1.5 第2课时 几何图形面积的最值

数学圆和(面积)的最值问题数学圆的最值问题引言数学中，圆是一个重要的几何概念。

在研究圆的性质和应用时，我们经常会遇到关于圆的最值问题，即在一定的条件下，如何找到圆的面积或其他性质的最大值或最小值。

本文将探讨数学圆的最值问题，并介绍一些解决这类问题的方法和策略。

圆的面积最值问题在圆的最值问题中，我们常常涉及到最大面积和最小面积两种情况。

下面分别讨论这两种情况。

圆的最大面积当我们固定圆的半径时，要找到圆的最大面积，需要确定这个半径的取值范围。

根据数学知识，圆的面积公式为：A = πr²，其中π是一个常数，r代表半径。

当半径r取值为正数时，圆的面积是一个关于r的增函数。

因此，我们可以通过求导数的方法来找到最大面积。

具体步骤如下：1.对面积公式A = πr²求导，得到A' = 2πr。

2.令A' = 0，解方程得到r的临界点。

3.将临界点带入面积公式，找到最大面积。

圆的最小面积当我们固定圆的周长时，要找到圆的最小面积，也需要确定周长的取值范围。

根据数学知识，圆的周长公式为：C = 2πr。

由于周长是一个固定值，我们可以将周长公式改写为：r = C / (2π)，然后将该式代入圆的面积公式A = πr²中，得到面积的表达式只包含C一个变量。

通过对这个新的面积表达式进行求导和求临界点，可以找到圆的最小面积。

结论数学圆的最值问题是一个有趣且实用的数学问题。

通过应用求导等数学方法，我们可以找到圆的最大面积和最小面积。

在实际应用中，我们可以将这些方法应用于设计圆形物体的最优尺寸、优化圆形线路的长度等问题中，为实际生活带来便利和效益。

参考文献：数学圆的性质与应用，XXX，XX出版社，20XX年。

数学分析教程，XXX，XX出版社，20XX年。

以上是本文对数学圆的最值问题的讨论和总结，希望对读者有所帮助。

2023-11-08CATALOGUE目录•引言•二次函数基本概念•几何图形与二次函数•二次函数最值概念•几何图形最值问题求解•实际问题最值应用案例01引言几何图形最值问题是数学中的一个经典问题，它涉及到图形的形状、大小和位置的最优化。

在实际生活中，几何图形最值问题也有广泛的应用，例如建筑设计、城市规划、物理研究等。

课程背景介绍1课程目标23理解几何图形最值的基本概念和解决方法。

学习如何运用数学方法和计算机技术求解几何图形最值问题。

掌握常见的几何图形最值问题的建模和求解技巧。

课程大纲1. 几何图形最值的基本概念最值的定义和性质几何图形的参数化课程大纲2. 求解方法与技术问题的数学建模微积分方法课程大纲010203线性代数方法数值计算方法计算机模拟技术3. 常见的几何图形最值问题直线段的最短长度圆形的最大面积课程大纲课程大纲椭圆形的最小周长立体图形的最大体积 4. 应用案例分析010302课程大纲02城市规划中的最值问题03物理研究中的最值问题02二次函数基本概念当轴动区间定时，二次函数的最值出现在对称轴上。

具体地，如果对称轴为x=-b/2a，那么当x=-b/2a时，二次函数取得最小值y=c-b^2/4a。

当轴定区间动时，二次函数的最值出现在区间的端点或对称轴上。

具体地，如果对称轴为x=-b/2a，那么当x=-b/2a时，二次函数取得最小值y=c-b^2/4a；当x取区间端点时，二次函数取得最大值。

当轴动区间动时，二次函数的最值出现在区间的端点、对称轴或二者重合处。

具体地，如果对称轴为x=-b/2a，那么当x=-b/2a时，二次函数取得最小值y=c-b^2/4a；当x取区间端点时，二次函数取得最大值。

03几何图形与二次函数矩形与二次函数在几何图形中最值问题中有着密切的联系。

详细描述在矩形中，长和宽可以看作是二次函数图像的两个根，而面积则可看作是二次函数的顶点。

因此，矩形的最值问题可以通过二次函数来求解。

抢分秘籍11几何图形中求线段，线段和，面积等最值问题（压轴通关）目录【中考预测】预测考向，总结常考点及应对的策略【误区点拨】点拨常见的易错点【抢分通关】精选名校模拟题，讲解通关策略（含新考法、新情境等）几何图形中求线段、线段和、面积最值题是全国中考的热点内容，更是全国中考的必考内容。

每年都有一些考生因为知识残缺、基础不牢、技能不熟、答欠规范等原因导致失分。

1．从考点频率看，几何图形中的性质综合问题，是高频考点、也是必考点。

2．从题型角度看，以解答题的最后一题或最后二题为主，分值12分左右，着实不少！题型一线段最值问题【例1】（2024·四川成都·一模）如图1，在四边形ABFE 中，90F ∠=︒，点C 为线段EF 上一点，使得AC BC ⊥，24AC BC ==，此时BF CF =，连接BE ，BE AE ⊥，且AE BE =．(1)求CE 的长度；(2)如图2，点D 为线段AC 上一动点（点D 不与A ，C 重合），连接BD ，以BD 为斜边向右侧作等腰直角三角形BGD ．①当DG AB ∥时，试求AD 的长度；②如图3，点H 为AB 的中点，连接HG ，试问HG 是否存在最小值，如果存在，请求出最小值；如果不存在，请说明理由．DC =，即可得出DM GF =，证明DMG GFB ≌，进而证明G 在EF 上，根据已知条件证明D 在EB 上，然后解直角三角形，即可求解；②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，由①可得103AT =，求得sin 10ETA ∠=，根据45HEF ETA α∠=+︒=∠，即可求解．【详解】（1）解：如图所示，取AB 的中点H ，连接,EH HC ，∵BF CF =，90F ∠=︒，∴45BCF ∠=︒，BC =，又∵AC BC⊥∴45ECA ∠=︒∵AE BE =，BE AE⊥∴45EBA ∠=︒∴45ECA ABE ∠=∠=︒∴FEB CAB∠=∠∵24AC BC ==，∴2BC =∴BF CF ==∴1tan 2CB CAB AC ∠==∴1tan tan 2FB FEB CAB EF ∠==∠=∴12BF EF =∴EF =∴CE EF CF =-=（2）①如图所示，过点D 作DM EF ⊥于点M ，过点D 作DN AB ⊥于点N，由（1）可得45ACE ABE ∠=∠=︒∴CDM V 是等腰直角三角形，∴CD =，∵,CBF DBG 都是等腰直角三角形，∴CB DB BF BG =∴BD BG BC BF=又∵DBG CBF∠=∠∴DBC GBF∠=∠∴DBC GBF∽∴DC DB GF GB==∴DC =∴DM GF=在,DMG GFB 中，DM GF DMG F DG BG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴DMG GFB≌∴MGD FBG∠=∠∵90FBG FGB ∠+∠=︒∴90MGD FGB ∠+∠=︒又∵90DGB ∠=︒∴180MGF ∠=︒∴G 在EF 上，∵DG AB ∥，90DGB ∠=︒∴90GBA ∠=︒∵45,45ABE DBG ABD∠=︒∠=︒=∠∴D 在EB 上，∵1tan 2CAB ∠=，∴12DN AN =，则AD ==∵,45DN AB ABE ⊥∠=︒∴DN DB=∴3AB DN =，∵4AC =，2CB =∴AB =∴133DN AB ==，∴103AD ==，②如图所示，过点H 作HP EF ⊥于点P ，连接EH ，由①可得G 在EF 上运动，∴当HG EF ⊥时，HG 取得最小值，即,G P 重合时，HP 的长即为HG 的最小值，设,AC EB 交于点T ，即与①中点D 重合，由①可得103AT =∵AB =∴AE =，12EH AB ==∴sin 10103AE ETA AT ∠==设FEB CAB α∠=∠=则45HEF ETA α∠=+︒=∠，在Rt PEH △中，sin sin 102PH HEF EH ETA EH =∠⨯=∠⨯=⨯．【点睛】证明G 点在EF 上是解题的关键．本题考查了相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，解直角三角形.【例2】（2024·天津红桥·一模）在平面直角坐标系中，点()0,0O ，()2,0A，(2,B )，C ，D 分别为OA ，OB 的中点．以点O 为中心，逆时针旋转OCD ，得OC D '' ，点C ，D 的对应点分别为点C '，D ¢．(1)填空∶如图①，当点D ¢落在y 轴上时，点D ¢的坐标为_____，点C '的坐标为______；(2)如图②，当点C '落在OB 上时，求点D ¢的坐标和BD '的长；(3)若M 为C D ''的中点，求BM 的最大值和最小值(直接写出结果即可)．()，D为OB中点，B2,23()∴，D1,3()22132OD∴=+=，∵以点O为中心，逆时针旋转由（1）知60AOB ∠=︒，30GD O '∴∠=︒，112OG OD '∴==，D G '()1,3D ∴'-，()2,23B ，∵C ，D 分别为OA ，OB 的中点，此时M 在BO 的延长线上，()2,23B ，()222234OB ∴=+=，742BM OB OM ∴=+=+；即BM 最大值为742+；此时M 在线段OB 上，BM BM ∴最小值为427-；综上所述，BM 最大值为1．（2024·山东济宁·模拟预测）已知，四边形ABCD 是正方形，DEF 绕点D 旋转（DE AB <），90EDF ∠=︒，DE DF =，连接AE CF ，．(1)如图1，求证：ADE CDF ≅ ；(2)直线AE 与CF 相交于点G ．①如图2，BM AG ⊥于点M ，⊥BN CF 于点N ，求证：四边形BMGN 是正方形；②如图3，连接BG ，若6AB =，3DE =，直接写出在DEF 旋转的过程中，线段BG 长度的最小值为．【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是正方形，AD DC ∴=，90ADC ∠=︒，DE DF = ，90EDF ∠=︒，ADC EDF ∴∠=∠，ADE CDF \Ð=Ð，在ADE V 和CDF 中，DA DC ADE CDF DE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，SAS ADE CDF ∴（） ≌．（2）解：①证明：如图2中，设AG 与CD 相交于点P ，90ADP ∠=︒ ，90DAP DPA ∴∠+∠=︒，ADE CDF ≅ ，DAE DCF ∴∠=∠，DPA GPC ∠∠= ，90DAE DPA GPC GCP ∠∠∠∠∴+=+=︒，90PGN ∠∴=︒，BM AG ⊥ ，BN GN ⊥，∴四边形BMGN 是矩形，90MBN ∴∠=︒，四边形ABCD 是正方形，AB BC ∴=，90ABC MBN ∠∠==︒，ABM CBN ∴∠=∠，又90AMB BNC ∠∠==︒ ，AMB CNB ∴≅ ，MB NB ∴=，∴矩形BMGN 是正方形；∵DAH BAM ∠+∠=∠∴DAH ABM ∠=∠，又∵AD BA =，DHA ∠∴AMB DHA ≌△△，BM AH ∴=，222AH AD DH =- ，DH ∴最大时，AH 最小，即点(1)若AC AB AD BC >⊥，，当点E 在线段AC 上时，AD BE ，交于点F ，点F 为BE 中点．①如图1，若37BF BD AD ===，，求AE 的长度；②如图2，点G 为线段AF 上一点，连接GE 并延长交BC 的延长线于点H ．若点E 为GH 中点，602BAC DAC EBC ∠=︒∠=∠，，求证：12AG DF AB +=．(2)如图3，若360AC AB BAC ︒==∠=，．当点E 在线段AC 的延长线上时，连接DE ，将DCE △沿DC 所在直线翻折至ABC 所在平面内得到DCM △，连接AM ，当AM 取得最小值时，ABC 内存在点K ，使得ABK CAK ∠=∠，当KE 取得最小值时，请直接写出2AK 的值．AD BC EG AD ⊥⊥ ，，90BDF ∴∠=︒，EGF ∠=BDF EGF ∴∠=∠，在Rt BDF △中，90BDF ∠=(22DF BF BD ∴=-=AD BC ⊥ ，90ADC ∴∠=︒，点E 为GH 的中点，GE HE ∴=，在AGE 和KHE △中，12AE KE =⎧⎪∠=∠⎨，由题意可知：160∠=︒，AC 30CAM ∴∠=︒，1322CM AC ∴==，32CE CM ∴==，（1）如图①，在ABC 中，点M ，N 分别是AB ，AC 的中点，若BC =MN 的长为__________．问题探究：（2）如图②，在正方形ABCD 中，6AD =，点E 为AD 上的靠近点A 的三等分点，点F 为AB 上的动点，将AEF △折叠，点A 的对应点为点G ，求CG 的最小值．问题解决：（3）如图③，某地要规划一个五边形艺术中心ABCDE ，已知120ABC ∠=︒，60BCD ∠=︒，40m AB AE ==，80m BC CD ==，点C 处为参观入口，DE 的中点P 处规划为“优秀”作品展台，求点C 与点P 之间的最小距离．∵点E为AD上的靠近点∴11633 AE AD==⨯在Rt EDC中，EC 根据折叠的性质，EG（1）如图1，点D 为ABC 的边BC 上一点，连接2,,3BD AD BDA BAC AB ∠=∠=，若ABD △的面积为4，则ACD 的面积为______；【问题探究】（2）如图2，在矩形ABCD 中，6,5AB BC ==，在射线BC 和射线CD 上分别取点E F 、，使得65BE CF =，连接AE BF 、相交于点P ，连接CP ，求CP 的最小值；【问题解决】（3）如图3，菱形ABCD 是某社区的一块空地，经测量，120AB =米，60ABC ∠=︒．社区管委会计划对该空地进行重新规划利用，在射线AD 上取一点E ，沿BE CE 、修两条小路，并在小路BE 上取点H ，将CH 段铺设成某种具有较高观赏价值的休闲通道（通道宽度忽略不计），根据设计要求，BHC BCE ∠=∠，为了节省铺设成本，要求休闲通道CH 的长度尽可能小，问CH 的长度是否存在最小值？若存在，求出CH 长度的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）5；（2）343-；（3）存在，最小值为403米【分析】（1）证明C ABD BA ∽△△，利用相似三角形的性质得到994CBA ABD S S == ，即可得到ACD 的面积；（2）证明ABE BCF ∽△△，进一步得到90APB ∠=︒，则证明点P 在矩形ABCD 内部以AB 为直径的O 上运动，连接,OP OC ，OC 交O 于点P '，进一求出3,34OP OP OB OC '====，则343CP OC OP ''=-=-，由CP OC OP ≥-，即可得到CP 的最小值；（3）证明,CBH EBC ∽得到2BC BE BH =⋅，则2AB BE BH =⋅，再证明,ABH EBA ∽得到120AHB EAB ∠=∠=︒，证明点H 在O 的劣弧 AB 上运动，求得90OBC ∠=︒，进一步求得403OH AO BO ===米，勾股定理可得803OC =米，记OC 与O 相交于点H '，则403OH OH '==米，求出403CH OC OH ''=-=米，由403CH OC OH '≥-=米，即可得到答案．【详解】（1）解：∵,BDA BAC ∠=∠B B ∠=∠，∴C ABD BA ∽△△，∴2439ABDCBA S BD S AB ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，∴994CBA ABD S S == ，∴ACD 的面积为945CBA ABD S S -=-= ，故答案为：5（2）∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABE BCF ∠=∠=︒，∵65BE CF =，6,5AB BC ==，∴65BE AB CF BC ==，∴ABE BCF ∽△△，∴BAE CBF ∠=∠，∵90CBF ABP ∠+∠=︒∴90BAE ABP ∠+∠=︒∴()18090APB BAE ABP ∠=︒-∠+∠=︒∴点P 在矩形ABCD 内部以AB 为直径的O 上运动，则1602BM AM AB ===米，题型二线段和的最小值问题【例1】（2024·四川达州·模拟预测）【问题发现】（1）如图1，在OAB 中，3OB =，若将OAB 绕点O 逆时针旋转120︒得OA B ''，连接BB '，则BB '=________．【问题探究】（2）如图2，已知ABC 是边长为BC 为边向外作等边BCD △，P 为ABC 内一点，连接AP BP CP ，，，将BPC △绕点C 逆时针旋转60︒，得DQC △，求PA PB PC ++的最小值；【实际应用】（3）如图3，在长方形ABCD 中，边1020AB AD ==，，P 是BC 边上一动点，Q 为ADP △内的任意一点，是否存在一点P 和一点Q ，使得AQ DQ PQ ++有最小值？若存在，请求出此时PQ 的长，若不存在，请说明理由．在OAB 中，3OB =，将 120BOB '∴∠=︒，OB OB '==OBB OB B ''∴∠=∠，OBB OB B B OB '''∠+∠+∠=PA PB PC PA ∴++=+∴当点D、Q、P、A⊥连接AD，作DE AC∠=∠=︒DCB BCA60本题主要考查了等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键在于利用旋转构造等边三角形，从而把三条不在一条直线的线段之和的问题，转换成几点共线求线段的最值问题是解题的关键．【例2】（2024·贵州毕节·一模）在学习了《图形的平移与旋转》后，数学兴趣小组用一个等边三角形继续进 是边长为2的等边三角形．行探究．已知ABC(1)【动手操作】如图1，若D为线段BC上靠近点B的三等分点，将线段AD绕点A逆时针旋转60︒得到线段AE，连接CE，则CE的长为________；(2)【探究应用】如图2,D 为ABC 内一点，将线段AD 绕点A 逆时针旋转60︒得到线段AE ，连接CE ，若,,B D E 三点共线，求证：EB 平分AEC ∠；(3)【拓展提升】如图3，若D 是线段BC 上的动点，将线段AD 绕点D 顺时针旋转60︒得到线段DE ，连接CE ．请求出点D 在运动过程中，DEC 的周长的最小值．（3）由ABD ACE ≌△△，得CE BD =，可得DEC 的周长BC DE =+，而DE AD =，知AD 的最小时，DEC 的周长最小，此时AD BC ⊥，即可求得答案．∵ABD ACE ≌△△，∴CE BD =，∴DEC 的周长DE CE =+∴当点D 在线段BC 上时，∵DEC 为等边三角形，1．（2024·陕西·二模）在平面直角坐标系中，A 为y 轴正半轴上一点，B 为x 轴正半轴上一点，且4OA OB ==，连接AB ．(1)如图1，C 为线段AB 上一点，连接OC ，将OC 绕点O 逆时针旋转90︒得到OD ，连接AD ，求AC AD +的值．(2)如图2，当点C 在x 轴上，点D 位于第二象限时，90ADC ∠=︒，且AD CD =，E 为AB 的中点，连接DE ，试探究线段AD DE +是否存在最小值？若存在，求出AD DE +的最小值；若不存在，请说明理由．又90AOB ∠=︒，∴四边形DMON 是矩形，∴90MDN ∠=︒，大值和最小值分别是______和______；（2）如图2，在矩形ABCD 中，4AB =，6AD =，点P 在AD 上，点Q 在BC 上，且AP CQ =，连接CP 、QD ，求PC QD +最小时AP 的长；（3）如图3，在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点D 到AB 的距离为，动点E 、F 在AD 边上运动，始终保持3EF =，在BC 边上有一个直径为BM 的半圆O ，连接AM 与半圆O 交于点N ，连接CE 、FN ，求CE EF FN ++的最小值．如图，当点P 在AO 的延长线上时，此时PA 的最大值为：PO OA +故答案为：11；3；（2）延长BA 至点B '，使AB ∵在矩形ABCD 中，4AB =，∴DAB BAP CBA '∠=∠=∠=∠∴DA 垂直平分BB '，∴PB PB '=，（3）如图，过点F 作FG EC ∥，交BC OG '，NO ，∵在ABCD Y 中，10AB =，20AD =，点∴AD BC ∥，即EF CG ∥，BC AD =∴四边形EFGC 是平行四边形，∴3GC EF ==，FG EC =，【点睛】本题考查圆的基本性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，对称的性质，勾股定理，三角形三边关系定理，两点之间线段最短等知识点．灵活运用所学知识、弄清题意并作出适当辅助线是解题的关键．3．（2024·陕西西安·三模）【问题提出】（1）如图①，AB 为半圆O 的直径，点P 为半圆O 的 AB 上一点，BC 切半圆O 于点B ，若10AB =，12BC =，则CP 的最小值为；【问题探究】（2）如图②，在矩形ABCD 中，3AB =，5BC =，点P 为矩形ABCD 内一点，连接PB 、PC ，若矩形ABCD 的面积是PBC 面积的3倍，求PB PC +的最小值；【问题解决】（3）如图③，平面图形ABCDEF 为某校园内的一片空地，经测量，AB BC ===60B ∠︒，150BAF BCD ∠=∠=︒，DE DC ⊥，20CD =米，劣弧 EF所对的圆心角为90︒， EF 所在圆的圆心在AF 的延长线上，10AF =米．某天活动课上，九（1）班的同学准备在这块空地上玩游戏，每位同学在游戏开始前，在BC 上选取一点P ，在弧 EF上选取一点Q ，并在点P 和点Q 处各插上一面小旗，从点A 出发，先到点P 处拔下小旗，再到点Q 处拔下小旗，用时最短者获胜．已知晓雯和晓静的跑步速度相同，要使用时最短，则所跑的总路程()AP PQ +应最短，问AP PQ +是否存在最小值？若存在，请你求出AP PQ +的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）8；（2）41；（3）AP PQ +存在最小值，最小值为()20310m -．【分析】（1）连接OC 交O 于点1P ，则1CP是CP 的最小值，求出1CP 的长即可，（2）过点P 作PH BC ⊥于点H ，作EF BC ∥，连接BC '，BP C P '+的最小值，即为BC '的长度，求出BC '即可，（3）连接AC ，作点A 关于BC 的对称点A '，连接PA '，A Q '，AA '，过A '作A N ED '⊥，分别交ED 、AC 的延长线于点N 、M ，分别延长AF ，DE 交于点O ，连接OQ ，OA '，当A Q '取得最小值时，AP PQ +的值最小，即A Q ''的长，求出A Q ''即可．解：（1）如图，连接OC 交O 于点1P ，连接OP ，点P 为半圆O 的AB上一点，∴当点P 与点1P 不重合时，CP OC OP >-，当点P 与点1P 重合时，1CP CP OC OP ==-，CP OC OP ∴≥-，CP ∴的最小值OC OP =-，BC 切半圆O 于点B ，90ABC ∴∠=︒，152OB OP AB === ，12BC =，2212513OC ∴=+=，CP ∴的最小值1358OC OP =-=-=，故答案为：8．（2）过P 作PH BC ⊥，如图，矩形ABCD 的面积是13553PBC S ∴=⨯⨯= 2PH ∴=，60ABC ∠=︒ ，AB BC ==ABC ∴ 是等边三角形，60BAC BCA ∴∠=∠=︒，150BAF BCD ∠=∠=︒ ，DE ACD MCD CAO ∴∠=∠=∠=AA M '∴ 和OA N '△都是直角三角形，四边形,E G分别作,,⊥⊥与EF交于点F，连接CF．EF AD FG AB FG特例感知（1）以下结论中正确的序号有______；ED CF BG为边围成的三角形不是直①四边形AGFE是矩形；②矩形ABCD与四边形AGFE位似；③以,,角三角形；类比发现（2）如图2，将图1中的四边形AGFE绕着点A旋转，连接BG，观察CF与BG之间的数量关系和位置关系，并证明你的发现；拓展应用（3）连接CE ，当CE 的长度最大时，①求BG 的长度；②连接,,AC AF CF ，若在ACF △内存在一点P ，使CP AP ++的值最小，求CP AP ++的最小值．∴HF DE =，CH BG =∴CHF 是直角三角形，∵四边形ABCD 是矩形，∴43AB CD ==，AD =∴228AC AB BC =+=，则由（2）知，90CEF ∠=︒，∵2247CF CE EF =+=∴3221BG CF ==；根据旋转，可得30PAF KAL ∠=∠=∴3KL PF =，过P 作PS AK ⊥于S ，则12PS AP =∴32KS AK AS AP =-=，则tan ∠题型三面积的最小值问题【例1】（新考法，拓视野）（2024·陕西西安·一模）【问题提出】（1）如图1，已知在边长为5的等边ABC 中，点D 在边BC 上，3BD =，连接AD ，则ACD 的面积为；【问题探究】（2）如图2，已知在边长为6的正方形ABCD 中，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上，且45EAF ∠=︒，若5EF =，求AEF △的面积；【问题解决】（3）如图3是某座城市廷康大道的一部分，因自来水抢修在4AB =米，AD =ABCD 区域内开挖一个AEF △的工作面，其中B 、F 分别在BC CD 、边上（不与B 、C 、D 重合），且60EAF ∠=︒，为了减少对该路段的拥堵影响，要求AEF △面积最小，那么是否存在一个面积最小的AEF △？若存在，请求出AEF △面积的最小值；若不存在，请说明理由．（2）如图所示，延长∵四边形ABCD 是正方形，∴AB AD D =，∠∴ABG ADF ≌∴AG AF DAF =，∠（3）把ADF △绕点A ∴33AG AF FAG =，∠∵60EAF ∠=︒，∴30EAG ∠=︒，本题主要考查了圆周角定理，勾股定理，旋转的性质，解直角三角形，正方形的性质，等边三角形的性质与判定，矩形的性质与判定，全等三角形的性质与判定等等，通过作出辅助线构造直角三角形，全等三角形是解题的关键．【例2】（2024·陕西西安·二模）图形旋转是解决几何问题的一种重要方法．如图1，正方形ABCD 中，E F 、分别在边AB BC 、上，且45EDF ∠=︒，连接EF ，试探究AE CF EF 、、之间的数量关系．解决这个问题可将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒到CDH △的位置（易得出点H 在BC 的延长线上），进一步证明DEF 与DHF △全等，即可解决问题．(1)如图1，正方形ABCD 中，45,3,2EDF AE CF ∠=︒==，则EF =______；(2)如图2，正方形ABCD 中，若30EDF ∠=︒，过点E 作EM BC ∥交DF 于M 点，请计算AE CF +与EM 的比值，写出解答过程；(3)如图3，若60EDF ∠=︒，正方形ABCD 的边长8AB =，试探究DEF 面积的最小值．,,,D F H G 四点共圆；进而可得30FHG ∠=，根据13tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒，即可求解；（3）过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，得出4DEF S EM = ，进而根据（2）的方法得出3EM GH FH ==，根据FC AE CH ==时，面积最小，得出32163OF =-，即可求解．【详解】（1）解：∵将ADE V 绕点D 逆时针旋转90︒，∴90DCH A DCB ∠=∠=︒=∠，DH DE HDC EDA=∠=∠，∴点H 在BC 的延长线上，∵四边形ABCD 是正方形∴90ADC ∠=︒，∵45EDF ∠=︒，∴45HDF CDH FDC ADE FDC EDF∠=∠+∠=∠+∠=︒=∠又∵DF DF =，∴DEF ()SAS DHF ≌，∴235EF FH FC CH FC AE ==+=+=+=，故答案为：5．（2）解：将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG∴,AED CHD DEM DHG ∠=∠∠=∠，∵EM BC ∥，则EM AB ⊥，∴90AEM ∠=︒，∴90CHG CHD DHG AED DEM AEM ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒，∵30EDF ∠=︒，EM BC ∥则EM AD ∥，∴ADE CDH ∠=∠，30GDH MDE ∠=∠=︒，∵EM BC ∥，∴EMF DFC ∠=∠，∴180EMD EMF EMD DFC ∠+∠=∠+∠=︒，即180DFC DGH ∠+∠=︒，∴,,,D F H G 四点共圆；∴30GFH GDH ∠=∠=︒，又30FHG ∠=︒∴1tan 30AE CF CH CF FH EM GH GH ++====︒（3）如图，过点E 作EK CD ⊥于K ，交DF 于M ，作FT EK ⊥于T ，90FTK TKC BCD ∠=∠=∠=︒∴四边形CFTK 是矩形，FT CK∴=8DK CK DK FT ∴+=+=111()4222DEF EMD EMF S S S DK EM FT EM DK FH EM ∴=+=⋅+⋅=+= 同（2）将ADE V ，DEM △绕点D 逆时针旋转90︒，得,DCH DHG ，可得60GFH EDM ∠=∠=︒，EM GH=∵2220-+=≥，∴FH x y =+≥当且仅当x y =时取得等于号，此时FC AE CH ==，设,,,D F H G 的圆心为O ，∵DC FH ⊥，FC CH =，∴DC 经过点O ，∴OF OD =，sin 602OC OF OF =︒=∵8OD OC +=即82OF +=解得：32OF =-∴232FH FC OF ===-∴48GH ==-，∴()44448192DEF S EM GH ===-=- ，即DEF 面积的最小为192-．【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质、全等三角形的判定与性质、四点共圆等知识，解直角三角形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．1．（2023·陕西西安·一模）问题发现（1）在ABC 中，2AB =，60C ∠=︒，则ABC 面积的最大值为；（2）如图1，在四边形ABCD 中，6AB AD ==，90BCD BAD ∠=∠=︒，8AC =，求BC CD +的值．问题解决（3）有一个直径为60cm 的圆形配件O ，如图2所示．现需在该配件上切割出一个四边形孔洞OABC ，要求60O B ∠=∠=︒，OA OC =，并使切割出的四边形孔洞OABC 的面积尽可能小．试问，是否存在符合要求的面积最小的四边形OABC ？若存在，请求出四边形OABC 面积的最小值及此时OA 的长；若不存在，请说明理由．∴当点C 在C '的位置，即∴C A C B ''=，BD =∴ABC '△是等边三角形，∴2C B AB '==，∴B ADE ∠=∠，BAC ∠∵6AB AD ==，BCD ∠∴180B ADC ∠+∠=︒，∵180ADE ADC ∠+∠=∵60AOC ∠=︒，OA OC =∴将AOB 绕O 点顺时针旋转∴60BOE ∠=︒，OE OB =∴BOE △是等边三角形，∴160302BE OB ==⨯=，（1）如图①，已知ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，则AB 的长为______．问题探究：（2）如图②，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，点E ，F 分别在边AC ，BC 上，且90EDF ∠=︒．证明：DE DF =．问题解决：（3）如图③，李叔叔准备在一块空地上修建一个矩形花园ABCD ，然后将其分割种植三种不同的花卉．按照他的分割方案，点P ，Q 分别在AD ，BC 上，连接PQ 、PB 、PC ，60BPC ∠=︒，E 、F 分别在PB 、PC 上，连接QE 、QF ，QE QF =，120EQF ∠=︒，其中四边形PEQF 种植玫瑰，ABP 和PCD 种植郁金香，剩下的区域种植康乃馨，根据实际需要，要求种植玫瑰的四边形PEQF 的面积为2，为了节约成本，矩形花园ABCD 的面积是否存在最小值？若存在，请求出矩形ABCD 的最小面积，若不存在，请说明理由．当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，根据2ABCD PEQF S S =四边形四边形，即可求解．【详解】解：（1）∵ABC 是面积为AD 是BAC ∠的平分线，∴12BD CD AB ==设ABC 的边长为a∴2AD a =∴2112224ABC S BC AD a a a =�创=∴24a =解得：4a =，故答案为：4．（2）如图所示，连接CD，∵在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，4AB =，点D 为AB 的中点，∴CD AD =，90ADC ∠=︒，45A DCF ∠=∠=︒又∵90EDF ∠=︒∴ADE ADC CDE EDF EDC CDF∠=∠-∠=∠-∠=∠在,ADE CDF △△中，45A DCF ADE CDF AD CD ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADE CDFV V ≌∴DE DF =；（3）如图所示，∵60BPC ∠=︒，120EQF ∠=︒，∴36060120180PFQ PEQ ∠+∠=︒-︒-︒=︒将QFP △绕点Q 逆时针旋转120︒，得到EQG ，∴,,P E G 三点共线，∴四边形PEQF 的面积等于PQG ，又∵120,PQG PQ GQ ∠=︒=，∴30QPG QGP ∠=∠=︒过点Q 作QN PG ⊥于点N ，则12QN PQ =设PQ b =，则1,22NQ b PN b ==∴2PG PN ==∴21112224PQG S PG NQ b b =⨯=⨯⨯=∵四边形PEQF 的面积为∴16b =，即16PQ =,如图所示，作QM PM ⊥于点M ，∵30EPQ FPQ ∠=∠=︒，QM PM ⊥，QN PG ⊥，则QN QM =，在,ENQ FMQ 中，QN QM EQ FQ=⎧⎨=⎩∴()HL ENQ FMQ ≌，同理可得PNQ PMQ≌则2PNQPEQF S S = 四边形∴PEQF PNQM S S =四边形四边形，作点Q 关于PE 的对称点T ，连接PT ，则PTQ 是等边三角形，则PTQ S = ，如图所示，依题意，当PQ BC ⊥时，矩形ABCD 的面积最小，此时,E F 与,N M 重合，，∴22128ABCD PEQF S S ==⨯四边形四边形∴矩形ABCD 的最小面积为2【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，综合运用以上知识是解题的关键．3．（2024·陕西榆林·二模）（1）如图1，AB CD ∥，1,2AB CD ==，AD ，BC 交于点E ，若4=AD ，则AE =；（2）如图2，矩形ABCD 内接于O ，2,AB BC ==，点P 在 AD 上运动，求PBC 的面积的最大值；（3）为了提高居民的生活品质，市政部门计划把一块边长为120米的正方形荒地ABCD (如图3)改造成一个户外休闲区，计划在边AD ，BC 上分别取点P ，Q ，修建一条笔直的通道PQ ，要求2CQ AP =，过点B 作BE PQ ⊥于点E ，在点E 处修建一个应急处理中心，再修建三条笔直的道路BE CE DE ，，，并计划在CDE 内种植花卉，DEP 内修建老年活动区，BCE 内修建休息区，在四边形ABEP 内修建儿童游乐园．问种植花卉的CDE 的面积是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由．∵四边形ABCD 是矩形，90ABC ∴∠=︒，AC ∴是O 的直径．在Rt ABC △中，tan BC BAC AB∠=60BPC BAC ∴∠=∠=︒过点O 作OE BC ⊥，垂足为E ，延长连接P B P C ₂，₂，此时P BC ₂的面积最大．理由：在 AD 上任意另取一点P。

平面几何的最值问题阅读与思考几何中的最值问题是指在一定的条件下，求平面几何图形中某个确定的量（如线段长度、角度大小、图形面积）等的最大值或最小值． 求几何最值问题的基本方法有：1．特殊位置与极端位置法：先考虑特殊位置或极端位置，确定最值的具体数据，再进行一般情形下的推证．2．几何定理（公理）法：应用几何中的不等量性质、定理．3．数形结合法等：揭示问题中变动元素的代数关系，构造一元二次方程、二次函数等．例题与求解【例1】在Rt △ABC 中，CB =3，CA =4，M 为斜边AB 上一动点．过点M 作MD ⊥AC 于点D ，过M 作ME ⊥CB 于点E ，则线段DE 的最小值为 ．解题思路：四边形CDME 为矩形，连结CM ，则DE = CM ，将问题转化为求CM 的最小值．【例2】如图，在矩形ABCD 中，AB =20cm ，BC =10cm ．若在AC ，AB 上各取一点M ，N ，使BM +MN 的值最小，求这个最小值．ADMN解题思路：作点B 关于AC 的对称点B ′，连结B ′M ，B ′A ，则BM = B ′M ，从而BM +MN = B ′M +MN ．要使BM +MN 的值最小，只需使B ′M 十MN 的值最小，当B ′，M ，N 三点共线且B ′N ⊥AB 时，B ′M +MN 的值最小．【例3】如图，已知□ABCD ，AB =a ，BC =b (b a )，P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ．求AP +BQ 的最小值．PDA BQ解题思路：设AP =x ，把AP ，BQ 分别用x 的代数式表示，运用不等式以ab b a 222≥+或a +b ≥2ab（当且仅当a =b 时取等号）来求最小值． 【例4】阅读下列材料：问题 如图1，一圆柱的底面半径为5dm ，高AB 为5dm ，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从A 点出发沿圆柱表面爬行到C 点的最短路线． 小明设计了两条路线：图2图1摊平沿AB 剪开ACBBA路线1：侧面展开图中的线段AC ．如图2所示．设路线l 的长度为l 1，则l 12 =AC 2=AB 2 +BC 2 =25+(5π) 2=25+25π2． 路线2：高线AB 十底面直径BC ．如图1所示．设路线l 的长度为l 2，则l 22 = (BC +AB )2=(5+10)2 =225．∵l 12 – l 22 = 25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l 12 ＞l 22 ，∴ l 1＞l 2 ． 所以，应选择路线2．(1)小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1分米，高AB 为5分米”继续按前面的路线进行计算．请你帮小明完成下面的计算： 路线1：l 12=AC 2= ；路线2：l 22=（AB +BC ）2= ．∵ l 12 l 22，∴l 1 l 2 （ 填“＞”或“＜”），所以应选择路线 （填“1”或“2”）较短．(2)请你帮小明继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r ，高为h 时，应如何选择上面的两条路线才能使蚂蚁从点A 出发沿圆柱表面爬行到C 点的路线最短．解题思路：本题考查平面展开一最短路径问题．比较两个数的大小，有时比较两个数的平方比较简便．比较两个数的平方，通常让这两个数的平方相减．【例5】如图，已知边长为4的正方形钢板，有一个角锈蚀，其中AF =2，BF =1．为了合理利用这块钢板，将在五边形EABCD 内截取一个矩形块MDNP ，使点P 在AB 上，且要求面积最大，求钢板的最大利用率．NMEDAB解题思路：设DN =x ，PN =y ，则S =xy ．建立矩形MDNP 的面积S 与x 的函数关系式，利用二次函数性质求S 的最大值，进而求钢板的最大利用率．【例6】如图，在四边形ABCD 中，AD =DC =1，∠DAB =∠DCB =90°，BC ，AD 的延长线交于P ，求AB ·S △P AB 的最小值．1ABD解题思路：设PD =x (x >1)，根据勾股定理求出PC ，证Rt △PCD ∽Rt △P AB ，得到PCPACD AB ，求出AB ，根据三角形的面积公式求出y =AB ·S △P AB ，整理后得到y ≥4，即可求出答案．。

初中几何中的最值问题主要涉及到求解图形的最大值或最小值，以下是一些常见的几何最值问题的归纳：
1.矩形最大面积：给定一定的周长，求解能够构成的矩形中面积最大的情况。

这个
问题可以通过对矩形的边长关系进行分析和求导来解决。

2.三角形最大面积：给定一条固定的边长和该边对应的高，求解能够构成的三角形
中面积最大的情况。

通常使用面积公式和高度相关的关系进行求解。

3.圆内接多边形最大面积：给定一个圆，求解能够内接于该圆的正多边形中面积最
大的情况。

通过分析正多边形的边长和面积的关系，可以求解最值。

4.直线与曲线的最短距离：给定一条直线和一条曲线，求解离直线最近的曲线上的
点。

这个问题可以通过计算点到直线的距离并求最小值来解决。

5.圆与线段的最大面积：给定一条线段，求解能够与该线段构成的圆中面积最大的
情况。

这个问题可以通过计算圆的面积与半径的关系进行求解。

这些是初中几何中常见的最值问题的归纳，每个问题都有不同的解题方法和技巧。

在解决这些问题时，需要灵活运用几何知识和数学推理，结合具体的题目条件进行分析和求解。