应用数理统计基础课后习题答案(全) 庄楚强

应用数理统计基础

应用数理统计基础（庄楚强）考试共8道题1、样本的数据期望与方差2、2χ分布的概念与性质3、一连续型函数（只有一个未知参数）的无偏估计4、一正态分布的置性区间5、两个未知参数函数的矩估计6、①求一离散型的总体似然估计②求未知参数的信息量③求得的似然估计是否是最小方差估计7、正态分布的假设检验8、一离散型总体的假设检验第二章、数理统计的基本概念与抽样分布第一节、数理统计的几个基本概念重点：统计量，书中例题2、习题第四题第三节、常用统计分布重点：常用统计分布（2χ、t、F）的定义及性质第四节、抽样分布重点：定理1及推论、定理4及推论本章习题4、5、7、9、13、19、20第三章、参数估计掌握：矩估计、极大似然估计、区间估计本章习题1、2、3、4、10、11、15、16、18、27、29第四、章假设检验重点：第二节、一个正态总体均值与方差的检验第三节、两个正态总体均值与方差的检验第四节、非正态总体均值的假设检验书上的例题、习题37、38、39、40第一章概率论复习与补充1、概率2、期望数据期望的性质性质1：常量的期望就是这个常量本身, 即E(c)=c.推论：E(Eξ) = Eξ性质2：随机变量ξ与常量 c 之和的数学期望等于ξ的期望与这个常量 c 的和E(ξ+c)=Eξ+c性质3：E(cξ) = cE ξ性质4：随机变量的线性函数的数学期望等于这个随机变量期望的同一线性函数E(k ξ+c)=k E ξ+c3、方差方差的性质性质1：常量的方差等于零。

即：设c为常数，则Dc = 0性质2：随机变量与常量之和的方差就等于随机变量的方差本身即：D(X+c)=DX性质3：常量与随机变量乘积的方差，等于常量的平方与随机变量方差的乘积。

即：D(cX )=c2DX性质4：设k , b为常数，则：D(kX +b)=k2DX性质5：两个独立随机变量和(差)的方差，等于这两个随机变量方差的和。

即：D(X Y ) = DX +DY第二章数理统计的基本概念与抽样分布1、统计量(第一题样本数据期望与方差)预测类似题目可能会有二项分布B(n,p)、0—1分布B(1,p)、均匀分布R[a,b]、指数分布E(λ)、正态分布N(μ,σ2)。

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研究生习题2：2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=，试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2χ分布。

2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η所以)1,0(~31N η ，)1,0(~32N η)2(~)(3133222212221χηηηη+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由于 2221ηηη+= 因此当 31=c 时，)2(~2χηc 。

2-8. 设 ),,,(1021ξξξΛ为)3.0,0(2N 的一个样本，求 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ 。

（参考数据：）2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(21021N ξξξξΛ=，所以)1,0(~3.0N ξ，即有)10(~3.021012χξ∑=⎪⎭⎫⎝⎛i i所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=10122163.0i i P ξ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-=2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{}20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样本均值。

（参考数据：）2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212(-Φ--Φ=)21()21(-Φ-Φ= 1)21(2-Φ=3830.016915.02=-⋅=由于 )4,1(~N ξ ，所以 )1,0(~2111621N -=-ξξ{}20≤≤ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=21122112110ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-⋅=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2N ξ，所以)1,0(~2801002080N -=-ξξ所以 {}380>-ξP {}3801≤--=ξP ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--=232801ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤--=23280231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-=2-25. 设总体ξ的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它102)(x x x p取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求：（1）顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21)3(ξP 。

庄楚强应用数理统计二

应用数理统计第二章数理统计基本概念1、设()12,,,n ξξξ为0—1分布的一个样本，问：（1）求样本均值ξ的期望与方差；（2）求修正样本方差2*S 的期望；（3）试证()21S ξξ=-。

解：由于()0,1ξ，所以E p ξ=，()1D p p ξ=-（1）()111111n nn i i i i i E E E E p n n n ξξξξ===⎛⎫==== ⎪⎝⎭∑∑∑()()()2221111111111n nn i i i i i D D D D np p p p n n n n n ξξξξ===⎛⎫====-=- ⎪⎝⎭∑∑∑（2）()()222112*1111n n i i i i E SE E n n n ξξξξ==⎡⎤⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎢⎥--⎣⎦⎝⎭⎣⎦∑∑()()()()()()2222111111n n i i i i i E nE D E n D E n n ξξξξξξ==⎡⎤⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-=+-+⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦--⎣⎦⎩⎭∑∑ ()()()22111111n p p p n p p p p p n n ⎧⎫⎡⎤⎡⎤=-+--+=-⎨⎬⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎩⎭（3）由于()0,1ξ，所以211nnii i i ξξ===∑∑，故()()22222222111111111n n n n i i i i i i i i S n n n n n ξξξξξξξξξξξξ====⎛⎫=-=-=-=-=-=- ⎪⎝⎭∑∑∑∑，得证。

2、设总体()0,1N ξ，()12,,,n ξξξ为其样本，问：（1）求样本方差2S 的分布密度；（2）求样本标准差S 的分布密度。

解：（1）由于()0,1N ξ，所以根据定理，()()()()22212212*11ni ni i i n Sn ξξξξχσσ==--==--∑∑，而()21n χ-的分布密度为：()1122121,01;1220,0n xn x e x n f x n x ----⎧>⎪-⎪⎛⎫-=Γ⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪≤⎩ ()2211ni i S n ξξ==-∑，所以样本方差2S 的分布密度为：()()()2131122222112211,01;122220,0nx n n nx n n n S nx e nx n x e x n n f x n x --------⎧'⋅=>⎪-⎪⎛⎫⎛⎫-=ΓΓ⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≤⎩ 同理，样本标准差S 的分布密度为：()()()221112222222132211,01;122220,0nx n n n x n n n S nx e nx n x e x n n f x n x --------⎧'⋅=>⎪⎪-⎛⎫⎛⎫-=ΓΓ⎨ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎪⎪≤⎩ 3、设(),F F m n ，而1ln 2Z F =，求Z 的分布密度。

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研究生习题2：2-7. 设 )1,0(~N ξ，),,,,,(654321ξξξξξξ为其一样本，而26542321)()(ξξξξξξη+++++=，试求常数c ，使得随机变量ηc 服从2χ分布。

2-7解：设3211ξξξη++=，所以 )3,0(~1N η 6542ξξξη++=，所以 )3,0(~2N η所以)1,0(~31N η ，)1,0(~32N η)2(~)(3133222212221χηηηη+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛ 由于 2221ηηη+= 因此当 31=c 时，)2(~2χηc 。

2-8. 设 ),,,(1021ξξξ 为)3.0,0(2N 的一个样本，求 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ 。

（参考数据：）2-8解：因为 )3.0,0(~),,,(21021N ξξξξ =，所以)1,0(~3.0N ξ，即有)10(~3.021012χξ∑=⎪⎭⎫⎝⎛i i所以 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>∑=101244.1i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=1012223.044.13.0i i P ξ⎭⎬⎫⎩⎨⎧>=∑=10122163.0i i P ξ ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-=∑=10122163.01i i P ξ1.09.01=-=2-14. 设总体)4,1(~N ξ，求{}20≤≤ξP 与{}20≤≤ξP ，其中ξ是样本容量为16的样本均值。

（参考数据：）2-14解： {}20≤≤ξP )0()2(F F -=)210()212(-Φ--Φ=)21()21(-Φ-Φ= 1)21(2-Φ=3830.016915.02=-⋅=由于 )4,1(~N ξ ，所以 )1,0(~2111621N -=-ξξ{}20≤≤ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧-≤-≤-=21122112110ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤-=22112ξP )2()2(-Φ-Φ=9545.019725.021)2(2=-⋅=-Φ= 2-17. 在总体)20,80(2N 中随机抽取一容量为100的样本，问样本平均值与总体均值的差的绝对值大于3的概率是多少？（参考数据：） 2-17解：因为 )20,80(~2N ξ，所以)1,0(~2801002080N -=-ξξ所以 {}380>-ξP {}3801≤--=ξP ⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≤--=232801ξP ⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤-≤--=23280231ξP )]5.1()5.1([1-Φ-Φ-= ]1)5.1(2[1-Φ-=1336.0)93319.01(2)5.1(22=-=Φ-=2-25. 设总体ξ的密度函数为⎩⎨⎧<<=其它102)(x x x p取出容量为4的样本),,,(4321ξξξξ，求：（1）顺序统计量)3(ξ的密度函数)(3x p ；（2）)3(ξ的分布函数)(3x F ；（3）⎭⎬⎫⎩⎨⎧>21)3(ξP 。

应用数理统计课件(配庄楚强版教材)第三章2

§3.2 估计量评价的标准 Goodness Standard of Estimators
一、无偏性(unbiased)
总体 ξ ，待估计参数θ，样本（ξ1 , ξ2 ,…, ξn）
估计量 :
θˆ = T (ξ1,ξ2 ,Lξn )
无偏估计量（unbiased estimator）： θˆ
= ES
2 = E ⎜⎛ 1 ∑
⎝n
ξ −ξ i
2 ⎟⎞ ⎠
=
E ⎜⎛ 1 ⎝n
∑ξ2 i
−ξ
2 ⎟⎞ ⎠
= 1 ∑ Eξ 2 − Eξ 2
n
= E ξ 2 − E (ξ 2 )
[ ] = D ξ + ( E ξ ) 2 − D ξ + ( E ξ ) 2
= Dξ − Dξ = Dξ − Dξ = n −1Dξ ≠ Dξ
相合估计量) 相合性的判定（Theorem 4）：
估计量θˆn = Tn (ξ1, ξ2 L , ξn )
Condition:
1)
lim
n→∞
Eθˆn
=θ
2)
lim
n→∞
D
θˆ n
=0
Conclusion：θˆn是θ 的相合统计量 .
Assignments: 小p194大p115---习题3：9, 12, 13, 16
Eθˆ = θ
Example 2. Prove：对任何总体 ξ ，设 (ξ1 ,ξ 2 ,L ξ n )
为其样本，若 Dξ 存在，则样本的二阶中心矩 S 2
是总体的二阶中心矩 D ξ 的有偏估计量.
1
( ) Proof： DDˆ ξξ
( ) = S 2 =

应用数理统计课后习题参考答案

习题五1 某钢厂检查一月上旬内的五天中生产的钢锭重量，结果如下：(单位：k g)日期重旦量1 5500 5800 5740 57102 5440 5680 5240 56004 5400 5410 5430 54009 5640 5700 5660 570010 5610 5700 5610 5400试检验不同日期生产的钢锭的平均重量有无显著差异？ ( =0.05)解根据问题，因素A表示日期，试验指标为钢锭重量，水平为 5.2假设样本观测值y j(j 123,4)来源于正态总体Y~N(i, ),i 1,2,...,5检验的问题：H。

：i 2 L 5, H i : i不全相等.计算结果：注释当=0.001表示非常显著，标记为*** '类似地，=0.01，0.05，分别标记为查表F0.95(4,15) 3.06，因为F 3.9496 F0.95(4,15)，或p = 0.02199<0.05 ，所以拒绝H。

，认为不同日期生产的钢锭的平均重量有显著差异2 考察四种不同催化剂对某一化工产品的得率的影响，在四种不同催化剂下分别做试验解根据问题，设因素A表示催化剂，试验指标为化工产品的得率，水平为 4 .2假设样本观测值y j(j 1,2,..., nJ来源于正态总体Y~N(i, ), i 1,2,...,5 .其中样本容量不等，n分别取值为6，5，3，4 .日产量操作工查表 F O .95（3,14） 3.34，因为 F 2.4264 F °.95（3,14），或 p = 0.1089 > 0.05，所以接受H 。

，认为在四种不同催化剂下平均得率无显著差异3试验某种钢的冲击值（kg Xm/cm2 ）,影响该指标的因素有两个，一是含铜量 A ,另一个是温度试检验含铜量和试验温度是否会对钢的冲击值产生显著差异？（ =0.05 ）解根据问题，这是一个双因素无重复试验的问题，不考虑交互作用设因素A,B 分别表示为含铜量和温度，试验指标为钢的冲击力，水平为 12.2假设样本观测值y j （i 1,2,3, j 1,2,3,4）来源于正态总体 Y j ~N （j ,）,i 1,2,3,j 1,2,3,4 .记i 为对应于A 的主效应；记 j 为对应于B j 的主效应；检验的问题：（1） H i 。

(完整版)庄楚强应用数理统计基础第四章课后答案

第四章1 .已知某炼铁厂的铁水含碳量f 在正常情况下眼从N （4.55.0.108乳现在测了 5炉铁茂其舍碳量分别为428 4 40，4.42 4,35’ 437.如果方是没有改变，问恳体均值有无变化?（显著柱水平。

=0一05）解：可把问题化为5 ~ N （州= 0.108根掘听给样本也在显著胜水平。

=0.05的带况下.捡验假设：，= 〃□, Hi “ 黄"Q这是一个双倒检验问题.日此用检验法则:若:段丝 > 的-⑶则拒绝桃（相反则牒爱H 。

）计算得f = 4.364, fl = 5,<r — 0-108,查表担佗=/^o.975=k96因为：碧1 = M 36"55| = 3朗 > 1.96、乍V5斯以拒施％. @0 #只0 即总体均值有奕化一2设某厂一台机器生产的纽如，据经验其直径服从M/L b 2）- e — 5.2.为检验这台机器生产是否正常，拙取容量『100的样本，并由此算得杵本均值如26 5&迥该机器生产的纽扣的平均直径为〃=26这个结论是否成立女取显著栓水平Q = 0.1：解：设:％ ”—内—26, Hi A 26若』底_=yr?26.56 - 26 一—— = 1.077 < 并。

崩=12823一在一批木村中初出100根.湖］量共小头JL 径，得到样本均值天=1 1,6cm,已知水材小头食径眼从正志分布，且方差次 =6.76cm 气「可是否可认为谚批木村小头直径的均值小于 12.00cm?髀：Wo 1 > 1 2 — Hi < 12左例】检跨---- = 1.54 > yjo = —1 6 b/ vn4A- *瓷 H Q即不小于12 cm \fn 畔以受％.叩始论成立.VI 004. 有一种电子元件，要求其使用寿命不得低于1000 J'时，现抽取25件浏得其均值950小时.已知该种元件寿命服从正态分布，且已知b =100,问在〃=0.05下慈批元件合格否？解：H o > 1000, < 1000左侧检验-―竺< “2则拒绝H Q Vn950 - 1000 八…亡布=2.5 < 1.645 —“o.o5 "vH| 拒绝Ho,即〃 < 1000,元件不合格5. 某种有强烈作用的的药片规定平均重量为0.5mg.抽100片来检查，测得平均重量为0.52mg,经反叉试验预先确定药片的至量是服从均方差(r=0.11 mg的正态分布.问:药片的平均堂量有无超过规定的许可?(显著性水平0=0.01,0.05)解：Hq / =0.5 = “o. H[ > 0.5右侧检验"o0.52-0.5 /< Pi-0.01 = 2.326 接受b/E o.11/x/ioo [>“1_0.05 = 1645 拒绝Ho所以o = 0.01时,没超过，所以° = 0.05时，超过6.某厂生产的某种钢丝绳的断裂强度服从正态分布N(“, *),其中er —40 kg/cm2,现从一批这种钢丝中抽取容量为9柘一个样本，测得断裂强度平均值只与以往正常生产时的“相比,525(r = 40kg/cm2总体方差不变，问在。

应用数理统计基础课后习题答案(全) 庄楚强

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