将△ABE折叠，若点A恰好落在BF上，则AD＝________．21. 如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿AC折叠，点B落在点E处，AE与DC 的交点为点O，连接DE.(1)求证：△ADE≌△CED；(2)求证：DE∥AC.22. 如图，在▱ABCD中，E是BC的中点，且EA＝ED.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)若BC＝6 cm，AE＝5 cm，求S▱ABCD.23. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别是边BC，AB上的点，且EF＝ED，EF⊥ED.求证：AE平分∠BAD.24. 如图，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，已知O 是AC 的中点，AE ＝CF ，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是什么特殊四边形？请证明你的结论．25. 如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝8，CF＝6，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．答案：1---10 ACBDB DADBA 11. 60° 12. 4 3 13. ② ⑤ ⑥ 14. (3，2) 15. 5216. ∠B＝90°或∠BAC＋∠BCA＝90° 17. 818. 60°19. (3，43) 20. 221. 解：(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ，AB ＝CD ，由折叠知BC ＝CE ＝AD ，AB ＝AE ＝CD ，又∵DE ＝ED ，∴△ADE ≌△CED(SSS )．(2)∵△ADE ≌△CED ，∴∠EDC ＝∠DEA ，由折叠知∠OAC ＝∠CAB ，又∵∠OCA ＝∠CAB ，∴∠OAC ＝∠OCA ，∵∠EOC ＝∠EAB ，∴2∠OAC ＝2∠DEA ，∴∠OAC ＝∠DEA ，∴DE ∥AC.22. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AB＝CD ，又∵EA＝ED ， BE ＝EC ，∴△ABE≌△DCE，∴∠B＝∠C，∵AB∥CD，∴∠B＋∠C＝180°，∴∠B＝12×180°＝90°，∴▱ABCD 是矩形 (2)在Rt△ABE 中，BE ＝12BC ＝3(cm)， ∴AB＝AE 2－BE 2＝4(cm)，∴S ▱ABCD ＝AB·BC＝4×6＝24(cm 2)．23. 证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B＝∠C＝∠BAD＝90°，AB ＝CD ， ∴∠BEF＋∠BFE＝90°，∵EF⊥ED，∴∠BEF＋∠CED＝90°，∴∠BFE＝∠CED，同理∠BEF＝∠EDC.在△EBF 与△DCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BFE＝∠CED，EF ＝ED ，∠BEF＝∠EDC，∴△EBF≌△DCE(ASA )．∴BE＝CD.∴BE＝AB.∴∠BAE＝∠BEA＝45°.∴∠EAD＝45°.∴∠BAE＝∠EAD，即AE 平分∠BAD.24. (1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO，∵OA＝OC ， AE ＝CF ，∴OE＝OF ，∴△BOE≌△DOF(AAS )．(2)若OD ＝12AC ，则四边形ABCD 是矩形．证明如下：∵△BOE≌△DOF， ∴OB＝OD ，又∵OD＝12AC ，OA ＝OC ，∴OA＝OB ＝OC ＝OD ， ∴BD＝AC ，∴四边形ABCD 为矩形．25. (1)证明：如图所示，∵MN 交∠ACB 的平分线于点E ，交∠ACB 的外角平分线于点F ，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6，∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴EO ＝CO ，FO ＝CO ，∴OE ＝OF.(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°，∵CE＝8，CF ＝6，∴EF＝82＋62＝10，∴OC＝12EF ＝5. (3)当点O 在边AC 上运动到AC 中点时，四边形AECF 是矩形．理由如下：当O 为AC 的中点时，AO ＝CO ，∵EO ＝FO ，∴四边形AECF 是平行四边形，∵∠ECF ＝90°，∴平行四边形AECF 是矩形．1、最困难的事就是认识自己。

北师大版九年级数学上册《1.2矩形的性质与判定》同步练习题-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°，则∠BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72° D2．关于矩形的性质、下面说法错误的是（）A．矩形的四个角都是直角B．矩形的两组对边分别相等C．矩形的两组对边分别平行D．矩形的对角线互相垂直平分且相等3．在矩形ABCD中，以A为圆心，AD长为半径画弧，交AB于F点，以C为圆心，CD长为半径画弧，交AB于E点，若AD=2，CD=√5则EF=（）A．1B．4−√5C．√5−2 D4．顺次连接矩形各边中点得到的四边形是（）A．梯形B．矩形C．菱形D．正方形5．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC边于点E，点F是AE的中点，连接OF，若∠BDC=2∠ADB，AB=1则FO的长度为（）A．√32B．12C．√3−1 D6．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=2，则四边形CODE的周长是（）A．2.5B．3C．4D．57．如图，已知平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，下列结论中，不正确．．．的是（）A．当AB⊥AD时，四边形ABCD是矩形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA=OB时，四边形ABCD是矩形D．当AB=AC时，四边形ABCD是菱形8．依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是（）A．B．C．D．二、填空题9．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是（添加一个条件即可）10．如图，矩形ABCD中，点A坐标是（﹣1，0），点C的坐标是（2，4），则BD的长是；11．如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，CE⊥BD，垂足为点E，CE=5且OE=2DE，则DE的长为.12．矩形一个角的平分线分矩形一边为1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为cm213．如图，在矩形ABCD中AD=4，AB=6作AE平分∠BAD，若连接BF，则BF的长度为。

1.2.3 矩形的性质与判定的综合应用一、选择题1.下列关于矩形的说法中正确的是()A.对角线相等的四边形是矩形B.矩形的对角线相等且互相平分C.对角线互相平分的四边形是矩形D.矩形的对角线互相垂直且平分2.如图K-6-1,在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=4,AF=6,则AC的长为()图K-6-1A.4√5B.6√3C.2√30D.20√33二、填空题3.如图K-6-2,在矩形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O.在AD上取一点P,过点P分别作PF⊥AC于点F,PE⊥BD于点E,其中AD=12,AB=5,则PE+PF=.图K-6-2三、解答题4.如图K-6-3,在▱ABCD中,P是AB边上一点(不与点A,B重合),CP=CD,过点P作PQ⊥CP,交AD边于点Q,连接CQ.(1)若∠BPC=∠AQP,求证:四边形ABCD是矩形;(2)在(1)的条件下,当AP=2,AD=6时,求AQ的长.图K-6-35.某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时,将一块含45°角的三角尺的直角顶点绕着矩形ABCD(AB<BC)的对角线交点O旋转(如图K-6-4),图中M,N分别为三角尺的直角边与矩形ABCD的边CD,BC的交点.图K-6-4(1)该学习小组中一名成员意外地发现:在图①(三角尺的一直角边与OD重合)中,BN2=CD2+CN2;在图③(三角尺的一直角边与OC重合)中,CN2=BN2+CD2.请你对这名成员在图①和图③中发现的结论选择其一说明理由;(2)试探究图②中BN,CN,CM,DM这四条线段之间的数量关系,写出你的结论,并说明理由.参考答案1.B[解析] A选项,对角线相等的平行四边形是矩形,故本选项错误;B选项,矩形的对角线相等且互相平分,故本选项正确;C选项,对角线互相平分的四边形是平行四边形,不一定是矩形,故本选项错误; D选项,矩形的对角线互相平分且相等,不一定垂直,故本选项错误.故选B.2.C[解析] 如图,连接AE,设EF与AC的交点为O.∵EF是AC的垂直平分线,∴OA=OC,AE=CE.∵四边形ABCD是矩形,∴∠B=90°,AD∥BC,∴∠OAF=∠OCE.又∵∠AOF=∠COE,∴△AOF≌△COE(ASA),∴AF=CE=6,∴AE=CE=6,BC=BE+CE=4+6=10,则AB=√AE2-BE2=√36-16=2√5,∴AC=√AB2+BC2=√20+100=2√30.故选C.[解析] 如图,连接OP.3.6013∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,AC=BD,OA=OC,OB=OD.在△BAD中,∠BAD=90°,AD=12,AB=5,由勾股定理,得BD=√52+122=13,.∴OA=OD=132∵矩形的面积是12×5=60,∴△AOD 的面积是14×60=15. 又∵S △AOD =S △APO +S △DPO =12OA ·PF+12OD ·PE=12OA ·(PE+PF ), ∴PE+PF=6013.4.解:(1)证明:∵PQ ⊥CP ,∴∠CPQ=90°,∴∠APQ+∠BPC=90°.∵∠BPC=∠AQP ,∴∠APQ+∠AQP=90°.∵∠APQ+∠AQP+∠A=180°,∴∠A=90°.又∵四边形ABCD 是平行四边形,∴四边形ABCD 是矩形.(2)∵四边形ABCD 是矩形,∴∠D=90°.在Rt △CDQ 和Rt △CPQ 中,∵CD=CP ,CQ=CQ ,∴Rt △CDQ ≌Rt △CPQ (HL),∴DQ=PQ.设AQ=x ,则DQ=PQ=6-x.在Rt △APQ 中,AQ 2+AP 2=PQ 2,∴x 2+22=(6-x )2,解得x=83.∴AQ 的长是83.5.解:(1)选择在图①中发现的结论说明理由:如图①,连接DN.∵四边形ABCD 是矩形,∴OB=OD.∵∠DON=90°,∴BN=DN.∵在矩形ABCD 中,∠BCD=90°,∴DN2=CD2+CN2,∴BN2=CD2+CN2(其他选择略).(2)BN2+DM2=CM2+CN2.理由:如图②,延长NO交AD于点P,连接PM,MN.∵四边形ABCD是矩形,∴OD=OB,AD∥BC,∴∠DPO=∠BNO,∠PDO=∠NBO.在△BON和△DOP中,∵∠NBO=∠PDO,∠BNO=∠DPO,OB=OD,∴△BON≌△DOP(AAS),∴ON=OP,BN=PD.∵∠MON=90°,∴PM=MN.∵在矩形ABCD中,∠ADC=∠BCD=90°,∴PM2=PD2+DM2,MN2=CM2+CN2,∴PD2+DM2=CM2+CN2,∴BN2+DM2=CM2+CN2.。

优秀领先 飞翔梦想1.2 矩形的性质与判定一、填空与选择1．矩形的对边 ，对角线 且 ，四个角都是 ，即是 图形又是 图形。

2．矩形的面积是60，一边长为5，则它的一条对角线长等于 。

3．如果矩形的一边长为8，一条对角线长为10，那么这个矩形面积是__________。

4. 矩形的一内角平分线把矩形的一条边分成3和5两部分，则该矩形的周长是___________.5. 矩形的两条对角线的夹角是60°，一条对角线与矩形短边的和为15，那么矩形对角线的长为_______，短边长为_______.6．已知，如图：在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，四边形OABC 是矩形，点A 、C 的坐标分别为A （10，0）、C （0，4），点D 是OA 的中点，点P 在BC 边上运动，当△ODP 是腰长为5的等腰三角形时，点P 的坐标为 。

7．若一个直角三角形的两条直角边分别为5和12，则斜边上的中线等于 . 8．平行四边形没有而矩形具有的性质是（ ）A 、对角线相等B 、对角线互相垂直C 、对角线互相平分D 、对角相等9.下列叙述错误的是（ ）A.平行四边形的对角线互相平分B.平行四边形的四个内角相等。

C.矩形的对角线相等。

D.有一个角时90º的平行四边形是矩形 10.下列检查一个门框是否为矩形的方法中正确的是（ ）A ．测量两条对角线是否相等B ．用曲尺测量对角线是否互相垂直C ．用曲尺测量门框的三个角是否都是直角D.测量两条对角线是否互相平分11．矩形ABCD 的对角线相交于点O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则AD 的长是（ ） A 、5cmB 、7.5cmC 、10cmD 、12.5cm12.下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）A 、平行四边形B 、等边三角形C 、矩形D 、直角三角形y xPDCBAO二、解答题1．如图，已知矩形ABCD的两条对角线相交于O，︒=∠120AOD，AB=4cm，求此矩形的面积。

第一章特殊平行四边形《矩形的性质与判定》典型题同步练习第1课时矩形的概念及其性质（典型题）知识点 1 矩形边、角的性质1．若矩形ABCD的两邻边长分别是1，2，则其对角线BD的长是( )A.3 B．3 C.5 D．2 52．如图1－2－1所示，在矩形ABCD中，E是BC边的中点，且AE平分∠BAD，CE＝2，则CD的长是( )A．2 B．3 C．4 D．51－2－1 1－2－23．如图1－2－2，在矩形ABCD中，AB＝2BC，在CD上取一点E，使AE＝AB，则∠EBC 的度数是( )A．30° B．22.5° C．15° D．10°4．如图1－2－3，在矩形ABCD中，点O在边AB上，∠AOC＝∠BOD.求证：AO＝BO.图1－2－3知识点 2 矩形对角线的性质5．如图1－2－4，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠ACB＝30°，则∠AOB 的度数为( )A．30° B．60° C．90° D．120°图1－2－4 1－2－56．教材例1变式题如图1－2－5，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOB ＝60°，AC＝6 cm，则AB的长是( )A．3 cm B．6 cm C．10 cm D．12 cm图1－2－67．如图1－2－6，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6 cm，BC＝8 cm，则EF＝________ cm.8．如图1－2－7，在矩形ABCD中，过点B作BE∥AC交DA的延长线于点E.求证：BE ＝BD.图1－2－7知识点 3 直角三角形斜边上的中线的性质9．若直角三角形两条直角边的长分别为6和8，则斜边上的中线的长是( )A．5 B．10 C.245 D.125图1－2－810．如图1－2－8，△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝55°，D是斜边AB的中点，那么∠ACD的度数为( )A．15° B．25°C．35° D．45°11．如图1－2－9，已知△ABC和△ABD均为直角三角形，其中∠ACB＝∠ADB＝90°，E 为AB的中点．求证：CE＝DE.图1－2－912．如图1－2－10，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点E，AD＝8，AB＝4，则DE的长为( )A．3 B．4 C．5 D．61－2－10 1－2－1113．如图1－2－11，在矩形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，连接DE，BF，分别取DE，BF的中点M，N，连接AM，CN，MN，若AB＝5，BC＝8，则图中阴影部分的面积为( )A．5 B．8 C．13 D．2014．如图1－2－12，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，折叠矩形，使顶点D与对角线交点O重合，折痕为CE，已知△CDE的周长是10 cm，则矩形ABCD的周长为( )A．15 cm B．18 cm C．19 cm D．20 cm1－2－121－2－1315．如图1－2－13，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D，E，F分别是边AB，BC，CA的中点，若CD＝6 cm，则EF＝________ cm.16．2017·荆州如图1－2－14，在矩形ABCD中，连接对角线AC，BD，将△ABC沿BC 方向平移，使点B移到点C，得到△DCE.(1)求证：△ACD≌△EDC；(2)请探究△BDE的形状，并说明理由．图1－2－1417．定义：我们把三角形被一边中线分成的两个三角形叫做“友好三角形”．性质：如果两个三角形是“友好三角形”，那么这两个三角形的面积相等．理解：如图1－2－15①，在△ABC中，CD是AB边上的中线，那么△ACD和△BCD是“友好三角形”，并且S△ACD＝S△BCD.应用：如图1－2－15②，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E在AD上，点F在BC上，AE＝FB，AF与BE交于点O.(1)求证：△AOB和△AOE是“友好三角形”；(2)连接OD，若△AOE和△DOE是“友好三角形”，求四边形CDOF的面积．图1－2－15答案：1．C2．A3．C .4．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠B＝90°，AD＝BC.∵∠AOC＝∠BOD，∴∠AOC－∠DOC＝∠BOD－∠DOC，即∠AOD＝∠BOC.在△AOD和△BOC中，∠A＝∠B，∠AOD＝∠BOC，AD＝BC，∴△AOD≌△BOC，∴AO＝BO.5．B6．A7．2.58．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD，AD∥BC.又∵BE∥AC，∴四边形AEBC是平行四边形，∴BE＝AC，∴BE＝BD.9．A .10．C.11．证明：在Rt△ABC中，∵E为斜边AB的中点，∴CE＝12AB.在Rt△ABD中，∵E为斜边AB的中点，∴DE＝12AB.∴CE＝DE.12．C13．D14．D15．616．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°.由平移的性质得：DE＝AC，EC＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC.在△ACD和△EDC中，AD＝EC，∠ADC＝∠ECD，CD＝DC，∴△ACD≌△EDC.(2)△BDE是等腰三角形．理由如下：∵AC＝BD，DE＝AC，∴BD＝DE，∴△BDE是等腰三角形．17．解：(1)证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠EAO＝∠BFO.又∵∠AOE＝∠FOB，AE＝FB，∴△AOE≌△FOB，∴EO＝BO，∴AO是△ABE的边BE上的中线，∴△AOB和△AOE是“友好三角形”．(2)∵△AOE和△DOE是“友好三角形”，∴S△AOE＝S△DOE，AE＝ED＝12AD＝12BC＝3.∵△AOB和△AOE是“友好三角形”，∴S△AOB＝S△AOE.∵△AOE≌△FOB，∴S△AOE＝S△FOB，∴S△AOD＝S△ABF，∴S四边形CDOF＝S矩形ABCD－2S△ABF＝4×6－2×12×4×3＝12.第2课时矩形的判定（典型题）知识点 1 根据定义判定1．如图1－2－16，要使平行四边形ABCD成为矩形，需添加的条件是( )A．AB＝BC B．AO＝COC．∠ABC＝90°D．∠1＝∠22．木工师傅做一个矩形木框，做好后量得长为80 cm，宽为60 cm，对角线的长为100 cm，则这个木框________．(填“合格”或“不合格”)1－2－16 1－2－173．如图1－2－17，在△ABC中，AD⊥BC于点D，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，当△ABC满足条件__________时，四边形AEDF是矩形．4．如图1－2－18，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且DE∥AC，AE∥BD.求证：四边形AODE是矩形．图1－2－18知识点 2 根据对角线相等判定图1－2－195．如图1－2－19，平行四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，要使它成为矩形，需再添加的条件是( )A．AO＝OC B．AC＝BDC．AC⊥BD D．BD平分∠ABC6．如图1－2－20，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，要使▱ABCD为矩形，则OB的长为( )A．4 B．3 C．2 D．11－2－20 1－2－217．如图1－2－21，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD是否符合设计要求(即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC，BD的长度，然后看它们是否相等就可以判断了．(1)当AC________(填“等于”或“不等于”)BD时，门框符合要求；(2)这种做法的根据是______________________．8．教材例2变式题如图1－2－22，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，△OAB为等边三角形，BC＝3.求四边形ABCD的周长．图1－2－22知识点 3 根据直角的个数判定9．对于四边形ABCD，给出下列4组条件：①∠A＝∠B＝∠C＝∠D；②∠B＝∠C＝∠D；③∠A＝∠B，∠C＝∠D；④∠A＝∠B＝∠C＝90°，其中能得到“四边形ABCD是矩形”的条件有( )A．1组 B．2组 C．3组 D．4组图1－2－2310．如图1－2－23，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为________．11．下列命题错误的是( )A．有三个角是直角的四边形是矩形B．有一个角是直角且对角线互相平分的四边形是矩形C．对角线相等且有一个角是直角的四边形是矩形D．对角线相等且互相平分的四边形是矩形12．如图1－2－24，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，已知下列6个条件：①AB∥DC；②AB＝DC；③AC＝BD；④∠ABC＝90°；⑤OA＝OC；⑥OB＝OD.下列组合中，不能使四边形ABCD成为矩形的是( )A．①②③ B．②③④C．②⑤⑥ D．④⑤⑥1－2－24 1－2－2513．如图1－2－25，D，E，F分别是△ABC各边的中点．添加下列条件后，不能得到四边形ADEF是矩形的是( )A．∠BAC＝90° B．BC＝2AEC．ED平分∠AEB D．AE⊥BC图1－2－2614．如图1－2－26，已知四边形ABCD，E，F，G，H分别是四边的中点，只要四边形ABCD 的对角线AC，BD再满足条件________，则四边形EFGH一定是矩形．15．如图1－2－27，AB∥CD，PM，PN，QM，QN分别为角平分线．求证：四边形PMQN 是矩形．图1－2－2716．如图1－2－28，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，E是△ABC外一点且四边形ABDE是平行四边形．求证：四边形ADCE是矩形．图1－2－2817．如图1－2－29，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，已知O是AC的中点，AE ＝CF，DF∥BE.(1)求证：△BOE≌△DOF；(2)若OD＝12AC，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请证明你的结论．图1－2－2918．如图1－2－30，在△ABC中，O是边AC上的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交△ACB的外角∠ACD的平分线于点F.(1)求证：OE＝OF；(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．图1－2－30答案：1．C2．合格3．答案不唯一，如∠BAC＝90°4．证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°.∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．又∵∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形．5．B6．B7．(1)等于(2)对角线相等的平行四边形是矩形8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OA，BD＝2OB.∵△OAB为等边三角形，∴OA＝OB＝AB，∴AC＝BD，∴四边形ABCD为矩形，∴∠ABC＝90°.在Rt△ABC中，AC＝2OA＝2AB，BC＝3，由勾股定理，得AB＝AC2－BC2＝1，∴四边形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(1＋3)．9．B10 12.11．C12．C13．D14．AC⊥BD15．证明：∵PM，PN分别平分∠APQ，∠BPQ，∴∠MPQ＝12∠APQ，∠NPQ＝12∠BPQ.∵∠APQ＋∠BPQ＝180°，∴∠MPQ＋∠NPQ＝90°，即∠MPN＝90°.同理可证∠MQN＝90°.∵AB∥CD，∴∠APQ＋∠CQP＝180°，∴∠MPQ＋∠MQP＝90°，即∠PMQ＝90°，∴四边形PMQN是矩形．16．证明：∵四边形ABDE是平行四边形，∴AE∥BC，AB＝DE，AE＝BD.∵D为BC的中点，∴CD＝BD.∴CD∥AE，CD＝AE，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB＝AC，AB＝DE，∴AC＝DE，∴平行四边形ADCE是矩形．17．解：(1)证明：∵DF∥BE，∴∠FDO＝∠EBO，∠DFO＝∠BEO.∵O为AC的中点，∴OA＝OC.∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF.在△BOE和△DOF中，∠EBO＝∠FDO，∠BEO＝∠DFO，OE＝OF，∴△BOE≌△DOF(AAS)．(2)若OD＝12AC，则四边形ABCD是矩形．证明：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD.∵OD＝12AC，∴OA＝OB＝OC＝OD，且BD＝AC，∴四边形ABCD是矩形．18．解：(1)证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，如图所示，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6.∵MN∥BC，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴OE＝OC，OF＝OC，∴OE＝OF.(2)∵∠2＝∠5，∠4＝∠6，∴∠2＋∠4＝∠5＋∠6＝90°.∵CE＝12，CF＝5，∴EF＝122＋52＝13，∴OC＝12EF＝6.5.(3)当点O在边AC上运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．理由：当O为AC的中点时，AO＝CO.又∵OE＝OF，∴四边形AECF是平行四边形．又∵∠ECF＝90°，∴四边形AECF是矩形．第3课时矩形的性质与判定的综合应用（典型题）知识点矩形性质与判定的应用1．矩形具有而菱形不一定具有的性质是( )A．对边分别相等 B．对角分别相等C．对角线互相平分 D．对角线相等2．下列说法：①矩形是轴对称图形，两条对角线所在的直线是它的对称轴；②对角线相等的四边形是矩形；③有两个角相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形；⑤对角线互相垂直平分的四边形是矩形．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．已知矩形的两条对角线所夹锐角为44°，那么对角线与矩形相邻两边所夹的角分别是( )A．22°，68° B．44°，66°C．24°，66° D．40°，50°4．如图1－2－31所示，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，点E在AD上，且EB平分∠AEC，则△ABE的面积为( )A．2.4 B．2 C．1.8 D．1.51－2－311－2－325．如图1－2－32，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD ＝12，则四边形ABOM的周长为________．6．在矩形纸片ABCD中，AD＝4 cm，AB＝10 cm，按如图1－2－33所示方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则DE＝________ cm.1－2－331－2－347．如图1－2－34，在矩形ABCD中，BC＝20 cm，点P和点Q分别从点B和点D出发，按逆时针方向沿矩形ABCD的边运动，点P和点Q的速度分别为3 cm/s和2 cm/s，则最快________s后，四边形ABPQ成为矩形．8．如图1－2－35，在四边形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，BC＝CD，CE⊥AD，垂足为E.求证：AE＝CE.图1－2－359．如图1－2－36，在矩形ABCD中(AD＞AB)，E是BC上一点，且DE＝DA，AF⊥DE，垂足为F，在下列结论中，不一定正确的是( )A．△AFD≌△DCE B．AF＝12ADC．AB＝AF D．BE＝AD－DF1－2－361－2－3710．如图1－2－37，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是( )A．2 3 B．3 3 C．4 D．4 311．如图1－2－38，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，BC＝10，P为边BC上一动点(且点P 不与点B，C重合)，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，则EF长的最小值为( )图1－2－38A．4 B．4.8 C．5.2 D．612．如图1－2－39，矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线分别交AD，BC于点E，F，已知AD＝4 cm，图中阴影部分的面积总和为6 cm2，则对角线AC的长为________cm.1－2－391－2－4013．如图1－2－40，M是矩形ABCD的边AD的中点，P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件____________时，四边形PEMF为矩形．14．教材例4变式题如图1－2－41，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，连接AD，AE∥BC，DE∥AB，连接CE，DE交AC于点G.(1)求证：四边形ADCE为矩形；(2)点F在BA的延长线上，请直接写出图中所有与∠FAE相等的角．图1－2－4115．如图1－2－42，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝5，点E，P分别在AD，BC上，且DE ＝BP＝1.求证：四边形EFPH为矩形．图1－2－4216．2016·贵阳期末如图1－2－43，在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M 处，折痕BE交AD于点E.将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F.(1)求证：四边形BFDE为平行四边形；(2)若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．图1－2－4317．如图1－2－44，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边在BC的同侧作等边三角形ABD，等边三角形ACE，等边三角形BCF.(1)求证：四边形DAEF是平行四边形．(2)探究下列问题(只填满足的条件，不需证明)：①当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是矩形；②当△ABC满足条件：____________时，四边形DAEF是菱形；③当△ABC满足条件：____________时，以D，A，E，F为顶点的四边形不存在．图1－2－44答案：1．D 2.A 3.A4．D5．20.6．5.8.7．48．证明：如图，过点B作BF⊥CE于点F.∵CE⊥AD，∴∠D＋∠DCE＝90°.∵∠BCD＝90°，∴∠BCF＋∠DCE＝90°，∴∠BCF＝∠D.在△BCF和△CDE中，∠BCF＝∠D，∠BFC＝∠CED＝90°，BC＝CD，∴△BCF≌△CDE(AAS)，∴BF＝CE.∵∠A＝90°，CE⊥AD，BF⊥CE，∴四边形AEFB是矩形，∴AE＝BF，∴AE＝CE.9．B10．A .11．B12．513．2AB＝BC14．解：(1)证明：∵AE∥BC，DE∥AB，∴四边形ABDE是平行四边形，∴AE＝BD. ∵D为BC的中点，∴BD＝CD，∴AE＝CD，∴四边形ADCE是平行四边形．∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC，即∠ADC＝90°，∴四边形ADCE是矩形．(2)∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB.∵AE∥BC，∴∠AED＝∠EDC，∠EAC＝∠ACB，∠FAE＝∠B，∴∠FAE＝∠B＝∠ACB＝∠AEG＝∠EAG＝∠GDC.15．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC.又∵DE＝BP，∴四边形DEBP是平行四边形，∴BE∥DP.∵AD＝BC，DE＝BP，∴AE＝CP.又∵AD∥BC，即AE∥CP，∴四边形AECP是平行四边形，∴AP∥CE，∴四边形EFPH是平行四边形．∵在矩形ABCD中，∠ADC＝∠ABP＝90°，AD＝BC＝5，CD＝AB＝2，DE＝BP＝1，∴CE＝5，同理BE＝2 5，∴BE2＋CE2＝BC2，∴∠BEC＝90°，∴四边形EFPH为矩形．16．解：(1)证法一：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB.由折叠的性质可得：∠ABE＝12∠ABD，∠CDF＝12∠CDB，∴∠ABE＝∠CDF.在△ABE和△CDF中，∠A＝∠C，AB＝CD，∠ABE＝∠CDF，∴△ABE≌△CDF(ASA)，∴AE＝CF.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴DE＝BF，DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．证法二：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠ABD＝∠CDB，DE∥BF.由折叠的性质得∠EBD＝12∠ABD，∠FDB＝12∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴BE∥DF.又∵DE∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形．(2)∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝DE，∠FBD＝∠EBD＝∠ABE.∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠A＝∠ABC＝90°，∴∠ABE＝∠FBD＝∠EBD＝30°.在Rt△ABE中，∵AB＝2，∴AE＝2\r(3)＝3)3，BE＝2AE＝433，∴BC＝AD＝AE＋DE＝AE＋BE＝3)3＋433＝2 3.17．解：(1)证明：∵△ABD和△BCF都是等边三角形，∴∠ABC＋∠FBA＝∠DBF＋∠FBA＝60°，∴∠ABC＝∠DBF.又∵BA＝BD，BC＝BF，∴△ABC≌△DBF，∴AC＝DF＝AE.同理可证△ABC≌△EFC，∴AB＝EF＝AD，∴四边形DAEF是平行四边形(两组对边分别相等的四边形是平行四边形)．(2)①∠BAC＝150°②AB＝AC≠BC③∠BAC＝60°。