平面与圆锥面的截线

平面与圆锥面的截线一、直观感受：观察平面截圆锥面的图形，截线是什么图形？改变平面的位置，可得到三种曲线，它们统称为圆锥曲线（下图由软件《立几画板》制作）：二、分类探究：从平面图形入手，开始讨论一条直线与等腰三角形的位置关系：将等腰三角形拓广为圆锥，直线拓广为平面。

如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，会出现哪些情况呢？如下图：归纳提升：定理在空间中，取直线l为轴，直线l'与l相交于O点，其夹角为α，l'围绕l旋转得到以O为顶点，l'为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记作β＝0），则：（1）β＞α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β＜α，平面π与圆锥的交线为双曲线。

三、证明结论：利用Dandelin双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面的上方，一个位于平面的下方，并且与平面及圆锥均相切）证明：β＞α，平面与圆锥的交线为椭圆.如图，利用切线长相等，容易证明PF1+PF2=PQ1+PQ2＝Q1Q2=定值.下面证明：β＝α时，平面与圆锥面的交线为抛物线。

下面讨论当平面与圆锥面的交线为双曲线时准线的及离心率：换个角度看图：容易知道：截得的圆锥曲线的离心率等于截面和圆锥轴的夹角的余弦与圆锥顶角一半的余弦之比.四、知识运用用图霸制作三维直观图：解答参看下图：五、图形制作三种曲线的丹迪林Dandelin双球图可以在《几何图霸》中统一到一幅图中，主要制作步骤如下：1.作全自由点O，过点O作平行于z轴上的点B，过B作平行于x轴上的点C，作点B、C 关于O的对称点B’、C'.2.选取点O、B、C，作圆锥，选取点O、B’、C’，作圆锥.3.在圆B上任取点D，作D关于B对称点，连接OD，OD’，在OD上任取一点E，以E 为圆心画过点D’、D的心点圆，在圆E上任取点F，连EF，它表示截面的位置，可以绕点E转动.4.作角OEF的平分线，与轴BB’交于O1；作角DEF的平分线，与轴BB’交于O2，它们就是双球的球心.5.过球心O1、O2分别作边EF的垂线，垂足分别为F1、F2，它们就是焦点.6.选取点O1、F1，作球O1（图中显示大圆，光照后显示为球），同法作球O2.7.取线EF上的点G、H，作GDO垂线上的伸缩点I，作点I关于点G的对称点I’，按向量GH平称点I、I’，得点I2、I".添加面II2I"I’，连接四边，表示截面.它的长宽可以用点G、H、I控制；点F控制其转动.8.添加下底圆上的点J，连结OJ交截面于点K，选取点J、K，添加轨迹，它就是截线，如上图中的椭圆.9.点E按向量OD’平移得点E’，EE’交圆于点G1，EG1平行于母线OD’，添加点F到点G1的动画，名为“抛物线”.10.参看前面各图添加其它图元.下载图霸文件后在“对象浏览器”中查看各对象.课件下载：共享文件下载中心相关文章：1 利用丹迪林Dandelin双球证明平面与圆锥面的截线定理2平面与圆柱面的截线更多文章：《几何图霸》文章列表几何图霸网站：。

简述平面与圆锥面相交的物五种截交线的性质平面与圆锥面是几何图形中的两个基础形状，在三维空间中，它们常常会相交，而它们之间的截交线有五种形式，分别是：主轴，圆弧，圆心，平行线和交点。

本文将介绍五种截交线的特征，以及它们是如何交叉的。

首先是主轴，主轴是一条和圆锥的顶点重合的直线，它的端点都位于圆锥的底面。

另外，圆弧也是一种相交线，它与主轴形成环形，并且一端接近主轴，另一端则与圆锥底面重合。

此外，还有一种叫做圆心的截交线，它位于主轴和圆弧之间，由于圆锥的顶点相当于圆的圆心，因此圆心也可以称之为圆锥顶点。

另外，主轴的反方向也是一种相交线，它与主轴形成一条平行线，两条线之间的距离等于圆锥的高度。

最后，还有一种叫做交点的相交线，它介于主轴的两端，在平面和圆锥相交时会出现。

以上就是五种截交线的特性，下面我们来看它们是如何交叉的。

首先，主轴和圆弧是彼此垂直的，因此它们构成一个“X”形，其中圆心和交点分别位于“X”的两个端点。

接下来，圆心和交点的连线与主轴的反方向形成一个“H”形，其中它们的连线分别位于“H”的两个端点。

最后，主轴和它的反方向会形成一个“T”形，两线之间的距离则等于圆锥的高度。

总之，以上就是平面与圆锥面相交的物体五种截交线的性质。

主轴、圆弧、圆心、平行线和交点同时存在，它们组合出了一个“X-H-T”形，而交线之间的距离则与圆锥的高度相等。

圆锥是三维空间中经常
被使用的几何图形，它的特性丰富，能够构建出复杂的几何形状，而平面与圆锥面的“相交”，也是一种几何图形中最常见的情况。

希望本文能够帮助你更好地理解这五种截交线的性质。

平面与圆锥的截交线的三种情况引言在几何学中，平面与圆锥的相交是一个常见而重要的问题。

当一个平面与一个圆锥相交时，它们会形成一条被称为截交线的曲线。

这条曲线可以有不同的形状和特征，取决于平面和圆锥之间的相对位置关系。

本文将探讨平面与圆锥相交时可能出现的三种情况，并详细讨论每种情况下截交线的特点。

情况一：平面与圆锥没有公共点在某些情况下，平面和圆锥可能没有任何公共点。

这意味着平面完全位于圆锥之外，或者两者之间存在太大的距离，无法相交。

在这种情况下，截交线为空集。

情况二：平面与圆锥有一个公共点另一种可能性是平面与圆锥有且仅有一个公共点。

这意味着平面切割了圆锥，并且该公共点是截交线上唯一的点。

根据切割位置和角度不同，截交线可以是直线、抛物线或双曲线。

情况二.1：截交线是直线当平面与圆锥相切时，截交线是一条直线。

这种情况下，平面与圆锥的切点也是截交线上的唯一点。

截交线与圆锥的母线（生成圆锥的直线）垂直。

此外，截交线还满足以下特点： - 截交线在平面上的投影与截交线重合。

- 截交线在圆锥上的投影是一段弧，它连接了圆锥的两个切点。

情况二.2：截交线是抛物线当平面与圆锥相交但不相切时，截交线可以是一条抛物线。

这种情况下，平面和圆锥有一个公共点，并且该公共点不在截交线上。

抛物线作为截交曲面的一部分，具有以下特征： - 抛物顶点位于公共点和圆锥顶点之间。

- 抛物顶点到公共点的距离等于抛物顶点到圆锥顶点的距离。

- 抛物顶轴垂直于平面，并通过抛物顶点和公共点。

情况二.3：截交线是双曲线在某些情况下，平面与圆锥相交会形成一条双曲线作为截交线。

这种情况下，平面和圆锥有一个公共点，并且该公共点不在截交线上。

双曲线具有以下特征： - 双曲线的两个分支都延伸到无穷远处。

- 双曲线的焦点位于公共点和圆锥顶点之间。

- 双曲线的两个分支在平面上对称。

情况三：平面与圆锥有多个公共点最后一种情况是平面与圆锥有多个公共点。

这意味着平面切割了圆锥，并且截交线是一个封闭的曲线。

平面与圆柱的截交线的三种情况
1、当平面与二次锥面的母线平行,且不过圆锥顶点,结果为抛物线。

2、当平面与二次
锥面的母线平行,且过圆锥顶点,结果退化为一条直线。

3、当平面只与二次锥面一侧相交,
且不过圆锥顶点,结果为椭圆。

4、当平面只与二次锥面一侧相交,且不过圆锥顶点,并与圆
锥的对称轴垂直,结果为圆。

圆锥的侧面积：将圆锥的侧面沿母线展开，是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底
面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长.圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×
母线/2；没展开时是一个曲面。

圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条
母线，且底面开图为一圆形，侧面展开图是扇形。

平面和圆锥的截交线有5种，分别是圆、两相交直线、椭圆、双曲线和抛物线。

平面与圆锥相截的平面通过圆锥顶点，那么截交线
是两条相交直线。

平面与圆锥底面平行时，截交线是圆。

平面与圆锥底面既不平行也不垂直，截交线是椭圆。

截交线是指当一平面p将一立体截切后在立体的表面上形成的交线，
平面p被称作截平面，因此截交线的形状就受到两个相对位置的影响，其一是立体的表面
形状及与平面p的相对位置，其二是平面p，即截平面和投影面两者的相对位置。

当空间
形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线，当空间形体表面由若干个平面组成时，截交
线是一个多边形。

简述平面与圆锥面相交的物五种截交线的性质平面与圆锥面相交的物的截交线的性质是数学中非常重要的一
个概念，其中的性质可以概括为以下五种：
第一，截交线是由一个平面通过另外一个圆锥面上的点而产生的，这个点也就是截交线的端点，它们之间形成一条直线，其长度可以多么长取决于其所处的位置。

第二，平面与圆锥面之间的截交线具有一定的角度，这个角度定义了平面与圆锥面之间的夹角，可以是45度、60度甚至更大，当然也可以是160度。

第三，截交线是平行的，它们只能在平行的方向上交点，而不能在非平行的方向上交点。

第四，截交线的直线不仅可以形成两个圆锥面之间的夹角，还可以从一个圆锥面上的点向另一个圆锥面发出一条光线，这条光线被称为光源。

光源可以投射出漂亮的荧光色彩，当光源从一个圆锥面通过另一个圆锥面上的点时，就形成了一条光源线。

最后，截交线的方向可以有多种形式，它们可以是水平的，可以是垂直的，也可以是任意的方向，只要其长度足够长，就可以产生多个平行的截交线。

总之，截交线的性质可以用五种主要的特征来表示：由端点产生的直线，夹角的大小，平行的方向，光源线的形成，以及多个平行截交线的形成。

这些都是平面与圆锥面相交物体截交线性质的重要要素，是进行数学分析所必须考虑的相关知识点。

以上所述是关于平面与圆锥面相交物体截交线性质的内容，通过对其特征及性质的分析，可以更好地理解这种特殊结构的数学机制，使我们在数学分析中能够更好地应用这种知识和尖端的技术，来解决现实生活中的各种问题。

平面与圆锥面的截线湖州市吴兴高级中学刘晓东一、考、学情简析平面截圆锥面（不过顶点）所得的截线，可以是圆、椭圆、双曲线及抛物线，但这些知识在教材中并未涉及，只是在章头图中惊鸿一现.纵观浙江卷考题及各地模拟卷均却时有以此为背景的试题，简洁而灵动，但考生往往无所适从，“小题大做”，主要原因是对本节知识的缺失，通过本节课的学习，让学生了解此类问题的本质,掌握解决此类问题的方法,教师在教学时可以参阅人教 A 版选修 4-3 的相关内容.二、教学目标1.通过动态演示（或图示）观察平面截圆锥面的情境，让学生感知截面的四种情形；2.利用 Dandelin 双球证明截线为椭圆的情形；3.能利用结论判断平面截圆锥面所得截线形状.三、教学重点难点教学重点：1.平面截圆锥面所得截线形状的三个结论；2.平面截圆锥面所得截线形状的判断.教学难点：1.椭圆截线的证明；2.三个结论的综合应用.四、教学策略1.直观性原则通过动画或图示，让学生直观感知知识的形成过程.2.探究性原则应利用探究性、合作学习等方式，加深对知识的理解.3.适度性原则根据学情，灵活把握教学的难度，视学情选择教学内容,没必要面面俱到,学生只要掌握相关结论即可,定理的证明只是为了帮助学生更好地理解相关结论,不强求定性证明. 五、教学过程【环节一】平面截圆锥面的各种情形1.观察下列两幅图，感知平面（不过圆锥顶点）截圆锥面所得截线的四种情况图1图2【设计意图】通过图示（有条件可动画演示）让学生直观感知截线的四种情形.由于本知识在教材中没有介绍，故不宜做过度拓展.【环节 2】平面截圆锥面定理两个实验：利用几何画板探究平面截圆锥面定理.【实验 1】如图3，AD是等腰三角形底边上的高，∠BAD= α，直线l与 AD 相交于点 P，且与 AD 的夹角为β(0< β <π2) .【探究 1】当α,β满足什么关系时有（1）l 与 AB（或其延长线）、AC 都相交；（2）l与 AB 不相交；（3）l与 AB 的延长线、AC 都相交.【结论】如图4，可得如下结论：(1)当l与AB(或AB的延长线)、AC都相交时,设l与AB(或AB的延长线)交于E,与AC交于F.因为β是∆AEP的外角,所以必然有β > α;反之,当β > α时,l与AB(或AB的延长线)、AC都相交. 图3 图42(2)当l与AB不相交时,则l / / AB, 这时有β = α;反之,当β = α时,l/ /AB,那么l与AB不相交.(3)当l与BA的延长线、AC都相交时,设l与BA的延长线交于G,因为α是∆APG的外角,所以β < α;如果β < α,那么l与BA的延长线、AC都相交【设计意图】实验1从平面图形出发，通过探究让学生感知三个结论，而这三个结论恰恰是定理的核心内容.由于是平面图形学生能够很容易理解，教师可直接让学生回答，可不必用几何画板演示.【实验 2】将图3中的等腰三角形拓展为圆锥，直线拓展为平面，通过合情推理则得到图2.（实验只需演示，不必让学生探究）【实验结果】如果用一平面去截一个正圆锥，而且这个平面不通过圆锥的顶点，则得到如下结论：1.如果平面与一条母线平行（相当于图 4 中的β = α），那么平面就只与圆锥的一半相交，这时交线是一条抛物线；2.如果平面与母线不平行，则有两种情形：（1）当β > α时，平面只与圆锥的一半相交，这时交线是椭圆；（2）当β < α时，平面与圆锥的两部分都相交，这时交线是双曲线.【设计意图】通过演示，让学生直观感知结论，无需过多拓展.当然对条件较好的学校可以适当引申.【定理】在空间中，取直线l为轴，直线l/与l相交于O点，其夹角为α，l/围绕l旋转得到以 O 为顶点，l/为母线的圆锥面，任取平面π，若它与轴l交角为β（π与l平行，记着β＝0），则：（1）β > α，平面π与圆锥的交线为椭圆；（2）β = α，平面π与圆锥的交线为抛物线；（3）β < α，平面π与圆锥的交线为双曲线. 图5 利用 Dandelin 双球（这两个球位于圆锥的内部，一个位于平面π的上方，一个位于平面的下方，并且与平面π及圆锥均相切）下面只证明β > α时，平面π与圆锥的交线为椭圆.证明：如图5，设截面与两球的切点分别为E、F，A为截线上任一点，过点A的母线与两球的切点分别为 B、C，则易得：AB=AF,AE=AC，所以AE+AF=AB+AC=BC=定值，由椭圆定义，则点 A 的轨迹为椭圆. 【设计意图】进一步强化结论.定理的证明以椭圆为例，其他两种情况不做要求.这里只需要学生掌握结论即可.【环节 3】定理应用例 1：直接利用定理解决下列问题.（1）平面α与圆锥的母线平行，则它们的交线为抛物线;离心率为__1__;（2）一圆锥面的母线和轴线成30︒角，当用一与轴线成30︒的不过顶点的平面去截圆锥时，则所截得的截线是（C）A.椭圆B.双曲线C.抛物线D.两条相交直线（3）已知圆锥面 S，其母线与轴线所成角为30︒，在轴线上取一点 C，通过点 C 作一截面α 使它与轴线所成的角为45︒，则截出的曲线是（B）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线【设计意图】例1的三个小题均可直接利用定理求解，主要是为了让学生熟悉定理结论及其简单应用.例 2：求解下列问题.（1）圆锥的顶角为60︒，平面α与母线所成的角为60︒，则截面所截得的截线是（）A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线提示：截面与轴垂直，所以截线为圆，故选 A.（2）（2015 年浙江文 7）如图 6，斜线段AB与平面α所成的角为60 ，B为斜足，平面α 上的动点P满足∠PAB =30 ，则点P的轨迹是（C）A．直线B．抛物线C．椭圆D．双曲线的一支提示：当 P 点运动时，在空间中，满足条件的 AP 绕 AB 旋转形图6成一个圆锥，用一个与圆锥高成60 角的平面截圆锥，所得图形为椭圆.故选 C.【变式】（2016 金丽衢十二校理 8）如图 7，AB 是平面α外固定的斜线段，B 为斜足． 若点 C 在平面α 内运动，且∠CAB 等于直线 AB 与平面α 所成的角，则动点 C 的轨迹为( D )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线图7【设计意图】通过两个问题和一个变式加深对定理的理解.对于问题(2)及变式,需要模型建构,才能利用定理进行判断,是对学生数学建模素养的培养.例 3：活用定理解决下列问题.（1）（2008 年浙江理 10）如图 8，AB 是平面α 的斜线段，A为斜足，若点 P 在平面α 内运动，使三角形 ABP 的面积为定值则动点 P 的轨迹是（ B ）图8A ．圆B ．椭圆C ．一条直线D ．两条平行直线（2）（2015 湖州二中 10 月月考）二面角α - l - β 大小120， AB 垂直平面 β 交 l 于 B ，动点 C 满足 AC 与 AB 成 40角，则点 C 在平面α 和平面 β 上的轨迹分别是 （ C ）A ．椭圆、圆B ．双曲线、椭圆C ．双曲线、圆D ．抛物线、圆【设计意图】强化定理的灵活应用，培养学生的理性思维.【反馈练习】1.如图 9，直线 PO ⊥ 平面 M ，垂足为 O ，直线ＰＡ是平面Ｍ的一条斜线，斜足为Ａ，其中∠APO = α ，过点Ｐ的动直线ＰＢ交平面Ｍ于点Ｂ， ∠APB = β ，则下列说法正确的是＿（１）若α = 0︒, β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是一个圆；（２）若α ≠ 0︒, β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是一条直线；（３）若α ≠ 0︒, β ≠ 90︒且α + β = 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是抛物线；图9（４）若α ≠ 0︒, β ≠ 90︒且α + β < 90︒ ，则动点Ｂ的轨迹是双曲线；答案（２）（３）2.如图 10，平面α 的斜线 AB 交α 于 B 点，且与α 所成的角为θ 平面α 内有一动点 C 满足 ∠BAC =π，若动点 C 的轨迹为椭圆图106π , π ） 则θ 的取值范围为________.答案：（6 23.如图 11，直线 AB 是平面α的斜线，A 为斜足，若点 P 在平面α内运动，使得点 P 到直线 AB 的距离为定值 a(a>0),则动点 P 的轨迹是（ B ）图11A.圆B.椭圆C.一条直线D.两条平行直线。

圆锥的截口曲线
圆锥的截口曲线是指由圆锥与一个平面相交形成的曲线。

根据平面与圆锥的相对位置关系，截口曲线可以分为以下几种常见类型：
1. 椭圆：当平面与圆锥的轴对称时，截口曲线为椭圆。

2. 椭缩圆：当平面与圆锥的轴不对称，但与圆锥两侧切线夹角相等时，截口曲线为椭缩圆。

3. 双曲线：当平面与圆锥的轴不对称，且与圆锥两侧切线角度不等时，截口曲线为双曲线。

4. 抛物线：当平面与圆锥平行于圆锥的侧面时，截口曲线为抛物线。

需要注意的是，圆锥的截口曲线取决于平面与圆锥的相对位置以及两者之间的角度关系，因此还存在其他特殊的截口曲线形状，如直线、点等。