第三讲3.2平面与圆柱面的截线

[知识提炼· 梳理] 1．定理 1 圆柱形物体的斜截口是椭圆． 温馨提示 (1)内切球：圆柱面与球面相切，该球叫 做圆柱的内切球．(2)焦球：设平面 m 截割圆柱面，与平 面 m 相切的圆柱面的内切球叫截割平面 m 的焦球．
圆柱的截割面的两侧各有一个焦球． 若截割面是圆柱 面的直截面时，两焦球与直截面切于同一点，即截线圆的 圆心；若截割面是圆柱面的斜截面时，两焦球与斜截面的 切点恰好是截线椭圆的两个焦点， 此时称两焦球为丹德林 (Dandelin)双球．
反之， 如果根据所给条件能确定斜截面与已知圆柱母 线的夹角，也可以确定两焦球的球心距离．
[变式训练] 一圆柱面底半径为 2， 一截面与轴成 60°， 从割平面上、下放入圆柱的两个内切球，使它们都与截面 相切，则这两个切点的距离为( 2 3 A. 3 4 C. 3 答案：B 4 3 B. 3 8 D. 3 )
2．用平面截下列曲面，所得的截线一定不是椭圆的 是( ) A．球面 C．圆锥面 B．圆柱面 D．圆台面
解析：用平面截圆柱面、圆锥面、圆台面都可以得到 椭圆，而用平面截球面所得到的截线是圆． 答案：A
3．已知圆柱的底面半径为 r，平面 α 与圆柱母线的 夹角为 30°，则它们截口椭圆的焦距是( A．2 3r C. 3r B．4 3r D．3r )
2 在 Rt△G1G2H 中，G2H＝ G1G2 －G1H2＝
（2a）2－（2b）2＝2 a2－b2.故 F1F2＝2 a2－b2.
归纳升华 设圆柱面的半径为 r，某截面的两焦球的球心距为 d(d>2r)，则截线椭圆的长轴长为 d，短轴长为 2r，焦距为
2 2 d － 4 r d2－4r2，离心率为 . d
解析：如图所示，过 G2 作 G2H⊥AD 于点 H. 因为在 Rt△G1HG2 中， ∠HG1G2＝30°，HG2＝2r. 所以 G1G2＝2HG2＝4r.

置 时,过P作l1的 垂 线, 垂
K2
足 为Q,过P作 平 面的
图3 8
垂 线, 垂 足 为K1 , 连 接K1Q, 得
RtPK1Q,则QPK1 .从 而 有PF1 PK1 cos 定 值.
PQ PQ
所以, 椭圆上任意一点到焦点F1的距离与到直
线l1的距离之比为定值cos .我们把直线l1叫做
的 点 的 轨 迹 叫 做 椭 圆.
1
2
图3 2
我们分析一下图3 22中的
D H
水平面的结构.如图3 3, 水平 G
面的图形可看成是以杯子
A E
Q F C
圆柱的母线为投影方向, 杯
P
口圆在水平面所在平面上的
射影.其中,点A的投影为点E, 点D的投影为F.显然EF AD.
椭圆的一条准 线. 同理, 椭圆上任意一点到焦点F2的距离与到直
线l2的距离之比也为定值cos .所以l2是椭圆的
另 一 条 准 线.
记e cos,我们把e叫做椭圆的离心率.
将 两 个 球 嵌 入 圆 柱 内, 使 它 们 分 别 位 于 斜 截 面 的 上 方 和 下 方,并 且 与 圆 柱 面 和 斜 截 面均 相 切, 这 是 证 明 定 理 的 关 键.这 种 方 法 是 数 学 家Dan dlin创 立 的, 故 将 嵌 入 的 双 球 称 为Dandlin双 球.
我们还是从特殊情况
开 始 探 究 这 种 关 系 .由 前 面 对 图3 5的 探 究
E l1 A Q
O1 K1
B

可 知, 对 于 椭 圆 的 长 轴
G1 F1
端 点G2 , 有
G2 F1 cos 定 值.

《平面与圆柱面的截线》平面与圆柱面的截线是本章重要内容， 对于学生的空间想象能力提出要求， 巧妙地利用 dan del in 双球证明定理的方法是学生应具备的能力、知识，本节内容对下一节平面与圆锥面的截线具有重要意义。

【知识与能力目标】1, 通过观察平面截圆柱面的情境，体会定理2, 利用dandelin 双球证明定理3, 通过探究，得出椭圆的准线和离心率【过程与方法目标】3、培养学生化归的思想、运动联系的观点。

【情感态度价值观目标】4、感受数学与生活的联系，获得积极的情感体验。

定理的证明、椭圆的准线和离心率的探究【教学难点】椭圆的准线和离心率的探究♦课前准备———多媒体课件、复习回顾♦教学重难点I . ---------------【教学重点】问题：圆柱的斜截面是什么形状？学生：椭圆二、知识探究AB CD是两个等圆的直径AB//CD,AD、BC与两圆相切。

作两圆的公切线EF,切点分别为F1、F2交BA DC的延长线与E、F,交AD于G1,交BC于G2。

设EF与BC CD的交角分别为与、问题1: G2F1 + G 2F2与AD有怎样的等式？学生：G2F1=G2B,G2F2=G2CG2F1+G2F2=G2B+G2C=BC=AD学生：又••• GG= G1F2+ F2GG1F2= G1D,F2G2=G2CG i G2= G1D+GC连接F1O1,F2O2, 容易证明△EF i O^A FF2Q••• EO=FQ问题2: AD的长与GG的长有怎样等式？问题3: G2F1的长与GE的长有怎样等式？（2）G1G2=AD（2）G1G2=AD将左图中的两个圆拓广为球面，将矩形ABCD看成是圆柱面的轴截面，将EB DF拓广为两个平面，EF拓广为平面得到右图你能猜想这个椭圆的两个焦点的位置吗？两个焦点为两个球与斜截面的切点上，过球心QQ2分别作斜截面的垂线，其垂足FiR 就可能是焦点。

问题：对截口上任一点P,证明PF i+PF>=定值学生：当P不在端点时，连接PF i、PF2,则PF1PF2分别是两个球面的切线，切点为F1F2, 过P作母线，与两球面分别相交于KK2,则PK,PK2分别是两球面的切线，切点为KK2, PF1=PK1PF2=PK2PF i+PF2=PK+PK=AD问题：对截口上任一点P,证明PF i+P氐定值圆柱面的斜截口是椭圆问题：点P在椭圆的任意位置PQL l,PK i丄AB能够得出什么结论？三、例题剖析例1、如图，AB CD是两个半径为2的等圆的直径，AB// CD AD BC与两圆相切，作两圆公切线EF,切点为F i, F2,交BA DC的延长线于E, F两点，交AD于G,交BC 于G，设EF与BC, CD的交角分别为, 0 .当B = 30 ° 时，贝V © = ___________学生：当0 = 30° 时，© = 90 ° - 30°= 60° .连接QG,在Rt△ QGC中，由已知及Q, F2, G, C四点共圆可求得/ GQC= 30° 例2、一平面与圆柱面的母线成45°角,平面与圆柱面的截线椭圆的长轴为6,则圆柱面的半径为_____________ ．学生：四、当堂检测1、已知圆柱面的半径为r = 6,截割平面B与母线所成的角为60求此截割面的两个焦球球心距离，并指出截线椭圆的长轴、短轴和离心率 e.2、已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦点球的球心距为12，求截面截圆柱所得的椭圆的长轴长、短轴长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角五、课堂检测通过本节课学习，请同学们说说掌握了哪些知识？略。

图3 8
也是确定的。这样，我们
就有理由猜想椭圆上的点与l1、l2有一定的关系。
我们还是从特殊情况
开始探究这种关系.由
前面对图 3 5 的探究 E l1 A
Q
可知，对于椭圆的长轴
G1
O1 K1
B
端点G 2，有
F1
G 2F1 G2E
cos
定值。
当点P在椭圆的任意位
置时，过P作l1的垂线，垂
P
下 面 我 们 探 究 椭 圆 的 性质 。
如图 3 8，设球O1、O2
与圆柱的交线圆所在
E l1 A Q
O1 K1
B
的平面分别为、，椭
G1 F1
圆所在的斜截面与它 们的交线分别为l1、l2， 、与 所成的二面角
P
F2
G2
D
O2
C
l2 F
为，母线与平面的交
K2
角为。由于、、 都 是确定的，因此交线l1、l2
平面与圆柱面的截线
一 、引入
给定一个平面,从一点A作平面 的垂 线，垂足为点A’。称点A'为点A在平面 上的正射影。一个图形上各点在平面
上的正射影所组成的图形，称为这个图
形在平面上的正射影 。
L
A
设直线l与平面 相交图 3 1，
称直线l的方向为投影方向。过
A’
点A作平行于l的直线( 称为投
影线 )必交于一点A',称A’为沿 l的方向在平面上的平行射影。
如图 3 4。
图3 4
二、新知探究
探究 如图 3 5，AB、CD是
两个等圆的直径 AB // CD ，
A E G1
O1
B
F1

2．如图乙所示，AB、CD是两个等圆的直径，AB∥CD， AD、BC与两圆相切，作两圆的公切线EF，切点分别为点F1、 F2，交BA、DC的延长线于点E、F，交AD于点G1，交BC于点 G2.设EF与BC、CD的交角分别为φ、θ.
图乙
图丙
(1)G2F1＋G2F2______AD.
(2)G1G2______AD. (3) G2F1 ______cos φ______sin θ.
AA 2 (2)所求截面为矩形 AA′B′B，面积等于 2 2 cm2. (3)点 O 到截面的距离即 OO′到截面的距离，也是点 O′ 到截面的距离为 2 cm.
2
的面积．
如果椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，求椭圆
解析：如图所示，设椭圆是由半径为 r 的圆柱面的斜截
面截得的，且斜截面与母线所成角为，则 b=r，a= r . sin
5．一平面与圆柱面的母线成45°角，平面与圆柱面的截
32
线椭圆的长轴为6，则圆柱面的半径为____2 __．
6．已知平面δ斜截一准线半径为r的圆柱面，轴线与平面δ
所成的角为α，求证：存在圆柱面的内切球与平面δ相切．
证明：作一平面δ∥平面α，且平面δ与平面α的距离等于
圆柱面准线的半径r，则平面δ与圆柱面的轴线相交于一点C. 以点C为圆心，r为半径作球，则球C(C，r)为圆柱面的
内切球． 过点C作CC′⊥平面δ，则C′∈δ，CC′＝r. 又∵球的半径为r， ∴C′在球面上． 又∵过球的半径的外端与半径垂直的平面与球只有唯一
公共点， ∴球C(C，r)与平面δ只有一个公共点． ∴球C(C，r)与平面相切． ∴存在圆柱面的内切球C(C，r)与平面δ相切
7.已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2 的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴，短轴和 离心率.

平面与圆柱面的截线
人教版高中数学选修四
Байду номын сангаас学重难点
重点：平面与圆柱面的斜截线是椭圆 难点：定理的探究及证明过程
教学过程
生活情景 数学猜想
探究过程 得出结论
如何证明？
猜想：平面与圆柱面的斜截线是椭圆
椭圆的定义：平面内与两个定点间的距离之和 等于定长的点的轨迹叫做椭圆
寻找定点
确定定长
寻找定点
2
焦点关于短轴对称
如图，把模型顺 时针旋180°
F2
F2 O2
O2
O1 F1
探究二：确定定长
定长
A O
P
B
定长
O1 K1
O2 K2
切线长定理的空间推广 所以平面与圆柱面的斜截线是椭圆
定理：
平面与圆柱面的斜截线是椭圆
谢
谢大
人教版高中数学选修四
家

正射影与平行射影
1.平行射影的特点 对于平行射影，如果投影方向不同，投影面不变，同一个图形 的平行射影的图形也将有所不同.
2.点的射影与图形的射影 图形是点的集合，图形的平行射影都是通过点的平行射影构成 的，所以研究图形的平行射影的形状的方法是寻找原图形中有 代表性的点的射影.
【典例训练】 1.下列说法正确的是( ) (A)正射影和平行射影是两种截然不同的射影 (B)投影线与投影平面有且只有一个交点 (C)投影方向可以平行于投影平面 (D)一个图形在某个平面的平行射影是唯一的
(2)圆锥曲线的几何性质 ①Dandelin球与平面π的切点是圆锥曲线的__焦_点____； ②Dandelin球和圆锥面的交线所在的平面与截面的交线是圆锥 曲线的__准__线___； ③cosβ与cosα的比值是圆锥曲线的__离__心__率___.
1.平行射影与正射影有什么区别和联系？ 提示：正射影与平行射影的投影光线与投影方向都是平行的.因 此，正射影也是平行射影.不同的是正射影的投影光线与投影面 垂直，而平行射影的投影光线与投影面斜交或垂直.平面圆形的 正射影与原投影面积大小相等，而一般图形的平行射影的面积 要小于原投影图形的面积.
作平面α的垂线，垂足为K1,连接K1Q,得Rt△PK1Q，则
∠QPK1=φ,从而有
PF1 PQ
PK1 PQ
=cos
φ＝定值，即椭圆上任
意一点到焦点F1的距离与到直线l1的距离之比是定值cos φ,
我们把直线l1叫做椭圆的一条准线，同理，l一性 椭圆为封闭图形，双曲线、抛物线为不封闭图形，其图形不一 样，但它们都可以用平面截对顶圆锥面得到，因此，椭圆、双 曲线、抛物线统称为圆锥曲线.它们都满足曲线上的点到焦点 的距离与到准线的距离之比为常数，即离心率e.当e＜1时，曲 线为椭圆；当e=1时，曲线为抛物线；当e＞1时，曲线为双曲 线.定义上的统一，必然也蕴含着图形上的统一.

内容一：平面与圆柱面的截线 a. 截线类型：平行、垂
02 直 、 倾 斜 b . 截 线 性 质 ： 长 度 、 角 度 、 面 积
a. 截线类型：平行、垂直、倾斜 b. 截线性质：长度、角度、面积
内容二：平面与圆锥面的截线 a. 截线类型：平行、垂
03 直 、 倾 斜 b . 截 线 性 质 ： 长 度 、 角 度 、 面 积
截线的性质
截线是平面与圆柱面、圆锥面的 交线
截线的形状取决于平面与圆柱面、 圆锥面的相对位置
添加标题
添加标题
截线可以是直线、曲线或点
添加标题
添加标题
截线的长度、方向和位置可以通 过几何关系计算得出
截线与圆柱面的关系
截线与圆柱面的切线：截线 与圆柱面相切时，会产生一 条切线。
截线与圆柱面的交点：截线 与圆柱面相交时，会产生一 个交点。
05
人教A选修(22)介绍
人教A选修(22)简介
教材名称：人教A选修(22) 教材内容：平面与圆柱面、圆锥面的截线 教材特点：理论与实践相结合，注重培养学生的动手能力和创新能力 教材适用范围：高中数学选修课程，适用于对数学有兴趣的学生
人教A选修(22)内容概述
平面与圆柱面、圆锥面的截线：介绍平面与圆柱面、圆锥面的截线及其性质 截线方程：介绍截线的方程及其求解方法 截线与平面、圆柱面、圆锥面的关系：介绍截线与平面、圆柱面、圆锥面的关系及其应用 截线与平面、圆柱面、圆锥面的交点：介绍截线与平面、圆柱面、圆锥面的交点及其性质
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平面与圆柱面、圆锥面的截线
,
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目 录
01 单 击 添 加 目 录 项 标 题
02 平 面 与 圆 柱 面 的 截 线

生活情景 数学猜想 探究过程 得出结论
情境引入
提出猜想
合作探究
获得新知
课堂小结
情境引入
提出猜想
合作探究
获得新知
课堂小结
情境引入
提出猜想
合作探究
获得新知
课堂小结
猜想：平面与圆柱面的斜截线是椭圆
平 面 与 圆 柱面 的 截 线
情境引入
提出猜想
合作探究
获得新知
课堂小结
如何 猜想：平面与圆柱面的斜截线是椭圆 证明 定点 定 ？ 椭圆的定义：平面内与两个定点间的距离之和等于
合作探究
获得新知
课堂小结
定理：平面与圆柱面的斜截线是椭圆
情境引入
提出猜想
合作探究
获得新知
课堂小结
方法：观察、实验、类比、转化。 文化：数学家Dandelin双切球实验。
定理：平面与圆柱面的斜截线是椭圆。
例题:一圆柱底面半径为4，截面与轴成30°角，从该截面上、下 放入圆柱的两个内切球，使它们都与截面相切，求这两个切点之 间的距离。
30°
作业布置
必做题：习题3.2
谢谢！
墨子，( 约前468～前376) 名翟，鲁人 ，一说 宋人， 战国初 期思想 家，政 治家， 教育家 ，先秦 堵子散 文代表 作家。 曾为宋 国大夫 。早年 接受儒 家教育 ，后聚 徒讲学 ，创立 与儒家 相对立 的墨家 学派。 主张 •兼 爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反 映了小 生产者 反对兼 并战争 ，要求 改善经 济地位 和社会 地A 完整地聆听歌曲。 B 提示：歌中唱出了哪些内容？你想 和小燕 子说什 么？ C 听歌曲《小燕子》分小组编创动作 。 D 随着复听歌曲的录音，分组表演 。 三 结束部分：小结。结束全课。 课题：表演《春天》 课时：１——２ 教学目标：１，通过演唱《小雨沙沙 》，引 导学生 细心地 观察事 物，启 迪学生 热爱大 自然。 ２，用柔和的声音演唱《布谷》 ，并和 《杜鹃 圆舞曲 》相比 较，说 出旋律 相似的 地方。 ３，能创编动作表现歌（乐）曲，准 确地唱 歌。 教学重点：用柔和的声音演唱歌曲。 教学难点：能创编动作表现歌曲。 教学准备：录音机，电子琴 教学内容及过程： 一 开始部分： １ 听音乐问好！ ２ 复习歌曲。 ３ 复习柯尔文手势。 二 基本部分： １、表演《布谷》 a 完整地感受歌曲的旋律，课题是学 生跟着 音乐拍 手、拍 腿，感 受歌曲 的节拍 。然后 听歌曲 录音， 用手指 点歌词 ，想一 想哪些 音长？ B 听歌曲的录音，分小组拉起手，听 第一段 歌曲向 左方向 走，听 第二段 歌曲向 右方向 走，第 三段反 之。让 学生在 充分感 受中记 住歌曲 的旋律 。 C 唱会歌曲后在自编动作边唱边表演 。 ２、表演《小雨沙沙》 a 完整地聆听范唱歌曲，使学生对歌 曲有初 步的感 受。 提示：注意听，是谁在说话，使 学生集 中听歌 曲。 B 再听范唱。 C 尽快用听长发学会歌曲，再试着 将“沙 沙沙” 轻轻配 入歌曲 演唱， 使歌曲 更有意 境。 D 分小组创编动作，边唱边表演。 三 结束部分： 小结。结束全课。 课题：编创与活动 课时：２——１ 教学目标： 通过一组多层次的节奏练习， 启发学 生对风 、雨的 感受， 提示学 生注意 观察生 活，观 察大自 然，积 累自己 的生活 常识。 教学重点：编创与活动 教学难点：编创与活动 教学准备：电子琴、录音机 教学内容及过程： 一、开始部分： １、听音乐问好！ ２、复习上节课内容。 ３、复习《小雨沙沙》。 二、基本部分： １、编创与活动： （１）这是一组多层次的节奏练习， 是配合 歌曲《 小雨沙 沙》及 教材主 题《春 天》安 排的。 （２）启发学生对风雨的感受，提示 学生注 意观察 生活， 观察大 自然， 积累自 己的生 活常识 。 （３）允许学生根据自己的体验，编 创其他 声音， 表现给 大家听 ，使学 生积极 动脑， 主动参 与。 （４）在分组设计更多的象声词，使 这组多 层次节 奏练习 更加生 动、形 象，千 万避免 声硬地 读，要 有感情 地朗读 。比一 比，哪 个小组 设计的 风雨声 更形象 、生动 、有趣 。 三、结束部分： 教师小结。 课题：放牧 课时；２——２ 教学目标： 通过聆听《牧童到哪里去了 》和《 牧童》 ，使学 生感受 牧童的 生活， 教育学 生热爱 生活， 理解牧 童生活 的变化 。 教学重点：聆听音乐，感受牧童生活 。 教学难点：理解音乐，理解牧童生活 的变化 。 教学准备；录音机 教学内容及过程：一、开始部分： １、听音乐起立问好，入座。 ２、复习歌曲《小雨沙沙》。 二、基本部分： １、导入。结合“放牧”主题让学生 开展短 小的谈 话，已 获得对 牧童生 活的感 受，更 好地理 解本课 作品。 ２、聆听《牧童》： （１）启发学生看插图，听录音范唱 ，初步 感受歌 曲。 （２）听着范唱录音，用手指着图谱 （羊） 轻轻地 跟唱。 提示学 生第三 段歌词 分别在 哪里？ 结束据 在哪里 ？ （３）能跟着老师的手势，完整准确 地演唱 歌曲。 ３、聆听《牧童到哪里去了》： （１）听前，猜一猜“牧童到哪里了 ”。 （２）教师完整地播放歌曲录音，学 生初听。歌中唱出的牧童到 哪里去 了？为 什么？ 渗透珍 惜学习 时光的 教育。 （３）学生可根据歌曲内容，分小组 ，分角 色创编 动作表 现歌曲 。 三、结束部分： 小结。 课题：《放牧》 课时：３——１ 教学目标： 在音乐实践中，准确有感情 地演唱 《牧童 》，并 试着在 歌曲中 加入三 角铁伴 奏，探 索三角 铁的敲 击方法 ，掌握 姿势， 能在《 放牛歌 》的间 奏加入 锣鼓镲 的伴奏 ，感受 为歌曲 伴奏的 愉快。 教学重点：准确有感情地演唱《牧童 》 教学难点：加入打击乐伴奏 教学准备：电子琴、录音机 教学内容及过程：一、开始部分： １、听音乐问好！ ２、复习上节课内容。 ３、复习柯尔文手势。 二、基本部分： １、导言： ２、表演《牧童》 （１）完整地聆听音乐录音。 （２）提示各种唱出了哪些内容？复 听歌曲 。 （３）随着录音轻轻敲击双响筒。 ３、编创与活动——双响筒的认识 ４、表演《放牛歌》 （１） 提示学生注意听觉与视觉相 结合。 （２）跟着歌曲录音，用听唱法学会 歌曲。 （３）提示学生，没有歌词的旋律时 间奏部 分，有 锣鼓镲 伴奏。 ５、编创与活动——认识三角铁 ６、编创与活动——锣鼓镲的创编 三、结束部分：位的愿望，他的 认识观 点是唯 物的。 但他一 方面批 判唯心 的宿命 论，一 方面又 提出同 样是唯 心的“ 天志” 说，认 为天有 意志， 并且相 信鬼神 。墨于 的学说 在当时 影响很 大，与 儒家并 称为 •显 学”。 《墨子》是先秦墨家著作，现存五 十三篇 ，其中 有墨子 自作的 ，有弟 子所记 的墨子 讲学辞 和语录 ，其中 也有后 期墨家 的作品 。《墨 子》是 我国论 辩性散 文的源 头，运 用譬喻 ，类比 、举例 ，推论 的论辩 方法进 行论政 ，逻辑 严密， 说理清 楚。语 言质朴 无华， 多用口 语，在 先秦堵 子散文 中占有 重要的 地位。解 析 引起污染的细菌可能是由接 种人员 未戴口 罩、接 种时说 话等引 起的， 真菌污 染可能 是植物 材料灭 菌不当 引起的 。为了 避免再 次污染 ，应先 将所有 被污染 的培养 瓶统一 放在高 压蒸汽 锅内进 行高压 蒸汽灭 菌，然 后再打 开培养 瓶，进 行清洗 。 解析 透析的原理是相对分子质量小 的物质 能透过 半透膜 ，相对 分子质 量大的 物质不 能透过 ，乙保 留在袋 内，甲 则不一 定保留 在袋内 ；凝胶 色谱柱 分离时 ，相对 分子质 量小的 物质路 程长、 移动慢 ；离心 时相对 分子质 量大的 物质先 沉淀， 戊沉淀 ，则乙 、丁、 丙均已 沉淀； 用 SDS －聚丙 烯酰胺 凝胶电 泳分离 蛋白质 时，电 泳迁移 率取决 于分子 大小。 公输，名盘，也作•“般��

圆锥曲线的性质
【例 3】 椭圆 C：ax22＋by22＝1(a>b>0)的两个焦点为 F1，F2， 点 P 在椭圆 C 上，且 PF1⊥F1F2，|PF1|＝43，|PF2|＝134.
(1)求椭圆 C 的标准方程； (2)若直线 l 过圆 x2＋y2＋4x－2y＝0 的圆心 M，且交椭圆 C 于 A，B 两点，且 A，B 两点关于点 M 对称，求直线 l 的方程．
【 解 析 】 (1) 依 题 意 ， 可 设 抛 物 线 C 的 标 准 方 程 为 y2 ＝ 2px(p>0)．
因为抛物线过定点A(2,2)，所以4＝4p⇒p＝1. 因此抛物线的标准方程为y2＝2x.
(2)由(1)可得焦点 F 的坐标为 F12，0， 又直线 OA 的斜率 kOA＝22－ －00＝1， 且所求直线 l 与直线 OA 垂直， 所以 kl＝－k1OA＝－1. 所以所求直线 l 的方程为 y－0＝－x－12，即 2x＋2y－1＝0.
3．圆锥曲线的几何性质
(1)焦点：Dandelin球与π平面的___切__点___；
(2)准线：__截__面____与Dandelin球和圆锥面的交线所在平面
的交线；
cos β
(3)离心率：e＝____c_o_s_α_______.
利用定理2求离心率
【例1】 一平面截圆锥的截线为椭圆，椭圆的长轴长为 8，长轴的两端点到顶点的距离分别是6和10，求椭圆的离心 率．
y－1＝kx＋2，
由x92＋y42＝1，
消去 y，得
(4 ＋ 9k2)x2 ＋ (36k2 ＋ 18k)x ＋ 36k2 ＋
36k－27＝0， 由韦达定理，得 x1＋x2＝－364k＋2＋9k128k.
因为 A，B 两点关于点 M(－2,1)对称， 所以x1＋2 x2＝－148＋k2＋9k92k＝－2，解得 k＝89. 经检验 k＝89符合题意． 所以直线 l 的方程为 y－1＝89(x＋2)， 即 8x－9y＋25＝0.

2 ∴截线椭圆的长轴长为8 3，短轴长为2r＝12，离心率e＝ cos60°＝12.
规律技巧 解答本题应熟悉截线椭圆的重要公式：设斜截
面与圆柱面的母线夹角为φ，圆柱面的半径为r，则截线椭圆的
长轴长2a＝
2r sinφ
，短轴长2b＝2r，离心率e＝cosφ
，焦距2c＝
2acosφ.
变式2 已知一圆柱面的半径为3，圆柱面的一截面的两焦 点球的球心距为12，求截面截圆柱所得的椭圆的长轴长、短轴 长、两焦点间的距离和截面与母线所夹的角．
a2＝b2＋c2，离心率e＝
c a
，准线方程为x＝±ac2
，椭圆的标准方
程为ax22＋by22＝1(a>b>0)．
(2)椭圆内切于矩形，且它是以x轴、y轴为对称轴的轴对称
图形，又是以原点为对称中心的对称图形．因此，画椭圆的图
形时，只要画出第一象限部分，利用对称性可画出其余部分．
2．平面与圆柱面的截线 定理1：圆柱形物体的斜截口是椭圆． 圆柱面的截割面的两侧各有一个焦球．若截割面是圆柱面 的直截面时，两焦球与直截面切于同一点，即截线圆的圆心， 若截割面是圆柱面的斜截面时，两焦球与斜截面的切点恰好是 截线椭圆的两个焦点，此时称两焦球为丹迪林(Dandelin)双 球．
1.AD AD cosφ sinθ 答
2.椭圆 案
3.长轴 短轴 焦距 2 a2－b2
思考探究1 用一个平行于圆柱的轴的平面截圆柱，截口 是什么？
提示 是矩形．如图，截口显然是矩形． 思考探究2 在一个圆柱体中你能用一个平面截出一个三 角形吗？能截出一个半圆吗？在什么条件下，你能截出一个正 方形？
解析 由2a＝6，知a＝3.
又e＝cos45°＝
22，∴ac＝

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: 其实兴趣真的那么重要吗？很多事情我 们提不 起兴趣 可能就 是运维 我们没 有做好 。想想 看，如 果一件 事情你 能做好 ，至少 做到比 大多数 人好， 你可能 没有办 法岁那 件事情 没有兴 趣。再 想想看 ，一个 刚来到 人世的 小孩， 白纸一 张，开 始什么 都不会 ，当然 对事情 开始的 时候也 没有 兴趣这 一说了 ，随着 年龄的 增长， 慢慢的 开始做 一些事 情，也 逐渐开 始对一 些事情 有兴趣 。通过 观察小 孩的兴 趣，我 们可以 发现一 个规律 ，往往 不是有 了兴趣 才能做 好，而 是做好 了才有 了兴趣 。人们 总是搞 错顺序 ，并对 错误豪 布知晓 。尽管 并不绝 对是这 样，但 大多数 事情都 需要熟 能生巧 。做得 多了， 自然就 擅长了 ；擅长 了，就 自然比 别人做 得好； 做得比 别人好 ，兴趣 就大起 来，而 后就更 喜欢做 ，更擅 长，更 。。更 良性循 环。教 育小孩 也是如 此，并 不是说 买来一 架钢琴 ，或者 买本书 给孩子 就可以 。事实 上，要 花更多 的时间 根据孩 子的情 况，选 出孩子 最可能 比别人 做得好 的事情 ，然后 挤破脑 袋想出 来怎样 能让孩 子学会 并做到 很好， 比一般 人更好 ，做到 比谁都 好，然 后兴趣 就自然 出现了 。
PF1+PF2=PK1+PK2=AD
知识要 点
定理1
圆柱形物体的斜截口是椭圆.
椭圆中的参数定义：
焦点 F1、F2 B1B2是F1F2的中垂线
长轴 A1A2
2a
短轴 B1B2 焦距 F1F2
2b
2c a2 b2
l1,l2与椭圆上的点有什么关系?
特殊点G2
G2F1 cos 定值
G2 E

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2
任务3-2 截交线、相贯线的分析与求作
2、平面与回转体相交
截交线
截平面
截平面
截交线
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3
截交线的性质：
截交线
截平面
截平面
截交线
截交线都是封闭的平面图形。 截交线是截平面与回p转pt课件体表面的共有线。 4
求平面与回转体的截交线的一般步骤
（1）空间及投影分析
☆ 分析回转体的形状以及截平面与回转体轴线 的相对位置，以便确定截交线的形状。
1、分析； 2、先补没有切割前完整圆柱体左视图；
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ห้องสมุดไป่ตู้
例5：完成曲面体的三面投影图（习题集P38）
1、分析； 2、先补没有切割前完整圆柱体左视图； 3、再画切割的部分的投影；
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例5：完成曲面体的三面投影图（习题集P38）
1、分析； 2、先补没有切割前完整圆柱体左视图； 3、再画切割的部分的投影；
☆ 分析截平面与投影面的相对位置，明确截交 线的投影特性，如积聚性、类似性等。找出 截交线的已知投影，预见未知投影。
（2）画出截交线的投影
当截交线的投影为非圆曲线时，其作图步骤为：
☆ 先找特殊点，补充中间点。
☆ 将各点光滑地连接起来，并判断截交线的可 见性。
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1）、平面与圆柱体相交
截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截 平面与圆柱轴线的相对位置
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例5：完成曲面体的三面投影图（习题集P38）
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作业
习题集P38、39
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比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影。