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命题及其关系知识集结知识元四种命题知识讲解1．四种命题【知识点的认识】一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．【解题方法点拨】理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相结合．【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点可与高中数学中多处的考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题．例题精讲四种命题例1.（2018秋∙湘潭期末）命题“若x≥1，则2x-1≥1”的逆命题为（）A．若x<1，则2x-1≥1B．若2x-1<1，则x<1C．若x≥1，则2x-1<1D．若2x-1≥1，则x≥1【解析】题干解析:命题“若x≥1，则2x-1≥1”，它的逆命题为“若2x-1≥1，则x≥1”。
例2.（2018秋∙南关区校级期末）若原命题是“若x=-1，则x2-x-2=0”则它逆命题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】题干解析:由x2-x-2=0得x=-1或x=2，即原命题为真命题，则逆否命题为真命题，命题的逆命题饿、为若x2-x-2=0，则x=-1为假命题．，则命题的否命题为假命题，故逆命题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是1个，例3.（2018秋∙新乡期末）命题“若a2=b2，则|a|=|b|”的逆命题为（）A．若a2=b2，则|a|≠|b|B．若a2≠b2，则|a|≠|b|C．若|a|=|b|，则a2=b2D．若|a|≠|b|，则a2≠b2【解析】题干解析:根据逆命题的定义可知逆命题为“若|a|=|b|，则a2=b2”。
变化率与导数知识集结知识精讲变化率知识讲解1．变化的快慢与变化率【知识点的知识】1、平均变化率：我们常说的变化的快慢一般指的是平均变化率，拿y＝f（x）来说，当自变量x由x1变化到x2时，其函数y＝f（x）的函数值由f（x1）变化到f（x2），它的平均变化率为．把（x2﹣x1）叫做自变量的改变量，记做△x；函数值的变化f（x2）﹣f （x1）叫做因变量的改变量，记做△y．函数的平均变化率可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即＝．2、瞬时变化率：变化率的概念是变化快慢的特例，我们记△x＝x2﹣x1，△y＝f（x2）﹣f（x1），则函数的平均变化率为：＝．当△x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x1点的瞬时变化率，瞬时变化率刻画的是函数在某一点的变化率．3、导数的概念：函数f（x）在x＝x0处时的瞬时变化率是函数y＝f（x）在x＝x0处的导数，记作f′（x0）或y′|x＝x0，即f′（x0）＝【解题方法点拨】瞬时速度特别提醒：①瞬时速度实质是平均速度当△t→0时的极限值．②瞬时速度的计算必须先求出平均速度，再对平均速度取极限，函数y＝f（x）在x＝x0处的导数特别提醒：①当△x→0时，比值的极限存在，则f（x）在点x0处可导；若的极限不存在，则f （x）在点x0处不可导或无导数．②自变量的增量△x＝x﹣x0可以为正，也可以为负，还可以时正时负，但△x≠0．而函数的增量△y可正可负，也可以为0．③在点x＝x0处的导数的定义可变形为：f′（x0）＝或f′（x0）＝导函数的特点：①导数的定义可变形为：f′（x）＝；②可导的偶函数其导函数是奇函数，而可导的奇函数的导函数是偶函数；③可导的周期函数其导函数仍为周期函数；④并不是所有函数都有导函数．⑤导函数f′（x）与原来的函数f（x）有相同的定义域（a，b），且导函数f′（x）在x0处的函数值即为函数f（x）在点x0处的导数值．⑥区间一般指开区间，因为在其端点处不一定有增量（右端点无增量，左端点无减量）．例题精讲变化率例1.（2019春∙襄阳期末）正弦曲线y=sin x上一点P，正弦曲线的以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是_____________．【答案】【解析】题干解析:根据题意得f′（x）=cos x，∵-1≤cos x≤1，则曲线y=f（x）上切点处的切线的斜率-1≤k≤1，又∵k=tanα，结合正切函数的图象由图可得α∈[0，]∪[，π），故答案为：[0，]∪[，π）．例2.（2019∙郴州模拟）在函数f（x）=alnx+（x+1）2（x>0）的图象上任取两个不同点P（x1，y1），Q（x2，y2），总能使得f（x1）-f（x2）≥4（x1-x2），且x1>x2，则实数a的取值范围为_____．【答案】a≥【解析】题干解析:不妨设x1>x2，则x1-x2>0，∵f（x1）-f（x2）≥4（x1-x2），∴≥4，可得y=f（x）-4x=alnx+（x+1）2-4x在x>0递增，∴y′=+2（x+1）-4∴+2（x+1）≥4，∴a≥-2x2+2x∵-2x2+2x=-2（x-）2+≤∴a≥，例3.（2019秋∙龙岩期末）已知P为函数y=lnx图象上任意一点，点Q为圆x2+（y-e2-1）2=1上任意一点，则线段PQ长度的最小值为______。
导数在研究函数中的应用知识集结知识精讲利用导数研究函数的单调性知识讲解1．利用导数研究函数的单调性【知识点的知识】1、导数和函数的单调性的关系：（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：（1）确定f（x）的定义域；（2）计算导数f′（x）；（3）求出f′（x）＝0的根；（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．【典型例题分析】题型一：导数和函数单调性的关系典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（）A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）解：f（x）＞2x+4，即f（x）﹣2x﹣4＞0，设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，则g′（x）＝f′（x）﹣2，∵对任意x∈R，f′（x）＞2，∴对任意x∈R，g′（x）＞0，即函数g（x）单调递增，∵f（﹣1）＝2，∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，则由g（x）＞g（﹣1）＝0得x＞﹣1，即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），故选：B题型二：导数和函数单调性的综合应用典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；（Ⅲ）求证：．解：（Ⅰ）（2分）当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3∴，∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2∴由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，所以有：，∴（10分）（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，∴∴【解题方法点拨】若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．例题精讲利用导数研究函数的单调性例1.（2019春∙浉河区校级月考）若x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1的极值点，则f（x）的极小值为____．【答案】-1【解析】题干解析:函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1，可得f′（x）=（2x+a）e x-1+（x2+ax-1）e x-1，x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1的极值点，可得：f′（-2）=（-4+a）e-3+（4-2a-1）e-3=0，即-4+a+（3-2a）=0．解得a=-1．可得f′（x）=（2x-1）e x-1+（x2-x-1）e x-1，=（x2+x-2）e x-1，函数的极值点为：x=-2，x=1，当x<-2或x>1时，f′（x）>0函数是增函数，x∈（-2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12-1-1）e1-1=-1．例2.（2018秋∙辽源期末）函数的极大值为___．【答案】【解析】题干解析:f（x）=，x>0，∴f′（x）==，令f′（x）=0，解得x=e，当x>e时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减，当x<e时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，∴当x=e时为极大值点，故极大值为．例3.（2018秋∙静宁县校级期末）函数f（x）=x3+ax2+3x-9，已知f（x）在x=3时取得极值，则a=____．【答案】-5【解析】题干解析:对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=3时取得极值∴f′（3）=0⇒27+6a+3=0⇒a=-5，验证知，符合题意利用导数研究函数的极值知识讲解1．利用导数研究函数的极值【知识点的知识】1、极值的定义：（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f （x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．2、极值的性质：（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．4、求函数f（x）的极值的步骤：（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；（2）求方程f′（x）＝0的根；（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f （x）在这个根处无极值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．例题精讲利用导数研究函数的极值例1.（2019春∙浉河区校级月考）若x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1的极值点，则f（x）的极小值为____．【答案】-1【解析】题干解析:函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1，可得f′（x）=（2x+a）e x-1+（x2+ax-1）e x-1，x=-2是函数f（x）=（x2+ax-1）e x-1的极值点，可得：f′（-2）=（-4+a）e-3+（4-2a-1）e-3=0，即-4+a+（3-2a）=0．解得a=-1．可得f′（x）=（2x-1）e x-1+（x2-x-1）e x-1，=（x2+x-2）e x-1，函数的极值点为：x=-2，x=1，当x<-2或x>1时，f′（x）>0函数是增函数，x∈（-2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（12-1-1）e1-1=-1．例2.（2018秋∙辽源期末）函数的极大值为___．【答案】【解析】题干解析:f（x）=，x>0，∴f′（x）==，令f′（x）=0，解得x=e，当x>e时，f′（x）<0，函数f（x）单调递减，当x<e时，f′（x）>0，函数f（x）单调递增，∴当x=e时为极大值点，故极大值为．例3.（2018秋∙静宁县校级期末）函数f（x）=x3+ax2+3x-9，已知f（x）在x=3时取得极值，则a=____．【答案】-5【解析】题干解析:对函数求导可得，f′（x）=3x2+2ax+3∵f（x）在x=3时取得极值∴f′（3）=0⇒27+6a+3=0⇒a=-5，验证知，符合题意利用导数研究函数的最值知识讲解1．利用导数研究函数的最值【利用导数求函数的最大值与最小值】1、函数的最大值和最小值观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f （x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）＝在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个2、用导数求函数的最值步骤：由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：（1）求f（x）在（a，b）内的极值；（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．【解题方法点拨】在理解极值概念时要注意以下几点：（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．2．利用导数研究曲线上某点切线方程【考点描述】利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．【实例解析】例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），即y＝x﹣1．我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．例题精讲利用导数研究函数的最值例1.（2018秋∙泉州月考）若曲线y=x2与y=alnx（a≠0）存在公共切线，则实数a的取值范围是（）A．（0，2e] B．（0，e]C．（-∞，0）∪（0，2e] D．（-∞，0）∪（0，e]【解析】题干解析:y=alnx在点（n，alnn）（n>0）的切线斜率为，切线方程为：y-alnn=（x-n），因为切线方程也是曲线y=x2的切线方程，所以x2-alnn=（x-n），可得△==0，可得a=4（1-lnn）n2，令f（n）=4（1-lnn）n2，（n>0），可得f′（n）=4n（1-2lnn），当n∈（0，）时，f′（n）>0，函数是增函数，当n∈（，+∞）时，f′（n）<0，函数是减函数，所以f（）=2e是函数的最大值，所以a∈（-∞，0）∪（0，2e]。
导数的计算入门测填空题练习1.（2012秋∙上城区校级月考）若函数f（x）=ax+sin x的图象上存在互相垂直的切线，则实数a 的值为___．【答案】【解析】题干解析:∵f（x）=ax+sin x∴f′（x）=a+cos x，假设函数f（x）=ax+sin x的图象上存在互相垂直的切线，不妨设在x=m与x=n处的切线互相垂直则（a+cos m）（a+cos n）=-1∴a2+（cos m+cos n）a+（cos m cos n+1）=0（*）因为a的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以判别式△=（cos m+cos n）2-4（cos m cos n+1）≥0所以cos2m+cos2n-2cos m cos n=（cos m-cos n）2≥4解得cos m-cos n≥2或cos m-cos n≤-2由于|cos x|≤1，所以有cos m=1，cos n=-1或cos m=-1，cos n=1，且△=0所以（*）变为：a2=0所以a=0练习2.（2012∙南通模拟）已知函数y=e x的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为a k+1，其中k∈N*，a1=0，则a1+a3+a5=____。
【答案】-6【解析】题干解析:∵y=e x，∴y′=e x，∴y=e x在点（a k，e ak）处的切线方程是：y-e ak=e ak（x-a k），整理，得e ak x-y-a k e ak+e ak=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a k+1，∴a k+1=a k-1，∴{a n}是首项为a1=0，公差d=-1的等差数列，∴a1+a3+a5=0-2-4=-6．解答题练习1.（2019春∙宛城区校级月考）已知函数f（x）=ae x-x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x0为函数的极小值点，证明：．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）函数定义域为R，因为f（x）=ae x-x+1∴f′（x）=ae x-1，当a≤0时，f′（x）<0恒成立，f（x）在R上单调递减；当a>0时，令f′（x）=0得x=-lna．当x<-lna时，f′（x）<0，当x>-lna时，f′（x）>0；综上：当a≤0时，单调递减区间为（-∞，+∞），无增区间；当a>0时，增区间为（-lna，+∞），减区间为（-∞，-lna）；（2）由（1）知当a>0时，f（x）在x=-lna时取得极小值，f（x）的极小值为f（-lna）=2+lna．设函数，当0<x<1时g′（x）<0；f （x）单调递减；当x>1时g′（x）>0；f（x）单调递增；故g（x）min=g（1）=0即g（x）≥g（1）=0所以．练习2.（2012∙威远县校级模拟）二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线垂直（1）求f（x）的解析式（2）若函数g（x）=在（0，2）上是减函数，求实数m的取值范围．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）∵f（0）=2∴c=2∵f（x）=f（-2-x）∴图象的对称轴导函数图象与直线垂直∴2a=2从而解得：a=1b=2∴a=1b=2c=2∴f（x）=x2+2x+2（x∈R）…（6）（2）=+2在（0，2）上是减函数当2-m≤0时，该函数在（0，+∞）上单调递增，故不符号题意．g（x）=+2≥2+2该函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上递减∴∴m≤-2 (12)练习3.（2011春∙嘉兴校级期中）已知曲线上一点P（1，1），用导数的定义求在点P处的切线的斜率．【答案】见解析【解析】题干解析:====-2知识集结知识精讲导数的四则运算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【典型例题分析】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝a sin x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f （2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0 B．2014 C．2015 D．8解：f′（x）＝a cos x+3bx2，∴f′（﹣x）＝a cos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝a sin（2014）+b•20143+4+a sin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x B．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．2．导数的加法与减法法则【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．例题精讲导数的四则运算例1.（2019春∙宁德期中）已知f1（x）=cos x，f2（x）=f（x），f3（x）=f′2（x），f4（x）=f′3（x），…，f n（x）=f′n-1（x），则f2019（x）等于（）A．sin x B．-sin x C．cos x D．-cos x【答案】D【解析】题干解析:根据题意，f1（x）=cos x，f2（x）=f1′（x）=-sin x，f3（x）=f2′（x）=-cos x，f4（x）=f3′（x）=sin x，f5（x）=f4′（x）=cos x，…，则f n+4（x）=f n（x），故f2019（x）=f3（x）=-cos x；例2.（2019春∙湖北期中）下列求导运算正确的是（）A．B．C．（tan x）′=cos2xD．（x2cos x）′=-2x sin x【解析】题干解析:对于A选项，（log2x）′=，故A正确，对于B选项，（x）′=1-，故B错误，对于C选项，（tan x）′=（）′=，故C错误，对于D选项，（x2cos x）′=2x cos x-x2sin x，故D错误，例3.（2019春∙襄阳期末）已知f（x）=+2xf′（2019）-2019lnx，则f'（2019）=（）A．2018 B．-2018 C．2019 D．-2019【解析】题干解析:函数的导数f′（x）=x+2f′（2019）-，令x=2019得f′（2019）=2019+2f′（2019）-，即f′（2019）=-2019+1=-2018，简单的复合函数的导数知识讲解1、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）题型：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x B．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲简单的复合函数的导数例1.（2019春∙祁阳县校级期末）已知函数f（x）=eπx∙sin2πx，求f'（x）及．【答案】详见解析【解析】题干解析:f'（x）=πeπx∙sin2πx+2πeπx∙cos2πx=πeπx（sin2πx+2cos2πx），则。
例2.（2019∙吉水县校级模拟）已知f（x）=sin2x+3sin x+3cos x（0≤x<2π），（1）求f（x）的值域；（2）求f（x）的单调区间．【答案】详见解析【解析】题干解析:（1）由题意得：f（x）=2sin x cos x+3（sin x+cos x），设sin x+cos x=t，则sin2x=t2-1，于是只要求g（t）=t2+3t-1的值域。
又∵，故与时，g（t）取得最值．即f（x）的值域为…（6分）（2）f'（x）=2cos2x+3（cos x-sin x）=（cos x-sin x）（2cos x+2sin x+3）而2cos x+2sin x+3>0故f（x）的单调递减区间为，f （x）的单调递增区间为…（12分）例3.（2019春∙如东县校级月考）求下列函数的导数．（1）y=2x sin（2x-5）；（2）．【答案】详见解析【解析】题干解析:（1）y'=（2x）'sin（2x-5）+2x[sin（2x-5）]′=2sin（2x-5）+2x（2x-5）′cos（2x-5）=2sin（2x-5）+4x cos（2x-5）（2）f'（x）====。
