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平面与圆柱面的截线 课件

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2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)

2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)
曲线的形状，尤其是焦点的确定更加不容易，但可以采 用与上节中定理1的证明相同的方法，即Danelin双球法， 这时较容易确定椭圆的焦点，学生也容易入手证明，使 问题得到解决．
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[通一类] 2．在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O点，夹角
为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥面，任
取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝0)， 求证：β＝α时，平面π与圆锥的交线是抛 物线．(如图)
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证明：如图，设平面 π 与圆锥内切球相切于点 F1，球与圆 锥的交线为圆 S，过该交线的平面为 π′，π 与 π′相交于 直线 m. 在平面 π 与圆锥的截线上任取一点 P，连接 PF1.过点 P 作 PA⊥m，交 m 于点 A，过点 P 作 π′的垂线，垂足为 B，连 接 AB，则 AB⊥m，∴∠PAB 是 π 与 π′所成二面角的平面 角．连接点 P 与圆锥的顶点，与 S 相交于点 Q1，连接 BQ1， 则∠BPQ1＝α，∠APB＝β. 在 Rt△APB 中，PB＝PAcos β.
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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
所以PF1＋PF2＝PQ1＋PQ2＝Q1Q2. 由正圆锥的对称性，Q1Q2的长度等于两圆S1、S2所在平行平 面间的母线段的长度而与P的位置无关，由此我们可知在β>α时， 平面π与圆锥的交线是以F1、F2为焦点的椭圆．
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2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)

2.2-2.3 平面与圆柱面的截线 平面与圆锥面的截线 课件(人教A选修4-1)

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[研一题] [例2] 证明：定理2的结论(1)，即β>α时，平面π与圆 锥的交线为椭圆． 分析：本题考查平面与圆锥面的截线．解答本题需要 明确椭圆的定义，利用椭圆的定义证明．
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证明：如图，与定理1的证明相同，在圆锥内部嵌入 Dandelin双球，一个位于平面π的上方，一个位于平面π的 下方，并且与平面π及圆锥均相切．
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2．平面与圆锥面的截线
(1)如图，AD是等腰三角形底边BC上的高，∠BAD＝α，
直线l与AD相交于点P，且与AD的夹角为β(0<β<)，则： ① β>α ，l与AB(或AB的延长线)、AC相交； ② β＝α ③ β<α ，l与AB不相交； ，l与BA的延长线、AC都相交．
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(2)定理2：在空间中，取直线l为轴，直线l′与l相交于O 点，夹角为α，l′围绕l旋转得到以O为顶点，l′为母线的圆锥 面．任取平面π，若它与轴l的交角为β(当π与l平行时，记β＝
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在 Rt△PBQ1 中，PB＝PQ1cos α. PQ1 cos β ∴ ＝ . PA cos α PF1 又∵PQ1＝PF1，α＝β，∴ ＝1， PA 即 PF1＝PA， 动点 P 到定点 F1 的距离等于它到定直线 m 的距 离，故当 α＝β 时，平面与圆锥的交线为抛物线．
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本课时考点在高考中很少考查.2012年梅州模拟以
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当β>α时，由上面的讨论可知，平面π与圆锥的交线是一个
封闭曲线．设两个球与平面π的切点分别为F1、F2，与圆锥相切 于圆S1、S2. 在截口的曲线上任取一点P，连接PF1、PF2.过P作母线交S1 于Q1，交S2于Q2，于是PF1和PQ1是从P到上方球的两条切线，因

人教A版高中数学选修4-1-3.2 平面与圆柱面的截线-课件(共17张PPT)

人教A版高中数学选修4-1-3.2 平面与圆柱面的截线-课件(共17张PPT)

图3 8
也是确定的。这样，我们
就有理由猜想椭圆上的点与l1、l2有一定的关系。
我们还是从特殊情况
开始探究这种关系.由
前面对图 3 5 的探究 E l1 A
Q
可知，对于椭圆的长轴
G1
O1 K1
B
端点G 2，有
F1
G 2F1 G2E
cos
定值。
当点P在椭圆的任意位
置时，过P作l1的垂线，垂
P
下 面 我 们 探 究 椭 圆 的 性质 。
如图 3 8，设球O1、O2
与圆柱的交线圆所在
E l1 A Q
O1 K1
B
的平面分别为、，椭
G1 F1
圆所在的斜截面与它 们的交线分别为l1、l2， 、与 所成的二面角
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
为，母线与平面的交
K2
角为。由于、、 都 是确定的，因此交线l1、l2
平面与圆柱面的截线
一 、引入
给定一个平面,从一点A作平面 的垂 线，垂足为点A’。称点A'为点A在平面 上的正射影。一个图形上各点在平面
上的正射影所组成的图形，称为这个图
形在平面上的正射影 。
L
A
设直线l与平面 相交图 3 1，
称直线l的方向为投影方向。过
A’
点A作平行于l的直线( 称为投
影线 )必交于一点A',称A’为沿 l的方向在平面上的平行射影。
如图 3 4。
图3 4
二、新知探究
探究 如图 3 5，AB、CD是
两个等圆的直径 AB // CD ，
A E G1
O1
B
F1

推荐-高中数学人教A版选修4-1课件3.2 平面与圆柱面的截线

推荐-高中数学人教A版选修4-1课件3.2 平面与圆柱面的截线

3 2
,
故选B.
错因分析:上述解法错在没有正确理解椭圆的离心率的求解方法,
在利用公式e=cos φ时,φ必须是圆柱的母线与平面的夹角.
题型一 题型二 题型三
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
正解:A
解析:因为底面半径为 R 的圆柱被与底面成 30°的平面所截,其
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三
题型二
探讨椭圆的性质
【例2】 如图,已知球O1,O2分别切平面β于点F1,F2,P1P2为☉O1的 一条直径,点Q1,Q2分别为点P1,P2在平面β内的平行射 影,G1G2=2a,Q1Q2=2b,G1G2与Q1Q2互相垂直平分.
D典例透析 IANLI TOUXI
反思探究圆柱体的斜截口——椭圆的性质时,需考查Dandelin双 球与圆柱及其截面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似 与全等、解直角三角形及平行射影的性质.
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
面直径恰好等于椭圆的短轴长,由题意知,2b=2c.
故
e=
������ ������
=
������ =
������2+������2
������ 2������
=
22.
答案:B
M 目标导航 UBIAODAOHANG
Z重难聚 H焦ONGNAN JVJIAO
D典例透析 IANLI TOUXI
题型一 题型二 题型三

平面与圆柱面的截线 课件

平面与圆柱面的截线 课件
平面与圆柱面的截线
1．定理 1 圆柱形物体的斜截口是椭圆． 温馨提示 (1)内切球：圆柱面与球面相切，该球叫 做圆柱的内切球．(2)焦球：设平面 m 截割圆柱面，与平 面 m 相切的圆柱面的内切球叫截割平面 m 的焦球．
圆柱的截割面的两侧各有一个焦球．若截割面是圆柱 面的直截面时，两焦球与直截面切于同一点，即截线圆的 圆心；若截割面是圆柱面的斜截面时，两焦球与斜截面的 切点恰好是截线椭圆的两个焦点，此时称两焦球为丹德林 (Dandelin)双球．
类型 2 椭圆性质的应用
[典例 2] 如图所示，已知球 O1、O2 分 别切平面 β 于点 F1、F2.G1G2＝2a，Q1Q2＝2b， G1G2 与 Q1Q2 与垂直平分， 求证：F1F2＝2 a2－b2.
证明：连接 AB，作 G1H⊥BG2，H 为垂足，则四边形
ABHG1 是矩形．
所以 G1H＝AB. 因为 Q1、Q2 分别是 P1、P2 的平行射影，所以 P1Q1 綊 P2Q2.
所以四边形 P1Q1Q2P2 是平行四边形． 所以 Q1Q2＝P1P2，
即 Q1Q2 等于底面圆直径． 所以 G1H＝AB＝Q1Q2＝2b. 又由切线长定理，G1A＝G1F1＝G2F2，G2F1＝G2B， 所以 G2F1－G2F2＝G2B－G1A. 又 G1A＝BH，所以 G2F1－G2F2＝G2B－BH. 所以 F1F2＝G2H.
反之，如果根据所给条件能确定斜截面与已知圆柱母 线的夹角，也可以确定两焦球的球所示，F1、F2 叫做椭圆的焦点， F1F2 叫做椭圆的焦距，AB 叫做椭圆的长轴， CD 叫做椭圆的短轴．
3．椭圆的性质 (1)如果长轴为 2a，短轴长为 2b，那么 2c＝2___a_2_－__b_2 ． (2)准线：底面与截面的交线．

高中数学平面与圆柱面的截线公开课一等奖优秀课件

高中数学平面与圆柱面的截线公开课一等奖优秀课件
平面与圆柱面的截线
人教版高中数学选修四
Байду номын сангаас学重难点
重点：平面与圆柱面的斜截线是椭圆 难点：定理的探究及证明过程
教学过程
生活情景 数学猜想
探究过程 得出结论
如何证明？
猜想：平面与圆柱面的斜截线是椭圆
椭圆的定义：平面内与两个定点间的距离之和 等于定长的点的轨迹叫做椭圆
寻找定点
确定定长
寻找定点
2
焦点关于短轴对称
如图，把模型顺 时针旋180°
F2
F2 O2
O2
O1 F1
探究二：确定定长
定长
A O
P
B
定长
O1 K1
O2 K2
切线长定理的空间推广 所以平面与圆柱面的斜截线是椭圆
定理：
平面与圆柱面的斜截线是椭圆
谢
谢大
人教版高中数学选修四
家

圆柱体的截切ppt课件

《机械制图》
圆柱体的截切
1
回顾复习：
1、什么叫截交线 截平面与立体表面的共有线叫做截交线 2、截交线的性质
共有性、封闭性
3、怎样求棱柱、 棱锥被截切时的截 利用交点法求截交线 交线
2
活动探究：
1、圆柱体被一个平面截切有几种情况？
2、这些面与圆柱体的中心轴线有什么样的位置关 系？
3
讲授新课：圆柱体的截切
7
正垂面截切的截交线 ●
●
●
●
●
●
●
●
截交线的侧面投影是 什么形状？
椭圆形
●
●
●
●
8
正垂面截切的截交线
截交线的侧面投 影是什么形状？
椭圆形
★找特殊点 ★找中间点 ★光滑连接各点
★分析轮廓素线的投影
9
练习：
已知一个与圆柱体轴线成角度的正垂面截切圆柱体后的截切体的主俯视图， 求左视图
10
正垂线截切的特殊情况：
2、求截切体的左视图
●
●
15
课堂小结
• 圆柱体截切的几种情况 • 各种截切情况的三面视图 • 各种截切情况的截交线画法
16
课后作业
• 练习册35页第三题
• 课后探究正垂面截切的特殊情况下的截切体的三视 图
• 思考曲面立体中的圆锥体被平面截切存在几种情况， 它们的截交线的形状分别是怎样的
17
谢谢
• 一、圆柱体截切的几种情况：
4
活动探究：
1、圆柱体被一个平面截切有几种情况？
三种情况
2、这些面与圆柱体的中心轴线有什么样的位置关系？
分别与中心轴线垂直、平行、成某角度
5பைடு நூலகம்

平面与圆柱面的截线和平面与圆锥面的截线 课件


正射影与平行射影
1.平行射影的特点 对于平行射影，如果投影方向不同，投影面不变，同一个图形 的平行射影的图形也将有所不同.
2.点的射影与图形的射影 图形是点的集合，图形的平行射影都是通过点的平行射影构成 的，所以研究图形的平行射影的形状的方法是寻找原图形中有 代表性的点的射影.
【典例训练】 1.下列说法正确的是( ) (A)正射影和平行射影是两种截然不同的射影 (B)投影线与投影平面有且只有一个交点 (C)投影方向可以平行于投影平面 (D)一个图形在某个平面的平行射影是唯一的
(2)圆锥曲线的几何性质 ①Dandelin球与平面π的切点是圆锥曲线的__焦_点____； ②Dandelin球和圆锥面的交线所在的平面与截面的交线是圆锥 曲线的__准__线___； ③cosβ与cosα的比值是圆锥曲线的__离__心__率___.
1.平行射影与正射影有什么区别和联系？ 提示：正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的.因 此，正射影也是平行射影.不同的是正射影的投影光线与投影面 垂直，而平行射影的投影光线与投影面斜交或垂直.平面圆形的 正射影与原投影面积大小相等，而一般图形的平行射影的面积 要小于原投影图形的面积.
作平面α的垂线，垂足为K1,连接K1Q,得Rt△PK1Q，则
∠QPK1=φ,从而有
PF1 PQ
PK1 PQ
=cos
φ＝定值，即椭圆上任
意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比是定值cos φ,
我们把直线l1叫做椭圆的一条准线，同理，l一性 椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一 样，但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到，因此，椭圆、双 曲线、抛物线统称为圆锥曲线.它们都满足曲线上的点到焦点 的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率e.当e＜1时，曲 线为椭圆；当e=1时，曲线为抛物线；当e＞1时，曲线为双曲 线.定义上的统一，必然也蕴含着图形上的统一.

平面与圆柱面的截线平面与圆锥面的截线课件人教A选修13

内容一：平面与圆柱面的截线 a. 截线类型：平行、垂
02 直 、 倾 斜 b . 截 线 性 质 ： 长 度 、 角 度 、 面 积
a. 截线类型：平行、垂直、倾斜 b. 截线性质：长度、角度、面积
内容二：平面与圆锥面的截线 a. 截线类型：平行、垂
03 直 、 倾 斜 b . 截 线 性 质 ： 长 度 、 角 度 、 面 积
截线的性质
截线是平面与圆柱面、圆锥面的 交线
截线的形状取决于平面与圆柱面、 圆锥面的相对位置
添加标题
添加标题
截线可以是直线、曲线或点
添加标题
添加标题
截线的长度、方向和位置可以通 过几何关系计算得出
截线与圆柱面的关系
截线与圆柱面的切线：截线 与圆柱面相切时，会产生一 条切线。
截线与圆柱面的交点：截线 与圆柱面相交时，会产生一 个交点。
05
人教A选修(22)介绍
人教A选修(22)简介
教材名称：人教A选修(22) 教材内容：平面与圆柱面、圆锥面的截线 教材特点：理论与实践相结合，注重培养学生的动手能力和创新能力 教材适用范围：高中数学选修课程，适用于对数学有兴趣的学生
人教A选修(22)内容概述
平面与圆柱面、圆锥面的截线：介绍平面与圆柱面、圆锥面的截线及其性质 截线方程：介绍截线的方程及其求解方法 截线与平面、圆柱面、圆锥面的关系：介绍截线与平面、圆柱面、圆锥面的关系及其应用 截线与平面、圆柱面、圆锥面的交点：介绍截线与平面、圆柱面、圆锥面的交点及其性质
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平面与圆柱面、圆锥面的截线
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01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 平 面 与 圆 柱 面 的 截 线

平面与圆柱面的截线 课件


(2a)2 -(2b)2 =2 a2 -b 2 ,
1.圆柱形物体的截口是(
)
A.双曲线
B.圆
C.抛物线
D.椭圆或圆
解析:当截面与圆柱的底面平行时,截口是圆,否则是椭圆.
答案:D
2.若一条直线与过平面的一条斜线在此平面上的射影垂直,则这条直线与
这条斜线的位置关系是(
)
A.垂直
B.异面
C.相交
D.不能确定
我们把 A1A2 叫做椭圆的长轴,B1B2 叫做椭圆的短轴,F1F2 叫做椭圆的
焦距.如果长轴为 2a,短轴为 2b,那么焦距 2c=2 a2 -b 2 .
(3)Dandelin 双球探究椭圆性质:如图所示,设球 O1,O2 与圆柱的交线(圆)
所在的平面分别为 α,γ,椭圆所在的斜截面 β 与它们的交线分别为 l1,l2,α,γ 与
PQ
P1
PQ
=
φ=定值.
②椭圆上任意一点到焦点 F1 的距离与到直线 l1 的距离之比为定值 cos
φ.我们把直线 l1 叫做椭圆的一条准线.
③椭圆上任意一点到焦点 F2 的距离与到直线 l2 的距离之比也为定值
cos φ,所以 l2 是椭圆的另一条准线.
④记 e=cos φ,我们把 e 叫做椭圆的离心率.
其截平面的关系,综合应用切线长定理、三角形的相似与全等,解直角三角
形,以及平行射影的性质.
【典型例题 2】 如图所示,已知球 O1,O2 分别切平面 β 于点 F1,F2,P1P2
为☉O1 的一条直径,Q1,Q2 分别为 P1,P2 在平面 β 内的平行射
影,G1 G2=2a,Q1Q2=2b,G1 G2 与 Q1Q2 垂
直平分,求证:F1F2=2 a2 -b2 .
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2．如图乙所示，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD， AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为点F1、 F2，交BA、DC的延长线于点E、F，交AD于点G1，交BC于点 G2.设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
图乙
图丙
(1)G2F1＋G2F2______AD.
(2)G1G2______AD. (3) G2F1 ______cos φ______sin θ.
AA 2 (2)所求截面为矩形 AA′B′B，面积等于 2 2 cm2. (3)点 O 到截面的距离即 OO′到截面的距离，也是点 O′ 到截面的距离为 2 cm.
2
的面积．
如果椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，求椭圆
解析：如图所示，设椭圆是由半径为 r 的圆柱面的斜截
面截得的，且斜截面与母线所成角为，则 b=r，a= r . sin
5．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截
32
线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为____2 __．
6．已知平面δ斜截一准线半径为r的圆柱面，轴线与平面δ
所成的角为α，求证：存在圆柱面的内切球与平面δ相切．
证明：作一平面δ∥平面α，且平面δ与平面α的距离等于
圆柱面准线的半径r，则平面δ与圆柱面的轴线相交于一点C. 以点C为圆心，r为半径作球，则球C(C，r)为圆柱面的
内切球． 过点C作CC′⊥平面δ，则C′∈δ，CC′＝r. 又∵球的半径为r， ∴C′在球面上． 又∵过球的半径的外端与半径垂直的平面与球只有唯一
公共点， ∴球C(C，r)与平面δ只有一个公共点． ∴球C(C，r)与平面相切． ∴存在圆柱面的内切球C(C，r)与平面δ相切
7.已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2 的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴，短轴和 离心率.
(1)求OO′与AB′所成角的正切值；(2)求过AB′与OO′平 行的截面面积；(3)求点O到截面的距离．
解析：(1)设过点 A 的母线为 AA′，连接 AB′，则 OO′∥AA′，OO′A′A 是矩形，易知△O′B′A′是等腰 直角三角形，
∴A′B′= 2 .又 AA′=2，OO′与 AB′所成的角为 ∠B′AA′，∴tan∠B′A概念． 2．了解圆柱的截线及其性质．
1．椭圆组成元素：如图甲所示______叫做椭圆的焦点； ______叫做椭圆的焦距；AB叫做椭圆的______；CD叫做椭 圆的______．
如果长轴为2a，短轴为2b，那么焦距2c＝______.
答案：F1、F2 F1F2 长轴 短轴 2 a2 b2
B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面
C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径 无关，只与母线和斜线面的夹角有关
D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的 半径
4．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦
球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cos θ＝ 4
_____5_.
由于 AB= l = 5π cm，BC=AD=5 cm， 22
∴AC=
25π2
5
25 =
π2 4 cm.
4
2
答案：B
2．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成 45°角，则截线椭圆的焦距为( C )
A．2 2
B．2
C．4
D．4 2
3．下列说法不正确的是( D )
A．圆柱面的母线与轴线平行
为( )
A．10 cm
B. 5 π2 4 cm 2
C．5 2 cm
D．5 π2 1 cm
解析：如图(1)，ABCD是圆柱的轴截面，且其边长为5 cm，设圆柱的底面圆半径为r，则r＝ 5 cm.
2
∴底面圆的周长为 l=2r=5 cm.
将圆柱沿母线 AD 剪开后平放在一个平面内，如图(2)，
则从点 A 到点 C 的最短距离即为(2)中 AC 的长．
取圆柱面一直截面，则其面积 S 圆=r2，直截面与斜截面
的夹角为 π -.由面积射影定理，有
2
S 椭圆=
S圆
πr 2
r
= =r =ab.
cos
π 2
sin
sin
即椭圆的面积为ab.
已知圆柱面的半径r＝6，截割平面β与母线所成 的角为60°，求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线 椭圆的长轴、短轴和离心率e.
解析：由两焦球球心距离等于截线椭圆的长轴长，故两 焦球球心距离为 2r =8 3 .
sin 60 截线椭圆的长轴长为 8 3 ，短轴长为 2r=12，离心率 e=cos 60= 1 .
2
1．圆柱的轴截面(经过圆柱的轴所作的截面)是边长为 5
cm 的正方形 ABCD，则圆柱侧面上从点 A 到点 C 的最短距离
G2 E 3．如图丙所示，将两个圆拓宽为球面，将矩形ABCD 看成是圆柱面的轴截面，将EB、DF拓宽为两个平面α、β， EF拓宽为平面γ，平面γ与圆柱面的截线是______．
2．(1)＝ (2)＝ (3)＝ ＝ 3．椭圆
如图所示是夹在圆柱面上的两正截面的部分， 且所截得母线长为2 cm.若OA⊥O′B′，OA＝1 cm.