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F
E
B
y
2 11 答:点 B 到平面 EFG 的距离为 . 11
练习(用向量法求距离): 1.如图, ABCD 是矩形, PD 平面 ABCD , PD DC a , AD 2a , M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,求点 A 到平面 MNC 的距离.
P
N D C B
M
A
解：如图,以D为原点建立空间直角坐标系D－xyz a a a 则D(0,0,0),A(2a ,0,0),B( 2a , ,0),C(0, ,0),P(0,0, )
这个结论说明,平面外一点到平面的距离等于连结此点与平面 上的任一点(常选择一个特殊点)的向量在平面的法向量上的射影的 绝对值.
例 2: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分 别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2， 求点 B 到平面 EFG 的距离.
z
分析:用几何法做 相当 困难 ,注 意到坐标 系建立后各点坐标容易 得出 , 又因为 求点到平 面的距离可以用法向量 来计 算 , 而法 向量总是 可以快速算出.
A1 D A 图1
B
C
AC1 ( AB AD AA1 ) 2
2 2 2
2
AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
1 1 1 2(cos60 cos60 cos60) 6 所以 | AC1 | 6
MA n a a 即点 A 到平面 MNC 的距离为 . ∴ MA 在 n 上的射影长 d 2 2 n
2．如图 3-5，已知两条异面直线所成的角为θ ， 在直线 a、b 上分别取 E、F，已知 A’E=m，AF=n， EF=l，求公垂线 A A′的长 d.
解： EF EA A A AF
回到图形问题 这个晶体的对角线 AC1 的长是棱长的
6 倍。
思考：
（1）本题中四棱柱的对角线BD1的长与棱长有什么关系？ 分析:
BD1 BA BC BB1
A1 B1 D D1 C1
其中ABC ABB1 120 ， B1 BC 60
（2）如果一个四棱柱的各条棱长都相等，
2 2 2 2 l EA A A AF 2EA AF m2 d 2 n2 2mn cos
当E,F在公垂线同一侧时取负号 当d等于0是即为“余弦定理”
d l 2 m2 n2 2mn cos
2、向量法求点到平面的距离：
如图 A , 空间一点 P 到平面 的距离为 d,已知平面 的 一个法向量为 n ,且 AP 与 n 不共线,能否用 AP 与 n 表示 d ?
则 d=| PO |= | PA | cos APO. ∵ PO ⊥ , n , ∴ PO ∥ n . ∴cos∠APO=|cos PA, n |.
上的点, n是a,b公垂线的方向向量,
则a,b间距离为 d | n EF | |n|
四、作业布置：课本P121 题
第 2、6
五、教后反思：
一、复习引入
用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”。 （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向
量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几
何问题转化为向量问题；（化为向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的 位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （进行向量运算） （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意 义。 （回到图形）
并且以某一顶点为端点的各棱间的夹角都等
, 那么由这个四棱柱的对角线的长可以 确定棱长吗? 于
A
C
B
AB 分析: 设 AC1 a ， AD AA1 x ， BAD BAA1 DAA1
则由AC1 AB AD AA1
AC1 AB AD AA1 2( AB AD AB AA1 AD AA1 )
的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是60°，那么以这个顶点 为端点的晶体的对角线的长与棱长有什么关系？
解：如图1，设 AB AA1 AD 1，BAD BAA1 DAA1 60
化为向量问题
D1 C1
B1
依据向量的加法法则， AC1 AB AD AA1
进行向量运算
2 2 2 2
1 a 即 a 3 x 2(3 x cos ) 3 6 cos ∴ 这个四棱柱的对角线的长可以确定棱长。
2 2 2
x
（3）本题的晶体中相对的两个平面之间的距离是多少？ 设AB=1
（提示：求两个平行平面的距离，通常归结为求两点间的距离） 分析：面面距离 点面距离 过 解： A1点作 A1 H 平面 AC 于点 H .
AC BC 2, BCA 900 , E为AB的中点。求CE与AB1的距离。
解：如图建立坐标系C xyz, 则C(0,0,0), E(1,1,0), A(2,0,0), B1 (0,2,4). CE (1,1,0), AB1 (2,2,4), z C 设CE, AB1的公垂线的方向向量为n ( x, y, z ).则 A B x y 0 n CE 0 即 2x 2 y 4z 0 n AB 0
1.
二、空间“距离”问 题 空间两点之间的距离
根据两向量数量积的性质和坐标运算，
2 a x2 y2 z 2 利用公式 a a 或
(其中 a ( x, y, z) ) ，可将两点距离问题
转化为求向量模长问题
例1：如图1：一个结晶体的形状为四棱柱，其中，以顶点A为端点
< EA, AF >=π —θ （或θ ），
3. 异面直线间的距离
已知a,b是异面直线，n为的 法向量
b
n
a
C A
CD为a,b的公垂线
A，B分别在直线a,b上 则 | CD |
D
B
n AB |n|
即 l1 ,l 2 间的距离可转化为向量 CD 在n上的射影长，
例3.已知：直三棱柱ABC A1B1C1的侧棱AA1 4, 底面ABC中,
2
AC 3
AA1 AC AA1 ( AB BC ) AA1 AB AA1 BC cos60 cos60 1.
sinA1 AC
6 3
6 6 。 A1 H AA1 sinA1 AC ∴ 所求的距离是 3 3 问题：如何求直线A1B1到平面ABCD的距离？
1 1 1
取x=1,则y=-1,z=1,所以 n (1,1,1)
1
C
在两直线上各取点C , A, CA (1,0,0). | n CA | 2 3 CE与AB1的距离
x
E
y
三、小结：
1、E为平面α外一点,F为α内任意一
点, n 为平面α的法向量,则点E到平面的 | n EF | 距离为: d |n| 2、a,b是异面直线,E,F分别是直线a,b
2 2 1 1 ∵ M 、N 分别是 AD 、PB 的中点,∴ M ( a , 0, 0) N ( a , a, a ) 2 2 2 2 1 1 2 2 ∴ MC ( a , a , 0) , MN (0, a , a ) , MA ( a , 0, 0) 2 2 2 2 z 设 n ( x, y, z ) 为平面 MNC 的一个法向量, ∴ n MN , n MC P 2 ∴ n MC ax ay 0 且 2 N a a D C y n MN y z 0 2 2 M 2 解得 x y z , A 2 B x ∴可取 m ( 2,1, 1)
G
x
F
A
D
C
E
B
果断地用坐标法处理.
y
例 2: 如图，已知正方形 ABCD 的边长为 4，E、F 分 别是 AB、AD 的中点，GC⊥平面 ABCD，且 GC＝2， z 求点 B 到平面 EFG 的距离. G 解：如图，建立空间直角坐标系 C－xyz． 由题设 C(0,0,0)，A(4,4,0)，B(0,4,0)， D(4,0,0)，E(2,4,0)，F(4,2,0)，G(0,0,2)． EF (2, 2,0), EG (2, 4, 2), C x D
分析:过 P 作 PO⊥ 于 O,连结 OA.
P
n
A
O
| PA | | n | | cos PA, n | | PA n | PA ||cos PA, n |= ∴d=| = . | n| |n|
设平面 EFG 的一个法向量为 n ( x, y, z )
2 x 4 y 2Z 0 1 1 n ( , ,1) ,BE (2,0,0) A 3 3 | n BE| 2 11 d . 11 n
2 x 2 y 0 n EF， EG n
则 A1 H 为所求相对两个面之间 的距离 .
由 A1 AB A1 AD BAD 且 AB AD AA1 H 在 AC上.
H A D1 A1 B1 C B C1
D
AC ( AB BC )2 1 1 2 cos 60 3
1 cosA1 AC 3 | AA1 | | AC | AA1 AC
AA EA, AA AF
2 2 EF ( EA A A AF ) 2 2 2 EA A A AF 2( EA A A EA AF A A AF )
