2021届河北衡水密卷新高考仿真考试(八)数学试题

2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（八）数学（理科）试题★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在题后的括号内）1.已知集合(){}12A x x x =+≤，{}11B x x =->，则A B =（ ）A. [)1,0-B. [)2,0-C. (]0,1D. (]0,2【答案】B 【解析】 【分析】计算[]2,1A =-，()(),02,B =-∞+∞，再计算交集得到答案.【详解】(){}[]122,1A x x x =+≤=-，{}()()11,02,B x x =->=-∞⋃+∞， 所以[)2,0AB =-.故选：B.【点睛】本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力. 2.i?是虚数单位，若2i2im ++是纯虚数，则实数m = （ ） A. 1 B. 1-C. 4D. 4-【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算法则得到复数的化简式子，再由实部为0得到结果.【详解】若2i2i m ++是纯虚数，化简虚数得到()()()()()2i 2i 2242i 2i 2i 2i 5m m m i m +-++-+==++-， 纯虚数即22040m m +=⎧⎨-≠⎩解得m=-1. 故答案为B.【点睛】这个题目考查了复数的除法运算，以及实部和虚部的概念，题型较为基础. 3.函数sin cos y x x =-在[],ππ-上的图象是（ ）A. B.C. D.【答案】B 【解析】 【分析】根据函数为奇函数排除AD ，计算4x π=时，0y <，排除C ，得到答案.【详解】函数sin cos y x x =-是奇函数，排除A ，D ；当4x π=时，0y <，排除C.故选：B.【点睛】本题考查了函数图像的识别，确定函数的奇偶性是解题的关键. 4.在如图所示的算法框图中，若输入的45x =，则输出结果为（ ）A.15B.25C.35D.45【答案】B 【解析】 【分析】根据算法框图依次计算得到答案.【详解】45x =，1n =；35x =，2n =；15x =，3n =；25x =，4n =；45x =，5n =； 故呈现以4为周期的特点，当2020n =时，输出结果与4n =时结果相同，为25x =.故选：B.【点睛】本题考查了程序框图，意在考查学生的计算能力和理解能力，确定周期是解题的关键.5.设公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .若1718S S =，则在18a ，35S ，1719a a -，1916S S -这四个值中，恒等于0的个数是（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】C 【解析】 【分析】根据题意计算得到()18n a n d =-，()352n n n S d -=，依次验证每个选项得到答案. 【详解】设n a 的首项为1a ，公差为d ，由1718S S =， 即1117161817171822a d a d ⨯⨯+=+，得117a d =-，所以()18n a n d =-，()()()1351722n n n n n S n d d d --=-+=， 所以180a =，350S =，17192a a d d d -=--=-，()()191619161619022S S d d ⨯-⨯--=-=. 故选：C.【点睛】本题考查了等差数列的计算，意在考查学生的计算能力和转化能力. 6.为了得到正弦函数sin y x =的图象，可将函数sin 3y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向右平移m 个单位长度，或向左平移n 个单位长度（0m >，0n >），则m n -的最小值是（ ） A.3πB.23π C.43π D.53π 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意得到123m k ππ=+，2523n k ππ=+，故()12423m n k k ππ-=-+-，计算得到答案. 【详解】sin sin 3x m x π⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，故123m k ππ=+，1k N ∈； sin sin 3x n x π⎛⎫++= ⎪⎝⎭，故2523n k ππ=+，2k N ∈，所以()()12125422333m n k k k k πππππ-=-+-=-+-， 故当121k k -=时，m n -最小为23π. 故选：B .【点睛】本题考查了三角函数平移，意在考查学生对于三角函数平移法则的灵活运用.7.如图，网格纸上的小正方形的边长均为1，粗线画的是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A.32B. 2C. 3D.92【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，该几何体是四棱锥P ABCD -，计算得到答案. 【详解】该几何体是四棱锥P ABCD -，其中3PA =，底面是直角梯形，2AB AD ==，1BC =，90ABC BAD ∠=∠=︒. 体积()111223332V ⎡⎤=⨯⨯+⨯⨯=⎢⎥⎣⎦. 故选：C .【点睛】本题考查了根据三视图求体积，画出几何体是解题的关键，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.8.设126log a =，14log 12b =，15log 15c =，则（ ）A. a b c <<B. c b a <<C. b a c <<D. c a b <<【答案】A 【解析】 【分析】化简得到21log 3a =--，41log 3b =--，51log 3c =--，得到答案. 【详解】122log 61log 3a ==--，144log 121log 3b ==--，155log 151log 3c ==--，由于245log 3log 3log 3>>，故a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查了利用对数函数的单调性比较函数值大小，意在考查学生对于函数性质的灵活运用. 9.有四位同学参加校园文化活动，活动共有四个项目，每人限报其中一项.已知甲同学报的项目其他同学不报，则4位同学所报选项各不相同的概率等于（ ）A.118B.332C.29D.89【答案】C 【解析】 【分析】计算得到()314434A P B =，()4444A P AB =，根据条件概率公式计算得到答案.【详解】记事件A =“4名同学所报选项各不相同”， 事件B =“已知甲同学报的项目其他同学不报”，()314434A P B =，()4444A P AB =，()()()29P AB P A B P B ==. 故选：C.【点睛】本题考查了条件概率，意在考查学生的计算能力和应用能力.10.在平行四边形ABCD 中，2AB AD ==172AE BF ⋅=-，E 是BC 的中点，F 点在边CD 上，且2CF FD =，若172AE BF ⋅=-，则DAB ∠=（ ） A. 30° B. 60°C. 120°D. 150°【答案】C 【解析】 【分析】记AB a =，AD b =，12AE a b =+，23BF a b =-+，根据172AE BF ⋅=-得到1cos 2DAB ∠=-，计算得到答案.【详解】记AB a =，AD b =，则23a =，3b =，12AE a b =+，23BF a b =-+， 所以2212221384cos 233322AE BF a b a b a a b b DAB ⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅-+=-+⋅+=-+∠+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭134cos 2DAB =-+∠. 因为172AE BF ⋅=-，所以13174cos 22DAB -+∠=-，得1cos 2DAB ∠=-，所以120DAB ∠=︒. 故选：C.【点睛】本题考查了根据向量数量积求夹角，意在考查学生的计算能力和应用能力.11.双曲线C ：221916x y -=的右支上一点P 在第一象限，1F ，2F 分别为双曲线C 的左、右焦点，I 为12PF F △的内心，若内切圆I 的半径为1，直线1IF ，2IF 的斜率分别为1k ，2k ，则12k k +的值等于（ ） A.38B. 38-C. 58-D.58【答案】B 【解析】 【分析】如图，设圆I 与12PF F △三边的切点分别为A ，B ，C ，得到18AF =，故3,1I ，计算得到答案. 【详解】如图，设圆I 与12PF F △三边的切点分别为A ，B ，C ， 根据圆切线的性质和双曲线的定义，有12121226AF AF CF BF PF PF a .又12210AF AF c ，所以18AF =，所以11853OA AF OF =-=-=，即点A 的横坐标为3，所以3,1I . 因为()15,0F -，()25,0F ，所以12113828k k +=-=-. 故选：B.【点睛】本题考查了双曲线中的斜率问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 12.定义在R 上函数q 满足()()112f x f x +=，且当[)0,1x ∈时，()121f x x =--.则使得()116f x ≤在[),m +∞上恒成立的m 的最小值是（ ）A.72B.92C.134D.154【答案】D 【解析】 【分析】计算()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦，画出图像，计算()116f x =，解得154x =，得到答案. 【详解】根据题设可知，当[)1,2x ∈时，[)10,1x -∈，故()()()11112322f x f x x =-=--，同理可得：在区间[)(),1n n n Z +∈上，()()11122122n n f x x n ⎡⎤=--+≤⎣⎦， 所以当4n ≥时，()116f x ≤. 作函数()y f x =的图象，如图所示. 在7,42⎡⎫⎪⎢⎣⎭上，由()11127816f x x =⎡--⎤=⎣⎦，得154x =. 由图象可知当154x ≥时，()116f x ≤. 故选：D .【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，画出图像是解题的关键.第Ⅱ卷（非选择题）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题（本大题共4小题，将每题的正确答案填在题中的横线上）13.已知公比不为1的等比数列{}n a ，且237645,23a a a a a =+=，则数列的通项公式n a =______.【答案】12n + 【解析】 【分析】利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】设公比为q ，则()22611a q a q =，所以21a q =，53411123a q a q a q +=，故1q =（舍）或2q，所以14a =，故12n n a +=.故答案为：12n +.【点睛】本题考查了等比数列通项公式，意在考查学生的计算能力.14.在()()51a x x ++展开式中，x 的偶数次幂项的系数之和为8，则a =______. 【答案】12- 【解析】 【分析】设x 的偶数次幂项的系数之和为A ，奇数次幂项的系数之和为B ，则()()11A B f A B f ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，解得()161A a =+，得到答案.【详解】设()()()51f x a x x =++展开式x 的偶数次幂项的系数之和为A ，奇数次幂项的系数之和为B ，则()()11A B f A B f ⎧+=⎪⎨-=-⎪⎩，得()()()1111612A f f a =+-=+⎡⎤⎣⎦，由8A =得12a =-. 故答案为：12-. 【点睛】本题考查了二项式定理的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.15.过抛物线24y x =焦点F 的直线交抛物线于点A 、B ，交准线于点P ，交y 轴于点Q ，若PQ FB =，则弦长AB =______.【答案】92【解析】 【分析】设点B 、F 在准线上的射影分别是点G 、K ，计算得到23KF PF GB PB ==，得到B 的坐标为(2,，A 的横坐标为12，计算得到答案. 【详解】设点B 、F 在准线上的射影分别是点G 、K ，根据抛物线的定义可知原点O 是线段KF 的中点，所以Q 是线段PF 的中点，PQ QF =，又PQ FB =，可得23PF PB =，所以23KF PF GB PB ==.因为2KF =，所以3GB =，所以可得点B 的坐标为()2,22（点B 只能在第一象限），所以直线AB 的方程为()221y x =-，代入24y x =，可求得点A 的横坐标为12， 所以13122AF =+=，39322AB AF BF =+=+=. 故答案为：92.【点睛】本题考查了抛物线的弦长，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.16.《九章算术》卷第五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马S ABCD -，SA ⊥平面ABCD ，1AB =，3AD =，3SA =.BC 上有一点E ，使截面SDE 的周长最短，则SE 与CD 所成角的余弦值等于______.【答案】24【解析】 【分析】要使截面SDE 的周长最短，则SE ED +最短，连接SD '，交BC 于E ，作//EF CD 交AD 于F ，连接SF ，则SE 与CD 所成角为SEF ∠，计算得到答案.【详解】要使截面SDE 的周长最短，则SE ED +最短，将底面ABCD 沿BC 展开成平面图形D A BC ''（如图），连接SD '，交BC 于E ， 则'SE ED SE ED SD '+=+≥，当'SED 共线时等号成立，此时，由1AB =，3SA =，则2SB =，故3SA '=，3A D AD ''==，故2BE =， 作//EF CD 交AD 于F ，连接SF ，则SE 与CD 所成角为SEF ∠， 易得SF EF ⊥，由于22SE =，1EF =，2cos 422EF SEF SE ∠===. 故答案为：24.【点睛】本题考查了异面直线夹角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.三、解答题：（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.在ABC 中，三内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若B 为锐角，且sin 2sin 3A B A +=. （1）求C ；（2）已知2a =，8AB BC ⋅=-，求ABC 的面积. 【答案】（1）23C π=；（2）3【解析】 【分析】（1）计算得到sin sin 3B A π⎛⎫=-⎪⎝⎭，故3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，计算得到答案.（2）根据题意得到cos 4c B =31cos sin 32B c B -=sin 3c B =到面积. 【详解】（1）由sin 2sin 3A B A +=，得31sin sin 2B A A =-，故sin sin 3B A π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.所以3B A π=-，或3B A ππ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭即23B A π=+.因为B 为锐角，所以3B A π=-，即3B A π+=，故23C π=. （2）由8AB BC ⋅=-，得()cos 8ca B π-=-，故cos 8ca B =. 因为2a =，所以cos 4c B =①. 根据正弦定理，sin sin a c A C =，及3A B π=-，23C π=，2a =，得23sin 32B π=⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以sin 33c B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，故31cos sin 322c B c B -=②. ①代入②，得123sin 32c B -=，所以sin 23c B =. 所以ABC 的面积等于11sin 2232322ac B =⨯⨯=.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，面积公式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，190ACB C CB ∠=∠=︒，160A AC ∠=︒，D ，E 分别为1A A 和11B C 的中点，且1AA AC BC ==.（1）求证：1//A E 平面1BC D ；（2）求平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（210. 【解析】 【分析】（1）取线段1BC 的中点F ，连接EF 、DF ，证明四边形1A DFE 是平行四边形，得到证明.（2）以O 为原点，射线OA 、1OA 分别为x 轴和z 轴的正半轴，以平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，平面1BC D 一个法向量为()3,23,5m =，平面ABC 的一个法向量为()13OA a =，计算向量夹角得到答案.【详解】（1）如图1，取线段1BC 的中点F ，连接EF 、DF ，因为E 为11B C 的中点，所以1//EF BB ，且112EF BB =. 又D 为1A A 的中点，所以11//A D BB ，且1112A D BB =，所以1//EF A D ，且1EF A D =，所以四边形1A DFE 是平行四边形，所以1//A E DF .又DF ⊂平面1BC D ，1A E ⊄平面1BC D ，所以1//A E 平面1BC D .（2）作1A O AC ⊥于点O ，因为160A AC ∠=︒，所以130AAO ∠=︒， 所以11122AO A A AC ==，即O 为AC 的中点. 因为190ACB C CB ∠=∠=︒，所以BC ⊥平面11A ACC ，所以1BC A O ⊥， 所以1A O ⊥平面ABC .故以O 为原点，射线OA 、1OA 分别为x 轴和z 轴的正半轴，以平行于BC 的直线为y 轴，建立空间直角坐标系，如图2.令12AA AC BC a ===，则(),0,0A a ，(),2,0B a a -，()1A，()12C a -，12D a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，所以3,22BD a a ⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭，15,0,2C D a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭. 设平面1BC D 一个法向量为(),,m x y z =，则()()3,,,2025,,,0,022x y z a a x y z a a ⎧⎛⎫⋅-=⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪⋅-= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎩，得320,2502x y z x z ⎧-+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，取x =y =5z =，所以()3,m =.又平面ABC 的一个法向量为()1OA =，设平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角为θ，则115310cos 4403m OA a am OA θ⋅===⋅⋅.所以平面1BC D 与平面ABC 所成锐二面角的余弦值为10.【点睛】本题考查了线面平行，二面角，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.19.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>2，原点到直线1x y a b +=23又知点()0,3Q .（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上总存在两个点A 、B 关于直线y x m =+对称，且328QA QB ⋅<，求实数m 的取值范围.【答案】（1）22142x y +=；（2）613⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据离心率定义和点到直线的距离公式计算得到答案.（2）设直线AB 的方程为y x n =-+，联立方程得到1243n x x +=，()212223n x x -=，根据中点得到3n m =-，得到66m <<，根据328QA QB ⋅<，计算得到113m -<<，得到答案. 【详解】（1）由2222222311a b a a b-=⎪⎪⎪⎨=⎪⎪+⎪⎩，得24a =，22b =，所以椭圆C 的标准方程为22142x y +=.（2）根据题意可设直线AB 的方程为y x n =-+，联立22,142y x n x y =-+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得()2234220x nx n -+-=，由()()22443220n n ∆=--⨯⨯->，得26n <.设()11,A x x n -+，()22,B x x n -+，则1243n x x +=，()212223n x x -=. 又设AB 的中点为()00,M x x n -+，则120223x x n x +==，03nx n -+=. 由于点M 在直线y x m =+上，所以233n nm =+，得3n m =-，代入26n <， 得296m <，所以66m -<<①.因为()11,3QA x x n =-+-，()22,3QB x x n =-+-， 所以()()()21212233QA QB x x n x x n ⋅=--++-()()()224243333n n n n --=-+- 236193n n -+=. 由328QA QB ⋅<，得2361928n n -+<，解得13n -<<，所以133m -<-<， 即113m -<<②. 又由①②得613m -<<，故实数m 的取值范围为61,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. 【点睛】本题考查了椭圆方程，根据对称和向量数量积求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 20.为了提高生产线的运行效率，工厂对生产线的设备进行了技术改造.为了对比技术改造后的效果，采集了生产线的技术改造前后各20次连续正常运行的时间长度（单位：天）数据，并绘制了如下茎叶图：（Ⅰ）（1）设所采集的40个连续正常运行时间的中位数m ，并将连续正常运行时间超过m 和不超过m 的次数填入下面的列联表：试写出a ，b ，c ，d 的值；（2）根据（1）中的列联表，能否有99%的把握认为生产线技术改造前后的连续正常运行时间有差异？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，（Ⅱ）工厂的生产线的运行需要进行维护.工厂对生产线的生产维护费用包括正常维护费、保障维护费两种对生产线设定维护周期为T 天（即从开工运行到第kT 天（*N k ∈）进行维护.生产线在一个生产周期内设置几个维护周期，每个维护周期相互独立.在一个维护周期内，若生产线能连续运行，则不会产生保障维护费；若生产线不能连续运行，则产生保障维护费.经测算，正常维护费为0.5万元/次；保障维护费第一次为0.2万元/周期，此后每增加一次则保障维护费增加0.2万元.现制定生产线一个生产周期（以120天计）内的维护方案：30T =，1k =，2，3，4.以生产线在技术改造后一个维护周期内能连续正常运行的频率作为概率，求一个生产周期内生产维护费的分布列及期望值.【答案】（Ⅰ）（1）5a =，15b =，15c =，5d =，（2）有99%的把握认为连续正常运行时间有差异；（Ⅱ）分布列见解析，2.275万元. 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据茎叶图得到5a =，15b =，15c =，5d =，计算210 6.635K =>，得到答案. （Ⅱ）计算得到1~44B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，得到分布列，计算数学期望得到答案. 【详解】（Ⅰ）（1）由茎叶图知2931302m +==，根据茎叶图可得：5a =，15b =，15c =，5d =. （2）由于()224055151510 6.63520202020K ⨯-⨯==>⨯⨯⨯，所以有99%的把握认为连续正常运行时间有差异.（Ⅱ）生产周期内有4个维护周期，一个维护周期为30天，一个维护周期内，生产线需保障维护的概率为14p =. 设一个生产周期内需保障维护的次数为ξ次，则正常维护费为0.542⨯=万元，保障维护费为()20.210.10.12ξξξξ⨯+=+万元.故一个生产周期内需保障维护ξ次时的生产维护费为20.10.12ξξ++万元. 由于1~44B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设一个生产周期内的生产维护费为X 万元，则分布列为则()812727312 2.2 2.6 3.242566412864256E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯162237.6140.438.44582.4 2.275256256++++===万元.故一个生产周期内生产维护费的期望值为2.275万元.【点睛】本题考查了独立性检验，分布列，数学期望，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 21.已知函数()2112xf x e x ax =-++，a R ∈.（1）若()f x 为R 上的增函数，求a 的取值范围；（2）若0a >，12x x ≠，且()()124f x f x +=，证明：()122f x x +<. 【答案】（1）1a ≥-；（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求导得到()xf x e x a '=-+，得到x e x a -≥-，设()xF x e x =-，求导得到单调区间得到最值，得到答案.（2）()f x 为R 上的增函数，()02f =，设120x x <<，设()()()h x f x f x =+-，证明()h x 为(),0-∞上的减函数，得到()()()2114f x f x f x =-<-，得到答案.【详解】（1）()xf x e x a '=-+，若()f x 为R 上的增函数，则()0xf x e x a '=-+≥恒成立，即x e x a -≥-恒成立，设()xF x e x =-，则()1xF x e '=-，当(),0x ∈-∞时，()0F x '<，当()0,x ∈+∞时，()0F x '>， 所以()F x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增， 所以()()01F x F ≥=，故1a -≤，所以1a ≥-. （2）若0a >，由（Ⅰ）知()f x 为R 上的增函数.由于()02f =，已知12x x ≠，且()()124f x f x +=，不妨设120x x <<. 设函数()()()h x f x f x =+-，(),0x ∈-∞， 则()2221111222xx x x h x e x ax e x ax e e x --⎛⎫=-+++--+=+-+ ⎪⎝⎭， 则()2xxh x e ex -'=--，设()()x h x ϕ='，则()20x x x e e ϕ-'=+-≥，由于(),0x ∈-∞，所以()h x '为(),0-∞上的增函数，所以()()00h x h ''<=， 所以()h x 为(),0-∞上的减函数，所以()()()()11104h x f x f x h =+->=， 所以()()()2114f x f x f x =-<-，而()f x 为R 上的增函数，所以21x x <-，故120x x +<.从而()()1202f x x f +<=. 故()122f x x +<.【点睛】本题考查了根据函数单调性求参数，证明不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时请写清题号. 选修4—4坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为33cos 3sin x y αα=+⎧⎨=⎩（其中α为参数），以原点O 为极点，以x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos 0ρθ+=. （Ⅰ）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设点A ，B 分别是曲线1C ，2C 上两动点且2AOB π∠=，求AOB 面积的最大值.【答案】（Ⅰ）()2239x y -+=，2240x y x ++=；（Ⅱ）6 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，消参化简得曲线1C 的普通方程，对2C 的极坐标方程，两边同乘ρ，利用及坐标公式化简可得曲线2C 的直角坐标方程；（Ⅱ）根据题意，设极坐标()1,02A πρθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则2,2B πρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，分别代入极坐标方程中，求得12ρρ，的值，1212AOB S ρρ=△，根据三角函数有界性，即可求解最值. 【详解】（Ⅰ）由条件知消去参数α得到曲线1C 的普通方程为()2239x y -+=.因4cos 0ρθ+=可化为24cos 0ρρθ+=，又222x y ρ=+，cos x ρθ=，代入得2240x y x ++=，于是曲线2C 的直角坐标方程为2240x y x ++=.（Ⅱ）由条件知曲线1C ，2C 均关于x 轴对称，而且外切于原点O ， 不妨设()1,02A πρθθ⎛⎫<<⎪⎝⎭，则2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭， 因曲线1C 的极坐标方程为6cos ρθ=， 所以16cos ρθ=，24cos 4sin 2πρθθ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭， 于是12116cos 4sin 6sin 2622AOB S ρρθθθ==⨯⨯=≤△， 所以当4πθ=时，AOB 面积的最大值为6.【点睛】本题考查参数方程化成普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查极坐标系下极径的几何意义的应用，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于中等题型.选修4—5不等式选讲23.已知函数()11f x x m x m =-+++（其中实数0m >）. （Ⅰ）当1m =，解不等式()3f x ≤；（Ⅱ）求证：()()121f x m m +≥+.【答案】（Ⅰ）57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦；证明见解析 【解析】 【分析】（Ⅰ）根据题意，代入1m =，化简绝对值不等式，化成分段函数，分类讨论不等式的解集，取并集即可求解；（Ⅱ）根据题意，运用绝对值三角不等式，化简式子，结合0m >，再利用基本不等式即可证明.【详解】（Ⅰ）由条件知1m =时，()12,121311,1222112,22x x f x x x x x x ⎧-≥⎪⎪⎪=-++=-≤<⎨⎪⎪-+<-⎪⎩于是原不等式可化为①11232x x ≥⎧⎪⎨-≤⎪⎩；②112332x ⎧-≤<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩；③121232x x ⎧<-⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩ 解①得714x ≤≤；解②得112x -≤<；解③得5142x -≤<-， 所以不等式()3f x ≤的解集为57,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（Ⅱ）由已知得()()()111111f x x m x m m m m m +=-++++++()()11111111x m x m m m m m m m ⎛⎫≥--++=++ ⎪++++⎝⎭ 1111211m m m m m m=++-=+≥++ 当且仅当1m =时，等号成立，于是原不等式得证.【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式的应用证明，考查基本不等式，考查转化与化归思想，属于中等题型.。

2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（九）数学（文）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的.1.已知复数z 的共轭复数为z ，且()23i z i -=+（i 为虚数单位），则z =（ ）A. 2B.C.D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再利用复数模的计算公式求解即可. 【详解】解：()23i z i -=+，∴()()()()3235512225i i i iz i i i i ++++====+--+，则z z ===.【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，模的求法，属于基础题. 2.已知集合{|A x y ==，B N =，则A B =（ ）A. {}1,2B. {}0,1C. []0,2D. {}0,1,2【答案】D 【解析】 【分析】求解函数的定义域化简集合A ，然后利用交集运算求解即可.【详解】解：{(]|,2A x y ===-∞，B N =，∴{}0,1,2A B =.故选：D.【点睛】本题考查交集运算，函数的定义域的求法，属于基础题.3.已知()12log ,02,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，()()2a f f =-，ln π2b =，lncos5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A. a b c >> B. b c a >>C. b a c >>D. c a b >>【答案】C 【解析】 【分析】根据对数运算和指数运算比较大小即可. 【详解】解：由题设知，()()12112log244a ff f ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，ln π1>，∴ln π22b =>，又0cos51<<， ∴lncos50c =<，则b a c >>.故选：C.【点睛】本题考查对数运算和指数运算，结合对数函数，指数函数及余弦函数的性质，属于基础题. 4.把能表示为两个连续奇数的平方差的正整数称为“幸运”，则在12019这2019个数中，能称为“幸运数”的个数是（ ） A. 251 B. 250C. 252D. 253【答案】C 【解析】利用新定义，求出幸运数的满足条件，然后利用数列通项公式即可. 【详解】解：设两个连续奇数为21n -，()21n n N *+∈，则它们的平方差为()()()2221218n n n n N *+--=∈，故“幸运数”即为能被8整除的正整数， 在12019这2019个数中，幸运数组成一个首项为8，公差为8的等差数列，末项为2016，设共有m 个幸运数，则()2016818m =+⋅-， 解得，252m =. 故选：C.【点睛】本题考查新定义的连接与应用，数列的应用，数列通项公式的运用，考查计算能力，属于基础题. 5.函数()5sin cos 22x f x x x x ππ⎛⎫=--<< ⎪⎝⎭的部分图象可以为（ ） A. B. C. D.【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，再代入特殊值，进而判断结果. 【详解】解：()5sin cos f xx xx =- ∴函数()f x 是奇函数，则图象关于原点对称，则排除B 、D ，又5sin 0.5cos 6666f ππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭-=--⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝≈-⎭，则排除C.故选：A.【点睛】本题考查函数的奇偶性，结合三角函数的特殊值的运用，属于基础题.6.某市为庆祝建国70周年，营造一个安全的交通出行环境，方便市民出行，对全市两千多辆出租车的行驶年限进行了调查，现从中随机抽出100辆出租车，已知抽到频率的出租车的行驶年限都在(]0,6年之间，根据调查结果，得到出租车行驶年限情况的残缺频率分布直方图，如图所示，利用这个残缺的频率分布直方图估计出租车行驶年限的中位数大约是（ ）A. 3.5B. 3.4C. 3.3D. 3.6【答案】B 【解析】 【分析】先算出数据位于[)1,2的频率，再设中位数x ，依据中位数的概念可知两边面积都是0.5，进而列式，求出中位数x 的值.【详解】解：由频率分布直方图知，数据位于[)1,2的频率为()10.080.120.160.200.300.14-++++=，∴前三个矩形的面积之和为0.080.140.160.38++=设中位数x ，则() 0. 3830.300.5x +-⨯=， 解得， 3.4x =. 故选：B.【点睛】本题考查根据频率直方图运算中位数的问题，考查运算能力，属于基础题.7.22sin 20sin80sin 20sin 40︒︒-︒︒的值为（ ）A.3 B.3 C.3D.12【答案】A 【解析】【分析】利用两角和的正弦公式的逆用进行化简，进而算出结果即可.【详解】解：22sin 20sin80sin 20sin 40︒︒-︒︒()sin 202sin 80sin 202sin 80sin 202sin 20cos 202cos 20︒︒-︒︒-︒==︒︒︒()2sin 6020sin 202cos 20︒+︒-︒=︒==故选：A.【点睛】本题考查两角和的正弦公式，考查运算能力，属于基础题.8.已知单位向量1e ，2e ，且()12,OP m n m e n R e =+∈，若12e e ⊥，1OP =，则下列式子一定成立的是（ ） A. 1m n += B. 1mn = C. 221+=m nD. 12mn =【答案】C 【解析】 【分析】根据题意可知2212122222OP m n e e e e mn =++⋅，再利用1e ，2e 是单位向量且12e e ⊥，1OP =，代入化简，即可判断出结果. 【详解】解：()12,OP m n m e n R e =+∈，∴2212122222OP m n e e e e mn =++⋅，1e ，2e 是单位向量且12e e ⊥，1OP =，∴221m n =+.故选：C.【点睛】本题考查平面向量的数量积与模长公式的应用问题，属于基础题.9.如图所示的程序框图，输入2m =，若输出的值为32，则判断框内应填入的条件为（ ）A. 6n >B. 6n <C. 6n ≥D. 6n ≤【答案】C 【解析】 【分析】根据程序框图进行模拟运算，即可得出结果.【详解】解：由程序框图知，2m =，4i =，2n =， 第一次：3m =，3i =，32m i +≠，否，循环，3n =， 第二次：5m =，2i =，32m i +≠，否，循环，4n = 第三次：9m =，1i =，32m i +≠，否，循环，5n = 第四次：17m =，0i =，32m i +≠，否，循环，6n = 第五次：33m =，1i =-，32m i +=，是，此时 6n =. 则判断框内应填入的条件为6n ≥. 故选：C.【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，属于基础题.10.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆上一点，且1260F PF ∠=︒，若坐标原点O 到直线1PF 3a，且椭圆的焦距为27a =（ ） A. 8 B. 2C. 4D. 16【答案】C 【解析】 【分析】过O ，2F 作直线1PF 的垂线，垂足为A ，B ，则2//OA F B ，由题设知，3||8aOA =，进而算出22|||sin 602|F B a PF ==︒，由椭圆的定义知，13||2PF a =，运用余弦定理化简得22167c a =，进而算出a 的值.【详解】解：过O ，2F 作直线1PF 的垂线，垂足为A ，B ，则2//OA F B ， 由题设知，3||a OA =， O 是21F F 的中点，∴23||4aF B =，在2Rt PBF 中， 1260F PF ∠=︒，∴22|||sin 602|F B aPF ==︒，由椭圆的定义知，13||2PF a =， 在21PF F 中，由余弦定理得，()222313122cos602222c a a a a ⎛⎫⎛⎫=+-⨯⋅⋅︒ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简得22167c a =，又椭圆的焦距为27，∴7c =，则4a =.故选：C.【点睛】本题考查椭圆的基本性质，考查余弦定理的运用，属于中档题.11.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin tan c A a C =，()222c a b =-+，则ab =（ ） A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】利用正弦定理化简得1cosC=2，则3C π=，再利用余弦定理求出ab 的值.【详解】解：由正弦定理及2sin tan c A a C =得，sin sin sin s c 2in os A CC A C=，sin 0C ≠，sin 0A ≠，∴1cosC=2，则3C π=，∴由余弦定理得，222c a b ab =+-，又()222c a b =-+，∴22222c a b ab =+-+， 即222222a b ab a b ab +-=+-+，∴2ab =.故选：B.【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理，化简求值，考查分析能力，属于中档题.12.已知双曲线22221x y a b-=() 0,0a b >>的渐近线与圆222x y a +=在第一象限的交点为P ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点，若121tan 3PF F ∠=，则双曲线的离心率(e e >的值为（ ） A. 2 B. 5C.D.【答案】D 【解析】 【分析】有题意可知222b y x a x y a ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，得出交点2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()1, 0F c -可得1122221tan 3PF abab c PF F k a c a c c∠====++，结合,,a b c 关系，求出,a b关系，进而算出离心率(e e >的值.【详解】解：由222b y xa x y a⎧=⎪⎨⎪+=⎩得，2,a ab P c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭又()1, 0F c -，则112222221tan 23PF abab ab c PF F k a c a b a c c∠=====+++，整理得22230,a ab b b a -+==，或2b a =，,c e e ∴==>舍去，或,c e =∴=.故选：D【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程，离心率的计算方法，考查分析能力和运算能力，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22~23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上.13.曲线()xf x axe =在点()()0,0f 处的切线与抛物线224y x x =-+相切，则a =__________.【答案】2或6- 【解析】 【分析】先求导得()xxf x ae axe '=+，曲线()xf x axe =在点()()0,0f 处的切线的斜率为()0k f a '==，由切点为()0,0，得切线方程为y ax =，并与抛物线方程联立得()2240x a x -++=，进而算出()22440a ∆=+-⨯=时a 的值.【详解】解：()x f x axe =，∴()x x f x ae axe '=+，则曲线()xf x axe =在点()()0,0f 处的切线的斜率为()0k f a '==， 又切点为()0,0，∴切线方程为y ax =，联立224y ax y x x =⎧⎨=-+⎩得()2240x a x -++=， ∴()22440a ∆=+-⨯=，解得2a =或6a =-. 故答案为：2或6-.【点睛】本题考查导数的几何意义和切线方程，属于中档题.14.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，12a =，数列{}2log n S 是公差为2的等差数列，则5S =__________. 【答案】512 【解析】 【分析】由数列{}2log n S 是公差为2的等差数列，得出()142nn S n S -=≥，则数列{}n S 是公比为4的等比数列，则124n n S -=⨯，进而算出结果.【详解】析：数列{}2log n S 是公差为2的等差数列，∴221log log 2n n S S --=，即()142nn S n S -=≥，又112S a ==， ∴数列{}n S 是公比为4的等比数列，则124n n S -=⨯. ∴4524512S =⨯=.故答案：512.【点睛】本题考查等差数列的性质和等比数列的通项公式，属于中档题. 15.函数()2sin2sin2f x x x =+的最小正周期为__________. 【答案】π 【解析】 【分析】分类讨论sin 20x ≥和sin 20x <的情况，化简函数式子，进而可以画出图象，来判断最小正周期即可. 【详解】解：当sin 20x ≥时，即,2x k k πππ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦时，()3sin 2f x x =， 当sin 20x <时，即,2x k k πππ⎛⎫∈+⎪⎝⎭时，()sin 2f x x =， 则函数()2sin2sin2f x x x =+的最小正周期为π 故答案为：π.【点睛】本题考查正弦型函数的最小正周期的求法，属于中档题.16.在三棱锥P ABC -中，底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，PA PB PC ==，当其外接球的表面积为252π，且P 点到底面ABC 的距离为AC 时，则侧面PAC 的面积为__________. 【答案】4 【解析】 【分析】设P 点在底面ABC 上的射影为D ，根据题意可知D 点为ABC 的外心，并且为斜边AC 的中点，设AB BC a ==，则PD AC ==，设外接球的半径为R ，由题设知，22542R ππ=，则 R =，()2222AC R PD R ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，代入数据解得2a =，进而求出侧面PAC 的面积.【详解】解：设P 点在底面ABC 上的射影为D ，PA PB PC ==，∴DA DB DC ==，则D 点为ABC 的外心，又底面ABC 是以AC 为斜边的等腰直角三角形，∴D 点为斜边AC 的中点，设AB BC a ==，则PD AC ==，设外接球的半径为R ， 由题设知，22542R ππ=，∴R =，设球心为O ，则O 在PD 上，∴()2222AC R PD R ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，即2222⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭解得，2a =，∴侧面PAC 的面积是11422AC P S D =⋅⋅=⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题考查棱锥外接球有关的问题，结合勾股定理的运用，考查分析能力和运算能力，属于中档题.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.某市实验中学数学教研组，在高三理科一班进行了一次“采用两种不同方式进行答卷”的考试实验，第一种做卷方式：按从前往后的顺序依次做；第二种做卷方式：先做简单题，再做难题.为了比较这两种做卷方式的效率，选取了50名学生，将他们随机分成两组，每组25人.第一组学生用第一种方式，第二组学生用第二种方式，根据学生的考试分数（单位：分）绘制了茎叶图如图所示.()1若120分（含120分）以上为优秀，根据茎叶图估计两种做卷方式的优秀率； ()2设50名学生考试分数的中位数为m ，根据茎叶图填写下面的22⨯列联表：超过中位数m 的人数 不超过中位数m 的人数 合计 第一种做卷方式 第一种做卷方式 合计根据列联表，能否有99%的把握认为两种做卷方式的效率有差异？附：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，n a b c d=+++.【答案】()1第一种做卷方式的优秀率为8%；第二种做卷方式的优秀率为36%；()2填表见解析；有99%的把握认为两种做卷方式的效率有差异.【解析】【分析】()1根据概率的计算方法运算即可；()2先算出中位数，代入数据算出2K的值，比较数据，得出结论.【详解】解：()1根据茎叶图中的数据知，用第一种做卷方式答卷的分数在120分（含120分）以上的有2人，∴第一种做卷方式的优秀率为28% 25=用第二种做卷方式答卷的分数在120分（含120分）以上的有9人，∴第二种做卷方式的优秀率为936% 25=；()2这50名学生的考试分数按从小到大的顺序排列后，排在中间的两个数据是100和101，则它们的中位数为100101100.52m+==；由此填写列联表如下：∴()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2507718189.68 6.63525252525⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯，故99%的把握认为两种做卷方式的效率有差异.【点睛】本题考查列联表中的数据计算卡方的方法，概率的求法，属于中档题. 18.正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*24n n n a a NS n =+∈.()1证明：数列{}2n S 为等差数列； ()2求使n n S a -≥n 的最小值.【答案】()1证明见解析；()22020. 【解析】 【分析】()1由题意可知214S =，当2n ≥时，由224n n n a S a =+得()()21124n n n n n S S S S S ---=-+，化简得，2214n n S S --=，进而即可求证.()2由()1知，112a S ==，()24144n S n n =+-⨯=，进而得出)2n a n =≥，n n S a -=n 的最小值.【详解】解：()1证明：当1n =时，221124S S =+，∴214S =，当2n ≥时，由224n n n a S a =+得，()()21124n n n n n S S S S S ---=-+，化简得，2214n n S S --=，∴数列{}2n S 是以4为首项，以4为公差的等差数列.()2由()1知，112a S ==，()24144n S n n =+-⨯=，0n S >，∴2n S n =，则()2212n a n n n =--≥， 当1n =时，上式也成立，∴21n n S a n -=-，则不等式22019n n S a -≥为2122019n -≥，∴2020n ≥，故使22019n n S a -≥成立的n 的最小值为2020.【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查转化能力，属于中档题.19.如图，在直三棱柱ABC DEF -中，2AC BC ==，22AB =，22AB =，4=AD ，M 、N 分别为AD 、CF 的中点.()1求证：AN ⊥平面BCM ；()2设G 为BE 上一点，且34BG BE =，求点G 到平面BCM 的距离.【答案】()1证明见解析；()2322. 【解析】 【分析】()1根据222AC BC AB +=得AC BC ⊥，并且得出四边形ACMN 为正方形，进而即可求证； ()2先算出点M 到平面GBC 的距离即为2AC =，由13G BCM M BCG BCG V V S AC --==⋅，可求出1222222BCMS=⨯⨯=设点G 到平面BCM 的距离为h ，则1223G BCM V h -=⨯，进而求出点G 到平面BCM 的距离.【详解】解：()1证明：2AC BC ==，AB =∴222AC BC AB +=，即AC BC ⊥，又ABC DEF -是直三棱柱，∴BC ⊥平面ACFD ，则BC AN ⊥，M 、N 分别为AD 、CF 的中点，且4=AD ，2AC =，∴四边形ACMN 为正方形，则CM AN ⊥，又BCCM C =，∴AN ⊥平面BCM .()2由()1知，即AC BC ⊥，又ABC DEF -是直三棱柱，∴AC ⊥平面BCFE ，∴//MA FC ，则点M 到平面GBC 的距离即为2AC =，∴13G BCM M BCG BCG V V S AC --==⋅1112322326BC BG AC =⨯⋅⋅⋅=⨯⨯⨯=，由()1知，BC CM ⊥，且CM =，∴122BCMS=⨯⨯=， 设点G 到平面BCM 的距离为h ，则13G BCM V -=⨯∴123⨯=，则2h =，即点G 到平面BCM 的距离为2. 【点睛】本题考查空间立体几何图形中线面垂直的判定，考查等体积法的运用，考查分析能力和运算能力，属于中档题.20.已知函数()3223332xf x e x x =+-+，()()g x f x '=，()f x '为()f x 的导数. ()1求证：()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点；（其中，()g x '为()g x 的导数） ()2若不等式()()2331g x x a x ≥+-+在[)1,+∞上恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】()1证明见解析；()2(],2e -∞-. 【解析】 【分析】()1先写出()()223x g x f x e x x '==+-，求导得()43x g x e x '=+-，则函数()g x '在区间[]0,1上单调递增，进而即可求证()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点；()2由()1知，()223xg x e x x =+-，则()2223331xe x x x a x +-≥+-+，即1x e a x x x≤--在[)1,+∞上恒成立，令()1x e h x x x x=--，利用导数判断单调性，进而算出a 的取值范围.【详解】解：()1证明：()3223332x f x e x x =+-+， ∴()()223x g x f x e x x '==+-，则()43xg x e x '=+-，显然，函数()g x '在区间[]0,1上单调递增. 又()01320g '=-=-<，()14310g e e '=+-=+>，∴()g x '在区间[]0,1上存在唯一零点.()2由()1知，()223x g x e x x =+-，∴不等式()()2331g x x a x ≥+-+即为()2223331xe x x x a x +-≥+-+，即1x e a x x x≤--在[)1,+∞上恒成立，令()1x e h x x x x=--则()()()222111111x x e x e x h x x x x --+'=+-=-，当1x ≥时，()1,()10xxu x e x u x e =--'=->，()u x 在[1,)+∞是增函数，()(1)20,10x u x u e e x ∴≥=->∴≥+> ∴当1x ≥时，()()2111x e x h x x -+'=-≥()()211110x x x +-+-=，则()h x 在[)1,+∞单调递增，故()()min 12h x h e ==-，故2a e ≤-，∴实数a 的取值范围是(],2e -∞-.【点睛】本题考查导数在函数中的应用，考查分析能力和运算能力，属于中档题.21.已知抛物线()2:204C y px p =<<的焦点为F ，准线l 与x 轴交于点M ，过点F 的直线交抛物线于A ，B 两点，点A 在第一象限.()1若||4AF =，||AM =，求直线AB 的方程；()2若2p =，点Q 为准线l 上任意一点，求证：直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列.【答案】()1)1y x =-；()2证明见解析. 【解析】 【分析】()1设点A 在准线l 上的射影为N ，由抛物线的定义知，||||4AN AF ==，设()00,A x y ，列式联立求出2p =，直线AB 的斜率为AB k AB 的方程；()2若2p =，则抛物线2:4C y x =，准线:1l x =-，设直线AB 的方程为1x my =+，联立得消x 得2440y my --=，利用韦达定理，进而求出2QA QB QF k k k +=，即可求证.【详解】解：()1设点A 在准线l 上的射影为N ，由抛物线的定义知，||||4AN AF ==，设()00,A x y ，()00y >，由题设知，2220||||AM AN y =+，∴22204y =+，解得2012y =，则0y =，∴0122px =，即06px =，①又由抛物线的定义知，02px AF +=，即042p x +=，②联立①②，解得，2p =或6p，04p <<，∴2p =，则03x =，∴焦点为()1,0F，(3,A ，则直线AB的斜率为AB k = 故直线AB的方程为)1y x =-；()2证明：若2p =，则抛物线2:4C y x =，∴()1,0F ，准线:1l x =-，设直线AB 的方程为1x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，()1,Q t -，由214x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 得，2440y my --=， 则124y y m +=，124y y =-， 则121212121122QA QB y t y t y t y tk k x x my my ----+=+=+++++ ()()()()()()1221122222y t my y t my my my -++-+=++()()()12122121222424my y mt y y tm y y m y y +-+-=+++()228424484m m mt tt m m -+--==--++ 又2QF tk =-，∴2QA QB QF k k k +=， 故直线QA ，QF ，QB 的斜率成等差数列.【点睛】本题考查抛物线的基本性质，直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，属于难题.请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 【选修4-4坐标系与参数方程】22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为sin cos sin 2x y βββ=+⎧⎨=⎩（β为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρ=()1求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；()2已知点M 是曲线C 上的任意一点，求点M 到直线l 的距离的最小值.【答案】()121y x =-60y --=；()2178. 【解析】 【分析】()1参数方程转化为普通方程即可，运用转化公式将直线l 的极坐标方程转化为直角坐标方程即可；()2由()1知，曲线C 的普通方程为21y x =-，设其参数方程为21x t y t =⎧⎨=-⎩，则()2,1M t t -，利用点到直线的距离公式代入求点M 到直线l 的距离的最小值.【详解】解：()1由sin cos sin 2x y βββ=+⎧⎨=⎩（β为参数）得，212sin cos 1sin 21x y βββ=+=+=+， ∴曲线C 的普通方程为21y x =-；由ρ=cos sin 6θρθ-=，cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l60y --=；()2由()1知，曲线C 的普通方程为21y x =-，设其参数方程为21x t y t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），则()2,1M t t -， 直线l 60y --=，∴点M 到直线l 的距离为d ==，当2t =时，点M 到直线l 的距离的最小值为178. 【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程与普通方程的转化，考查点到直线的距离公式的运用，属于中档题.【选修4-5不等式选讲】23.已知0a >，0b >，0c >.()1若abc a b c =++，求证：9ab bc ac ++≥；()2若3a b c ++=，求证：2223b c a a b c++≥. 【答案】()1证明见解析；()2证明见解析.【解析】【分析】()1根据已知可得1111ab bc ca++=，由柯西不等式求证即可； ()2利用基本不等式求证即可.【详解】解：()1证明：由abc a b c =++得，1111ab bc ca++=， 由柯西不等式，()()21111119ab bc ca ab bc ca ⎛⎫++++≥++= ⎪⎝⎭. ∴9ab bc ac ++≥，等号成立的条件为a b c ===；()2证明：0a >，0b >，0c >. ∴()222b c a a b c a b c+++++ ()2222b c a a b c a b c a b c=+++++≥++ 即222b c a a b c a b c++≥++， 当且仅当1a b c ===时等号成立.又3a b c ++=，∴2223b c a a b c++≥. 【点睛】本题考查柯西不等式与基本不等式的运用，考查逻辑推理能力，属于中档题.。

河北省衡水市2021届新高考数学一模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设0.380.3log 0.2,log 4,4a b c ===，则（ ）A ．c b a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．b a c <<【答案】D 【解析】 【分析】结合指数函数及对数函数的单调性,可判断出10a -<<,1b <-,1c >,即可选出答案. 【详解】 由0.30.310log 4log 13<=-,即1b <-, 又8881log 0.125log 0.2log 10-=<<=,即10a -<<,0.341>,即1c >,所以b a c <<. 故选:D. 【点睛】本题考查了几个数的大小比较,考查了指数函数与对数函数的单调性的应用,属于基础题. 2．已知函数()xf x e b =+的一条切线为(1)y a x =+，则ab 的最小值为（ ） A ．12e-B ．14e-C ．1e-D ．2e-【答案】A 【解析】 【分析】求导得到'()xf x e =，根据切线方程得到ln b a a =，故2ln ab a a =，设()2ln g x x x =，求导得到函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min g x g e -⎛⎫= ⎪⎝⎭，计算得到答案. 【详解】()x f x e b =+，则'()x f x e =，取0x e a =，()0a >，故0ln x a =，()0f x a b =+.故(ln 1)a b a a +=+，故ln b a a =，2ln ab a a =.设()2ln g x x x =，()()'2ln 2ln 1g x x x x x x =+=+，取()'0g x =，解得12x e -=.故函数在120,e -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在12e ,-⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，故()12min 12g x g e e -⎛⎫==- ⎪⎝⎭.故选：A . 【点睛】本题考查函数的切线问题，利用导数求最值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 3．定义在R 上的奇函数()f x 满足()()330f x f x --+-=，若()11f =，()22f =-，则()()()()1232020f f f f ++++=（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】 【分析】首先判断出()f x 是周期为6的周期函数，由此求得所求表达式的值. 【详解】由已知()f x 为奇函数，得()()f x f x -=-， 而()()330f x f x --+-=， 所以()()33f x f x -=+， 所以()()6f x f x =+，即()f x 的周期为6.由于()11f =，()22f =-，()00f =， 所以()()()()33330f f f f =-=-⇒=，()()()4222f f f =-=-=， ()()()5111f f f =-=-=-， ()()600f f ==.所以()()()()()()1234560f f f f f f +++++=， 又202063364=⨯+， 所以()()()()1232020f f f f ++++=()()()()12341f f f f +++=.故选：C 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和周期性，属于基础题.4．如图，在平面四边形ABCD 中，,,120,1,AB BC AD CD BAD AB AD ⊥⊥∠=== 若点E 为边CD 上的动点，则AE BE ⋅的最小值为 （ ）A ．2116B ．32C ．2516D ．3【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】分析：由题意可得ABD △为等腰三角形，BCD 为等边三角形，把数量积AE BE ⋅分拆，设(01)DE tDC t =≤≤，数量积转化为关于t 的函数，用函数可求得最小值。

2021届河北衡中同卷新高考模拟试卷（八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第I 卷 选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}{}0,2,1,1,0,1,2A B ==-，则A B ⋂=（ ） A. {}0,2 B. {}1,2C. {}0D. {}2,1,0,1,2--【答案】A 【解析】 【分析】直接利用集合的交集运算，找出公共元素，即可得到结果. 【详解】{}{}0,2,1,1,0,1,2A B ==-{0,2}A B ∴=.故选：A.【点睛】本题考查了集合的交集运算，属于基础题.2.在复平面内，已知复数z 对应的点与复数1i +对应的点关于实轴对称，则zi=（ ） A. 1i + B. 1i -+C. 1i --D. 1i -【答案】C 【解析】 【分析】 先求出复数z,再求zi得解. 【详解】由题得z=1-i , 所以1i i i 11i 1i z +==---=-. 故选C【点睛】本题主要考查复数的几何意义和复数除法的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3.若干年前，某教师刚退休的月退休金为6000元，月退休金各种用途占比统计图如下面的条形图.该教师退休后加强了体育锻炼，目前月退休金的各种用途占比统计图如下面的折线图.已知目前的月就医费比刚退休时少100元，则目前该教师的月退休金为（ ）.A. 6500元B. 7000元C. 7500元D. 8000元【答案】D 【解析】 【分析】设目前该教师的退休金为x 元，利用条形图和折线图列出方程，求出结果即可．【详解】设目前该教师的退休金为x 元，则由题意得：6000×15%﹣x×10%＝100．解得x ＝8000． 故选D ．【点睛】本题考查由条形图和折线图等基础知识解决实际问题，属于基础题． 4.等差数列{}n a 的前9项的和等于前4项的和，若141,0k a a a =+=，则k=（ ）A. 10B. 7C. 4D. 3【答案】A 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得70a =，然后再次利用等差数列的性质确定k 的值即可. 【详解】由等差数列的性质可知：9579468750S S a a a a a a -=++++==,故70a =，则410720a a a +==，结合题意可知：10k =.本题选择A 选项.【点睛】本题主要考查等差数列的性质及其应用，属于中等题. 5.将三个数0.37，70.3，ln 0.3从小到大排列得( ) A. 0.37ln 0.370.3<< B. 70.3ln 0.30.37<< C. 70.30.3ln 0.37<< D. 0.377ln 0.30.3<<【答案】B 【解析】 【分析】分别与中间值0和1比较．【详解】由指数函数性质得700.31<<，0.371>，ln0.30<，∴70.3ln 0.30.37<<． 故选：B.【点睛】本题考查幂与对数的大小比较，解题时不同类型的数一般借助于中间值如0，1等比较． 6.函数()sin(2)2f x x π=-的图象以下说法正确的是（ ）A. 最大值为1，图象关于直线2x π=对称B. 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，为偶函数C. 在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，为偶函数 D. 周期为π，图象关于点(,0)π对称【答案】A 【解析】 【分析】根据诱导公式，将该函数化简为()cos2f x x =-，分析其性质，即可选出正确答案.【详解】()sin(2)cos 22f x x x π=-=-，其最大值1，为偶函数，周期为π.令2,()x k k Z π=∈，得,2k x k Z π=∈ 则该函数的对称轴为,2k x k Z π=∈，选项A 正确； 由222k x k πππ≤≤+得,2k x k k Z πππ≤≤+∈，则该函数的单调递增区间为[,],2k k k Z πππ+∈，选项B 错误；单调递减区间为[,],2k k k Z ππππ++∈，选项C 错误；令2,()2x k k Z ππ=+∈，得,24k x k Z =+∈ππ， 则该函数的对称中心为(,0),24k k Z ππ+∈，选项D 错误. 故选：A.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式，由三角函数的解析式判断其性质，属于中档题. 7.已知sin y x =，在区间[],ππ-上任取一个实数x ，则y ≥12-的概率为（ ） A.712B.23C.34 D.56【答案】B 【解析】 【分析】 求出满足12y ≥-的角x 的范围，由长度比，即可得到该几何概型的概率. 【详解】1sin ,[,]2y x x ππ=≥-∈-，5[,][,]66x ππππ∴∈--⋃-，则满足12y ≥-的概率为： 5()()266()3P ππππππ---+--==--.故选：B.【点睛】本题考查了三角不等式的求解，几何概型的计算，属于中档题.8.若3sin()25πα-=，则cos2α=（）A. 725B.2425C.725- D.2425-【答案】C 【解析】【分析】根据题意先求出3cos5α=，然后再用倍角公式求解即可得到结果．【详解】由条件得3 sin cos25παα⎛⎫-==⎪⎝⎭，∴2237 cos22cos121525αα⎛⎫=-=⨯-=-⎪⎝⎭．故选C．【点睛】本题考查诱导公式和倍角公式的应用，考查变形和计算能力，解题的关键是正确进行公式的变形，属于基础题．9.某三棱锥的三视图如图所示，已知它的体积为43，则图中x的值为（）A. 2B. 2C. 1D. 1 2【答案】C【解析】【分析】画出该三视图对应的直观图，再由棱锥的体积公式得出x的值. 【详解】该三视图对应的直观图是三棱锥S ABC-，如下图所示由棱锥的体积公式得：311442223233S ABC V x x x x -⎛⎫=⋅⋅⋅⋅== ⎪⎝⎭，解得：1x = 故选：C【点睛】本题主要考查了已知三视图求体积，属于中档题. 10.对于函数()21xf x e =+的图象，下列说法正确的是 （ ） A. 关于直线1x =对称 B. 关于直线y x =对称 C. 关于点()1,0对称 D. 关于点()0,1对称【答案】D 【解析】 【分析】由()21111x x x e f x e e -==+++，设()()11xx e g x x R e -=∈+,可得()g x 为奇函数,由图像平移可得答案.【详解】∵()2111111xx x e f x e e -=-+=+++，令()()11x x e g x x R e -=∈+，则()()1111x x x xe e g x g x e e-----===-++， ∴()g x 为奇函数，其图象关于原点对称，将()g x 图象向上平移1个单位长度可得()f x 图象， 所以()f x 图象关于()0,1对称. 故选：D【点睛】本题考查函数图像的平移和函数的奇函数的图像的对称性，属于基础题.11.已知函数2()(0)x f x x e x =+<与2()ln()g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）A. (,)e -∞B. 1(,)e-∞C. 1(,)e e-D. 1(,)e e-【答案】A 【解析】分析：函数()2(0)xf x x e x =+<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，等价于存在0x <，使()()0f x g x --=，即()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解，从而化为函数()()ln x m x e x a =--(),0-∞上有零点，进而可得结果.详解：若函数()()20xf x x ex =+<与()()2ln g x x x a =++图象上存在关于y 轴对称的点， 则等价为()()f x g x --，在0x <时，方程有解， 即()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解，令()()ln xm x e x a =--+，则()()ln xm x e x a =--+在其定义域上是增函数，且x →-∞时，()0m x <， 若0a ≤时，x a →时，()0m x >， 故()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解，当0a >时，则()ln 0xe x a --+=在(),0-∞上有解可化为，()0ln 0e a ->即ln 1a <，故0a e <<， 综上所述，(),a e ∈-∞，故选A.点睛：转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点.以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中.本题中，函数()2(0)xf x x e x =+<与()()2ln g x x x a =++的图象上存在关于y 轴对称的点，转化为存在0x <，使()()0f x g x --=是解题的关键.12.已知直线1x y +=与椭圆22221(0)x y a b a b+=>>交于,P Q 两点，且OP OQ ⊥（其中O 为坐标原点），若椭圆的离心率e满足32e ≤≤，则椭圆长轴的取值范围是（ ）A.B. C. 53[,]42D. 5[,3]2【答案】A 【解析】 【分析】联立直线方程与椭圆方程得（a 2+b 2）x 2﹣2a 2x+a 2﹣a 2b 2＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），由OP ⊥OQ ，得•OP OQ＝0，由根与系数的关系可得：a 2+b 2＝2a 2b 2．由椭圆的离心率ee，化为2221132a b a -≤≤，即可得出．【详解】联立222211x y x y ab +=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：（a 2+b 2）x 2﹣2a 2x+a 2﹣a 2b 2＝0，设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2）△＝4a 4﹣4（a 2+b 2）（a 2﹣a 2b 2）＞0，化为：a 2+b 2＞1．x 1+x 2＝2222a a b + ，x 1x 2＝22222a ab a b -+．∵OP ⊥OQ ，∴•OP OQ ＝x 1x 2+y 1y 2＝x 1x 2+（x 1﹣1）（x 2﹣1）＝2x 1x 2﹣（x 1+x 2）+1＝0，∴2×22222a a b a b -+﹣2222a a b++1＝0．化为a 2+b 2＝2a 2b 2．∴b 2＝2221a a -． ∵椭圆的离心率e满足3≤e≤2，∴21132e ≤≤，∴2221132a b a -≤≤，211113212a ≤-≤-，化为5≤4a 2≤6．≤2a．满足△＞0．∴椭圆长轴的取值范围是]． 故选A ．【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、向量垂直与数量积的关系、一元二次方程的根与系数的关系、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．第II 卷 非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.若实数,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则23x y-的最大值为__________.【答案】6 【解析】 【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，23z x y =-表示直线在y 轴上截距的13-，只需求出直线在y 轴上的截距最小值即可.【详解】解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线23z x y =-过点A 时， 在y 轴上截距最小，又()3,0A ， 此时max 236z =⨯=. 故答案为：6.【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题. 14.已知函数()x f x e ax =+的图象在点(0,(0))f 处的切线为21y x =+，a =______． 【答案】1 【解析】 【分析】对函数求导，得()xf x e a '=+.根据导数的几何意义，列出方程，即可解得a 的值.【详解】由()x f x e ax =+得()x f x e a '=+，()f x 的图象在点点(0,(0))f 处的切线为21y x =+，(0)12f a '∴=+=，则1a =.故答案为：1.【点睛】本题考查了导数的几何意义，函数的求导公式，属于基础题. 15.已知4sin 3cos 0+=αα，则2sin 23cos +αα的值为____________. 【答案】2425【解析】 【分析】由已知式求出3tan 4α=-，利用同角三角函数间的平方关系和商数关系，将2sin 23cos +αα化为22tan 3tan 1αα++，代入即可求值.【详解】4sin 3cos 0αα+=，3tan 4α∴=-，则22222sin cos 3cos sin 23cos sin cos ααααααα++=+ 22tan 3tan 1αα+=+232()343()14⨯-+=-+ 2425=. 故答案为：2425. 【点睛】本题考查了同角三角函数间的平方关系和商数关系，正、余弦其次式的计算，二倍角的正弦公式，属于中档题.16.在边长为ABCD 中，60A ︒=，沿对角线BD 折起，使二面角A BD C --的大小为120︒，这时点,,,A B C D 在同一个球面上，则该球的表面积为____. 【答案】28π【解析】【分析】取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，可知外接球的球心在面AEC 中，再作OG CE ⊥，分别求出OG 与CG 的长度后即可得解. 【详解】如图1，取BD 的中点E ,连接AE 、CE ，由已知易知面AEC ⊥面BCD ，则外接球的球心在面AEC 中.由二面角A BD C --的大小为120︒可知120AEC ∠=.在面AEC 中，设球心为O ，作OG CE ⊥，连接OE ，易知O 在面BCD 上的投影即为G ，OE 平分AEC ∠，∴G 为BCD ∆的中心，∴22CG GE ==，∴tan 603OG GE =⋅=， ∴227OC GC GO +=∴2=47=28S ππ⨯球.故答案为：28π【点睛】本题考查了立体图形外接球体积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.三．解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机APP 软件层出不穷，现从某市使用A 和B 两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下：(1)已知抽取的100个使用A 未订餐软件的商家中，甲商家的“平均送达时间”为18分钟，现从使用A 未订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家中随机抽取3个商家进行市场调研，求甲商家被抽到的概率；(2)试估计该市使用A 款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数；(3)如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A 和B 两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？【答案】（1）12；（2）40；（3）选B款订餐软件.【解析】【分析】⑴运用列举法给出所有情况，求出结果⑵由众数结合题意求出平均数⑶分别计算出使用A款订餐、使用B款订餐的平均数进行比较，从而判定【详解】（1）使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”不超过20分钟的商家共有1000.006106⨯⨯=个，分别记为甲，,,,,,a b c d e从中随机抽取3个商家的情况如下：共20种.{},a b甲，,{},a c甲，,{},a d甲，,{},a e甲，,{},b c甲，,{},b d甲，,{},b e甲，,{}{},,c d c e甲，甲，,{},d e甲，,{},,a b c,{},,a b d,{},,a b e,{},,a c d,{},,a c e,{},,a d e,{},,b c d, {},,b c e,{},,b d e,{},,c d e.甲商家被抽到的情况如下：共10种．{},a b甲，,{},a c甲，,{},a d甲，,{},a e甲，,{},b c甲，,{},b d甲，,{},b e甲，,{},c d甲，, {},c e甲，,{},d e甲，记事件A为甲商家被抽到，则()101 202P A==.（2）依题意可得，使用A款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，平均数为150.06250.34350.12450.04550.4650.0440⨯+⨯++⨯+⨯+⨯=.（3）使用B款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为150.04250.2350.56450.14550.04650.023540⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=<所以选B款订餐软件．【点睛】本题主要考查了频率分布直方图，平均数和众数，古典概率等基础知识，考查了数据处理能力以及运算求解能力和应用意识，属于基础题．18.如图，在四棱锥-P ABCD 中，PAD ∆和BCD ∆都是等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ，且24==AD AB ，23BC =．（1）求证：CD ⊥P A ；（2）E ，F 分别是棱P A ，AD 上的点，当平面BEF //平面PCD 时，求四棱锥-C PEFD 的体积．【答案】（1）证明见解析（2）152 【解析】【分析】（1）由已知即可证得：AB BD ⊥，且30ADB ︒∠=，再利用BCD 是等边三角形即可证得：CD AD ⊥，再利用面面垂直的性质即可证得：CD ⊥平面PAD ，问题得证.（2）利用平面BEF //平面PCD 可得：BF //CD ，结合CD AD ⊥可得BF AD ⊥，即可求得：DF =3，从而求得153PEFD S =四边形，利用（1）可得四棱锥-C PEFD 的高CD 23=，再利用锥体体积公式计算即可. 【详解】证明：（1）因为BCD ∆是等边三角形，所以23BC BD CD ===又4=AD ，2AB =，所以222AB BD AD +=，所以AB BD ⊥，且30ADB ︒∠=．又BCD 是等边三角形，所以306090ADC ADB BDC ︒∠=∠+∠=+=，所以CD AD ⊥．又平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD平面ABCD AD =，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD ．所以CD ⊥P A ．（2）因为平面BEF //平面PCD ，所以BF //CD ，EF //PD ，又CD AD ⊥所以BF AD ⊥．又在直角三角形ABD 中，DF =3︒=，所以1==AE AF ．所以1144sin 6011sin 6022=⨯⨯⨯︒-⨯⨯⨯︒=PEFD S 四边形 由（1）知CD ⊥平面PAD ，故四棱锥-C PEFD 的体积11532PEFD V S CD =⋅=四边形． 【点睛】本题主要考查了面面垂直的性质、线线垂直的判定、面面平行的性质及锥体体积计算公式，还考查了转化思想及空间思维能力，属于中档题.19.在ABC 中，内角A B C ，，所对的边分别为a b c ，，，已知sin cos 2sin cos A B c b B A b -=. （1）求A ；（2）设5b =，ABC S =若D 在边AB 上，且3AD DB =，求CD 的长.【答案】（1）3π；（2【解析】【分析】（1）根据正弦定理变换互化为sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B B A B -=，再化简求得1cos 2A =，求角A ； （2）根据面积求8AB =，ADC ∆中，根据余弦定理求CD 的长.【详解】（1）因为sin cos 2sin cos A B c b B A b-=， 由正弦定理可得sin cos 2sin sin sin cos sin A B C B B A B -=， 化简得：sin cos 2sin cos cos sin A B C A A B =-，所以sin cos cos sin 2sin cos A B A B C A +=，即()sin 2sin cos A B C A +=.又因为A B C π++=，所以()()sin sin sin A B C C π+=-=.则sin 2sin cos C C A =.因0C π<<，所以sin 0C ≠，所以1cos 2A =. 因为0A π<<，所以3A π=.（2）因为11sin 5sin 223ABC S AB AC A AB AB π=⋅⋅=⨯⨯⨯=，因为ABC S =AB =8AB =， 因为3AD DB =，即34AD AB =，所以6AD =. 在ACD 中，563AC AD A π===，，，由余弦定理得：2222cos CD AC AD AC AD A =+-⋅⋅， 则212536256312CD =+-⨯⨯⨯=，所以CD =【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，意在考查转化与化归的思想和计算能力，属于基础题型，一般边和角在一个是式子的时候，可以采用正弦定理边角互化，转化为三角函数恒等变形问题.20.已知函数()ln ,()a f x x a R x=+∈. （Ⅰ）求函数()f x 在区间(0,]e 上的最小值；（Ⅱ）判断函数()f x 在区间2[,)e -+∞上零点的个数.【答案】(1) 当a e ≥时，()f x 的最小值为ln a e e +； 当a e <时，()f x 的最小值为ln 1a +;(2)见解析. 【解析】分析：⑴求导后分类讨论a 的取值，结合单调性求出最小值⑵分离参量，转化为图像交点问题详解：（Ⅰ）因为0x >，()221a x a f x x x x='-=- ①当0a ≤时，()0f x '>，所以()f x 在(20,e ⎤⎦上是增函数，无最小值； ②当0a >时，又()0f x '>得x a >，由()0f x '<得x a <∴()f x 在()0,a 上是减函数，在(),a +∞上是增函数，若a e ≥，则()f x 在()0,e 上是减函数，则()()min ln a f x f e e e ==+； 若a e <，则()f x 在()0,a 上是减函数，在(),a e 上是增函数，∴()()min ln 1f x f a a ==+综上：当a e ≥时，()f x 的最小值为ln a e e+； 当a e <时，()f x 的最小值为ln 1a + （Ⅱ）由()ln 0a f x x x =+=得ln a x x -= 令()21ln ,g x x x x e =>，则()ln 1g x x ='+，由()0g x '>得1x e >，由()0g x '<得1x e<，所以()g x 在211,e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上是减函数，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上是增函数， 且2212110,0g g e e e e ⎛⎫⎛⎫=-<=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且211g g ee ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当x →+∞时，()g x →+∞， 所以，当1a e>时，()f x 无有零点； 当1a e =或22a e<时，()f x 有1个零点； 当221a e e ≤<时，()f x 有2个零点. 点睛：本题考查了含有参量的导数题目，依据导数，分类讨论参量的取值范围，来求出函数的单调性，从而得到最小值，在零点个数问题上将其转化为两个图像的交点问题．21.在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆22:143x y C +=的左顶点为A ，右焦点为F ，P ，Q 为椭圆C 上两点，圆222:()0O x y r r +=>.（1）若PF x ⊥轴，且满足直线AP 与圆O 相切，求圆O 的方程；（2）若圆O 的半径为2，点P ，Q 满足34OP OQ k k ⋅=-，求直线PQ 被圆O 截得弦长的最大值. 【答案】（1）223x y +=（2【解析】【分析】（1）根据题意先计算出P 点坐标，然后得到直线AP 的方程，根据直线与圆相切，得到半径的大小，从而得到所求圆的方程；（2）先计算PQ 斜率不存在时，被圆O 截得弦长，PQ 斜率存在时设为y kx b =+，与椭圆联立，得到12x x +和12x x ，代入到34OP OQ k k ⋅=-得到,k b 的关系，表示出直线PQ 被圆O 截得的弦长，代入,k b 的关系，从而得到弦长的最大值. 【详解】解：（1）因为椭圆C 的方程为22143x y +=， 所以(2,0)A -，(1,0)F ， 因为PF x ⊥轴，所以31,2P ⎛⎫± ⎪⎝⎭， 根据对称性，可取31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 则直线AP 的方程为1(2)2y x =+，即220x y . 因为直线AP 与圆O 相切，得222512=+， 所以圆的方程为 2245x y +=. （2）圆O 的半径为2，可得圆O 的方程为224x y +=.①当PQ x ⊥轴时，234OP OQ OP k k k ⋅=-=-，所以32OP k =±， 22324y x x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩得2167x =， 此时得直线PQ 被圆O 截得的弦长为1621477-=. ②当PQ 与x 轴不垂直时，设直线PQ 的方程为y kx b =+，()11,P x y ，()()2212,0Q x y x x ≠， 首先由34OP OQ k k ⋅=-，得1212340x x y y +=， 即()()1212340x x kx b kx b +++=，所以()()22121234440k x x kb x x b ++++=（*）.联立22143y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去x 得()2223484120k x kbx b +++-=， 在>0∆时，122834kb x x k +=-+，212241234b x x k-=+ 代入（*）式，得22243b k =+，由于圆心O 到直线PQ 的距离为21bd k =+，所以直线PQ 被圆O 截得的弦长为2222481l d k =-=++， 故当0k =时，l 有最大值为10. 综上，因为421107>， 所以直线PQ 被圆O 截得的弦长的最大值为10.【点睛】本题考查根据直线与圆相切求圆的方程，直线与椭圆的交点，弦长公式，对计算能力要求较高，属于难题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为13x t y t=-⎧⎨=+⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为2cos ρϕ=，点P 是曲线1C 上的动点，点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，点Q 的轨迹为2C ．（1）求直线l 及曲线2C 的极坐标方程；（2）若射线π(0)2θαα=<<与直线l 交于点M ，与曲线2C 交于点N （与原点不重合），求||||ON OM 的最大值.【答案】（1）直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=.2C 的极坐标方程为8cos ρθ=（21【解析】【分析】（1）消参可得直线的普通方程，再利用公式把极坐标方程与直角坐标方程进行转化，从而得到直线的极坐标方程；利用相关点法求得曲线2C 的极坐标方程；（2）利用极坐标中极径的意义求得长度，再把所求变形成正弦型函数，进一步求出结果．【详解】（1）消去直线l 参数方程中的t ，得4x y +=，由cos ,sin x y ρθρθ==，得直线l 的极坐标方程为cos sin 4ρθρθ+=， 故4cos sin ρθθ=+． 由点Q 在OP 的延长线上，且||3||PQ OP =，得||4||OQ OP =，设(),Q ρθ，则,4P ρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由点P 是曲线1C 上的动点，可得2cos 4ρθ=，即8cos ρθ=，所以2C 的极坐标方程为8cos ρθ=．（2）因为直线l 及曲线2C 的极坐标方程分别为4cos sin ρθθ=+，8cos ρθ=， 所以4cos sin OM αα=+，||8cos ON α=，所以()||π2cos cos sin 1cos2sin212||4ON OM αααααα⎛⎫=+=++=++ ⎪⎝⎭，所以当π8α=时，||||ON OM 1．【点睛】本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，考查了点的轨迹方程的求法，涉及三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，属于中档题．[选修4-5：不等式选讲]23.已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1-（1）求m 的值；（2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 【答案】（1）1；（2）见解析【解析】【分析】（1）由条件可得()2f x m x +=-，故有0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，进而可得结果；（2）根据()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭利用基本不等式即可得结果. 【详解】（1）函数()2f x m x =--，m R ∈，故() 2f x m x +=-，由题意可得0m x -≥的解集为[11]-，，即x m ≤的解集为[11]-，，故1m =． （2）由a ，b ，R c ∈，且111 123m a b c ++==， ∴()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 23321112233b c a c a b a a b b c c=++++++++ 233233692233b c a c a b a a b b c c=++++++≥+=， 当且仅当2332 12233b c a c a b a a b b c c ======时，等号成立． 所以239a b c ++≥.【点睛】本题主要考查带有绝对值的函数的值域，基本不等式在最值问题中的应用，属于中档题．。

2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（八）文科数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的.1.若集合{|0}A y y =≥，A B B ⋂=，则集合B 不可能是A. {|0}y y x =≥B. 1{|}2xy y x R ，⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭C. {}lg 0y y x x =， D. ∅【答案】C 【解析】【详解】因为AB B =，所以B A ⊆，对于A ，{|0}y y x A =≥=;对于B ，{}1||02xy y x y y ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=∈=>⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭R ， ⊄A ;对于C ，{}lg 0y y x x ==R ， ⊄A ；对于D ，易知∅ ⊄A ，因此选C ．2.已知i 是虚数单位，则122ii-+等于（ ） A. i B. 45i -C.4355i - D. i -【答案】D 【解析】 【分析】直接利用复数之间的代数运算即可. 【详解】12(12)(2)52(2)(2)5i i i ii i i i ----===-++-. 故选：D【点睛】本题主要考查了复数的代数运算，属于基础题.3.过点(2,3)A 且垂直于直线270x y +-=的直线方程为（ ） A. 250x y -+= B. 270x y +-=C. 230x y -+=D. 240x y -+=【答案】D 【解析】 【分析】设出垂直于直线270x y +-=的直线方程20x y m -+=，把(2,3)A 带入20x y m -+=解出m 即可. 【详解】设垂直于直线250x y +-=的直线方程为20x y m -+=， 又直线过点(2,3),2230A m ∴-⨯+=，解得4m =， 故所求直线的方程为240x y -+=. 故选:D【点睛】本题主要考查了两条直线垂直的设法，属于基础题.4.下列函数()f x 中，满足“对任意的12,(,0)x x ∈-∞，当12x x <时，总有12()()f x f x >”的是（ ） A. 2()(1)f x x =+ B. ()ln(1)f x x =-C. 1()f x x=D. ()x f x e =【答案】C 【解析】 【分析】根据题目所给条件，说明函数f （x ）在（﹣∞，0）上应为减函数，其中选项A 是二次函数，C 是反比例函数，D 是指数函数，图象情况易于判断，B 是对数型的，从定义域上就可以排除．【详解】函数满足“对任意的x 1，x 2∈（﹣∞，0），当x 1＜x 2时，总有f （x 1）＞f （x 2）”，说明函数在（﹣∞，1）上为减函数．f （x ）=（x+1）2是二次函数，其图象是开口向上的抛物线，对称轴方程为x=﹣1，所以函数在（﹣∞，﹣1）单调递减，在（﹣1，+∞）单调递增，不满足题意．函数f （x ）=ln （x ﹣1）的定义域为（1，+∞），所以函数在（﹣∞，0）无意义． 对于函数f （x ）=1x ，设x 1＜x 2＜0，则f （x 1）﹣f （x 2）=21121211x x x x x x --=，因为x 1，x 2∈（﹣∞，0），且x 1＜x 20，x 2﹣x 1＞0，则2112x x x x ->0，所以f （x 1）＞f （x 2），故函数f （x ）=1x在（﹣∞，0）上为减函数．函数f （x ）=e x 在（﹣∞，+∞）上为增函数． 故选C ．【点睛】本题考查了函数的单调性，解决此题的关键，是能根据题目条件断定函数为（﹣∞，0）上的减函数．判断函数单调性的方法有：根据函数模型判断，由单调性得到结论，根据函数的图像得到单调性. 5.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若535a a =，则95S S =（ ） A. 2 B.259C. 9D.925【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列前n 项和公式化简95S S ，再利用等差数列的性质：m n p q m n p q a a a a +=+⇒+=+即可计算出95S S . 详解】535a a =，又()()()()19199515515399922955522a a a a S a a a S a a a ++⨯====++⨯. 故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的前n 项和以及等差数列的性质，属于基础题.6.将函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位，得到函数()sin y f x x =⋅的图象，则()f x 的表达式可以是（ ）A. ()2cos f x x =-B. ()2cos f x x =C. ()22f x x = D. ()2cos 2)2f x x x =+ 【答案】B 【解析】 【分析】首先计算出函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位的函数，再根据()sin y f x x =⋅化简即可. 【详解】∵将函数cos 2y x =的图象向右平移4π个单位得cos 24y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭cos 2sin 22sin cos ()sin 2x x x x f x x π⎛⎫=-===⋅ ⎪⎝⎭，()2cos f x x ∴=.故选：B【点睛】本题主要考查了三角函数图像变换，属于基础题.7.设,x y 是0，1，2，3，4，5中任意两个不同的数，那么复数x yi +恰好是纯虚数的概率为（ ） A.16B.13C.15D.130【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的概念，若复数x yi +恰好是纯虚数，即实部是0. 【详解】有题意知本题是一个古典概型，实验发生包含的事件是从6个数字中任取2个数字，共有6530⨯=种结果， 满足条件的事件是复数x yi +恰好是纯虚数，即实部是0，这样虚部有5中结果， ∴复数x yi +恰好是纯虚数的概率为51306=. 故选：A【点睛】本题主要考查了纯虚数和古典概型，属于基础题.8.如图是某几何体的三视图，其中正视图是腰长为2的等腰三角形，侧视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A. 2(3)π+B. 23π+C. 3π+D. 23π+【答案】A 【解析】 【分析】根据几何体的三视图可知道该几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，两底面相对接的图形.【详解】由题意可得三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分， 然后把截面放在平面上，两底面相对接的图形， 圆锥的底面半径为1，母线长为2，该几何体的表面积就是圆锥的侧面积与轴截面面积的2倍的和， 圆锥的轴截面是边长为231122232122(3)22S S S ππ=+=⨯⨯⨯⨯⨯=截面圆锥侧.故选：A【点睛】本题主要考查了根据三视图还原几何体，组合体的表面积，解决此类问题的关键是还原几何体，属于中等题.9.．阅读如图的程序框图. 若输入6n =, 则输出k 的值为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B 【解析】试题分析：第一圈，n=6,n=13,否k=1； 第二圈，n=13,n=27,否k=2； 第三圈，n=27,n=55,否k=3；第四圈，n=55,n=110,是，输出k=3；故选B ． 考点：本题主要考查程序框图．点评：简单题，解的思路明确，主要看对程序框图的理解，注意逐次循环看结果．10.在ABC 所在的平面内有一点P ，如果2PA PC AB PB +=-，那么PBC 的面积与ABC 的面积之比是（ ） A.34B.12C.13D.23【答案】A 【解析】 【分析】首先化简2PA PC AB PB +=-可以得出30PA PC +=，所以点P 在AC 上，再根据三角形面积公式即可得出PBCABCS S △△. 【详解】2PA PC AB PB AB BP AP +=-=+=，230PA PC AP PA PC∴+-=+=，∴点P在边AC上，且||3 3||||,||4PCPA PCAC=∴=，如下图设ABC的AC边上的高为h，1||||321||4||2PBCABCPC hS PCS ACAC h⋅∴===⋅△△.【点睛】本题主要考查了平面向量的线性运算，属于基础题.11.已知四面体P ABC-的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面,23ABC AC AB=，若四面体P ABC-的体积为32，则该球的体积为（）A. 3πB. 2πC. 22πD. 43π【答案】D【解析】【分析】根据题意O为AB的中点，ABC为直角三角形，所以AB为球的直径，再根据四面体P ABC-的体积为32，即可求出球的半径，利用球的体积公式即可求出球的体积.【详解】由题意，O为AB的中点，ABC为直角三角形，如下图设2AB R=，由于23,3,AC AB AC R BC R=∴==.又PO⊥平面,ABC O为球心，OP OA OB R∴===，3311333,33262P ABC V R R RR R -=⨯⨯⋅⋅==∴=，34433V R ππ=⋅=球.故选：D【点睛】本题主要考查了三棱锥和球的体积公式，属于中等题.12.已知定义在R 上奇函数()f x 满足①对任意x ，都有(3)()f x f x +=成立；②当30,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，33()222f x x =--，则1()||f x x =在[4,4]-上根的个数是（ ）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】B 【解析】 【分析】根据题意画出函数()f x 及1()||f x x =的图像即可. 【详解】由①知函数()f x 的最小正周期是3，由②得3204()333242x x f x x x ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-<≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，画出函数()f x 及1()||f x x =的图像即得.故选：B【点睛】本题主要考查了函数图像交点个数问题，解决此类问题关键是画出两个函数的图像,属于中等题.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用 y （万元），有如下的统计资料：若由资料可知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为y ＝a +bx ，其中已知b ＝1.23，请估计使用年限为20年时，维修费用约为_________ 【答案】24.68 【解析】 【分析】根据所给的数据求出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，把样本中心点代入求出a 的值，写出线性回归方程，代入x 的值，预报出结果． 【详解】∵由表格可知2345645x ++++==，2.23.8 5.5 6.57.05y ++++==5，∴这组数据的样本中心点是（4，5）， 根据样本中心点在线性回归直线上， ∴5＝a +1.23×4， ∴a ＝0.08，∴这组数据对应的线性回归方程是y ＝1.23x +0.08， ∵x ＝20，∴y ＝1.23×20+0.08＝24.68 故答案为24.68【点睛】本题考查线性回归方程的求解及应用，考查样本中心点的计算，考查了计算能力，属于基础题．14.设,x y 满足约束条件360200,0x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥≥⎩，若目标函数(0,0)z ax by a b =+>>的最大值是12，则2294a b+的最小值为________. 【答案】12【解析】 【分析】首先根据约束条件画出平面区域，找出z ax by =+取到最大值时,a b 的关系，再把a 代入2294a b+，得到关于b 的二次函数，即可求出最值.【详解】不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线0,0()ax by z a b +=>>过直线20x y -+=与直线360x y --=的交点(4,6)时， 目标函数0,0()ax by z a b +=>>取得最大12， 即4612a b +=，即236a b +=，则22222131113(1)94924222a b b b b ⎛⎫+=-+=-+≥ ⎪⎝⎭，故答案为:12. 【点睛】本题给出了二元一次不等式组，求目标函数的最大值，主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于中等题. 15.已知数列{}n a 的前项和为n S ，且()*111,2n n n a a a n N +=⋅=∈，则2020S =_________.【答案】1010323⋅- 【解析】 【分析】首先化简12nn n a a +⋅=可得数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等比数列，再利用等比数列的前n 项和公式求出2020S【详解】∵数列{}n a 满足()*111,2n n n a a a n +=⋅=∈N ，212a a ∴⋅=，解得22a =，当2n ≥时，12121222nn n n n n n na a a a a a +++++=⇒=， ∴数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比为2. 则()()()10101010202013201924202022121S2121a a a a a a --=+++++++=+--1010323=⋅-，故答案为：1010323⋅-.【点睛】本题主要考查了等比数列的前n 项和公式，属于基础题.16.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点是12,F F ，设P 是双曲线右支上一点，12F F 在1F P 上的投影的大小恰好为1F P 的模，且它们的夹角为6π，则双曲线的离心率e 是___________.1 【解析】 【分析】根据12F F 在FP 上的投影的大小恰好为1F P 的模，得出12PF PF ⊥，再利用直角三角形，双曲线的定义即可求出离心率e . 【详解】12F F 在FP 上的投影的大小恰好为1F P 的模，12PF PF ∴⊥又因为它们的夹角为12,66PF F ππ∴∠=，∴在12PF F Rt △中，12122,,F F c PF PF c =∴==，根据双曲线的定义122,1cPF PF c aa-=-=∴=， 所以1e = 1.【点睛】本题主要考查了双曲线离心率的求法，属于基础题.三、解答题：本大题共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设函数2()sin 2cos 1(0)62f x x x πωωω⎛⎫=--+> ⎪⎝⎭.直线y =()y f x =图象相邻两交点的距离为π.（1）求ω的值；（2）在ABC 中，角、、A B C 所对的边分别是a 、b 、c .若点,02B ⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心，且3b =，求ABC 外接圆的面积. 【答案】（1）2；（2）3π 【解析】 【分析】（1）化简2()sin 2cos 1623x f x x x πωωπω⎛⎫=--+⎛=⎫- ⎪⎝⎪⎝⎭⎭，因为()f x函数()f x 的最小正周期为π，利用2ππω=，得2ω=.（2）根据点,02B ⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y f x =图象的一个对称中心求出角B 的值，再利用正弦定理求出外接圆的半径，根据圆的面积公式即可求出圆的面积. 【详解】（1）1cos ()sin coscos sin21662xf x x x ππωωω+=⋅-⋅-⋅+31cos sin 22x x x x ωωωω⎫=-=⎪⎪⎭3x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为()f x()f x 的最小正周期为π， 由2ππω=，得2ω=.（2）因为()23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭， sin 03B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，20,,0,33333B B B B ππππππ<<-<-<∴-==，由正弦定理22,sin b R R R B ==∴= ABC 外接圆的面积为23R ππ=.【点睛】本题主要考查了两角差的正弦公式、三角函数的降幂公式、三角函数的图像与性质和正弦定理等知识，属于中等题.18.为了增强学生的环境意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，本次竞赛的成绩（得分均为整数，满分100分）整理，制成下表： 成绩 [40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100)频数 231415144（1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图；（2）若从成绩在[40,50)中选一名学生，从成绩在[90,100)中选出2名学生，共3名学生召开座谈会，求[40,50)组中学生1A 和[90,100)组中学生1B 同时被选中的概率？【答案】（1）见解析；（2）14【解析】 【分析】（1）计算出各组的频率即可.（2）记[40,50)中的学生为12,A A ；[90,100)中的学生为1234,,,B B B B ，找出基本事件，1A ，1B 同时被抽得的事件即可。

2021届河北衡水密卷新高考模拟试卷（十八）数学（理科）★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.已知复数1023z i i=-+（其中i 为虚数单位），则z 的共轭复数z =（ ）. A. 33i - B. 33i +C. 3i -D. 3i +【答案】B 【解析】 【分析】先根据复数代数形式的四则运算求出z ，再根据共轭复数的概念得到z ．【详解】解：∵1023z i i=-+()()()103233i i i i -=-+-3233i i i =--=-， ∴33z i =+， 故选：B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的除法运算，考查共轭复数的概念，属于基础题． 2.已知集合{}2,1,1,2A =--，()(){}120,B x x x x Z =+-<∈，则A B =（ ）.A. {}1B. {}11-，C. {}2,2-D. {}0,1【答案】A 【解析】 【分析】先解不等式并用列举法求出集合B ，再根据交集的定义求解即可． 【详解】解：∵()()120x x +-<， ∴12x -<<， ∴{}0,1B =， 又{}2,1,1,2A =--， ∴{}1A B ⋂=， 故选：A ．【点睛】本题主要考查集合的交集运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题．3.居民消费价格指数，简称CPI ，是一个反映居民家庭一般所购买的消费品和服务项目价格水平变动情况的宏观经济指标.一般来说，CPI 的高低直接影响着国家的宏观经济调控措施的出台与力度，下图是国家统计局发布的我国2009年至2018年这十年居民消费价格指数的折线图.则下列对该折线图分析正确的是（ ）A. 这十年的居民消费价格指数的中位数为2013年的居民消费价格指数B. 这十年的居民消费价格指数的众数为2015年的居民消费价格指数C. 2009年～2012年这4年居民消费价格指数的方差小于2015年～2018年这4年居民消费价格指数的方差D. 2011年～2013年这3年居民消费价格指数的平均值大于2016年～2018年这3年居民消费价格指数的平均值 【答案】D 【解析】 【分析】结合图象，从低到高依次写出各点的横坐标（即年份），由此可判断A 选项，观察各点的纵坐标，由此可判断B 选项与D 选项；根据方差的定义，数据上下波动的幅度越小，方差越小，从而可判断C 选项． 【详解】解：结合图象，从低到高各点的横坐标依次为2009，2015，2014（2017），2016，2018，2013，2012，2010，2011，则A 错；观察各点的纵坐标，可得2014年与2017年的数据相等，其余各年的数据均不相等，则B 错；同时2011年～2013年这3年居民消费价格指数均大于2016年～2018年这3年居民消费价格指数，则D 对； 根据方差的定义，数据上下波动的幅度越小，方差越小，明显发现2015年～2018年这4年居民消费价格指数更稳定，则C 错； 故选：D ．【点睛】本题主要考查根据折线图解决实际问题，考查数形结合思想，属于基础题． 4.函数()cos x f x e x =-的图象大致为（ ）.A.B.C.D.【答案】D 【解析】 【分析】（法一）结合选项中的图象，求出(1)f 的符号即可得出结论；（法二）求导，判断函数()cos x f x e x =-在()0,∞+上的单调性，从而得出结论．【详解】解：（法一）∵()cos x f x e x =-， ∴(1)cos10f e =->， 符合要求的只有D 选项； （法二）∵()cos x f x e x =-， ∴()sin 0x f'x e x =+>，∴函数()cos x f x e x =-在()0,∞+上单调递增， 符合要求的只有D 选项； 故选：D ．【点睛】本题主要考查函数图象的识别，考查利用导数研究函数的单调性，通常结合函数的定义域、奇偶性、单调性等性质利用排除法解题，属于基础题．5.把书架上的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《五曹算经》、《孙子算经》5本中国古代数学专著重新排列一下，若要求其中的《周髀算经》和《九章算术》这2本书相邻，则所有不同排法的种数为（ ）. A. 120 B. 96 C. 48 D. 24【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法将《周髀算经》和《九章算术》捆绑在一起后与其余三本书全排列，再乘以《周髀算经》和《九章算术》的全排列即可．【详解】解：由题意可得《周髀算经》和《九章算术》这2本书相邻的不同排法有424248A A ⋅=种，故选：C ．【点睛】本题主要考查排列中的相邻问题，一般用捆绑法解决，属于基础题． 6.函数()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最小正周期及对称轴是（ ）. A. 3,x k πππ=+()k Z ∈ B. 2,3x k πππ=+()k Z ∈ C. 23,x k πππ=+()k Z ∈D. 22,3x k πππ=+()k Z ∈【答案】C 【解析】【分析】先化简函数为()()sin f x A x B ωϕ=++的形式，再用整体法即可求出答案． 【详解】解：∵()sin sin 3f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1sin cos sin 22x x x =++3sin 22x x =+6x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴函数()f x 的最小正周期2T π=， 由,62x k k Z πππ+=+∈得,3x k k Z ππ=+∈，即函数()f x 的对称轴为,3x k k Z ππ=+∈，故选：C ．【点睛】本题主要考查三角函数的化简与性质，属于基础题． 7.已知,m n 是两条不同直线，,αβ是两个不同平面，给出四个命题： ①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，则αβ⊥；②若,m m αβ⊥⊥，则αβ∥；③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥；④若,,m n m n αβ，则αβ∥.其中正确的命题是（ ） A. ①② B. ②③C. ①④D. ②④【答案】B 【解析】 【分析】由面面垂直的判定定理，可判断①的真假；由面面平行的判定定理及线面垂直的几何特征，可以判断②的真假；由面面垂直的判定定理，及线面垂直的几何特征，可以判断③的真假；根据线面平行的几何特征及面面平行的判定方法，可以判断④的真假． 【详解】①若m αβ=，n ⊂α，n m ⊥，如图，则α与β不一定垂直，故①为假命题；②若,m m αβ⊥⊥，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则αβ∥；故②为真命题； ③若,,m n m n αβ⊥⊥⊥，则αβ⊥，故③为真命题；④若,,m n m n αβ，如图，则α与β可能相交，故④为假命题．故选B ．【点睛】本题考查的知识点是平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定定理、性质定义、几何特征是解答的关键．8.设双曲线2222:1x y C a b-=()0, 0a b >>的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，若点P 在双曲线C 的右支上，且124PF PF =，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）. A. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B. 51,3⎛⎤ ⎥⎝⎦C. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D. 5,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】 【分析】由双曲线的定义可得122PF PF a -=，再根据点P 在双曲线的右支上，2PF c a ≥-，从而求得此双曲线的离心率的范围．【详解】解：由双曲线的定义可得122PF PF a -=， 又124PF PF =， ∴183PF a =，223PF a =，∵点P 在双曲线的右支上， ∴2PF c a ≥-，即23a c a ≥-， ∴离心率53c e a =≤， 又双曲线的离心率1e >， ∴513e <≤， 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率的应用，考查数形结合思想，属于中档题． 9.若24sin cos2t θθ=，则2sin sin 2θθ+=（ ）.2t B. tC. 2tD. 4t【答案】B 【解析】 【分析】 由题意得1cos 4sin 2t θθ+⋅=，由此即可求出答案． 【详解】解：∵24sin cos 2t θθ=，∴1cos 4sin 2t θθ+⋅=， 即2sin sin 2t θθ+=， 故选：B ．【点睛】本题主要考查二倍角公式的应用，属于基础题．10.如图，在正方体1111-ABCD A B C D 中，E 是棱1CC 的中点，则平面1AD E 与平面ABCD 的交线与直线11C D 所成角的正切值为（ ）.A.12B.23C.32D. 2【答案】A 【解析】 【分析】延长1D E 与直线CD 相交于F ，连接AF ，则AFD ∠为平面1AD E 与平面ABCD 的交线与直线11C D 所成角，从而解直角三角形即可．【详解】解：延长1D E 与直线CD 相交于F ，连接AF ，则平面1AD E 与平面ABCD 的交线为AF ， 而11//C D CD ，∴AFD ∠为平面1AD E 与平面ABCD 的交线与直线11C D 所成角， ∵E 是棱1CC 的中点，且11//DD CC ， ∴CD CF =， ∴1tan 2AD AFD DF ∠==，故选：A ．【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题．11.已知抛物线2:2C x py =()0p >的焦点为F ，若O 为坐标原点，点A 、B 在抛物线C 上，且2AF FB =，则AFOF=（ ）. A.54B.43C.32D.53【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得0,2p F ⎛⎫⎪⎝⎭，由题意可设直线AB 的方程为()02p y kx k =+≠，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立直线与抛物线方程并消元，由韦达定理得122x x pk +=，212x x p =-，又2AF FB =可得122x x -=，由此可求出k ，再根据抛物线的定义即可求出比值．【详解】解：由题意可得0,2p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 由题意可知直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线AB 的方程为()02py kx k =+≠， 联立222x py p y kx ⎧=⎪⎨=+⎪⎩消元得2220x pkx p --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，不妨设10x <，∴122x x pk +=，212x x p =-，又2AF FB =，∴()12200x x -=-，即122x x -=，∴122x p x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴122x x k p +==，∴12232222p p p p y AF p p OF ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭===，故选：C ．【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，考查抛物线定义的应用，考查转化与化归思想，属于中档题．12.已知定义在[]22-,上的函数()y f x =满足()()f x f x '<，则不等式1()(21)x e f x f x ->-的解集为（ ）. A. (,1)-∞ B. 13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. []0,1D. 31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D 【解析】 【分析】 构造函数()()x f x F x e =，求导得()()()x f'x f x F'x e -=，从而有()()xf x F x e=在[]22-,上单调递减，1()(21)x e f x f x ->-()()2121x x f x f x e e --⇔>()()21F x F x ⇔>-，根据单调性解不等式即可． 【详解】解：令()()x f x F x e =，则()()()xf'x f x F'x e -=， ∵()()f x f x '<， ∴()F'0x <， ∴()()xf x F x e =在[]22-,上单调递减， ∵1()(21)x ef x f x ->-()()2121x x f x f x e e--⇔>()()21F x F x ⇔>-， ∴22221221x x x x -≤≤⎧⎪-≤-≤⎨⎪<-⎩，解得312x <≤，故选：D ．【点睛】本题主要考查导数在研究函数单调性中的应用，考查利用单调性解不等式，本题的关键是构造函数()()xf x F x e =，属于难题． 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题～第23题为选考题，考生根据要求作答. 二、填空题：13.在菱形ABCD 中，若6BD =，则CB DB ⋅的值为______. 【答案】18 【解析】 【分析】 设ACBD O =，()CB DB CO OB DB ⋅=+⋅，由此可求出答案．【详解】解：设ACBD O =，如图则AC BD ⊥，则()CB DB CO OB DB ⋅=+⋅CO DB OB DB =⋅+⋅210182DB =+=，故答案为：18．【点睛】本题主要考查定义法求平面向量的数量积，考查平面向量的基本运算，属于基础题． 14.在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若22()8c a b =-+，3C π=，则ABC 的面积为______. 【答案】3【解析】 【分析】结合题意及余弦定理可得282cos3ab ab π-+=-，求出8ab =，再根据三角形的面积公式即可求出答案．【详解】解：∵2222()828c a b a b ab =-+=+-+，3C π=，由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，∴282cos 3ab ab ab π-+=-=-，∴8ab =， ∴ABC ∆的面积113sin 82322S ab C ==⨯⨯=， 故答案为：23．【点睛】本题主要考查余弦定理的应用，考查三角形的面积公式，属于基础题．15.若实数x ，y 满足x ＞y ＞0，且log 2x ＋log 2y ＝1，则22x y x y+-的最小值为__________．【答案】4 【解析】由log 2x ＋log 2y ＝1，得xy ＝2，＝＝＝x －y ＋≥4，则的最小值为4.16.“水能载舟，亦能覆舟”是古代思想家荀子的一句名言，意指事物用之得当则有利，反之必有弊害.对于高中生上学是否应该带手机，有调查者进行了如下的随机调查：调查者向被调查者提出两个问题：（1）你的编号是奇数吗？（2）你上学时是否带手机？学生在被调查时，先背对着调查人员抛掷一枚硬币（保证调查人员看不到硬币的抛掷结果），如果正面向上，就回答第一个问题，否则就回答第二个问题.被调查的学生不必告诉调查人员自己回答的是哪一个问题，只需回答“是”或“不是”，由于只有被调查者本人知道回答了哪一个问题，所以都如实地做了回答.某次调查活动共有800名高中生（编号从1至800）参与了调查，则回答为“不是”的人数的最大值是______.如果其中共有260人回答为“是”，则由此可以估计这800名学生中，上学带手机的人数约为______. 【答案】 (1). 800 (2). 120 【解析】 【分析】第一空因为样本容量为800，则回答“不是”的人数不超过样本容量即可；结合掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率均为0.5，则回答第一个问题和第二个问题的人数大约为400，而学号为奇数和偶数的概率均为0.5，则回答第一个问题的人中回答“是”的占200人，由此可得出第二空答案． 【详解】解：∵某次调查活动共有800名高中生参与了调查， ∴回答为“不是”的人数的最大值是800，∵掷一枚硬币正面向上和反面向上的概率均为0.5， ∴回答第一个问题和第二个问题的人数大约为400，而学号为奇数和偶数的概率均为0.5，则回答第一个问题的人中回答“是”的占200人， ∵其中共有260人回答为“是”，∴在回答问题（2）的400人中，回答“是”人数为260-200=60， ∴这800名学生中，上学带手机的人数约为120， 故答案为：800；120．【点睛】本题主要考查随机抽样的概念及特征，考查涉及敏感性信息的问卷调查，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为315n S S ⋅=，0n a >，1d >，且______.从“①等比数列{}n b 的公比12q =，12b a =，33b a =；②11a -，21a -，31a +为等比数列{}n b 的前3项”这两个条件中，选择一个补充在上面问题中的划线部分，使得符合条件的数列{}n a 存在并作答. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，求证：115n T ≥.【答案】选择②；（1）21n a n =+()*n ∈N .（2）证明见解析【解析】 【分析】若选①，则由题意3312b a b a =<=，则0d <，不符合题意，故选②； （1）由题意得2315a =，()()()2132111a a a -+=-，由此解方程组即可得出；（2）利用裂项相消法求出113612n T n=⨯+，而35122n +≤，从而得出证明． 【详解】解：若选①，因为{}n b 的公比12q =，且0n a >，则3312b a b a =<=，则0d <，不符合题意，故选②；（1）由{}n a 为等差数列，315S =，得2315a =，则25a =， 又11a -，21a -，31a -为等比数列{}n b 的前3项，∴()()()2132111a a a -+=-，即(4)(6)16d d -+=，解得2d =或4d =-（舍），∴13a =，21n a n =+()*n ∈N ；（2）∵111111(21)(23)22123n na a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， ∴122311113(23)n n n n T a a a a a a n +=+++=+111113366151122n =⨯≥⨯=++．【点睛】本题主要考查等差数列的应用，考查裂项相消法求数列的和，考查计算能力与转化能力，属于基础题．18.如图，已知等边ABC 与直角梯形ABDE 所在的平面互相垂直，且AE AB ⊥，//BD AE ，22AB BD AE ===，12AM MC =.（1）证明：直线//CD 平面BEM ；（2）求直线ED 与平面BEM 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（26【解析】 【分析】（1）连接AD 交于EB 点O ，连接OM ，则:1:2AO OD =，12AM MC =得:1:2AM MC =，则//MO CD ，则//CD 平面BEM ；（2）解：取AB 中点F ，ED 中点G ，连接CF ，FG ，则//FG AE ，可证AE ⊥平面ABC ，则FG ⊥平面ABC ，分别以FC ，FB ，FG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，利用平面的法向量与直线的方向向量的夹角的余弦值即可求出答案． 【详解】（1）证明：连接AD 交于EB 点O ，连接OM ，∵//BD AE ，2BD AE =， ∴:1:2AO OD =， ∵12AM MC =， ∴:1:2AM MC =，∴//MO CD ， 又∵CD ⊄平面BEM ，MO ⊂平面BEM ， ∴//CD 平面BEM ；（2）解：取AB 中点F ，ED 中点G ，连接CF ，FG ，∴//FG AE ，又∵ABC 等边，∴CF AB ⊥；∵平面ABC ⊥平面ABDE ，AE AB ⊥，平面ABC 平面ABDE AB =，AE ⊂平面ABDE ，∴AE ⊥平面ABC ， ∴FG ⊥平面ABC ，分别以FC ，FB ，FG 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则(0,1,0)A -，(0,1,0)B ，3,0,0)C ，(0,1,2)D ，(0,1,1)E -，∴31,03AM ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,0)BA =-，35,03BM ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，(0,2,1)EB =-，(0,2,1)ED =，设平面BEM 的一个法向量为(),,n x y z =，则由00n EB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩得一个(5,3,23)n =，设直线ED 与平面BEM 所成角为θ， 则6sin cos ,5n ED θ=<>=， ∴直线ED 与平面BEM 所成角的正弦值为6． 【点睛】本题主要考查证明线面平行的方法，考查直线与平面所成的角的求法，属于中档题．19.我国是世界上严重缺水的归家之一，某市为了制订合理的节水方案，对家庭用水情况进行了抽样调查，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t ）的数据，将这些数据按照[)0,0.5，[)0.5,1，[)1,1.5，[)1.5,2，[)2,2.5，[)2.5,3，[)3,3.5，[)3.5,4，[)4,4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.（1）求图中的b 值，若该市有30万个家庭，试估计全市月均用水量不低于3t 的家庭数； （2）假设同组中的每个数据都用该组区间的中点值代替，试估计全市家庭月均用水量的平均数； （3）现从月均用水量在[)0,0.5，[)0.5,1的家庭中，先按照分层抽样的方法抽取9个家庭，再从这9家庭中抽取4个家庭，记这4个家庭中月均用水量在[)0.5,1中的数量为ξ，求ξ的分布列及数学期望. 【答案】（1）0.08b =，36000；（2）2.02；（3）分布列见解析，8()3E ξ= 【解析】 【分析】（1）由题意()0.0420.120.160.280.30.0.50.5144b +++⨯+++=+，解得0.08b =，由此可得全市月均用水量不低于3t 的家庭所占比例为12%，从而求出答案； （2）直接根据平均数的计算公式求解即可；（3）按照分层抽样抽取9个家庭，即[)0,0.5抽3家，[)0.5,1抽6家，因此ξ可能的取值为1,2,3,4，根据概率计算公式即可求出ξ的分布列，再根据期望的计算公式即可求出期望． 【详解】解：（1）∵频率分布直方图中所有矩形的面积之和为1，∴()0.0420.120.160.280.30.0.50.5144b +++⨯+++=+，解得0.08b =， ∴月均用水量不低于3t 的家庭所占比例(0.040.080.12)++0.50.1212%⨯==， 因此估计全市月均用水量不低于3t 的家庭所占比例为12%， 家庭数约为30000012%36000⨯=； （2）因为(0.250.080.750.16 1.250.3⨯+⨯+⨯ 1.750.44 2.250.5+⨯+⨯ 2.750.28+⨯ 3.250.12+⨯3.750.08 4.250.04)0.5 2.02+⨯+⨯⨯=，因此估计全市家庭月均用水量的平均数为2.02；（3）在月均用水量[)0,0.5，[)0.5,1中，[)0,0.5有4家，[)0.5,1有8家，共12家， 按照分层抽样抽取9个家庭，即[)0,0.5抽3家，[)0.5,1抽6家， 因此ξ可能的取值为1,2,3,4，其中3136491(1)21C C C P ξ===，2236495(2)14C C P C ξ===， 13364910(3)21C C P C ξ===，0436495(4)42C C P C ξ===，∴ξ的分布列如下表所示：数学期望151058()1234211421423E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】本题主要考查频率分布直方图的实际应用，考查随机变量的分布列与期望的求法，考查计算能力，属于中档题．20.已知椭圆221:164x yC+=，A为椭圆1C上的动点，点B在y轴上，且直线AB垂直于y轴，点M满足63BM BA=.（1）求M的轨迹方程2C；（2）设点F是椭圆1C的右焦点，点N是2C上在第一象限内的点，过点N作2C的切线交椭圆1C于P，Q 两点，试判断PQF∆的周长是否为定值，若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由.【答案】（1）224x y+=；（2）是定值，26【解析】【分析】（1）设()11,A x y，(),M x y，由已知有()10,B y，由题意得())111160,0,x y y x y y--=--，由此可求出答案；（2）由已知得(2,0)F，设()22,P x y，()33,Q x y且23,(6,6)x x∈-结合两点间距离公式以及椭圆的方程可得||||6PF PN+=||||6QF QN+=||||||6PF QF PQ++=【详解】解：（1）设()11,A x y，(),M x y，由已知有()10,B y，∵63BM BA=，∴())111160,0,3x y y x y y--=--，解得116x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩，代入1C得224x y+=，∴2C 的方程为224x y +=；（2）由已知得(2,0)F ，设()22,P x y ，()33,Q x y 且23,(6,6)x x ∈-，则()2222||2PF x y =-+又2222164x y +=，代入上式得()2222||2PF x y =-+()22222416x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭()221323x =-)23323x =-， 又22||||||PN OP ON =-22224x y =+-=22222341463x x x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭， ∴||||6PF PN +=同理||||6QF QN +=||||||26PF QF PQ ++=故PQF ∆的周长为定值26【点睛】本题主要考查直线与椭圆的位置关系，考查计算能力，考查转化与化归思想，属于难题． 21.已知函数2()f x x x =-，()ln g x x =．（1）讨论函数()()()h x af x g x =-(R)a ∈的单调性；（2）证明：若1a <，则对于任意0x >，不等式()(1) ()(2) f x x g x a x >++-恒成立． 【答案】（1）详见解析；（2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导2121()2ax ax h x ax a x x--'=--=，再分类讨论得导数符号，从而得出函数的单调性；（2）原不等式即2(1)ln 0x x x ax x +-+-<，变形为(1)ln 10x xx a x+-+-<，只需ln ln 1x x x a x -<--+证恒成立；设函数()ln F x x x =-，ln ()1xG x a x=--+，结合导数易得()(1)1F x F ≤=-，1()()1G x G e a e≥=-+-，由1a <，得1111a e e -+->->-，从而得出证明．【详解】（1）解：函数()2()ln h x a x x x =--的定义域为(0,)+∞，2121()2ax ax h x ax a x x--'=--=，①当0a =时，1()0h x x'=-<，则()h x (0,)+∞内单调递减；②当0a >时，由()0h x '<得，2210ax ax --<，解得04a x a+<<，由()0h x '>得，x >，则()h x 在⎛ ⎝⎭内单调递减，在⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递增； ③当80a -≤<时，221212148a ax ax a x ⎛⎫--=--- ⎪⎝⎭108a ≤--≤，则()0h x '≤，则()h x 在(0,)+∞内单调递减；④当8a <-时，由()0h x '<得，2210ax ax --<，解得04a x a +<<，或4a x a->，由()0h x '>得，44a a x a a <<，则()h x 在⎛ ⎝⎭，⎫+∞⎪⎪⎝⎭内单调递减，在⎝⎭内单调递增；综上：当0a >时，()h x 在0,4a a ⎛+ ⎪⎝⎭内单调递减；在4a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭内单调递增； 当80a -≤≤时，()h x 在(0,)+∞内单调递减；当8a <-时，()h x 在0,4a a ⎛+ ⎪⎝⎭，4a a ⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭内单调递减，在,44a a a a ⎛- ⎪⎝⎭内单调递增；（2）证明：原不等式即2(1)ln 0x x x ax x +-+-<，变形为(1)ln 10x x x a x+-+-<， ∴只需ln ln 1x x x a x-<--+证恒成立， 设函数()ln F x x x =-，ln ()1x G x a x =--+， 因为11()1x F x x x-'=-=，易得()F x 在(0,1)单调递增，在(1,)+∞上单调递减， 所以()(1)1F x F ≤=-，221ln ln 1()x x G x x x--'=-=，()G x 在(0,e)单调递减，在上(e,)+∞单调递增， 所以1()()1G x G e a e ≥=-+-，因为1a <，所以1111a e e -+->->-，即ln ln 1x x x a x-<--+在(0,)+∞内恒成立， ∴若1a <，则对于任意0x >，不等式()(1)()(2)f x x g x a x >++-．【点睛】本题主要考查利用函数的导数研究函数的单调性，考查利用导数证明不等式，考查计算能力，考查分类讨论思想，考查转化与化归思想，属于难题．※考生注意：请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.选修4——4：坐标系与参数方程22.已知曲线1C的参数方程为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数），曲线2C的参数方程为cos 4sin 4x t y t ππ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标；（2）若点A 的极坐标为()2,π，设曲线2C 与y 轴相交于点B ，则在曲线1C 上是否存在点P ，使得PA PB ⊥，若存在，求出点P 的直角坐标，若不存在，请说明理由.【答案】（1）)π，2π⎫⎪⎭；（2）存在，点4,33P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）先求出曲线1C 和2C 的直角坐标方程，联立方程求得两曲线的公共点的直角坐标，再转化为极坐标； （2）求出点A 和点B 的直角坐标，假设存在点P满足条件，设点)P θθ，求得(2)AP θθ=+，(2BP θθ=，由题意得0AP BP ⋅=，结合数量积的坐标表示即可求出答案．【详解】解：（1）由题知，曲线1C 消去参数θ得到曲线1C 的直角坐标方程为222y y +=，曲线2C 消去参数t 得到曲线2C 的直角坐标方程为y x =+，联立1C 与2C的直角坐标方程222x y y x ⎧+=⎪⎨=+⎪⎩解得0x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩或0x y =⎧⎪⎨=⎪⎩ 故两曲线的公共点的直角坐标为(和，∴曲线1C 与曲线2C 的公共点的极坐标为)π，2π⎫⎪⎭； （2）点A 的直角坐标为(2,0)-，点B 的直角坐标为，假设存在点P 满足条件，不妨设点)P θθ，则(2)AP θθ=+，(2BP θθ=，因为PA PB ⊥，所以AP BP ⊥，即0AP BP ⋅=，且0BP ≠，得2)0θθθθ+⋅-=，sin 1θθ-=-，又22cos sin 1θθ+=，得cos 3θ=-，1sin 3θ=-， 所以点4,3P ⎛- ⎝⎭， 即在曲线1C 上存在点4,33P ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，使得PA PB ⊥．【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，考查计算能力，属于中档题．选修4——5：不等式选讲23.设1()|2|f x x t x t=++-(0)t <，()3g x x =+. （1）当1t =-时，求不等式()()f x g x <的解集；（2）证明：()f x ≥.【答案】（1）{}04x x <<；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分类讨论法解绝对值不等式；（2）结合绝对值三角不等式、基本不等式证明即可．【详解】解：（1）当1t =-时，不等式()()f x g x <等价于|2||1|3x x x -++<+①，当1x ≤-时，①式化为213x x x ---<+，解得23x -<，解集为∅； 当12x -<<时，①式化为213x x x -++<+，解得0x <，从而02x <<；当2x ≥时，①式化为213x x x -++<+，解得04<，从而24x ≤<；所以不等式()()f x g x <的解集为{}04x x <<；（2）∵0t <，∴11()|2|(2)f x x t x x t x t t ⎛⎫=++-≥+-- ⎪⎝⎭112|2|t t t t =+=+≥= 当且仅当1(2)0x t x t ⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭且12t t =时等号成立． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查绝对值三角不等式和基本不等式的应用，属于中档题．。

2021届河北衡水中学新高考仿真考试（七）数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题：1.已知复数z 满足()2z i i -=-，则z =( ) A.1255i - B. 1255i -+ C.1255i + D. 1255i -- 【答案】C 【解析】 【分析】 由已知可求出2i z i -=-，结合复数的除法运算对其进行整理得1255z i =-，从而可求出共轭复数. 【详解】解：由题意可得：(2)122(2)(2)55i i i z i i i i --+===---+，则1255z i =+. 故选:C.【点睛】本题考查了复数的除法运算，考查了共轭复数的求解.本题的关键是对z 进行整理变形. 2.已知集合{}2230A x x x =-++≥，{}20B x x =->，则A B =( )A. ()1,3B. (]1,3C. ()1,2-D. [)1,2-【答案】D 【解析】【分析】先解不等式得集合A,B ，再根据交集概念求结果. 【详解】由题意得[]1,3A =-，(),2B =-∞中，则[)1,2A B =-.故选：D【点睛】本题考查集合交集运算、一元二次不等式解集，考查基本分析求解能力，属基础题.3.空气质量指数简称AQI ，是定量描述空气质量的指数，空气质量指数小于50表示空气质量为优.下图是某市一周的空气质量指数趋势图，则下列说法错误的是( )A. 该市这周有4天的空气质量指数为优B. 该市这周空气质量指数的中位数是31C. 该市这周空气质量指数的极差是65D. 该市这周空气质量指数的平均数是53【答案】B 【解析】 【分析】由图可知该市这周空气质量指数，从而可计算平均数，中位数，极差，即可选出正确答案. 【详解】解：由图可知该市这周空气质量指数为96,74,54,31,37,36,43，则平均数为()196745431373643537⨯++++++=，有4天的空气质量指数小于50， 按大小排列为31,36,37,43,54,74,96，则中位数为43，极差为963165-=故选:B.【点睛】本题考查了数据分析，考查了平均数的求解，考查了中位数的求解，考查了极差的求解. 4.函数()ln 11x f x x +=+的部分图象大致是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由()f x 的图象关于直线1x =-对称，排除C 、D ；当10x -<<时，ln 10x +<，所以()0f x <，排除B .【详解】设()ln xg x x=，因为()()g x g x =-，所以()g x 的图象关于y 轴对称. 所以()f x 的图象关于直线1x =-对称，排除C 、D ； 当10x -<<时，ln 10x +<，所以()0f x <，排除B ， 故选：A【点睛】解决本类题时，通常是利用函数的单调性、奇偶性、函数值等排除选项. 5.已知:1p x a -<，3:11q x >+，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( ) A. []0,1 B. (]0,1C. [)1,2-D. ()1,2-【答案】A 【解析】 【分析】解绝对值不等式和分式不等式对命题进行化简，依据二者的关系可得1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，即可求出a 的取值范围.【详解】解：因为1x a -<，所以11a x a -<<+.即:11p a x a -<<+， 因为311x >+，所以12x -<<，即:12q x -<<. 因为p 是q 的充分不必要条件，所以1112a a -≥-⎧⎨+≤⎩，解得01a ≤≤.故选:A.【点睛】本题考查了已知命题关系求参数的取值范围，考查了绝对值不等式的求解，考查了分式不等式的求解.本题的关键是对命题进行化简.6.已知0a >，0b >，且320a b ab +-=，则3a b +的最小值是( ) A. 6 B. 8C. 12D. 16【答案】B 【解析】 【分析】先化简条件得312a b+=，再利用1的代换以及基本不等式求最值即可. 【详解】因为0a >，0b >，320a b ab +-=，所以312a b+=，所以()()1311331133101061082222b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++≥=⨯+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ （当且仅当2a b ==时取等号）. 故选：B【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题.7.踢毽子是中国民间传统的运动项目之一，起源于汉朝，至今已有两千多年的历史，是一项简便易行的健身活动.某单位组织踢毽子比赛，把10人平均分成甲、乙两组，其中甲组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为26，29，32，45，51；乙组每人在1分钟内踢毽子的数目分别为28，31，38，42，49.从甲、乙两组中各随机抽取1人，则这两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是( ) A.59B.49C.1325D.1225【答案】C 【解析】 【分析】先确定从甲、乙两组中各随机抽取1人总事件数，再确定抽取两人踢毽子的数目之和为奇数所包含事件数，最后根据古典概型概率公式求解.【详解】从甲、乙两组中各随机抽取1人有5525⨯=种取法； 其中抽取两人踢毽子的数目之和为奇数有223313⨯+⨯=种取法； 从而所抽两人踢毽子的数目之和为奇数的概率是1325故选：C【点睛】本题考查古典概型概率，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知()f x '是函数()f x 的导数，且()()f x f x -=，当0x ≥时，()3f x x '>，则不等式()()3132f x f x x --<-的解集是( )A. 1,02⎛⎫-⎪⎝⎭B. 1,2⎛⎫-∞-⎪⎝⎭C. 1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭D. 1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】构造函数()()232g x f x x =-，根据条件确定其单调性与奇偶性，化简不等式()()3132f x f x x --<-为()()1g x g x <-，再根据单调性与奇偶性转化不等式为1x x <-，解得结果.【详解】设()()232g x f x x =-，则()()3g x f x x ''=-. 因为当0x ≥时，()3f x x '>，所以当0x ≥时，()()30g x f x x ''=->，即()g x 在[)0,+∞上单调递增. 因为()()f x f x -=，所以()()()()223322g x f x x f x x g x -=--=-=∴，()g x 是偶函数. 因为()()3132f x f x x --<-，所以()()()22331122f x x f x x -<---，即()()1g x g x <-，()()|||1|g x g x ∴<-,则1x x <-，解得12x <. 故选：D【点睛】本题考查函数单调性、奇偶性、利用单调性与奇偶性解不等式，考查综合分析求解能力，属中档题.二、多项选择题：9.已知函数()tan ,tan sin sin ,tan sin x x x f x x x x >⎧=⎨≤⎩，则( )A. ()f x 的值域为()1,-+∞B. ()f x 的单调递增区间为(),2k k k πππ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭Z C. 当且仅当()2k x k k πππ-<≤∈Z 时，()0f x ≤D. ()f x 的最小正周期时2π 【答案】AD 【解析】 【分析】根据三角函数的性质可得当()2k x k k πππ<<+∈Z 时，()tan f x x =，当()2k x k k πππ-<≤∈Z 时，()sin f x x =，结合图象逐一判断即可. 【详解】当tan sin x x >，即()2k x k k πππ<<+∈Z 时，()()tan 0,f x x =∈+∞；当tan sin x x ≤，即()2k x k k πππ-<≤∈Z 时，()()sin 1,1f x x =∈-.综上，()f x 的值域为()1,-+∞，故A 正确；()f x 的单调递增区间是2,222k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭和()32,22k k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭∈Z ，B 错误；当()2,22x k k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭∈Z 时，()0f x >，故C 错误；结合()f x 的图象可知()f x 的最小正周期是2π，故D 正确. 故选：AD.【点睛】本题主要考查了三角函数的性质，得出函数()f x 的解析式是解题的关键，属于中档题.10.已知奇函数()f x 是定义在R 上的减函数，且()21f =-，若()()1g x f x =-，则下列结论一定成立的是( )A. ()10g =B. ()122g =-C. ()()0g x g x -+>D. ()()110g x g x -+++<【答案】AC 【解析】 【分析】A.由()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，可得()()10g f =，可判断选项A;由()()12g f =，又()f x 为定义在R 上的减函数，且()21f =-，()()()210f f f <<，从而可判断选项B;由题意()()()()11g x g x f x f x -+=--+，根据()f x 是定义在R 上的减函数，则()()11f x f x ->+，可判断选项C;因为()()()1g x f x f x -+=-=-，所以()()()()110g x g x f x f x -+++=-+=，可判断选项D.【详解】因为()f x 为定义在R 上的奇函数，所以()00f =，因为()()1g x f x =-， 所以()()100g f ==，故A 正确； 因为()f x 为定义在R 上减函数，且()21f =-，()()()210f f f <<，即()110f -<<.所以()120g -<<，故B 不一定成立；因为()()1g x f x =-，所以()()()11g x f x f x -=--=-+，所以()()()()11g x g x f x f x -+=--+，因为()f x 是定义在R 上的减函数，所以()()11f x f x ->+，所以()()110f x f x +-->，即()()0g x g x -+>，故C 正确； 因为()()1g x f x =-，所以()()()1g x f x f x -+=-=-，()()1g x f x +=， 所以()()()()110g x g x f x f x -+++=-+=，选项D 错误.【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，考查赋值法的应用，属于中档题.11.已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的右焦点为()F ，点P 的坐标为（0，1），点Q 为双曲线C 左支上的动点，且PQF △的周长不小于14，则双曲线C 的离心率可能为( ) A.B. C.D. 3【答案】AC 【解析】 【分析】根据双曲线的定义，将PQF △的周长的最小值转化为求QF PQ '+的最小值，即可求出离心率的范围，观察选项即可判断.【详解】设双曲线C 的左焦点为F ',则2QF QF a '-=,即2QF QF a '=+，故22QF PQ QF PQ a PF a ''+=++≥+.由题意可得2415PF PF '==+=，所以2214PQ QF PF PF a +≥+≥+，所以2a ≥.则双曲线C 的离心率266c e a ==≤.因为1e >.所以双曲线C 的离心率的取值范围为(1,6⎤⎦. 故选：AC【点睛】本题主要考查双曲线的定义、离心率及一动点到两定点的距离之和的最小值，属于基础题. 12.一个正方体的平面展开图如图所示，在这个正方体中，点H 是棱DN 的中点，P ，Q 分别是线段AC ，BN （不包含端点）上的动点，则下列说法正确的是( )A. 在点P 的运动过程中，存在//HP BMB. 在点Q 的运动过程中，存在FQ AH ⊥C. 三棱锥H QAC -的体积为定值D. 三棱锥B PEM -的体积不为定值 【答案】BC 【解析】 【分析】由异面直线的判断方法，可判断A ；运用线面垂直的判断与性质定理可判断B ；由棱锥的体积公式和线面距离与点面距离的关系，可判断C ，D ．【详解】解：由平面展开图，还原正方体，如图所示.对于A 选项，因为点P 是线段AC 上的动点，所以HP ⊂平面ACH ，因为BM ⊄平面ACH ，且BM 与平面ACH 不平行，所以不存在//HP BM .故A 错误； 对于B 选项.连接BD ，BD AC O ⋂=，连接OF ，OF BN G ⋂=，取AD 的中点K ，连接EK ，OK .则O 为BD 的中点，//OK EF ，所以E ，F ，O ，K 四点共面，因为AH EK ⊥，AH EF ⊥，所以AH ⊥平面EFOK ，因为GF ⊂平面EFOK ，所以AH GF ⊥，即当点Q 运动到G 点时，FQ AH ⊥，故B 正确；对于C 选项，因为点H 是棱DN 的中点，所以//OH BN ，因为OH ⊂平面ACH ，BN ⊄平面ACH ，所以//BN 平面ACH ，则直线BN 上的任意一点到平面ACH 的距离相等，且为定值，因为点Q 是线段BN 上的动点，所以点Q 到平面ACH 的距离d 为定值，因为ACH 的面积为定值，所以13H QW Q WH ACH V V d S --⋅==△（定值），故C 正确；对于D 选项，因为点P 是线段AC 上的动点。

河北省衡水市2021届新高考数学模拟试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知ABC ∆为等腰直角三角形，2A π=，22BC =，M 为ABC ∆所在平面内一点，且1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，则MB MA ⋅=u u u r u u u r（ ）A ．224-B ．72-C ．52-D ．12-【答案】D 【解析】 【分析】以AB,AC 分别为x 轴和y 轴建立坐标系，结合向量的坐标运算，可求得点M 的坐标，进而求得,MB MA u u u r u u u r，由平面向量的数量积可得答案. 【详解】如图建系，则()0,0A ，()2,0B ，()0,2C ，由1142CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r ，易得11,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，则31111,,22222MB MA ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭u u u r u u u r .故选：D 【点睛】本题考查平面向量基本定理的运用、数量积的运算，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.2．在三棱锥P ABC -中，5AB BC ==，6AC =，P 在底面ABC 内的射影D 位于直线AC 上，且2AD CD =，4PD =.设三棱锥P ABC -的每个顶点都在球Q 的球面上，则球Q 的半径为（ ）A ．6898B ．6896C ．5268D ．266【答案】A 【解析】 【分析】设AC 的中点为O 先求出ABC ∆外接圆的半径，设QM a =，利用QM ⊥平面ABC ，得QM PD ∥ ，在MBQ ∆ 及DMQ ∆中利用勾股定理构造方程求得球的半径即可 【详解】设AC 的中点为O,因为AB BC =，所以ABC ∆外接圆的圆心M 在BO 上.设此圆的半径为r.因为4BO =，所以222(4)3r r -+=，解得258r =. 因为321OD OC CD =-=-=，所以221131(4)8DM r =+-=. 设QM a =，易知QM ⊥平面ABC ，则QM PD ∥. 因为QP QB =，所以2222()PD a DM a r -+=+，即22113625(4)6464a a -+=+，解得1a =.所以球Q 的半径22689R QB a r ==+=. 故选：A【点睛】本题考查球的组合体，考查空间想象能力，考查计算求解能力，是中档题3．设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ） A ．()()⋅f x g x 是偶函数 B ．()()f x g x ⋅是奇函数 C ．()()f x g x ⋅是奇函数 D ．()()f x g x ⋅是奇函数【答案】C 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论． 【详解】解：()f x Q 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x f x ∴-=-，()()g x g x -=，()()()()f x g x f x g x --=-g g ，故函数是奇函数，故A 错误， |()|()|()|()f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故B 错误， ()|()|()|()|f x g x f x g x --=-g g 是奇函数，故C 正确． |()()||()()|f x g x f x g x --=g g 为偶函数，故D 错误，故选：C ． 【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键．4．已知()21AB =-u u u r ，，()1,AC λ=u u u r，若cos BAC ∠=，则实数λ的值是（ ）A ．-1B ．7C ．1D ．1或7【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的坐标运算，化简即可求得λ的值. 【详解】由平面向量数量积的坐标运算，代入化简可得cos 10AB AC BAC AB AC ⋅∠===u u u r u u u r u u u r u u u r . ∴解得1λ=. 故选：C. 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算，属于基础题. 5．()2523(2)x x x --+的展开式中，5x 项的系数为（ ） A ．－23 B ．17C ．20D ．63【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，结合乘法分配律，求得5x 的系数. 【详解】5(2)x +的展开式的通项公式为5152r r r r T C x -+=⋅.则①()223x x --出(3)-，则5(2)x +出5x ，该项为：00555(3)23C x x -⋅⋅⋅=-； ②()223x x --出(2)x -，则5(2)x +出4x ，该项为：11555(2)220C x x -⋅⋅⋅=-； ③()223x x --出2x ，则5(2)x +出3x ，该项为：225551240C x x ⋅⋅⋅=；综上所述：合并后的5x 项的系数为17. 故选：B 【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识，考查理解能力，计算能力，分类讨论和应用意识.6．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6πB ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C 【解析】 【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ， 而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥， 由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形， 所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I , 所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ， 则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角， 设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E ∠=== ∴13πCA E ∠=.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A．72 B．64 C．48 D．32【答案】B【解析】【分析】由三视图可知该几何体是一个底面边长为4的正方形，高为5的正四棱柱，挖去一个底面边长为4，高为3的正四棱锥，利用体积公式，即可求解。

2021届河北衡水中学新高考原创预测试卷（八）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B铅笔将答题卡上试卷类型A后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一、单项选择题。

本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题目要求的.1. 设集合 A = {y|y=ln(1−x)} ， B = {y|y=√4−2x}，则 A∩B= ( )A. [0，2)B. (0，2)C. [0，2]D. [0，1)2.a,b∈(0,+∞)，A=√a+√b，B=√a+b，则 A，B 的大小关系是( )A. A<BB. A>BC. A≤BD. A≥ B3.已知直线 l是曲线y =√x+2x的切线，则 l的方程不可能是A.5x−2y+1=OB.4x−2y+1=OC.13x−6y+9=OD.9x − 4y + 4 = 04.中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴。

2021届河北衡水中学新高考仿真考试（十二）数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 60分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．1.若复数321iz i =+（i 为虚数单位），则复数z 在复平面上对应的点所在的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B 【解析】 【分析】先利用复数的四则运算得到1z i =-+，从而得到复数对应的点，故可得正确的选项. 【详解】()()321221111(1)i i i iz i i i i i +====-++--+， 复数z 在复平面上对应的点为()1,1-，该点在第二象限， 故复数z 在复平面上对应的点所在的象限为第二象限， 故选：B.【点睛】本题考查复数的四则运算以及复数的几何意义，注意复数的除法是分子分母同乘以分母的共轭复数，本题属于基础题.2.已知全集U =R ，集合{}20M x R x x =∈-≤，集合{}cos ,N y R y x x R =∈=∈，则()UM N ⋂=（ ） A. [)1,0- B. ()0,1C. (),0-∞D. ∅【答案】A 【解析】 【分析】化简集合M ，N ，根据集合的交集、补集运算求解即可. 【详解】{}20[0,1]M x R x x =∈-≤=,{}cos ,[1,1]N y R y x x R =∈=∈=-,(,0)(1,)U M ∴=-∞+∞,()[)1,0U M N =-∴⋂,故选：A【点睛】本题主要考查了集合的交集、补集运算，考查了一元二次不等式，余弦函数，属于容易题. 3.如图是一个22⨯列联表，则表中a 、b 处的值分别为（ ）A. 96，94B. 60，52C. 52，54D. 50，52【答案】B 【解析】 【分析】根据表格中的数据可先求出d 、c 的值，再结合总数为106可分别求得a 和b 的值.【详解】由表格中的数据可得33258c =-=，212546d =+=，1064660a ∴=-=，60852b =-=.故选：B.【点睛】本题考查列联表的完善，考查计算能力，属于基础题.4.若直线21:320l a x y -+=，2:250l ax y a +-=．:0p a =，1:q l 与2l 平行，则下列选项中正确的（ ） A. p 是q 的必要非充分条件 B. q 是p 的充分非必要条件 C. p 是q 的充分非必要条件 D. q 是p 的非充分也非必要条件【答案】C 【解析】 【分析】根据1l 与2l 平行，得到0a =或65a =-，再根据集合的关系判断充分性和必要性得解. 【详解】因为1l 与2l 平行，所以25(3)20,0a a a ⨯--⨯=∴=或65a =-.经检验，当0a =或65a =-时，两直线平行.设{|0}A a a ==，{|0B a a ==或6}5a =-，因为A B ,所以p 是q 的充分非必要条件. 故选：C.【点睛】本题主要考查两直线平行的应用，考查充分必要条件的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.5.在ABC 中，如果()cos 2cos 0B C C ++>，那么ABC 的形状为（ ） A. 钝角三角形 B. 直角三角形C. 锐角三角形D. 等腰三角形【答案】A 【解析】 【分析】结合A B C π++=以及两角和与差的余弦公式，可将原不等式化简为2cos cos 0B A ->，即cos cos 0B A <，又A ，(0,)B π∈，所以cos B 与cos A 一正一负，故而得解. 【详解】解：A B C π++=，cos(2)cos B C C ∴++()cos cos[()]B B C B A π=+++-+cos[()]cos[()]B A B A ππ=+-+-+ cos[()]cos[()]B A B A ππ=+-+-+ cos()cos()B A B A =---+cos cos sin sin cos cos sin sin B A B A B A B A =---+ 2cos cos 0B A =->，cos cos 0B A ∴<，即cos B 与cos A 异号，又A ，(0,)B π∈， cos B ∴与cos A 一正一负，ABC ∴为钝角三角形．故选：A.【点睛】本题考查三角形形状的判断，涉及到三角形内角和、两角和与差的余弦公式，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属于基础题.6.中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（ ） A. 50种 B. 60种C. 80种D. 90种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论，求出确定乙，丙的选择方法，即可得每种情况的选法数目，由分类加法计数原理，即可求出答案.【详解】解：根据题意，按甲的选择不同分成2种情况讨论： 若甲选择牛，此时乙的选择有2种，丙的选择有10种， 此时有21020⨯=种不同的选法；若甲选择马或猴，此时甲的选法有2种，乙的选择有3种，丙的选择有10种， 此时有231060⨯⨯=种不同的选法； 则一共有206080+=种选法. 故选：C .【点睛】本题考查分步乘法和分类加法的计数原理的应用，属于基础题.7.在三棱柱111ABC A B C -中，AB BC AC ==，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若该三棱柱的所有顶点都在同一个球O 的表面上，且球O 的表面积的最小值为4π，则该三棱柱的侧面积为（ ） A. 63 B. 33 C. 32D. 3【答案】B 【解析】 【分析】设三棱柱的上、下底面中心分别为1O 、2O ，则12O O 的中点为O ，设球O 的半径为R ，则OA R =，设AB BC AC ==a =，1AA h =，在Rt △2OO A 中，根据勾股定理和基本不等式求出2R 的最小值为3ah ，结合已知可得3ah =，从而可得侧面积.【详解】如图：设三棱柱上、下底面中心分别为1O 、2O ，则12O O 的中点为O ，设球O 的半径为R ，则OA R =，设AB BC AC ==a =，1AA h =， 则212OO h =，22333O A AB ==， 则Rt △2OO A 中，222222221143R OA OO O A h a ==+=+1322h ≥⨯3=，当且仅当33h a =时，等号成立， 所以23443S R ah ππ=≥⨯球，所以433ah π=4π，所以3ah =所以该三棱柱的侧面积为3ah =故选：B.【点睛】本题考查了球的表面积公式，基本不等式求最值，考查了求三棱柱的侧面积，属于基础题.8.已知函数()()26,75(2),5x x f x f x x ⎧+-≤<-⎪=⎨-≥-⎪⎩，若函数()()()1g x f x k x =-+有13个零点，则实数k 的取值范围为（ ） A. 11,86⎛⎫⎪⎝⎭B. 11,86⎡⎫⎪⎢⎣⎭C. 1111,,6886⎛⎤⎡⎫-- ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭D. 1111,,6886⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【答案】D 【解析】 【分析】由题可知，设()|||1|h x k x =+，且()h x 恒过定点()1,0-，转化为函数()y f x =与函数()|||1|h x k x =+的图象有13个交点，画出函数()y g x =与函数()|||1|h x k x =+的图象，利用数形结合法，即可求出k 的取值范围.【详解】解：由题可知，函数()()|(1)|g x f x k x =-+有13个零点， 令()0g x =，有()|||1|f x k x =+，设()|||1|h x k x =+，可知()h x 恒过定点()1,0-， 画出函数()f x ，()h x 的图象，如图所示：则函数()y f x =与函数()|||1|h x k x =+的图象有13个交点，由图象可得：()()()517171h h h ⎧<⎪>⎨⎪-<⎩，则·(51)1·(71)1·711k k k ⎧+<⎪+>⎨⎪-+<⎩，即11||86k <<， 解得：1(6k ∈-，11)(88-，1)6. 故选：D.【点睛】本题考查将函数零点的个数转化为函数图象交点问题，从而求参数的范围，考查转化思想和数形结合思想，属于中档题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多页符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分．9.将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度得到函数()y g x =的图象，若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数，则实数ω可能的取值为（ ） A.23 B. 1C.56D. 2【答案】ABC 【解析】 【分析】根据图象平移求得函数()y g x =的解析式，再利用函数的单调性列出不等式求得w 的取值范围，即可求解. 【详解】由题意，将函数()()sin 0f x x ωω=>的图象向右平移12π个单位长度，得到函数()sin()12w y g x wx π==-的图象， 若函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是单调增函数， 则满足1222122w w w πππππ⎧-≥-⎪⎪⎨⎪-≤⎪⎩，解得605w <≤，所以实数w 的可能的取值为25,1,36.【点睛】本题主要考查了三角函数的图象变换求函数的解析式，以及三角函数的图象与性质的综合应用，着重考查推理与运算能力，属于基础题.10.在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩．《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪．书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”．其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布？”．已知1匹4=丈，1丈10=尺，若这一个月有30天，记该女子这一个月中的第n 天所织布的尺数为n a ，2n an b =，对于数列{}n a 、{}n b ，下列选项中正确的为（ ）A. 1058b b =B. {}n b 是等比数列C. 130105a b =D. 357246209193a a a a a a ++=++【答案】BD 【解析】 【分析】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，求出数列{}n a 的公差，可得出数列{}n a 的通项公式，利用等比数列的定义判断出数列{}n b 是等比数列，然后利用数列{}n a 的通项公式即可判断出各选项的正误. 【详解】由题意可知，数列{}n a 为等差数列，设数列{}n a 的公差为d ，15a =， 由题意可得130********d a ⨯+=，解得1629d =，()116129129n n a a n d +∴=+-=，2na nb =，1112222n n n n a a a d n a n b b ++-+∴===（非零常数），则数列{}n b 是等比数列，B 选项正确；16805532929d =⨯=≠，()553105222d d b b ==≠，1058b b ∴≠，A 选项错误； 3012951621a a d =+=+=，2113052105a b ∴=⨯>，C 选项错误；41161933532929a a d =+=+⨯=，51162094542929a a d =+=+⨯=， 所以，357552464432093193a a a a a a a a a a ++===++，D 选项正确.故选：BD.【点睛】本题考查等差数列和等比数列的综合问题，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，11.已知曲线()32213f x x x ax =-+-上存在两条斜率为3的不同切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a 可能的取值（ ）A.196B. 3C.103D.92【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，得出()f x 的导数，可令切点的横坐标为m ，求得切线的斜率，由题意可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根，考虑判别式大于0，且两根之和大于0，两根之积大于0，计算可得a 的范围，即可得答案.【详解】解：由题可知，322()13f x x x ax =-+-， 则2()22f x x x a '=-+，可令切点的横坐标为m ，且0m >， 可得切线斜率2223k m m a =-+=，由题意，可得关于m 的方程22230m m a -+-=有两个不等的正根， 且可知1210m m +=>，则1200m m ∆>⎧⎨>⎩，即48(3)0302a a -->⎧⎪⎨->⎪⎩，解得：732a <<， a ∴的取值可能为196，103.故选：AC.【点睛】本题考查导数的几何意义的应用，以及根据一元二次方程根的分布求参数范围，考查转化思想和运算能力.12.在如图所示的棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，则下列命题中正确的（ ）A. 若点P 总满足1PA BD ⊥，则动点P 的轨迹是一条直线B. 若点P 到点A 的距离为2，则动点P 的轨迹是一个周长为2π的圆C. 若点P 到直线AB 的距离与到点C 的距离之和为1，则动点P 的轨迹是椭圆D. 若点P 到直线AD 与直线1CC 的距离相等，则动点P 的轨迹是双曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】A.根据1BD ⊥平面1AB C ，判断点P 的轨迹；B.根据平面与球相交的性质，判断选项；C.由条件可转化为1PB PC +=，根据椭圆的定义判断；D.由条件建立坐标系，求点P 的轨迹方程，判断轨迹是否是双曲线.【详解】A.在正方体1A C 中，1,AC BD BB ⊥⊥平面ABCD ， 所以11,BB AC BB BD B ⊥=，所以AC ⊥平面11BB D D ，1BD ⊂平面11BB D D ，所以1AC BD ⊥，同理111,AB BD AB AC A ⊥=，所以1BD ⊥平面1AB C ，而点P 在侧面11BCC B 所在的平面上运动，且1PA BD ⊥， 所以点P 的轨迹就是直线1B C ，故A 正确；B.点P 的轨迹是以A 2的球面与平面11BCC B 的交线，即点P 的轨迹为小圆，设小圆的半径为r ， 球心A 到平面11BCC B 的距离为1，则()2211r =-=，所以小圆周长22l r ππ==，故B 正确；C. 点P 到直线AB 的距离就是点P 到点B 的距离， 即平面11BCC B 内的点P 满足1PB PC BC +==，即满足条件的点P 的轨迹就是线段BC ，不是椭圆，故C 不正确； D.如图，过P 分别做PM BC ⊥于点M ，1PE CC ⊥于点E ，则PM ⊥平面ABCD ，所以PM AD ⊥，过M 做MN AD ⊥，连结PN ，PM MN M ⋂=，所以AD ⊥平面PMN ，所以PNAD ，如图建立平面直角坐标系，设(),P x y ，PM y =，则221PN y =+，()221PE x =-，即()2211y x +=-，整理为：()2211x y --=， 则动点P 的轨迹是双曲线，故D 正确. 故选：ABD【点睛】本题考查立体几何中动点轨迹问题，截面的形状判断，重点考查空间想象能力，逻辑推理，计算能力，属于中档题型.三、填空题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．13.若方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数m 的取值范围为________．【答案】1(0,)2【解析】根据题意，由椭圆的标准方程的特点，结合已知条件列出不等式，求解即可得出实数m 的取值范围.【详解】解：由题可知，方程2211x y m m+=-表示焦点在y 轴上的椭圆，可得10m m ->>，解得：102m <<， 所以实数m 的取值范围为：1(0,)2. 故答案为：1(0,)2.【点睛】本题考查椭圆的标准方程的特点，是基础知识的考查，属于基础题. 14.已知定义在(),-∞+∞的偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()112f -=-，若()1212f x -≥-，则x 的取值范围________． 【答案】01x ≤≤ 【解析】 【分析】由题意结合偶函数的性质可得()()1112f f =-=-，再由函数的单调性即可得1211-≤-≤x ，即可得解. 【详解】因为()f x 为偶函数，()112f -=-，所以()()1112f f =-=-， 又()f x 在[)0,+∞单调递减，()1212f x -≥-， 所以1211-≤-≤x ，解得01x ≤≤. 所以x 的取值范围为01x ≤≤. 故答案为：01x ≤≤.【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的综合应用，考查了运算求解能力与逻辑推理能力，属于基础题. 15.若()()()()()1721617012161721111x a a x a x a x a x -=+++++++++，则（1）01216a a a a ++++=________； （2）123162316a a a a ++++=________．【答案】 (1). 1721+ (2). ()161712⋅-【解析】（1）化简二项式为()7171[3)]2(1x x =-+-，利用通项，求得171a =-，再令11x +=，求得0121611772a a a a a +++=++，即可求解；（2）令()()()()()21617012167171(21111)a a x a x a x x x a g x =+++++++++=-，求得()()()161217162117117(2)g a a x a x x x '=-⋅+++-=++，根据()0g '和（1）中171a =-，即可求解.【详解】（1）由题意，可化为()7171[3)]2(1x x =-+-，由1717171717[(1)](1)T C x x =-+=-+，可得171a =-，令11x +=，即0x =时，可得0121611772a a a a a +++=++，所以10121771167221a a a a a =-+=++++.（2）令()()()()()21617012167171(21111)a a x a x a x x x a g x =+++++++++=-，则()()()()1516121617161217(216111)7g a a x x a x a x x '==++++⋅+-+-+，则()12161617216177012a a a g a =++++'=-⋅，由（1）可得171717a =-， 所以161612316123721717()1126a a a a ++++=-⋅+=⋅-.【点睛】本题主要考查了二项展开式的应用，以及导数四则运算的应用，其中解答中准确赋值，以及利用导数的运算合理构造是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.16.已知1e ，2e 是平面上不共线的两个向量，向量b 与1e ，2e 共面，若11e =，22e =，1e 与2e 的夹角为3π，且11b e ⋅=，22b e ⋅=，则b =________．【解析】 【分析】设12b xe ye =+，由已知11b e ⋅=，22b e ⋅=可得1x y +=，42x y +=，从而可求出21,33x y ==，则212213b e e ⎛⎫=+ ⎪，即可求出模长.【详解】解：设12b xe ye =+，因为1e 与2e 的夹角为3π， 所以1212cos 13e e e e π⋅== ， 则()122111121b e e x e ye e x e ye y x ⋅=⋅=++⋅=+=，()2222112242b e e y xe e x y x y e e e ⋅=⋅=+⋅=++=，解得21,33x y ==，则222121212214144442333999999b e e e e e e ⎛⎫=+=++⋅=++= ⎪⎝⎭， 故答案为:23. 【点睛】本题考查了向量的数量积运算，考查了平面向量基本定理，考查了向量模的求解.本题的难点是用已知12,e e 表示b .四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.如图，在直角梯形12AO O C 中，12//AO CO ，112AO O O ⊥，124O O =，22CO =，14AO =，点B 是线段12O O 的中点，将1ABO △，2BCO △分别沿AB ，BC向上折起，使1O ，2O 重合于点O ，得到三棱锥O ABC -．试在三棱锥O ABC -中，（1）证明：平面AOB ⊥平面BOC ；（2）求直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析；（2）23. 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，得出AO OC ⊥，而AO OB ⊥，根据线面垂直的判定定理证出AO ⊥平面BOC ，最后利用面面垂直的判定定理，即可证明平面AOB ⊥平面BOC ；（2）以O 为坐标原点，OC 为x 轴，OB 为y 轴，OA 为z 轴，建立空间直角坐标系，根据空间坐标的运算可得出()2,0,0OC →=和平面ABC 的法向量，利用空间向量法求夹角的公式，即可求出直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值．【详解】解：（1）由题知：在直角梯形12AO O C 中，()222121220AC AO CO O O =-+=，所以在三棱锥O ABC -中，222AC AO OC =+， 所以AO OC ⊥， 又因为AO OB ⊥，COOB O =，所以AO ⊥平面BOC ， 又因为AO ⊂平面AOB ， 所以，平面AOB ⊥平面BOC .（2）由（1）知：AO OC ⊥，AO OB ⊥，又BO OC ⊥，以O 为坐标原点，以,,OC OB OA 的方向分别作为x 轴，y 轴，z 轴的正方向， 建立如图空间直角坐标系O xyz -，所以()0,0,4A ，()0,2,0B ，()2,0,0C ，()2,0,0OC →=， 设(),,n x y z =为平面ABC 的法向量，()0,2,4AB →=-，()2,2,0BC →=-，由00n AB n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，可得240220y z x y -=⎧⎨-=⎩，令2x =得：()2,2,1n =，设直线OC 与平面ABC 所成角为θ，所以2sin 3C OC O nnθ→→→→==⋅⋅， 所以直线OC 与平面ABC 所成角的正弦值为23.【点睛】本题考查线面垂直和面面垂直的判定定理，考查利用空间向量法求直线与平面所成角的正弦值，考查推理证明能力和运算求解能力.18.已知{}n a 为等差数列，1a ，2a ，3a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且1a ，2a ，3a 中的任何两个数都不在下表的同一列．第一列第二列第三列第一行第二行 4 6 9第三行 12 8 7请从①12a =，②11a =，③ 13a =的三个条件中选一个填入上表，使满足以上条件的数列{}n a 存在；并在此存在的数列{}n a 中，试解答下列两个问题 （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设数列{}n b 满足()121n n nb a +=-，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）32n a n =-；（2）2293,2,22932,21,22n n n n k k N T n n n k k N **⎧-+=∈⎪⎪∴=⎨⎪--=-∈⎪⎩．【解析】 【分析】(1)分别代入①12a =，②11a =，③ 13a =，结合已知条件可判断11a =，24a =，37a =，求出数列的公差，即可求出通项公式. (2)由(1)知()()12132n n b n +=--，当n 为偶数时，结合数列的求和的定义求出22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()1233n a a a a =-+++，由等差数列的求和公式即可求解；当n 为奇数时，1n n n T T b -=+即可求解.【详解】解：（1）若选择条件①，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,6,7a a a ===不是等差数列，1232,9,8a a a ===不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,4,7a a a ===不是等差数列，1232,9,12a a a ===不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1232,4,8a a a ===不是等差数列，1232,6,12a a a ===不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在，若选择条件②，则放在第一行第二列，结合条件可知11a =，24a =，37a =， 则公差213d a a =-=，所以()1132n a a n d n =+-=-，*n N ∈， 若选择条件③，当第一行第一列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1233,6,7a a a ===不是等差数列，1233,9,8a a a ===不是等差数列；当第一行第二列为1a 时，由题意知，可能的组合有，1233,4,7a a a ===不是等差数列，1233,9,12a a a ===不是等差数列；当第一行第三列为1a 时，由题意知，可能的组合有， 1233,4,8a a a ===不是等差数列，1233,6,12a a a ===不是等差数列，则放在第一行的任何一列，满足条件的等差数列{}n a 都不存在，综上可知：32n a n =-，*n N ∈. （2）由（1）知，()()12132n n b n +=--，所以当n 为偶数时，22222212312341n n n n T b b b b a a a a a a -=++++=-+-++-()()()()()()1212343441n n n n a a a a a a a a a a a a --=+-+-++++-()()21231329333222n n n a a a a n n +-=-+++=-⨯=-+，当n 为奇数时，()()()22219393113222222n n n T T b n n n n n -=+=--+-+-=-- ， 2293,2,22932,21,22n n n n k k N T n n n k k N **⎧-+=∈⎪⎪∴=⎨⎪--=-∈⎪⎩【点睛】本题考查了等差数列通项公式的求解，考查了等差数列的求和公式，考查了数列求和.本题的难点是第二问求和时，分情况讨论.19.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+ （1）若ABC 还同时满足下列四个条件中的三个：①7a =，②10b =，③8c =，④ABC的面积S =（2）若3a =，求ABC 周长L 的取值范围． 【答案】（1）①③④，理由见解析；（2）(]6,9． 【解析】 【分析】（1）首先条件变形，利用两角差的正弦公式变形，求得3A π=，再判断①②不能同时成立，最后根据③④判断能同时成立的第三个条件；（2）首先利用正弦定理边角互化，表示b B =，23c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭，再利用三角函数恒等变形表示周长L 6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，最后根据角B 的范围求周长的取值范围.【详解】解：因为sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+ 所以sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+ 即sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=- 所以()()sin sin A B C A -=- 因为A ，B ，()0,C π∈，所以A B C A -=-，即2A B C =+，所以3A π=（1）ABC 还同时满足条件①③④ 理由如下：若ABC 同时满足条件①②则由正弦定理得sin sin 1b B a A ==>，这不可能 所以ABC 不能同时满足条件①②， 所以ABC 同时满足条件③④所以ABC 的面积11822sin 2A b S bc ==⨯⨯=⨯所以5b =与②矛盾所以ABC 还同时满足条件①③④（2）在ABC 中，由正弦定理得：sin sin sin b c aB C A===因为23C B π=-，所以b B =，23c B π⎛⎫=-⎪⎝⎭所以2s sin 3in 3a b B L c B π⎤⎛⎫=++=+-+⎪⎥⎝⎭⎦co 13s 62B B ⎫=++⎪⎪⎝⎭6sin 36B π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5,666B πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1sin ,162B π⎛⎫⎛⎤+∈ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦ 所以ABC 周长L 的取值范围为(]6,9.【点睛】本题考查三角恒等变形，正余弦定理解三角形，重点考查转化与化归的思想，计算能力，逻辑推理能力，属于中档题型.20.某市居民用天然气实行阶梯价格制度，具体见下表：从该市随机抽取10户（一套住宅为一户）同一年的天然气使用情况，得到统计表如下：（1）求一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式；（2）现要在这10户家庭中任意抽取3户，求抽到的年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数的分布列与数学期望；（3）若以表中抽到的10户作为样本估计全市居民的年用气情况，现从全市中依次抽取10户，其中恰有k 户年用气量不超过228立方米的概率为()P k ，求()P k 取最大值时的值．【答案】（1）(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩；（2）分布列见解析，数学期望为910；（3）6．【解析】 【分析】（1）由表格中的数据结合题意，即可求得一户居民年用气费y （元）关于年用气量x （立方米）的函数关系式；（2）由题意知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，得到随机变量ξ可取0,1,2,3，利用超几何分布求得相应的概率，得到随机变量的分布列，进而求得期望；（3）由()10103255k k k P k C -⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，列出不等式组由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，求得k 的值，即可求解.【详解】（1）由题意，当(]0,228x ∈时， 3.25y x =；当(]228,348x ∈时， 3.83132.24y x =-；当()348,x ∈+∞时， 4.7435x y -=， 所以年用气费y 关于年用气量x 的函数关系式为(](]()3.25,0,2283.83132.24,228,3484.7435,348,x x y x x x x ⎧∈⎪=-∈⎨⎪-∈+∞⎩.（2）由题知10户家庭中年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户有3户，设取到年用气量超过228立方米而不超过348立方米的用户数为ξ，则ξ可取0,1,2,3，则()373107024C P C ξ===，()217331021140C C P C ξ===， ()12733107240C C P C ξ===，()3331013120C P C ξ===， 故随机变量ξ的分布列为：所以()721719012324404012010E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. （3）由题意知()()1010320,1,2,3,1055k kk P k C k -⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由10110111010101101110103232555532325555k k k k k k k k k k k k C C C C -+--+---+-⎧⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，解得283355k ≤≤，*k N ∈， 所以当6k =时，概率()P k 最大，所以6k =.【点睛】本题主要考查了分段函数模型的性质及其应用，以及离散型随机变量的分布列与期望的求解，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.21.已知函数()ln x f x ae x =，（其中 2.71828e =是自然对数的底数），()2ln g x x x a =+，0a >． （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）设函数()()()h x g x f x =-，若()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立，求实数a 的取值范围．【答案】（1）在定义域()0,∞+上单调递增；（2）1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．【解析】【分析】（1）先求得()()l 1,n 0,x x f x ae x x ⎛⎫'=+∈+∞ ⎪⎝⎭，利用导数可得1ln 1x x+≥恒成立，故可得()f x 的单调区间.（2）()0h x >对任意的()0,1x ∈恒成立等价于()l n n l x x ae ae xx >对任意()0,1x ∈恒成立，就1x ae ≥和1x ae <结合()ln H x xx =的单调性分类讨论可得x ae x >对任意()0,1x ∈恒成立，参变分离后再次利用导数可求a 的取值范围.【详解】解：（1）因为()ln x f x ae x =，所以()()l 1,n 0,x x f x ae x x ⎛⎫'=+∈+∞ ⎪⎝⎭. 令()ln 1k x x x=+，则()21x k x x -'=， 当()0,1x ∈时，()0k x '<，函数()k x 单调递减；当()1,x ∈+∞时，()0k x '>，函数()k x 单调递增．所以()()110k x k ≥=>，又因为0a >，0x e >，所以()0f x '>，()f x 在定义域()0,∞+上单调递增.（2）由()0h x >得()()0g x f x ->，即2ln ln x ae x x x a <+， 所以()ln ln ln x x x ae x x ae x a ae +<=，即()l n n l x x ae ae xx >对任意()0,1x ∈恒成立， 设()ln H x x x =，则()21ln x H x x-'= 所以，当()0,1x ∈时，()0H x '>，函数()H x 单调递增，且当()1,x ∈+∞时，()0H x >，当()0,1x ∈时，()0H x <，若1x ae x ≥>，则()()0xH ae H x ≥>， 若01x ae <<，因为()()x H ae H x >，且()H x 在()0,1上单调递增，所以x ae x >，综上可知，x ae x >对任意()0,1x ∈恒成立，即x x a e >对任意()0,1x ∈恒成立. 设()x x G x e=，()0,1x ∈，则()10x x G x e -'=>，所以()G x 在()0,1单调递增， 所以()()11a G x G e <=≤，即a 的取值范围为1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题考查函数的单调性以及含参数的不等式的恒成立，前者利用导数的符号来讨论，后者需等价变形把原不等式转化简单不等式的恒成立，再根据不等式的结构特征构建新函数来讨论，本题为较难题. 22.已知直线1l 过坐标原点O 且与圆224x y +=相交于点A ，B ，圆M 过点A ，B 且与直线20y +=相切． （1）求圆心M 的轨迹C 的方程；（2）若圆心在x 轴正半轴上面积等于2π的圆W 与曲线C 有且仅有1个公共点．（ⅰ）求出圆W 标准方程；（ⅱ）已知斜率等于1-的直线2l ，交曲线C 于E ，F 两点，交圆W 于P ，Q 两点，求EF PQ 的最小值及此时直线2l 的方程．【答案】（1）24x y =；（2）（ⅰ）()2232x y -+=；（ⅱ）EFPQ 2l 的方程为1y x =-+．【解析】【分析】（1）设(),M x y ，由题意结合圆的性质可得222MO OA MA +=、2r y MA =+=，代入化简即可得解；（2）（ⅰ）设圆W 与曲线C 的公共点为()2,04t T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭，圆W 的标准方程()()2220x a y a -+=>，由题意可得曲线C 在T 的切线l 与圆W 相切即l WT ⊥，由直线垂直的性质及点T 在圆W 上即可得解； （ⅱ）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线2:l y x m =-+，联立方程组结合弦长公式可得EF ，由垂径定理可得PQ ，确定m 的取值范围后，通过换元、基本不等式即可得解.【详解】（1）由题意圆224x y +=的圆心为()0,0，半径为2，直线1l 过坐标原点O ， 所以坐标原点O 为AB 的中点，2AO =，所以MO AO ⊥，设(),M x y ，所以222MO OA MA +=， 又因为圆M 与直线20y +=相切，所以圆M 的半径2r y MA =+=，所以()22242x y y ++=+，化简得M 的轨迹C 的方程为24x y =； （2）（ⅰ）由（1）知曲线C 24x y =，设()24x f x =，则()2x f x '=， 设圆W 与曲线C 的公共点为()2,04t T t t ⎛⎫> ⎪⎝⎭， 则曲线C 在T 的切线l 的斜率()2t k f t '==， 由题意，直线l 与圆W 相切于T 点，设圆W 的标准方程为()()2220x a y a -+=>，则圆W 的的圆心为(),0a ，则直线WT 的斜率()2244WT t t k t a t a ==--， 因为l WT ⊥，所以()2124t t t a ⋅=--，即()380t t a +-= ， 又因为()22224t t a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，所以2232284t t ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以6441280t t +-= 令2t λ=，则3241280λλ+-=，所以()()322481280λλλ-+-= 即()()248320λλλ-++=，所以4λ=， 所以2t =，3a =，从而圆W 的标准方程为()2232x y -+=；（ⅱ）设()11,E x y ，()22,F x y ，直线2:l y x m =-+， 由24y x m x y=-+⎧⎨=⎩得2440x x m +-=，所以124x x +=-，124x x m =-，所以EF ==又因为圆W 的圆心()3,0到直线PQ，所以PQ ==所以EF PQ ==， 由于2l与曲线C 、圆W 均有两个不同的交点，∴16160m ∆=+>⎧<，解得15m <<， 令()12,6m u +=∈，则1m u =-，则EF PQ ==≥=当且仅当12uu=，即u=1m=-时取等号，∴当1m=-时，EFPQ+此时直线2l的方程为1y x=-+.【点睛】本题考查了动点轨迹的求解与圆的方程的确定，考查了与圆、抛物线相关的公切线、弦长问题，考查了运算求解能力，属于难题.。

2021届河北衡水密卷新高考仿真考试（十）文科数学★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知函数y =A ，则A R（ ）A. {0}{1}xx x x ≤⋃≥∣∣ B. {0}{1}xx x x <⋃>∣∣ C. {01}xx ≤≤∣ D. {01}xx <<∣ 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的定义求出函数的定义域A ，然后再求其在实数集中的补集． 【详解】由题意2{|0}{|0A x x x x x =-≥=≤或1}x ≥，所以{|01}RA x x =<<．故选：D ．【点睛】本题考查集合的祉集运算，确定集合A 中的元素是解题关键． 2.已知复数z 满足2(1i)(3i)z +=+，则||z =（ ）C. 52D. 8【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数的乘除法求出复数z 的代数形式，然后再求出||z 即可． 【详解】∵2(1)(3)z i i +=+，∴2(3)86(86)(1)(43)(1)711(1)(1)i i i i z i i i i i i i +++-====+-=-+++-， ∴22||7(1)5052z =+-==． 故选C ．【点睛】本题考查复数的运算和复数模的求法，解题的关键是正确求出复数的代数形式，属于基础题． 3.甲、乙两个几何体的三视图如图所示（单位相同），记甲、乙两个几何体的体积分别为1V ，2V ，则（ ）A. 122V V >B. 222V V =C. 12163V V -=D. 12173V V -=【答案】D 【解析】由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6，则该几何体的体积为318446416V =-⨯⨯=；由乙的三视图可知，该几何体为一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，则该几何体的体积为219992433V =⨯⨯⨯=.∴12416243173V V -=-=点睛：本题利用空间几何体的三视图重点考查学生的空间想象能力和抽象思维能力，属于难题. 三视图问题是考查学生空间想象能力最常见题型，也是高考热点.观察三视图并将其“翻译”成直观图是解题的关键，不但要注意三视图的三要素“高平齐，长对正，宽相等”，还要特别注意实线与虚线以及相同图形的不同位置对几何体直观图的影响，对简单组合体三视图问题，先看俯视图确定底面的形状，根据正视图和侧视图，确定组合体的形状.4.执行如图的程序框图，如果输出的S=3，则输入的t=（ ）A. 1-B. 3-C. 1或3D. 1或3-【答案】C 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用判断条件计算并输出变量S 的值，根据S 的值，分类讨论即可得答案．【详解】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用判断条件计算并输出变量S 的值， 由于输出的S=3，则当t≥1时，可得：4t-t 2=3，解得：t=3或1， 当t ＜1时，可得：3t=3，解得t=1（舍去）． 故选C ．【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．5.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1231112a a a ++=，22a =，则3S =（ ） A. 8 B. 7C. 6D. 4【答案】A【分析】根据等比数列的性质，得到13123322123132221111a a a a a S a a a a a a a a +++++=+==，结合题中数据，即可得出结果.【详解】因为等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1231112a a a ++=，22a =， 则13123321231322111124a a a a a S a a a a a a a +++++=+===,则38S =. 故选A【点睛】本题考查等比数列的性质，熟记等比数列的性质即可，属于常考题型.6.已知函数||2()2x f x x =+，设21(log )3m f =，0.1(7)n f -=，()4log 25p f =，则m ，n ，p 的大小关系为（ ） A. m p n >> B. p n m >>C. p m n >>D. n p m >>【答案】C 【解析】 【分析】先由函数奇偶性的概念判断函数()f x 的奇偶性，再得到其单调性，确定21log 3，0.17-，4log 25的范围，即可得出结果.【详解】因为()22xf x x =+，所以()222()2()xxf x x x f x --=+-=+=，因此()22xf x x =+为偶函数，且易知函数()f x 在()0,∞+上单调递增，又()221log log 31,23=∈，()0.170,1-∈，()42log 25log 52,3=∈， 所以0.1421log 25log 73->>， 因此p m n >>. 故选C【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的应用，熟记函数性质即可，属于常考题型.7.已知曲线sin(2)6y x π=+向左平移(0)ϕϕ>个单位，得到的曲线()y g x =经过点(,1)12π-，则（ ） A. 函数()y g x =的最小正周期2T π=B. 函数()y g x =在1117,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C. 曲线()y g x =关于点2,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称 D. 曲线()y g x =关于直线6x π=对称【答案】C 【解析】 【分析】根据左右平移和112g π⎛⎫-= ⎪⎝⎭可求得()g x 解析式；根据余弦型函数的最小正周期、单调性和对称轴、对称中心的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】由题意知：()()sin 2sin 2266g x x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫=++=++ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭则sin 2112g πϕ⎛⎫-== ⎪⎝⎭222k πϕπ∴=+，k Z ∈ ()cos 26g x x π⎛⎫∴=+ ⎪⎝⎭()g x 最小正周期22T ππ==，可知A 错误； 当1117,1212x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，[]22,36x πππ+∈，此时()g x 单调递减，可知B 错误； 当23x π=时，3262x ππ+=且3cos 02π=，所以2,03π⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知C 正确； 当6x π=时，262x ππ+=且cos02π=，所以,02π⎛⎫⎪⎝⎭为()g x 的对称中心，可知D 错误. 本题正确选项：C【点睛】本题考查图象平移变换、余弦型函数的周期性、单调性、对称性的相关问题.判断余弦型函数的单调性和对称性的关键是能够通过整体对应的方式，结合余弦函数的图象来进行判断.8.函数()4x xe ef x x-+=的图像为（ ）A. B.C. D.【答案】A 【解析】 【分析】由()()4x xe ef x f x x -+-=-=-，得()f x 的图象关于原点对称，当0x >时，得()0f x >，对选项分析判断即可.【详解】由()()4x xe ef x f x x -+-=-=-，得()f x 的图象关于原点对称，排除C,D.当0x >时，得()0f x >，排除B. 故选A【点睛】本题考查了函数图像的识别，利用了函数的奇偶性等性质，属于基础题.9.我国明代伟大数学家程大位在《算法统综》中常以诗歌的形式呈现数学问题，其中有一首“竹筒容米”问题：“家有九节竹一茎，为因盛米不均平，下头三节三升九，上梢四节贮三升，唯有中间两节竹，要将米数次第盛，若有先生能算法，也教算得到天明”意思是：九节竹的盛米容积成等差数列，其中的“三升九”指3.9升，则九节竹的中间一节的盛米容积为（ ） A. 0.9升 B. 1升C. 1.1升D. 2.1升【答案】B 【解析】 【分析】先根据“下头三节三升九，上梢四节贮三升”列方程组，解方程组求得2,a d 的值，进而求得5a 的值.【详解】依题意得12367893.93a a a a a a a ++=⎧⎨+++=⎩，故2781.31.5a a a =⎧⎨+=⎩，即22256211a d a d a d +++=+ 2.611 1.5d =+=，解得0.1d =-，故523 1.30.31a a d =+=-=升.故选B.【点睛】本小题主要考查中国古代数学文化，考查等差数列通项的性质，属于基础题.10.已知函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，若()2(22)2f x f x x -≥-+，则实数x 的取值范围是（ ）A. [2,1]-B. [1,)+∞C. RD. (,2][1,)-∞-+∞【答案】D 【解析】 【分析】由函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩，的表达式即可判断f （x ）是关于x=1对称的函数，利用单调性可得x 的不等式求解即可．【详解】由题画出函数112,1()2,1x x x f x x --⎧≥=⎨<⎩的图像如图所示，故222121xx x --≤-+- ，即2231x x x -≤-+ ，解得x 的取值范围是(,2][1,)-∞-+∞故选 D【点睛】本题考查函数的对称性和单调性，考查绝对值不等式的解法，考查计算能力是基础题 11.若正四棱柱1111ABCD A B C D -31AB =，则直线1AB 与1CD 所成的角为（ ） A. 30 B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】 【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AB 1与CD 1所成的角．【详解】∵正四棱柱ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为3，AB ＝1，∴AA13=， 以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立空间直角坐标系， 则A （1，0，0），B 1（1，1，3），C （0，1，0），D 1（0，0，3）， 1AB =（0，1，3），1CD =（0，﹣1，3）， 设直线AB 1与CD 1所成的角为θ， 则cosθ11111244AB CD AB CD ⋅===⋅⋅，又0︒<θ90︒≤ ∴θ＝60°，∴直线AB 1与CD 1所成的角为60°． 故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查空间想象能力，是中档题．12.已知直线:30l x a --=与圆()(22:334C x y -++=交于点M ，N ，点P 在圆C 上，且3MPN π∠=，则实数a 的值等于（ ）A. 2或10B. 4或8C. 622±D. 623±【答案】B 【解析】 【分析】由圆的性质可得出圆心C 到直线l 的距离，再由点到直线的距离公式可求出实数a 的值.【详解】由π3MPN ∠=可得2π23MCN MPN ∠=∠=. 在MCN △中，2CM CN ==，π6CMN CNM ∠=∠=，可得点(3C ，到直线MN，即直线:0l x a -=的距离为π2sin 16=.1=，解得4a =或8.故选B.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，点到直线的距离.在直线与圆的问题中，结合相关的几何性质求解可使解题更简便.第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.三棱锥S-ABC 中，SA ，SB ，SC 两两垂直，且SA=3，SB=4，SC=5，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为______． 【答案】50π 【解析】 【分析】利用三线垂直联想长方体，结合长方体外接球直径为其体对角线长，容易求解．【详解】由SA ，SB ，SC 两两垂直，以SA ，SB ，SC为长方体同一顶点出发的三条棱构造长方体， 则长方体外接球直径2R 为长方体体对角线长R =，504504S ππ∴=⨯=表， 故答案为50π．【点睛】此题考查了三棱锥外接球问题，考查了构造长方体解决问题的方法，属于中档题． 14.若3sin()5πα+=-，则cos =α__________. 【答案】45± 【解析】()3sin 5πα+=-3sin 5α∴=故利用平方和为1，可知4cos 5α=±15.已知向量,a b 满足1a b ⋅=-，()23a a b -=，则a =______________. 【答案】1 【解析】 【分析】首先根据向量的数量积的运算律求出2a ，再根据2a a =计算可得；【详解】解：因为()23a a b -=， 所以223a a b -= 又1a b =- 所以21a = 所以21a a ==故答案为：1【点睛】本题考查平面向量的数量积的运算，属于基础题. 16.函数()2211f x x x x =----的所有零点之和等于______．【答案】2 【解析】 【分析】令()0f x =，利用换元法可解得方程的根，即得函数的零点.【详解】令()22110f x x x x =----=，则()21120x x ----=.设10t x =-≥，则220t t --=，解得1t =-(舍去)或2t =. 所以12t x =-=，解得1x =-或3x =.所以函数()f x 有两个零点1,3-，它们之和等于13 2.-+=【点睛】本题考查函数的零点，通过解方程()0f x =来求函数()f x 的零点.三、解答题（本大题共6小题，共70分.其中22、23为选考题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a=bcosC+csinB ． （1）求B ；（2）求y=sinA-2sinC 的取值范围．【答案】（1）B=π4；（2）（-12，2）． 【解析】 【分析】（1）由正弦定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得cosBsinC=sinCsinB ，由sinC≠0，可求cosB=sinB ，结合范围0＜B ＜π，可求B 的值．（2）利用三角函数恒等变换的应用，利用余弦函数的图象和性质可求其取值范围． 【详解】（1）由正弦定理得：sinA=sinBcosC+sinCsinB ， 即sin （B+C ）=sinBcosC+sinCsinB ， 故cosBsinC=sinCsinB ， 因为sinC≠0， 所以cosB=sinB ， 因为0＜B ＜π， 所以B=π4； （2）因为B=π4，所以y=sinA-2sinC=sin （3π4-C ）-2sinC=sin 3π4cosC-cos 3π4sinC-2sinC =2cosC ，又因为0＜C ＜3π4，且y=2cosC 在（0，3π4）上单调递减，所以y=sinA-2sinC 的取值范围是（-12，2）．【点睛】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角函数恒等变换的应用，余弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．18.十八大以来，我国新能源产业迅速发展.以下是近几年某新能源产品的年销售量数据：（1）请画出上表中年份代码x 与年销量y 的数据对应的散点图，并根据散点图判断：y ax b =+与2y cx d =+中哪一个更适宜作为年销售量y 关于年份代码x 的回归方程类型；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测2019年某新能源产品的销售量（精确到0.01）.参考公式：121()()ˆ()nii i nii tt y y btt ==--=-∑∑，ˆˆˆybt a =+ 参考数据：5522113,22.84,11,()10,()374i i i i x y t x x t t =====-=-=∑∑55211()()134.90,()()849.10,iiii i i i i x x y y tt y y t x ==--=--==∑∑其中【答案】（1）见解析（2）79.59万个 【解析】 【分析】（1）以年份代码x 为x 轴,以年销量y 为y 轴,作散点图，根据散点图，2y c x d =+更适宜作为年销售量y关于年份代码x 的回归方程；（2）利用最小二乘法求出y 关于x 的回归方程为22.27 2.13y x =-,再利用回归方程预测2019年某新能源产品的销售量.【详解】（1）以年份代码x 为x 轴,以年销量y 为y 轴,作散点图，根据散点图，2y c x d =+更适宜作为年销售量关于年份代码的回归方程； （2）依题意22.84,11y t ==，()()()51521849.10 2.27374iii ii t t y y c t t ==--==≈-∑∑22.84 2.2711 2.13d y c t =-⋅=-⨯=-22.27 2.13 2.27 2.13y t x =-=-所以y 关于x 的回归方程为22.27 2.13y x =-令6x =，22.276 2.1379.59y =⨯-=， 故预测2019年新能源产品的销售量为79.59万个.【点睛】本题主要考查散点图，考查利用最小二乘法求回归方程，考查利用回归方程进行预测，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥平面11BB C C ，E 是1CC 的中点，1BC =，12BB =，2AB =，160BCC ∠=︒．（1）证明：1B E AE ⊥； （2）若11A BAB D =，求三棱锥1D AA E -的体积．【答案】（1）见证明；（2）16D AAE V -= 【解析】 【分析】(1)要证线线垂直，可先证线面垂直，要证线面垂直，又要先从已知的线面垂直和勾股定理中得到线线垂直. (2)三棱锥1D AA E -中，以1AA D △为底面，则底面积和高易求，则体积可得. 【详解】(1)证明：连接BE .因为在BCE 中，1BC =，1111122CE CC BB ===，160BCC ∠=︒,所以BCE 是等边三角形，1BE =．因为在11B C E △中，1111B C EC ==，11=120B C E ∠︒， 所以2211111112cos1203B E EC B C EC B C =+-⨯⨯︒=． 在1BB E △中，11=1,3,2BE B E BB ==， 所以1B E BE ⊥.又AB ⊥平面11BB C C 且1B E ⊂平面11BB C C ， 所以1B E AB ⊥. 又ABBE B =，所以1B E ⊥平面ABE ，因为AE ⊂平面ABE ， 所以1B E AE ⊥．（2）由11A BAB D =知D 为1A B ，1AB 的中点.由AB ⊥平面11BB C C ，可得1AB BB ⊥， 所以111122244AA D S AB BB ∆=⨯⋅==.在平面11BB C C 内过点E 作1EH BB ⊥于点H . 又AB EH ⊥，1ABBB B ，所以EH ⊥平面11ABB A .在1Rt BB E △中，由11EH BB BE B E =，可得EH =，即点E 到平面1AA D .所以三棱锥1D AA E -的体积11113D AA E E AA D AA D V V S --∆==⨯=． 【点睛】本题考查立体几何中的垂直证明和体积计算.空间几何体中直线、平面之间的平面与垂直的证明，一般思路是利用转化的思想，在线线平行(垂直)、线面平行(垂直)、面面平行(垂直)之间进行转化.求三棱锥的体积首先要选择恰当的底面和高，使底面积和高容易求得，再利用1=2V S h 锥底求体积.20.已知1F ，2F 分别为椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点，点1,2P ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上，且12PF F △的面积为2. （1）求椭圆C 的方程；（2）设过点1F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，求22F A F B ⋅的取值范围.【答案】（1）2212x y +=；（2）71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【解析】 【分析】(1)由点P 的坐标和12PF F △的面积列出方程组求出,a b 的值即可. (2)考虑直线l 的斜率不存在的情况，当直线l 的斜率存在时，设():1l y kx =+，与椭圆方程联立，设()11,A x y ，()22,B x y ，由数量积的坐标运算结合根与系数的关系把所求数量积表示为k 的函数，然后求其取值范围.【详解】(1)由椭圆C经过点1,2P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且12PF F △的面积为2，得 221112a b +=，且12222c ⨯⨯=,即1c =. 又2221a b c -==，解得22a =，21b =. 所以椭圆C的方程为2212x y +=.（2）由（1）知()11,0F -，()21,0F .设()11,A x y ，()22,B x y . 若直线l 的斜率不存在，可得点,A B 的坐标为1,,1,22⎛⎛--- ⎝⎭⎝⎭，则227=2F A F B . 当直线l 的斜率存在时，设():1l y k x =+，代入椭圆方程得()()2222124210k xk x k +++-=.则()()422168121k kk∆=-+-2880k =+>恒成立.所以2122412k x x k +=-+，()21222112k x x k-=+. 所以()()221212=11F A F B x x y y --+()()()()21212=1111x x kx x --+++()()()2221212=111k x x k x x k ++-+++22271791222(12)k k k -==-++. 又20k ≥，则()2227971,22221F A F B k ⎡⎫=-∈-⎪⎢+⎣⎭. 综上可知，22F A F B 的取值范围为71,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.【点睛】本题考查椭圆的综合问题，椭圆中的取值范围问题.解题的一般思路是：联立直线与椭圆方程，由根与系数的关系进行整体代换和运算，由函数的性质求取值范围. 21.已知函数3()f x x ax =+. （1）讨论()f x 的单调性；（2）若函数()()ln g x f x x x =-在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上有零点，求a 的取值范围.【答案】（1）见解析；（2）114ln 2,ln 222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】（1）先求导，对a 分类讨论，利用导函数的正负可得f （x ）的单调性.（2）将已知进行转化，得到3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，分离参数a ，构造函数，求导求得值域，可得a 的范围.【详解】（1）因为()3f x x ax =+，所以()23f x x a ='+.①当0a ≥时，因为()230f x x a '=+≥，所以()f x 在R 上单调递增；②当0a <时，令()0f x '>，解得x <x >.令()0f x '<，解得x <<， 则()f x在,3⎛-∞-⎝⎭，,3⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递增；在,33⎛- ⎝⎭上单调递减. （2）因为()()ln g x f x x x =-，所以()3ln g x x ax x x =+-，()()ln g x f x x x =-在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有零点，等价于关于x 的方程()0g x =在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解，即3ln 0x ax x x +-=在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有解. 因为3ln 0x ax x x +-=，所以2ln a x x =-+.令()2ln h x x x =-+，则()21212x h x x x x=-'-=-+.令()0h x '<，122x ≤≤，解得22x <≤；令()0h x '>，122x ≤≤，解得122x ≤<，则()h x,22⎛⎤ ⎥ ⎝⎦上单调递减，在1,22⎡⎢⎣⎭上单调递增， 因为2111ln 222h ⎛⎫⎛⎫=-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln24--，()222ln24ln2h =-+=-+，所以()115224h h ⎛⎫-=⎪⎝⎭152ln2204->->， 则()()min 24ln2h x h ==-+，()max 12h x h ==-+⎝⎭11ln222=--， 故a 的取值范围为114ln2,ln222⎡⎤-+--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性与零点问题，考查了函数的最值的求法，考查了等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．22.已知函数()2123f x x x =+--，()1g x x x a =++-. （l ）求()1f x ≥的解集；（2）若对任意的R t ∈，R s ∈，都有()()g s f t ≥.求a 的取值范围. 【答案】(1)34x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭；(2){3x a ≥或}5a ≤-. 【解析】试题分析：（1）首先利用零点讨论法求出在不同范围内的不等式组，进一步解不等式组求出结论，直接根据函数的恒成立问题进一步建立，对任意的t R ∈，s R ∈，都有()()g s f t ≥，可得()()min max g x f x ≥，进一步求出参数的取值范围.试题解析：（1）∵函数()2123f x x x =+--，故()1f x ≥，等价于21231x x +--≥，令210x +=，解得12x =-，令230x -=，解得32x =，则不等式等价于：()1 221321x x x ⎧<-⎪⎨⎪----≥⎩①，或132221(32)1x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪+--≥⎩②，或3 221(23)1x x x ⎧>⎪⎨⎪+--≥⎩③，解①求得x ∈∅，解②求得33 24x ≥≥，解③求得32x >，综上可得，不等式的解集为3{|}4x x ≥.（2）若对任意的t R ∈，s R ∈，都有()()g s f t ≥，可得()()min max g x f x ≥，∵函数()212321234f x x x x x =+--≤+-+=，∴()4max f x =，∵()111g x x x a x x a a =++-≥+-+=+，故()1min g x a =+，∴14a +≥，∴14a +≥或14a +≤-，求得3a ≥或5a ≤-，故所求的a 的范围为{|3a a ≥或5}a ≤-．点睛：本题主要考查了绝对值不等式的解法，以及转化与化归思想，难度一般；常见的绝对值不等式的解法，法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 23.已知极点与坐标原点O 重合，极轴与x 轴非负半轴重合，M 是曲线2:sin C ρθ=上任一点，点P 满足3OP OM =.设点P 的轨迹为曲线Q .（1）求曲线Q 的平面直角坐标方程；（2）已知曲线Q 向上平移1个单位后得到曲线N ，设曲线N 与直线:x tl y t =-⎧⎨=⎩（t 为参数）相交于A ，B 两点，求OA OB +值.【答案】（1）()2239x y +-=；（2）【解析】 【分析】(1) 设(,)P ρθ，求出点M 的极坐标为(,)3ρθ.把点(,)3M ρθ代入曲线C 即得曲线Q 的极坐标方程，再化成直角坐标方程即可.(2)求出l 的参数方程，再利用直线参数方程t 的几何意义求解. 【详解】（1）设(),P ρθ，∵3OP OM =，点M 的极坐标为,3ρθ⎛⎫⎪⎝⎭. 把点,3M ρθ⎛⎫⎪⎝⎭代入曲线C ，得2sin 3ρθ=，即曲线Q 的极坐标方程为：6sin ρθ=.∵26sin ρρθ=，∴226x y y +=，∴()2239x y +-=，∴曲线Q 的平面直角坐标系下的方程为()2239x y +-=.（2）曲线Q 向上平移1个单位后曲线N 的方程为()2249x y +-=.l的参数方程化为：2x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.两方程联立得270t -+=，∴12t t +=127t t ⋅=，∴1212OA OB t t t t +=+=+=【点睛】本题主要考查极坐标和直角坐标方程互化，考查直线参数方程t 的几何意义，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.。

2021届河北衡中同卷新高考仿真考试（八）数学（文科）★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}0,A x =，{}0,2,4B =.若A B ⊆，则实数x 的值为（ ） A. 0或2 B. 0或4C. 2或4D. 0或2或4【答案】C 【解析】 【分析】利用子集的概念即可求解.【详解】集合{}0,A x =，{}0,2,4B =若A B ⊆，则集合A 中的元素在集合B 中均存在， 则0,2x =或4，由集合元素的互异性可知2x =或4， 故选：C【点睛】本题考查了子集的概念，理解子集的概念是解题的关键，属于基础题. 2.若复数z 满足25zi i =+（i 为虚数单位），则z 在复平面上对应的点的坐标为（ ）A. ()2,5B. ()2,5-C. ()5,2-D. ()5,2-【答案】D 【解析】 【分析】根据题意两边同时除以i 可求出复数z ，然后即可求出z 在复平面上对应的点的坐标. 【详解】解：因为25zi i =+，所以2552iz i i+==-，故z 在复平面上对应的点的坐标为()5,2-. 故选：D.【点睛】本题考查复数与复平面上点的坐标一一对应的关系，考查复数除法的四则运算，属于基础题.3.命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是（ ） A. 0x R ∃∈，20010x x -+> B. x R ∀∈，210x x -+≤ C. 0x R ∃∈，20010x x -+≥D. x R ∀∈，210x x -+>【答案】D 【解析】 【分析】含有全称量词和特称量词的否定是：否量词，否结论，不否范围.【详解】解：命题“0x R ∃∈，20010x x -+≤”的否定是x R ∀∈，210x x -+>.故选：D.【点睛】本题考查含有全称量词和特称量词的命题的否定，熟练掌握否定的规则是解题的关键，本题属于基础题.4.如图是某几何体的正视图和侧视图，则该几何体的俯视图不可能是（ ）A. B. C. D.【答案】A【解析】 【分析】直接利用三视图和直观图的转换的应用求出结果.【详解】解：根据几何体的三视图可知该几何体为三棱柱， 当选A 时，正视的中间的竖线应为虚线，选项BCD 均可能， 故选：A【点睛】此题考查三视图与几何体之间的转换，考查学生的转换能力和空间想象能力，属于基础题. 5.已知函数()22x x f x -=-，则()2log 3f =（ ） A. 2 B.83C. 3D.103【答案】B 【解析】 【分析】根据函数解析式及指数对数恒等式计算可得； 【详解】解：因为()22x xf x -=- 所以()22log 3log 3218log 322333f -=-=-=故选：B【点睛】本题考查函数值的计算，对数恒等式的应用，属于基础题.6.已知实数,x y 满足102050x y x y -≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则2z x y =+的最大值为（ ）A. 4B. 6C. 8D. 10【答案】C 【解析】 【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，得如图的ABC 及其内部，再将目标函数2z x y =+对应的直线进行平移，可得当3x =，2y =时，2z x y =+取得最大值8．【详解】作出实数x ，y 满足10,20,50x y x y -⎧⎪-⎨⎪+-⎩表示的平面区域，得到如图的ABC 及其内部，其中(3,2)A ，(1,2)B ，(1,4)C设(,)2z F x y x y ==+，将直线:2l z x y =+进行平移， 当l 经过点A 时，目标函数z 达到最大值()3,22328max z F ∴==⨯+=．故选：C ．【点睛】本题给出二元一次不等式组，求目标函数2z x y =+的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域和简单的线性规划等知识，属于基础题．7.为迎接大运会的到来，学校决定在半径为202m 的半圆形空地O 的内部修建一矩形观赛场地ABCD ，如图所示，则观赛场地的面积最大值为（ ）A. 4002mB. 24002mC. 6002mD. 8002m【答案】D 【解析】 【分析】连接OD ，设COD θ∠=，则sin CD OD θ=，cos OC OD θ=，2ABCD S OC CD =⋅根据三角函数的性质求出面积最值；【详解】如图连接OD ，设COD θ∠=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭则sin 202CD OD θθ==，cos 202OC OD θθ==所以22202202800sin 2ABCD S OC CD θθθ=⋅=⨯⨯= 因为0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()20,θπ∈，所以(]sin 20,1θ∈，所以(]0,800ABCD S ∈，当4πθ∈时()max 800ABCD S =故选：D【点睛】本题考查三角函数的应用，属于基础题.8.在等比数列{}n a 中，已知19nn n a a +=，则该数列的公比是（ ）A. －3B. 3C. 3±D. 9【答案】B 【解析】 【分析】由已知结合等比数列的性质即可求解公比. 【详解】解：因为190nn n a a +=>，所以11111999nn n n n n n n a a a a a a ++---===， 所以29q =，所以3q =或3q =-，当3q =-时，109nn n a a +=<不合题意，故选：B【点睛】此题考查了等比数列的性质的简单应用，属于基础题. 9.已知函数()33f x x x =-，则“1a >”是“()()1f a f >”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】对函数()33f x x x =-进行求导可得到：()()()2()31311f x x x x '=-=-+从而可得出函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性可知：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立，所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件.【详解】由题意可得：()()()2()31311f x x x x '=-=-+，令()0f x '>解得1x >或1x <-，即函数()33f x x x =-在(),1x ∈-∞-上递增，在()1,1x ∈-递减，在()1,x ∈+∞递增，根据函数的单调性：当1a >时，有()()1f a f >成立，即充分性成立；当()()1f a f >时，a 的范围不一定是1a >，可能11a -<<，即必要性不成立， 所以“1a >”是“()()1f a f >”的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了函数的单调性及充分条件，必要条件的判断，属于一般题.10.已知1F ，2F 是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左，右焦点，经过点2F 且与x 轴垂直的直线与双曲线的一条渐近线相交于点A ，且1264F AF ππ≤∠≤.则该双曲线离心率的取值范围是（ ）A.B. C. ⎡⎣D. ⎤⎦【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，求得122tan a F AF b ∠=，再由1264F AF ππ∠求得b a的范围，结合双曲线的离心率公式得答案．【详解】如图，由题意，(,)bcA c a，12||2F F c =， 则12122||22tan ||F F c aF AF bc AF b a∠===．由1264F AF ππ∠，得321ab， 即223ba． 21()[5,13]c be a a∴==+． 故选：B ．【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，考查双曲线的离心率的取值范围的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11.在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，P 在底面ABC 上的投影为AC 的中点D ，1DP DC ==.有下列结论：①三棱锥P ABC -的三条侧棱长均相等； ②PAB ∠的取值范围是,42ππ⎛⎫⎪⎝⎭； ③若三棱锥的四个顶点都在球O 的表面上，则球O 的体积为23π； ④若AB BC =，E 是线段PC 上一动点，则DE BE +62+其中所有正确结论的编号是（ ） A. ①② B. ②③C. ①②④D. ①③④【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形全等判断①，根据sin PAB ∠的值和三角形的内角和得出PAB ∠的范围，计算外接球半径判断③，将棱锥侧面展开计算最短距离判断④． 【详解】解：如图1，AB BC ⊥，D 是AC 的中点，DA DB DC ∴==，又PD ⊥平面ABC ，Rt PDA RtPDB RTPDC ∴∆≅≅，PA PB PC ∴==，故①正确；PA PB =，PAB PBA ∴∠=∠，又PAB PBA APB π∠+∠+∠=，2PAB π∴∠<，过P 作PM AB ⊥，M 为垂足，如图2，则1PM PD >=， 又222PA PD AD =+=，12sin 22PM PAB PA ∴∠=>=，4PAB π∴∠>，故②正确；AB BC ⊥，D ∴为平面ABC 截三棱锥外接球的截面圆心，设外接球球心为O ，则O 在直线DP 上，如图3，设DO h =，则2(1)1h h ±=+，解得0h =，故D 为外接球的球心．∴外接球的体积为344133ππ⨯⨯=，故③错误．若AB BC =，则2BC =，又2PB PC ==，故PBC ∆是等边三角形，将平面PCD 沿PC 翻折到平面PBC 上，如图4，图5. 则DE BE +的最短距离为线段BD 的长．6045105BCD ∠=︒+︒=︒，2BC =1CD =，6221221cos10523BD +∴=+-⨯⨯⨯︒+④正确． 故选：C ．【点睛】本题考查了棱锥的结构特征，棱锥与外接球的位置关系，属于中档题．12.已知函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点20,2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，且将图象向左平移3π个长度单位后恰与原图象重合.若对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立，则实数t 的最大值是（ ） A.34π B.23π C.712π D.2π 【答案】A 【解析】 【分析】将点⎛ ⎝⎭代入解析式，求出A ，然后再利用三角函数的平移变换求出ω，再由()()12min max 2f x f x ≥，结合正弦函数的性质即可求解.【详解】函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象经过点0,2⎛ ⎝⎭，可得sin142A π-=，解得1A = 函数()sin 1(0,01)4f x A x A πωω⎛⎫=+-><< ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个长度单位可得()(1sin 314g x x πωπω⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，根据两函数的图象重合，可知32,k k Z πωπ=∈， 解得2,3kk Z ω=∈， 又因为01ω<<，所以23ω=， 对任意的[]12,0,x x t ∈，都有()()122f x f x ≥成立， 则()()12min max 2f x f x ≥， 由[]12,0,x x t ∈，则12222,,3434434x x t ππππ⎡⎤++∈+⎢⎥⎣⎦， 若要实数t 取最大值，由()()2max1min2f x f x ≥，只需()min1122f x +≥=，所以23344t ππ+≤，解得34t π≤， 所以实数t 的最大值是34π. 故选：A【点睛】本题考查了三角函数的平移变换求解析式、三角不等式恒成立问题、正弦函数的性质，属于中档题.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上.13.已知向量()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥，则实数λ的值为______. 【答案】23- 【解析】 【分析】由a b ⊥，故1230a b λ=⨯+=，即可解得； 【详解】解：因为()1,a λ=，()2,3b =，且a b ⊥， 所以1230a b λ=⨯+=，解得23λ=- 故答案为：23-【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，属于基础题.14.某实验室对小白鼠体内x ，y 两项指标进行研究，连续五次实验所测得的这两项指标数据如下表：已知y 与x 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为y bx a =+.若下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =，则b 的值为______.【答案】0.54 【解析】 【分析】由已知表格中的数据，求得x 和y ，代入回归方程，再把点()170,117代入y bx a =+，联立方程组即可求解b 的值.【详解】解：由已知表格中的数据，求得：1201101251301151205x ++++==，9283909689905y ++++==，则12090b a +=，①又因为下一次实验中170x =，利用该回归直线方程预测得117y =， 则170117b a +=，② 联立①②，解得：0.54b =. 故答案为：0.54.【点睛】本题考查线性回归方程的求法，明确线性回归方程恒过样本中心点是关键，属于基础题. 15.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列.则12310a a a a ++++的值为______. 【答案】792【解析】 【分析】首先求出n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，即可得到232344n S n n =-+，再利用作差法求出31322n a n =-+，最后利用分组求和计算可得；【详解】解：因为15a =，510S =，且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，设公差为d ， 所以15S =，525S =，所以513544S S d -==-， 所以32344n S n n =-+，所以232344n S n n =-+①； 当2n ≥时，()()213231144n S n n -=--+-②；①减②得31322n a n =-+，显然15a =符号故31322n a n =-+，当14n ≤≤时0n a ≥，5n ≥时0n a < 所以12310a a a a ++++41102356789a a a a a a a a a a -----+-=++()4104S S S --=4102S S =-2232332344101044442⨯+⨯-⎪=⨯⨯⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎝⎭⎝⎭+357911222⎛=⎫⨯--= ⎪⎝⎭故答案为：792【点睛】本题考查等差数列的通项公式及求和公式的应用，属于中档题. 16.已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，经过点F 且倾斜角为4π的直线与抛物线相交于A ，B 点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点M .则4pFM的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】先写出过点F 且倾斜角为4π的直线方程，然后与抛物线方程联立成方程组，消元后利用根与系数的关系得到线段AB 的中点坐标，从而可得到线段AB 的垂直平分线方程，进而可求出点M 的坐标，于是就得到FM 的值，即可得结果.【详解】解：抛物线()220y px p =>的焦点(,0)2p F ，则经过点F 且倾斜角为4π的直线为2py x =-，设1122(,),(,)A x y B x y ，线段AB 为00(,)N x y ，由222p y x y px⎧=-⎪⎨⎪=⎩，得22304p x px -+=，所以12003,22x x px y p +===， 所以线段AB 的垂直平分线方程为3()2py p x -=--， 令0y =，得52p x =，所以5(,0)2pM ， 所以5222p p FM p =-=，所以4422p p FM p ==， 故答案为：2【点睛】此题考查抛物线方程和性质，考查直线和抛物线的位置关系，运用了根与系的关系，考查化简运算能力，属于中档题.三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.某公司为加强对销售员的考核与管理，从销售部门随机抽取了2019年度某一销售小组的月均销售额，该小组各组员2019年度的月均销售额（单位：万元）分别为：3.35，3.35，3.38，3.41，3.43，3.44，3.46，3.48，3.51，3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70.（Ⅰ）根据公司人力资源部门的要求，若月均销售额超过3.52万元的组员不低于全组人数的65%，则对该销售小组给予奖励，否则不予奖励.试判断该公司是否需要对抽取的销售小组发放奖励；（Ⅱ）从该销售小组月均销售额超过3.60万元的销售员中随机抽取2名组员，求选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率.【答案】（Ⅰ）不需要对该销售小组发放奖励；（Ⅱ）710. 【解析】 【分析】（Ⅰ）求出月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例，与65%比较判断即可；（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ，利用列举法，列举出5名销售员中随机抽取2名的所有结果和至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果，最后根据古典概型求概率，即可得出结果. 【详解】解：（Ⅰ）该小组共有11名销售员2019年度月均销售额超过3.52万元， 分别是：3.54，3.56，3.56，3.57，3.59，3.60，3.64，3.64，3.67，3.70，3.70， ∴月均销售额超过3.52万元的销售员占该小组的比例为1155%20=， ∵55%65%<，故不需要对该销售小组发放奖励.（Ⅱ）由题可知，月均销售额超过3.60万元的销售员有5名，其中超过3.68万元的销售员有2名，记为1A ，2A ，其余的记为1a ，2a ，3a ， 从上述5名销售员中随机抽取2名的所有结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，()12,a a ，()13,a a ，()23,a a ，共有10种，其中至少有1名销售员月均销售额超过3.68万元的结果为：()12,A A ，()11,A a ，()12,A a ，()13,A a ，()21,A a ，()22,A a ，()23,A a ，共有7种，故选取的2名组员中至少有1名月均销售额超过3.68万元的概率为710P =. 【点睛】本题考查利用列举法写出基本事件和古典概率求概率，以及利用概率对实际问题进行评估，属于基础题.18.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()sin()()(sin sin )a c A B a b A B -+=-+. （Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）若4b =，求a c +的最大值. 【答案】（Ⅰ）3B π=；（Ⅱ）8.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用三角形的内角和定理可得()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+，再根据正弦定理的边角互化以及余弦定理即可求解.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得2216a c ac +-=，再利用基本不等式即可求解. 【详解】解：（Ⅰ）在ABC 中，∵sin()sin()sin A B C C π+=-=， ∴()sin ()(sin sin )a c C a b A B -=-+. 由正弦定理，得()()()a c c a b a b -=-+. 整理，得222c a b ac +-=.∴222122c a b ac +-=.∴1cos 2B =. 又0B π<<，∴3B π=.（Ⅱ）∵4b =，∴2216a c ac +-=， 即2()163a c ac +-=，∵22a c ac +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，∴22()1632a c a c +⎛⎫+-≤ ⎪⎝⎭. ∴21()164a c ≤+. ∴8a c +≤，当且仅当a c =时等号成立. ∴a c +的最大值为8.【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式，需熟记定理的内容，属于基础题.19.如图，在多面体ABCDEF 中，ADEF 为矩形，ABCD 为等腰梯形，//BC AD ，2BC =，4=AD ，且AB BD ⊥，平面ADEF ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为EF ，CD 的中点.（Ⅰ）求证：//MN 平面ACF ；（Ⅱ）若2DE =，求多面体ABCDEF 的体积. 【答案】（Ⅰ）证明见解析；103. 【解析】 【分析】（Ⅰ）取AD 的中点O .连接OM ，ON ，可证//OM AF ，//ON AC ，然后利用平面//MON 平面ACF ，可证//MN 平面ACF .（Ⅱ）将多面体分为四棱锥B ADEF -和三棱锥B CDE -两部分，将B CDE V -转化为V E BCD -，然后利用四棱锥和三棱锥的体积公式分别求出然后求和即可. 【详解】解：（Ⅰ）如图，取AD 的中点O .连接OM ，ON . 在矩形ADEF 中，∵O ，M 分别为线段AD ，EF 的中点， ∴//OM AF .又OM ⊄平面ACF ，AF ⊂平面ACF ， ∴//OM 平面ACF .在ACD 中，∵O ，N 分别为线段AD ，CD 的中点， ∴//ON AC .又ON ⊄平面ACF ，AC ⊂平面ACF ， ∴//ON 平面ACF .又OMON O =，,OM ON ⊂平面MON ，∴平面//MON 平面ACF又MN ⊂平面MON ，∴//MN 平面ACF . （Ⅱ）如图，过点C 作CH AD ⊥于H . ∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD =，CH ⊂平面ABCD ，∴CH ⊥平面ADEF .同理DE ⊥平面ABCD . 连接OB ，OC .ABD △中，∵AB BD ⊥，4=AD ，∴122OB AD ==. 同理2OC =.∵2BC =，∴等边OBC 的高为3，即3CH =. 连接BE .∴ABCDEF B ADEF B CDE B ADEF E BCD V V V V V ----=+=+1111124323233332ADEF BCD S CH S DE =⋅+⋅=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯△ 1033=.【点睛】本题考查利用线线平行，线面平行和面面平行的判定定理和性质定理，考查分割法求多面体的体积，考查四棱锥和三棱锥的体积公式，考查学生的转化能力和计算能力，属于中档题.20.已知函数()ln xm e f x x e=-，其中m R ∈.（Ⅰ）当1m =时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当2m =时，证明：()0f x >.【答案】（Ⅰ）单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,；（Ⅱ）证明见解析.【解析】 【分析】（Ⅰ）利用导数求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）先证明存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =，再利用导数求出()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值，再利用基本不等式证明不等式. 【详解】解：（Ⅰ）当1m =时，()ln x e f x x e =-.则()1'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增（增函数+增函数=增函数），且()'10f =，∴当()0,1x ∈时，()'0f x <；当()1,x ∈+∞时，()'0f x >. ∴()f x 的单调递减区间为0,1，单调递增区间为1,.（Ⅱ）当2m =时，()2ln x e f x x e =-.则()21'x e f x e x=-.∵()'f x 在0,上单调递增，且()1'110f e =-<，()1'2102f =->， ∴存在唯一的()01,2x ∈，使得()0'0f x =.∴当()00,x x ∈时，()'0f x <，即()f x 在()00,x 上单调递减； 当()0,x x ∈+∞时，()'0f x >，即()f x 在()0,x +∞上单调递增， ∴()()0002ln x e f x ef x x ==-最小值.又0201x e e x =，即021ln ln x e x -=.化简，得002ln x x -=-.∴()000201ln 2x e x x f x x e =-=+-最小值. ∵()01,2x ∈，∴()001220x x f x =+->=最小值. ∴当2m =时，()0f x >.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调区间和最值，考查利用导数证明不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左焦点()1F，点Q ⎛ ⎝⎭在椭圆C 上. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）经过圆O ：225x y +=上一动点P 作椭圆C 的两条切线，切点分别记为A ，B ，直线PA ，PB 分别与圆O 相交于异于点P 的M ，N 两点.（i ）当直线PA ，PB 的斜率都存在时，记直线PA ，PB 的斜率分别为1k ，2k .求证：121k k =-；（ii ）求ABMN的取值范围.【答案】（Ⅰ）2214x y +=；（Ⅱ）（i ）证明见解析；（ii ）14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【解析】 【分析】（Ⅰ）把点1,2Q ⎛ ⎝⎭代入椭圆方程，结合222a b c =+，c =.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ,写出切线方程()00y k x x y =-+，联立方程组()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，再由0∆=，结合韦达定理，写出12k k 的表达式，化简得出结果;（ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y ，进而求得直线PA 和PB 的直线方程，结合两条直线的形式，可写出直线AB 的方程，运用弦长公式求得AB MN ，结合0y 的范围，可求得ABMN的取值范围.【详解】（Ⅰ）∵椭圆C的左焦点()1F，∴c =将1,2Q ⎛ ⎝⎭代入22221x y a b +=，得221314a b +=. 又223a b -=，∴24a =，21b =.∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=.（Ⅱ）（i ）设点()00,P x y ，设过点P 与椭圆C 相切的直线方程为()00y k x x y =-+. 由()0022440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()2220000148440kx k y kx x y kx ++-+--=.()()()222200006444144k y kx k y kx ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()22200004210x k x y k y -++-=.由已知，则212214y k k x -=-. 又22005x y +=，∴()220012220154144x x k k x x ---===---. （ii ）设点()11,A x y ，()22,B x y .当直线PA 的斜率存在时，设直线PA 的方程为()111y k x x y =-+.由()11122440y k x x y x y ⎧=-+⎨+-=⎩，消去y ，得()()()22211111111148440k x k y k x x y k x ++-+--=. ()()()2222111111116441444k y k x k y k x ⎡⎤∆=--+--⎣⎦.令0∆=，整理得()2221111114210x k x y k y -++-=. 则11111122111444x y x y x k x y y =-=-=--. ∴直线PA 的方程为()11114x y x x y y =--+. 化简，可得22111144x x y y y x +=+，即1114x xy y +=. 经验证，当直线PA 的斜率不存在时，直线PA 的方程为2x =或2x =-，也满足1114x xy y +=. 同理，可得直线PB 的方程为2214x xy y +=.∵()00,P x y 在直线PA ，PB 上，∴101014x x y y +=，202014x xy y +=. ∴直线AB 的方程为0014x xy y +=. 由00221444x xy y x y ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩，消去y ，得()22200035816160y x x x y +-+-=.∴01220835x x x y +=+，21220161635y x x y -=+.∴12x AB =-=)20203135y y +==+. 又由（i ）可知当直线PA ，PB 的斜率都存在时，PM PN ⊥；易知当直线PA 或PB 斜率不存在时，也有PM PN ⊥.∴MN 为圆O 的直径，即MN =∴)2022022003131413535y y y y ABMN++===-++. 又[]20,5y ∈，∴204141,3555y ⎡⎤-∈⎢⎥+⎣⎦. ∴AB MN 的取值范围为14,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题主要考查直线与椭圆相交时的有关知识,考查学生分析问题解决问题的能力.采用了设而不求的方法，运用韦达定理和弦长公式求得AB MN，结合椭圆纵坐标的有界性可求得范围，属于中档题.请考生在第22，23题中任选择一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. 选修4-4：坐标系与参数方程22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为832432x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为26cos a ρρθ+=，其中0a >.（Ⅰ）写出直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）在平面直角坐标系xOy 中，设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点.若点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点，求a 的值.【答案】（Ⅰ）40x y -+=；2260x y x a ++-=；（Ⅱ）4a =.【解析】【分析】（Ⅰ）利用消参法消去参数t ，即可将直线l 的参数方程转化为普通方程，利用互化公式222x y ρ=+，cos x ρθ=，将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；（Ⅱ）把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，得出关于t 的一元二次方程，根据韦达定理得出12t t +和12t t ，再利用直线参数方程中的参数t 的几何意义，即可求出a 的值.【详解】解：（Ⅰ）由于直线l的参数方程为832432x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），消去参数t ，得直线l 的普通方程为40x y -+=，由222x y ρ=+，cos x ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程为2260x y x a ++-=.（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程，并整理，得264039t a +--=，(*) 设1t ，2t 是方程(*)的两个根，则有>0∆，得123t t +=-，12649t t a ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，由于点84,33P ⎛⎫- ⎪⎝⎭恰为线段AB 的三等分点， 所以不妨设122t t =-， ∴223250929a t =+=， 解得：4a =，符合条件0a >和>0∆，.∴a 的值为4.【点睛】本题考查利用消参法将参数方程转化为普通方程，以及利用互化公式将极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数方程中的参数t 的几何意义求参数值，考查化简运算能力.选修4-5：不等式选讲23.已知函数()12f x x x =--+.（Ⅰ）求不等式()f x x <的解集；（Ⅱ）记函数()f x 的最大值为M .若正实数a ，b ，c 满足1493a b c M ++=，求193c a c ab ac --+的最小值.【答案】（Ⅰ）1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭；（Ⅱ）36.【解析】【分析】（Ⅰ）根据零点分段去掉绝对值，分别求出x 的取值范围，可得不等式的解集；（Ⅱ）由绝对值三角不等式求出()f x 的最大值为M ，将其代入化简，根据柯西不等式求出最值，并写出取等条件．【详解】解：（Ⅰ）不等式()f x x <即12x x x --+<.①当1x ≥时，化简得3x -<.解得1x ≥；②当21x -<<时，化简得21x x --<.解得113-<<x ； ③当2x -≤时，化简得3x <.此时无解. 综上，所求不等式的解集为1|3x x ⎧⎫>-⎨⎬⎩⎭. （Ⅱ）∵()()12123x x x x --+≤--+=，当且仅当2x -≤时等号成立.∴3M =，即491a b c ++=.∵193413111c a c a b ab ac ab c a a b c--++=+-=++， 又,,0a b c >， ∴111111(49)a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭2≥ ()212336=++=. 当且仅当11149a b c a b c==,即16a =，112b =，118c =时取等号， ∴193c a c ab ac--+的最小值为36. 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，以及柯西不等式在求最值中的应用，属于中档题．。

2021届河北衡水金卷新高考仿真考试（八）数学试题★祝你考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考考查范围。

2、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

3、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

4、主观题的作答：用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非主观题答题区域的答案一律无效。

5、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

6、保持卡面清洁，不折叠，不破损。

7、本科目考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

第Ⅰ卷（选择题 60分）一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}2|560A x x x =--<，{}1|33x B x +=<，则A B =（ ）A. {}06x x |<<B. {}|10x x -<<C. {|06}x x ≤<D. {}|0x x <【答案】B 【解析】 【分析】解出集合A 、B 中的不等式即可.【详解】因为{}{}2|560|16A x x x x x =--<=-<<，{}{}1|33|0x B x x x +=<=<所以A B ={}1|0x x -<<故选：B【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法、指数不等式的解法和集合的运算，较简单. 2.已知复数1z bi =+满足z zi z z⋅=--，其中z 为复数z 的共轭复数，则实数b =（ ） A. 1-B. 2C. 1D. 1或1-【答案】C 【解析】 【分析】根据条件得到21z z b ⋅=+，2z z bi -=，代入已知等式，即可求得实数b 的值．【详解】由题意得1z bi =-，所以221z z bi z z b-=⎧⎨⋅=+⎩，所以由z zi z z ⋅=--，得22122b bi b +=-=，得1b =． 故选：C.【点睛】本题主要考查复数的四则运算及共轭复数等，考查考生对复数四则运算的掌握情况及运算求解能力，属于基础题. 3.若1sin 3α=，则cos2α= A.89 B.79C. 79-D. 89-【答案】B 【解析】【详解】分析：由公式2cos2α12sin α=-可得结果.详解：227cos2α12199sin α=-=-= 故选B.点睛：本题主要考查二倍角公式，属于基础题.4.函数()020x xe x f x x ⎧≠⎪=⎨=⎪⎩，，的大致图象为（ ）A. B. C. D.【答案】B 【解析】 【分析】当x →+∞时，()f x →+∞，可排除AD ；当0x <时，()0f x <，可排除C ，得到答案.【详解】当x →+∞时，||()x f x xe =→+∞，可排除AD ；当0x <时，||0()x f x xe <=，可排除C. 故选：B.【点睛】本题考查函数图象的运用，考查数形结合思想，属于基础题.5.已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】 【分析】通过对数函数的单调性和举反例，并借助充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】因为1a >，所以由log log a a x y <，得0x y <<， 所以0x y -<，2()0x xy x x y -=-<， 所以2x xy <，则充分性成立；当1,2x y =-=-时，2x xy <，但是log ,log a a x y 无意义，故必要性不成立. 综上，已知1a >，则“log log a a x y <”是“2x xy <”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，考查学生的逻辑推理能力，属于基础题.若想说明一个式子不成立，可以采用举反例法，给出一个反例即可.6.已知双曲线221y x m-=与抛物线28y x =的一个交点为,P F 为抛物线的焦点，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A. 20x y ±=B. 20x y ±=C. 0y ±=D. 0x ±=【答案】C 【解析】由抛物线定义得2224253,24313P P P x x y m m+=⇒==⇒-=⇒=，因此双曲线的渐近线方程为2203y x y -=±=，选C.点睛：1.凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理． 2．若00(,)P x y 为抛物线22(0)y px p =>上一点，由定义易得0||2pPF x =+；若过焦点的弦AB AB 的端点坐标为1122(,),(,)A x y B x y ，则弦长为1212,AB x x p x x =+++可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到．7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸；③台体的体积()13V s s s s =++下下上上h ）（ ） A. 3寸 B. 4寸 C. 5寸 D. 6寸【答案】A 【解析】 【分析】作出圆台的轴截面,根据已知条件,利用圆台体积公式可求得盆中积水体积,再求出盆口面积,根据平均降水量的定义可求得结果.【详解】作出圆台的轴截面如图所示:由题意知,14BF =寸,6OC =寸,18OF =寸,9OG =寸, 即G 是OF 的中点,GE ∴为梯形OCBF 的中位线, 146102GE +∴==寸,即积水的上底面半径为10寸, ∴盆中积水的体积为()11003610695883ππ⨯++⨯⨯=（立方寸）,又盆口的面积为214196ππ=（平方寸）,∴平均降雨量是5883196ππ=寸,即平均降雨量是3寸, 故选:A【点睛】本题考查圆台体积的有关计算,关键是能够根据轴截面得到所求圆台的上下底面半径和高,考查运算能力.8.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，点O 为底面ABCD 的中心，点P 在侧面11BB C C 的边界及其内部运动．若1D O OP ⊥，则11D C P △面积的最大值为（ ）A.25B.45C.5 D. 25【答案】C 【解析】 【分析】取1BB 的中点F ，由题意结合正方体的几何特征及平面几何的知识可得1OD OC ⊥，1OD OF ⊥，由线面垂直的判定与性质可得1OD CF ⊥，进而可得点P 的轨迹为线段CF ，找到1C P 的最大值即可得解. 【详解】取1BB 的中点F ，连接OF 、1D F 、CF 、1C F ，连接DO 、BO 、OC 、11D B 、1D C ，如图：因为正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2， 所以11B F BF ==,2DO BO OC ===11122D B DC ==1BB ⊥平面ABCD ，1BB ⊥平面1111D C B A ，11C D ⊥平面11BB C C ，所以22116OD OD DD =+=，223OF OB BF =+=，2211113D F D B B F =+=，所以22211OD OF D F +=，22211OD OC D C +=，所以1OD OC ⊥，1OD OF ⊥， 由OCOF O =可得1OD ⊥平面OCF ，所以1OD CF ⊥，所以点P 的轨迹为线段CF ， 又221111152C F B C B F C C =+=>=,所以11D C P △面积的最大值1111125522S C F D C =⋅=⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查了正方体几何特征的应用，考查了线面垂直的判定与性质，关键是找到点P 的轨迹，属于中档题.二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.9.为了贯彻落实党中央精准扶贫决策，某市将其低收入家庭的基本情况经过统计绘制如图，其中各项统计不重复.若该市老年低收入家庭共有900户，则下列说法正确的是（ ）A. 该市总有15000户低收入家庭B. 在该市从业人员中，低收入家庭共有1800户C. 在该市失无业人员中，低收入家庭有4350户D. 在该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有800户 【答案】ABC 【解析】 【分析】直接根据图表依次判断每个选项得到答案.【详解】该市总有9006%15000÷=户低收入家庭，A 正确； 在该市从业人员中，低收入家庭共有1500012%1800⨯=户，B 正确； 在该市失无业人员中，低收入家庭有1500029%4350⨯=户，C 正确； 该市大于18岁在读学生中，低收入家庭有150004%600⨯=户，D 错误. 故选：ABC.【点睛】本题考查了图表的理解和应用，属于简单题.10.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x <时，()()1xf x e x =+，则下列命题正确的是（ ）A. 当0x >时，()()1xf x e x -=--B. 函数()f x 有3个零点C. ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃D. 12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -< 【答案】BCD 【解析】 【分析】设0x >，则0x -<，则由题意得()()1xf x ex --=-+，根据奇函数()()f x f x -=-即可求出解析式，即可判断A 选项，再根据解析式分类讨论即可判断B 、C 两个选项，对函数求导，得单调性，从而求出值域，进而判断D 选项．【详解】解：（1）当0x >时，0x -<，则由题意得()()1xf x e x --=-+，∵ 函数()f x 是奇函数，∴ ()00f =，且0x >时，()()f x f x =--()1xex -=--+()1x e x -=-，A 错；∴ ()()()1,00,01,0x x e x x f x x e x x -⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，（2）当0x <时，由()()10xf x e x =+=得1x =-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-=得1x =，∴ 函数()f x 有3个零点1,0,1-，B 对；（3）当0x <时，由()()10xf x e x =+<得1x <-，当0x >时，由()()10xf x ex -=-<得01x <<，∴ ()0f x <的解集为()(),10,1-∞-⋃，C 对； （4）当0x <时，由()()1xf x e x =+得()()'2x f x e x =+，由()()'20xf x ex =+<得2x <-，由()()'20x f x e x =+≥得20x -≤<，∴ 函数()f x 在(],2-∞-上单调递减，在[)2,0-上单调递增， ∴函数在(),0-∞上有最小值()22f e --=-，且()()1xf x ex =+()0011e <⋅+=，又∵ 当0x <时，()()10xf x ex =+=时1x =-，函数在(),0-∞上只有一个零点，∴当0x <时，函数()f x 的值域为)2,1e -⎡-⎣，由奇函数的图象关于原点对称得函数()f x 在R 的值域为()221,,1e e --⎤⎡-⋃-⎦⎣()1,1=-， ∴ 对12,x x R ∀∈，都有()()122f x f x -<，D 对； 故选：BCD ．【点睛】本题主要考查奇函数的性质，考查已知奇函数一区间上的解析式，求其对称区间上解析式的方法，考查函数零点的定义及求法，以及根据导数符号判断函数单调性和求函数最值、求函数值域的方法，属于较难题．11.已知圆方程为：22(1)(1)4x y -+-=与直线x +my -m -2=0，下列选项正确的是（ ） A. 直线与圆必相交B. 直线与圆不一定相交C. 直线与圆相交且所截最短弦长为D. 直线与圆可以相切【答案】AC 【解析】 【分析】求出直线经过的定点A ，根据定点与圆的位置关系即可判断直线与圆的位置关系，结合几何知识可知当直线与过定点A 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值，由此可求出答案． 【详解】解：由题意，圆22(1)(1)4x y -+-=的圆心()1,1C ，半径2r，直线20x my m +--=变形得()210x m y -+-=，得直线过定点()21A ，，∵()()22211112CA =-+-=<，∴直线与圆必相交，故A 对，B 、D 错；由平面几何知识可知，当直线与过定点A 和圆心的直线垂直时，弦长有最小值， 此时弦长为22223r CA -=，故C 对；故选：AC ．【点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查数形结合思想，属于基础题．12.对于定义城为R 的函数()f x ，若满足：①(0)0f =；②当x ∈R ，且0x ≠时，都有()0xf x '>；③当120x x <<且12||||x x <时，都有12()()f x f x <，则称()f x 为“偏对称函数”.下列函数是“偏对称函数”的是（ ） A. ()321f x x x =-+B. ()21xf x e x =--C. ()3ln 1,0()2,x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩D. 4()sin f x x x =【答案】BC 【解析】 【分析】运用新定义，分别讨论四个函数是否满足三个条件，结合奇偶性和单调性，以及对称性，即可得到所求结论．【详解】解：经验证，1()f x ，2()f x ，3()f x ，4()f x 都满足条件①；0()0()0x xf x f x >⎧'>⇔⎨'>⎩，或0()0x f x <⎧⎨'<⎩；当120x x <<且12||||x x <时，等价于21120x x x x -<<<-<，即条件②等价于函数()f x 在区间(,0)-∞上单调递减，在区间(0,)+∞上单调递增； A 中，()321f x x x =-+，()2132f x x x '=-+，则当0x ≠时，由()()321232230x x x x f x x=-+=-≤'，得23x ≥，不符合条件②，故1()f x 不是“偏对称函数”； B 中，()21xf x e x =--，()21xf x e '=-，当0x >时，e 1x >，()20f x '>，当0x <时，01x e <<，()20f x '<，则当0x ≠时，都有()20xf x '>，符合条件②，∴函数()21xf x e x =--在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，由2()f x 的单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()2122()f x f x <-，∴22212222222()()()()2x x f x f x f x f x e e x --<--=-++，令()2x x F x e e x -=-++，0x >，()220x x F x e e -'=--+≤-=， 当且仅当x x e e -=即0x =时，“=”成立，∴()F x 在[0，)+∞上是减函数，∴2()(0)0F x F <=，即2122()()f x f x <，符合条件③， 故2()f x 是“偏对称函数”；C 中，由函数()3ln 1,0()2,0x x f x x x ⎧-+≤=⎨>⎩，当0x <时，31()01f x x =<-'，当0x >时，3()20f x '=>，符合条件②，∴函数3()f x 在(),0-∞上单调递减，在()0,∞+上单调递增，有单调性知，当21120x x x x -<<<-<时，()3132()f x f x <-， 设()ln(1)2F x x x =+-，0x >，则1()201F x x '=-<+， ()F x 在(0,)+∞上是减函数，可得()(0)0F xF <=，∴1222()()()()f x f x f x f x -<--()()222ln 1()0F x x f x =+-=<， 即12()()f x f x <，符合条件③，故3()f x 是“偏对称函数”；D 中，4()sin f x x x =，则()44()sin ()f x x x f x -=--=，则4()f x 是偶函数，而4()sin cos f x x x x '=+ ()x ϕ=+（tan x ϕ=），则根据三角函数的性质可知，当0x >时，4()f x '的符号有正有负，不符合条件②，故4()f x 不是“偏对称函数”；故选：BC ．【点睛】本题主要考查在新定义下利用导数研究函数的单调性与最值，考查计算能力，考查转化与划归思想，属于难题．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为__________．（用数字作答）【答案】14【解析】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情况，故不同的选派方案种数为C 12•C 34+C 22•C 24=2×4+1×6=14； 法二：从4男2女中选4人共有C 46种选法，4名都是男生的选法有C 44种，故至少有1名女生的选派方案种数为C 46-C 44=15-1=14．故答案为14点睛：本题考查简单的排列组合，建议如果分类讨论太复杂的题目最好用间接法即排除法，以避免直接的分类不全情况出现．14.点()2,0A ，()1,2B ，()2,2C ，||||AP AB AC =-，O 为坐标原点，则OP 与OA 的夹角的取值范围是______. 【答案】06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】根据向量得模的几何意义可得点P 的轨迹是以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆，再利用圆的切线可求得答案.【详解】因为()1,2B ，()2,2C ，所以(1,0)CB =-，所以||||||1AP AB AC CB =-==，所以点P 的轨迹是以(2,0)A 为圆心，1为半径的圆，如图：由图可知，当OP 与圆相切时，POA ∠最大，也就是OP 与OA 夹角最大，此时OP PA ⊥，2,1OA PA ==，所以6POA π∠=，所以OP 与OA 夹角的取值范围是06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故答案为：06,π⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了向量的减法法则和向量的模的几何意义，考查了向量的夹角，考查了数形结合思想，属于基础题.15.25()x x y ++的展开式中，52x y 的系数为______.【答案】30【解析】【分析】 25()x x y ++ 表示5个因式2x x y ++的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x ，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，即可算出答案. 【详解】25()x x y ++ 表示5个因式2x x y ++的乘积，在这5个因式中，有2个因式选y ，其余的3个因式中有一个选x ，剩下的两个因式选2x ，即可得到含52x y 的项，故含52x y 的项系数是21253230C C C ⋅⋅=故答案为：30【点睛】本题考查的是利用分步计数原理处理多项式相乘的问题，较简单.16.我们把一系列向量(1,2,,)i a i n =按次序排成一列，称之为向量列，记作{}i a ，已知向量列{}i a 满足()()111111(1,1),,,(2)2n n n n n n n a a x y x y x y n ----===-+≥，设n θ表示向量n a 与1n a -的夹角，若2n n n b θπ=对任意正整数n21log (12)a na b +>-恒成立，则实数a 的取值范围是__________ 【答案】10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】 由题意结合平面向量数量积可得cos n θ=，即可得()24n nθπ=≥，进而可得()224n n b n =≥，求出21n b +的最小值后，利用对数函数的性质即可得解. 【详解】由题意可得，当2n ≥时，()()1111111111cos 2n n n n n n n n n n n x y x x y y xa aa a θ--------⋅-++===⋅， ∴()24n n θπ=≥，∴()2224n n n b n n θπ=≥=， ∴21n b +=⋅⋅⋅+1111221122n n n n n n ⎛⎫=++⋅⋅⋅+≥⋅⋅= ⎪+++⎝⎭， 当且仅当1n =时，等号成立，∴log (12)1log a a a a -<=，由120a ->可得12a <，∴102a <<， ∴12a a ->解得13a <， 综上，实数a 的取值范围是10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.故答案为：10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭.【点睛】本题考查了平面向量、数列及对数函数的综合应用，考查了运算求解能力和恒成立问题的解决，属于中档题. 四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知锐角△ABC 的三内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，边a 、b 是方程x 2－23x +2=0的两根，角A 、B 满足关系2sin(A +B )－3=0，求角C 的度数，边c 的长度及△ABC 的面积.【答案】C =60°,c =6, S=12absinC =12×2×32=32. 【解析】 【详解】解：由2sin(A +B )3=0，得sin(A +B 3∵△ABC 为锐角三角形,∴A +B =120°,C =60°,又∵a 、b 是方程x 2－3x +2=0的两根，∴a +b 3,a ·b =2,∴c 2=a 2+b 2－2a ·bc os C =(a +b )2－3ab =12－6=6,∴c 6,1sin 2ABC S ab C ==12×2×3318.已知等比数列{}n a 的公比1q >，且13,a a 的等差中项为10， 28a =.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n nn b a =， 求数列{}n b 的前n 项和n S . 【答案】（Ⅰ）()12n n a n N +*=∈.（Ⅱ）1212n n n S ++=- 【解析】【分析】 （Ⅰ）利用已知条件求出首项与公差，然后根据等比数列的通项公式，即可求出结果；（Ⅱ）先求出n nn b a =，再利用错位相减法求数列{}n b 前n 项和n S .【详解】解析：（Ⅰ）由题意可得：()2111208a q a q ⎧+=⎪⎨=⎪⎩， ∴22520q q -+=∵1q >，∴142a q =⎧⎨=⎩，∴数列{}n a 的通项公式为()12n n a n N +*=∈. （Ⅱ） 12n n nb +=， ∴23411232222n nn S +=++++ 12n S = 34121212222n n n n ++-++++ 上述两式相减 可得2341211111222222n n n n S ++=+++- ∴12311111+22222n n n n S +=++-=1111122211222n n n n n +++-+-=- 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求法，以及利用错位相减法求和，考查计算能力，属于基础题． 19.已知正ABC 边长为3，点M ，N 分别是AB ，AC 边上的点，1AN BM ==，如图1所示.将AMN 沿MN 折起到PMN 的位置，使线段PC 长为5连接PB ，如图2所示.（1）求证：平面PMN ⊥平面BCNM ；（2）若点D 在线段BC 上，且2BD DC =，求平面PDM 和平面PDC 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）3913. 【解析】【分析】（Ⅰ）推导出AN ⊥MN ，即PN ⊥MN ，PN ⊥NC ，从而PN ⊥平面BCNM ，由此能证明平面PMN ⊥平面BCNM ．（Ⅱ）以N 为坐标原点，NM 为x 轴，NC 为y 轴，NP 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M ﹣PD ﹣C 的余弦值．【详解】解：（I ）证明：依题意，在AMN 中，2AM =，1AN =，3A π∠=， 由余弦定理，2222cos3MN AM AN AM AN π=+-⋅， 解得3MN =根据勾股定理得222MN AN AM +=， ∴AN MN ⊥，即PN MN ⊥，在图2PNC △中，1PN =，2NC =，5PC =，∴222PN P C C N =+，∴PN NC ⊥，∵MN NC N ⋂=，∴PN 平面BCNM ， ∵PN ⊂平面PMN ，∴平面PMN ⊥平面BCNM . （2）解：以N 坐标原点，NM 为x 轴，NC 为y 轴，NP 为z 轴，建立空间直角坐标系，则()0,0,1P ，3,0,0)M ，33,0)2D ，()0,2,0C ， ∴(3,0,1)PM =-，33(,0)2MD =-， (0,2,1)PC =-，31(,0)2DC =-， 设平面MPD 的一个法向量(,,)m x y z =），则3033022m PM x z m MD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，取1y =，得(3,1,3)m =，设平面PDC 的法向量(),,n a b c =， 则203102n PC b c n DC b ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取1a =，得(1,3,2n =，设所求角为θ ∴||83cos ,||||413m n m n m n ⋅⋅<>=-=-⋅13=-⋅ cos θ∴=. 【点睛】本题线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理、空间向量法求二面角，考查了基本能力，属于中档题.20.在平面直角坐标系xOy 中，已知1F 、2F 分别为椭圆22143x y +=的左、右焦点，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l 于点P ，线段2PF 的中垂线交2l 于点Q .记点Q 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程，并说明E 是什么曲线；（2）若直线:l y x k =+与曲线E 交于两点A 、B ，则在圆()22:22C x y -+=上是否存在两点M 、N ，使得MA MB =，NA NB =？若存在，请求出k 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）24y x =；E 是以()21,0F 为焦点，1 : =-1l x 为准线的抛物线（2）存在；01k << 【解析】【分析】（1）根据题意可得2QP QF =，再根据抛物线的定义即可求出曲线E 的方程.（2）将直线:l y x k =+与曲线E ：24y x =联立，由直线l 与曲线E 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，>0∆，利用韦达定理可得1242x x k +=-，从而求出AB 的中垂线方程，由MA MB =，NA NB =，可得AB 的中垂线与圆C 交于两点M 、N ，利用点到直线的距离公式使圆心到直线的距离小于半径即可求解.【详解】（1）由题意，得2QP QF =，则动点Q 的轨迹是以()21,0F 为焦点，1 : =-1l x 为准线的抛物线，所以点Q 的轨迹E 的方程为24y x =.（2）由2,4,y x k y x =+⎧⎨=⎩得()22240x k x k +-+=. 由直线l 与曲线E 交于点()11,A x y ，()22,B x y ，得()222440k k =-->△，解得1k <.由韦达定理，得1242x x k +=-.设AB 的中点为()00,G x y ， 则12022x x x k +==-，0022y x k k k =+=-+=， 即()2,2G k -，所以AB 的中垂线方程为()22y x k -=--+，即40x y k ++-=， 由MA MB =，NA NB =，得AB 的中垂线与圆C 交于两点M 、N ，<04k <<.由①和②，得01k <<.综上，当01k <<时，圆C 上存在两点M 、N ，使得MA MB =，NA NB =.【点睛】本题考查了抛物线的定义、直线与抛物线的位置关系，考查了考生的运算求解能力，属于难题. 21.2019年4月，河北、辽宁、江苏、福建、湖北、湖南、广东、重庆等8省市发布高考综合改革实施方案，决定从2018年秋季入学的高中一年级学生开始实施“312++”高考模式.所谓“312++”，即“3”是指考生必选语文、数学、外语这三科；“1”是指考生在物理、历史两科中任选一科；“2”是指考生在生物、化学、思想政治、地理四科中任选两科.（1）若某考生按照“312++”模式随机选科，求选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”的概率. （2）新冠疫情期间，为积极应对“312++”新高考改革，某地高一年级积极开展线上教学活动.教育部门为了解线上教学效果，从当地不同层次的学校中抽取高一学生2500名参加语数外的网络测试，并给前400名颁发荣誉证书，假设该次网络测试成绩服从正态分布，且满分为450分.①考生甲得知他的成绩为270分，考试后不久了解到如下情况：“此次测试平均成绩为171分，351分以上共有57人”，请用你所学的统计知识估计甲能否获得荣誉证书，并说明理由；②考生丙得知他的实际成绩为430分，而考生乙告诉考生丙：“这次测试平均成绩为201分，351分以上共有57人”，请结合统计学知识帮助丙同学辨别乙同学信息的真伪，并说明理由.附：()0.6828P X μσμσ-≤≤+=；()220.9544P X μσμσ-≤≤+=；()330.9974P X μσμσ-≤≤+=.【答案】（1）14；（2）①能，理由见解析；②无法辨别乙同学信息真假，理由见解析 【解析】【分析】（1）已经选出五科，再从剩余三个科目中选1个科目的方法为13C ，计算出从物理、历史里选一门，生物、化学、思想政治、地理4门中选2门的总方案数，即可得其概率.（2）①由题意可知，171μ= ，而570.02282500= ，结合3σ原则可求得σ的值，结合获奖概率，并求得()P X μσ≥+，比较后可求得获奖的最低成绩，即可由甲的成绩得知甲能否获得荣誉证书. ②假设乙所说为真，求得()2P X μσ≥+，进而求得σ的值，从而确定3μσ+的值，即可确定3X μσ≥+的概率.比较后即可知该事件为小概率事件，而丙已经有这个成绩，因而可判断乙所说为假.【详解】解：（1）设事件A ：选出的六科中含有“语文，数学，外语，物理，化学”，则()13122414C P A C C ==⋅ （2）设此次网络测试的成绩记为X ，则()2,XN μσ ①由题知171μ=，因为570.02282500=，且()12210.95440.022822P X μσμσ--≤≤+-== 所以351171902σ-==，而4000.162500=， 且()()110.68280.15870.1622P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===< 所以前400名的成绩的最低分高于261μσ+=分而270261>，所以甲同学能获得荣誉证书②假设乙所说的为真，则201μ=()()12210.954420.022822P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===， 而570.2282500=，所以351201752σ-==，从而3201375426430μσ+=+⨯=<， 而()()13310.997430.00130.00522P X P X μσμσμσ--≤≤+-≥+===< 答案示例1：可以认为乙同学信息为假，理由如下：事件“3X μσ≥+”为小概率事件，即“丙同学的成绩为430分”是小概率事件，可认为其不可能发生，但却又发生了，所以可认为乙同学信息为假；答案示例2：无法辨别乙同学信息真假，理由如下：事件“3X μσ≥+”即“丙同学的成绩为430分”发生的概率虽然很小，一般不容易发生，但是还是有可能发生的，所以无法辨别乙同学信息真假.【点睛】本题考查了古典概型概率求法，由组合数求法求概率，结合3σ原则求概率值， 并由3σ原则判断事件真伪，综合性强，属于难题.22.设函数()ln x g x x ae =+，()x h x axe =，10ea <<， （1）求()g x 在1x =处的切线的一般式方程；（2）请判断()g x 与()h x 的图像有几个交点?（3）设0x 为函数()()g x h x -的极值点，1x 为()g x 与()h x 的图像一个交点的横坐标，且10x x >，证明：0132x x ->.【答案】（1）()110ae x y +--=（2）()g x 与()h x 的图像有2交点（3）证明见解析【解析】【分析】（1）利用导数求得切线的斜率，结合切点坐标求得切线方程.（2）构造函数()()()f x g x h x =-，利用导数研究()f x 的单调区间和零点，由此判断()g x 与()h x 的图像的交点个数.（3）结合（2）以及题意得到()()0100f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩，化简得到102011ln e 1x x x x x -=-，利用放缩法以及取对数运算，化简证得0132x x ->成立.【详解】（1）由()1e x g a xx '=+得切线的斜率为()11e k g a '==+，切点为()1,e a . ∴切线方程为：()()e 1e 1y a a x -=+-，∴所求切线的一般式方程为()110ae x y +--=.（2）令()()()ln e e x xf xg xh x x a ax =-=+-由题意可知，()f x 的定义域为()0,∞+， 且()()211e e 1e xx x ax f x a a x x x-'=+-+=. 令()21e x m x ax =-，得()()22e e x x m x a x x '=-+，由10ea <<，0x >得，可知()m x 在()0,∞+ 内单调递减，又()11e 0m a =->，且221111ln 1ln 1ln 0m a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故()0m x =在()0,∞+内有唯一解，从而()0f x '=在()0,∞+内有唯一解，不妨设为0x ， 则011ln x a <<，当()00,x x ∈时，()()()00m x m x f x x x'=>=，∴()f x 在()00,x 内单调递增； 当()0,x x ∈+∞时，()()()00m x m x f x x x '=<=，∴()f x 在()0,x +∞内单调递减， 因此0x 是()f x 的唯一极值点.令()ln 1x x x ϕ=-+，则当1x >时，()110x xϕ'=-<，故()x ϕ在()1,+∞内单调递减， ∴当1x >时，()()10x ϕϕ<=，即ln 1x x <-， 从而1ln 111ln ln ln 1ln a f a e a a a ⎛⎫⎛⎫=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭111ln ln ln 1ln 0a a a ϕ⎛⎫=-+=< ⎪⎝⎭， 又因为()()010f x f >=，∴()f x 在()0,x +∞内有唯一零点，又()f x 在()00,x 内有唯一零点1，从而，()f x 在()0,∞+内恰有两个零点.所以()g x 与()h x 的图像有2交点；（3）由（2）及题意，()()010,0,f x f x ⎧=⎪⎨='⎪⎩即()012011e 1,ln 1e ,x x ax x a x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩ 从而1011201ln e x x x x x --=，即102011ln e 1x x x x x -=-, ∵当1x >时，ln 1x x <-，又101x x >>，故()1020120111x x x x ex x --<=-, 两边取对数，得1020ln ln x x e x -<， 于是()10002ln 21x x x x -<<-，整理得0132x x ->，命题得证.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究两个函数图像的交点个数，考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查利用导数证明不等式，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于难题.。

河北省衡水市2021届新高考最新终极猜押数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设,,a b R i ∈是虚数单位，则“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充分不必要条件【答案】D 【解析】 【分析】结合纯虚数的概念，可得0,0a b =≠，再结合充分条件和必要条件的定义即可判定选项. 【详解】若复数z a bi =+为纯虚数，则0,0a b =≠，所以0ab =，若0ab =，不妨设1,0a b ==，此时复数1z a bi =+=，不是纯虚数，所以“复数z a bi =+为纯虚数”是“0ab =”的充分不必要条件.故选：D 【点睛】本题考查充分条件和必要条件，考查了纯虚数的概念，理解充分必要条件的逻辑关系是解题的关键，属于基础题.2．存在点()00,M x y 在椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上，且点M 在第一象限，使得过点M 且与椭圆在此点的切线00221x x y y a b +=垂直的直线经过点0,2b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则椭圆离心率的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎦ B．2⎛⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎦D．⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用垂直直线斜率间的关系建立不等式再求解即可. 【详解】因为过点M 椭圆的切线方程为00221x x y ya b+=,所以切线的斜率为2020b x a y -,由20020021by b x x a y +⎛⎫⨯-=- ⎪⎝⎭,解得3022b y b c =<,即222b c <,所以2222a c c -<,所以3c a >. 故选：D 【点睛】本题主要考查了建立不等式求解椭圆离心率的问题,属于基础题.3．若函数32()2()f x x mx x m R =-+∈在1x =处有极值，则()f x 在区间[0,2]上的最大值为（ ） A ．1427B ．2C ．1D ．3【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点处的导数为零先求出m 的值，然后再按照求函数在连续的闭区间上最值的求法计算即可. 【详解】解：由已知得2()322f x x mx '=-+，(1)3220f m '∴=-+=，52m ∴=，经检验满足题意. 325()22f x x x x ∴=-+，2()352f x x x '=-+. 由()0f x '<得213x <<；由()0f x '>得23x <或1x >.所以函数()f x 在20,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递增，在2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦上递减，在[1,2]上递增.则214()327f x f ⎛⎫==⎪⎝⎭极大值，(2)2f =， 由于(2)()f f x >极大值，所以()f x 在区间[0,2]上的最大值为2. 故选：B. 【点睛】本题考查了导数极值的性质以及利用导数求函数在连续的闭区间上的最值问题的基本思路，属于中档题． 4．过抛物线24y x =的焦点F 的直线交该抛物线于A ，B 两点，O 为坐标原点.若3AF =，则直线AB 的斜率为( )A ．B ．C ．D ．±【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的定义，结合||3AF =，求出A 的坐标，然后求出AF 的斜率即可．【详解】解：抛物线的焦点(1,0)F ，准线方程为1x =-，设(,)A x y ，则||13AF x =+=，故2x =，此时22y =±，即(2,22)A ±．则直线AF 的斜率2222k ±==±． 故选：D ． 【点睛】本题考查了抛物线的定义，直线斜率公式，属于中档题．5．已知(1)n x +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）． A ．122 B ．112 C ．102 D ．92【答案】D 【解析】因为(1)nx +的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以，解得，所以二项式10(1)x +中奇数项的二项式系数和为．考点：二项式系数，二项式系数和．6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．23B ．13C ．43D ．56【答案】A 【解析】 【分析】利用已知条件画出几何体的直观图，然后求解几何体的体积． 【详解】几何体的三视图的直观图如图所示，则该几何体的体积为：1211233⨯⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查三视图求解几何体的体积，判断几何体的形状是解题的关键． 7．若集合{}2|0,|121x A x B x x x +⎧⎫=≤=-<<⎨⎬-⎩⎭，则A B I =（ ） A ．[2,2)- B ．(]1,1-C ．()11-，D ．()12-， 【答案】C 【解析】 【分析】求出集合A ，然后与集合B 取交集即可． 【详解】 由题意，{}2|0|211x A x x x x +⎧⎫=≤=-≤<⎨⎬-⎩⎭，{|12}B x x =-<<，则{|11}A B x x =-<<I ，故答案为C. 【点睛】本题考查了分式不等式的解法，考查了集合的交集，考查了计算能力，属于基础题． 8．已知函数2log (1),1()3,1xx x f x x -->⎧=⎨≤⎩，则[](2)f f -=（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C 【解析】 【分析】结合分段函数的解析式,先求出(2)f -,进而可求出[](2)f f -. 【详解】由题意可得2(2)39f -==，则[]2(9)log (913(2))f f f =-==-.故选:C.【点睛】本题考查了求函数的值,考查了分段函数的性质,考查运算求解能力,属于基础题.9．双曲线22221(0,0)x ya ba b-=>>的左右焦点为12,F F，一条渐近线方程为:bl y xa=-，过点1F且与l垂直的直线分别交双曲线的左支及右支于,P Q，满足11122OP OF OQ=+u u u r u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为（）A．10B．3 C．5D．2【答案】A【解析】【分析】设()()1122,,,P x y Q x y，直线PQ的方程为bx y ca=-，联立方程得到()312222aby yb a c+=-，()2412222a by yb a c=-，根据向量关系化简到229b a=，得到离心率.【详解】设()()1122,,,P x y Q x y，直线PQ的方程为bx y ca=-.联立2222,1,bx y cax ya b⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩整理得()44232420b a y ab cy a b--+=，则()()3241212222222,ab a by y y yb ac b a c+==--.因为11122OP OF OQ=+u u u r u u u r u u u r，所以P为线段1QF的中点，所以212y y=，()()()()22622221222222224124942a b b a cy y by y b ab ac a b-+===⋅--，整理得229b a=，故该双曲线的离心率10e=.故选：A.【点睛】本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力.10．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距是虚轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．y =±B ．y =C ．12y x =±D ．2y x =±【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的焦距是虚轴长的2倍，可得出2c b =，结合22224c b a b ==+，得出223a b =，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>可知，焦点在x 轴上，则双曲线的渐近线方程为：by x a=±， 由于焦距是虚轴长的2倍，可得：2c b =， ∴22224c b a b ==+，即：223a b =，b a =，所以双曲线的渐近线方程为：3y x =±. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线的简单几何性质，以及双曲线的渐近线方程.11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为34y x =?，且其右焦点为(5,0)，则双曲线C 的方程为（ ）A ．221916x y -=B ．221169x y -= C ．22134x y -= D ．22143x y -= 【答案】B 【解析】试题分析：由题意得34b a =，22225c a b =+=，所以4a =，3b =，所求双曲线方程为221169x y -=．考点：双曲线方程.12．将函数()2cos 2f x x x =-向左平移6π个单位，得到()g x 的图象，则()g x 满足（ ）A ．图象关于点,012π⎛⎫⎪⎝⎭对称，在区间0,4π⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数 B ．函数最大值为2，图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．图象关于直线6x π=对称，在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 D ．最小正周期为π，()1g x =在0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π有两个根【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式化简三角函数式，结合三角函数图象平移变换即可求得()g x 的解析式，结合正弦函数的图象与性质即可判断各选项. 【详解】函数()2cos 2f x x x =-，则()2sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，将()2sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭向左平移6π个单位， 可得()2sin 22sin 2666g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦， 由正弦函数的性质可知，()g x 的对称中心满足2,6x k k Z ππ+=∈，解得,122k x k Z ππ=-+∈，所以A 、B 选项中的对称中心错误； 对于C ，()g x 的对称轴满足22,62x k k Z πππ+=+∈，解得,6x k k Z ππ=+∈，所以图象关于直线6x π=对称；当,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,636x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数性质可知[]2sin 21,26x π⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，所以在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1，所以C 正确； 对于D ，最小正周期为22ππ=，当0,4x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，22,663x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由正弦函数的图象与性质可知，2sin 216x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭时仅有一个解为0x =，所以D 错误；综上可知，正确的为C ， 故选：C. 【点睛】本题考查了三角函数式的化简，三角函数图象平移变换，正弦函数图象与性质的综合应用，属于中档题. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2021届河北衡水中学新高三原创预测试卷（八）数学★祝考试顺利★注意事项：1、考试范围：高考范围。

2、试题卷启封下发后，如果试题卷有缺页、漏印、重印、损坏或者个别字句印刷模糊不清等情况，应当立马报告监考老师，否则一切后果自负。

3、答题卡启封下发后，如果发现答题卡上出现字迹模糊、行列歪斜或缺印等现象，应当马上报告监考老师，否则一切后果自负。

4、答题前，请先将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写在试题卷和答题卡上的相应位置，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后的方框涂黑。

5、选择题的作答：每个小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选择题答题区域的答案一律无效。

6、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域的答案一律无效。

如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

7、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非选修题答题区域的答案一律无效。

8、保持答题卡卡面清洁，不折叠，不破损，不得使用涂改液、胶带纸、修正带等。

9、考试结束后，请将本试题卷、答题卡、草稿纸一并依序排列上交。

一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{|1A x x =<-或}2x >，{}3,2,1,0,1,2,3B =---，则A B =（ ）A. {}3,2--B. {}2,3C.{}3,2,3-- D.{}3,2,2,3--【答案】C 【解析】 【分析】利用交集定义直接求解.【详解】解：∵集合A ＝{x |x ＜﹣1或x ＞2}，B ＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，∴A ∩B ＝{﹣3，﹣2，3}. 故选：C.【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题. 2.已知复数z 满足()125i z i +=，则z =（ ） A. 2i + B. 2i -C. 2i -+D. 2i --【答案】A 【解析】 【分析】通过分母实数化，求出z 即可. 【详解】解：∵z 满足（1+2i ）z ＝5i ， ∴z ＝512i i+＝5(12)(12)(12)i i i i -+-＝2+i . 故选：A.【点睛】本题考查了复数的运算，熟练掌握运算性质是解题的关键，本题是一道基础题. 3.在正项等比数列{}n a 中，若11a =，322a a =+，n S 为其前n 项的和，则63S S =（ ） A. 6 B. 9 C. 12 D. 15【答案】B 【解析】 分析】先由11a =，322a a =+求出公比q ，再利用前n 项的和公式求出结果. 【详解】解：设正项等比数列{a n }的公比为q ，则 q ＞0. ∵a 1＝1，a 3＝a 2+2， ∴q 2＝q +2⇒q ＝2.∴63S S ＝6311q q--＝1+q 3＝9， 故选：B.【点睛】本题主要考查等比数列的基本量的运算，属于基础题.4.若夹角为120︒的向量a 与b 满足2a b b +==，则a =（ ） A. 1 B. 2C. 23D. 4【答案】B 【解析】 【分析】根据向量数量积的应用，把2a b +=两边平方，转化成模平方和数量积，利用已知即可得到结论.【详解】解：∵2a b +=， ∴2224a a b b +⋅+=， 即24cos12044a a ++=， 则2a =，或0a =（舍）， 故选：B.【点睛】本题考查了数量积运算性质、向量与模的转化，考查了计算能力，属于基础题. 5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A.67πB. πC.76π D. 2π【答案】C 【解析】 【分析】由三视图还原几何体，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1，上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1，再由圆锥与球的体积公式求解. 【详解】解：由三视图还原几何体如图，该几何体是组合体，下方为圆锥，圆锥的高是2，底面半径为1， 上方为一个半球去掉右前方的四分之一，半球的半径为1， 则该几何体的体积为2313471213836πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=. 故选：C.【点睛】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原几何体，是中档题. 6.执行如图所示的程序框图，则输出的T =（ ）A.32B.127C.53D.85【答案】D 【解析】 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量T 的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案.【详解】解：模拟程序的运行，可得 k ＝1，S ＝0，T ＝0，S ＝1满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝1，k ＝2，S ＝3满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝43，k ＝3，S ＝6 满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝32，k ＝4，S ＝10满足条件S ＜15，执行循环体，T ＝85，k ＝5，S ＝15此时，不满足条件S ＜15，退出循环，输出T 的值为85.故选：D.【点睛】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题.7.已知圆C ：()()22211x y r r -+=>与x 轴负半轴的交点为M ，过点M 且斜率为2的直线l 与圆C 的另一个交点为N ，若MN 的中点P 恰好落在y 轴上，则MN =（ ）A.52B.C.54D.4【答案】B 【解析】 【分析】由题意画出图形，求出M 的坐标，写出直线l 的方程，与圆的方程联立求得N 点横坐标，再由中点坐标公式求得r ，进一步求出M 与N 的坐标，则答案可求. 【详解】解：取y ＝0，可得x ＝1﹣r 或x ＝1+r ， 由题意可得，M （1﹣r ，0）， 设直线l 的方程为y ＝2（x +r ﹣1）， 联立2222(1)(1)y x r x y r=+-⎧⎨-+=⎩，得5x 2+（8r ﹣10）x +3r 2﹣8r +4＝0.由x M +x N ＝1﹣r +x N ＝1085r -，得x N ＝535r-. 由MN 的中点P 恰好落在y 轴上，得1﹣r +x N ＝0，即r ＝54.∴M（﹣14，0），N（14，1），则|MN|＝2211144⎛⎫⎛⎫--+⎪⎪⎝⎭⎝⎭＝5.故选：B.【点睛】本题考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的解题思想方法，考查运算能力，是中档题.8.若直线y x=与曲线lny x ax=+相切，则a=（）A.1eB.1e- C.11e- D.11e-【答案】D【解析】【分析】先设切点，再对曲线求导，然后令导数等于1，然后结合ln x ax x+=，即可求出a的值. 【详解】解：设切点为（x，y），由题意1y ax'=+.∴ln11x ax xax+=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得11ae=-.故选：D.【点睛】本题考查导数的几何意义，利用切点满足的两个条件列方程组是本题的总体思路.属于基础题.9.抛物线上任意两点A､B处的切线交于点P，称PAB△为“阿基米德三角形”.当线段AB经过抛物线焦点F时，PAB△具有以下特征：①P点必在抛物线的准线上；②PAB△为直角三角形，且PA PB ⊥；③PF AB ⊥.若经过抛物线24y x =焦点的一条弦为AB ，阿基米德三角形为PAB △，且点P 的纵坐标为4，则直线AB 的方程为（ ） A. 210x y --= B. 220x y +-= C. 210x y +-= D. 220x y --=【答案】A 【解析】 【分析】由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线24y x =焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上，可求出点P （−1，4），从而得到直线PF 的斜率为−2，又PF AB ⊥，所以直线AB 的斜率为12，再利用点斜式即可求出直线AB 的方程. 【详解】解：由题意可知，抛物线y 2＝4x 的焦点F 的坐标为（1，0），准线方程为：x ＝﹣1，由△P AB 为“阿基米德三角形”，且线段AB 经过抛物线y 2＝4x 焦点，可得：P 点必在抛物线的准线上， ∴点P （﹣1，4）， ∴直线PF 的斜率为：4011---＝﹣2， 又∵PF ⊥AB ， ∴直线AB 的斜率为12， ∴直线AB 的方程为：y ﹣0＝1(1)2x -，即x ﹣2y ﹣1＝0， 故选：A.【点睛】本题主要考查了抛物线的定义，以及抛物线的性质，是中档题.10.已知函数()33f x x x =+，若对任意[]1,1t ∈-不等式()()220f t m f t -+≥恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A. 1m B. 12m ≤-C. 14m ≤-D. 18m ≤-【答案】D 【解析】【分析】函数()33f x x x =+，判断其奇偶性.不等式()()220f t m f t -+≥，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ），利用其单调性及其二次函数的单调性即可得出. 【详解】解：函数()33f x x x =+，f （﹣x ）＝﹣x 3﹣3x ＝﹣f （x ），∴函数f （x ）为R 上的奇函数. f ′（x ）＝3x 2+3＞0，∴函数f （x ）为R 上的增函数.不等式f （2t 2﹣m ）+f （t ）≥0，化为：f （2t 2﹣m ）≥﹣f （t ）＝f （﹣t ）， ∴2t 2﹣m ≥﹣t ，化为：m ≤2t 2+t ，t ∈[﹣1，1].令g （t ）＝2t 2+t ＝2214t ⎛⎫+ ⎪⎝⎭﹣18，t ∈[﹣1，1].∴t ＝﹣14时，函数g （t ）取得最小值，g （﹣14）＝﹣18. 则实数m 的取值范围是m ≤﹣18.故选：D.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、函数的奇偶性、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.11.已知正四棱锥P ABCD -的高为2，AB =ABCD 的平面截该正四棱锥所得截面为1111D C B A ，若底面ABCD 与截面1111D C B A 的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（ ） A. 20π B.203πC. 4πD.43π 【答案】A 【解析】 【分析】如图（见解答部分）：根据正四棱锥，球心必在高线上，并且底面边长和高，可知对角面P AC 是等腰直角三角形，当截面过高的中点时，截面的对角线长可求，再设球心为O ，在两个直角三角形△OAM ，△A 1ON 利用勾股定理，列出方程，可以解出半径R ，则表面积可求.【详解】解：因为正四棱锥P ﹣ABCD ，所以底面是正方形，结合高为2，AB = 设底面对角线交点为M ，所以AC ＝4，AM ＝2，故PM ＝AM ＝CM ＝2，所以△P AC是等腰直角三角形.因为截面A1B1C1D1过PM的中点N，所以N为截面正方形A1B1C1D1的中心，且PM⊥截面A1B1C1D1.∴PN＝MN＝A1N＝1，设球心为O，球的半径为R，则A1O＝AO＝R.在直角三角形A1ON中，222111ON AAO N R=-=-，∴2111OM ON R=-=--.在直角三角形AOM中，OA2＝AM2+OM2，即2224(11)R R=+--，解得R2＝5，故S＝4πR2＝20π.故选：A.【点睛】本题考查球的表面积的计算以及正四棱锥的性质.根据对角面是等腰直角三角形，和含有R的两个直角三角形列方程是本题的关键.属于中档题.12.如图，某公园内有一个半圆形湖面，O为圆心，半径为1千米，现规划在OCD区域种荷花，在OBD区域修建水上项目.若AOC COD∠=∠，且使四边形OCDB面积最大，则cos AOC∠=（）A. 171-B.331-C. 171-D.331-【答案】B 【解析】 【分析】设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π），利用三角形面积公式可得S ＝1(sin 2sin )2θθ+，利用导数结合复合函数的单调性求最值，即可得到使四边形OCDB 面积最大时cos ∠AOC 的值. 【详解】解：设∠AOC ＝∠COD ＝θ（0＜θ＜2π）， ∵OC ＝OB ＝OD ＝1， ∴四边形OCDB 面积S ＝1111sin 11sin(2)22θπθ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯-＝1(sin 2sin )2θθ+. 则1(2cos 2cos )2S θθ'=+＝()214cos cos 22θθ+-. 由S ′＝0，得4cos 2θ+cos θ﹣2＝0，可得0cos θ=又cos θ在（0，2π）上单调递减，∴当θ∈（0， 0θ），即cos θ∈，1）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递减，当θ∈（0θ，2π），即cos θ∈（0，18）时，S ＝()214cos cos 22θθ+-单调递增，∴当cos ∠AOC ＝18时，四边形OCDB 的面积最大. 故选：B.【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义，考查函数模型的选择及其应用，训练了利用导数求最值，是中档题.二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.能说明命题“x R ∀∈且0x ≠，12x x+≥”是假命题的x 的值可以是_______.（写出一个即可）【答案】-1（任意负数均可）【解析】 【分析】全称命题的否定只需举出一个反例即可.例如x ＝－1 ，带入.【详解】解：当0x >时，12x x+≥，当且仅当1x =取等号， 当0x <时，12x x+≤-，当且仅当1x =-取等号， ∴只需x 取值为负数，即可例如x ＝－1时12x x+=-.故答案为：－1 （任意负数均可）.【点睛】本题考查全称命题的真假，基本不等式应用，属于基础题.14.已知F 是双曲线C ：()22210y x b b-=>的右焦点，点P 在C 上，O 为坐标原点，若2OP b =，3POF π∠=，则C 的离心率为______.【解析】 【分析】设P 的坐标，求出OP ，OF 的坐标，由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅＝02x cb c⋅⋅，求出P 的横坐标，代入x 02+y 02＝4b 2进而求出纵坐标，再将P 坐标代入双曲线的方程可得a ，b 的关系，由a ，b ，c 之间的关系求出离心率. 【详解】解：设P （x 0，y 0）由题意可得x 0＞0，设y 0＞0，OP ＝（x 0，y 0），由题意|OP |＝2b ，可得x 02+y 02＝4b 2，OF ＝（c ，0）， 由∠POF ＝3π，所以cos ∠POF ＝12＝||||OP OF OP OF ⋅⋅＝02x c b c⋅⋅，可得x 0＝b ， y 02＝3b 2，y 0＞0，将P 点的坐标代入双曲线的方程可得：22b a﹣3＝1，所以b 2＝4a 2，所以双曲线的离心率e＝22ca＝222a ba＝5，故答案为：5.【点睛】本题考查双曲线的性质，及数量积的应用，属于中档题.15.河图洛书是中国古代流传下来的神秘图案，被誉为“宇宙魔方”，九宫格源于河图洛书.如图是由9个单位正方形（边长为1个单位的正方形）组成的九宫格，一个质点从A点沿单位正方形的边以最短路径运动到B点，共有36C种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过P点的概率为______.【答案】3 5【解析】【分析】共有n＝36C＝20种不同的路线，其中该质点经过p点包含的基本事件有m＝6×2＝12种，由此能求出该质点经过p点的概率.【详解】解：一个质点从A点沿单位正方形的边以最短路径运动到B点，共有n＝36C＝20种不同的路线，则在这些路线中，该质点经过p点包含的基本事件有m＝6×2＝12种，该质点经过p 点的概率为P ＝123205m n ==. 故答案为：35. 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.16.定义域为R 的偶函数()f x 满足()()110f x f x ++-=，当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，给出下列四个结论： ①()1f x < ；②若()()120f x f x +=，则120x x +=； ③函数()f x 在()0,4内有且仅有3个零点；④若123x x x <<，且()()()123f x f x f x ==，则31x x -的最小值为4. 其中，正确结论的序号是______. 【答案】①③ 【解析】 【分析】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称，又()f x 为偶函数，所以可推得()f x 的周期为4，又得()10f =，且当[)0,1x ∈时，()sin 2xf x π=，故可作出函数的图象，结合图象可判断各选项的真假.【详解】由()()110f x f x ++-=得函数()f x 关于点()1,0中心对称， 又()()11f x f x +=--，()()2f x f x ∴+=--，()f x 为R 上的偶函数，()()f x f x ∴-=，()()2f x f x ∴+=-，()()()42f x f x f x ∴+=-+=， ()f x ∴的周期为4，当0x =时，()()10100f f ++-=得()10f =，又当[)0,1x ∈时，()sin2xf x π=，所以函数()f x 图象如图：由图知，()11f x -<<，()1f x ∴<，故①正确； 又()()120f f +=，从而可知②不正确；当()0,4x ∈时，()()()1230f f f ===，故③正确.④取x 1＝-1，x 2＝0，x 3＝1，则f （x 1）＝f （x 2）＝f （x 3）＝0，但x 3- x 1＝2＜4，即④错误. ∴正确的是①③. 故答案为：①③.【点睛】本题考查函数的图象与性质，分析出函数的对称性和作出函数图象是解题的关键，考查学生的作图能力和分析能力，属于中档题.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17.已知三棱柱111ABC A B C -，底面ABC 为等边三角形，侧棱1AA ⊥平面ABC ，D 为1CC 中点，12AA AB =，1AB 和1A B 交于点O .（1）证明：//OD 平面ABC ；（2）求AB 与平面1A BD 所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2【解析】 【分析】（1）取AB 中点E ，先利用中位线的性质可证1//EO BB 且112EO BB =，再由已知条件可得111122CD CC BB ==且1//CD BB ，进而得到//EO CD ，则四边形EODC 为平行四边形，故//OD EC ，由此得证//OD 平面ABC ；（2）建立空间直角坐标系，求出直线A B 的方向向量以及平面1A BD 的法向量，利用向量的夹角夹角公式即可得到所求正弦值.【详解】解：（1）取AB 中点E ，连结CE 、OE ， 在四边形EODC 中，E 为AB 中点，O 为1AB 中点， 所以EO 为1ABB △中位线，故：1//EO BB 且112EO BB =， 因为D 为1CC 中点，所以111122CD CC BB ==且1//CD BB ，所以//EO CD 且EO CD =，所以四边形EODC 为平行四边形， 所以//OD EC ，且EC ⊂平面ABC ， 所以//OD 平面ABC .（2）取BC 的中点F ，根据已知条件建立如图空间直角坐标系F xyz -， 设2AB =，则14AA =，则()1,0,0B，(00A ,，(10,A ，()1,2,0D -，所以(BA =-，()2,2,0BD =-，(11,BA =-， 设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则10BD n BA n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，解得(1,1,n =-，设AB 与平面1A BD 所成角为θ，()()()()()2222221,0,31,1,3sin103113BA nBA nθ-⋅-⋅==⋅-++++-25=.【点睛】本题考查线面平行的判定以及利用空间向量研究线面角问题，考查推理能力及计算能力，属于中档题.18.2020年1月，教育部《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》印发，自2020年起，在部分高校开展基础学科招生改革试点（也称“强基计划”）.强基计划聚焦高端芯片与软件､智能科技､新材料､先进制造和国家安全等关键领域以及国家人才紧缺的人文社会科学领域，选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生.新材料产业是重要的战略性新兴产业，下图是我国2011-2019年中国新材料产业市场规模及增长趋势图.其中柱状图表示新材料产业市场规模（单位：万亿元），折线图表示新材料产业市场规模年增长率（%）.（1）求从2012年至2019年，每年新材料产业市场规模年增长量的平均数（精确到0.1）；（2）从2015年至2019年中随机挑选两年，求两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率；（3）由图判断，从哪年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大. （结论不要求证明）【答案】（1）0.5万亿元（2）910（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【解析】 【分析】（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6，（单位：万亿元），由此能求出年增加的平均数.（2）设A 表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两个，两年中至少有一年新材料产业市场规模增长率超过20%”，利用对立事件概率计算公式能求出两年中至少有一 年新材料产业市场规模年增长率超过20%的概率.（3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模的方差最大.【详解】解：（1）从2012年起，每年新材料产业市场规模的年增加值依次为： 0.3，0.2，0.3，0.5，0.6，0.4，0.8，0.6（单位：万亿元）， 所以年增加值的平均数为0.30.20.30.50.60.40.80.60.58+++++++≈万亿元.（2）设A 表示事件“从2015年至2019年中随机挑选两年，两年中至少有一年新材料产业市场规模年增长率超过20%”，依题意，()23259110C P A C =-=. （3）从2017年开始连续三年的新材料产业市场规模年增长率的方差最大.【点睛】本题考查平均数、概率、方差的求法，考查折线图、条形统计图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.19.ABC 的角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222sin sin sin sin sin sin B C A B B C +=+.（1）求A ；（2）从三个条件：①a =②b =③ABC求ABC 周长的取值范围. 【答案】（1）3A π=.（2）答案见解析【解析】 【分析】（1）由已知利用正弦定理可得222b c a bc +=+，由余弦定理求出cos A ，结合A 的范围可得A 的值.（2）由题意，分类讨论，利用正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，基本不等式，正弦函数的图象和性质等知识即可求解.【详解】解：（1）因为222sin cos sin sin sin B C A B C +=+， 由正弦定理得222b c a bc +=+，由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==，因为()0,A π∈， 所以3A π=.（2）选择①a =因为3A π=，a =由正弦定理得2sin sin sin b c a B C A===， 即ABC的周长2sin 2sin l a b c B C =++=++22sin 2sin 3B B π⎛⎫=+-⎪⎝⎭3sin B B =6B π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以5666B πππ<+<，1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭， 即ABC周长的取值范围是(.选择②b =因为3A π=，b =由正弦定理得32sin a B =，23cos 3sin sin 2sin 2B C B c B B B π⎛⎫- ⎪⎝⎭===+，即ABC周长33cos 3(1cos )2sin 2sin 22sin 2B B l a b c B B B +=++=++=+26cos 24sincos 22B B B=+32tan2B =+,因为20,3B π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以023B π<<，所以0tan 2B <<即ABC 周长的取值范围是()+∞.选择③ABCS .因为3A π=，1sin 24ABC S bc A bc ===△，得4bc =， 由余弦定理得22222()3()12a b c bc b c bc b c =+-=+-=+-，即ABC 的周长l a b c b c =++=+，因为4b c +≥=，当且仅当2b c ==时等号成立，所以46l ≥=.即ABC 周长的取值范围是[)6,+∞.【点睛】本题考查三角形周长取值范围的求法，考查余弦定理、三角形面积等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题. 20.已知函数()()()22ln 0f x ax a x a x=-+->. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()ln g x f x a =-，若()g x 存在两个极值点1x ，2x ，求()()12g x g x +的最小值. 【答案】（1）见解析（2）最小值为22ln 2e--. 【解析】 【分析】（1）求导，令'0fx得1x =或2x a=，接下来分02a <<，2a =及2a >讨论即可； （2）依题意，可得()()12(2)ln 2ln 2a g x g x a a +=+-，设()(2)ln 2ln 2xh x x x =+-，利用导数求()h x 的最小值即可得出答案.【详解】解：（1）()2'2222(2)2f a ax x a x x x a x +-++=-+=()2(1)(2)0x ax x x --=>，因为0a >，由'0fx得1x =或2x a=， ①若02a <<，则21a >，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得01x <<或2x a>， 所以，若02a <<，则()f x 在()0,1递增，在21,a ⎛⎫⎪⎝⎭递减，在2,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递增； ②若2a =，则21a，()()2'2210x f x x-=≥，()f x 在定义域()0,∞+递增； ③若2a >，则21a <，由()'0f x <得21x a <<；()'0f x >得20x a<<或1x >， 所以，若2a >，则()f x 在20,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递增，在2,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，在()1,+∞递增. （2）由()()ln g x f x a =-得()()''g x f x =，由（1）知，()g x 有两个极值点时，0a >且2a ≠，不妨设11x =，22x a=， ()()112ln g x g a a ==--，()222(2)ln ln 2ag a a a a g x ⎛⎫==-++- ⎪⎝⎭，所以()()12(2)ln 2ln 2ag x g x a a +=+-， 设()(2)ln2ln 2xh x x x =+-， 则()(2)(ln ln 2)2ln h x x x x =+--，()'ln ln 21h x x =-+，由()'0h x <得20x e <<，()h x 在20,e ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减， 由()'0h x >得2x e >，()h x 在2,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭内单调递增. 所以，0x >时，min 22()2ln 2h x h e e ⎛⎫==--⎪⎝⎭. 所以，当0a >且2a ≠时，()()12g x g x +的最小值为22ln 2e--.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题. 21.椭圆规是画椭圆的一种工具，如图1所示，在十字形滑槽上各有一个活动滑标M ，N ，有一根旋杆将两个滑标连成一体，4MN =，D 为旋杆上的一点，且在M ，N 两点之间，且3ND MD =，当滑标M 在滑槽EF 内作往复运动，滑标N 在滑槽GH 内随之运动时，将笔尖放置于D 处可画出椭圆，记该椭圆为C .如图2所示，设EF 与GH 交于点O ，以EF 所在的直线为x 轴，以GH 所在的直线为y 轴，建立平面直角坐标系.（1）求椭圆C 的方程； （2）设1A ，2A 是椭圆C 的左､右顶点，点P 为直线6x =上的动点，直线1A P ，2A P 分别交椭圆于Q ，R 两点，求四边形12AQA R 面积的最大值.【答案】（1）2219x y +=（2）33【解析】【分析】（1）由MN 的值及3ND MD =，可得|MD |，|ND |的值，由题意可得椭圆的长半轴及短半轴长，进而求出椭圆的方程；（2）由题意设P 的坐标，进而求出直线1A P ，直线2A P 的方程，与椭圆联立分别求出Q ，R 的坐标，进而求出四边形的面积的表达式，换元由均值不等式可得P 的坐标.【详解】解：（1）由题得1MD =，3ND =，所以椭圆C 的长半轴长为3，短半轴长为1，故椭圆C 的方程为：2219x y +=. （2）由对称性可设点()6,P t ，其中0t >，则直线1A P 的方程为()39t y x =+，直线2A P 的方程为()33t y x =-.设()11,Q x y ，()22,R x y . 由2219(3)9x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消x 得()22960t y ty +-=，由于10A y =，则1269t y t =+ 由2219(3)3x y t y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，消x 得()22102t y ty ++=，由于20A y =，则2221t y t =-+. 所以四边形12AQA R 的面积为()()()211222222243162329191t t t t S A A y y t t t t +⎛⎫=⋅-=+= ⎪++++⎝⎭ ()()2222222432434343t t t t t t t t +==+++++. 由于0t >，23t m t +=≥，又4y m m =+在)⎡+∞⎣上是增函数，所以4y m m =+≥故244S m m =≤+当且仅当m =t =，四边形12AQA R的面积的最大值为【点睛】本题考查求椭圆的方程及直线与椭圆的综合和均值不等式的应用，属于中档题.（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题作答.并用铅笔在答题卡选考题区域内把所选的题号涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.【选修4- 4：坐标系与参数方程】22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为122322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线l 的极坐标方程； （2）设动点M 的极坐标为(),ρθ，射线OM 与直线l 相交于点A ，且满足4OA OM ⋅=，求点M 轨迹的极坐标方程.【答案】（1）cos sin 2ρθρθ+=.（2）()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【解析】【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换.（2）利用极径的应用求出结果.【详解】解：（1）直线l 的普通方程为20x y +-=，所以l 的极坐标方程为cos sin 2ρθρθ+=.（2）依题意可知，A 点的极坐标为4,θρ⎛⎫⎪⎝⎭， 因为A 在直线l 上，所以()4sin cos 2θθρ+=，所以点M 轨迹的极坐标方程为()2sin 2cos 0ρθθρ=+>.【点睛】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型.[选修4--5：不等式选讲]23.已知()211f x x x =++-.（1）解不等式()4f x ≤；（2）设()f x 的最小值为m ，实数a ，b ，c 满足222a b c m ++=，证明：a b c ++≤【答案】（1）5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）见解析【解析】【分析】（1）利用绝对值的意义，写出分段函数，即可求不等式()4f x ≤的解集；（2）利用绝对值不等式，求出m ，再利用柯西不等式进行证明.【详解】解：（1）因为()31,13,1131,1x x f x x x x x --≤-⎧⎪=+-<<⎨⎪+≥⎩，所以不等式()4f x ≤等价于1314x x ≤-⎧⎨--≤⎩或1134x x -<<⎧⎨+≤⎩或1314x x ≥⎧⎨+≤⎩， 解得513x -≤≤-或11x -<<或1x =. 所以不等式的解集为5,13⎡⎤-⎢⎥⎣⎦.（2）由（1）可知，()f x 在(],1-∞-递减，在()1,-+∞递增，所以函数()f x 的最小值为()12f -=.所以2m =，即2222a b c ++=，根据柯西不等式得：()()2222222()1116a b c a b c ++≤++++=，故a b c ++【点睛】本题考查不等式的解法，考查柯西不等式证明不等式，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题.。

2021年全国新高考“八省联考”高考数学适应性试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知M，N均为R的子集，且∁R M⊆N，则M∪（∁R N）＝（）A．∅B．M C．N D．R2．（5分）在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）A．B．C．D．3．（5分）关于x的方程x2+ax+b＝0，有下列四个命题：甲：x＝1是该方程的根；乙：x＝3是该方程的根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号．如果只有一个假命题，则该命题是（）A．甲B．乙C．丙D．丁4．（5分）椭圆＝1（m＞0）的焦点为F1，F2，上顶点为A，若∠F1AF2＝，则m＝（）A．1B．C．D．25．（5分）已知单位向量，满足•＝0，若向量＝+，则sin＜，＞＝（）A．B．C．D．6．（5分）（1+x）2+（1+x）3+…+（1+x）9的展开式中x2的系数是（）A．60B．80C．84D．1207．（5分）已知抛物线y2＝2px上三点A（2，2），B，C，直线AB，AC是圆（x﹣2）2+y2＝1的两条切线，则直线BC的方程为（）A．x+2y+1＝0B．3x+6y+4＝0C．2x+6y+3＝0D．x+3y+2＝0 8．（5分）已知a＜5且ae5＝5e a，b＜4且be4＝4e b，c＜3且ce3＝3e c，则（）A．c＜b＜a B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．a＜b＜c二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．（5分）已知函数f（x）＝xln（1+x），则（）A．f（x）在（0，+∞）单调递增B．f（x）有两个零点C．曲线y＝f（x）在点（﹣，f（﹣））处切线的斜率为﹣1﹣ln2D．f（x）是偶函数10．（5分）设z1，z2，z3为复数，z1≠0．下列命题中正确的是（）A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3C．若＝z3，则|z1z2|＝|z1z3|D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z211．（5分）如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）A．AE∥CD B．CH∥BE C．DG⊥BH D．BG⊥DE 12．（5分）设函数f（x）＝，则（）A．f（x）＝f（x+π）B．f（x）的最大值为C．f（x）在（﹣，0）单调递增D．f（x）在（0，）单调递减三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。