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命题及其关系知识集结知识元四种命题知识讲解1．四种命题【知识点的认识】一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么我们就把这样的两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一个叫做原命题的逆命题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的否命题．一般地，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论恰好是另一个命题的结论的否定和条件的否定，那么我们把这样的两个命题叫做互为逆否命题．其中一个命题叫做原命题，另一个叫做原命题的逆否命题．【解题方法点拨】理解四种命题的概念，能根据定义准确、正确的写出四种命题，判断命题的真假要注意与其它考点的知识、方法相结合．【命题方向】高考中一般在选择题中出现以命题的形式考察其它知识点的运用，由于本考点可与高中数学中多处的考点相结合，故考察类型多样，都是基本概念与基本方法的题．例题精讲四种命题例1.（2018秋∙湘潭期末）命题“若x≥1，则2x-1≥1”的逆命题为（）A．若x<1，则2x-1≥1B．若2x-1<1，则x<1C．若x≥1，则2x-1<1D．若2x-1≥1，则x≥1【解析】题干解析:命题“若x≥1，则2x-1≥1”，它的逆命题为“若2x-1≥1，则x≥1”。
例2.（2018秋∙南关区校级期末）若原命题是“若x=-1，则x2-x-2=0”则它逆命题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是（）A．0个B．1个C．2个D．3个【解析】题干解析:由x2-x-2=0得x=-1或x=2，即原命题为真命题，则逆否命题为真命题，命题的逆命题饿、为若x2-x-2=0，则x=-1为假命题．，则命题的否命题为假命题，故逆命题、否命题和逆否命题三个命题中真命题的个数是1个，例3.（2018秋∙新乡期末）命题“若a2=b2，则|a|=|b|”的逆命题为（）A．若a2=b2，则|a|≠|b|B．若a2≠b2，则|a|≠|b|C．若|a|=|b|，则a2=b2D．若|a|≠|b|，则a2≠b2【解析】题干解析:根据逆命题的定义可知逆命题为“若|a|=|b|，则a2=b2”。
导数的计算入门测填空题练习1.（2012秋∙上城区校级月考）若函数f（x）=ax+sin x的图象上存在互相垂直的切线，则实数a 的值为___．【答案】【解析】题干解析:∵f（x）=ax+sin x∴f′（x）=a+cos x，假设函数f（x）=ax+sin x的图象上存在互相垂直的切线，不妨设在x=m与x=n处的切线互相垂直则（a+cos m）（a+cos n）=-1∴a2+（cos m+cos n）a+（cos m cos n+1）=0（*）因为a的值必然存在，即方程（*）必然有解，所以判别式△=（cos m+cos n）2-4（cos m cos n+1）≥0所以cos2m+cos2n-2cos m cos n=（cos m-cos n）2≥4解得cos m-cos n≥2或cos m-cos n≤-2由于|cos x|≤1，所以有cos m=1，cos n=-1或cos m=-1，cos n=1，且△=0所以（*）变为：a2=0所以a=0练习2.（2012∙南通模拟）已知函数y=e x的图象在点处的切线与x轴的交点的横坐标为a k+1，其中k∈N*，a1=0，则a1+a3+a5=____。
【答案】-6【解析】题干解析:∵y=e x，∴y′=e x，∴y=e x在点（a k，e ak）处的切线方程是：y-e ak=e ak（x-a k），整理，得e ak x-y-a k e ak+e ak=0，∵切线与x轴交点的横坐标为a k+1，∴a k+1=a k-1，∴{a n}是首项为a1=0，公差d=-1的等差数列，∴a1+a3+a5=0-2-4=-6．解答题练习1.（2019春∙宛城区校级月考）已知函数f（x）=ae x-x+1．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）设x0为函数的极小值点，证明：．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）函数定义域为R，因为f（x）=ae x-x+1∴f′（x）=ae x-1，当a≤0时，f′（x）<0恒成立，f（x）在R上单调递减；当a>0时，令f′（x）=0得x=-lna．当x<-lna时，f′（x）<0，当x>-lna时，f′（x）>0；综上：当a≤0时，单调递减区间为（-∞，+∞），无增区间；当a>0时，增区间为（-lna，+∞），减区间为（-∞，-lna）；（2）由（1）知当a>0时，f（x）在x=-lna时取得极小值，f（x）的极小值为f（-lna）=2+lna．设函数，当0<x<1时g′（x）<0；f （x）单调递减；当x>1时g′（x）>0；f（x）单调递增；故g（x）min=g（1）=0即g（x）≥g（1）=0所以．练习2.（2012∙威远县校级模拟）二次函数f（x）满足：f（0）=2，f（x）=f（-2-x），导函数的图象与直线垂直（1）求f（x）的解析式（2）若函数g（x）=在（0，2）上是减函数，求实数m的取值范围．【答案】见解析【解析】题干解析:（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）∵f（0）=2∴c=2∵f（x）=f（-2-x）∴图象的对称轴导函数图象与直线垂直∴2a=2从而解得：a=1b=2∴a=1b=2c=2∴f（x）=x2+2x+2（x∈R）…（6）（2）=+2在（0，2）上是减函数当2-m≤0时，该函数在（0，+∞）上单调递增，故不符号题意．g（x）=+2≥2+2该函数在（0，）上是减函数，在（，+∞）上递减∴∴m≤-2 (12)练习3.（2011春∙嘉兴校级期中）已知曲线上一点P（1，1），用导数的定义求在点P处的切线的斜率．【答案】见解析【解析】题干解析:====-2知识集结知识精讲导数的四则运算知识讲解1．导数的运算【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）＝（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．3、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）【典型例题分析】题型一：和差积商的导数典例1：已知函数f（x）＝a sin x+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f （2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（）A．0 B．2014 C．2015 D．8解：f′（x）＝a cos x+3bx2，∴f′（﹣x）＝a cos（﹣x）+3b（﹣x）2∴f′（x）为偶函数；f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0∴f（2014）+f（﹣2014）＝a sin（2014）+b•20143+4+a sin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8故选D．题型二：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x B．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．2．导数的加法与减法法则【知识点的知识】1、基本函数的导函数①C′＝0（C为常数）②（x n）′＝nx n﹣1（n∈R）③（sin x）′＝cos x④（cos x）′＝﹣sin x⑤（e x）′＝e x⑥（a x）′＝（a x）*lna（a＞0且a≠1）⑦[log a x）]′＝*（log a e）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′＝．2、和差积商的导数①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）④[]′＝．例题精讲导数的四则运算例1.（2019春∙宁德期中）已知f1（x）=cos x，f2（x）=f（x），f3（x）=f′2（x），f4（x）=f′3（x），…，f n（x）=f′n-1（x），则f2019（x）等于（）A．sin x B．-sin x C．cos x D．-cos x【答案】D【解析】题干解析:根据题意，f1（x）=cos x，f2（x）=f1′（x）=-sin x，f3（x）=f2′（x）=-cos x，f4（x）=f3′（x）=sin x，f5（x）=f4′（x）=cos x，…，则f n+4（x）=f n（x），故f2019（x）=f3（x）=-cos x；例2.（2019春∙湖北期中）下列求导运算正确的是（）A．B．C．（tan x）′=cos2xD．（x2cos x）′=-2x sin x【解析】题干解析:对于A选项，（log2x）′=，故A正确，对于B选项，（x）′=1-，故B错误，对于C选项，（tan x）′=（）′=，故C错误，对于D选项，（x2cos x）′=2x cos x-x2sin x，故D错误，例3.（2019春∙襄阳期末）已知f（x）=+2xf′（2019）-2019lnx，则f'（2019）=（）A．2018 B．-2018 C．2019 D．-2019【解析】题干解析:函数的导数f′（x）=x+2f′（2019）-，令x=2019得f′（2019）=2019+2f′（2019）-，即f′（2019）=-2019+1=-2018，简单的复合函数的导数知识讲解1、复合函数的导数设y＝u（t），t＝v（x），则y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）题型：复合函数的导数典例2：下列式子不正确的是（）A．（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x B．（lnx﹣2x）′＝ln2C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′＝解：由复合函数的求导法则对于选项A，（3x2+cos x）′＝6x﹣sin x成立，故A正确；对于选项B，成立，故B正确；对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；对于选项D，成立，故D正确．故选C．【解题方法点拨】1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．例题精讲简单的复合函数的导数例1.（2019春∙祁阳县校级期末）已知函数f（x）=eπx∙sin2πx，求f'（x）及．【答案】详见解析【解析】题干解析:f'（x）=πeπx∙sin2πx+2πeπx∙cos2πx=πeπx（sin2πx+2cos2πx），则。
例2.（2019∙吉水县校级模拟）已知f（x）=sin2x+3sin x+3cos x（0≤x<2π），（1）求f（x）的值域；（2）求f（x）的单调区间．【答案】详见解析【解析】题干解析:（1）由题意得：f（x）=2sin x cos x+3（sin x+cos x），设sin x+cos x=t，则sin2x=t2-1，于是只要求g（t）=t2+3t-1的值域。
又∵，故与时，g（t）取得最值．即f（x）的值域为…（6分）（2）f'（x）=2cos2x+3（cos x-sin x）=（cos x-sin x）（2cos x+2sin x+3）而2cos x+2sin x+3>0故f（x）的单调递减区间为，f （x）的单调递增区间为…（12分）例3.（2019春∙如东县校级月考）求下列函数的导数．（1）y=2x sin（2x-5）；（2）．【答案】详见解析【解析】题干解析:（1）y'=（2x）'sin（2x-5）+2x[sin（2x-5）]′=2sin（2x-5）+2x（2x-5）′cos（2x-5）=2sin（2x-5）+4x cos（2x-5）（2）f'（x）====。
