人教版数学高二A版选修4-1预习导航第三讲二平面与圆柱面的截线

主动成长夯基达标1.梯形ABCD中,AB∥CD,若梯形不在平面α内,则它在α内的射影是（）A.平行四边形B.梯形C.一条线段D.一条线段或梯形思路解析:当梯形所在的平面平行于投射线时,梯形在α上的射影是一条线段;当梯形所在的平面与投射线不平行时,梯形在α上的射影是一个梯形.答案:D2.如果一个三角形的平行投影仍是一个三角形,则下列结论正确的是（）A.内心的平行投影还是内心B.重心的平行投影还是重心C.垂心的平行投影还是垂心D.外心的平行投影还是外心思路解析:如果三角形的平行投影仍是三角形,但三角形的形状通常将发生变化,此时三角形的各顶点、各边的位置也会发生变化,而重心、垂心、外心这些由顶点和边确定的点通常随着发生变化,而内心则始终是原先角平分线的交点,所以仍是新三角形的内心.答案:A3.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是（）A.(0,+∞)B.(0,2)C.(1,+∞)D.(0,1)思路解析:将所给方程转化为标准形式,根据焦点的位置即可获得实数k的取值范围.将所给方程x2+ky2=2转化为标准形式,即22x+122=ky,因为焦点在y轴上,所以有22>k,于是0 <k <1.答案:D走近高考4.如图3-2-5,设P为△ABC所在平面外一点,点O为P在平面ABC上的射影,若PA =PB =PC,则O为△ABC的心.图3-2-5思路解析:连结AO、BO、CO,则AO、BO、CO分别为PA、PB、PC在平面ABC内的射影.又∵PA =PB =PC,由射影长定理,则OA =OB =OC,∴O为△ABC的外心.答案:外5.在平面解析几何中,我们学过用方程表示直线、圆等图形,将椭圆上的点满足的条件用坐标表示出来,也可以得到椭圆的方程,试建立适当的坐标系,求长轴为2a,短轴为2b（a>b）,焦距为2c 的椭圆的方程.思路解析:以长轴所在直线为x 轴建立坐标系,也可以以长轴所在直线为y 轴建立坐标系.解:以长轴所在直线为x 轴建立坐标系,其方程为a x 2+12=by ;以长轴所在直线为y 轴建立坐标系,其方程为b x 2+12=ay .。

高中数学-打印版
一平行射影
二平面与圆柱面的截线
一览众山小
学习目标
1.了解平行射影的概念及椭圆的定义，知道不平行于底面的平面截圆柱的形状是椭圆.
2.通过圆柱形水杯中水面的倾斜，感受平面截圆柱的形状，并从理论上证明.
3.通过Dandelin双球探求椭圆的性质，理解这种证明问题的方法.
学法指导
学习本节内容之前，可先复习立体几何中点在直线上，图形在平面上的射影，了解平面截圆柱、圆锥的截面形状，复习选修1-1的圆锥曲线的知识.
对于平面截圆柱面的形状，可以借助于实物，增强形象性的理解，对于圆柱形物体的斜截口是椭圆的证明，可先理解平面上的情况，再推广到空间，这样在学习中能够降低难度.
诱学指导
材料：将一个放在桌上的玻璃杯倒入半杯水，观察水平面所成的图形，再将玻璃杯倾斜一定角度，观察此时的水面图形.
问题：如何从理论上说明水平面的形状？
导入：如图3-1(2)-1，将两个球嵌入圆柱，过球心作斜截面的垂线，证明两个垂足点到截口上任意一点的距离之和为定值即可.
图3-1(2)-1
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曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采 用与上节中定理1的证明相同的方法，即Danelin双球法， 这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因
此PF1＝PQ1.同理，PF2＝PQ2.
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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[悟一法]
由平面中，直线与等腰三角形两边的位置关系拓广
为空间内圆锥与平面的截线之后，较难入手证明其所成
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①G2F1＋G2F2＝ AD；②G1G2＝ AD； G2F1 ＝cosφ＝sinθ. ③ G2E (3)如图(2)，将两个圆拓广为球面，将矩形 ABCD 看 成是圆柱面的轴截面，将 EB、DF 拓广为两个平面 α、β， EF 拓广为平面 γ，则平面 γ 与圆柱面的截线是 椭圆 ．即 得定理 1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．

预习导航．定理椭圆圆柱形物体的斜截口是与圆柱′的轴斜交，则截口是椭圆判断截口形状是椭圆．()定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．()组成元素：如图所示，，是椭圆的焦点，是的中垂线．我们把叫做椭圆的长轴，叫做椭圆的短轴，叫做椭圆的焦距．如果长轴为，短轴为，那么焦距＝. ()双球探究椭圆性质：如图所示，设球，与圆柱的交线(圆)所在的平面分别为α，γ，椭圆所在的斜截面β与它们的交线分别为，，α，γ与β所成的二面角为θ，母线与平面β的交角为φ.由于α，β，γ都是确定的，因此交线，也是确定的．①当点在椭圆的任意位置时，过作的垂线，垂足为，过作平面α的垂线，垂足为，连接，得∠＝△φ，则＝＝定值．.从而有φ＝②椭圆上任意一点到焦点的距离与到直线的距离之比为定值φ.我们把直线叫做椭圆的一条准线．③椭圆上任意一点到焦点的距离与到直线的距离之比也为定值φ，所以是椭圆的另一条准线．记＝φ④离心率．，我们把叫做椭圆的名师点拨的几何意义是，椭圆上一点到焦点的距离与它到准线的距离的比．当越接近于时，越接近于，从而越小，因此椭圆越扁；反之，越接近于，从而越接近于，椭圆越接近于圆．当＝时，＝，＝，两个焦点重合，图形就是圆了．可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量．思考双球探求椭圆性质的过程是怎样的？提示：通过一条直线与相离的两个等圆的内公切线的情形，类比为两个半径相等的球在一个平面的两侧均与球相切的情形，从而得到定理及有关结论，因而对于平面内直线与两个相离的等圆的内公切的情形要注意研究，这有助于理解椭圆和下一节的知识．圆柱内嵌入两个球，使它们分别位于斜截面的上方和下方，并且与圆柱和斜截面均相切，这是证明定理的关键．这种方法是数学家创立的，故将嵌入的两球称为双球．要注意对于双球的研究．。

一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线．了解平行射影的含义，体会平行射影．．会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)．(重点)．会用双球证明定理、定理.(难点)[基础·初探]教材整理射影阅读教材～，完成下列问题．．正射影给定一个平面α，从一点作平面α的垂线，垂足为点′，称点′为点在平面α上的正射影．一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．．平行射影设直线与平面α相交(如图--)，称直线的方向为投影方向．过点作平行于的直线(称为投影线)必交α于一点′，称点′为沿的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．图--下列说法正确的是( )．平行射影是正射影．正射影是平行射影．同一个图形的平行射影和正射影相同．圆的平行射影不可能是圆【解析】正射影是平行射影的特例，不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，不正确；只有正确．【答案】教材整理两个定理阅读教材～，完成下列问题．．椭圆的定义平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．．两个定理定理：圆柱形物体的斜截口是椭圆．定理：在空间中，取直线为轴，直线′与相交于点，夹角为α，′围绕旋转得到以为顶点，′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴的交角为β(当π与平行时，记β＝)，则()β>α，平面π与圆锥的交线为椭圆；()β＝α，平面π与圆锥的交线为抛物线；()β<α，平面π与圆锥的交线为双曲线．下列说法不正确的是( )。

7.已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2 的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴，短轴和 离心率.
8．已知圆柱面准线的半径等于2 cm，一个截割圆柱的平面 与圆柱面的轴线成60°，从割平面上下放入圆柱面的两个内切球， 并且它们都与截平面相切，求两个内切球的球心间的距离． 解析：设截割圆柱的平面为δ，与 δ相切的圆柱面的两个内切球的球心分 别为C1、C2，切点分别为F1、F2.如图
已知圆柱面的半径r＝6，截割平面β与母线所成 的角为60°，求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线
椭圆的长轴、短轴和离心率e.
解析：由两焦球球心距离等于截线椭圆的长轴长，故两
2r 焦球球心距离为 =8 3 . sin 60
截线椭圆的长轴长为 8 3 ，短轴长为 2r=12，离心率
1 e=cos 60= . 2
5 cm. 2
∴底面圆的周长为 l=2r=5 cm. 将圆柱沿母线 AD 剪开后平放在一个平面内，如图(2)， 则从点 A 到点 C 的最短距离即为(2)中 AC 的长． l 5π 由于 AB= = cm，BC=AD=5 cm， 2 2 25π 2 5 π 2 4 cm. 25 = ∴AC= 4 2 答案：B
3.2 平面与圆柱面的截线
1．理解圆柱面的概念． 2．了解圆柱的截线及其性质．
1．椭圆组成元素：如图甲所示______叫做椭圆的焦点； ______叫做椭圆的焦距；AB叫做椭圆的______；CD叫做椭 圆的______． 如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c＝______.
答案：F1、F2 F1F2 长轴
证明：作一平面δ∥平面α，且平面δ与平面α的距离等于 圆柱面准线的半径r，则平面δ与圆柱面的轴线相交于一点C. 以点C为圆心，r为半径作球，则球C(C，r)为圆柱面的 内切球． 过点C作CC′⊥平面δ，则C′∈δ，CC′＝r. 又∵球的半径为r， ∴C′在球面上． 又∵过球的半径的外端与半径垂直的平面与球只有唯一 公共点， ∴球C(C，r)与平面δ只有一个公共点． ∴球C(C，r)与平面相切． ∴存在圆柱面的内切球C(C，r)与平面δ相切

图3 8
也是确定的。这样，我们
就有理由猜想椭圆上的点与l1、l2有一定的关系。
我们还是从特殊情况
开始探究这种关系.由
前面对图 3 5 的探究 E l1 A
Q
可知，对于椭圆的长轴
G1
O1 K1
B
端点G 2，有
F1
G 2F1 G2E
cos
定值。
当点P在椭圆的任意位
置时，过P作l1的垂线，垂
P
下 面 我 们 探 究 椭 圆 的 性质 。
如图 3 8，设球O1、O2
与圆柱的交线圆所在
E l1 A Q
O1 K1
B
的平面分别为、，椭
G1 F1
圆所在的斜截面与它 们的交线分别为l1、l2， 、与 所成的二面角
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
为，母线与平面的交
K2
角为。由于、、 都 是确定的，因此交线l1、l2
平面与圆柱面的截线
一 、引入
给定一个平面,从一点A作平面 的垂 线，垂足为点A’。称点A'为点A在平面 上的正射影。一个图形上各点在平面
上的正射影所组成的图形，称为这个图
形在平面上的正射影 。
L
A
设直线l与平面 相交图 3 1，
称直线l的方向为投影方向。过
A’
点A作平行于l的直线( 称为投
影线 )必交于一点A',称A’为沿 l的方向在平面上的平行射影。
如图 3 4。
图3 4
二、新知探究
探究 如图 3 5，AB、CD是
两个等圆的直径 AB // CD ，
A E G1
O1
B
F1

3 2
,
故选B.
错因分析:上述解法错在没有正确理解椭圆的离心率的求解方法,
在利用公式e=cos φ时,φ必须是圆柱的母线与平面的夹角.
题型一 题型二 题型三
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
正解:A
解析:因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,其
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
题型二
探讨椭圆的性质
【例2】 如图,已知球O1,O2分别切平面β于点F1,F2,P1P2为☉O1的 一条直径,点Q1,Q2分别为点P1,P2在平面β内的平行射 影,G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与Q1Q2互相垂直平分.
D典例透析 IANLI TOUXI
反思探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质时,需考查Dandelin双 球与圆柱及其截面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似 与全等、解直角三角形及平行射影的性质.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
面直径恰好等于椭圆的短轴长,由题意知,2b=2c.
故
e=
������ ������
=
������ =
������2+������2
������ 2������
=
22.
答案:B
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三

3.椭圆 (1)椭圆中的有关概念 如图,F1,F2是椭圆的焦点,B1B2是F1F2的中垂线.我们把A1A2叫做 椭圆的长轴,B1B2叫做椭圆的短轴,F1F2叫做椭圆的焦距.如果长轴 长为2a,短轴长为2b,那么焦距2c=__________. 2 ������2 -������2
课前篇 自主预习
(2)椭圆的性质 ①椭圆的准线 椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比为定值 cos φ,我们把直线l1叫做椭圆的一条准线. 椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直线l2的距离之比也为定 值cos φ,所以l2是椭圆的另一条准线. ②椭圆的离心率 记e=cos φ,我们把e叫做椭圆的离心率(其中φ是截面β与圆柱母线 的交角).
课前篇 自主预习
【做一做 2】 已知一个平面截圆柱所得的截口是椭圆,其长轴长为 4.若圆柱底面半径为 3,则该椭圆的离心率等于 .
解析:依题意 2a=4,b= 3, 所以 c= ������2 -������2 =1,故 e=2.
答案:2
1
1
课前篇 自主预习
思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“ ”,错误的画 “×”. (1)圆柱形物体的截口是椭圆. ( ) (2)椭圆的离心率越大,椭圆就越扁. ( ) (3)任何椭圆都有两条准线. ( ) (4)椭圆上任意一点到焦点的距离与其到准线的距离之比为定值. ( ) (5)当圆柱形物体的斜截口是椭圆时,该椭圆的短轴长等于圆柱底 面圆的直径. ( ) 答案:(1)× (2) (3) (4)× (5)
1 2
2 3 . 3
BG2=O1Btan∠G2O1B=2tan 60° =2 3.
∴G2F1+G2F2=BC=G2C+BG2=

一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线1．了解平行射影的含义，体会平行射影．2．会证明平面与圆柱面的截线是椭圆(特殊情况是圆)．(重点)3．会用Dandelin双球证明定理1、定理2.(难点)[基础·初探]教材整理1射影阅读教材P43～P44，完成下列问题．1．正射影给定一个平面α，从一点A作平面α的垂线，垂足为点A′，称点A′为点A在平面α上的正射影．一个图形上各点在平面α上的正射影所组成的图形，称为这个图形在平面α上的正射影．2．平行射影设直线l与平面α相交(如图3-1-1)，称直线l的方向为投影方向．过点A作平行于l的直线(称为投影线)必交α于一点A′，称点A′为A沿l的方向在平面α上的平行射影．一个图形上各点在平面α上的平行射影所组成的图形，叫做这个图形的平行射影．图3-1-1下列说法正确的是()A．平行射影是正射影B．正射影是平行射影C．同一个图形的平行射影和正射影相同D．圆的平行射影不可能是圆【解析】正射影是平行射影的特例，A不正确；对于同一图形，当投影线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故C不正确；当投影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆，D不正确；只有B 正确．【答案】 B教材整理2两个定理阅读教材P44～P51，完成下列问题．1．椭圆的定义平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆．2．两个定理定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆．定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面π，若它与轴l的交。

庖丁巧解牛知识·巧学一、正射影点A 是平面α外一点，过点A 向平面α作垂线，设垂足为点A′，那么把点A′称作点A 在平面α上的正射影.一个图形F 上的各点在平面α上的正射影也组成了一个图形F′，则图形F′称作图形F 在平面α上的正射影.图3-1(2)-2就是正射影的几个例子.图3-1(2)-2联想发散一个图形在一个平面上的射影与图形和平面的位置关系有关，如一条直线，当它和平面α垂直时，它在平面α上的射影是一个点；当它和平面α斜交时，它在平面α上的射影是一条直线；它和平面α平行时，它在平面α上的射影是一条与原直线平行的直线.二、平行射影设直线l 与平面α相交，把直线l 的方向称为投影方向，过点A 作平行于l 的直线，与平面α交于点A′，那么把点A′称作点A 沿直线l 的方向在平面α上的平行射影.一个图形F 上的各点在平面α上的平行射影也组成了一个图形F′，则图形F′称作图形F 在平面α上的平行射影.于是正射影是平行射影的特例.在立体几何部分，我们对此已经有了了解，如图3-1(2)-3就是平行射影的具体实例.图3-1(2)-3知识拓展平行射影的性质:(1)直线或线段的平行射影仍是直线或线段；(2)平行直线的平行射影是平行或重合的直线；(3)平行于投射面的线段，它的射影与这条线段平行且等长；(4)与投射面平行的平面图形，它的射影与这个图形全等；(5)在同一直线或平行直线上，两条线段平行射影的比等于这两条线段的比.三、椭圆平面上到两个定点的距离之和等于定长的点的轨迹叫做椭圆.运输油制品的油罐、圆柱型容器倾斜后所盛液体的液面等，都给我们以椭圆的形象.四、椭圆的组成元素1.如图3-1(2)-4，F 1、F 2叫椭圆的焦点，F 1F 2叫椭圆的焦距；AB 叫椭圆的长轴，通常用字母a 表示；CD 叫椭圆的短轴，通常用字母b 表示；如果长轴为2a ，短轴为2b ，那么焦距为2c=222b a .这一个式子反映了椭圆的长轴、短轴及焦距三者之间的关系，我们可以利用这一关系式进行相关的运算.图3-1(2)-42.椭圆内切于矩形，且它是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形，又是以原点为对称中心的对称图形.因此，画它的图形时，只要画出第一象限的部分，其余可由对称性得出.五、椭圆的性质如图3-1(2)5，椭圆上任意一点到焦点F 的距离和它到直线l 的距离之比为定值，根据这一点，我们有椭圆的第二定义：平面内点M 与一个定点的距离和它到一定直线的距离的比是常数e=ac （0<e<1）时，这个点M 的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线叫做椭圆的准线，显然在另一侧对应另一个焦点还有一条准线，常数e 是椭圆的离心率.图3-1(2)-5关键词分析 e 的几何意义是：椭圆上一点到焦点的距离和它到准线的距离的比.当e 越接近于1时，c 越接近于a ，从而b 越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，从而b 越接近于a ，椭圆越接近于圆.当e=0时，c=0，a=b ，两焦点重合，图形就是圆了.可见离心率是刻画椭圆圆扁程度的量.问题·探究问题1 一个圆所在的平面β与平面α平行，那么该圆在平面α上的正射影是和原来的圆相同的圆，当圆所在的平面β与平面α不平行时，该圆在平面α上的正射影会是什么图形？如果β与α垂直，该圆在平面α上的正射影又会是什么图形？思路:借助于生活经验来理解.探究:一个圆所在的平面β与平面α平行，那么该圆在平面α上的正射影显然是一个圆，并且是和原来的圆相同的圆.如果圆所在的平面β与平面α不平行，从生活经验我们知道，正射影的形状发生了变化，就好像一个圆被压扁了，我们称之为椭圆.椭圆的“圆周”上的点到其中心的距离不再相等，但它也有一个特征，就是它到两个定点的距离相等，下一节还会讲到.如果圆所在的平面β与平面α是互相垂直的，那么该圆在平面α上的射影是一条线段. 问题2 两条相交直线的平行射影还是相交直线吗？如果不相交，那它的形状是什么样子？同理，两条平行直线的平行射影还是平行直线吗？它的情形有哪些？思路:根据两条直线与投射线的位置关系分类讨论.探究:两条直线相交，可以确定一个平面，当投射线与两直线所确定的平面平行时，此两直线的平行投影是一条直线；当投射线与两直线确定的平面不平行时，此两直线的平行投影仍是两条相交直线，在考虑时一定要周全，避免漏掉特殊情况.所以两条相交直线的平行投影是两条相交直线或一条直线.同理，可以考虑两条平行直线在同一个平面上的射影，当两条平行线与投射线平行时，它们的平行射影是两个点；当两条直线确定的平面与投射线平行时，它们的平行射影是一条直线；当两条直线确定的平面与投射线不平行时，它们的平行射影是两条平行直线.典题·热题例1Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内，则△ABC 的两条直角边在平面α内的射影与斜边组成的图形只能是( )A.一条线段B.一个锐角三角形C.一个钝角三角形D.一条线段或一个钝角三角形思路分析：（1）当顶点A 在平面α上的射影A′在BC 所在直线上时，两条直角边在平面α上的射影是一条线段，与斜边线成的图形是线段，如图3-1(2)-6（1）.图3-1(2)-6（2）当顶点A 在平面α上的射影A′不在BC 所在直线上时，∵AA′⊥α,∴AA′⊥A′B ，AA′⊥A′C.∴A′B<AB ，A′C<AC.在Rt △ABC 中，AB 2＋AC 2=BC 2，∴BC 2>A′B 2＋A′C 2.∴A′B 2＋A′C 2－BC 2<0.∴∠BA′C 为钝角.∴△A′BC 为钝角三角形.答案：D例2平面内两个定点的距离为8，动点M 到两个定点的距离的和为10，求动点M 的轨迹方程.思路分析：根据题意，首先判定动点M 的轨迹是椭圆，再求椭圆方程.解：以两点的连线段所在的直线为x 轴，线段的中垂线为y 轴建立直角坐标系，则由椭圆的定义知，动点的轨迹是椭圆，设所求椭圆方程为2222by a x +=1. ∵2a=10,2c=8,∴a=5,c=4.则b 2=9.故所求椭圆的方程为92522y x +=1. 变式方法本题由于建立坐标系时的形式不同，所得方程形式不同，若以两定点所在直线为y 轴，两定点连线段的中垂线为x 轴，建立直角坐标系，可得方程为25922y x +=1.。

第二节 平面与圆柱面的截线
课前导引
情景导入
圆柱底面圆沿母线方向在斜截平面的平行投影,可以看作该平面与圆柱面的截线,直观上看是一个椭圆.果真是椭圆吗?
知识预览
1.椭圆的定义
平面上到两个定点(焦点)的距离之和等于定长(长轴长2a)的点的轨迹叫做椭圆.
2.定理1
圆柱形物体的斜截口是椭圆.
3.椭圆的性质
(1)如果长轴为2a,短轴为2b,那么2c=2a 2-b 2.
(2)准线:底面与截面的交线.
(3)离心率:e=cosφ=a
c ,其中φ是截面与母线的夹角. 5.Dandlin 双球是证明椭圆和探究性质的关键.
Dandlin 双球与截平面的切点是椭圆焦点.
Dandlin 双球的半径等于椭圆短半轴的长(b).。

预习导航请沿着以下脉络预习：1．圆柱形物体的斜截口是椭圆．2．如图，椭圆中，F 1、F 2是焦点，B 1B 2是F 1F 2的中垂线，则A 1A 2叫做椭圆的长轴，B 1B 2叫做椭圆的短轴，F 1F 2叫做椭圆的焦距．若长轴为2a ，短轴为2b ，则焦距2c ＝2a 2－b 2.3．椭圆上任一点到焦点F 1的距离与到直线l 1的距离之比为定值cos φ，则直线l 1叫做椭圆的一条准线．4．若e ＝cos φ，则e 叫做椭圆的离心率．1．如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两准线间的距离是焦距的( )．A ．9倍B ．4倍C ．12倍D ．18倍答案：A解析：设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a,2b,2c ，由已知，得2a 3＝2c ，即a ＝3c ， ∴两准线间的距离为2a 2c ＝18c 2c＝18C ． 2．下列说法不正确的是( )．A ．圆柱面的母线与轴线平行B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径答案：D解析：显然A 正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B 正确，C 显然正确，D 中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．3．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为12，则Dandelin 球的半径是__________． 答案： 3解析：由题意知⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝ 3.∴Dandelin 球的半径为 3.4．已知平面α与一圆柱的底面成60°角，则该平面与圆柱截口图形的离心率是__________． 答案：32解析：平面与圆柱面截口图形为椭圆，其离心率e ＝sin 60°＝32. 5．已知一平面截圆柱面所得的截口椭圆的离心率为35，长轴长是20，求该圆柱的底面圆半径．解：设该椭圆半焦距为c ，短半轴长为b ，长半轴长为a ，则a ＝10，e ＝c a ＝35.∴c ＝35×10＝6. ∴圆柱的底面圆半径r ＝b ＝a 2－c 2＝102－62＝8.。

课后导练
基础达标
.已知平面β与一圆柱斜截口(椭圆)的离心率为,则平面β与圆柱母线的夹角是( ) °°°°
解析:设β与母线夹角为φ,则φ,∴φ°.
答案
.椭圆的一个顶点与两个焦点构成等边三角形,则此椭圆的离心率是( )
.
解析:由,得,即.
答案
.两圆柱底面半径分别为、(＞),平面π与它们的母线的夹角分别为α、β(α＜β＜°),斜截口椭圆的离心率分别为、,则( )
＞＜.无法确定
解析:∵αβ,又∵α＜β＜°时α＞β,∴＞.
答案
.已知圆柱的底面半径为,平面π与圆柱斜截口的离心率为,则椭圆的长半轴是( )
.
解析:由题意知短半轴,∴,解得.
答案
.一组底面为同心圆的圆柱被一平面所截,截口椭圆具有( )
.相同的长轴.相同的焦点
.相同的准线.相同的离心率
解析:因为底面半径大小不等,所以长轴不同.嵌入的球不同,焦点不同,准线也不同.
平面与圆柱的母线夹角相同,故离心率相同.
答案
综合运用
.如图,已知∠°⊥,求⊙的半径.
图
解析:设椭圆的长半轴为,短半轴为,焦距为.
根据题意得
解得即,∴⊙的半径为.
.如图,过作⊥,△为等腰直角三角形,则椭圆的离心率为( )
解析:∵△是等腰直角三角形,
∴.
由椭圆的定义得,
∴.
答案
.如图,已知∶∶,求.
图
解析:设椭圆长轴为,短轴为,焦距为.
由已知可得.
由椭圆定义.。

形，叫做这个图形的平行射影．
图 311
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下列说法正确的是( A．平行射影是正射影 B．正射影是平行射影
)
C．同一个图形的平行射影和正射影相同 D．圆的平行射影不可能是圆 【解析】 正射影是平行射影的特例，A 不正确；对于同一图形，当投影
线垂直于投影面时，其平行射影就是正射影，否则不相同，故 C 不正确；当投 影线垂直于投影面且圆面平行于投影面时，圆的平行射影是圆， D 不正确；只 有 B 正确． 【答案】 B
定理 2：在空间中，取直线 l 为轴，直线 l′与 l 相交于 O 点，夹角为 α，l′ 围绕 l 旋转得到以 O 为顶点，l′为母线的圆锥面．任取平面 π，若它与轴 l 的交 角为 β(当 π 与 l 平行时，记 β＝0)，则
椭圆 ； (1)β>α，平面 π 与圆锥的交线为______ 抛物线 ； (2)β＝α，平面 π 与圆锥的交线为________ 双曲线 ． (3)β<α，平面 π 与圆锥的交线为________
平面 α 上的正射影．
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2．平行射影
直线l的方向 设直线 l 与平面 α 相交(如图 311)，称______________
为投影方向． 过点 A 作__________ 平行于l 的直线(称为投影线)必交 α
点A′ 于一点 A′， 称_______ 为 A 沿 l 的方向在平面 α 上的平行射 各点在平面α上的平行射影 影．一个图形上____________________________ 所组成的图
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1． 解答本题的关键是求出圆锥的母线与轴的夹角以及截面 与轴的夹角． 2．判断平面与圆锥面的截线形状的方法 (1)求圆锥面的母线与轴线的夹角 α，截面与轴的夹角 β； (2)判断 α 与 β 的大小关系； (3)根据定理 2 判断交线是什么曲线．

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: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
PF1+PF2=PK1+PK2=AD
知识要 点
定理1
圆柱形物体的斜截口是椭圆.
椭圆中的参数定义：
焦点 F1、F2 B1B2是F1F2的中垂线
长轴 A1A2
2a
短轴 B1B2 焦距 F1F2
2b
2c a2 b2
l1,l2与椭圆上的点有什么关系?
特殊点G2
G2F1 cos 定值
G2 E

教材习题点拨探究1解：由教材图35，根据切线长定理有G 2F 1＝G 2B ，G 2F 2＝G 2C ，于是G 2F 1＋G 2F 2＝G 2B ＋G 2C ＝BC ＝AD .又∵G 1G 2＝G 1F 2＋F 2G 2，由切线长定理知G 1F 2＝G 1D ，F 2G 2＝G 2C ，∴G 1G 2＝G 1D ＋G 2C .连接F 1O 1，F 2O 2，容易证明△EF 1O 1≌△FF 2O 2.∴EO 1＝FO 2.又∵O 1A ＝O 2C ，∴EA ＝FC .于是可证得△FCG 2≌△EAG 1.∴G 1A ＝G 2C .∴G 1G 2＝G 1D ＋G 1A ＝AD .在Rt △G 2EB 中，cos φ＝G 2B G 2E ＝G 2F 1G 2E， ∴G 2F 1＝G 2E cos φ.又∵φ＝90°－θ，∴G 2F 1＝G 2E cos φ＝G 2E sin θ.由此得到结论：(1)G 2F 1＋G 2F 2＝AD ；(2)G 1G 2＝AD ；(3)G 2F 1G 2E＝cos φ＝sin θ. 思考解：猜想，两个焦点可能在两个球与斜截面的切点上，即过球心O 1，O 2分别作斜截面的垂线，其垂足F 1，F 2就可能是焦点．探究2解：当点P 与G 2重合时，有G 2F 1＋G 2F 2＝AD .当点P 不在端点时，连接PF 1，PF 2，则PF 1，PF 2分别是两个球面的切线，切点为F 1，F 2.过P 作母线，与两球面分别相交于K 1，K 2，则PK 1，PK 2分别是两球面的切线，切点为K 1，K 2.根据切线长定理的空间推广，知PF 1＝PK 1，PF 2＝PK 2，所以PF 1＋PF 2＝PK 1＋PK 2＝AD .由于AD 为定值，故点P 的轨迹是椭圆．习题3.2图(1)图(2)证明：图(1)的轴截面如图(2)所示．∵F 1F 2＝2c ，G 1G 2＝2a ，∴G 2B ＝G 2F 1＝a ＋c ，G 1A ＝G 1F 1＝a －c .∵△EAG 1∽△EBG 2， ∴EG 1EG 2＝G 1A G 2B ，即EG 1EG 1＋2a ＝a －c a ＋c，解得EG 1＝a (a －c )c . ∵在Rt △PK 1Q 中，∠K 1PQ ＝φ，∴cos φ＝PK 1PQ ＝PF 1PQ. 又∵在Rt △G 2BE 中，∠BG 2E ＝φ，∴cos φ＝G 2B EG 2. ∴PF 1PQ ＝G 2B EG 2＝a ＋c a (a －c )c＋2a ＝c a ， 即P 到F 1的距离PF 1与到l 1的距离PQ 之比等于c a.。