辽宁省实验中学东戴河分校2020届高三10月月考数学(理)试卷 Word版含答案

2020届辽宁师范大学附属中学高三10月月考数学（理）试题一、单选题1．在ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对应的边分别为a,b,c ,若30,C a ︒∠==，则B 等于（ ） A ．45︒ B ．105︒C ．15︒或105︒D ．45︒或135︒【答案】C【解析】根据题中条件，结合正弦定理，先求出A ∠，再由三角形内角和为180︒，即可求出结果. 【详解】因为在ABC ∆中，30,C a ︒∠==，由正弦定理可得sin sin a c A C =，所以sin 1sin 22a C A c ===， 所以45A ∠=或135，因此1804530105B ∠=--=或1801353015B ∠=--=. 故选C 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理即可，属于常考题型.2．在等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根，则2169a a a 的值为（ ）A．B．CD或【答案】D【解析】利用方程的根与等差数列的性质，求解即可. 【详解】解：等比数列{}n a 中，2a ，16a 是方程2620x x ++=的两个根1622a a ∴⋅=216922a a a ⋅==∴9a ∴=故选D. 【点睛】本题考查等比数列的性质的应用，考查计算能力.3．已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，5632a a a +=+，则7S =（ ） A ．2 B ．7C ．14D ．28【答案】C【解析】利用等差数列通项的性质，将已知条件转化为关于4a 的方程，由此解得4a 的值，利用等差数列前n 项和的性质，求得7S 的值. 【详解】5632a a a +=+ 44422a d a d a d ∴++=++-，解得：42a =()177477142a a S a +∴===.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列通项的性质，考查等差数列前n 项和公式，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 4．函数()sin()(0)4f x A x πωω=+>的图象与x 轴交点的横坐标构成一个公差为3π的等差数列，要得到函数()cos g x A x ω=的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移12π个单位 B ．向右平移4π个单位 C ．向左平移4π个单位 D ．向右平移34π个单位 【答案】A【解析】依题意有()f x 的周期为()22ππ,3,sin 334T f x A x πωω⎛⎫====+ ⎪⎝⎭.而()πππππsin 3sin 3sin 3244124g x A x A x A x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故应左移π12.5．已知等差数列{}n a 满足12332,40a a a =+=，则{}n a 前12项之和为（ ） A ．144- B ．80C ．144D ．304【答案】D【解析】根据条件，求出等差数列通项公式，写出408,5 408840,6 nnna nn n-⎧=-=⎨->⎩，，利用等差数列求和公式求前5项与后7项的和，相加即可.【详解】为23123643408a a a d d d+=+=+=⇒=-，所以408na n=-.所以408,5408840,6nn na nn n-⎧=-=⎨->⎩，，所以前12项之和为5(320)7(856)8022430422⨯+⨯++=+=.【点睛】本题主要考查了等差数列的通项公式和求和公式，属于中档题.处理含绝对值的数列问题时，可考虑去绝对值号写成分段函数的形式.6．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为AB、AD上的点，且45AE AB=，连接AC、EF交于点P，若411AP AC=，则点F在AD上的位置为（）A．AD边中点B．AD边上靠近点D的三等分点C．AD边上靠近点D的四等分点D．AD边上靠近点D的五等分点【答案】B【解析】设AF xAD=，可得出1AD AFx=，由()441111AP AC AB AD==+，并将AB用AE表示，将AD用AF表示，利用E、P、F三点共线求出x的值，即可得出点F在边AD上的位置.【详解】设AF xAD=，可得出1AD AFx=，45AE AB=，54AB AE∴=.()444515411111141111AP AC AB AD AE AF AE AFx x⎛⎫==+=+=+⎪⎝⎭，E 、P 、F 三点共线，5411111x ∴+=，解得23x =，即23AF AD =， 因此，点F 在AD 边上靠近点D 的三等分点. 故选B. 【点睛】本题考查平面向量的基本定理与线性运算，解题的关键就是利用三点共线结论求出参数的值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.7．在ABC ∆中，543AB BC BC CA CA AB →→→→→→==，则sin :sin :sin A B C =（ ）A ．9:7:8B ．9:7:8C ．6:8:7D ．6:8:7【答案】B 【解析】设•••543AB BC BC CA CA ABt ===，求出9,7,8a t b t c t =-=-=-，再利用正弦定理求解. 【详解】 设•••543AB BC BC CA CA ABt ===，所以5,4,3AB BC t BC CA t CA AB t ⋅=⋅=⋅=， 所以cos 5,cos 4,cos 3ac B t ab C t bc A t -=-=-=，所以22222222210,8,6c a b t b a c t c b a t +-=-+-=-+-=-， 得9,7,8a t b t c t =-=-=- 所以sin :sin :sin ::A B C a b c ==9:7:8故选B 【点睛】本题主要考查向量的数量积，考查余弦定理和正弦定理边角互化，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 8．已知函数在上的值域为，则实数的取值范围为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】将整理为，根据的范围可求得；根据，结合的值域和的图象，可知，解不等式求得结果.【详解】当时，又，，由在上的值域为解得：本题正确选项： 【点睛】本题考查利用正弦型函数的值域求解参数范围的问题，关键是能够结合正弦型函数的图象求得角的范围的上下限，从而得到关于参数的不等式.9．在ABC ∆中，3AC =，向量AB 在AC 上的投影的数量为2,3ABC S ∆-=，则BC =( )A ．5B ．27C 29D ．2【答案】C【解析】由向量AB 在AC 上的投影的数量为2-可得||cos 2AB A =-，由3ABC S ∆=可得1||||sin 32AB AC A =，于是可得3,||224A AB π==求得BC 的长度． 【详解】∵向量AB 在AC 上的投影的数量为2-， ∴||cos 2AB A =-．① ∵3ABC S ∆=， ∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==， ∴||sin 2AB A =．②由①②得tan 1A =-， ∵A 为ABC ∆的内角，∴34A π=，∴2||3sin4AB π==在ABC ∆中，由余弦定理得2222232cos323()2942BC AB AC AB AC π=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯-=，∴BC =故选C ． 【点睛】本题考查向量数量积的几何意义和解三角形，解题的关键是根据题意逐步得到运用余弦定理时所需要的条件，考查转化和计算能力，属于中档题．10．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛，”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半，”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半，“打算按此比例偿还，他们各应偿还多少？该问题中，1斗为10升，则马主人应偿还( )升粟？ A ．253B ．503C ．507D ．1007【答案】D【解析】根据题意可知，羊马牛的三主人应偿还的量构成了公比为2的等比数列，而前3项和为50升，即可利用等比数列求和公式求出1a ，进而求出马主人应该偿还的量2a . 【详解】因为5斗=50升，设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为123,,a a a ， 由题意可知其构成了公比为2的等比数列，且350S =则31(21)5021a -=-，解得1507a =， 所以马主人要偿还的量为：2110027a a ==， 故选D.【点睛】本题主要考查了等比数列基本量求解，以及数学文化，属于基础题.11．已知在锐角ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2cos cos b C c B =，则111tan tan tan A B C++的最小值为（ ） A．3BCD．【答案】A【解析】先根据已知条件，把边化成角得到B,C 关系式，结合均值定理可求. 【详解】∵2cos cos b C c B =，∴2sin cos sinCcos B C B =， ∴tan 2tan C B =.又A B C π++=， ∴()()tan tan tan A B C B C π=-+=-+⎡⎤⎣⎦22tan tan 3tan 3tan 1tan tan 12tan 2tan 1B C B BB C B B +=-=-=---，∴21112tan 111tan tan tan 3tan tan 2tan B A B C B B B -++=++27tan 36tan B B =+. 又∵在锐角ABC ∆中, tan 0B >,∴27tan 36tan 3B B +≥=，当且仅当tan 2B =时取等号，∴min111tan tan tan A B C ⎛⎫++=⎪⎝⎭，故选A. 【点睛】本题主要考查正弦定理和均值定理，解三角形时边角互化是求解的主要策略，侧重考查数学运算的核心素养. 12．已知数列{}n a 满足1212a a ++…2*1()n a n n n N n+=+∈，设数列{}n b 满足：121n n n n b a a ++=,数列{}n b 的前n 项和为n T ，若*()1n nT n N n λ<∈+恒成立，则λ的取值范围是（ ） A ．1(,) 4+∞ B ．1[,) 4+∞C ．3[,) 8+∞D ．3(,)8+∞【答案】D【解析】先求出{}n a 的通项，再求出{}n b 的通项，从而可求n T ，利用参变分离可求λ的取值范围. 【详解】因为1212a a ++…2*1()n a n n n N n +=+∈， 所以1212a a ++…()()2*1111(,2)1n a n n n N n n -+=-+-∈≥-， 故12n a n n=即22n a n =，其中2n ≥. 而令1n =，则22111221a =+==⨯，故22n a n =，1n ≥.()()2222211114411n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥⨯++⎢⎥⎣⎦， 故()2222221111111412231n T n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+⎢⎥⎣⎦()()22211214141n n n n ⎡⎤+=-=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦， 故*()1n n T n N n λ<∈+恒成立等价于()222141n n n n n λ+<++即()241n n λ+<+恒成立， 化简得到()11441n λ+<+，因为()11113441488n +≤+=+，故38λ>. 故选D. 【点睛】数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和法. 参数的数列不等式的恒成立问题，可以用参变分离的方法构建新数列，通过讨论新数列的最值来求参数的取值范围.二、填空题 13．若1sin()63πα-=，则2cos ()62πα+=________.【答案】23【解析】【详解】 由题意可得：212cos 1cos sin sin 6263233παππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+=-+=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，即：212cos 1623πα⎛⎫+-=⎪⎝⎭，解方程可得：22cos 623πα⎛⎫+=⎪⎝⎭. 14．函数2()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭在[0,2]π的单调递增区间是__________. 【答案】0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ 【解析】变换得到2()3sin 23f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，取23222232k x k πππππ+≤-≤+，计算得到答案. 【详解】22()3sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=--⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，取23222232k x k πππππ+≤-≤+， 解得713,1212k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 当1k =-时，0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足；当0k =时，713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足；当1k =时，19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦满足；故答案为：0,12π⎡⎤⎢⎥⎣⎦，713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，19,212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查了三角函数的单调区间，意在考查学生的计算能力. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1233n nS +=-，若()()21363n a n λ->-对一切*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是__________．【答案】13,18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】【详解】111233,2936,3n n S a a +=-∴=-== ，当1n > 时，112223323,3n n n n n n n n a S S a +-=-=-=⨯= . 又113a = 且()()21363n a n λ->- ，()363213nn λ-∴->，得()183123n n λ->+ ，因为()()()111821831872333n n n n nn ++----=，所以当4n = 时，()183123nn -+ 取得最大值，最大值为()4184311313,231818λ-+=> ，故答案为13,18⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ . 16．已知点C 为线段AB 上一点，P 为直线AB 外一点，PC 是APB ∠的角平分线，I 为PC 上一点，满足BI BA =+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+⎪⎝⎭(0)λ>，4PA PB -=，10PA PB -=，则BI BA BA⋅的值为__________.【答案】3【解析】确定I 是PAB ∆内心，如图所示，得到4AF BF -=，10AF BF +=，得到3BF =，化简BI BA BF BA⋅=得到答案.【详解】BI BA =+||||AC AP AC AP λ⎛⎫+⎪⎝⎭(0)λ>，即||||AC AP AI AC AP λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，表示I 在PAB ∠的角平分线上，故I 是PAB ∆内心.如图所示：4AF BF AG BH AP BP -=-=-=；10AF BF +=，故3BF =.cos 3BI BA ABIBI BA BF BABA⋅∠⋅===故答案为：3.【点睛】本题考查了三角形内心，向量的运算，意在考查学生的综合应用能力.三、解答题17．已知()()3sin 2f x x x πωπω⎛⎫=+⋅- ⎪⎝⎭()2cos 0x ωω->的最小正周期为T π=．(1)求43f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别是为a ，b ，c ，若()2cos cos a c B b C -=，求角B 的大小以及()f A 的取值范围．【答案】(1)12;(2) 3B π=,()11,2f A ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦.【解析】 试题分析：（1） 根据三角恒等变换的公式，得()1sin(2)62f x wx π=--，根据周期，得1w =，即()1sin(2)62f x x π=--，即可求解4()3f π的值；（2）根据正弦定理和三角恒等变换的公式，化简()2cos cos a c B b C -=，可得1cos 2B =，可得3B π=，进而求得1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求解()f A 的取值范围.试题解析：(1)∵()()3sin 2f x x x ππωω⎛⎫=+-⎪⎝⎭22cos cos cos x x x x ωωωω-=-11cos222x x ωω=-- 1sin 262x πω⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由函数()f x 的最小正周期为T π=，即22ππω=，得1ω=，∴()1sin 262f x x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，∴441sin 23362f πππ⎛⎫⎛⎫=⨯--⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 511sin 222π=-=． （2）∵()2cos cos a c B b C -=，∴由正弦定理可得()2sin sin cos A C B -sin cos B C =，∴2sin cos sin cos cos sin A B B C B C =+()sin sin B C A =+=．∵sin 0A >，∴1cos 2B =．∵()0,B π∈，3B π=．∵23A C B ππ+=-=，∴20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴72,666A πππ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，∴1sin 2,162A π⎛⎫⎛⎫-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()11sin 21,622f A A π⎛⎫⎛⎤=--∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦．18．设公差大于0的等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知315S =，且1413,,a a a 成等比数列，记数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .（1）求n T ；（2）若对于任意的*n N ∈，13n n tT a <+恒成立，求实数t 的取值范围. 【答案】（1）3(23)n nT n =+（2）180t <【解析】（1）根据题意得到313315S a d =+=，()()2111312a d a a d +=⋅+，计算得到21n a n =+，再利用裂项求和得到n T .（2）化简得到1312612102n n a t n T n +<=++，设()()12612102,0f x x x x=++>，根据函数性质得到3n =时，12612102n n++有最小值为180，得到答案. 【详解】（1）313315S a d =+=，1413,,a a a 成等比数列，则24113a a a =⋅，即()()2111312a d a a d +=⋅+，解得2d =或0d =（舍去），13a =，故21n a n =+.()()111111212322123n n a a n n n n +⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭. 1111111111...23557212323233(23)n T n n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣=+⎦ （2）13n n tT a <+，即()()214691312612102n n n n a t n T n n+++<==++ 设()()12612102,0f x x x x=++>，根据双勾函数性质知：函数在0,2⎛ ⎝⎭上单调递增，在,2⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上单调递减. 计算()3180f =，()4181.5f =，故当3n =时，12612102n n++有最小值为180. 故180t <. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，数列恒成立问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.19．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ,c 已知222a c b ++=，cos 0A B +=.（1）求cos C ； （2）若ABC ∆的面积52S =，求b .【答案】（1）cos ,cos 105A C ==；（2）5b = 【解析】【详解】试题分析：（1）根据余弦定理求出B,带入条件求出sin A ，利用同角三角函数关系求其余弦，再利用两角差的余弦定理即可求出；（2）根据（1）及面积公式可得ac ，利用正弦定理即可求出.试题解析：（1）由222a c b +=，得222a c b +-=，∴222cos 222a cb B ac ac +-===-. ∵0B π<<，∴34B π=.cos 0A B +=，得sin A B ⎛=== ⎝⎭，∴10cosA ===.∴cos cos cos 422C A A A π⎛⎫=-=+⎪⎝⎭=+=（2）由（1），得sin C ===.由1sin 2S ac B =及题设条件，得135sin242ac π=，∴ac =由sin sin sin a b cA B C==2==，∴225b ===， ∴5b =.点睛：解决三角形中的角边问题时，要根据条件选择正余弦定理，将问题转化统一为边的问题或角的问题，利用三角中两角和差等公式处理，特别注意内角和定理的运用，涉及三角形面积最值问题时，注意均值不等式的利用，特别求角的时候，要注意分析角的范围，才能写出角的大小.20．已知正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()21111,n n n a S S a ++=+=，数列{}n b 满足12n a n n b b +⋅=，且12b =（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）设*22122log ,n n n N b c b n ++=∈，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）n a n =，12222,2,n n n n b n +-⎧⎪=⎨⎪⎩是奇数是偶数；（2）332n n n T +=-.【解析】（1）化简得到11n n a a +-=，得到n a n =，化简得到22n nb b +=，分别计算n 为奇数和n 为偶数的通项公式得到答案.（2）()112nn n c ⎛⎫=+⨯ ⎪⎝⎭，利用错位相减法计算得到答案. 【详解】（1）()21111,n n n a S S a ++=+=，故()21n n n S S a -+=，2n ≥. 两式相减得到()()221111n n n n n n n n a a a a a a a a +++++=-=+-，因为10n n a a ++>，故11n n a a +-=. 故n a n =，验证1n =时成立，故n a n =.122n a n n n b b +⋅==，122n a n n n b b +⋅==，则1122n n n b b +++⋅=，两式相除得到22n nb b +=，12b =，21b =， 故当n 为奇数时，1122122n n n b b -+=⋅=；当n 为偶数时，2222222n n n b b --=⋅=.综上所述：12222,2,n n n n b n +-⎧⎪=⎨⎪⎩是奇数是偶数 （2）()2212122log l 1122og 2n nn n nn b n c b +++⎛⎫===+⨯ ⎪⎝⎭. 故()211123...1222nn T n ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()231111123...12222n n T n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.两式相减得到：()()2311111111312...1322222222nn n n T n n n ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯++++-+=-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故332n nn T +=-. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，错位相减法求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.。

2024—2025学年度上学期高三10月联合教学质量检测高三数学试卷本试卷共5页 满分150分，考试用时120分钟注意事项：1. 答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码贴在答题卡上的指定位置.2. 选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3. 非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4. 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}21A x x =-<，{}3B x a x a =<<+，若{}15A B x x ⋃=<<，则a =（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】C 【解析】【分析】先求出集合A ，再根据并集得出参数的值.【详解】因为()1,3A =,()1,5A B ⋃=，又因为(),3B a a =+，所以35,a +=即a =2.故选：C.2. 如图，在ABC V 中，点D 是BC 边的中点，3AD GD = ，则用向量AB ，AC表示BG 为（ ）A. 2133BG AB AC=-+u u u u r uu r u u u r B. 1233BG AB AC=-+u u u r u uu r u u u r C. 2133BG AB AC=-u u u r u u u r u u u r D. 2133BG AB AC=+u u u r u u u r u u u r【答案】A 【解析】【分析】利用向量的线性运算求解即可.【详解】3AD GD =，故23AG AD = ，则()2212133233B C G BA BA BA AG AD AB A AB AC =+=+=+⨯+=-+.故选：A3. 在等比数列{}n a 中，记其前n 项和为n S ，已知3212a a a =-+，则84S S 的值为（ ）A. 2 B. 17 C. 2或8D. 2或17【答案】D 【解析】【分析】根据等比数列通项公式求得1q =或2q =-，再利用等比数的求和公式求解即可.【详解】解：由等比数列的通项公式可得21112a q a q a =-+，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-．当q =1时，1841824S a S a ==；当2q =-时，()()814844184111117111a q S q q q S q a q q ---====-+--．所以84S S 的值为2或17．故选：D ．4. 每年10月1日国庆节，根据气象统计资料，这一天吹南风的概率为25%，下雨的概率为20%，吹南风或下雨的概率为35%，则既吹南风又下雨的概率为（ ）A. 5% B. 10%C. 15%D. 45%【答案】B 【解析】【分析】根据概率公式直接得出结论.【详解】由题知，既吹南风又下雨的概率为25%20%35%10%+-=.故选:B5. 若直线:3l y kx k =+-与曲线:C y =恰有两个交点，则实数k 的取值范围是（ ）A. 4,+3∞⎛⎫⎪⎝⎭B. 43,32⎛⎤⎥⎝⎦C. 40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D. 43,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B 【解析】【分析】先得到直线过定点()1,3P ，作出直线l 与曲线C ，由图求出直线l 过点()1,0A -时的斜率和直线l 与曲线C 相切时的斜率即可树形结合得解.【详解】由()313y kx k k x =+-=-+可知直线l 过定点()1,3P ，曲线:C y =两边平方得()2210x y y +=≥，所以曲线C 是以()0,0为圆心，半径为1且位于直线x 轴上方的半圆，当直线l 过点()1,0A -时，直线l 与曲线C 有两个不同的交点，此时3032k k k =-+-⇒=，当直线l 与曲线C 相切时，直线和圆有一个交点，圆心()0,0到直线l的距离1d ，两边平方解得43k =，所以结合图形可知直线l 与曲线C 恰有两个交点，则4332k <≤.故选：B.6. 已知()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，()()sin g x x ωϕ=+，则下列结论不正确的A. π6ϕ=B. 若()g x 的最小正周期为3π，则23ω=C. 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则ω的取值范围为710,33⎛⎫⎪⎝⎭D. 若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则ω的最小值为2【答案】D 【解析】【分析】先根据()f x 是偶函数求ϕ判断A 选项；根据最小正周期公式计算可以判断B 选项；据有且仅有3个最值点求范围判断C 选项；据函数值求参数范围结合给定范围求最值可以判断D 选项.【详解】()ππsin 0,32f x x ωϕωϕ⎛⎫⎛⎫=++>< ⎪⎪⎝⎭⎝⎭为偶函数，则πππππ,Z,,,3226k k ϕϕϕ+=+∈<∴=∣∣A 选项正确；若()g x 的最小正周期为3π，由()sin()g x x ωϕ=+则2π23π,3T ωω==∴=，B 选项正确；πππ(0,π),(,π)666x x ωω∈+∈+ 若()g x 在区间()0,π上有且仅有3个最值点，则5ππ7π710π,26233ωω<+≤<≤,C 选项正确；若π()sin(6g x x ω=+ πππsin +446g ω⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则πππ+2π463k ω=+或ππ2π+2π463k ω=+，Z k ∈，则 283k ω=+或28,Z k k ω=+∈，又因为0ω>，则ω的最小值为23，D 选项错误.故选:D.7. 已知()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为1280-，则a =（ ）A. ―2B. 2C. D. 1【解析】【分析】根据已知条件，结合二项式定理并分类讨论，即可求解.【详解】由题意，62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的通项公式为()()6662166C 2C 2rr r r r rr r a T x a x x ---+-⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，令620r -=，则3r =，令621r -=-，则72r =不符合题意，所以()612a x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭的常数项为()3336C 21280a --=-，解得2a =-．故选：A .8. 已知函数22()log f x x mx x =-+，若不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，则实数m的取值范围是（ ）A. 23log 33,89+⎡⎫⎪⎢⎣⎭B. 23log 33,94+⎛⎫⎪⎝⎭C. 23log 33,94+⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D. 23log 33,89+⎛⎫⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】不等式()0f x >可化为2log 1xmx x-<，利用导数分析函数()2log x g x x =的单调性，作函数()1h x mx =-，()2log xg x x=的图象，由条件结合图象列不等式求m 的取值范围.【详解】函数22()log f x x mx x =-+的定义域为(0,+∞)，不等式()0f x >化为：2log 1xmx x-<．令()1h x mx =-，()2log x g x x=，()2222221log e log log e log x xx x g x x x --='=，故函数()g x 在()0,e 上单调递增，在()e,∞+上单调递减．当1x >时，()0g x >，当1x =时，()0g x =，当01x <<时，()0g x <，当x →+∞时，()0g x →，当0x >，且0x →时，()g x ∞→-，画出()g x 及()h x 的大致图象如下，因为不等式()0f x >的解集中恰有两个不同的正整数解，故正整数解为1,2．故()()()()2233h g h g ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，即22log 2212log 3313m m ⎧-<⎪⎪⎨⎪-≥⎪⎩，解得23log 3943m +≤<.故选：C.二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9. 已知复数232023i i i i 1iz ++++=+ ，则下列结论正确的是（ ）A. 1i 2z -=-B. 1i 2z -=C. 1i 2z +=-D. z =【答案】ACD 【解析】【分析】利用234i+i +i +i 0=对分子化简，然后利用复数的除法化简，可求共轭复数、复数的模依次判断即可得出结果.【详解】因为i,411,42i ,i,431,4nn k n k k n k n k=+⎧⎪-=+⎪=∈⎨-=+⎪⎪=⎩Z ，所以234i+i +i +i 0=，所以()()()()2342323202323505i+i +i +i i i i 1i i i i i i i i 111i 1i 1i 1i 1i 1i 1i 22z +++--++++++-======-++++++- ，所以A 正确，B 错误，111i i=222z +=---，C 准确，所以z ==D 正确.故选：ACD10. “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题. 该问题是：“在一个三角形内求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.意大利数学家托里拆利给出了解答，当 ABC V 的三个内角均小于120°时，使得120AOB BOC COA ︒∠=∠=∠=的点O 即为费马点；当 ABC V 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.下列说法正确的是（ ）A. 正三角形的的费马点是正三角形的中心B. 若P 为ABC V 的费马点, 且 0PA PB PC ++=u u r u u r u u u r r，则ABC V 一定为正三角形C. 若ABC V 三边长分别为2D. ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ， c ， π22A ,bc ∠==，若点P 为ABC V 的费马点，则PA PB PB PC PC PA ⋅+⋅+⋅=.【答案】ABC 【解析】【分析】对A ，根据正三角形中心的性质结合费马点定义易判断；对B ，取AB 的中点D ，由0PA PB PC ++=可得点P 是ABC V 的重心，再结合条件可得点P 是ABC V 的中心，得证；对C ，利用三角形旋转，结合费马点定义，构造正三角形转化线段长求解；对D ，由向量数量积定义，结合费马点定义和三角形等面积法列式求解.【详解】对于A ，如图O 是正三角形ABC 的中心，根据正三角形的性质易得o 120AOB AOC BOC ∠=∠=∠=，所以点O 是正三角形ABC 的费马点，故A 正确；对于B ，如图，取AB 的中点D ，则2PA PB PD += ，因为0PA PB PC ++=，所以2PC PD =-u u u r u u u r，所以,,C P D 三点共线，且点P 是ABC V 的重心，又点P 是ABC V 费马点，则o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，则o 60APD BPD ∠=∠=，又AD BD =，易得PA PB =，同理可得PC PB =，所以PA PB PC ==所以点P 是ABC V 的外心，所以点P 是ABC V 的中心，即ABC V 是正三角形.故B 正确；对于C ，如图，在Rt ABC △中，1AB =，BC =，2AC =，o 30ACB ∠=，点O 是Rt ABC △的费马点，将COA 绕点C 顺时针旋转o 60，得到CED △，易证COE ，ACD 是正三角形，则OC OE =，OA DE =，CD AC =，且点,,,B O E D 共线，所以o90BCD ∠=，所以BD ===又OA OB OC DE OE OB DB ++=++==，的.故C 正确；对于D ，由费马点定义可得o 120APB APC BPC ∠=∠=∠=，设PA x =，PB y =，PC z =，,,0x y z >，由ABC PAB PAB PAB S S S S =++V V V V，可得111122222xy xz yz ++=⨯，整理得xy yz xz ++=，所以111222PA PB PB PC PC PA xy yz xz ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅+⋅+⋅=⋅-+⋅-+⋅- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1122xy yz xz =-++=-=，故D 错误.故选：ABC.【点睛】关键点点睛：解答本题首先要理解费马点的含义，解答D 选项的关键在于利用三角形等面积法求出xy yz xz ++=.11. 在四面体ABCD 中，棱AB 的长为4，AB BD ⊥，CD BD ⊥，2BD CD ==，若该四面体的体积为）A. 异面直线AB 与CD 所成角的大小为π3B. AC的长可以为C. 点D 到平面ABCD. 当二面角A BC D --是钝角时，其正切值为【答案】ACD【解析】【分析】根据等体积法可结合三角形的面积公式可得sin CDE ∠=A ，根据余弦定理即可求解B ，根据等体积法即可求解C ，根据二面角的几何法，结合同角关系即可求解D.【详解】在平面ABD 内过D 作DE AB ∥，且ED AB =,由于AB BD ⊥，故四边形ABDE 为矩形，CD BD ⊥，DE BD ⊥，BD DE C = ，CD ⊂平面CDE ，DE ⊂平面CDE ，故BD ⊥平面CDE ，故11233C ABD C EDA B CDE CDE CDE V V V S BD S ---===⋅=⨯=，11sin 24sin 4sin 22CDE S CD DE CDE CDE CDE=⋅⋅∠=⨯⨯∠=∠故1124sin 233C ABD CDE V S CDE -=⨯=⨯∠⨯=，因此sin CDE ∠=由于()0,CDE π∠∈，所以3CDE π∠=或23π，由于CDE ∠为异面直线AB 与CD 所成角或其补角，故异面直线AB 与CD 所成角的大小为3π，A 正确，当23CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时AC ==当3CDE π∠=时，CE ===,由于BD ⊥平面CDE ，AE BD ，∴AE ⊥平面CDE ，CE ⊂平面CDE ，故AE CE ⊥，此时4AC ==,故B 错误，由于BC ==,4AB =,当AC =cos BAC ∠==sin BAC ∠=，11sin 422ABC S AB AC BAC =⋅⋅∠=⨯⨯= ,当4AC =时，161683cos 2444BAC +-∠==⨯⨯，故sin BAC ∠=，1sin 2ABC S AB AC BAC =⋅∠= ,故点D 到平面ABC的距离为d ===,C 正确，当4AC =时，4AB AC ==,2CD BD ==,取BC 中点为O ，连接OA ,OD ,则AOD ∠即为二面角A BC D --的平面角，12OD BC ===,AO ==所以22cos 0AOD ∠===<,故AOD ∠为钝角，符合题意，此时sin tan cos AODAOD AOD∠∠==∠，当4AC =，由于2DBCS =，点A 到平面BDC距离为d ===,设A 在平面BDC 的投影为H ,则AH =,故HD==HC ==,因此点O 为以D ,C为圆心，以半径为,显然交点位于BC ,同D 的一侧，故此时二面角A BC D --为锐角，不符合要求，故D 正确，故选：ACD三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12. 已知,a b +∈R ，41a b +=，则aba b+的最大值是________．【答案】19【解析】的【分析】先求出11a b+的最小值，再将aba b +化为111a b+，即可求得答案.【详解】因为,a b +∈R ，41a b +=，故()111144559b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当4b a a b=，结合41a b +=，即11,63==a b 时等号成立，所以11119ab a b a b =≤++，即ab a b +的最大值是19，故答案为：1913. 刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容，在数学上用曲率刻画空间弯曲性．规定：多面体的顶点的曲率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正四面体（四个面都是等边三角形围成的几何体）在每个顶点有3个面角，每个面角是π3，所以正四面体在每个顶点的曲率为π2π3π3-⨯=，故其总曲率为4π．我们把平面四边形ABCD 外的点P 连接顶点A 、B 、C 、D 构成的几何体称为四棱锥，根据曲率的定义，四棱锥的总曲率为______．【答案】4π【解析】【分析】根据曲率的定义求解即可.【详解】由定义可得多面体的总曲率2π=⨯顶点数各面内角和，因为四棱锥有5个顶点，5个面，分别为4个三角形和1个四边形，所以任意四棱锥的总曲率为()2π5π42π14π⨯-⨯+⨯=.故答案为：4π.14. 过双曲线22221(0,0)y x a b a b-=>>的上焦点1F ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为H ，直线1F H 与双曲线的上､下两支分别交于,M N ，若3NH HM =，则双曲线的离心率e =__________.【解析】【分析】设双曲线右焦点为2F ，HM t =，3NH t =，由题意结合双曲线定义可依次求出1F H 、1OF 、1F M 、1F N 、2F N 和2F M ，接着分别在1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △中结合余弦定理求出1cos OF M ∠，进而建立等量关系式求出t ，从而求得2b a =，进而由离心率公式即可得解.【详解】设双曲线右焦点为2F ，由题()10,F c ，双曲线的一条渐近线方程为ay x b=-即0ax by +=，过该渐近线作垂线，则由题1F H b =，1OF c =，设HM t =，则由题3NH t =，1F M b t =-，13F N b t =+，所以232F N b t a =+-，22F M b t a =-+，所以在1Rt F OH 中，111cos F H bOF M OF c∠==①，在12F MF △中，()()()()()22222211221112||||22cos 222F M F F F M b t c b t a OF M b t c F M F F +--+--+∠==-⋅②，在12F NF △中，()()()()()22222211221112||||3232cos 2322F N F F F N b t c b t a OF M b t c F N F F +-++-+-∠==+⋅③，由①②得()()()()()2222222b t c b t a bb tc c-+--+=-，化简解得ab t a b =+，由①③得()()()()()2223232232b t c b t a b b t c c++-+-=+，化简解得()3ab t b a =-，所以()23ab abb a a b b a =⇒=+-，故双曲线的离心率c e a====.【点睛】思路点睛：依据题意设双曲线右焦点为2F ，HM t =，则结合双曲线定义可得1Rt F OH 、12F MF △和12F NF △的边长均是已知的，接着结合余弦定理均可求出三个三角形的公共角1OF M ∠的余弦值1cos OF M ∠，从而可建立等量关系式依次求出t 和2b a =，进而由离心率公式得解.四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15. 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，满足()*1N n n S a n =-∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记22212n n T S S S =+++ ，求n T .【答案】（1）1()2n n a = （2）1235111((3232n nn n T --=+-⋅【解析】【分析】（1）应用1n n n S S a --=，再结合等比数列定义及通项公式计算即可；（2）先化简得出21111()()24n n n S --+=，再应用分组求和及等比数列前n 项和公式计算.小问1详解】因为数列{a n }的前n 项和，满足1n n S a =-，当2n ≥时，可得111n n S a --=-，两式相减得1n n n a a a -=-，即12n n a a -=，所以112n n a a -=，令1n =，可得1111S a a =-=，解得112a =，所以数列{a n }构成首项为12，公比为12的等比数列，所以{a n }的通项公式为1111()(222n nn a -=⋅=.【小问2详解】由（1）知1(2nn a =，可得11(2nn S =-，所以222111111()]12()()1((22224[1n n n n n n S -=-⋅=+=-+-，【则222121111()[1()]244(111)111124n n n n T S S S -⋅-=+++=+++-+-- 1235111()()3232n n n --=+-⋅.16. 如图，正四棱台ABCD EFGH -中，24,EG AC MN ==上为上下底面中心的连线，且MN 与侧面.（1）求点A 到平面MHG 的距离；（2）求二面角E HM G --的余弦值.【答案】（1（2）23-【解析】【分析】（1）由题意建立空间直角坐标系，求得平面法向量，利用点面距向量公式，可得答案；（2）求得两个平面的法向量，利用面面角的向量公式，可得答案.【小问1详解】由题意，易知,,MN MA MB 两两垂直，分别以,,MA MB MN 为,,x y z 轴建立直角坐标系，如下图：则()()()()1,0,0,0,0,0,0,2,1,2,0,1A M H G --，取()()0,2,1,2,0,1MH MG =-=-，设平面MHG 的法向量(),,n x y z = ，则2020n MH y z n MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，令2z =，则1,1x y ==，所以平面MHG 的一个法向量()1,1,2n =，取()1,0,0MA = ，点A 到平面MHG的距离MA n d n ⋅===.【小问2详解】由（1）可知()()()()2,0,1,0,2,1,0,0,0,2,0,1E H M G --，取()()()()2,2,0,2,0,1,2,2,0,2,0,1HE ME HG MG ===-=-，设平面EHM 的法向量()1111,,m x y z = ，则11111122020m HE x y m ME x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11x =-，则221,2y z ==，所以平面EHM 的一个法向量()11,1,2m =-，设平面HMG 的法向量()2222,,m x y z = ，则22222222020m HG x y m MG x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令21x =，则111,2y z ==，所以平面EHG 的一个法向量()21,1,2m =，设二面角E HM G --的大小为θ，则12121142cos 1143m m m m θ⋅-++=-=-=-++⋅ .17. 某汽车公司最新研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程（理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程）的测试.现对测试数据进行整理，得到如下的频率分布直方图：（1）估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值x （同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）由频率分布直方图计算得样本标准差s 的近似值为49.75.根据大量的汽车测试数据，可以认为这款汽车的单次最大续航里程X 近似地服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本标准差S.（ⅰ）利用该正态分布，求()250.25399.5P X <<；（ⅱ）假设某企业从该汽车公司购买了20辆该款新能源汽车，记Z 表示这20辆新能源汽车中单次最大续航里程位于区间（250.25，399.5）的车辆数，求E （Z ）；参考数据：若随机变量ξ服从正态分布()2,N μσ，则()0.6827P μσξμσ-<<+=，()()220.9545,330.99731P P μσξμσμσξμσ-<<+=-<<+=.（3）某汽车销售公司为推广此款新能源汽车，现面向意向客户推出“玩游戏，送大奖”活动，客户可根据抛掷硬币的结果，操控微型遥控车在x 轴上从原点O 出发向右运动，已知硬币出现正、反面的概率都12，客户每掷一次硬币，遥控车向右移动一次，若掷出正面，则遥控车向移动一个单位，若掷出反面，则遥控车向右移动两个单位，直到遥控车移到点（59，0）（胜利大本营）或点（60，0）（失败大本营）时，游戏结束，若遥控车最终停在“胜利大本营”，则可获得购车优惠券.设遥控车移到点(),0n 的概率为()160n P n ≤≤，试证明数列{}1n n P P --是等比数列()259n ≤≤，求出数列{}()160n P n ≤≤的通项公式，并比较59P 和60P 的大小.【答案】（1）300 （2）（ⅰ）0.8186；（ⅱ）16.372（3）证明见解析，158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩，5960P P >【解析】【分析】（1）根据平均数的求法求得正确答案.（2）（ⅰ）根据正态分布的对称性求得正确答案.（ⅱ）根据二项分布的知识求得正确答案.（3）根据已知条件构造等比数列，然后利用累加法求得n P ，利用差比较法比较59P 和60P 的大小.【小问1详解】2050.12550.23050.453550.24050.05300x ≈⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.【小问2详解】（ⅰ）0.95450.6827(250.25399.5)0.68270.81862P X -<<=+=.（ⅱ））∵Z 服从二项分布()20,0.8186B ，∴()200.818616.372E Z =⨯=.【小问3详解】当359n ≤≤时，()12112111,222n n n n n n n P P P P P P P -----=+-=--，1221111131,,222244P P P P ==⨯+=-=.∴{}1(259)n n P P n --≤≤是以14为首项，12-为公比的等比数列，2111(259)42n n n P P n --⎛⎫-=⋅-≤≤ ⎪⎝⎭.22132111111,,,(259)44242n n n P P P P P P n --⎛⎫⎛⎫-=-=⋅-⋯-=⋅-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.累加得：115816058111422111111,(259),1362236212n n n n P P P n P P --⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭-==-⋅-≤≤==+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭+.∴158211,159362111,60362n n n P n -⎧⎛⎫-⋅-≤≤⎪ ⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪+⋅= ⎪⎪⎝⎭⎩∵58585960111111033232P P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯=-> ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴5960P P >.注：比较59P 和60P 的另一个过程：58596059592112111,13623622P P P P ⎛⎫=-⋅>-==-<< ⎪⎝⎭.18. 已知函数()1e xx f x +=.（1）求函数()f x 的极值；（2）若不等式()e ln 1xf x a x +≥恒成立，求实数a 的取值范围；（3）已知直线l 是曲线()y f x =在点()(),t f t 处的切线，求证：当1t >时，直线l 与曲线()y f x =相交于点()(),s f s ，其中s t <.【答案】（1）极大值为1，没有极小值 （2）[]e,0- （3）证明见解析【解析】【分析】（1）求导，利用导数判断()f x 的单调性和极值；（2）根据题意可得ln 0x a x +≥恒成立，构建()ln ,0g x x a x x =+>，分类讨论a 的符号，利用导数求最值，结合恒成立问题分析求解；（3）根据导数的几何意义可得当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，构建()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >，利用导数研究函数零点分析证明.小问1详解】由题意可知：()f x 的定义域为R ，且()ex xf x '-=，令()0f x '=时，0x =，则x ，f ′(x )，()f x 的关系为x(),0∞-0(0,+∞)f ′(x )+0-()f x 单调递增极大值单调递减所以，当0x =时，()f x 取到极大值为1，没有极小值.【小问2详解】若()e ln 1xf x a x +≥，即ln 0x a x +≥恒成立，设()ln ,0g x x a x x =+>，则()1a x a g x x x'+=+=，①当0a =时，则()0g x x =>恒成立，符合题意；②当0a >时，则()0g x '≥，可知()g x 在(0,+∞)上单调递增，因为11e e 10a a g --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以ln 0x a x +≥不恒成立；③当0a <时，x ，()g x '，()g x 的关系为x()0,a -a-(),a ∞-+()g x '-+【()g x 单调递减极小值单调递增可知()g x 的最小值为()()min ln g x a a a =-+-，则()ln 0a a a -+-≥，因为0a <，则()1ln 0a --≥，解得e 0a ≤-<；综上所述：实数a 的取值范围是[]e,0-.【小问3详解】因为()1e x x f x +=，()e x x f x '-=，则()1e t tf t +=，e t t k -=即切点坐标为1,e t t t +⎛⎫⎪⎝⎭，切线l 斜率为e tt k -=，可得l 的方程为()1e e t t t t y x t +--=-，即21e et tt t t y x -++=+，联立方程21e e 1e t txt t t y x x y ⎧-++=+⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得2110e e e x t tx tx t t ++++-=，由题可知：当1t >时，方程2110e e ex t tx tx t t ++++-=有小于t 的解，设()211e e ex t tx tx t t h x +++=+-，其中x t <，1t >且()0h t =，则()e e x t x t h x '-=+，设()()F x h x ='，则()1e xx F x '-=，因为1t >，x ，()F x '，F (x )的关系为x(),1∞-1()1,t ()F x '-+F (x )单调递减1e et t -+，单调递增可知F (x )的最小值()()()min 10F x F F t =<=，且()1e 0e ttF -=+>，可知()01,1x ∃∈-，使()00F x =，当()0,x x ∞∈-时，()0F x >，即h ′(x )>0；当()0,x x t ∈时，()0F x <，即h ′(x )<0；可知h (x )在()0,x ∞-内单调递增；在()0,x t 内单调递减，可知h (x )的最大值()()()0max 0h x h x h t '=>=，且()()2110e t t h -+-=<，可知h (x )存在小于t 的零点，所以当1t >时，直线l 与曲线y =f (x )相交于点()(),s f s ，其中s t <，得证.【点睛】方法点睛：两招破解不等式的恒成立问题（1）分离参数法第一步：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的最值；第三步：根据要求得所求范围．（2）函数思想法第一步：将不等式转化为含待求参数的函数的最值问题；第二步：利用导数求该函数的极值；第三步：构建不等式求解．19. 蝴蝶定理因其美妙的构图，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代数学名家蜂拥而证，正所谓花若芬芳蜂蝶自来．如图，已知圆M 的方程为222()x y b r +-=，直线x my =与圆M 交于()11,C x y ，()22,D x y ，直线x ny =与圆M 交于()33,E x y ，()44,F x y ．原点O 在圆M 内．设CF 交x 轴于点P ，ED 交x 轴于点Q ．（1）当0b =，r =，12m =-，2n =时，分别求线段OP 和OQ 的长度；（2）①求证：34121234y y y y y y y y ++=．②猜想|OP |和|OQ |的大小关系，并证明．【答案】（1）53OP OQ == （2）①证明见解析；②猜测OP OQ =，证明见解析.【解析】【分析】（1）联立直线与圆的方程，可求,,,C D E F 各点的坐标，利用直线的两点式方程，可得直线CF 和ED 的方程，并求它们与x 轴的交点坐标，可得问题答案.（2）①联立直线与圆的方程，求出两根之和与两根之积，找到相等代换量，从而证明成立.②分别求出点P 和点Q 的横坐标表达式，结合①中的结论，从而证明成立.【小问1详解】当0b =，r =，12m =-，2n =时，圆M ：225x y +=，直线CD ：12x y =-，由22512x y x y ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩⇒12x y =⎧⎨=-⎩或12x y =-⎧⎨=⎩，故()1,2C -，()1,2D -；直线EF ：2x y =，由2252x y x y⎧+=⎨=⎩⇒21x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=-⎩，故()2,1E ，()2,1F --.所以直线CF :122112y x ++=+-+，令0y =得53x =-，即5,03P ⎛⎫- ⎪⎝⎭；直线ED :122112y x --=---，令0y =得53x =，即5,03Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭.所以：53OP OQ ==.【小问2详解】①由题意：22b r <.由()222x y b r x my ⎧+-=⎪⎨=⎪⎩⇒()()222my y b r +-=⇒()2222120m y by b r +-+-=，则1y ，2y 是该方程的两个解，由韦达定理得：12222122211b y y m b r y y m ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩，所以1222122y y b y y b r +=⋅-.同理可得：3422342y y b y y b r +=⋅-，所以34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅.②猜测OP OQ =，证明如下：设点(),0P p ，(),0Q q .因为,,C P F 三点共线，所以：414100y y x p x p --=--⇒411414x y x y p y y -=-，又因为点C 在直线x my =上，所以11x my =；点F 在直线x ny =上，所以44x ny =.所以()1441141414y y n m ny y my y p y y y y --==--；同理因为,,E Q D 三点共线，可得：()2323y y n m q y y -=-.由①可知：34121234y y y y y y y y ++=⋅⋅⇒12341111y y y y +=+⇒14321111y y y y -=-⇒23411423y y y y y y y y --=⋅⋅⇒231414230y y y y y y y y ⋅⋅+=--， 所以()()14231423y y n m y y n m p q y y y y --+=+--()23141423y y y y n m y y y y ⎛⎫=-+ ⎪--⎝⎭0=.即p q =-，所以OP OQ =成立.【点睛】关键点点睛：本题的关键是联立直线与圆的方程，结合一元二次方程根与系数的关系，进行化简处理，设计多个字母的运算，整个运算过程一定要小心、仔细.。

辽宁省实验中学东戴河校区 2019～2020学年上学期高一年级10月份月考数学试卷 命题人：张岩 校对人：许正保说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（2）页，第Ⅱ卷第（3）页至第（4）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一选择题（每小题5分）1．已知集合{}0,2A =， {}2,1,0,1,2B =--，则A B ⋂=( ) A ．{}0,2 B ．{}1,2 C ．{}0 D ．{}2,1,0,1,2-- 2．已知集合{}220A x x x =-->，则C A =R ( ) A ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|12x x x x <-⋃> D ．}{}{|1|2x x x x ≤-⋃≥3．用反证法证明命题“已知,*∈a b N ，如果ab 可被5整除，那么,a b 中至少有一个能被5整除”时，假设的内容应为（ ） A.,a b 都能被5整除B.,a b 都不能被5整除C.,a b 不都能被5整除D.不能被5整除4．已知集合{}|1A x x =≤，{}|B x x a =≥，且A B R =U ，则实数a 的取值范围是（ ） A.1a ≤ B. 1a < C. 1a > D. 1a ≥5集合26{|}A x x y x N y N -∈∈＝＝＋，，的,真子集的个数为（ ） A.9B.8C.7D.66．设x R ∈，则“250x x -<”是“|1|1x -<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.已知集合，集合，则( )A.B.C. D.8．若011<<b a ，则下列不等式：①ab b a <+；②||||b a >；③b a <；④2>+baa b 中，正确的不等式是（ ）A ．①④B ．②③C ．①②D ．③④9．手机屏幕面积与整机面积的比值叫手机的“屏占比”，它是手机外观设计中一个重要参数，其值通常在（0，1）间，设计师将某手机的屏幕面积和整机面积同时增加相同的数量，升级为一款新手机的外观，则该手机“屏占比”和升级前比有什么变化？( ) A ．“屏占比”不变 B ．“屏占比”变小 C ．“屏占比”变大D ．变化不确定10.下列选项正确的个数为（ ）31),4(),(①==x AB B x A ，则且已知数轴上，②已知{}{}{}22(,)5(,)1(1,2),(2,1)x y x y x y y x +=⋂=+=--.③命题“()20,10x x x ∀∈-<，” 的否定形式为“()20,10x x x ∃∉-≥，” .④已知多项式3225x x x k --+有一个因式为()21x +，则2k =-. A ． 1个B ．2个C ．3个D ． 4个11．已知集合的元素个数为()*3n n N∈个且元素为正整数，将集合分成元素个数相同且两两没有公共元素的三个集合,,A B C ，即P A B C =⋃⋃，A B φ⋂=，A C φ⋂=，B C φ⋂=，其中{}12,,,n A a a a =⋯，{}12,,n B b b b =⋯，{}12,,...n C c c c =，若集合,,A B C 中的元素满足12,n c c c <<⋅⋅⋅<，k k k a b c +=，1,2,,k n =⋅⋅⋅，则称集合为“完美集合”例如: “完美集合”{}11,2,3,p =此时{}{}{}1,2,3A B C ===．若集合{}21,,3,4,5,6p x =，为“完美集合”,则不可能为( )A ． 7B ．11C ．13D ．912．若命题“22,421x R ax x a x ∀∈++≥-+”是假命题，则实数的取值范围是( ) A ．() ,2-∞ B ．(],2-∞ C ．[)2,2- D ．() ,2-∞-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二填空题（每小题5分）13．学校运动会上，某班有10人参加了篮球比赛，有12人参加排球比赛，两项都参加的有4人，则该班参加比赛的学生人数是 人.14.求(12)y x x =-的最大值 .15．对于x R ∈，不等式233x x --≥的解集为 .16.已知,,a b c 均为实数，且0,16a b c abc ++==，求正数c 的最小值 . 三解答题（共70分）17．（10分）求关于x 的方程2210ax x ++=至少有一个负根的充要条件.18．（12分）设集合222{|320}{|150}A x x x B x x a x a =-+==+-+-=，（）． （1）若{}2A B ⋂=，求实数的值； （2）若A B A ⋃=，求实数的取值范围．19（12分）（1）设a b 0≥>，证明：3322a b a b ab +≥+；（2）已知实数,a b 满足13a b ≤+≤，11a b -≤-≤，求42a b +的取值范围。

辽宁省实验中学东戴河校区 2019～2020学年上学期高二年级10月份月考数学试卷命题人：刘畅 校对人：徐孟竹说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（4）页，第Ⅱ卷第（4）页至第（8）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一．选择题 1．数列16，13，12，23，……的一个通项公式为( ) A ．1nB ．6n C ．3n D ．4n 2、在等差数列{}n a 中，已知12a =，3510a a +=，则7a =（ ） A ．5B ．6C ．7D ．83、若两直线1l ，2l 的倾斜角分别为1α，2α，则下列四个命题中正确的是( ) A.若21αα<，则两直线的斜率：21k k < B.若21αα=，则两直线的斜率：21k k = C.若两直线的斜率：21k k <，则21αα< D.若两直线的斜率：21k k =，则21αα=4．设{}n a 是首项为1a ，公差为-2的等差数列，n s 为其前n 项和，若1s ,2s ,4s 成等比数列，则1a =( ) A ．8 B ．-8 C ．1D ．-15．等差数列{}n a 中，已知611a a =，且公差0d >，则其前项和取最小值时的的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8D ．96．已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前项和为n S ，若46S =，818S =，则16S =( ) A ．48 B ．54 C ．72 D ．90 7．设等差数列{}n a 的前项和为n S ，若144a a +=，258a a +=，则20192019S =（ ） A ．2016B ．2017C ．2018D ．20198.下面四个判断中，正确的是( )A ．式子21()n k k k n *++++∈N L ，当1n =时为1B ．式子211()n k k k n -*++++∈N L ，当1n =时为1k +C ．式子1111()12321n n *++++∈-N L ，当2=n 时为111123++ D ．设111()()1231f n n n n n *=++∈+++N ，则111(1)()323334f k f k k k k +=++++++ 9．已知正项数列 {}n a 中，()22212111,2,22n n n a a a a a n +-===+≥,则6a =( )A ．16B ．C ．D ．4510. 已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=L ，且25252(3)nn a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++=L ( )A. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -11．等比数列{}n a 中12a =，公比2q =-，记12n n a a a ∏=⨯⨯⨯L （即n ∏表示数列{}n a 的前n 项之积），则891011,,,∏∏∏∏中值最大的是( )A ．8∏B ．9∏C ．10∏D ．11∏12．已知数列{}n a 的前项和为n S ，且满足2111,0,441n n n a a a S n +=>=++，若不等式2483(5)2n n n n m a -+<-⋅对任意的正整数恒成立，则整数的最大值为( )A ．3B ．4C ．5D ．6第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题13、直线013=++y x 的倾斜角的大小是 ．14、经过点(-3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 ． 15、已知点）（2,2-A ，）（4,2B ，若直线1+=kx y 与线段AB （包含端点B A ，）有公共点，则实数k的取值范围是 ．16.如果函数()f x 满足：对于任意的等比数列{}n a ，{()}n f a 仍是等比数列，则称函数()f x 为“保等比数列函数”．在下列函数中，所有“保等比数列函数”的序号为 ．①()2f x x =； ②()1f x x =+； ③2()f x x =； ④()2xf x =； ⑤()ln ||f x x =．三、解答题17.已知等比数列{}n a 中，432230a a a -+=，且164a =，公比1q ≠．(1)求n a ；(2)设2log n n b a =，求数列{}n b 的前项和n T ．18.(1)若直线经过两点(),2A m ， 3,212B m m ⎛⎫-⎪⎝⎭，且倾斜角为ο45，求的值. (2)若()1,2A ， ()3,2B t -， ()7,C t 三点共线，求实数的值.(3)若直线过点），（3-2A 且倾斜角为直线03-=y x 的倾斜角的2倍，求直线方程.19．已知直线l 过点P(3，2)，且与轴的正半轴、轴的正半轴分别交于A 、B 两点，求AOB ∆面积最小时直线l 的方程．20.数列}{n a 满足11=a ，)21(1n n n a a a +=+（*N n ∈）． (1)求证：数列1{}na 是等差数列； (2)若+++L 3221a a a a 331613221>++++n n a a a a a a Λ，求正整数的最小值．21.已知数列{a n }的首项为a 1=1,其前n 项和为S n ,且数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是公差为2的等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)na n ,求数列{b n }的前n 项和T n .22.已知数列n a 的前项和为n S ，且 )(22+∈-=N n a S n n (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)若数列{}n b 满足12)1(1212121133221+-+-+++-+=+n n n n b b bb a Λ，求数列{}n b 的通项公式； (3)在（2）的条件下，设n nn b c λ+=2，问是否存在实数λ使得数列{}n c 是单调递增数列？若存在，求出λ的取值范围；若不存在，请说明理由.高二数学月考答案一.选择题二．填空题:13.π6514. 034,01=+=-+y x y x 14. 15.),23[]21--+∞⋃∞，（ 16.1和3 三．解答题17．（1）由题设可知，32111230a q a q a q -+=，又10a ≠，0q ≠，故22310q q -+=，解得112q q ==或者， 又由题设1q ≠，所以12q =，从而17164()22n nn a --=⋅=． （2）722log log 27nn n b a n -===-，2)13(--=n n T n 18.（1）2 （2）5 （3）01843=--y x 19.01232=-+y x20.解：（I ）由已知可得：1112n na a +=+所以数列}1{n a 是等差数列，首项111=a ，公差2d = ∴12)1(111-=-+=n d n a a n ∴121-=n a n （II ）∵)121121(21)12)(12(11+--=+-=+n n n n a a n n∴)12112151313111(2113221+--++-+-=++++n n a a a a a a n n ΛΛ 11(1)22121n n n =-=++ ∴162133n n >+ 解得16n > , ∴=1721.(1)∵数列是公差为2的等差数列,且=a1=1,∴=1+(n-1)×2=2n-1.∴S n=2n2-n.∴当n≥2时,a n=S n-S n-1=2n2-n-[2(n-1)2-(n-1)]=4n-3.∵a1符合a n=4n-3,∴a n=4n-3.(2)由(1)可得b n=(-1)n a n=(-1)n·(4n-3).当n为偶数时,T n=(-1+5)+(-9+13)+…+[-(4n-7)+(4n-3)]=4×=2n;当n为奇数时,n+1为偶数,T n=T n+1-b n+1=2 (n+1)-(4n+1)=-2n+1.综上所述,T n=22.⑴ 由得两式相减,得所以由又得所以数列为等比数列，且首项为，公比，所以．⑵ 由⑴ 知由得故即当时,所以⑶ 因为所以当时,依据题意,有即①当为大于或等于的偶数时,有恒成立．又随增大而增大,则当且仅当时,故的取值范围为②当为大于或等于的奇数时,有恒成立,且仅当时,故的取值范围为又当时,由得综上可得,所求的取值范围是。

- 1 -辽宁省实验中学东戴河校区2019～2020学年上学期高三年级10月份月考数学试卷(理科)命题人：韩雪峰 校对人：董佳说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）页至第（2）页，第Ⅱ卷第（3）页至第（4）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若复数2(1iz i i=-是虚数单位），则z 的共轭复数z = （ ） A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --2．已知集合{}1,2,3,4,5A =，且A B A =I ，则集合B 可以是- 2 -（ ）A ．{}21xxB ．{}21x xC ．{}2log 1x xD ．{}1,2,33．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为51-时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为 ( )A.(35)π-B.51)πC.51)πD.52)π4．设{}n a 是由正数组成的等比数列，且5681a a ＝，那么3132310log a log a log a ⋯＋＋＋的值是 ( ). A ．30B ．20C ．10D ．55．在ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A-⋅⋅=-⋅⋅，则ABC △的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰三角形或直角三角形- 3 -6．将函数sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象的一个对称中心为 （ ）A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．,02π⎛⎫ ⎪⎝⎭7．已知定义域为[]4,22a a --的奇函数()32020sin 2f x x x b =-++，则()()f a f b +的值为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．不能确定8．黄金分割比是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值为512，约为0.618，这一比值也可以表示为a ＝2cos 224a a ︒-＝ （ ）A.2B.1C.12D.149．给定两个长度为1的平面向量OA u u u r 和OB uuu r，它们的夹角为90︒，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+u u u r u u u r u u u r，其中, x y R ∈，则35x y +的最大值为 （ ） 34 B.537D.610．已知{}n a 是公差d 不为零的等差数列，其前n 项和为n S ，若348,,a a a 成等比数列，则 ( )A ．140,0a d dS >>B ．140,0a d dS <<C ．140,0a d dS ><D ．140,0a d dS <>- 4 -11．已知函数()y f x =，对任意的,22x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭满足()()cos sin 0f x x f x x '+>，其中()f x '是函数()f x 的导函数，则下列不等式成立的是 （ ）A 234f ππ⎛⎫⎛⎫->- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B 234f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C 234f ππ⎛⎫⎛⎫-<- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D 234f ππ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12．已知函数()()211e ,ln 2x f x g x x -==+，若()()f m g n =，则m n -的最大值是 （ ）A.ln 212+- B.12e C.ln(2e)2e -12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．已知()()321233f x x mx m x =++++在R 上不是．．单调增函数，那么实数m 的取值范围是____．14．若关于x 的不等式112log (42)0x x λ++⋅<在0x >时恒成立，则实数λ的取值范围- 5 -是___________15．设单调函数()y p x =的定义域为，值域为，如果单调函数()y q x =使得函数(())y p q x =的值域也是，则称函数()y q x =是函数()y p x =的一个“保值域函数”．已知定义域为[],a b 的函数2()3h x x =-，函数()f x 与()g x 互为反函数，且()h x 是()f x 的一个“保值域函数”，()g x 是()h x 的一个“保值域函数”，则b a -=__________．16．若关于x 的方程20x ax b ++=（,a b ∈R ）在区间[]13，有实根，则22(2)a b +-最小值是____．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分10分）已知0a >，设p ：实数x 满足22430x ax a -+<， q ：实数满足31x -<． （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围．18. （本小题满分12分）- 6 -已知函数()cos sin 3f x x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭()233cos 1R 4x x -+-∈. （1）求()f x 的最小正周期；（2）求()f x 在区间,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值，并分别写出相应的x 的值.19. （本小题满分12分）已知函数2'()(4)(),,(1)0.f x x x a a R f =--∈-=且 （1）讨论函数()f x 的单调性；（2）求函数()f x 在[]2,2-上的最大值和最小值．20.（本小题满分12分）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边()()3a b c a b c ab +++-=. （1）求角C 的值；（2）若2c =，且ABC ∆为锐角三角形，求2a b -的范围.- 7 -21．（本小题满分12分）已知向量2(3,1),(,)a x b x y =-=-r r ，（其中实数x 和y 不同时为零），当2x <时，有a b ⊥r r ，当2x ³时，//a b r r ． （1）求函数式()y f x =；（2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若对[)(,2]2,x ∀∈-∞-⋃+∞，都有230mx x m +-≥，求实数m 的取值范围．22. （本小题满分12分）已知函数()22ln .f x a x x =-()1讨论函数()f x 的单调性；()2当0a >时，求函数()f x 在区间()21,e 上的零点个数.- 8 -辽宁省实验中学东戴河校区2019～2020学年上学期高三年级10月份月考1-5 DAABD 6-10 BACAB 11-12 CA13.（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） 14.3λ≥- 15. 1 16. 92 17【解析】（1）由 得，当时，，即为真时，实数的取值范围是.由，得，即为真时，实数的取值范围是. 因为为真，所以真且真，所以实数的取值范围是；（2）由得， 所以，为真时实数的取值范围是. 因为是的必要不充分条件，所以且所以实数的取值范围为：.18【答案】解：（1）()23cos sin 3cos 13f x x x x π⎛⎫=++- ⎪⎝⎭2133cos sin 3cos 12x x x x ⎛⎫=++- ⎪ ⎪⎝⎭， 2133sin cos 12x x x =--，- 9 -131cos23sin214224x x +=-⋅+-， 13sin2cos214x x =--， 1sin 2123x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭， 所以()f x 的最小正周期为22T ππ==. （2）∵,44x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴52,366x πππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，当236x ππ-=，即4x π=时， ()max 1131224f x =⨯-=-； 当232x ππ-=-，即12x π=-时， ()()min 131122f x =⨯--=-. 19(1) 函数),.,解得.则 .,令，解得.由得或，此时函数单调递增，由得，此时函数单调递减，即函数的单调递增区间为，单调递减区间为.（2）当时，函数与的变化如下表：- 10 -单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增由表格可知：当时，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值，，又，可知函数的最大值为，最小值为.20解：（1）由题意知()()3a b c a b c ab +++-=，∴222a b c ab +-=，由余弦定理可知，222cos 122a b c C ab +-==，又∵(0,)C π∈，∴3C π=.（2）由正弦定理可知，243sin sin 3sin 3a b A Bπ===， 即443,333a Ab B ==， ∴8423333a b A B -=84233sin()333A A π=-8332cos 33A A A =-- 63312cos 4(cos )4sin()26A A A A A π=-=-=-，- 11 -又∵ABC ∆为锐角三角形，∴022032A B A πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<=-<⎪⎩，则62A ππ<<即0A 63ππ<-<， 所以，30sin()62A π<-< 即04sin(-)236A π<<，综上2a b -的取值范围为(0,23).21【解析】（（1）当2x <时，由a b ⊥r r 得2(3)0a b x x y ⋅=--=r r ，33y x x =-；（2x <且0x ≠）， 当2x ³时，由//a b r r . 得23xy x =--， ∴323,(22,0)(){.(2,2)3x x x x y f x x x x x --<<≠==≥≤--，（2）当2x <且0x ≠时，由2'330y x =-<，解得(1,0)(0,1)x ∈-⋃，， 当2x ³时，222222(3)(2)3'0(3)(3)x x x x y x x ---+==>--，∴函数()f x 的单调减区间为()1,0-和()0,1；（3）对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞U ，- 12 - 都有230mx x m +-≥即2(3)m x x -≥-， 也就是23xm x ≥-，对(,2]x ∀∈-∞-[2,)+∞U 恒成立，由（2）知当2x ³时，222222(3)(2)3'()0(3)(3)x x x x f x x x ---+==>--∴函数()f x 在(,2]-∞-和[2,+)∞都单调递增， 又2(2)234f --==-，2(2)234f ==--，当2x -≤时2()03xf x x =>-，∴当(,2]x ∈-∞-时，0()2f x <≤同理可得，当2x ≥时，有2()0f x -≤<，综上所述得，对(,2]x ∈-∞-[2,)+∞U ，()f x 取得最大值2；∴实数m 的取值范围为2m ≥.22【解析】解：（1）Q ()22ln f x a x x =-，∴ ()()22a x f x x ='-，Q 0x >当0a ≤时，()()220a x f x x -'=<，- 13 - 当0a >时，()()(222xa x a a x f x x x--=='， 当0x a <<()0f x '>；当x a >()0f x '<∴当0a ≤时，()f x 在()0,+∞上单调递减；当0a >时，()f x 在(a 上单调递增，在),a +∞上单调递减.（2）由（1）得()(()max ln 1f x f a a a ==-，当()ln 10a a -<，即0a e <<时，函数()f x 在()21,e 内有无零点；当()ln 10a a -=，即a e =时，函数()f x 在()0,+∞a ， 又21a e e <=<，所以函数()f x 在()21,e 内有一个零点；当()ln 10a a ->，即a e >时，由于()110f =-<，(()ln 10f a a a =->，()()()()2244222ln 422f e a e e a e a e a e =-=-=， 若220a e <，即44e e a <<时，()20f e <，由函数单调性知(1x a ∃∈使得()10f x =，()22,e x a ∃∈使得()20f x =,故此时函数()f x 在()21,e 内有两个零点； 若220a e ≥22e a e ≥>()20f e ≥，- 14 - 且2ln 0f e a e e a e ==->，()110f =-<，由函数的单调性可知()f x 在(e 内有唯一的零点，在)2,e e 内没有零点，从而()f x 在()21,e 内只有一个零点综上所述，当()0,a e ∈时，函数()f x 在()21,e 内有无零点；当{}4,4e a e ⎡⎫∈⋃+∞⎪⎢⎣⎭时，函数()f x 在()21,e 内有一个零点； 当4,4e a e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，函数()f x 在()21,e 内有两个零点．。

- 1 -辽宁省实验中学东戴河分校2019-2020学年高三数学上学期期初摸底考试试题 文说明：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第（1）至第（2）页，第Ⅱ卷第（2）页至第（6）页。

2、本试卷共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题，共60分）注意事项：1、答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、班级填涂在答题卡上，贴好条形码。

答题卡不要折叠2、每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的题目标号涂黑。

答在试卷上无效。

3、考试结束后，监考人员将试卷答题卡收回。

一、选择题（每题5分，共计60125=⨯分）1．已知两个非空集合}032{2<--=x x x A ，}2{≤=x x B ，则A B ⋂（ ）A ． )3,0(B ． )3,0[C ． )4,1(D ．]4,1(2．已知复数()3biz b R i-=∈的实部和虚部相等，则z = A ．2 B ．3 C ．22．323．用反证法证明命题“已知x R ∈，21a x =+，22b x =+，则a ,b 中至多有一个不小于0”时，假设正确的是（ ）A ．假设a ,b 都不大于0B ．假设a ,b 至多有一个大于0- 2 -C ．假设a ,b 都小于0D ．假设a ,b 都不小于04．在极坐标系中，点π3,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭与π3,6B ⎛⎫- ⎪⎝⎭之间的距离为 A ．3B ．6C ．33D ．325．给出下列四种说法：① 若平面βα//，直线βα⊂⊂b a ,，则b a //； ② 若直线b a //，直线α//a ，直线β//b ，则βα//； ③ 若平面βα//，直线α⊂a ，则β//a ；④ 若直线α//a ，β//a ，则βα//. 其中正确说法的个数为 ( ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个6．由命题“存在R x ∈，使01≤--m e x ”是假命题，得的取值范围是),(a -∞，则实数的值是（ ）A ．2B ．eC ．1D ．e1 7．已知函数23(2)2x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点(1,(1))f 处切线的斜率为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．2D ．﹣28．2018年科学家在研究皮肤细胞时发现了一种特殊的凸多面体, 称之为“扭曲棱柱”. 对于空间中的凸多面体, 数学家欧拉发现了它的顶点数, 棱数与面数存在一定的数量关系凸多面体 顶点数 棱数 面数- 3 -三棱柱 6 9 5四棱柱 8 12 6五棱锥 6 10 6六棱锥 7 12 7个顶点，8个面的扭曲棱柱的棱数是（ ） A ．14 B ．16 C ．18 D ．209．已知3ln 3a =1b e -=，3ln 28c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b a c >> B ．a c b >> C ．a b c >> D ．b c a >>10．已知函数()y f x =的定义域为()(),11,-∞⋃+∞，且(1)f x +为奇函数，当1x <时，2()2f x x x =--，则1()2f x =的所有根之和等于（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．1211．已知函数()22211315x x f x x x x ，，⎧+-<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()102f x kx -=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(22064225⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，B ．(11032225⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，， C ．(](01322⋃--，， D ．(](02642⋃--，，- 4 -12.已知函数)0(42)2(ln )(>+--+=a a x a x x f ，若有且只有两个整数21,x x 使得0)(1>x f ，且0)(2>x f ，则实数a 的取值范围为（ ）A. B.C.D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（每题5分，共计2045=⨯分）13．已知函数()f x 对于任意实数x 满足条件1(2)()f x f x +=-，若1(0)2f =，则(2018)f =___________．14．已知三棱锥P ABC -的三条侧棱两两互相垂直，且13AB =，23BC =，7AC =，则此三棱锥外接球的表面积为___________．15．设是边长为的正内的一点，点到三边的距离分别为，则；类比到空间，设是棱长为的空间正四面体内的一点，则点到四个面的距离之和=___________．16．一边长为2的正方形纸板，在纸板的四角截去四个边长均为x 的小正方形，然后做成一个无盖方盒.方盒的容积的最大值为_____________ .三、解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（1）复数22231064a az a a ia+-=--+>-，求实数a及z.（2）证明不等式：2222a b a b++≥，其中0a>，0b>.18．如图，在多面体ABCDEF中，平面ADEF⊥平面ABCD，四边形ADEF为正方形，四边形ABCD为梯形，且//AD BC，90BAD∠=︒，12AB AD BC==．（Ⅰ）求证：//AD平面BCEF；（Ⅱ）求证：BD⊥平面CDE；（Ⅲ）在线段BD上是否存在点M，使得//CE平面AMF？若存在，求出BMDM的值；若不存在，请说明理由.- 5 -- 6 -19．海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ），其频率分布直方图如下：（1）网箱产量不低于40kg 为“理想网箱”，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99.9%的把握认为“理想网箱”的数目与养殖方法有关：箱产量40kg <箱产量40kg ≥合计旧养殖法新养殖法合计元，该水产品的市场价格为x 元/()15kg x ≥，根据箱产量的频率分布直方图（说明：同一组中的数据用该组区间的中间值作代表），采用哪种养殖法，请给养殖户一个较好的建议，并说明理由．附参考公式及参考数据：- 7 -()20P K k ≥0.050 0.010 0.0010k 3.841 6.635 10.828()()()()()20n ad bc k a b c d a c b d -=++++20．设函数()y f x =是定义在R 上的函数，并且满足下面三个条件：①对任意正数,x y ，都有()()()f xy f x f y =+；②当1x >时， ()0f x <；③()31f =-.（1）求()1f ， 19f ⎛⎫ ⎪⎝⎭的值；（2）证明()f x 在()0,+∞上是减函数；（3）如果不等式()()22f x f x +-<成立，求x 的取值范围.21．已知函数()()21ln ,2f x x xg x mx ==． （1）若函数()f x 与()g x 的图象上存在关于原点对称的点，求实数m 的取值范围；- 8 -（2）设()()()F x f x g x =-，已知()F x 在()0,∞+上存在两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：2122x x e >（其中e 为自然对数的底数）．请考生在第22、23题中任选一题作答，注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过点(1,0)A -，其倾斜角是α.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，与直角坐标系xOy 取相同的长度单位建立极坐标系，设曲线C 的极坐标方程是26cos 5ρρθ=-.（1）若直线l 和曲线C 有交点，求α的取值范围；（2）设,B x y （）为曲线C 3x y +的取值范围.23．已知,a b 均为实数，且3410a b += .（Ⅰ）求22a b +的最小值；（Ⅱ）若2232x x a b +--≤+对任意的,a b ∈R 恒成立，求实数x 的取值范围.高三摸底考试数学（文)参考答案一、选择题1-12 BDDDD CACAA AB二、填空题13．2- 14．16π 15．错误!未找到引用源。

高三数学月考试题 理时间：120分钟．总分：150分第 Ⅰ 卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．设全集为R ，集合2{|90},{|15}A x x B x x =-<=-<≤，则()R AC B = （ ）A.(3,0)-B.()3,1--C.(]3,1--D.()3,3- 2．设x R ∈，则“12x >”是“2210x x +->”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．212(1)ii +=- （ ） A ．112i --B ．112i -+C ．112i +D ．112i - 4．已知2α=，则点P (sin ,tan )αα所在的象限是 ( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限5．设32log 31=a ，31log 21=b ，3.021⎪⎭⎫⎝⎛=c ,则 （ ）A.a b c >>B.c a b >>C.a c b >>D.c b a >>6．函数f(x)＋cos2x （ ） A ．在,36ππ⎛⎫-- ⎪⎝⎭单调递减 B ．在,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 C ．在,06π⎛⎫-⎪⎝⎭单调递减 D ．在0,6π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 7. 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球（每球取到的机会均等），取出后放回箱中，连续取三次．设事件A =“第一次取到的球和第二次取到的球颜色不相同”，事件B =“三次取到的球颜色都不相同”，则P(B |A)= （ ）A.16 B.13 C.23D.1 8．定义在R 上的函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，f(x －2)＝f(x ＋2)，且x ∈(－1,0)时，f(x)＝2x＋15，则f(log 220)的值为 ( ) A ．1 B.45 C ．－1 D ．－459．若函数b bx x x f 33)(3+-=在（0，1）内有极小值，则 ( ) A ．b ＜1 B ．0＜b ＜1 C ．b ＞0 D ．b ＜2110. 曲线2y x=与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为 （ ） A.42ln 2- B.2ln 2- C.4ln 2- D.2ln 2 11. 已知函数()sin()(0)3f x x πωω=->，若函数()f x 在区间3(,)2ππ上为单调递减函数，则实数ω的取值范围是 （ ） A ．211[,]39B ．511[,]69C ．23[,]34D ．25[,]3612．已知函数()y f x =对任意的x ∈R 满足2'()2()ln 20xxf x f x ->（其中'()f x 是函数()f x 的导函数），则下列不等式成立的是 （ ） A ．2(2)(1)f f -<- B ．2(1)(2)f f > C ．4(2)(0)f f -> D ．2(0)(1)f f >第 Ⅱ 卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共计20分。

2020-2021学年辽宁省实验中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题（本大题共10小题，共50.0分）1. 集合A ={x|y =√2x −1}，B ={x|x 2−5x −6<0}，则∁R (A ∩B)=( )A. {x|x <2或x >3}B. {x|x ≤2或x ≥3}C. {x|x <12或x ≥6}D. {x|x ≤12或x >6}2. 下列命题正确的是( )A. 若a <b ，则ac 2<bc 2B. 若a >b ，则1a <1b C. 若a >b ，c >d ，则ac >bdD. 若1ab 2<1a 2b ，则a <b3. 已知q ：∀x ∈[−2,3)，x 2<9，则￢q 为( )A. ∃x ∈[−2,3)，x 2<9B. ∃x ∉[−2,3)，x 2<9C. ∃x ∈[−2,3)，x 2≥9D. ∃x ∉[−2,3)，x 2≥94. 已知函数f(x)={(13)x ,x ≥3f(x +1),x <3，则f(2+log 32)的值为( )A. −227B. 154C. 227D. −545. 函数y =f(x +1)为偶函数且满足f(x)+f(−x)=0，x ∈[0,1]时，f(x)=x 3，则f(985)=( )A. 1B. −1C. 9853D. −98536. 甲、乙、丙三位同学被调查是否去过A 、B 、C 三个城市，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为( )A. AB. BC. CD. A 和B7. 已知函数f(x)=ln(e x +1)−12x ，下列选项正确的是( )A. 奇函数，在(−1,1)上有零点B. 奇函数，在(−1,1)上无零点C. 偶函数，在(−1,1)上有零点D. 偶函数，在(−1,1)上无零点8. 如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈(1丈=10尺)，现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高为( )尺．A. 5.45B. 4.55C. 4.2D. 5.89.下列命题正确的是()A. x+1x≥2恒成立B. √a2+4+1√a2+4的最小值为2C. m，n都是正数时，(m+1m )(n+1n)最小值为4D. a>0，b>0是b3a +3ab≥2的充要条件10.函数y=lncosx(−π2<x<π2)的图象是()A. B.C. D.二、多选题（本大题共2小题，共10.0分）11.为了了解市民对各种垃圾进行分类的情况，加强垃圾分类宣传的针对性，指导市民尽快掌握垃圾分类的方法，某市垃圾处理厂连续8周对有害垃圾错误分类情况进行了调查.经整理绘制了有害垃圾错误分类重量累积统计图，图中横轴表示时间(单位：周)，纵轴表示有害垃圾错误分类的累积重量(单位：吨).根据图形分析，下列结论正确的是()A. 第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量加速增长B. 第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量匀速增长C. 第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周增长了30%D. 第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨12.已知当x>0时，f(x)=−2x2+4x，x≤0时，y=f(x+2)，以下结论正确的是()A. f(x)在区间[−6,−4]上是增函数B. f(−2)+f(−2021)=2C. 函数y=f(x)周期函数，且最小正周期为2<k<4−2√2或k=2√2−4D. 若方程f(x)=kx+1恰有3个实根，则12三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.命题“∃x∈R，2x2−3ax+9<0”为假命题，则实数a的取值范围为______．14.函数f(x)=x2sinx−2，则f(2021)+f(−2021)=______ ．15.有一支队伍长L米，以一定的速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令赶赴排头，到达排头后立即返回，且往返速度不变，如果传令兵回到排尾后，整个队伍正好前进了L米，则传令兵所走的路程为______ ．16.若集合A1，A2满足A1∪A2=A，则称(A1,A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1=A2时，(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一种分拆，则集合A={−1,0，2}的不同分拆种数是______ ．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）+a,x>−1}．17.已知集合A={x|y=log2(4−2x)+1}，B={y|y=x+1x+1(1)求集合A和集合B；(2)若“x∈∁R B”是“x∈A”的必要不充分条件，求a的取值范围．18.已知函数f(x)=2(m+1)x2+4mx+2m−1．(Ⅰ)若m=0，求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值；(Ⅱ)若关于x的方程f(x)在[0,1]上有一个零点，求实数m的取值范围．19.已知函数f(x)为偶函数，x≥0时，f(x)=x2+4x．(1)求f(x)解析式；(2)若f(2a)<f(1−a)，求a的取值范围．20.新冠肺炎疫情造成医用防护服短缺，某地政府决定为防护服生产企业A公司扩大生产提供x(x∈[0,10])(万元)的专项补贴，并以每套80元的价格收购其生产的全部防)(万护服．A公司在收到政府x(万元)补贴后，防护服产量将增加到t=k⋅(6−12x+4件)，其中k为工厂工人的复工率(k∈[0.5,1]).A公司生产t万件防护服还需投入成本(20+9x+50t)(万元)．(1)将A公司生产防护服的利润y(万元)表示为补贴x(万元)的函数(政府补贴x万元计入公司收入)；(2)在复工率为k时，政府补贴多少万元才能使A公司的防护服利润达到最大？(3)对任意的x∈[0,10](万元)，当复工率k达到多少时，A公司才能不产生亏损？(精确到0.01)．21.已知函数f(x)=−x|x−2a|+1(x∈R)．(1)当a=1时，求函数y=f(x)的零点；)，求函数y=f(x)在x∈[1,2]上的最大值．(2)当a∈(0,3222.若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|≤k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“k−利普希兹条件函数”﹒(1)举例说明函数f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”；(2)若函数f(x)=√x(1≤x≤4)是“k−利普希兹条件函数”，求常数k的最小值；(3)若存在常数k(k>0)，使得对定义域D内的任意x1，x2(x1≠x2)，都有|f(x1)−f(x2)|>k|x1−x2|成立，则称函数f(x)在其定义域D上是“非k−利普希兹条件函数”.若函数f(x)=log2(2x−a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合A={x|y=√2x−1}={x|x≥12}，B={x|x2−5x−6<0}={x|−1< x<6}，所以A∩B={x|12≤x<6}，则∁R(A∩B)={x|x<12或x≥6}．故选：C．先求出集合A，B，然后利用集合交集与补集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集定义的运用，涉及了函数定义域的求解以及一元二次不等式的解法，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：对于A，若c=0，则ac2=bc2，故A错误；对于B，若a>0>b，则1a >1b，故B错误；对于C，若a>b，c>d，取a=2，b=1，c=−1，d=−2，此时ac=bd，故C错误；对于D，若1ab2<1a2b，则a2b2>0，所以a2b2⋅1ab2<a2b2⋅1a2b，即a<b，故D正确．故选：D．由不等式的性质逐一判断即可．本题主要考查不等式的基本性质，考查逻辑推理能力，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：命题q：∀x∈[−2,3)，x2<9，则￢q：∃x∈[−2,3)，x2≥9．故选：C．根据全称命题的否定是存在量词命题，写出对应的命题即可．本题考查了全称命题的否定是存在量词命题应用问题，是基础题．4.【答案】B【解析】解：∵2+log 31<2+log 32<2+log 33，即2<2+log 32<3 ∴f(2+log 32)=f(2+log 32+1)=f(3+log 32) 又3<3+log 32<4∴f(3+log 32)=(13)3+log 32=(13)3×(13)log 32=127×(3−1)log 32=127×3−log 32=127×3log 312=127×12=154∴f(2+log 32)=154故选B先确定2+log 32的范围，从而确定f(2+log 32)的值本题考查指数运算和对数运算，要求能熟练应用指数运算法则和对数运算法则．属简单题5.【答案】A【解析】解：根据题意，函数y =f(x +1)为偶函数，则f(x)的图象关于直线x =1对称，则有f(−x)=f(x +2)，又由f(x)满足f(x)+f(−x)=0，即f(−x)=f(x +2)， 则有f(x +2)=−f(x)，综合可得：f(x +4)=−f(x +2)=f(x)，f(x)是周期为4的函数， 则f(985)=f(1+4×246)=f(1)=1， 故选：A ．根据题意，分析可得f(x +4)=f(x)，则f(x)是周期为4的函数，据此可得f(985)=f(1)，结合函数的解析式计算可得答案．本题考查函数的奇偶性的性质以及应用，涉及函数的周期性，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由乙说：我没去过C 城市，则乙可能去过A 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市，则乙只能是去过A ，B 中的任一个， 再由丙说：我们三人去过同一城市， 则由此可判断乙去过的城市为A ． 故选：A ．可先由乙推出，可能去过A 城市或B 城市，再由甲推出只能是A ，B 中的一个，再由丙即可推出结论．本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．7.【答案】D【解析】解：根据题意，函数f(x)=ln(e x +1)−12x =ln(√e x+1√ex)，其定义域为R ，有f(−x)=ln(√e x+1√ex)=f(x)，即函数f(x)为偶函数，设t =√e x+1√ex ，在区间[0,1)上，t =√e x+1√ex>2且是增函数，而y =lnt ，在(2,+∞)上为增函数，则f(x)在区间[0,1)上为增函数，又由f(0)=ln2>0，则在区间[0,1)上，f(x)≥f(0)>0恒成立，故f(x)在区间[0,1)上没有零点，又由f(x)为偶函数，则f(x)在(−1,1)上无零点； 故选：D ．根据题意，先分析函数的奇偶性，再设t =√e x+1√ex，则y =lnt ，利用复合函数的单调性判断方法可得f(x)在区间[0,1)上为减函数，求出f(1)的值，分析可得区间[0,1)上没有零点，结合函数的奇偶性分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及函数零点的判断，属于基础题、8.【答案】B【解析】解：如图，已知AC +AB =10(尺)，BC =3(尺)，AB 2−AC 2=BC 2=9，所以(AB +AC)(AB −AC)=9，解得AB −AC =0.9， 因此{AB +AC =10AB −AC =0.9，解得{AB =5.45AC =4.55，故折断后的竹干高为4.55尺，故选：B．由题意可得AC+AB=10(尺)，BC=3(尺)，运用勾股定理和解方程可得AB，AC，即可得到所求值．本题考查三角形的勾股定理的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：x+1x≥2恒成立，不成立，因为x可以小于0，所以A不正确；√a2+4√a2+4的最小值大于2，所以B不正确；m，n都是正数时，(m+1m )(n+1n)≥2√m⋅1m⋅2⋅√n⋅1n=4，当且仅当m=n=1，表达式取得最小值为4，所以C正确；a>0，b>0是b3a +3ab≥2的充分不必要条件，所以D不正确；故选：C．利用基本不等式，判断选项的正误即可．本题考查命题的真假的判断与应用，基本不等式的应用，是基础题．10.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查复合函数的图象识别．属于基础题．利用函数y=lncosx(−π2<x<π2)的奇偶性可排除一些选项，利用函数值与0的关系可排除一些选项．从而得以解决．【解答】解：∵cos(−x)=cosx，∴y=lncosx(−π2<x<π2)是偶函数，可排除B、D，由cosx≤1⇒lncosx≤0排除C，故选：A．11.【答案】ABD【解析】对于A ，第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量明显增多，是加速增长，故A 正确；对于B ，第3周和第4周有害垃圾错误分类的重量图象是线段，是匀速增长，故B 正确； 对于C ，第5周和第6周有害垃圾错误分类的重量相对第3周和第4周是减少，故C 错误；对于D ，第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量增长0.6吨， 第1周和第2周有害垃圾错误分类的重量增长2.4吨，∴第7周和第8周有害垃圾错误分类的重量相对第1周和第2周减少了1.8吨，故D 正确． 故选：ABD ．由分段函数图象，能够读出各段上y 对于x 变化状态，由此能求出结果．本题考查命题真假的判断，考查折线图等基础知识，考查运算求解能力、数据分析能力等数学核心素养，是基础题．12.【答案】BD【解析】解：x ≤0时，y =f(x +2)，∴f(x)在x ≤0时的图象以2为周期进行循环，如下图所示，由图象可知，f(x)在区间[−6,−4]上先增后减，所以A 错误； f(−2)+f(−2021)=f(0)+f(1)=0+2=2，所以B 正确；当x >0时，f(x)=−2x 2+4x ，f(3)≠f(1)，所以y =f(x)不是以2为周期的周期函数，所以C 错误；y =kx +1恒过(0,1)，由图象可知，直线与f(x)交点只可能在x ∈(−2,0)或x ∈(0,+∞)处取到，x ∈(−2,0)时，f(x)=−2x 2−4x ，∴{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0，即y =−k 和g(x)={2x +1x +4,−2<x <02x +1x−4,x >0交点个数为3，画出g(x)图象，如下图所示，x ∈(−2,0)时，g(x)最大值为4−2√2，g(−2)=−12，x ∈(0,2)时，g(x)最小值为2√2−4， ∴y =−k 和y =g(x)要有3个交点，满足−k =4−2√2或2√2−4<−k <−12， 解得12<k <4−2√2或k =2√2−4，所以D 正确． 故选：BD ．画出图象，即可判断A ；由x >0时，f(x)=−2x 2+4x ，x ≤0时，y =f(x +2)，即可判断BC ；参变分离得{−k =2x +1x +4,−2<x <0−k =2x +1x −4,x >0，即可判断D ． 本题考查了函数的图象与性质，函数零点问题，D 选项较难下手，属于难题．13.【答案】[−2√2,2√2]【解析】解：原命题的否定为“∀x ∈R ，2x 2−3ax +9≥0”，且为真命题， 则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立， 只需△=9a 2−4×2×9≤0，解得：−2√2≤a ≤2√2． 故答案为：[−2√2,2√2]根据题意，原命题的否定“∀x ∈R ，2x 2−3ax +9≥0”为真命题，也就是常见的“恒成立”问题，只需△≤0．存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．14.【答案】−4【解析】解：根据题意，函数f(x)=x2sinx−2，则f(−x)=−x2sinx−2，则f(x)+f(−x)=−4，则有f(2021)+f(−2021)=−4，故答案为：−4．根据题意，求出f(−x)的解析式，分析可得f(x)+f(−x)=−4，据此分析可得答案．本题考查函数值的计算，涉及函数奇偶性的性质以及应用，属于基础题．15.【答案】(√2+1)L．【解析】解：设传令兵的速度为V1，队伍的速度为V2，传令兵从队尾到队头的时间为t1，从队头到队尾的时间为t2，队伍前进用时间为t．由传令兵往返总时间与队伍运动时间相等可得如下方程：t=t1+t2，即：LV2=LV1−V2+LV1+V2整理上式得：V12−2V1V2−V22=0解得：V1=(√2+1)V2；将上式等号两边同乘总时间t，即V1t=(√2+1)v2tV1t即为传令兵走过的路程S1，V2t即为队伍前进距离S2，则有S1=(√2+1)S2=(√2+1)L．故答案为：(√2+1)L．以队伍为参照物，可求传令兵从队尾往队头的速度，从队头往队尾的速度，利用速度公式求传令兵从队尾到队头的时间t1，传令兵从队头到队尾的时间为t2，队伍前进100用的时间t，而t=t1+t2，据此列方程求出V1、V2的关系，进而求出在t时间内通讯员行走的路程．本题考查路程的计算，关键是计算向前的距离和向后的距离，难点是知道向前的时候人和队伍前进方向相同，向后的时候人和队伍前进方向相反，解决此类问题常常用到相对运动的知识．16.【答案】27【解析】解：因为集合A中有三个元素，当A1=⌀时，必须A2=A，分拆种数为1；当A1有一个元素时，分拆种数为C31⋅2=6；当A1有2个元素时，分拆种数为C32⋅22=12；当A1=A时，分拆种数为C33⋅23=8．所以总的不同分拆种数为1+6+12+8=27种．故答案为：27．由题意中的定义，分A1=⌀，A1有一个元素，A1有2个元素，A1=A四种情况，分别求出分拆种数，即可得到答案．本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可，属于中档题．17.【答案】解：(1)集合A={x|y=log2(4−2x)+1}={x|4−2x>0}={x|x<2}，B={y|y=x+1x+1+a,x>−1}={x|x+1+1x+1+a−1≥2√(x+1)⋅1x+1+a−1=a+1}={x|x≥a+1}．(2)∵集合A={x|x<2}，B={x|x≥a+1}．∴∁U B={x|x<a+1}，∵“x∈∁R B”是“x∈A“的必要不充分条件，∴x<2⇒x<a+1，∴a+1>2，解得a>1．∴a的取值范围是(1,+∞)．【解析】(1)利用对数函数的定义域能求出集合A，利用均值定理能求出集合B．(2)推导出x<2⇒x<a+1，由此能求出a的取值范围．本题考查集合、实数的取值范围的求法，对数函数的定义域、均值定理、必要不充分条件等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.【答案】解：(1)当m =0时，f(x)=2x 2−1，可知函数f(x)图象在[−3,0]上单调递减，∴f(x)min =f(0)=−1，f(x)max =f(−3)=17；(2)由f(0)=0得m =12.由f(1)=0得m =−18≠12，∴m =12或−18成立； 由f(0)f(1)<0得(2m −1)(8m +1)<0，解得：−18<m <12； 综上：满足条件的m 的取值范围是：[−18,12].【解析】(1)结合函数f(x)图象可求f(x)在[−3,0]上的最大值和最小值； (2)根据f(0)f(1)<0，再验证f(0)=0及f(1)=0，可求得m 范围． 本题考查二次函数图象性质，考查数学运算能力，属于中档题．19.【答案】解：(1)根据题意，设x <0，则−x >0，则有f(−x)=x 2−4x ，又由f(x)为偶函数，则f(x)=f(−x)=x 2−4x ， 则f(x)={x 2+4x,x ≥0x 2−4x,x <0；(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|)，由(1)知函数f(x)在[0,+∞)上是增函数，∴|2a|<|1−a|，得(2a)2<(1−a)2，解得：a ∈(−1,13).【解析】(1)令x >0，则−x <0，再根据函数为偶函数可求得解析式；(2)由函数f(x)为偶函数可知f(2a)<f(1−a)⇔f(|2a|)<f(|1−a|)，可求得a 的取值范围．本题考查函数奇偶性的性质以及应用、函数解析式求法、考查数学运算能力及数学抽象能力，属于中档题．20.【答案】解：(1)y =x +80t −(20+9x +50t)=30t −20−8x =30k ⋅(6−12x+4)−20−8x =180k −360k x+4−8x −20，x ∈[0,10]；(2)y=180k−360kx+4−8x−20=180k+12−8[(x+4)+45kx+4]，因为x∈[0,10]，所以4≤x+4≤14，则(x+4)+45kx+4≥6√5√k，当且仅当x+4=45kx+4，即x=3√5√k−4时取“=”，因为k∈[0.5,1]，则3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4，即有3√5√k−4∈[0,10]，所以y≤180k+12−48√5√k，即当政府补贴为3√5√k−4万元才能使A公司的防护服利润达到最大，最大为180k+ 12−48√5√k；(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，则180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，即180k≥(8x+20)(x+4)x+2，记m=x+2，则m∈[2,12]，此时(8x+20)(x+4)x+2=(8m+4)(m+2)m=8m2+20m+8m=8m+8m+20，由于函数f(m)=8m+8m+20在[2,12]单调递增，所以当m∈[2,12]时，f max(m)=f(12)=11623，∴k≥1162 3180≈0.65即k≥0.65，即当工厂工人的复工率达到0.65时，对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损．【解析】(1)利用已知条件列出函数的解析式，写出定义域即可．(2)由y的解析式得到y=180k+12−8[(x+4)+45kx+4]，根据x的范围得到(x+4)+45k x+4≥6√5√k，结合k的范围可得3√102−4≤3√5√k−4≤3√5−4，即可求得答案(3)若对任意的x∈[0,10]，公司都不产生亏损，得到180k−360kx+4−8x−20≥0在x∈[0,10]恒成立，利用换元法，结合函数的单调性求解函数的最值即可得到结果．本题考查实际问题的处理方法，函数的单调性以及函数的解析式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)当a=1时，令−x|x−2|+1=0．当x≥2时，−x(x−2)+1=0，解得：x=1+√2；当x<2时，−x(x−2)+1=0，解得：x=1．故函数零点为：1+√2和1；(2)f(x)={−x 2+2ax +1,x ≥2ax 2−2ax +!,x <2a ，其中f(0)=f(2a)=1，于是最大值在f(1)，f(2)，f(2a)中取．得0<2a ≤1，即0<a ≤12时，f(x)在[1,2]上单调递减．∴f(x)max =f(1)=2a ； 当a <1<2a <2，即12<a <1时，f(x)在[1,2a]上单调递增，在[2a,2]上单调递减，故f(x)max =f(2a)=1；当1≤a <2<2a ，即1≤a <2时，f(x)在[1,a]上单调递减，在[a,2]上单调递增，故f(x)max =max{f(1),f(2)}，∵f(1)−f(2)2a −3<0，故f(x)max =f(2)=5−4a ．综上：f(x)max={2a,0<a ≤12,1,12<a <1,5−4a,1≤a <32．．【解析】(1)求函数零点转化为解方程可解决此问题； (2)根据a 讨论函数图象，根据图象特点可求函数最大值． 本题考查函数零点与最值，考查数学运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)f(x)=log 2x 的定义域为(0,+∞)，令x 1=12,x 2=14，则f(12)−f(14)=log 212−log 214=−1−(−2)=1， 而2|x 1−x 2|=12，∴f(x 1)−f(x 2)>2|x 1−x 2|，∴函数f(x)=log 2x 不是“2−利普希兹条件函数”；(2)若函数f(x)=√x(1≤x ≤4)是“k −利普希兹条件函数”，则对于定义域[1,4]上任意两个x 1，x 2(x 1≠x 2)，均有|f(x 1)−f(x 2)|≤k|x 1−x 2|成立，不妨设x 1>x 2，则k ≥√x 1−√x 2x 1−x2=√x +√x 恒成立，∵1≤x 2<x 1≤4， ∴14<√x +√x <12，∴k 的最小值为12；(3)∵|f(x 1)−f(x 2)|>k|x 1−x 2|，f(x)=log 2(2x −a)为[1,2]上的“非1−利普希兹条件函数”，∴设x 1>x 2，则|log 2(2x 1−a)−log 2(2x 2−a)|>|x 1−x 2|，∵2x1−a>0,2x2−a>0，且2x1−a2x2−a>1，∴2x1−a2x2−a >2x1−x2=2x12x2，∴2x1+x2−a⋅2x2>2x1+x2−a⋅2x1，∴a⋅2x1>a⋅2x2，∵x1>x2，∴a>0，∵2x−a>0，∴a<2x，∵x∈[1,2]，∴a<2，综上，实数a的取值范围为(0,2)．【解析】(1)令x1=12,x2=14，即可说明f(x)=log2x不是“2−利普希兹条件函数”；(2)依题意，k≥√x1−√x2x1−x2=√x+√x恒成立，而14<√x+√x<12，由此可得k的最小值；(3)由题意可得，a⋅2x1>a⋅2x2，结合x1>x2，可得a>0，由2x−a>0，x∈[1,2]，可得a<2，综合即得答案．本题以新定义为背景，考查函数性质的运用，考查不等式的恒成立问题，考查分离变量法以及运算求解能力，属于中档题．。

辽宁省实验中学2024届高三第二次月考数学试卷命题人：高三数学备课组校对人：高三数学备课组第I卷(选择题共60分)一、选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1.复数z=2−i2+i,则在复平面内，复数z对应的点Z在( )A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.设命题p:∃x>0,eˣ+x−2≤0,则命题¬p为( )A.∀x≤0,eˣ+x−2>0B.∀x>0,eˣ+x−2>0C.∃x≤0,eˣ+x−2>0D.∃x>0,eˣ+x−2>03.“α+β=π”是“sinα=sinβ”成立的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要4. 随着科学技术的发展，放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域，并取得了显著经济效益. 假设某放射性同位素的衰变过程中，其含量N(单位：贝克)与时间t(单位：天)满足函数关系P(t)=P02t30,其中P₀为初始时该放射性同位素的含量. 已知t＝15时，该放射性同位素的瞬时变化率为−3√2ln210,则该放射性同位素含量为4.５贝克时衰变所需时间为 ( )天天天天5. 同一坐标系中，二次函数y=ax²+bx与指数函数y=(ba )x的图象只可能是 ( )6. 为了得到y=2sin(2x−π3)的图像只需把函数y=√2(cos2x+sin2x)的图像（）A.向右平移7π12B.向左平移7π12C.向右平移7π24D.向左平移7π247. 下列关于平面向量的说法错误的是( )A.b⃗≠0⃗,且(a⋅b⃗)c=a (c⋅b⃗),则a与b⃗一定共线B.b⃗≠0⃗ ,且a⋅b⃗=c⋅b⃗, 则(a−c)⊥b⃗C.b⃗≠0⃗,且a⋅b⃗=c⋅b⃗,| a|>|c|>0,则(a⋅b⃗) > (c⋅b⃗)D.b⃗≠0⃗ ,且a//b⃗, c//b⃗,则a//c8. 已知函数f(x), g(x)的定义域均为R,且f(x)+g(2x)=6, g(x)f(x4)=4,若g(x)的图像关于x=·2对称，g(2) =3，则∑k=118f(k)=（）二、选择题(本题共4小题，每题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得５分，部分选对得２分，有选错的得零分)9.已知函数 f (x )=Asin (ωx +)(|φ|<π2)的图像如右图所示，则 ( )A.f (0)=3√32 B. f(x)的最小正周期为π C.φ=π6 D.φ=π310. 已知钝角三角形ABC ，A 、B 为两锐角，则下列说法正确的是( )A. sinA<cosBB. sinA+sin B<sinCC. tanA + tanB + tanC<0D. tanAtanB<111. 已知 11ᵗ=12,a =12ᵗ−13,b =10ᵗ−11,则下列说法正确的有( )A. a<0B. b<0C. a>bD. b>a12.函数 f (x )=e⁻ᵃˣlnx(a >0),则下列说法错误．．的有 ( ) A.函数有唯一零点B. 函数的极大值小于1C.∀x 1,x 2∈(0,+∞),x 1≠x 2,f (x 1+x 22)≥f (x 1)+f (x 2)2D. ∀x₀, x₀∈(0,+∞),x₀≠. x 2,f (x 1+x 22)<f (x 1)+f (x 2)2三、填空题：(本题共4小题，每题5分，共20分)13.cos π7cos 2π7cos 4π7=14.a =(2,1),b ⃗ =(m ,−2), 若a 与b⃗ 的夹角为钝角，则m 的取值范围是 . 15．Ｐ为边长为１的正八边形ABCDEFGH 内部及边界上的一点，则 AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为 .16.已知(a²+2abb²=1,则a²+b²的最小值为 .四、解答题(本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(满分10分)已知 α∈(0,π),sinα+cosα=√62,且 cosα<sinα. (1) 求角α的大小.(2)x ∈R, 求函数 f (x )=sinx +2sin 2(x 2+α)的值域，18．（满分１２分）如图所示，在ΔABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，边 a =√19, a b =sin B+c 2sinB ,点M 在线段AC 上，满足BM=BA.(1) 求角A 的值;(2) 若2BM =3MC, 求 BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC⃗⃗⃗⃗⃗ 的值. 19.(满分12分)某种项目的射击比赛规则是 开始时在距离目标６0米处射击，如果命中记４分，同时停止射击；若第一次射击未命中目标，可以进行第二次射击，但目标已在 90 米远处，这时命中记 3 分，同时停止射击；若第二次射击仍未命中目标，还可以进行第三次射击，此时目标已在120 米远处，这时命中记 2 分，同时停止射击；若三次都未命中，则记１分.已知甲射手在 60米处击中目标的概率为12, 他命中目标的概率与距离的平方成反比，且各次射击都是独立的.(１)求射手甲分别在90米和120米处命中的概率；(２)求射手甲进行射击比赛中命中目标的概率；(3) 设ξ为射手甲进行射击比赛的得分，求Eξ.20.(满分 12分)王先生今年初向银行申请个人住房贷款80万元购买住房，按复利计算，并从贷款后的次月初开始还贷，分１０年还清.银行给王先生提供了两种还贷方式：①等额本金：在还款期内把本金总额等分，每月偿还同等数额的本金和剩余本金在该月所产生的利息；②等额本息：在还款期内，每月偿还同等数额的贷款(包括本金和利息).(1)若王先生采取等额本金的还贷方式，已知第一个还贷月应还12000元，最后一个还贷月应还5000元，试计算王先生该笔贷款的总利息；(2)若王先生采取等额本息的还贷方式，贷款月利率为％，银行规定每月还贷额不得超过家庭月收入的一半，已知王先生家庭月收入为17000元，试判断王先生该笔贷款能否获批(不考虑其他因素).参考数据1.003119≈1.428, 1.003120≈1.433, 1.003¹²¹≈1.43721.(满分 12分)设点P(t,0)(t≠0)是函数f(x)=x³+ax与g(x) =bx²+c 的图象的一个公共点，两函数的图象在点P处有相同的切线。