初等数论简介 ppt课件

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19初等数论PPT课件

个整数q使得qb≤a<(q+1)b成立.令a-qb=r,则 a=bq+r,而0≤r<b
证明：存在性
严格地表述：
考虑整数a-bt构成的集合S，其中t∈Z。因为S中有非负元(a为正时是a,a为负时,根据阿基米德公理,存在整数n,使得nb>-a,则a+nb>0)，由最小整数原理，我们知道S有一个最小的非负元，把它叫做r，并设q是相应的t值，则a-bq=r,且r≥0.为了完成证明，尚需证r<b.假若不然，则有r=b+r1,且r1 ≥0.因此， r1=r-b=a-bq-b=a-b(q+1).这说明r1在集合S中.但0≤ r1=r-b<r,这与r是S中的最小非负元矛盾
初等数论
§1 整数
整数、数论
整数是这样一些数：...，-2，-1，0，1， 2，…
一般把整数作为一种自明的概念来接受，若想深究其哲学与逻辑意义可以参看弗雷格的《算术基础》
数论的很大一部分内容就是研究整数的性质。数论基本就是都整数本身性质的研究
除非另有说明，小写字母总表示整数
最小整数原理
一个下有界的非空整数集合总包含有它的最小元。
同样，把最小整数原理作为自明的公理来接受。
最小整数原理与数学归纳法是等价的方法：如果把数学归纳法作为公理，可推出最小整数原理，如果把最小整数原理作为公理，可推出数学归纳法。
整除的概念
定义设a,b是任意两个整数，其中b≠0，如果存在一个整数q使得等式
故(a,b)=(b,a , int b) { return (b == 0 ? a : gcd(b , a % b)); } Function gcd(a , b : longint) : Longint; Begin if (b = 0) then gcd := a else gcd := gcd(b , a mod b); End;

初等数论一-夏子厚精品PPT课件

• A = { y|y =a1x1 a2x2 anxn，xiZ，1 i n } • 中的最小正数，则对于任何yA，y0y；特别地，
y0ai，1 i n。（证明留给学生自己） • （2）此类题目的证明方法具有一般性，通常是针
对所给的“最小正数”的概念进行反证法。
第一节整除与带余数除法
《初等数论》课程内容
• 第二章不定方程
• 第一节二元一次不定方程 • 第二节多元一次不定方程 • 第三节勾股数x2 y2 = z2
《初等数论》课程内容
• 第三章同余性质
• 第一节同余的概念及其基本性质 • 第二节完全剩余系 • 第三节欧拉函数与简化剩余系 • 第四节欧拉定理与费马定理
•
a = bq
• 成立，则称b整除a或a被b整除，此时a 是b的倍数，b是a的因数（约数或除数），并且记作：ba；如果不存在整数q 使得a = bq成立，则称b不能整除a或a不被b整除，记作：b a。|
第一节整除与带余数除法
• 定理1 下面的结论成立： • (1) ab，bc ac；（传递性） • (2) ma，mb m(a±b) • (3) mai，i = 1, 2, , n • ma1q1 a2q2 anqn， • 此处qi∈Z（i = 1, 2, , n）。
初等数论(一)
Number Theory （Chap1）
修改：贾祥雪
为什么学数论
• 有用 • 在研究函数，尤其是周期函数的时候经
常性要用到。 • 大学学习抽象代数及其后续课程的基础 • 计算机专业的必修课！尤其应用到算法
和密码两大领域 • 好玩，简单，美 • 自主招生、竞赛中考数论
为什么要这样学？
第一节整除与带余数除法

初等数论(闵嗣鹤版课件

因而a个余数r0, r1, , ra1仅可能取a 1个值，因此其中必有两个相等。
设为ri，rk，不妨设0 i k a，因而有 a(qk qi ) 2k 2i 2i (2ki 1)
因而a个余数r0, r1, , ra1仅可能取a 1个值，因此其中必有两个相等。
• 我国近代：在解析数论、丢番图方程，一致分布等方面有过重要贡献，出现了华罗庚、闵嗣鹤等一流的数论专家，其中华罗庚在三角和估值、堆砌素数论方面的研究享有盛名。
• 特别是在“篩法”、歌德巴赫猜想方面的研究，已取得世界领先的优异成绩。陈景潤在1966年证明歌德巴赫猜想方面证明了”1+2”(一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和)
m|aq
3、带余数除法
带余数除法的第二种表示定理4 若a,b是两个整数，其中b 0，则存在着两个整数 q及r，使得 a bq r， 0 r b 成立，而且q及r是唯一的。
证明分析：作整数序列，-3 b ,-2 b ,- b ,0,b ,2 b ,3 b ,
则a必满足q b a<(q+1) b , 其中q Z , 令a q b r可得到a b q r,分b 0和 b 0来讨论q, 进一步证明q, r的唯一性。
(i)若在r1, , r5中数0，1，2都出现，不妨设
r1 0, r2 1, r3 2，
此时
a1 a2 a3 3(q1 q2 q3 ) 3
可以被3整除。
(ii)若在r1, , r5中数0，1，2至少有一个不出现，
这样至少有3个ri要取相同的值，不妨设
r1 r2 r3 r(r 0,1或2），
近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探究》，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：“数学是科学之王，数论是数学之王”。

初等数论绪论课件

数的表示与转换
总结词
数的表示与转换是数论中一个重要的概念，它涉及到数的不同表示方法和不同进制之间的转换。
详细描述
数的表示方法有多种，包括十进制、二进制、八进制和十六进制等。不同进制之间可以进行转换，例如将十进制数转换为二进制数或八进制数。此外，数的表示方法也涉及到数的符号表示，如正数、负数和零的表示方法。
整数的运算性质包括加法、减法、乘法和除法的性质。
详细描述
整数的运算性质是数论中的重要概念。加法和减法是可交换的，即a+b=b+a和a-b=b-a。加法和乘法满足结合律，即(a+b)+c=a+(b+c)和(a*b)*c=a*(b*c)。乘法满足分配律，即a*(b+c)=a*b+a*c。除法在整数的范围内不满足交换律和结合律，但满足分配律。
THANKS
感谢观看
有着重要的应用。
06
数的分解与表示
数的质因数分解
总结词
质因数分解是数论中一个基础概念，它是指将一个合数表示为其质因数的乘积。
详细描述
质因数分解是将一个合数表示为若干个质数的乘积。例如，将数28进行质因数分解得到2^2 * 7^1。质因数分解是数论中一个重要的工具，它在解决许多数学问题中都有应用。
近代数论
费马、欧拉、高斯等数学家对数论的深入研究和突破。
数论的应用领域
01
02
03
04
密码学
数论在加密算法和数字签名中有着广泛的应用，如RSA算法
。
计算机科学
数论在计算机科学中用于实现数据加密、网络安全和算法优
化。
物理科学
数论在物理科学中用于描述量子力学和统计力学的数学结构

《初等数论(闵嗣鹤、严士健)》第三版课件1-5

例5 求[1
练习：
1 1.证明 : 对任意x R, 有 x x 2 x 2 2.设m , n是整数 , n 1, 证明 :
m | m1 n , 当n m 1 n m 1,当n | m 1 n 3.证明 : x , y R, 有
17
18
9解 : i 2 i 3 i 5 i 6 i 10 i
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
500
500 2
500 3
500 5
500 6
500 500 500 500 500 500 500 8解 : 500 7 11 57 5 11 7 11 5 7 11 312 5
(3)[ n x ] n [ x ], n Z ; (4)[ x ] [ y ] [ x y ], x y x y;
例如： [2.3] 2,[ 2.3] 3,[2] 2,[ ] 3,[ ] 4；
2.3 0.3,2.3 0.7,2 0, 0.1415 ,
证明(7):a b时显然.设m是任一不大于a而为b的倍数的
正整数, 则
0 m bm1 a , 0 m1
a a 注：若记 a b q (余r )，则 b[ ] q , b = r . b b
a . b a 故满足上条件的m的个数等于m1的个数 ,因而等于 . b 证明(8)由[ x ] x y [ y ] 1, 得[ x ] [ y ] 1, [ x ] [ y ];

数论发展史.ppt

测圆海镜
费马 [法]1601-1665，是数学史上哥德巴赫 1690-1764，最伟大的业余数学家，提出了费马德国数学家；曾担任中学大、小定理；在坐标几何，无穷小，教师，1725年到俄国，被选为彼得堡科学院院士. 概率论等方面有巨大贡献。
希尔伯特[德]1862～1943，他领导的数学学派是19世纪末20世纪初数学界的一面旗帜，希尔伯特被称为“数学界的无冕之王”。著《数论报告》、《几何基础》、《线性积分方程一般理论基础》.
《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、
《缀术》、《缉古算经》十部算经为课本，用以进行
数学教育和考试，后世通称为算经十书．算经十书是
中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作．北宋时期（1084年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上最早的印刷本数学书．（此时《缀术》已经失传，实际刊刻的只有九种）。
n n n
经过8年的努力，英国数学家安德鲁·怀尔斯
终于在1995年完成了该定理的证明。
3、孪生素数问题存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。
究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是 1849年法国数学 Alphonse de Polignac（阿尔方· 波利尼亚克）提出猜想：对于任何偶数 2k, 存在无穷多组以2k 为间隔的素数。对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们已经知道叫做孪生素数； k=2 (即间隔为4) 的素数对被称为 cousin prime ；而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟然被称为 sexy prime (不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。)

初等数论(课堂PPT)

自然数集：0，1，2，3，… ，n，…也叫非负整数集，记作N。
正整数集： 1，2，3，… n，…记作N*。
正整数、零、负整数统称为整数。所有整数构成的集合叫做整数集，记作Z。
2
1.1 进位制与计数法
▪ 学习目标：
▪ 1.掌握常用进位制与计数法
▪ 2.熟练掌握二进位制与十进位制的互化，并能解决相关的实际应用问题。
教学后记：能达到预期教学目标，效果较好，各种进位制的应用可适当增加些习题。
8
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分解最大公因数最小公倍数正约数的个数与总和高斯函数正值函数的整除性等整数的基本概念性质和方法
高等师范院校小学教育专业数学教材《初等数论》课件
制作：孙素慧
1
第一章整数的整除性
本章讨论整数的整除性及与其有关的数的分解、最大公因数、最小公倍数、正约数的个数与总和、高斯函数、正值函数的整除性等整数的基本概念、性质和方法。
数简记为an …a2a1a0。当an≠0时,an…a2a1a0表示n+1位十进制正整数，把它写成不同计数单位的数之和的形式为：
an…a2a1a0=an×10n+an-1×10n-1 +…+a1×10+a0
4
例1 已知 a 3 a 1 ,b 3 0 ,且 a 3 a 2 a 1 a 1 a 2 a 3 b 3 b 2 b 1 . 求证： b3b2b1+ b1b2b3=1089. 例 2 一个六位数 2 a b c d e 与 3 之积等于 a b c d e 9 ，求这个六位数.
6
例3 把110111(2)化为十进位制数
例4 把49化为二进位制数
例5 现有1克、2克、4克、8克、16克的砝码各一个 ,若只能将砝码放在天平的一端,问能称出多少种不同质量的物品？若称23克的物品,应该如何选配上述砝码？

初等数论ppt

二
几个著名数论难题初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗
留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞
懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想；
费尔马大定理；孪生素数问题；完全数问题等。
1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先
8、测圆海镜
《测圆海镜》由中国金、元时期数学家李冶所著，成书于 1248年。全书共有12卷，170问。这是中国古代论述容圆的一部专箸，也是天元术的代表作。《测圆海镜》所讨论的问题大都是已知勾股形而求其内切圆、旁切圆等的直径一类的问题。在《测圆海镜》问世之前，我国虽有文字代表未知数用以列方程和多项式的工作，但是没有留下很有系统的记载。李冶在《测圆海镜》中系统而概栝地总结了天元术，使文词代数开始演变成符号代数。所谓天元术，就是设“天元一”为未知数，根据问题的已知条件，列出两个相等的多项式，经相减后得出一个高次方式程，称为天元开方式，这与现代设x为未知数列方程一样。欧洲的数学家，到了16世纪以后才完全作到这一点。
第一章整数的整除性
第一节整除的概念
• 一、基本概念
1、自然数、整数 2、正整数、负整数 3、奇数、偶数
• 一个性质：
整数+整数=整数整数-整数=整数整数*整数=整数
关于奇数和偶数性质： 1.奇数+奇数=偶数；奇数+偶数=奇数；偶数+偶数=偶数； 2.两个数之和是奇（偶）数，则这两个数的奇偶性相反（同）。 3.若干个整数之和为奇数，则这些数中必有奇数，且奇数的个数为奇数个；若干个整数之和为偶数，则这些数中若有奇数，奇数的个数必为偶数个。

离散数学初等数论PPT课件

10!=28×34×52×7, 故10!的二进制表示中从最低位数起有8个连续的0.
8
素数的分布
定理11.2 有无穷多个素数. 证用反证法. 假设只有有穷多个素数, 设为p1,p2,…,pn, 令m=p1p2…pn+1. 显然, pi m, 1≤i≤n. 因此, 要么m本身是素数，要么存在大于pn的素数整除m, 矛盾.
成立.
12
实例
例3 判断157和161是否是素数. 解 157 , 161都小于13, 小于13的素数有: 2, 3, 5, 7, 11. 检查结果如下:
2 157, 3 157, 5 157, 7 157, 11 157 结论: 157是素数.
2 161, 3 161, 5 161, 7|161（161=7×23）结论：161是合数.
14
11.2 最大公约数与最小公倍数
• 公约数、最大公约数 • 公倍数、最小公倍数 • 辗转相除法 • 互素
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最大公约数与最小公倍数
d是a与b的公因子(公约数): d |a且d |b m是a与b的公倍数: a | m且b| m 定义11.3 设a和b是两个不全为0的整数, 称a与b的公因子中最大的为a与b的最大公因子, 或最大公约数, 记作gcd(a,b). 设a和b是两个非零整数, 称a与b最小的正公倍数为a与b的最小公倍数, 记作lcm(a,b). 例如 gcd(12,18)=6, lcm(12,18)=36. 对任意的正整数a, gcd(0,a)=a, gcd(1,a)=1, lcm(1,a)=a.
1
2
k
p p p lcm(a,b)=
mr 1 a ,s1)xm ( r 2 a ,s2)x( mr k a ,sk)x(

初等数论-程耀ppt课件

}
筛法求素数
考虑：如果一个数是合数，那么它的素因子都比它小？？？
这样说来：如果我们的当前数是 a ,那么所有 a的倍数〔当然是2倍以上啦〕都不会是素数，可以这样看吧？于是，我们可以一种新的素数判定方法。
筛法求素数
• 方法：每次用一个素数，去筛掉所有它的倍数。
• 举个例子：2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 • 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 • 29 30 • ①筛去2的倍数，剩下3 5 7 9 11 13 15 17 19
if( ! prime[ i ]){ for ( int j = i * i ; j <maxn;j+=i) prime[ j ]=1;
} }
miller_rabin素性判定
• miller_rabin是一种概率型的算法，不是确定型的。但是，只要运行次数足够多，一般出错的概率是非常小的，一般10次就好了！
}
witness函数
• witness函数用来搜集n是合数的证据。
• bool witness(LL a,LL n){
•
LL m=n-1;
• int t=0; LL y;
•
while(!(m&1)){ m>>=1;t++;}//这个地方是通过一个推论来优化的
，x^2=1(mod n),当那个n是合数的时候，就会出现非平凡平方根！
证明：令d = gcd( a , b); a*x + b*y=d ...................① b*x1+(a%b)*y1=d..............②
那么我们可以由x1,y1的值反推出x,y的值。把①②两式联立，消去d,并且用a-a/b*b来替换a%b;然后可以令x=y1,推出y=x1-a/b*y1;

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初等数论具有重大意义的是卷下第26题：今有物不知其数，
三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？《孙子算经》不但提供了答案，而且还给出了解法。南宋大数学家秦九韶则进一步开创了对一次同余式理论的研究工作，推广“物不知数”的问题。德国数学家高斯﹝1777-1855﹞于1801年出版的《算术探究》中明确地写出了上述定理。1852年，英国基督教士伟烈亚士将《孙子算经》中物不知数问题的解法传到欧洲，1874年马蒂生指出孙子的解法符合高斯的定理，从而在西方的数学史里将这一个定理称为“中国剩余定理” 。
初等数论 3、孪生素数问题
存在无穷多个素数 p, 使得 p+2 也是素数。
究竟谁最早明确提出这一猜想已无法考证，但是 1849年法国数学 Alphonse de Polignac 提出猜想：对于任何偶数 2k, 存在无穷多组以2k为间隔的素数。对于 k=1，这就是孪生素数猜想，因此人们有时把 Alphonse de Polignac 作为孪生素数猜想的提出者。不同的 k 对应的素数对的命名也很有趣，k=1 我们已经知道叫做孪生素数； k=2 (即间隔为4) 的素数对被称为 cousin prime ；而 k=3 (即间隔为 6) 的素数对竟然被称为 sexy prime (不过别想歪了，之所以称为 sexy prime 其实是因为 sex 正好是拉丁文中的 6。)
一个大于6的偶数可以表示为不同的两个质数之和。
陈景润在1966年证明了“哥德巴赫猜想”的“一个大偶数可以表示为一个素数和一个不超过两个素数的乘积之和”〔所谓的1+2〕，是筛法的光辉顶点，至今仍是“哥德巴赫猜想”的最好结果。
初等数论 2、费尔马大定理：费马是十七世纪最卓越的数学家之一，他在数学
初等数论
近代初等数论的发展得益於费马、欧拉、拉格朗日、勒让德和高斯等人的工作。1801年，德国数学家高斯集中前人的大成，写了一本书叫做《算术探究》，开始了现代数论的新纪元。高斯还提出：
“数学是科学之王，数论是数学之王”
初等数论
由于自20世纪以来引进了抽象数学和高等分析的巧妙工具，数论得到进一步的发展，从而开阔了新的研究领域，出现了代数数论、解析数论、几何数论等新分支。而且近年来初等数论在计算机科学、组合数学、密码学、代数编码、计算方法等领域内更得到了广泛的应用，无疑同时也促进着数论的发展。
初等数论一、初等数论及其主要内容
数论是研究整数性质的一门很古老的数学分支，其初等部分是以整数的整除性为中心的，包括整除性、不定方程、同余式、连分数、素数（即质数）分布以及数论函数等内容，统称初等数论（Elementary Number Theory）。
初等数论初等数论是数论中不求助于其他数学学科的帮
初等数论 4、最完美的数——完全数问题完美数又称为完全数,最初是由毕达哥拉斯的信徒发现的,他们注意到,数6有一个特性,它等于它自己的因子(不包括它自身)的和，如：6=1+2+3.
下一个具有同样性质的数是28, 28=1+2+4+7+14. 接着是496和8128.他们称这类数为完美数.
欧几里德在大约公元前350-300年间证明了:
初等数论四、我国古代数学的伟大成就
1、周髀算经公元前100多年，汉朝人撰，是一部既谈天体又
谈数学的天文历算著作，主要讨论盖天说，提出了著名的“勾三股四弦五”这个勾股定理的一个特例。
2、孙子算经约成书于四、五世纪，作者生平和编写年代都不
清楚。现在传本的《孙子算经》共三卷。卷上叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法则，卷中举例说明筹算分数算法和筹算开平方法。卷下第31题，可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖，后来传到日本，变成 “鹤龟算”。
若2n 1是素数，则2n1(2n 1)是完全数
注意以上谈到的完全数都是偶完全数,至今仍然不知道有没有奇完全数。
初等数论四、我国古代数学的伟大成就
1、算经十书唐代国子监内设立算学馆，置博士、助教指导学生学
习数学，规定《周髀算经》、《九章算术》、《孙子算经》、《五曹算经》、《夏侯阳算经》、《张丘建算经》、《海岛算经》、《五经算术》、《缀术》、《缉古算经》十部算经为课本，用以进行数学教育和考试，后世通称为算经十书．算经十书是中国汉唐千余年间陆续出现的十部数学著作．北宋时期（1084年），曾将一部算经刊刻发行，这是世界上最早的印刷本数学书．（此时《缀术》已经失传，实际刊刻的只有九种）。
许多领域中都有极大的贡献，因为他的本行是专业的律师，世人冠以“业余王子”之美称。在三百七十多年前的某一天，费马正在阅读一本古希腊数学家戴奥芬多斯的数学书时，突然心血来潮在书页的空白处，写下一个看起来很简单的定理。
方程 xn yn zn (n 3) 无非0整数解经过8年的努力，英国数学家安德鲁·怀尔斯终于 1995年完成了该定理的证明。
助，只依靠初等的方法来研究整数性质的分支。
• 整除理论是初等数论的基础； • 同余理论是初等数论的核心； • 不定方程是推进数论发展的最主要的课题；
初等数论二、数论的发展史自古以来，数学家对于整数性质的研究一直十分重视，初等数论的大部份内容早在古希腊欧几里德的《几何原本》（公元前3世纪）中就已出现。欧几里得证明了素数有无穷多个，他还给出求两个自然数的最大公约数的方法，即所谓欧几里得算法。我国古代在数论方面亦有杰出之贡献，现在一般数论书中的“中国剩余定理”，正是我国古代《孙子算经》中的下卷第26题，我国称之为孙子定理。
初等数论三、几个著名数论难题
初等数论是研究整数性质的一门学科，历史上遗留下来没有解决的大多数数论难题其问题本身容易搞懂，容易引起人的兴趣，但是解决它们却非常困难。
其中，非常著名的问题有：哥德巴赫猜想；费尔马大定理；孪生素数问题；完全数问题等。
初等数论 1、哥德巴赫猜想：
1742年,由德国中学教师哥德巴赫在教学中首先发现的。1742年6月7日，哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉,正式提出了以下的猜想：