新课标-最新冀教版八年级数学上学期线段的垂直平分线课后作业及答案解析-精编试题

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.2线段的垂直平分线》同步达标训练（附答案）1．如图，锐角三角形ABC中，直线L为BC的中垂线，直线M为∠ABC的角平分线，L 与M相交于P点．若∠A＝60°，∠ACP＝24°，则∠ABP的度数为何？（）A．24°B．30°C．32°D．36°2．如图，△ABC中，∠C＝90°，ED垂直平分AB，若AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，则BE的长为（）A．5B．10C．12D．133．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，则CE的长为（）A．B．C．D．24．如图在△ABC中，BC＝8，AB、AC的垂直平分线与BC分别交于E、F两点，则△AEF 的周长为（）A．2B．4C．8D．不能确定5．已知：如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点G、D，若△AGC 的周长为31cm，AB＝20cm，则△ABC的周长为（）A．31cm B．41cm C．51cm D．61cm6．如图，△ABC中，∠A＝70°，点O是AB、AC垂直平分线的交点，则∠BCO的度数是（）A．40°B．30°C．20°D．10°7．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝6cm，AB＝8cm，则△EBC的周长为（）A．14cm B．18cm C．20cm D．22cm8．如图，在△ABC中，AB、AC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠BAC等于82°，则∠OBC等于（）A．8°B．9°C．10°D．11°9．如图，已知AD是△ABC的角平分线，AD的中垂线交AB于点F，交BC的延长线于点E．以下四个结论：（1）∠EAD＝∠EDA；（2）DF∥AC；（3）∠FDE＝90°；（4）∠B ＝∠CAE．恒成立的结论有（）A．（1）（2）B．（2）（3）（4）C．（1）（2）（4）D．（1）（2）（3）（4）10．在△ABC中，∠ABC＝45°，AD，BE分别为BC、AC边上的高，AD、BE相交于点F，下列结论：①∠FCD＝45°，②AE＝EC，③S△ABF：S△AFC＝BD：CD，④若BF＝2EC，则△FDC周长等于AB的长．正确的是（）A．①②B．①③C．①④D．①③④11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，分别交BC，AC于点D，E，连接AD，若△ABD的周长C△ABD＝16cm，AB＝5cm，则线段BC的长度等于（）A．8cm B．9 cm C．10 cm D．11 cm12．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，AB的垂直平分线DE的延长线于点E，则DE的长为（）A．B．C．D．13．如图地面上有三个洞口A、B、C，老鼠可以从任意一个洞口跑出，猫为能同时最省力地顾及到三个洞口（到A、B、C三个点的距离相等），尽快抓到老鼠，应该蹲守在（）A．△ABC三边垂直平分线的交点B．△ABC三条角平分线的交点C．△ABC三条高所在直线的交点D．△ABC三条中线的交点14．如图，在△ABC中，AB边的中垂线DE，分别与AB边和AC边交于点D和点E，BC 边的中垂线FG，分别与BC边和AC边交于点F和点G，又△BEG周长为16，且GE＝1，则AC的长为（）A．13B．14C．15D．1615．如图所示，在△ABC中，内角∠BAC与外角∠CBE的平分线相交于点P，BE＝BC，PB 与CE交于点H，PG∥AD交BC于F，交AB于G，连接CP．下列结论：①∠ACB＝2∠APB；②S△P AC：S△P AB＝AC：AB；③BP垂直平分CE；④∠PCF＝∠CPF．其中，正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个16．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC 于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝．17．如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝45°，AB的垂直平分线交BC于点D，AC的垂直平分线交BC于点E，则∠DAE＝．18．如图，线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，若∠1＝39°，则∠AOC＝．19．如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠C＝90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AD的垂直平分线交AB于点F，则△DEF的面积为．20．如图，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF．若∠A＝60°，∠ACF＝48°，则∠ABC的度数为．21．如图，△ABC中，BC的垂直平分线DP与∠BAC的角平分线相交于点D，垂足为点P，若∠BAC＝85°，则∠BDC＝．22．如图，已知AE＝BE，DE是AB的垂直平分线，BF＝12，CF＝3，则AC＝．23．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝120°，求∠DAE的度数．24．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．25．已知△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于F．求证：∠BAF＝∠ACF．26．如图，在△ABC中，∠A＝60°，点D是BC边的中点，DE⊥BC，∠ABC的角平分线BF交DE于△ABC内一点P，连接PC．（1）若∠ACP＝24°，求∠ABP的度数；（2）若∠ACP＝m°，∠ABP＝n°，请直接写出m，n满足的关系式．参考答案1．解：∵直线M为∠ABC的角平分线，∴∠ABP＝∠CBP．∵直线L为BC的中垂线，∴BP＝CP，∴∠CBP＝∠BCP，∴∠ABP＝∠CBP＝∠BCP，在△ABC中，3∠ABP+∠A+∠ACP＝180°，即3∠ABP+60°+24°＝180°，解得∠ABP＝32°．故选：C．2．解：∵ED垂直平分AB，∴BE＝AE，∵AC＝12，EC＝5，且△ACE的周长为30，∴12+5+AE＝30，∴AE＝13，∴BE＝AE＝13，故选：D．3．解：∵∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，根据勾股定理得：AB＝5，而AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点E，∴∠BDE＝90°，∠B＝∠B，∴△ACB∽△EDB，∴BC：BD＝AB：（BC+CE），又∵BC＝3，AC＝4，AB＝5，∴3：2.5＝5：（3+CE），从而得到CE＝．解法二：连接AE．∵DE垂直平分线段AB，∴AE＝BE，设AE＝BE＝x，则EC＝x﹣3，在Rt△ACE中，∵AE2＝AC2+EC2，∴x2＝42+（x﹣3）2，解得x＝，∴EC＝﹣3＝．故选：B．4．解：∵AB的中垂线交BC于E，AC的中垂线交BC于F，∴EA＝EB，F A＝FC，则△AEF的周长＝AE+EF+AF＝BE+EF+FC＝BC＝8，故选：C．5．解：∵DG是AB的垂直平分线，∴GA＝GB，∵△AGC的周长为31cm，∴AG+GC+AC＝BC+AC＝31cm，又AB＝20cm，∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝51cm，故选：C．6．解：连接OA、OB，∵∠BAC＝70°，∴∠ABC+∠ACB＝110°，∵O是AB，AC垂直平分线的交点，∴OA＝OB，OA＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OCA＝∠OAC，OB＝OC，∴∠OBA+∠OCA＝70°，∴∠OBC+∠OCB＝110°﹣70°＝40°，∵OB＝OC，∴∠BCO＝∠CBO＝20°，故选：C．7．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，∴AE＝CE，∴CE+BE＝AB＝8cm．∵BC＝6cm，∴△EBC的周长＝BC+CE+BE＝BC+AB＝6+8＝14（cm）．故选：A．8．解：连接OA，∵∠BAC＝82°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣82°＝98°，∵AB、AC的垂直平分线交于点O，∴OB＝OA，OC＝OA，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∴∠OBC+∠OCB＝98°﹣（∠OBA+∠OCA）＝16°，∴∠OBC＝8°，故选：A．9．解：（1）∵EF是AD的垂直平分线，∴EA＝ED，F A＝FD，又∵EF＝EF，∴△AEF≌△DEF（SSS），∴∠AEF＝∠DEF，又∵AD⊥EF，∴∠EAD＝∠EDA；（2）∵EF是AD的垂直平分线，∴F A＝FD，∴∠FDA＝∠F AD，∵AD平分∠BAC，∴∠F AD＝∠CAD，∴∠FDA＝∠CAD，∴DF∥AC；（3）∵FD与BE不一定互相垂直，∴∠FDE＝90°不成立；（4）由（1）（2）得：∠EAD＝∠EDA，∠F AD＝∠CAD，又∵∠EDA＝∠B+∠F AD，∠EAD＝∠CAD+∠CAE，∴∠B＝∠CAE．故选：C．10．解：∵△ABC中，AD，BE分别为BC、AC边上的高，∴AD⊥BC，而△ABF和△ACF有一条公共边，∴S△ABF：S△AFC＝BD：CD，∴③正确；∵∠ABC＝45°，∴AD＝BD，∠DAC和∠FBD都是∠ACD的余角，而∠ADB＝∠ADC＝90°，∴△BDF≌△ADC，∴FD＝CD，∴∠FCD＝∠CFD＝45°，∴①正确；若AE＝EC，BE⊥AC，可得AB＝BC，与题意不符合，故②错误．若BF＝2EC，根据①得BF＝AC，∴AC＝2EC，即E为AC的中点，∴BE为线段AC的垂直平分线，∴AF＝CF，BA＝BC，∴AB＝BD+CD＝AD+CD＝AF+DF+CD＝CF+DF+CD，即△FDC周长等于AB的长，∴④正确．故选：D．11．解：∵AC的垂直平分线分别交BC、AC于点D、E，∴AD＝DC，∴△ABD的周长为AB+AD+BD＝AB+DC+BD＝AB+BC，∵C△ABD＝16cm，AB＝5cm，∴BC＝11cm，故选：D．12．解：设CE＝x，连接AE．∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AE＝BE＝BC+CE＝3+x，∴在Rt△ACE中，AE2＝AC2+CE2，即（3+x）2＝42+x2，解得x＝．在Rt△ABC中，AB＝＝5，∴BD＝AD＝，在Rt△BDE中，DE＝＝，故选：B．13．解：∵三角形三边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，∴猫应该蹲守在△ABC三边垂直平分线的交点处．故选：A．14．解：∵DE是线段AB的中垂线，GF是线段BC的中垂线，∴EB＝EA，GB＝GC，∵△BEG周长为16，∴EB+GB+EG＝16，∴EA+GC+EG＝16，∴GA+EG+EG+EG+EC＝16，∴AC+2EG＝16，∵EG＝1，∴AC＝14，故选：B．15．解：∵P A平分∠CAB，PB平分∠CBE，∴∠P AB＝∠CAB，∠PBE＝∠CBE，∵∠CBE＝∠CAB+∠ACB，∠PBE＝∠P AB+∠APB，∴∠ACB＝2∠APB；故①正确；过P作PM⊥AB于M，PN⊥AC于N，PS⊥BC于S，∴PM＝PN＝PS，∴PC平分∠BCD，∵S△P AC：S△P AB＝（AC•PN）：（AB•PM）＝AC：AB；故②正确；∵BE＝BC，BP平分∠CBE∴BP垂直平分CE（三线合一），故③正确；∵PG∥AD，∴∠FPC＝∠DCP∵PC平分∠DCB，∴∠DCP＝∠PCF，∴∠PCF＝∠CPF，故④正确．故选：D．16．解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，∵D是AB的中点，DE⊥AB，∴DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，∴∠ACE＝∠ECG，又∵EF⊥AC，EG⊥BC，∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，∵CF⊥EF，CG⊥EG，∴CF＝CG，在Rt△AEF和Rt△BEG中，，∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），∴AF＝BG，设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，∴12﹣x＝8+x，解得x＝2，∴AF＝12﹣2＝10．故答案为：10．17．解：∵点D、E分别是AB、AC边的垂直平分线与BC的交点，∴AD＝BD，AE＝CE，∴∠B＝∠BAD，∠C＝∠CAE，∵∠B＝40°，∠C＝45°，∴∠B+∠C＝85°，∠BAC＝95°，∴∠BAD+∠CAE＝85°，∴∠DAE＝∠BAC﹣（∠BAD+∠CAE）＝95°﹣85°＝10°，故答案为：10°18．解：解法一：连接BO，并延长BO到P，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，∴∠DOE+∠ABC＝180°，∵∠DOE+∠1＝180°，∴∠ABC＝∠1＝39°，∵OA＝OB＝OC，∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；解法二：连接OB，∵线段AB、BC的垂直平分线l1、l2相交于点O，∴AO＝OB＝OC，∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，∴∠AOD+∠COE＝141°，∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；故答案为：78°．19．解：∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠CAD＝∠EAD，DE＝CD，AE＝AC＝2，∵AD的垂直平分线交AB于点F，∴AF＝DF，∴∠ADF＝∠EAD，∴∠ADF＝∠CAD，∴AC∥DE，∴∠BDE＝∠C＝90°，∴△BDF、△BED是等腰直角三角形，设DE＝x，则EF＝BE＝x，BD＝DF＝2﹣x，在Rt△BED中，DE2+BE2＝BD2，∴x2+x2＝（2﹣x）2，解得x1＝﹣2﹣2（负值舍去），x2＝﹣2+2，∴△DEF的面积为（﹣2+2）×（﹣2+2）÷2＝6﹣4．故答案为：6﹣4．20．解：∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠ABD，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝120°，∵∠ACF＝48°，∵BC的中垂线交BC于点E，∴BF＝CF，∴∠FCB＝∠FBC，∴∠ABC＝2∠FCE，∴3∠FCE＝120°﹣48°＝72°，∴∠FCE＝24°，∴∠ABC＝48°，故答案为：48°21．解：如图，过点D作DE⊥AB，交AB延长线于点E，DF⊥AC于F，∵AD是∠BOC的平分线，∴DE＝DF，∵DP是BC的垂直平分线，∴BD＝CD，在Rt△DEB和Rt△DFC中，，∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）．∴∠BDE＝∠CDF，∴∠BDC＝∠EDF，∵∠DEB＝∠DFC＝90°，∴∠EAF+∠EDF＝180°，∵∠BAC＝85°，∴∠BDC＝∠EDF＝95°，故答案为：95°．22．解：∵DE是AB的垂直平分线，∴AF＝BF∴AC＝AF+CF＝BF+CF＝12+3＝15．23．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝6cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝16cm，∴OA＝0B＝OC＝5cm；（3）∵∠BAC＝120°，∴∠ABC+∠ACB＝60°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝60°．24．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠BDE＝90°，在Rt△BDE和Rt△BCE中，，∴Rt△BDE≌Rt△BCE，∴ED＝EC，∵ED＝EC，BD＝BC，∴BE垂直平分CD．25．证明：∵AD是∠BAC的平分线，∴∠1＝∠2，∵FE是AD的垂直平分线，∴F A＝FD（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），∴∠F AD＝∠FDA（等边对等角），∵∠BAF＝∠F AD+∠1，∠ACF＝∠FDA+∠2，∴∠BAF＝∠ACF．26．解：（1）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP，∵∠A＝60°，∠ACP＝24°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣24°，∴3∠ABP＝120°﹣24°，∴∠ABP＝32°；（2）∵点D是BC边的中点，DE⊥BC，∴PB＝PC，∴∠PBC＝∠PCB，∵BP平分∠ABC，∴∠PBC＝∠ABP，∴∠PBC＝∠PCB＝∠ABP＝n°，∵∠A＝60°，∠ACP＝m°，∴∠PBC+∠PCB+∠ABP＝120°﹣m°，∴3∠ABP＝120°﹣m°，∴3n°+m°＝120°，故答案为：m+3n＝120．。

16.2线段的垂直平分线1．如图1，在△ABC 中，已知AC=27，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，△BCE 的周长等于50，求BC 的长．2．如图1，在△ABC 中， AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，若∠BEC=70°，则∠A=？3．如图3，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E 。

若BE=2，∠B =15° 求：AC 的长。

AEDCB图3ABCDE图2BCAED图14．如图4，在Rt △ABC 中，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ．若BE=2，∠B=22.5° 求：AC 的长．5．如图5，在△ABC 中，AB=AC ， BC=12，∠BAC =120°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ．（1）求△AEN 的周长． （2）求∠EAN 的度数． （3）判断△AEN 的形状．6．如图6，在△ABC 中，AB=AC ，BC=12，∠BAC =130°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ．（1）求△AEN 的周长． （2）求∠EAN 的度数． （3）判断△AEN 的形状．ABCD EMN图6ABCDE MN图5AEDCB图47．如图7，在△ABC 中， BC=12，∠BAC=100°，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ， AC 的垂直平分线交BC 边于点N ．（1）求△AEN 的周长． （2）求∠EAN 的度数．8．如图8，△ABC 中，∠BAC =70°， BC=12，AB 的垂直平分线交BC 边于点E ，AC 的垂直平分线交BC 边于点N ．求：∠EAN 的度数．图8C图7参考答案1．解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，由此△BCE的周长等于AC+BC，进而可以求得BC的长为23．点评：此题是△ABC中一边AB的垂直平分线AC相交;那么当AB的垂直平分线与BC 相交时，（如图2），对应的是△ACE的周长，它的周长也等于AC+BC．图形变化，但结论不变．2．解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，可得△ABE是等腰三角形，由“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”可得出∠BEC=2∠A，进而得出∠A=35°．点评：此题变式求角的计算方法，应用了两个定理．按照同样的方法，图2中也能得出相应的结论：∠AEC=2∠B．3．解析：由线段垂直平分线定理得出AE=BE，应用变式1的结论，可求得∠AEC =30°，再应用“直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半”性质，可出求AC=1．点评：此题为图形变式，由一般三角形变为直角三角形，上面我们总结的结论不变，然后再应用直角三角形的有关性质。

答卷时应注意事项１、拿到试卷，要认真仔细的先填好自己的考生信息。

２、拿到试卷不要提笔就写，先大致的浏览一遍，有多少大题，每个大题里有几个小题，有什么题型，哪些容易，哪些难，做到心里有底；３、审题，每个题目都要多读几遍，不仅要读大题，还要读小题，不放过每一个字，遇到暂时弄不懂题意的题目，手指点读，多读几遍题目，就能理解题意了；容易混乱的地方也应该多读几遍，比如从小到大，从左到右这样的题；４、每个题目做完了以后，把自己的手从试卷上完全移开，好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题；试卷第１页和第２页上下衔接的地方一定要注意，仔细看看有没有遗漏的小题；５、中途遇到真的解决不了的难题，注意安排好时间，先把后面会做的做完，再来重新读题，结合平时课堂上所学的知识，解答难题；一定要镇定，不能因此慌了手脚，影响下面的答题；６、卷面要清洁，字迹要清工整，非常重要；７、做完的试卷要检查，这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题，检查的时候，用手指点读题目，不要管自己的答案，重新分析题意，所有计算题重新计算，判断题重新判断，填空题重新填空，之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友，你们好!经过两个月的学习，你们一定有不小的收获吧，用你的自信和智慧，认真答题，相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的！2023--2024学年度人教版数学八年级上册期末复习核心考点三种题型精炼专题08 线段的垂直平分线性质问题一、选择题1. （2023长春）如图，用直尺和圆规作MAN Ð的角平分线，根据作图痕迹，下列结论不一定正确的是（ ）A. AD AE= B. AD DF = C. DF EF = D. AF D E^【答案】B 【解析】根据作图可得,AD AE DF EF ==，进而逐项分析判断即可求解．根据作图可得,AD AE DF EF ==，故A ，C 正确；∴,A F 在DE 的垂直平分线上，∴AF D E ^，故D 选项正确，而DF EF =不一定成立，故B 选项错误，故选：B ．【点睛】本题考查了作角平分线，垂直平分线的判定，熟练掌握基本作图是解题的关键．2.如图所示，底边BC 为2，顶角A 为120°的等腰△ABC 中，DE 垂直平分AB 于D ，则△ACE 的周长为（ ）A ．2+2B ．2+C ．4D ．3【答案】A 【解析】本题考查了线段垂直平分线性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质等知识点，主要考查运用性质进行推理的能力．过A作AF⊥BC于F，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，得到AB=AC=2，根据线段垂直平分线的性质得到BE=AE，即可得到结论．过A作AF⊥BC于F，∵AB=AC，∠A=120°，∴∠B=∠C=30°，∴AB=AC=2，∵DE垂直平分AB，∴BE=AE，∴AE+CE=BC=2，∴△ACE的周长=AC+AE+CE=AC+BC=2+23.如图，BD是△ABC 的角平分钱，AE⊥BD ，垂足为F. 若∠ABC=35°，∠C=50°，则∠CDE的度数为（）A．35°B．40°C．45°D．50°【答案】C【解析】本题考查角平分线的性质，因为BD平分∠ABC，AE⊥BD，所以△ABF≌△EBF,所以BD是线段AE的垂直平分线，所以AD=ED，所以∠BAD=∠BED=180°-35°-50°=95°,所以∠CDE=180°-∠C=95°-50°=45°,故选C.1. （2023湖北荆州）如图，60AOB Ð=°，点C 在OB 上，OC =P 为AOB Ð内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点P 到OA 的距离为___________．【答案】1【解析】首先利用垂直平分线的性质得到12OQ OC ==，利用角平分线，求出BOP Ð，再在POQ △中用勾股定理求出1PQ =，最后利用角平分线的性质求解即可．【详解】如图所示，由尺规作图痕迹可得，PQ 是OC 的垂直平分线，∴12OQ OC ==，∴1302BOP BOA Ð=Ð=°，设PQ x =，则2PO x =，∵222PQ OQ OP +=，∴()2222x x +=，∴1x =，由尺规作图痕迹可得，PO 是AOB Ð的平分线，∴点P 到OA 的距离等于点P 到OB 的距离，即PQ 的长度，∴点P 到OA 的距离为1．故答案为：1 ．【点睛】本题考查角平分线和垂直平分线的性质，勾股定理，数形结合思想是关键．2. （2023四川广元）如图，a b ∥，直线l 与直线a ，b 分别交于B ，A 两点，分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于点E ，F ，作直线EF ，分别交直线a ，b 于点C ，D ，连接AC ，若34CDA Ð=°，则CAB Ð的度数为 _____．【答案】56°##56度【解析】先判断EF 为线段AB 的垂直平分线，即可得CAB CBA Ð=Ð，ACD BCD Ð=Ð，再由a b ∥，可得34CDA BCD Ð=Ð=°，即有34ACD BCD Ð=Ð=°，利用三角形内角和定理可求CAB Ð的度数．【详解】由作图可知EF 为线段AB 的垂直平分线，∴AC BC =，∴CAB CBA Ð=Ð，ACD BCD Ð=Ð，∵a b ∥，∴34CDA BCD Ð=Ð=°，∴34ACD BCD Ð=Ð=°，∵180ACD BCD CAB CBA Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴56CAB Ð=°，故答案为：56°．【点睛】本题考查了垂直平分线的作图、垂直平分线的性质、平行线的性质以及三角形内角和定理等知识，判断EF 为线段AB 的垂直平分线是解答本题的关键．3.如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，AC的垂直平分线交AB于E，D为垂足，连接EC．（1）∠ECD的度数为 ；（2）若CE=5，求BC长为 ．【答案】（1）∠ECD的度数是36°；（2）BC长是5．【解析】（1）∵DE垂直平分AC∴CE=AE，∴∠ECD=∠A=36°（2）∵AB=AC，∠A=36°，∴∠B=∠ACB=72°，∴∠BEC=∠A+∠ECD=72°，∴∠BEC=∠B，∴BC=EC=5．4.如图，在Rt V ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为________．【答案】40°【解析】根据直角三角形的性质求得∠AEB=80°；根据线段垂直平分线的性质得AE=CE，则∠C=∠EAC，再根据三角形的外角的性质即可求解．∵∠B=90°，∠BAE=10°，∴∠BEA=80°．∵ED是AC的垂直平分线，∴AE=EC，EB ∴∠C=∠EAC ．∵∠BEA=∠C+∠EAC ，∴∠C=40°．故答案为：40°．【点睛】此题考查了线段垂直平分线性质，涉及到三角形的外角的性质以及等腰三角形的性质的知识，难度适中．三、解答题1.如图，在直角△ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，若DE 垂直平分AB ，求∠B 的度数．【答案】30°．【解析】∵DE 垂直平分AB ，∴∠DAE=∠B ，∵在直角△ABC 中，∠C=90°，∠CAB 的平分线AD 交BC 于D ，∴∠DAE=（90°﹣∠B ）/2=∠B ，∴3∠B=90°，∴∠B=30°．2.如图，在ABC D 中，CD 是AB 边上的高，BE 是AC 边上的中线，且BD CE =。

八年级数学《线段垂直平分线角平分线》课后习题1. 选择题1. 以下哪个图形中的$\overline{AB}$既是线段$AC$的垂直平分线，也是∠$ACD$的角平分线？A. B. C. D. 2. 在直角三角形$ABC$中，$\overline{AC}$是∠$C$的角平分线，则∠$BAC$与∠$BCA$分别是$\underline{\qquad}$.A. 锐角，钝角B. 直角，锐角C. 钝角，直角D. 直角，钝角2. 填空题3. 设$\overline{PQ}$是线段$\overline{AB}$的垂直平分线，若∠$PAC=30^\circ$，则∠$PAB=\underline{\qquad}$.4. 在平行四边形$ABCD$中，$\overline{EF}$是线段$\overline{AD}$的垂直平分线，$\overline{GH}$是∠$GBF$的角平分线，则∠$EGH=\underline{\qquad}$.3. 解答题5. 在直角三角形$ABC$中，$\overline{AD}$是∠$A$的角平分线，如图所示.已知$\overline{AD}=2cm$，$\overline{AC}=10cm$，求∠$BAC$的度数.解：由于$\overline{AD}$是∠$A$的角平分线，根据角平分线定理可知$\dfrac{BD}{CD}=\dfrac{AB}{AC}$.设$\overline{BD}=x$，则$\overline{CD}=x$.根据勾股定理可得：$$(10+x)^2+x^2=4^2$$解得$x=\dfrac{48}{5}$.所以，$\overline{BD}=\dfrac{48}{5}$.根据正切函数的性质可得：$$\tan(\angleBAD)=\dfrac{BD}{AD}=\dfrac{\frac{48}{5}}{2}=\dfrac{24}{5}.$$因为∠$BAC=90^\circ$，所以∠$BAD=45^\circ$，所以∠$BAC=45^\circ$.答：∠$BAC$的度数是$45^\circ$.4. 应用题6. 请用尺规作图的方法，画一条线段的垂直平分线和角平分线，并标出垂足和角平分点.解：步骤：1. 以线段的一个端点为圆心，在纸上画一个与线段等长的圆.2. 以线段的另一个端点为圆心，画一个与上一个圆等大的圆.3. 连接两圆的交点和线段两个端点，所得的线段是原线段的垂直平分线.4. 以线段的一个端点为圆心，在纸上画一个与线段等长的圆.5. 以线段的另一个端点为圆心，画一个与上一个圆等大的圆.6. 连接两圆的交点和线段的一个端点，所得的线段是原线段的角平分线.按照上述步骤操作，即可作出线段的垂直平分线和角平分线，并标出垂足和角平分点.注意：尺规作图中只能使用直尺和圆规，无法精确度量线段长度和角度大小，所以标度不作要求.5. 拓展练7. 通过实际生活中的例子，描述线段的垂直平分线和角平分线的应用场景.解：线段的垂直平分线和角平分线在实际生活中有许多应用场景，以下是两个例子：例子1：钟面的分针和秒针当我们查看钟面上的时间时，钟面上的分针和秒针正好是指向钟面的圆心的单条线段的垂直平分线和角平分线。

2021-2022学年冀教版八年级数学上册《16.2线段的垂直平分线》同步练习题（附答案）1．如图，平面上到两两相交的三条直线a、b、c的距离相等的点一共有个．2．已知MN是线段AB的垂直平分线，P、Q是直线MN上两点，且∠P AB＝35°，∠QBA ＝60°，则∠QAP的度数为．3．已知C，D两点在线段AB的垂直平分线上，且∠ACB＝50°，∠ADB＝86°，则∠CAD 的度数是．4．如图，在△ABC中，点O是BC、AC的垂直平分线的交点，OB＝5cm，AB＝8cm，则△AOB的周长是cm．5．如图，△ABC中，AH为BC边上的高，记S△ABC为S，AH的垂直平分线交边AB于点B1，交边AC于点A1，连接A1B．得到第一个三角形△A1BC，作△A1BC边BC上的高A1H1；作高A1H1的垂直平分线交边AB于点B2，交边AC于点A2，连接A2B，得到第二个三角形△A2BC，作△A2BC边BC上的高A2H2；…依次这样作下去，则第2020个三角形△A2020BC的面积为．6．如图，已知A（0，3），B（2，1），C（2，﹣3），若点P是△ABC三边垂直平分线的交点，则点P的坐标为．7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点E是AC上的点，且∠1＝∠2，DE垂直平分AB，垂足是D，S△AED：S△ABC＝．8．如图，将△ABC放在每个小正方形边长均为1的网格中，点A、B、C均落在格点上，若点B的坐标为（3，﹣1），点C的坐标为（2，2），则到△ABC三个顶点距离相等的点的坐标为．9．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，△ADE的周长为8cm．（1）求BC的长；（2）分别连结OA、OB、OC，若△OBC的周长为18cm，求OA的长．10．在△ABC中，AB的垂直平分线分别交线段AB，BC于点M，P，AC的垂直平分线分别交线段AC，BC于点N，Q．（1）如图，当∠BAC＝80°时，求∠P AQ的度数；（2）当∠BAC满足什么条件时，AP⊥AQ，说明理由；（3）在（2）的条件下，BC＝10，求△APQ的周长．11．如图，在△ABC中，点E是BC边上的一点，连接AE，BD垂直平分AE，垂足为F，交AC于点D，连接DE．（1）若△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，求AB的长．（2）若∠ABC＝30°，∠C＝45°，求∠CDE的度数．12．如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E．求证：（1）AC平分∠EAF；（2）∠F AD＝∠E．13．如图，在△ABC中，DM，EN分别垂直平分边AC和边BC，交边AB于M，N两点，DM与EN相交于点F．（1）若AB＝3cm，求△CMN的周长．（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．14．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连接OB，OC．若△ADE的周长为12cm，△OBC的周长为32cm．（1）求线段BC的长；（2）连接OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC＝n°（n＞90），直接写出∠DAE的度数°．15．已知：△ABC是三边都不相等的三角形，点O和点P是这个三角形内部两点．（1）如图①，如果点P是这个三角形三个内角平分线的交点，那么∠BPC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（2）如图②，如果点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，那么∠BOC和∠BAC有怎样的数量关系？请说明理由；（3）如图③，如果点P（三角形三个内角平分线的交点），点O（三角形三边垂直平分线的交点）同时在不等边△ABC的内部，那么∠BPC和∠BOC有怎样的数量关系？请直接回答．16．已知：如图，AB＝AC，DB＝DC，点E在AD上，求证：EB＝EC．17．如图，AD与BC相交于点O，OA＝OC，∠A＝∠C，BE＝DE．求证：OE垂直平分BD．18．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，AC的垂直平分线BE与CD交于点F，与AC交于点E．（1）判断△DBC的形状并证明你的结论．（2）求证：BF＝AC．（3）试说明CE＝BF．19．如图，OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，垂足分别为E，F，且AB＝CD，∠ABD ＝120°，∠CDB＝38°，求∠OBD的度数．20．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线分别交AB和AC于点D，E．求证：DE＝EC．（用三种方法证明）21．如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，BD＝BC，过点D作AB的垂线交AC于点E，求证：BE垂直平分CD．参考答案1．解：如图，到三条直线a、b、c的距离都相等的点一共有4个．故答案为：4．2．解：当点P、Q在AB的同旁时，∵MN是线段AB的垂直平分线，∴QA＝QB，∵∠QBA＝60°，∴∠QAB＝∠QBA＝60°，∴∠QAP＝∠QAB﹣∠P AB＝60°﹣35°＝25°，当点P、Q′在AB的两旁时，∴∠Q′AP＝∠Q′AB+∠P AB＝60°+35°＝95°，故答案为：25°或95°．3．解：∵C、D两点在线段AB的中垂线上，∴CA＝CB，DA＝DB，∵CD⊥AB，∴∠ACD＝∠ACB＝×50°＝25°，∠ADC＝∠ADB＝×86°＝43°，当点C与点D在线段AB两侧时，∠CAD＝180°﹣∠ACD﹣∠ADC＝180°﹣25°﹣43°＝112°，当点C与点D′在线段AB同侧时，∠CAD′＝∠AD′C﹣∠ACD′＝43°﹣25°＝18°，故答案为：18°或112°．4．解：∵点O是BC、AC的垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝5cm，∴△AOB的周长＝OA+OB+AB＝18（cm），故答案为：18．5．解：如图所示，连接A1H，∵AH的垂直平分线交边AB于点B1，交边AC于点A1，∴AA1＝HA1，∴∠HAC＝∠AHA1，又∵AH⊥BC，∴∠HAC+∠C＝∠AHA1+∠CHA1＝90°，∴∠C＝∠CHA1，∴HA1＝CA1，∴AA1＝CA1，∴A1是AC的中点，∴△A1BC的面积＝S△ABC＝S，同理可得，A2是A1C的中点，∴△A2BC的面积＝S△A1BC＝S，同理可得，△A3BC的面积＝S△A2BC＝，……，∴第2020个三角形△A2020BC的面积为，故答案为：．6．解：如图所示：分别作线段AB、BC的垂直平分线交于点P，点P的坐标为（﹣2，﹣1），故答案为：（﹣2，﹣1）．7．解：∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，∴S△ADE＝S△BDE，∵∠1＝∠2，∠C＝∠BDE＝90°，BE＝BE，∴△BDE≌△BCE（AAS），∴S△BDE＝S△BCE，∴S△AED：S△ABC＝1：3，故答案为：1：3．8．解：∵点P到△ABC三个顶点距离相等，∴点P是边AB、AC的垂直平分线的交点，如图所示：点P即为所求，此时点P的坐标为（1，0），故答案为：（1，0）．9．解：（1）在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC 于E，l1与l2相交于点O，∴AD＝BD，AE＝CE，∵△ADE的周长为8cm．∴BC＝BD+DE+CE＝AD+DE+AE＝8cm；（2）连接OA、OB、OC，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于D，AC边的垂直平分线l2交BC于E，l1与l2相交于点O，∴OA＝OB，OA＝OC，∴OA＝OB＝OC，∵△OBC的周长为18cm，∴OB+OC+BC＝18cm，∴OB＝OC＝5cm，∴OA＝5cm．10．解：（1）∵MP、NQ分别是AB、AC的垂直平分线，∴AP＝BP，AQ＝CQ，∵∠BAC＝80°，∴∠B+∠C＝180°﹣80°＝100°，∵AP＝BP，AQ＝CQ，∴∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠P AQ＝∠BAC﹣∠BAP﹣∠CAQ＝∠BAC﹣∠B﹣∠C＝100°﹣80°＝20°；（2）如图，∵AP⊥AQ，∴∠P AQ＝90°，由（1）得，∠BAP＝∠B，∠CAQ＝∠C，∴∠B+∠C＝180°﹣∠BAC，∠BAP+∠CAQ＝∠BAC﹣90°，∴180°﹣∠BAC＝∠BAC﹣90°，∴∠BAC＝135°；答：当∠BAC＝135°时，AP⊥AQ；（3）∵△APQ周长＝AP+PQ+AQ＝BP+PQ+QC＝BC，∵BC＝10，∴△APQ周长＝10．11．解：（1）∵BD是线段AE的垂直平分线，∴AB＝BE，AD＝DE，∵△ABC的周长为18，△DEC的周长为6，∴AB+BE+EC+CD+AD＝18，CD+EC+DE＝CD+CE+AD＝6，∴AB+BE＝18﹣6＝12，∴AB＝6；（2）∵∠ABC＝30°，∠C＝45°，∴∠BAC＝180°﹣30°﹣45°＝105°，在△BAD和△BED中，，∴△BAD≌△BED（SSS），∴∠BED＝∠BAC＝105°，∴∠CDE＝∠BED﹣∠C＝105°﹣45°＝60°．12．证明：（1）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴BA＝BC，∴∠BAC＝∠BCA，∵BC∥AF，∴∠CAF＝∠BCA，∴∠CAF＝∠BAC，即AC平分∠EAF；（2）∵BD所在的直线垂直平分线段AC，∴DA＝DC，∴∠DAC＝∠DCA，∵∠DCA是△ACE的一个外角，∴∠DCA＝∠E+∠EAC，∴∠E+∠EAC＝∠F AD+∠CAF，∵∠CAF＝∠EAC，∴∠F AD＝∠E．13．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，∴AM＝CM，BN＝CN，∴△CMN的周长＝CM+MN+CN＝AM+MN+BN＝AB＝3（cm）；（2）∵∠MFN＝70°，∴∠MNF+∠NMF＝180°﹣70°＝110°，∵∠AMD＝∠NMF，∠BNE＝∠MNF，∴∠AMD+∠BNE＝∠MNF+∠NMF＝110°，∴∠A+∠B＝90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE＝180°﹣110°＝70°，∵AM＝CM，BN＝CN，∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN，∴∠MCN＝180°﹣2（∠A+∠B）＝180°﹣2×70°＝40°．14．解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA＝DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA＝EC，BC＝BD+DE+EC＝DA+DE+EA＝12cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA＝OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA＝OC，∵OB+OC+BC＝32cm，∴OA＝OB＝OC＝10cm；（3）∵∠BAC＝n°，∴∠ABC+∠ACB＝（180﹣n）°，∵DA＝DB，EA＝EC，∴∠BAD＝∠ABC，∠EAC＝∠ACB，∴∠DAE＝∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC＝n°﹣（180°﹣n°）＝2n°﹣180°．故答案为：（2n﹣180）．15．解：（1）∠BPC＝90°+∠BAC∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝∠ACB，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠BAC）＝90°+∠BAC；（2）∠BOC＝2∠BAC如图，连接AO．∵点O是这个三角形三边垂直平分线的交点，∴OA＝OB＝OC，∴∠OAB＝∠OBA，∠OAC＝∠OCA，∠OBC＝∠OCB，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∠AOC＝180°﹣2∠OAC，∴∠BOC＝360°﹣（∠AOB+∠AOC）＝360°﹣（180°﹣2∠OAB+180°﹣2∠OAC），＝2∠OAB+2∠OAC＝2∠BAC；（3）4∠BPC﹣∠BOC＝360°，∵点P为三角形三个内角平分线的交点，∴∠BPC＝90°+∠BAC由∠BAC＝2∠BPC﹣180°点O为三角形三边垂直平分线的交点∠BOC＝2∠BAC，∴∠BOC＝2（2∠BPC﹣180°）＝4∠BPC﹣360°，即4∠BPC﹣∠BOC＝360°．16．解：∵AB＝AC，DB＝DC，∴AD是线段BC的垂直平分线，∵点E在AD上，∴EB＝EC．17．证明：在△AOB与△COD中，，∴△AOB≌△COD（ASA），∴OB＝OD，∴点O在线段BD的垂直平分线上，∵BE＝DE，∴点E在线段BD的垂直平分线上，∴OE垂直平分BD．18．解：（1）△DBC是等腰直角三角形，理由：∵∠ABC＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°，∴BD＝CD，∴△DBC是等腰直角三角形；（2）∵BE⊥AC，∴∠BDC＝∠BEC＝90°，∵∠BFD＝∠CFE，∴∠DBF＝∠ACD，在△BDF与△CDA中，，∴△BDF≌△CDA，∴BF＝AC；（3）∵BE是AC的垂直平分线，∴CE＝AC，∴CE＝BF．19．解：连接OA，OC，∵OE，OF分别是AC，BD的垂直平分线，∴OA＝OC，OB＝OD，∵AB＝CD，∴△ABO≌△CDO（SSS），∴∠ABO＝∠CDO，设∠OBD＝∠ODB＝α，∠ABO＝∠CDO＝β，∴α+β＝120°，β﹣α＝38°，∴α＝41°，∴∠OBD＝41°．20．证明：方法一：如图1，连接BE，∵DE是AB的垂直平分线，∴BE＝AE，∠ABE＝∠A＝30°，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠ABC＝60°，∴∠CBE＝∠DBE＝30°，∵DE⊥AB，CE⊥BC，∴CE＝DE；方法二：如图2，连接CD，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∵点D是AB的中点，∴CD＝BD＝AB，∴△BDC是等边三角形，∴∠BCD＝∠BDC＝60°，∵∠BDE＝∠ACB＝90°，∴∠EDC＝∠ECD＝30°，∴DE＝CE；方法三：如图3，延长DE交BC的延长线于F，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，BC＝AB，∵DE垂直平分AB，∴BD＝AD＝AB，∠BDF＝90°，∴∠F＝30°，∴BD＝BF，∴CF＝BD＝AD，在△ADE与△FCE中，∴△ADE≌△FCE（AAS），∴DE＝CE．21．证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥AB，∴∠ACB＝∠BDE＝90°，在Rt△BDE和Rt△BCE中，，∴Rt△BDE≌Rt△BCE，∴ED＝EC，∵ED＝EC，BD＝BC，∴BE垂直平分CD．。

线段的垂直平分线一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为_________ cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是_________ cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于_________．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为_________．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=_________．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．线段的垂直平分线参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1．如图，有A、B、C三个居民小区，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）2．如图，△ABC中，DE是AB的垂直平分线，AE=4，△ACD的周长为18，则△ABC的周长为（）3．如图：△ABC中，∠ACB=90°，∠B=22.5°，AB的垂直平分线交BC于D，则下列结论不正确的是（）4．（2011•裕华区一模）如图，在△ABC中，AC的垂直平分线ED交AC于点E，交AB与点D，CE=4，△BCD 的周长等于12，则△ABC的周长为（）5．（2002•哈尔滨）如图，到△ABC的三个顶点距离相等的点是△ABC的（）二、填空题（共5小题）（除非特别说明，请填准确值）6．如图，△ABC中，AB=8cm，边AB的垂直平分线分别交AB、BC于点D、E，BE=5cm，则△ABE的周长为18 cm．7．如图，在△ABC中，DE是AC的中垂线，AE=2cm，△ABD的周长是10cm，则△ABC的周长是14cm．8．如果在△ABC中，AB=5，BC=4，边AC的垂直平分线交边AB于点D，那么△BCD的周长等于9．9．在△ABC中，已知AC=13，BC=10，AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点E，则△BCE的周长为23．10．如图，在△ABC中，BC=8，△ABD的周长为12，MN垂直平分AC，交BC于D，则AB=4．三、解答题（共17小题）（选答题，不自动判卷）11．如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3．（1）若AC=BC，求BC的长；（2）若△ABD的周长为13，求△ABC的周长．12．小明做了一个如图所示的“风筝”骨架，其中AB=AD，CB=CD．（1）八年级王云同学观察了这个“风筝”骨架后，他认为AC⊥BD，垂足为点E，并且BE=ED，你同意王云的判断吗？为什么？（2）设AC=a，BD=b，请用含a，b的式子表示四边形ABCD的面积．BD×13．已知：如图，在△ABC中，MN是边AB的中垂线，∠MAC=50°，∠C=3∠B，求∠B的度数．14．如图，△ABC的边BC的垂直平分线DE交△BAC的外角平分线AD于D，E为垂足，DF⊥AB于F，且AB ＞AC，求证：BF=AC+AF．推出BF=CN，根据HL证Rt△DFA≌Rt△DNA，推出AN=AF即可．15．在△ABC中，BC边的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，BE=5，△BCE的周长为18 即BE+CE+BC=18，求BC的长？16．在△ABC中，AD是高，在线段DC上取一点E，使BD=DE，已知AB+BD=DC，求证：E点在线段AC的垂直平分线上．17．（2011•江津区）A、B两所学校在一条东西走向公路的同旁，以公路所在直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，且点A的坐标是（2，2），点B的坐标是（7，3）．（1）一辆汽车由西向东行驶，在行驶过程中是否存在一点C，使C点到A、B两校的距离相等，如果有？请用尺规作图找出该点，保留作图痕迹，不求该点坐标．（2）若在公路边建一游乐场P，使游乐场到两校距离之和最小，通过作图在图中找出建游乐场P的位置，并求出它的坐标．，，18．（2012•潮阳区模拟）如图，线段CD垂直平分线段AB，CA的延长线交BD的延长线于E，CB的延长线交AD 的延长线于F，求证：DE=DF．19．已知：如图，AB=AE，BC=ED，AF⊥CD且F是CD的中点，求证：∠B=∠E．20．如图，已知AB=AD，CB=CD，连接AC，BD交于点O．求证：（1）∠ABC=∠ADC；（2）AC⊥BD．21．如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．（1）求证：OE是CD的垂直平分线．（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．22．如图，AD是△ABC的角平分线，AD的垂直平分线交BC的延长线于点F．求证：∠FAC=∠B．23．如图，在△ABC中，DE，FG分别是△ABC的边AB、AC的垂直平分线，若BC=10，则△ADF的周长是多少？24．如图，直线l是线段AB的垂直平分线，若有一点C在直线l上，则由垂直平分线的性质可知：CA=CB；现有一点P在直线l的右侧，则PA、PB有何大小关系？请写出你的结论，并说明理由．25．如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．求证：（1）△ABC≌△DCB；（2）点M在BC的垂直平分线上．26．如图己知在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE垂直平分AB，E为垂足交BC于D，BD=16cm，求AC长．ADAD=8cm27．锐角△ABC的垂心关于三边的对称点分别是H1，H2，H3．已知：H1，H2，H3，求作△ABC．21。

八年级数学上册线段的垂直平分线的性质练习一、单选题1．到三角形的三个顶点距离相等的点是（ ）． A ．三角形三条中线的交点B ．三角形三边垂直平分线的交点C ．三角形三条角平分线的交点D ．三角形三条高的交点2．如图，DE 为ABC 中AC 边的中垂线，8,10BC AB ==，则EBC 的周长是（ ）A ．16B ．18C ．26D ．283．下列条件中，不能判定直线CD 是线段AB (C ，D 不在线段AB 上)的垂直平分线的是（ ） A ．CA =CB ，DA =DBB ．CA =CB ，CD ⊥ABC ．CA =DA ，CB =DBD ．CA =CB ，CD 平分AB4．如图，直线PO 与AB 交于点O ，PA PB =，下列结论中正确的是（ ）A ．AO BO =B ．PO AB ⊥C ．PO 是AB 的垂直平分线D ．点P 在AB 的垂直平分线上5．如图，AD BE ⊥，BD DE =，点E 在线段AC 的垂直平分线上，若6cm AB =，3cm BD =，则DC 的长为（ ）A ．3cmB ．6cmC ．9cmD ．12cm6．如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（ ）．A ．在 AC 、BC 两边高线的交点处B ．在 AC 、BC 两边垂直平分线的交点处 C ．在 AC 、BC 两边中线的交点处D ．在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处二、填空题 7．如图，在ABC 中，10AB =，AD 垂直平分线段BC ，垂足为点D ，点E 是AC 的中点，则EC 的长为________．8．如图，在ABC 中，90,ACB DE ∠=︒是AB 的垂直平分线，:4:1CAE EAB ∠∠=，则B 的度数为_______．9．如图，撑伞时，把伞“两侧的伞骨”和支架分别看作AB 、AC 和DB 、DC ，始终有,AB AC DB DC ==，请大家考虑一下伞杆AD 与B 、C 的连线BC 的位置关系为________．10．已知线段AB 及一点P ，PA=PB=3cm ，则点P 在__________上．11．如图，△ABC 中，DE 是AC 的垂直平分线，AE=5cm ，△ABD 的周长为14cm ，则△ABC 的周长为________cm ．12．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，DE 是AB 的垂直平分线，且BC ＝8，AC ＝6，则△ACD 的周长为_____．三、解答题13．如图，求作一点P ，使PC PD =，并且点P 到AOB ∠两边的距离相等．14．如图，A ，B 表示两个仓库，要在A ，B 一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建造在什么位置？15．已知：如图，AB 是线段CD 的垂直平分线，E ，F 是AB 上的两点．求证：ECF EDF ∠=∠．16．如图，甲､乙两个单位分别位于一条封闭式街道的两旁，现准备合作修建一座过街天桥．（1）天桥建在何处才能使由甲到乙的路线最短？注意：天桥必须与街道垂直． （2）天桥建在何处才能使甲､乙到天桥的距离相等？17．已知：如图，P 是AOB ∠平分线上的一点，,⊥⊥PC OA PD OB ，垂足分别为C ，D ． 求证：（1）OC OD =；（2）OP 是CD 的垂直平分线．18．如图，小河边有两个村庄A 、B ．要在河边建一自来水厂向A 村与B 村供水． （1）若要使水厂到A 、B 村的距离相等，则应选择在哪建厂？（2）若要使水厂到A 、B 村的水管最省料，应建在什么地方？（保留作图痕迹，不写作法）参考答案1．B 【解析】解： 线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等， ∴ 到三角形的三个顶点距离相等的点是三角形三边的垂直平分线的交点. 故选：B2．B【解析】∵DE 是ABC ∆中AC 边的垂直平分线，∴AE CE =，∴10AE BE CE BE +=+=，∴EBC ∆的周长81018BE CE BC =++=+=．故选：B ．3．C【解析】解：A 、CA =CB ，DA =DB ，可以判定直线CD 是线段AB (C ，D 不在线段AB 上)的垂直平分线，不符合题意；B 、CA =CB ，CD ⊥AB ，可以判定直线CD 是线段AB (C ，D 不在线段AB 上)的垂直平分线，不符合题意；C 、CA =DA ，CB =DB ，不能判定直线CD 是线段AB (C ，D 不在线段AB 上)的垂直平分线，符合题意；D 、CA =CB ，CD 平分AB ，可以判定直线CD 是线段AB (C ，D 不在线段AB 上)的垂直平分线，不符合题意．故选：C ．4．D【解析】解：因为直线PO 与AB 交于点O ，且P A =PB ，所以P 在线段AB 的垂直平分线上，故选：D ．5．C【解析】解：AD BE ⊥，BD DE =，6AE AB ∴==，点E 在线段AC 的垂直平分线上，EA EC ∴=，9()DC DE EC AB BD cm ∴=+=+=，故选：C ．6．B【解析】解：根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， 可知超市应建在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处，故选：B ．7．5【解析】∵AD 垂直平分BC ，10AB =，∴10AC AB ==，∵点E 是AC 的中点， ∴152EC AC ==． 故答案为：5．8．15°【解析】解：∵在Rt △ABC 中，90ACB ∠=︒，∵DE 是AB 的垂直平分线∴∠B =∠BAE∵∠CAE ：∠EAB =4：1∴6∠B =90°∴∠B =15°故答案为:15°．9．垂直【解析】解：如图，连接BC 、AD ，∵,AB AC DB DC ==，∴点A 在线段BC 的垂直平分线上，点D 在线段BC 的垂直平分线上， ∴根据两点确定一条直线得出直线AD 是线段BC 的垂直平分线，故答案为：垂直．10．线段AB的垂直平分线【解析】因为PA=PB=3cm，所以P点一定在线段AB的垂直平分线上．故答案为：线段AB的垂直平分线．11．24【解析】∵DE是AC的垂直平分线∴AD=CD,AE=EC=5cm,∴AC=10cm∵△ABD的周长为14cm∴AB+BD+AD=14，△ABC的周长为AB+BC+AC= AB+ BD+ CD+AC= AB+BD+AD+AC=14+10=24cm. 12．14．【解析】∵DE是AB的垂直平分线，∴DA＝DB，∴△ACD的周长＝AC+CD+AD＝AC+CD+DB ＝AC+BC＝14．故答案为14．13．图见解析【解析】解：如下图所示，点P就是所求的点．14．见解析．【解析】解：连接AB，分别以A和B为圆心，以大于1AB为半径的两弧交于点E和F，2作直线EF，与河岸交于点C，如图，则码头应建在点C处．15．证明见解析 【解析】证明：AB 是线段CD 的垂直平分线，E ，F 是AB 上的两点， ∴,EC ED FC FD ==，又EF EF =，∴EDF ECF △≌△（SSS ），∴ECF EDF ∠=∠．16．（1）见解析；（2）见解析 【解析】解：（1）如图（1），将点A 沿竖直向下的方向平移，平移距离等于桥长，到达点1A ，连接1A B ，与街道靠近B 的一侧交于点1B ，过1B 点建桥即符合要求； （2）如图（2），作点B 关于街道的对称点2B ，连接2AB ，作2AB 的垂直平分线，与街道靠近A 的一侧相交于点2A ，过2A 点建桥即符合要求．17．（1）证明见解析；（2）证明见解析． 【解析】解：（1）证明：∵P 是∠AOB 平分线上的一点，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ， ∴PC =PD ，在Rt △POC 与Rt △POD 中，∵PC PD OP OP =⎧⎨=⎩，∴Rt △POC ≌Rt △POD （HL ）， ∴OC =OD ；（2）证明：∵P 是∠AOB 平分线上的一点，∴∠COP =∠DOP∵由（1）知，OC =OD ，∴在△COE 与△DOE 中，OC OD COP DOP OE OE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△COE ≌△DOE ，∴CE =DE ，OE ⊥CD ，即OP 是CD 的垂直平分线．18．（1）答案见解析；（2）答案见解析． 【解析】解：（1）作出AB 的中垂线与EF 的交点M ，交点M 即为厂址所在位置；（2）如图所示：作A 点关于直线EF 的对称点A′，再连接A′B 交EF 于点N ，点N 即为所求．。

冀教版八年级数学上册《16.2线段的垂直平分线》同步测试题带答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________一、选择题1．A、B、C三名选手站在一个三角形的三个顶点的位置上，他们在玩抢凳子游戏，要求在他们中间放一个木凳，谁先抢到凳子谁获胜，为使游戏公平，则凳子应放的最适当的位置是在△ABC的（）A．三边中线的交点B．三边垂直平分线的交点C．三条角平分线的交点D．三边上高的交点2．如图，在Rt△ABC中∠C=90°，分别以点A，B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧分别相交于AB两侧的M，N两点，直线MN交AB于点D，交AC于点E，若∠B=55°，则∠CBE=（）A．15°B．20°C．35°D．55°3．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC=6厘米，AB=10厘米，则△EBC的周长为（）A．14厘米B．16厘米C．24厘米D．26厘米4．图，在ΔABC中AC=5，线段AB的垂直平分线交AC于点D,ΔBCD的周长是9，则BC的长为（）A．3B．4C．5D．65．如图，在四边形ABCD中AB∥DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE⊥DE，延长DE交AB的延长线于点F．若AB=5，CD=3，则AD的长为（）A．2B．5C．8D．116．如图，在△ABC中∠B=70°,∠C=34°，分别以点A和点C为圆心，大于12AC的长为半径画弧，两弧相交AC的两侧于点M，N，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠BAD的度数为（）A．52°B．42°C．32°D．22°7．如图所示，有A、B、C三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在（）A．在AC、BC两边高线的交点处B．在AC、BC两边中线的交点处C．在AC、BC两边垂直平分线的交点处D．在∠A、∠B两内角平分线的交点处8．如图，在△ABC中∠BAC=90°，AB=3，AC=4，BC=5，EF垂直平分BC，点P为直线EF上的任一点，则AP+BP的最小值是（）A．3B．4C．5D．69．两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”．如图，四边形ABCD是一个筝形，其中AD=CD，AB=CB 小明在探究筝形的性质时，连结了AC，BD，并设交点为O，得到了如下结论，其中错误的是（）A．AC⊥BD B．AO=CO=12ACC．△ABD≌△CBD D．AO+DO=BO10．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB，BC于点D，E，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点F，G，且△AEG的周长是20，则线段BC的长为（）A．40B．20C．15D．1011．如图，在△ABC中，AB＝AC，△A＝36°，分别以A和B为圆心，大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN分别交AB、AC于点F、D，作DE△BC于E．有下面三个结论：①BD平分△ABC；②DE＝DF；③BC+CD＝2AF；其中，正确的结论的个数是（）A．3B．2C．1D．0二、填空题12．如图，已知AB平分∠CAD，AC=AD，E在AB上，结论：①BC=BD；②CE=DE；③BA平分∠CBD；④AB所在的直线是CD的垂直平分线．其中正确的是（填序号）13．如图，在△ABC中∠A=90°，点D为AB上一点，将△ABC沿CD所在直线折叠，点A恰好落在BC边上的点E处，且CE=BE，则∠B的度数为．14．如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，若BC=9，AC=7，则△ACE的周长为．15．如图，在四边形ABCD中，AB//DC，E为BC的中点，连接DE、AE，AE△DE，延长DE交AB 的延长线于点F．若AB＝5，CD＝3，则AD的长为．16．如图，在△ABC中∠A=80°，点D是BC上一点，BD，CD的垂直平分线分别交AB，AC于点E，F，则∠EDF=度．17．如图，直线l垂直平分△ABC的AB边，在直线l上任取一动点O，连结OA、OB、OC．若OA=5，则OB=．若AC=9，BC=6，则△BOC的最小周长是．三、解答题18．如图，△ABC中AD⊥BC，EF垂直平分AC，交AC于点F，交BC于点E，且BD=DE．（1）若∠BAE=40°，求∠C的度数：（2）若△ABC周长13cm，AC=6cm，求DC长．19．如图，在△ABC中∠C=90°，分别以A、B为圆心，大于12AB长为半径画弧，两弧相交于点M、N，作直线MN与AB交于点D，与BC交于点E，连接AE．（1）由作图可知：直线MN是线段AB的______；（2）当∠B=35°，求∠CAE的大小；（3）当AC=3，BC=4时，求△ACE的周长．参考答案1．B2．B3．B4．B5．C6．B7．C8．B9．D10．B11．A12．①②③④13．30°14．1615．816．8017．5；15 18．（1）35°（2）3.5cm 19．（1）垂直平分线（2）∠CAE=20°（3）△ACE的周长为7。