平面与圆柱面的截线

预习导航请沿着以下脉络预习：1．圆柱形物体的斜截口是椭圆．2．如图，椭圆中，F 1、F 2是焦点，B 1B 2是F 1F 2的中垂线，则A 1A 2叫做椭圆的长轴，B 1B 2叫做椭圆的短轴，F 1F 2叫做椭圆的焦距．若长轴为2a ，短轴为2b ，则焦距2c ＝2a 2－b 2.3．椭圆上任一点到焦点F 1的距离与到直线l 1的距离之比为定值cos φ，则直线l 1叫做椭圆的一条准线．4．若e ＝cos φ，则e 叫做椭圆的离心率．1．如果椭圆的两个焦点将长轴分成三等份，那么，这个椭圆的两准线间的距离是焦距的( )．A ．9倍B ．4倍C ．12倍D ．18倍答案：A解析：设椭圆的长轴长，短轴长，焦距分别为2a,2b,2c ，由已知，得2a 3＝2c ，即a ＝3c ， ∴两准线间的距离为2a 2c ＝18c 2c＝18C ． 2．下列说法不正确的是( )．A ．圆柱面的母线与轴线平行B ．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C ．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D ．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径答案：D解析：显然A 正确，由于任一轴面过轴线，故轴面与圆柱的直截面垂直，B 正确，C 显然正确，D 中短轴长应为圆柱面的直径长，故不正确．3．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为12，则Dandelin 球的半径是__________． 答案： 3解析：由题意知⎩⎨⎧ a 2c ＝4，c a ＝12，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，c ＝1， ∴b ＝a 2－c 2＝ 3.∴Dandelin 球的半径为 3.4．已知平面α与一圆柱的底面成60°角，则该平面与圆柱截口图形的离心率是__________． 答案：32解析：平面与圆柱面截口图形为椭圆，其离心率e ＝sin 60°＝32. 5．已知一平面截圆柱面所得的截口椭圆的离心率为35，长轴长是20，求该圆柱的底面圆半径．解：设该椭圆半焦距为c ，短半轴长为b ，长半轴长为a ，则a ＝10，e ＝c a ＝35.∴c ＝35×10＝6. ∴圆柱的底面圆半径r ＝b ＝a 2－c 2＝102－62＝8.。

高一数学试题答案及解析1.工人师傅在如图1的一块矩形铁皮上画一条曲线，沿曲线剪开，将所得到的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．工人师傅所画的曲线是（）A．一段圆弧B．一段抛物线C．一段双曲线D．一段正弦曲线【答案】D【解析】利用平面图分析曲线的对称性，即可得出结论．解：将图2剪开展成平面图分析可知，曲线为轴对称图形，将图3剪开展成平面图分析可知，曲线也为中心对称图形．所以此曲线即为轴对称图形又为中心对称图形，故只有D正确．故选：D．点评：本题考查平面与圆柱面的截线，考查函数的对称性和奇偶性，比较基础．2.（2014•安徽模拟）如图，一个底面半径为R的圆柱被与其底面所成角为θ（00＜θ＜900）的平面所截，截面是一个椭圆．当θ为30°时，这个椭圆的离心率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用已知条件，求出题意的长半轴，短半轴，然后求出半焦距，即可求出题意的离心率．解：因为底面半径为R的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的短半轴为：R，长半轴为：=，∵a2=b2+c2，∴c=，∴椭圆的离心率为：e==．故选：A．点评：本题考查椭圆离心率的求法，注意椭圆的几何量与双曲线的几何量（a，b，c）关系的正确应用，考查计算能力．3.底面直径为12cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，截口是一个椭圆，该椭圆的长轴长，短轴长，离心率为．【答案】8cm，12cm，【解析】根据平面与圆柱面的截线及椭圆的性质，可得圆柱的底面直径为12cm，截面与底面成30°，根据截面所得椭圆长轴、短轴与圆柱直径的关系，我们易求出椭圆的长轴长和短轴长，进而得到椭圆的离心率．解：∵圆柱的底面直径d为12cm，截面与底面成30°∴椭圆的短轴长2b=d=12cm椭圆的长轴长2a==8cm根据得，椭圆的半焦距长C=2cm则椭圆的离心率e===故答案为：8cm，12cm，点评：若与底面夹角为θ平面α截底面直径为d圆柱，则得到的截面必要椭圆，且椭圆的短轴长等于圆柱的底面直径，长轴长等于．4.工人师傅在如图1的一块矩形铁皮的中间画了一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．对工人师傅所画的曲线，有如下说法：（1）是一段抛物线；（2）是一段双曲线；（3）是一段正弦曲线；（4）是一段余弦曲线；（5）是一段圆弧．则正确的说法序号是．【答案】③④【解析】利用平面图分析曲线的对称性，即可得出结论．解：将图2剪开展成平面图分析可知，曲线为轴对称图形，将图3剪开展成平面图分析可知，曲线也为中心对称图形．所以此曲线即为轴对称图形又为中心对称图形，故只有③④正确．故答案为：③④．点评：本题考查平面与圆柱面的截线，考查函数的对称性和奇偶性，比较基础．5.平行投影与中心投影之间的区别是．【答案】平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线交于一点【解析】平行投影与中心投影之间的区别是平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线交于一点．主要从形成投影的光线来比较两者的区别．解：平行投影与中心投影之间的区别是平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线交于一点，故答案为：平行投影的投影线互相平行，而中心投影的投影线交于一点点评：本题考查平行投影和中心投影，是一个概念性问题，这种问题不用运算，只要理解两种投影形成的不同之处就可以．6.如图，PA、PB、DE分别与⊙O相切，若∠P=40°，则∠DOE等于（）度．A.40B.50C.70D.80【答案】C【解析】连接OA、OB、OP，由切线的性质得∠AOB=140°，再由切线长定理求得∠DOE的度数．解：连接OA、OB、OP，∵∠P=40°，∴∠AOB=140°，∵PA、PB、DE分别与⊙O相切，∴∠AOD=∠POD，∠BOE=∠POE，∴∠DOE=∠AOB=×140°=70°．故选C．点评：本题考查了弦切角定理和切线长定理，是基础知识，要熟练掌握．7.如图，△ABC内接于圆⊙O，CT切⊙O于C，∠ABC=100°，∠BCT=40°，则∠AOB=（）A．30°B．40°C．80°D．70°【答案】C【解析】由圆周角定理知，欲求∠AOB，需求出∠ACB的度数；在△ABC中，已知∠ABC的度数，而根据弦切角定理，可得出∠CAB的度数；再，由三角形内角和定理，可求出∠ACB的度数，由此得解．解：∵CT切⊙O于C∴∠BAC=∠BCT=40°；在△ABC中，∠BAC=40°，∠ABC=100°，∴∠ACB=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=180°﹣40°﹣100°=40°，∴∠AOB=2∠ACB=2×40°=80°．故选C．点评：此题考查的是三角形的内角和定理、圆周角角及弦切角定理，是中学阶段的基本题目．8.如图所示，圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3过C作圆的切线l，过A作l的垂线AD，垂足为D，则∠DAC=（）A．15°B．30°C．45°D．60°【答案】B【解析】根据所给的圆的直径和BC的长，得到三角形的一个锐角是30°，根据同弧所对的圆周角等于弦切角，得到另一个直角三角形的角的度数，即为所求．解：∵圆O的直径AB=6，C为圆周上一点，BC=3∴∠BAC=30°，∠B=60°，∵过C作圆的切线l∴∠B=∠ACD=60°，∵过A作l的垂线AD，垂足为D∴∠DAC=30°，故选B．点评：本题考查弦切角，本题解题的关键是同弧所对的圆周角和弦切角相等和含有30°角的直角三角形的应用，本题是一个基础题．9.（2010•崇文区一模）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么点P与O间的距离是（）A.16B.20C.D.【答案】C【解析】作辅助线，连接OA，OP，根据切线长定理可知：∠OPA=∠APB，由PA与⊙O相切，可知：OA⊥AP，根据已知条件可将OP的长求出．解：连接OA，OP∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB=60°，∴∠OPA=∠APB=30°，OA⊥OP，∴OP===，∴点P与O间的距离是．故选C．点评：本题主要考查切线长和特殊三角函数值的运用和计算．属于基础题．10.（2014•咸阳一模）（选修4﹣1 几何证明选讲）如图，两个等圆⊙O与⊙O′外切，过O作⊙O′的两条切线OA，OB，A，B是切点，点C在圆O′上且不与点A，B重合，则∠ACB= ．【答案】60°【解析】连接OO′，AO′，B0′，设圆的半径为r，根据切线的性质可得AO′⊥AO，BO′⊥BO，由两圆相外切可得，OO′=2r，AO′=BO′=r，从而有∠AOO′=∠BOO′=30°，∠AO′B=2×60°=120°，由圆周角定理可得，可求解：连接OO′，AO′，B0′，设圆的半径为r根据切线的性质可得AO′⊥AO，BO′⊥BO由两圆相外切可得，OO′=2r，AO′=BO′=r∴∠AOO′=∠BOO′=30°，∠AO′B=2×60°=120°由圆周角定理可得，=60°故答案为：60°点评：本题主要考查了圆的切线的性质、两圆相外切的性质、圆周角定理的综合应用，解题的关键是发现，（圆周角定理）．11.（2014•海珠区一模）如图，过圆O外一点P分别作圆的切线和割线交圆于A，B，且PB=9，C是圆上一点使得BC=4，∠BAC=∠APB，则AB= ．【答案】6【解析】根据同弧所对的圆周角与弦切角相等，得到∠C=∠BAP，根据所给的两个角相等，得到两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例，得到比例式，代入已知的长度，求出结果．解：∵∠BAC=∠APB，∠C=∠BAP，∴△PAB∽△ACB，∴∴AB2=PB•BC=9×4=36，∴AB=6，故答案为：6．点评：本题考查圆的切线的性质的应用，考查同弧所对的圆周角等于弦切角，考查三角形相似的判断和性质，本题是一个综合题目．12.（2014•泸州三模）在△ABC中，O是其外接圆的圆心，其两条中线的交点是G，两条高线的交点是H，设OG=λGH，则λ的值为．【答案】【解析】取特殊值，假设△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，由重心性质得OG=GH，又OG=λGH，所以λ=．解：取特殊值，假设△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，如图，AC边的中点O是其外接圆的圆心，两条中线BO，AD交于点G，则G是△ABC的重心，两条高线AB，CB交于H，H与B重合，则由重心性质得OG=GH，又OG=λGH，所以λ=．故答案为：．点评：本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意特殊值法的合理运用．13.（2012•和平区模拟）如图，已知AB为圆O的直径，AC与圆O相切于点A，CE∥AB交圆O于D、E两点，若AB=6，BE=2，则线段CD的长为．【答案】【解析】设CD=x，则CE=6﹣x，利用切割线定理和勾股定理即可得出AD，再利用同圆的等弧所对的弦相等即可得出．解：设CD=x，则CE=6﹣x．∵AC与圆O相切于点A，∴AC⊥AB，AC2=CD•CE=x（6﹣x）．∴AD2=AC2+CD2=6x．∵CE∥AB，∴AD=BE，∴6x=4，∴x=．故答案为：．点评：熟练掌握矩形和圆的性质、切割线定理和勾股定理、同圆的等弧所对的弦相等是解题的关键．14.如图所示，l1∥l2∥l3，下列比例式正确的是（）A．=B．=C．=D．=【答案】D【解析】根据平行线分线段成比例定理得出相应的线段对应成比例，进而逐一判断四个答案的正误，可得答案．解：∵直线l1∥l2∥l3，∴=，故A错误；=，故B错误；=，故C错误；=，故D正确；故选：D点评：本题考查了平行线分线段成比例定理，注意：一组平行线截两条直线，所截的线段对应成比例．15.如图，在梯形ABCD中，AB∥CD∥EF，若AB=5，CD=2，EF=4，则梯形ABFE与梯形EFDC的面积比是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】过D作DG∥BC交AB于G，交EF于H，根据平行四边形的性质先求出BG=FH=CD，从而得到EH，AG的长，再根据平行线分线段成比例定理可求出梯形ABFE与梯形EFDC的高的比，即可求出梯形ABFE与梯形EFDC的面积比．解：过D作DG∥BC交AB于G，交EF于H．则BG=FH=CD=2，∴EH=EF﹣FH=2，AG=3，∵AB∥EF，∴DE：AE=2：1，∴梯形ABFE与梯形EFDC的高的比为1：2，∴梯形ABFE与梯形EFDC的面积比是=故选：D．点评：本题考查平行线分线段成比例定理，考查梯形的面积公式是一个基础题，解题的时候容易出的一个错误是把两个梯形看成相似梯形，根据相似多边形的面积之比等于相似比的平方．16.（2011•宝山区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD相交于O，记△BCO、△CDO、△ADO的面积分别为S1、S2、S3，则的取值范围是．【答案】（2，+∞）【解析】根据三角形相似的引理，我们易判断△AOD∽△COB，然后根据三角形相似的性质得到对应边成比例，而根据同高的两个三角形面积之比等于底边长之比，结合基本不等式即可求出的取值范围．解：∵AD∥BC，∴△AOD∽△COB∴∴==≥2=2当且仅当时，即BO=DO时，即O为BD中点时取等；又∵四边形ABCD为梯形，故O不可能为BD的中点，故＞2即的取值范围（2，+∞）故答案为：（2，+∞）点评：本题考查的知识点是相似三角形的判定及基本不等式，其中根据梯形的性质，判断O不可能为BD的中点易被忽略而错解为[2，+∞）17.（2010•广东）如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB=AD=a，CD=，点E，F分别为线段AB，AD的中点，则EF=．【答案】【解析】要求EF的长，关键是关键是构造一个三角形，使EF位于该三角形，解三角形即可求解：解：连接DE，∵四边形ABCD为直角梯形，AB=AD=a，CD=，CB⊥AB，点E，F分别为线段AB，AD的中点∴△AED为直角三角形．则EF是RT△AED斜边上的中线，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得，EF=DE=AB=．故答案为：点评：连接DE，构造含有线段EF的直角三角形是解答本题的关键，由此可得，解决平面几何的求值和证明问题，辅助线的添加是基础．18.如图，矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6，折叠纸片使AD边与对角线BD重合，点A在BD上的落点为点A′，折痕为DG，则AG的长为．【答案】3【解析】根据勾股定理可得BD=5，由折叠的性质可得△ADG≌△A'DG，则A'D=AD=6，A'G=AG，则A'B=10﹣6=4，在Rt△A'BG中根据勾股定理求AG的即可．解：在Rt△ABD中，AB=8，AD=BC=6，∴BD=10，由折叠的性质可得，△ADG≌△A'DG，∴A'D=AD=6，A'G=AG，∴A'B=BD﹣A'D=10﹣6=4，设AG=x，则A'G=AG=x，BG=8﹣x，在Rt△A'BG中，x2+42=（8﹣x）2解得x=3，即AG=3．故答案为：3．点评：此题主要考查折叠的性质，综合利用了勾股定理的知识．认真分析图中各条线段的关系，也是解题的关键．19.（2009•广州二模）如图所示，在四边形ABCD中，EF∥BC，FG∥AD，则= ．【答案】1【解析】根据两条直线平行，得到平行线所截的对应线段成比例，得到两个比例式，把要求的两个比值的变化为同一条直线上的线段之间的关系，合并同类项得到一个分子和分母相等的分式，得到结果．解：∵EF∥BC，∴∵FG∥AD，∴，∴==故答案为：1点评：本题考查平行线等分线段定理，考查等量代换，考查分式的整理方法，是一个基础题，这种题目是几何证明中的典型题．20.若直线m被两平行线l1：x﹣y+1=0与l2：x﹣y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是①15°②30°③45°④60°⑤75°其中正确答案的序号是（写出所有正确答案的序号）【答案】①或⑤【解析】先求两平行线间的距离，结合题意直线m被两平行线l1与l2所截得的线段的长为，求出直线m与l1的夹角为30°，推出结果．解：两平行线间的距离为，由图知直线m与l1的夹角为30°，l1的倾斜角为45°，所以直线m的倾斜角等于30°+45°=75°或45°﹣30°=15°．故填写①或⑤故答案为：①或⑤点评：本题考查直线的斜率、直线的倾斜角，两条平行线间的距离，考查数形结合的思想．。

教材习题点拨探究1解：由教材图35，根据切线长定理有G 2F 1＝G 2B ，G 2F 2＝G 2C ，于是G 2F 1＋G 2F 2＝G 2B ＋G 2C ＝BC ＝AD .又∵G 1G 2＝G 1F 2＋F 2G 2，由切线长定理知G 1F 2＝G 1D ，F 2G 2＝G 2C ，∴G 1G 2＝G 1D ＋G 2C .连接F 1O 1，F 2O 2，容易证明△EF 1O 1≌△FF 2O 2.∴EO 1＝FO 2.又∵O 1A ＝O 2C ，∴EA ＝FC .于是可证得△FCG 2≌△EAG 1.∴G 1A ＝G 2C .∴G 1G 2＝G 1D ＋G 1A ＝AD .在Rt △G 2EB 中，cos φ＝G 2B G 2E ＝G 2F 1G 2E， ∴G 2F 1＝G 2E cos φ.又∵φ＝90°－θ，∴G 2F 1＝G 2E cos φ＝G 2E sin θ.由此得到结论：(1)G 2F 1＋G 2F 2＝AD ；(2)G 1G 2＝AD ；(3)G 2F 1G 2E＝cos φ＝sin θ. 思考解：猜想，两个焦点可能在两个球与斜截面的切点上，即过球心O 1，O 2分别作斜截面的垂线，其垂足F 1，F 2就可能是焦点．探究2解：当点P 与G 2重合时，有G 2F 1＋G 2F 2＝AD .当点P 不在端点时，连接PF 1，PF 2，则PF 1，PF 2分别是两个球面的切线，切点为F 1，F 2.过P 作母线，与两球面分别相交于K 1，K 2，则PK 1，PK 2分别是两球面的切线，切点为K 1，K 2.根据切线长定理的空间推广，知PF 1＝PK 1，PF 2＝PK 2，所以PF 1＋PF 2＝PK 1＋PK 2＝AD .由于AD 为定值，故点P 的轨迹是椭圆．习题3.2图(1)图(2)证明：图(1)的轴截面如图(2)所示．∵F 1F 2＝2c ，G 1G 2＝2a ，∴G 2B ＝G 2F 1＝a ＋c ，G 1A ＝G 1F 1＝a －c .∵△EAG 1∽△EBG 2， ∴EG 1EG 2＝G 1A G 2B ，即EG 1EG 1＋2a ＝a －c a ＋c，解得EG 1＝a (a －c )c . ∵在Rt △PK 1Q 中，∠K 1PQ ＝φ，∴cos φ＝PK 1PQ ＝PF 1PQ. 又∵在Rt △G 2BE 中，∠BG 2E ＝φ，∴cos φ＝G 2B EG 2. ∴PF 1PQ ＝G 2B EG 2＝a ＋c a (a －c )c＋2a ＝c a ， 即P 到F 1的距离PF 1与到l 1的距离PQ 之比等于c a.。

湘教版选修4《平面和圆柱面的截线》评课稿导言本文是对湘教版选修4《平面和圆柱面的截线》课程进行评课的文稿。

评课的目的是对该课程的教学内容、教学方法、教学效果等各个方面进行细致的分析和评价，以期对教学过程进行合理的改进和优化，提高学生的学习效果和兴趣。

一、课程概述湘教版选修4《平面和圆柱面的截线》是一门高中数学选修课程，主要内容是探究平面和圆柱面的截线性质和应用。

通过本门课程的学习，学生可以深入了解平面和圆柱面的截线的数学性质，并将其运用到实际问题中去。

二、教学目标在湘教版选修4《平面和圆柱面的截线》课程中，教学目标主要包括：1.理解平面和圆柱面的截线的概念和性质；2.能够掌握计算平面和圆柱面的截线的方法；3.学会应用截线的性质解决现实问题；4.培养学生的数学思维和推理能力。

三、教学内容湘教版选修4《平面和圆柱面的截线》课程的教学内容包括以下几个方面：1.平面和圆柱面的基本概念介绍；2.平面和圆柱面的截线性质和特点；3.计算平面和圆柱面的截线；4.截线在几何问题中的应用。

四、教学方法在湘教版选修4《平面和圆柱面的截线》课程的教学过程中，可以采用以下教学方法：1.讲授法：通过讲解基本概念、截线性质和计算方法，引导学生对知识点的理解和掌握；2.演示法：通过实际的几何图形演示，展示平面和圆柱面的截线性质和特点，增加学生的直观感受；3.实践操作：设计一些实际的应用问题，让学生通过实践操作，巩固和应用所学内容；4.小组讨论：设置小组讨论环节，让学生在小组内进行交流和合作，提高学生的思维能力和团队合作精神。

五、教学设计为了达到教学目标，可以设计以下教学环节和内容：1. 导入部分通过引入一个生活实例，如“修建隧道时如何计算隧道截面的形状”，激发学生对截线问题的兴趣，引导学生思考和探索。

2. 知识讲解首先，通过讲解基本概念和定义，如平面、圆柱面和截线等，让学生对课程内容有一个初步的认识和理解。

然后，针对截线的性质和特点，以及计算截线的方法，进行详细的讲解和演示。

平面与圆柱面的截线
【教学目标】
1．知识与内容：
（1）通过观察平面截圆锥面的情境，体会定理1 （2）利用Dandelin 双球证明定理1
（3）通过探究，得出椭圆的准线和离心率，加深对椭圆结构的理解 2．过程与方法：
利用现代计算机技术，动态地展现Dandelin 两球的方法，帮助学生利用几何直观进行思维，培养学生的几何直观能力，重视直觉的培养和训练，直觉用于发现，逻辑用于证明。

3．情感态度价值观：
通过亲历发现的过程，提高对图形认识能力，重视合情推理和演绎推理的启发、应用和培养，让学生辩证地观察、分析问题。

【教学重难点】
重点：定理1的证明；椭圆准线和离心率的探究 难点：椭圆准线和离心率的探究
【教学准备】
模型
【教学方法】
探究 讨论
【教学过程】
1．平面与圆柱面的截线
探究讨论：如图，AB ，CD 是两个等圆的直径，AB//CD ，AD 、BC 均与两圆相切。

作公切线EF ，切点分别为F 1和F 2 ，交BA ，DC 的延长线与E ，F ，交AD 于G 1 ，交BC 于G 2 ，设EF 与BC ，CD 的交角分别为φ，θ。

AD )1(2212=+F G F G 21G G AD )2(=
定理1．圆柱形物体的斜截口是椭圆。

课后小结
1
G 2。

平面与圆柱面的截线（北京习题集）（教师版）一．选择题（共4小题）1．（2008•崇文区二模）若半径为1的球与120︒的二面角的两个半平面切于M、N两点，则两切点间的球面距离是( )A．43πB．πC．23πD．3π2．（2017秋•朝阳区期末）如图，PAD∆为等边三角形，四边形ABCD为正方形，平面PAD⊥平面ABCD．若点M 为平面ABCD内的一个动点，且满足MP MC=，则点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为()A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段3．（2015秋•大兴区期末）若直线//a平面α，直线bα⊂，a b⊥，则在平面α内到直线a和直线b距离相等的点的轨迹是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线4．（2013秋•大兴区期末）工人师傅在如图1的一块矩形铁皮上画一条曲线，沿曲线剪开，将所得到的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．工人师傅所画的曲线是()A．一段圆弧B．一段抛物线C．一段双曲线D．一段正弦曲线二．填空题（共3小题）5．（2006秋•东城区期末）已知棱长等于2的正四面体的四个顶点在同一个球面上，则球的半径长为，球的表面积为．6．（2013秋•大兴区期末）工人师傅在如图1的一块矩形铁皮的中间画了一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．对工人师傅所画的曲线，有如下说法：（1）是一段抛物线；（2）是一段双曲线；（3）是一段正弦曲线；（4）是一段余弦曲线；（5）是一段圆弧．则正确的说法序号是．7．（2003•北京）如图，已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是．平面与圆柱面的截线（北京习题集）（教师版）参考答案与试题解析一．选择题（共4小题）1．（2008•崇文区二模）若半径为1的球与120︒的二面角的两个半平面切于M 、N 两点，则两切点间的球面距离是()A ．43πB ．πC ．23πD ．3π 【分析】画出图形，圆O 是球的一个大圆，MAN ∠是二面角的平面角，AM 、AN 是圆O 的切线，欲求两切点间的球面距离即求圆O 中劣弧MN 的长，将立体几何问题转化为平面几何问题解决．【解答】解：画出图形，如图，在四边形OMNA 中，AM 、AN 是球的大圆的切线，AM OM ∴⊥，AN ON ⊥，12060MAN MON ∠=︒∴∠=︒∴两切点间的球面距离是33MN OM ππ=⨯=．故选：D ．【点评】空间几何体的主要元素往往集中在某一特征截面上，这个特征截面是一个平面图，从而将立体几何问题转化为平面几何问题．从特征截面入手加以剖析，实现转化是解题的关键．2．（2017秋•朝阳区期末）如图，PAD ∆为等边三角形，四边形ABCD 为正方形，平面PAD ⊥平面ABCD ．若点M为平面ABCD 内的一个动点，且满足MP MC =，则点M 在正方形ABCD 及其内部的轨迹为( )A．椭圆的一部分B．双曲线的一部分C．一段圆弧D．一条线段【分析】在空间中，过线段PC中点，且垂直线段PC的平面上的点到P，C两点的距离相等，此平面与平面ABCD 相交，两平面有一条公共直线．【解答】解：在空间中，存在过线段PC中点且垂直线段PC的平面，平面上点到P，C两点的距离相等，记此平面为α平面α与平面ABCD有一个公共点，则它们有且只有一条过该点的公共直线．故点M在正方形ABCD及其内部的轨迹为一条线段．故选：D．【点评】本题是轨迹问题与空间线面关系相结合的题目，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．3．（2015秋•大兴区期末）若直线//⊥，则在平面α内到直线a和直线b距离相等的点的a平面α，直线bα⊂，a b轨迹是()A．圆B．抛物线C．椭圆D．双曲线【分析】设a到α距离为d，在α内的射影为c，则在α内以b为x轴，c为y轴建立坐标系．设(,)P x y，根据平面α内的动点P到b与到a的距离相等，即可得出．【解答】解：设a到α距离为d，在α内的射影为c，则在α内以b为x轴，c为y轴建立坐标系．设(,)P x y，则平面α内的动点P到b的距离与到a的距离相等，22∴=+||y x d222∴-=，y x d∴点P的轨迹是双曲线．故选：D．【点评】本题考查了双曲线的标准方程及其性质、两点之间的距离公式、空间线面位置关系，考查了推理能力，属于中档题．4．（2013秋•大兴区期末）工人师傅在如图1的一块矩形铁皮上画一条曲线，沿曲线剪开，将所得到的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．工人师傅所画的曲线是()A．一段圆弧B．一段抛物线C．一段双曲线D．一段正弦曲线【分析】利用平面图分析曲线的对称性，即可得出结论．【解答】解：将图2剪开展成平面图分析可知，曲线为轴对称图形，将图3剪开展成平面图分析可知，曲线也为中心对称图形．所以此曲线即为轴对称图形又为中心对称图形，故只有D正确．故选：D．【点评】本题考查平面与圆柱面的截线，考查函数的对称性和奇偶性，比较基础．二．填空题（共3小题）5．（2006秋•东城区期末）已知棱长等于2的正四面体的四个顶点在同一个球面上，则球的半径长为6，球的表面积为．【分析】将正四面体补成正方体，再将正方体放在一个球体中，利用它们之间的关系求解．【解答】解：如图，将正四面体补形成一个正方体，正四面体为2，∴2又球的直径是正方体的对角线，设球半径是R，2236R∴==6R∴=，球的表面积为6π．故填：62；6π． 【点评】巧妙构造正方体，利用正方体的外接球的直径为正方体的对角线，从而将问题巧妙转化．若已知正四面体V ABC -的棱长为a ，求外接球的半径，我们可以构造出一个球的内接正方体，再应用对角线长等于球的直径可求得．6．（2013秋•大兴区期末）工人师傅在如图1的一块矩形铁皮的中间画了一条曲线，并沿曲线剪开，将所得的两部分卷成圆柱状，如图2，然后将其对接，可做成一个直角的“拐脖”，如图3．对工人师傅所画的曲线，有如下说法：（1）是一段抛物线；（2）是一段双曲线；（3）是一段正弦曲线；（4）是一段余弦曲线；（5）是一段圆弧．则正确的说法序号是 ③④ ．【分析】利用平面图分析曲线的对称性，即可得出结论．【解答】解：将图2剪开展成平面图分析可知，曲线为轴对称图形，将图3剪开展成平面图分析可知，曲线也为中心对称图形．所以此曲线即为轴对称图形又为中心对称图形，故只有③④正确．故答案为：③④．【点评】本题考查平面与圆柱面的截线，考查函数的对称性和奇偶性，比较基础．7．（2003•北京）如图，已知底面半径为r 的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a ，最小值为b ，那么圆柱被截后剩下部分的体积是 21()2r a b π+ ．【分析】用补形法：两个相同的几何体，倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体．求出总体积的一半即可．【解答】解：取两个相同的几何体，倒立一个，对应合缝，恰好形成一个圆柱体．所求几何体的体积：2211()()22r a b r a b ππ⨯⨯+=+故答案为：21()2r a b π+ 【点评】本题考查几何体的体积，考查转化思想，是基础题．。