高三数学课件：直线和椭圆的位置关系

教学难点
如何准确地判断直线与椭圆的位置关系；如何运用所学知识解决复杂的实际问题。为了 突破这些难点，教师可以采用多种教学方法和手段，如引导学生观察图形、分析数据、 进行实践操作等。同时，教师还可以鼓励学生积极思考和提问，激发他们的学习热情和
创造力。
02 直线与椭圆的基本概念和性质
直线的基本概念和性质
教材内容及结构
教材首先介绍了直线与椭圆的方程，然后通过联立方程的方 法探讨直线与椭圆的位置关系，包括相离、相切和相交三种 情况。最后，教材给出了判断直线与椭圆位置关系的方法和 步骤。
教学目标
01
知识与技能
掌握直线与椭圆的位置关系的判断方法和步骤；能够运 用所学知识解决与直线和椭圆相关的实际问题。
03
椭圆的基本概念和性质
椭圆的定义
在平面内，与两个定点 $F_1$ 、$F_2$ 的距离之和等于常数 （且大于两定点之间的距离）
的点的轨迹。
椭圆的标准方程
$frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$，其中 $a > b > 0$。
椭圆的焦点
椭圆上任意一点到两焦点的距 离之和等于长轴的长度。
02
综合法既可以避免代数法繁琐的 计算过程，又可以弥补几何法在 某些特殊情况下的不足，是一种 高效、准确的判定方法。
05 典型例题解析与讨论
例题一：判断直线与椭圆的位置关系
01
02
03
04
05
题目：已知直线 $l: y = kx + b$ 和椭圆 $C: frac{x^2}{a^2} + frac{y^2}{b^2} = 1$， 判断直线 $l$ 与椭圆 $C$ 的位置关系。

(2)△=0 有一个解 直线与椭圆有一个公共点 (相切)
(3)△<0 无解
直线与椭圆没有公共点 (相离)．
通法
直线与椭圆的位置关系
x2 y2

1 的位置关
例1：判断直线y=x+1与椭圆
5
4
系
相交
那么，相交所得的弦的弦长是多少？
知识点2.弦长问题
x2 y 2
若直线 l : y kx m与椭圆 2 2 1(a b 0) 的
交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．
的右焦点，
知识3.面积问题
x2
例3 已知椭圆C： y 2 1.
2
(1)求椭圆C的离心率；
(2)已知点M (1,0), 且直线y x 1与椭圆C相交于A, B两点，求ABM的面积.
知识点4.中点弦问题
2
2
x y
1
例、椭圆 1, 设直线y x 1与椭圆交于
法二:但有时为了简化计算,常设而不求,运用韦达
定理来处理.
2
或
AB
1
1 2
k

2
( y1 y2 ) 2 4 y1 y2
（适用于任何曲线）
x2 y2
1
例2、椭圆
1, 设直线y x 1与椭圆交于
16 4
2
A、B两点，求弦长| AB | 。
设点
解：设 A( x1 ，y1 ) ，B( x2 ，y2 )
弦长.
• (2)求以A(1,1)为中点椭圆的弦所在的直线方
程.
16 4
2
A、B两点，求线段AB的中点坐标。
分析：中点坐标
+ +

课堂考点探究
解:易知F1(-1,0),F2(1,0).①当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),由消去y得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,∴x1+x2=,x1·x2=.∵A(x1,y1),B(x2,y2)在椭圆C上,∴=1-,=1-,∴|AF1|===,
课堂考点探究
解:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组将①代入②,整理得7x2+8mx+4m2-12=0③.方程③根的判别式Δ=(8m)2-4×7×(4m2-12)=-48m2+336.(1)当Δ>0,即-<m<时,方程③有两个不同的实数根,可知原方程组有两组不同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个不重合的公共点.(2)当Δ=0,即m=±时,方程③有两个相同的实数根,可知原方程组有两组相同的实数解,这时直线l与椭圆C有两个互相重合的公共点,即直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
课堂考点探究
例3 已知椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A,B,左焦点为F,椭圆M的离心率为,且过点.(2)若过点N(1,1)的直线与椭圆M交于P,Q两点,且线段PQ的中点恰为点N,求直线PQ的方程.
解:设P(xP,yP),Q(xQ,yQ),∵线段PQ的中点恰为点N,∴xP+xQ=2,yP+yQ=2.由题知+=1,+=1,两式相减可得(xP+xQ)(xP-xQ)+(yP+yQ)·(yP-yQ)=0,∴=-,即直线PQ的斜率为-,∴直线PQ的方程为y-1=-(x-1),即3x+4y-7=0.
课堂考点探究
例2 [2021·辽宁辽阳一模] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为,且点在C上.(2)设过F2的直线l与C交于A,B两点,若|AF1|·|BF1|=,求|AB|.

2.2.3直线与椭圆的位置关系-人教版 高中数 学选修2 -1课件 (共16 张PPT)
3.弦中点问题
例 4 ：已知椭圆
过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被
平分，求此弦所在直线的方程.
设点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造
2.2.3直线与椭圆的位置关系-人教版 高中数 学选修2 -1课件 (共16 张PPT)
当 0时， 6 k 6 ,此时直线与椭圆没有交点
3
3
例2.无论k为何值,直线y=kx+2和曲线 x 2 y2 1
交点情况满足( )
94
A.没有公共点 B.一个公共点
C.两个公共点 D.有公共点
解析：直线过定点(0,2)
D
而(0,2)为椭圆的上顶点
2.2.3直线与椭圆的位置关系-人教版 高中数 学选修2 -1课件 (共16 张PPT)
| AB |
1 k 2 | xA xB |
1
1 k2
|
yA
yB
|
2.2.3直线与椭圆的位置关系-人教版 高中数 学选修2 -1课件 (共16 张PPT)
2弦长公式
例3：已知斜率为1的直线L过椭圆 交椭圆于A，B两点，求弦AB的长．
的右焦点，
2.2.3直线与椭圆的位置关系-人教版 高中数 学选修2 -1课件 (共16 张x-5y+k=0
联立：4x 5y k 0
x2 25
y2 9
1
消y得： 25x2 8kx k 2 225 0
2.2.3直线与椭圆的位置关系-人教版 高中数 学选修2 -1课件 (共16 张PPT)
当 0时相切，k 25
当k 25时，d 15 41 41

x y 1 相交于 AB 两点，c是的 AB 中 oc 点．若 AB 2 2 ， 斜率为 2（Ｏ为原点），
2
求椭圆方程． 分析：本例是一道综合c 性比较强的问题，求解 本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜 率，另外还要用到弦长公式：
AB 1 k 2 x1 x2
解：由方程组
mx2 ny 2 1
直线与椭圆的位置关系
直线和椭圆的位置关系的判断
(1)数形结合法
１.直线x=n与椭圆的位置关系
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
iii相交
y x
y x
y x
２.直线y=m与椭圆的位置关系种类：
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
ⅱ.相交
y x
y x
y x
３.直线y=kx+b与椭圆的位置关系种类：
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
ⅱ.相交
y x
y x
围；
• （２）求椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
• 分析：用方程组解的情况来判断，从方程角度看，主要
是由一元二次方程根的判别式 0
• 解１）解方程组
• 消 y 去整理得
4x2 y2 1
y xm
,
5x2 2mx m2 1 0， 4m2 20(m2 1) 20 16m2.
• （１） 由 0得20 16m2 0,
x y 1
消去 y 整理得： (m n)x2 2nx n 1 0
设A(x1, y1)、B(x2 , y2 )、C(x3 , y3 )
则x1
x2
2n mn
, x1 x2
n 1 , mn
y1
y2
2 ( x1
x2 )
2
2n mn
2m mn

一、判断直线和椭圆的位置关系
1.联立方程组
2.消去y(或x)得一元二次方程,考察判别式
(1)当 >0 时,直线和椭圆有两个公共点,此时直线和 椭圆相交.
(2)当 0 时,直线和椭圆有且只有一个公共点,此 时直钱和椭圆相切.
(3)当 0 时,直线和椭圆无公共点,此时称直线和
椭圆相离.
两湖地区称洋芋，江浙一带称洋番芋或洋山芋，广东称之为薯仔，粤东一带称荷兰薯，闽东地区则称之为番仔薯，在鄂西北一带被称为“土豆”。 [] 英语 potato来自西班牙语patata。据西班牙皇家学院称，此西班牙词汇由泰依诺语batata（红薯）和克丘亚语papa（马铃薯）混合而来的。在拉丁美洲，“马铃薯 ”的西班牙语用papa一词。 [] 历史起源 马铃薯原产于南美洲安第斯山区，人工栽培史最早可追溯到公元前8年到年的秘鲁南部地区。世纪中期，马铃薯被一 个西班牙殖民者从南美洲带到欧洲。那时人们总是欣赏它的花朵美丽，把它当作装饰品。 [] 8年英国人在加勒比海击败西班牙人，从南美搜集烟草等植物种 子，把马铃薯带到英国，英国的气候适合马铃薯的生长，比其它谷物产量高且易于管理。 [] 后来一位法国农学家——安·奥巴曼奇在长期观察和亲身实中，发 现马铃薯不仅能吃，还可以做面包等。从此，法国农民便开始大面积种植马铃薯。 [] 世纪时，马铃薯已经成为欧洲的重要粮食作物并且已经传播到中国，马 铃薯传入中国只有三百多年的历史。据说是华侨从东南亚一带引进的，在世纪中国马铃薯种植面积居世界第二位。马铃薯产量高，营养丰富，对环境的适应
属茄属 亚 属龙葵亚属 种 马铃薯 分布区域 亚洲、北美、非洲南部和澳大利亚 营养成分 等维生素C、蛋白质、糖类 英文名 potato 目录 名称由来 历史起源 形态特征 ? 植株形态 ? 块茎形态 生长习性 ? 生长周期 ? 生长条件 品种分类 产量分布 ? 世界 ? 中国 毒性 ? 中毒原因 ? 中毒症状 ? 急救措施 ? 预防措施 8 繁殖栽培技术 ? 品种选择 ? 选地；跨境留学 跨境留学 ；及整地 ? 种薯处理 ? 播种 ? 施肥 ? 水分管理 ? 中耕管理 ? 收获 病害防治 ? 晚疫病 ? 病毒病 ? 环腐病 虫害防治 ? 斑潜蝇 ? 蚜虫 ? 蛴螬 ? 地老虎 主要价值 ? 营养价值 ? 经济价值 ? 用及保健价值 ? 工业价值 土豆皮变绿后能不能食 用 名称由来 “马铃薯”因酷似马铃铛而得名，此称呼最早见于康熙年间的《 马铃薯 马铃薯 松溪县志食货》。中国东北、河北称土豆，华北称山蛋，西北和

求解直线与二次曲线有
关问题旳通法
③ 相离 ∆<0
相切 ∆=0
相交 ∆>0
例：已知直线y=x- 1 与椭圆x2+4y2=2 ，判断它们 旳位置关系. 2
解：联立方程组
y x1 2
x2+4y2=2
消去y 5x2 4x 1 0 ----- (1)
因为∆=36>0
所以，方程有两个根， 故直线与椭圆有两个交点
则x1
x2
83 5
, x1x2
8 5
从而有 AB 1 k 2 x1 x2 1 k 2 (x1 x2 )2 4x1x2
＝ ２（8 3）2 -４ 8 ＝8
5
55
归纳： 求直线与椭圆旳弦长环节：
①联立方程组 ②消去一种未知数 ③利用弦长公式:
通法 | AB | 1 k 2 | xA xB |
2
2
所以当 5 m 5 时，直线与椭圆有公共点
2
2
探究二：直线与椭圆旳相交弦长旳求法
直线方程为: y kx m ，椭圆方程为：x2 y2 1
直线与椭圆相交旳弦长：
a2 b2
|AB| =
A（x1,y1）
B（x2,y2）
例： 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x42＋y2＝1 的 右焦点，交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的长．
到直线旳距离最小？最小距离是多少？
分析:设 P( x0 , y0 ) 是椭圆上任一点, 试求点 P 到直线 4x 5 y 40 0的距离的表达式.
d 4x0 5 y0 40 4x0 5 y0 40 且 x02 y02 1
42 52
41
25 9
作出直线 l 及椭圆, 观察图形,数形结合思考.

x2 y2 已知: 直线l : y kx 1 和椭圆 c : 4 2 1 相交
范例
于A，B两点，按照下列条件，求出直线的方程。 y
(1)使
AB 2
(2)使线段AB被
1 1 M( , ) 2 2
A 平分.
F1 P
o
(3)使以A、B为直ห้องสมุดไป่ตู้的圆过点。 （4）直线 l 和 y 轴交于 点P,
这里没有用“使学生掌握……”、 重点：判定直线和椭圆的位置关系的方法。 “使学生学会……”等通常字眼， 难点：让学生发现“数”、“形”之间的关系。 保障了学生的主体地位，反映了教 法与学法的结合，体现了新教材新 理念。
四、教学过程
课题引入
问题1：直线与圆的位置关系有哪几种？
怎么判断它们之间的位置关系？
1 使 PA PB 2
F2
B
x
技能演练
x2 y2 1 椭圆 45 20
的两个焦点为F1 、F2 ，过左焦点作
y
直线与椭圆交于A，B 两点，若△ AB F2 的面积为20，
求直线的方程。
A（x1 , y1）
o
F1
B（x2 , y2）
F2
x
变题：假如直线是过原点， 其它条件不变，求直线的方程。
直线与椭圆的位置关系
一、 教材分析
教材的地位和作用
“直线与椭圆的位置关系” 是解析几 何中的重要内容之一,又是代数和几何衔 接的枢纽。而直线与椭圆的位置关系渗 透了数形结合的思想。在新课程数学教 学中有着不可代替的作用。
二、教法分析
（一）学情分析
学生掌握了椭圆的定义、方程、 性质以及直线和圆的位置关系，具 有了一定的分析问题和解决问题的 能力。

则 Δ＝(－8 3)2－4×5×8＝32＞0，故 x1＋x2＝8－x2|＝ 2×
8
5
32－4×85＝85.
(2)椭圆ax22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 23，且椭圆与直线 x＋2y＋8＝0 相交于 P，Q 两点，|PQ|＝ 10，则椭圆的方程为_3x_62_＋__y92_＝__1．
(2)设直线交椭圆于 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则x1162＋y1122＝1①，x1262＋y1222＝1②. ①－②，得x121－6x22＋y121－2y22＝0，化简得 （x1－x2）16（x1＋x2）＝－（y1－y21）2（y1＋y2）. ∴yx11－ －yx22＝－1162（（y1x＋1＋y2x）2）＝－161（2（2y2MxM））＝38. ∴kAB＝yx11－－yx22＝38. ∴所求直线的方程为 y－2＝38(x＋1)，即 3x－8y＋19＝0.
探究 4 在三种位置关系中，相交时求相交弦长，相离时求最远、最近距离 是常见题目类型．
思考题 4 已知椭圆 x2＋8y2＝8，在椭圆上求一点 P，使 P 到直线 l：x－y
＋4＝0 的距离最短，并求出最短距离． 【解析】 设与直线 x－y＋4＝0 平行且与椭圆相切的直线方程为 x－y＋a＝
0， 由xx2－＋y8＋y2a＝＝80，， 消 x 得 9y2－2ay＋a2－8＝0， 由 Δ＝4a2－36(a2－8)＝0， 解得 a＝3 或 a＝－3，
【解析】 ∵e＝ 23，∴ac22＝34，即 c2＝34a2，∴b2＝a2－c2＝14a2.∴椭圆的方 程为 x2＋4y2＝a2，与方程 x＋2y＋8＝0 联立并消去 y，得 2x2＋16x＋64－a2＝0，
由 Δ>0，得 a2>32. 设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 x1＋x2＝－8，x1x2＝64－2 a2. 由弦长公式得|PQ|2＝(1＋kPQ2)·|x1－x2|2＝(1＋kPQ2)·[(x1＋x2)2－4x1x2]，即 10＝ 54×[64－2(64－a2)]，解得 a2＝36. ∴椭圆的方程为 x2＋4y2＝36，即3x62 ＋y92＝1.

则 x1、x2 是(*)方程的两个根， 2 82k －k ∴x1＋x2＝ . 2 4k ＋1 ∵P 为弦 AB 的中点， 2 x1＋x2 42k －k ∴2＝ ＝ . 2 2 4k ＋1 1 解得 k＝－ ， 2 ∴所求直线的方程为 x＋2y－4＝0.
法二：设直线与椭圆交点为 A(x1，y1)，B(x2 ，y2 )， ∵P 为弦 AB 的中点， ∴x1＋x2＝4，y1＋y2＝2. 又∵A、B 在椭圆上，∴x2＋4y2＝16，x2＋4y2＝16. 1 1 2 2 2 2 2 2 两式相减，得(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0， 即(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0. y1－y2 －x1＋x2 1 ∴ ＝ ＝－ ， 2 x1－x2 4y1＋y2 1 即 kAB＝－ . 2 1 ∴所求直线方程为 y－1＝－ (x－2)， 2 即 x＋2y－4＝0.
2 2
知识点二
思考2：能用圆内求弦长的方 法解决椭圆内的弦长问题吗？ 2 例2 已知斜率为 1 的直线 l 过椭圆x ＋y2＝1 的 你有什么好方法吗？ 4
弦长问题
右焦点，交椭圆于 A、B 两点，求弦 AB 的长．
y
l
A
O
B
F
x
【解】 ∵a2＝4，b2＝1，∴c＝ a2－b2＝ 3，
∴右焦点 F( 3，0)，∴直线 l 的方程为 y＝x－ 3.
2
2 2
2
＝ 2x1－x2 ＝ 2[x1＋x2 －4x1x2]
＝
8 3 2－4×8＝8， 2 5 5 5
8 即弦 AB 的长为 . 5
练习：
经过椭圆 的左焦点 F1 作 600 的直线 l ， 直线 l 倾斜角为 与椭圆相交于A、B两点，求AB 的长。