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全国中学生物理竞赛复赛试题全卷共六题，总分为140分。
一、（20分）一汽缸的初始体积为0V ，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可以忽略）。
平衡时气体的总压强是3.0atm ，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0atm 。
若让其继续作等温膨胀，使体积再次加倍。
试计算此时：1.汽缸中气体的温度；2.汽缸中水蒸气的摩尔数；3.汽缸中气体的总压强。
假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。
二、（25分）两个焦距分别是1f 和2f 的薄透镜1L 和2L ，相距为d ，被共轴地安置在光具座上。
1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。
三、（25分）用直径为1mm 的超导材料制成的导线做成一个半径为5cm 的圆环。
圆环处于超导状态，环内电流为100A 。
经过一年，经检测发现，圆环内电流的变化量小于610A －。
试估算该超导材料电阻率数量级的上限。
提示：半径为r 的圆环中通以电流I 后,圆环中心的磁感应强度为02I B rμ= ,式中B 、I 、r 各量均用国际单位，720410N A μπ=⨯⋅－－。
四、（20分）经过用天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形势和分布情况有了较深刻的认识。
双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。
一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。
现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ，两者相距L 。
他们正绕两者连线的中点作圆周运动。
1. 试计算该双星系统的运动周期T 计算。
2. 若实验上观测到的运动周期为T 观测，且:1:1)T T N =>观测计算。
为了解释T 观测与T 计算的不同，目前有一种流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质。
第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题全卷共六题，总分为140分。
（16届复赛）一、（20分）一汽缸的初始体积为0V ，其中盛有2mol 的空气和少量的水（水的体积可以忽略）。
平衡时气体的总压强是3.0atm ，经做等温膨胀后使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0atm 。
若让其继续作等温膨胀，使体积再次加倍。
试计算此时：1.汽缸中气体的温度；2.汽缸中水蒸气的摩尔数；3.汽缸中气体的总压强。
假定空气和水蒸气均可以当作理想气体处理。
一、参考解答1 只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸气压强之和： 3.0atm p p p =+=总空饱00 （1）第一次膨胀后 102V V =2.0atm p p p =+=总空饱11 （2）由于第一次膨胀是等温过程，所以0102p V p V p V ==空空空011 （3） 解（1）、（2）、（3）三式，得1.0atm p =饱 （4）2.0atm p =空0 （5） 1.0atm p =空1 （6）由于 1.0atm p =饱，可知汽缸中气体的温度0373K T = （7）根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。
2 设水蒸气为mol γ水．经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为p 饱，这时对于水蒸气和空气分别有10p V RT γ=饱水 （8） 1002p V RT RT γ==空1空 （9）由此二式及（5）、（6）式可得2mol γ=水 （10） 3. 在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有21p V p V =总2总1 （11）1999年由题意知，204V V =，102V V =，再将（2）式代入，得1.0atm p =总2 （12）（16届复赛）二、（25分）两个焦距分别是1f 和2f 的薄透镜1L 和2L ，相距为d ，被共轴地安置在光具座上。
1. 若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？ 2. 根据所得结果，分别画出各种可能条件下的光路示意图。
上海市第十六届初中物理竞赛(大同中学杯)复赛试题(2002年)说明:1、本试题共有五大题，答题时间为120分钟，试卷满分为150分。
2、答案及解答过程均写在答卷纸上。
其中第一大题～第二大题只要写出答案，不写解答过程；第三大题～第五大题要写出完整的解答过程。
一.选择题(以下每题只有一个选项符合题意，每小题4分，共32分) 1.在下列四个事件中，经历时间最接近一秒钟的是( ) A 人眨一下眼。
B 人在安静时呼吸一次。
C 人在感冒时打一个喷嚏。
D 人在做剧烈运动时(如快速蹬楼)脉博跳动一次。
2.手掌中托一小石块，将它竖直向上抛出，在小石块与手掌脱离时，则( ) A 小石块不受任何力的作用。
B 小石块与手掌的运动速度相等。
C 小石块比手掌运动得快。
D 小石块速度继续增大，手掌速度将减小。
3.向如图1所示的玻璃瓶内注入水，然后将插有细玻璃管的软木塞塞紧玻璃瓶，玻璃瓶壁有A 、B 两个孔，也用软木塞子塞住。
瓶内液面如图1所示，现将A 、B 处的木塞同时拔去后，则下列说法中正确的是( ) A A 、B 两孔中均无水射出。
B A 、B 两孔中均有水射出。
C A孔中无水射出，B 孔中有水射出。
D A 孔中有水射出，B 孔中无水射出。
4.如图2所示，有三只底面积均为S 、水面高度相同，但形状不同的盛水容器a 、b 、c 。
现将三只相同的实心铝球分别放入容器a 、b 、c 中，铝球受到的浮力为F 。
设水对容器底部压强的增大值分别为△P 1、△P 2和△P 3，则下列说法中正确的是( ) A △P 1=△P 2=△P 3=F/S 。
B △P 1>F/S ，△P 2=F/S ，△P 3<F/S 。
C △P 1=F/S ，△P 2<F/S ，△P 3>F/S 。
D △P 1<F/S ，△P 2>F/S ，△P 3<F/S.5.如图3所示，用一根电阻为6R 的粗细均匀的镍铬合金线做成一个环，在环上6个对称的点上，焊接6个不计电阻的导线，并与接线柱连接，现有一根不计电阻的导线将6个接线柱中的任意两个相连接，利用这种方法，可以在其它各接线柱之间的获得不同阻值(不含零电阻)的总个数和最大电阻值分别是( ) A 9种，最大为1.5R 。
上海市第十六届高二物理竞赛复赛试题2 、答案及解答过程均写在答题纸上。
其中第一、二大题只要写出答案，不写解答过程；第三、四大题要写出完整的解答过程。
3 、本卷中重力加速度用 g 表示，需要求数值时取 10 m /s 2 。
一．单选题（每小题 5 分，共 40 分）1 ．理想气体微观模型基本假设是（）（ A ）只考虑气体分子间的引力作用（ B ）只考虑气体分子间的斥力作用（ C ）既考虑气体分子间的引力又考虑斥力作用（ D ）把气体分子看作没有大小的刚性球2 ．一定质量的理想气体，开始时处于某一初始温度，现要使它的温度经变化后回到初始温度，下列过程中可以实现的是（）（ A ）等容降压后等压膨胀（ B ）等压膨胀后等容降压（ C ）等容增压后等压膨胀（ D ）等压膨胀后等容增压3 ．空中有一气球，下方连一绳梯，它们的总质量为 M ，在梯上站一质量为 m 的人。
起始时气球与人相对于面静止，当人相对于绳梯以速度 v 向上爬时，握的速度为（以向上为正）（ A ）－（ B ）－（ C ）－（ D ）－4 ．如图所示，一半径为 R 、质量为 M 的 1/4 光滑圆弧槽 D ，放在光滑的水平面上，有一质量为 m 的小球由 A 点静止释放，在下滑到 B 点的过程中，下述说法正确的是（）（ A ）以地面为参考系，小球到达 B 处时相对于地的速度 v 满足mv 2 ＝ mg R（ B ）以槽为参考系，小球到达 B 处时相对于槽的速度v ’ 满足mv ’ 2 ＝ mg R（ C ）以地面为参考系，以小球、槽和地球为系统，机械能守恒（ D ）不论以槽或地面为参考系，以小球、槽和地球为系统的机械能均不守恒5 ．一质点做简谐运动，周期为 T ，当它由平衡位置向 x 轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需的时间为（）（ A ） T /4 （ B ） T /6 （ C ） T /8 （ D ） T /126 ．平行板电容器与电源连接充电。
第十六届复赛答案一、参考答案1．因为泵的总扬程=吸水扬程+压水扬程,离心式水泵的吸水扬程是由大气压决定的，当大气压为标准大气压时，吸水扬程实际不会超过10m 。
所以泵不能放在B 处，只能放在A 处。
2．不考虑水的动能，①增加的势能按13.8m 计算:已知t =30min 、h =13.8m 、V =120m 3、η=0.6。
则W 有= mgh =1.656×107J 。
因为η=总有W W ，所以J 1076.27⨯==η有总W W 。
即应购置水泵的功率为kW 3.15==t W P 总总。
②增加的势能按15m 计算，应购置水泵的功率为P 总=16.7kW 。
综上所述可知，所提供的水泵满足要求。
3．不可行。
若离心泵至水面段用橡皮管，由于大气压作用可能将橡皮管压扁而影响正常工作。
建议离心泵至水面段用硬质管，为节约起见，泵以上水管可用软橡皮管。
二、参考答案1．用细线悬挂直木棍作支点；2．用细线栓好矿石挂在支点左侧，在支点的右侧挂一块石头，移动矿石和石块悬挂的位置直到木棍水平平衡；3．用皮尺分别量出悬挂矿石和石块的点到支点的距离分别为l1、l2，如答图1所示；4．将矿石浸没在水中，移动挂石块的位置直到木棍再次水平平衡；5．用皮尺量出悬挂石块的点到支点的距离为l3，如图2所示；6．推导计算矿石密度的表达式：由杠杆平衡条件，解得322l l l -=水矿ρρ。
三、参考答案1．A 管的作用一是排气，二是溢水。
因为汽油桶改做水箱后，如果不安装A 管排气的话，,上水时会把一些空气密闭在里面，就不易将水注满；而且，,上方的空气还影响箱内水温升高。
2．阀门Ⅰ控制进入水箱的冷水；阀门Ⅱ控制进入淋浴喷头的热水；阀门Ⅲ控制进入淋浴喷头的冷水。
通过阀门Ⅱ、阀门Ⅲ调节进入淋浴喷头的冷热水的多少可以改变淋浴喷头喷出的水的温度。
3．给热水器上水时，阀门Ⅰ应打开,阀门Ⅱ、阀门Ⅲ应关闭。
洗澡时,阀门Ⅰ应关闭，阀门Ⅱ、阀门Ⅲ应打开。
1999年第十六届全国中学生物理竞赛预、复赛试题及答案目录第十六届全国中学生物理竞赛预赛试卷 (1)第十六届全国中学生物理竞赛预赛题参考解答 (4)第十六届全国中学生物理竞赛复赛试题 (13)第十六届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答 (15)第十六届全国中学生物理竞赛预赛试卷全卷共九题，总分为140分。
一、（10分）1．到1998年底为止，获得诺贝尔物理学奖的华人共有_______人，他们的姓名是______ _______________________________________________________________________________。
2．1998年6月3日，美国发射的航天飞机“发现者”号搭载了一台α磁谱仪，其中一个关键部件是由中国科学院电工研究所设计制造的直径1200mm 、高800mm 、中心磁感强度为0.1340T 的永久磁体。
用这个α磁谱仪期望探测到宇宙中可能存在的_____________。
3．到1998年底为止，人类到达过的地球以外的星球有_______________，由地球上发射的探测器到达过的地球以外的星球有__________________。
二、（15分）一质量为M 的平顶小车，以速度0v 沿水平的光滑轨道作匀速直线运动。
现将一质量为m 的小物块无初速地放置在车顶前缘。
已知物块和车顶之间的动摩擦系数为μ。
1. 若要求物块不会从车顶后缘掉下，则该车顶最少要多长？2. 若车顶长度符合1问中的要求，整个过程中摩擦力共做了多少功？三、（15分）如图预16-3所示，两个截面相同的圆柱形容器，右边容器高为H ，上端封闭，左边容器上端是一个可以在容器内无摩擦滑动的活塞。
两容器由装有阀门的极细管道相连通，容器、活塞和细管都是绝热的。
开始时，阀门关闭，左边容器中装有热力学温度为0T 的单原子理想气体，平衡时活塞到容器底的距离为H ，右边容器内为真空。
现将阀门缓慢打开，活塞便缓慢下降，直至系统达到平衡。
全国中学生物理竞赛复赛浙江赛区实验试题（分光计）参考答案和评分标准一、光学题 汞灯是一种多谱线复合光源，试用分光计测量给定三棱镜对汞灯中绿光谱线的折射率（已知三棱镜的顶角为60度）。
（20分，90分钟）[器 材]：分光计1台、汞灯及电源1套、待测三棱镜1块（其中一面为毛面，两面为光面）、平面镜1块（设镜面与底座严格垂直），台灯1个。
[实验要求]：1、调节分光计到正常工作状态。
2、作出分光计在可测量状态时望远镜分划板上“十”字叉丝的自准直光路图。
3、写出测量方案（步骤、测量公式及简明原理图），按测量方案完成实验步骤，测量出实验数据，并根据实验数据写出测量结果的表达式。
4、简要说明误差来源。
参考答案：1． 目测粗调目测粗调望远镜的水平、垂直螺丝，使望远镜光轴过仪器转轴，并处于水平状态，调节b 1、b 2、b 3使载物台大致水平，然后拧紧载物台与游标盘锁定螺丝及望远镜与刻度盘锁定螺丝。
2． 调节望远镜①调节望远镜聚焦无穷远旋转望远镜目镜，使分划板上暗叉丝清晰，把平面镜放在载物台中心处，且与b 1b 2连线垂直，在望远镜目镜视野内找到“十”字叉丝反射像，前后移动望远镜套筒，直到“十”字叉丝反射像最清晰，并与暗叉丝无视差，最后套筒锁定。
②调节望远镜光轴与仪器转轴垂直调节b 3使“十”字叉丝反射像向MN 线上移近一半，再调节望远镜的倾斜螺丝使“十”字叉丝反射像落到MN 线上；旋转载物台180°，照上法调节。
反复多次，直到平面镜转动180°前后“十” + 图1 望远镜分划板上“十”字叉丝的自准直光路N +Ｑ L 物像 M B Ｐ图2 三棱镜折射率测量光路C b 1 b 2 b 3δ δ δi i ’ A 垂直底边入射法 任意入射角法 最小偏向角法r ’ r字叉丝反射像始终落在MN 线上。
3．调节载物台面与仪器转轴垂直将平面镜转动90度，调节b 1使望远镜分划板上“十”字叉丝反射像在MN 线上，然后使AC 面正对望远镜，调节b 2使望远镜分划板上“十”字叉丝反射像在MN 线上即可。
第27 届全国中学生物理竞赛复赛试卷本卷共九题，满分160 分．计算题的解答应写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤．只写出最后结果的不能得分．有数字计算的题．答案中必须明确写出数值和单位．填空题把答案填在题中的横线上，只要给出结果，不需写出求解的过程．一、（15 分）蛇形摆是一个用于演示单摆周期及摆长关系的实验仪器（见图）．若干个摆球位于同一高度并等间距地排成一条直线，它们的悬挂点在不同的高度上，摆长依次减小．设重力加速度g = 9 . 80 m/ s2 ,1 ．试设计一个包含十个单摆的蛇形摆（即求出每个摆的摆长），要求满足：( a ）每个摆的摆长不小于0 . 450m ，不大于1.00m ; ( b ）初始时将所有摆球由平衡点沿x 轴正方向移动相同的一个小位移xo ( xo <<0.45m ) ，然后同时释放，经过40s 后，所有的摆能够同时回到初始状态．2 ．在上述情形中，从所有的摆球开始摆动起，到它们的速率首次全部为零所经过的时间为________________________________________.二、（20 分）距离我们为L 处有一恒星，其质量为M ，观测发现其位置呈周期性摆动，周期为T ，摆动范围的最大张角为△θ．假设该星体的周期性摆动是由于有一颗围绕它作圆周运动的行星引起的，试给出这颗行星的质量m所满足的方程．若L=10 光年，T =10 年，△θ= 3 毫角秒，M = Ms （Ms为太阳质量），则此行星的质量和它运动的轨道半径r各为多少？分别用太阳质量Ms 和国际单位AU （平均日地距离）作为单位，只保留一位有效数字．已知1 毫角秒=11000角秒，1角秒=13600度，1AU=1.5×108km,光速 c = 3.0×105km/s.三、（22 分）如图，一质量均匀分布的刚性螺旋环质量为m，半径为R ，螺距H =πR ，可绕竖直的对称轴OO′，无摩擦地转动，连接螺旋环及转轴的两支撑杆的质量可忽略不计．一质量也为m 的小球穿在螺旋环上并可沿螺旋环无摩擦地滑动,首先扶住小球使其静止于螺旋环上的某一点A ，这时螺旋环也处于静止状态．然后放开小球，让小球沿螺旋环下滑，螺旋环便绕转轴O O′，转动．求当小球下滑到离其初始位置沿竖直方向的距离为h 时，螺旋环转动的角速度和小球对螺旋环作用力的大小．四、（ 12 分）如图所示，一质量为m、电荷量为 q ( q > 0 ）的粒子作角速度为ω、半径为 R 的匀速圆周运动.一长直细导线位于圆周所在的平面内，离圆心的距离为d ( d > R ) ，在导线上通有随时间变化的电流I, t= 0 时刻，粒子速度的方向及导线平行，离导线的距离为d+ R .若粒子做圆周运动的向心力等于电流 i ,的磁场对粒子的作用力，试求出电流 i 随时间的变化规律．不考虑变化的磁场产生的感生电场及重力的影响．长直导线电流产生的磁感应强度表示式中的比例系数 k 已知．五、（20分）如图所示，两个固定的均匀带电球面，所带电荷量分别为+Q和-Q (Q >0) ，半径分别为R和R/2，小球面及大球面内切于C点，两球面球心O和O’的连线MN沿竖直方在MN及两球面的交点B、0和C处各开有足够小的孔因小孔损失的电荷量忽略不计，有一质量为m，带电荷为q(q>0的质点自MN线上离B点距离为R的A点竖直上抛。
第十六届全国中学生物理竞赛决 赛 试 题一、在如图决16-1所示的装置中，上下两个容器和连接它们的细长管都是用热容量很小的良导热体做成的，管长为l ，K 为阀门，整个装置与外界绝热。
开始时，阀门关闭，两容器中都盛有质量为m ，单位质量的热容量为C 的某种液体。
平衡时，温度都是T 0。
由于该液体的蒸气分子受到重力的作用，所以平衡时，在管内的气体分子并非均匀分布，而是上疏下密，已知其蒸气压强是按指数规律分布：0h mghP P e kT-= 式中h 是管内某点距下面容器中液面的高度，P h 是该点的蒸气的压强，P 0是下面容器中液面处（即h =0处）蒸气的压强，m 是一个蒸气分子的质量，T 是热力学温度，k 是一个常数。
现在打开阀门，试论述该系统的状态将发生怎样的变化，并估算出变化最后的结果。
二、许多观察表明，自然界的周期性变化常会在地球上的动植物身上留下不同的痕迹。
鹦鹉螺是一种四亿多年前在地球上繁盛生长的软体动物，它的气室外壳上的波纹生长线数目随其生活的年代不同而不同。
1978年美国科学家卡姆和普姆庇在研究了不同地质年代的鹦鹉螺壳后，发现现存的9个当代鹦鹉螺个体的气室外壳上的生长线都是30条左右，而古代36例鹦鹉螺化石中，地质年代愈古老，生长线的数目愈少：距今29百万年的新生代渐新世的标本上有26条；距今100百万年的中生代白垩纪的标本上有22条；距今180百万年的中生代侏罗纪标本上有18条；距今320百万年的古生代石炭纪的标本上有15条；距今470百万年的古生代奥陶纪的标本上只有9条。
他们认为这些生长线记录着地球及其周围天体的演变历史，并根据上述数据作了一个大胆的假设：鹦鹉螺外壳上的生长线条数的变化是月球绕地球运动周期随年代变化的反映。
试问：由此假设你能得出关于月球运动的什么结论？试通过计算说明此结论。
注：假设从古至今，地球质量和自转周期以及月球质量都没有发生变化。
也不考虑物理常数的变化。
三、围绕地球周围的磁场是两极强，中间弱的空间分布。
第十六届全国中学生物理竞赛题号 一 二 三 四 五 六 总分 得分全卷共六题，满分为140分。
一、（20分）一汽缸的初始体积为0V ，其中盛有2摩尔的空气和少量的水（水的体积可忽略）。
平衡时气体的总压强是3.0大气压，经作等温膨胀使其体积加倍，在膨胀结束时，其中的水刚好全部消失，此时的总压强为2.0大气压。
若让其继续等温膨胀，使体积再次加倍。
试计算此时：1、汽缸中气体的温度；2、汽缸中水蒸汽的摩尔数；3、汽缸中气体的总压强。
假定空气和水蒸气均可当作理想气体处理。
二、（25分）两个焦距分别是1f 和2f 的薄透镜1L 和2L 相距为d ，被共轴地安装在光具座上。
1、若要求入射光线和与之对应的出射光线相互平行，问该入射光线应满足什么条件？2、根据所得结果，分别画出各种可能情况下的光路示意图。
三、（25分）用直径1 mm 的超导体材料制成的导线做成一个半径为5 cm 的圆环。
圆环处于超导状态，环内电流为100A 。
经过一年，经检测发现，环内电流的变化量小于610-A 。
试估算该超导体材料电阻率数量级的上限。
提示：半径为r 的圆环中通以电流I 后，圆环中心的磁感强度为B =r2I0μ，式中B 、I 、r 各量均用国际单位，0μ= 4π×710-N ·2A -。
四、（20分）经过天文望远镜长期观测，人们在宇宙中已经发现了许多双星系统，通过对它们的研究，使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识。
双星系统由两个星体构成，其中每个星体的线度都远小于两星体之间的距离。
一般双星系统距离其他星体很远，可以当作孤立系统处理。
现根据对某一双星系统的光度学测量确定，该双星系统中每个星体的质量都是M ，两者相距L ，它们正围绕两者连线的中点做圆周运动。
1、试计算该双星系统的运动周期计算T 。
2、若实验上观测到的运动周期为观测T ，且观测T ∶计算T = 1∶N ，（N ＞1）。
为了解释观测T 和计算T 的不同，目前由一中流行的理论认为，在宇宙中可能存在一种望远镜观测不到的暗物质，作为一种简化模型，我们假定在这两个星体连线为直径的球体内均匀分布着这种暗物质，而不考虑其他暗物质的影响。
试根据这一模型和上述观测结果确定该星系间这种暗物质的密度。
五、（25分）六个相同的电阻（阻值均为R ）连成一个电阻环，六个接点依次为1、2、3、4、5和6，如图复16 –5 - 1所示。
现有五个这样的相同的电阻环，分别称为1D 、2D 、…、5D 。
现将2D 的1、3、5三点分别与1D 的2、4、6三点用导线连接，如图复16 –5 - 2所示。
然后将3D 的1、3、5三点分别与2D 的2、4、6三点用导线连接，……依此类推，最后将5D 的1、3、5三点分别连接到4D 的2、4、6三点上。
2356245665421D 1D 23图复16 - 5 - 1图复16 - 5 - 21、 证明全部接好后，在1D 上的1、3两点间的等效电阻为R 627724。
2、 求全部接好后，在5D 上的1、3两点间的等效电阻。
六、（25分）如图复16 – 6所示，z 轴竖直向上，xy 平面是一绝缘的、固定的刚性平面。
在A （0x ，0，0）处放一带电量为 –q （q ＞0）的小物块，该物块与一细线相连，细线的另一端B 穿过位于坐标原点O 的光滑小孔，可以通过它牵引小物块。
现对该系统加一匀强电场，场强方向垂直于x 轴，与z 轴的夹角为θ。
设小物块和绝缘平面间的摩擦系数μ= tan θ，且静摩擦系数和滑动摩擦系数相同。
不计重力作用。
现通过细线来牵引小物块，使之移动。
在牵引过程中，我们约定：细线的B 端只准沿z 轴向下缓慢移动，不得沿z 轴向上移动；小物块的移动非常缓慢，在任何时刻，都可以近似认为小物块处在力平衡状态。
若已知小物块的移动轨迹是一条二次曲线，试求出此轨迹方程。
第十六届全国物理竞赛复赛试题解答一、1．只要有液态水存在，平衡时汽缸中气体的总压强就等于空气压强与饱和水蒸汽的压强之和。
0p 总 = 0p 空+ 饱p = 3.0大气压 （1）第一次膨胀后 01V 2V =+=11p P 空总饱p = 2.0大气压 （2）由于第一膨胀是等温过程，所以0p 空0V = 1p 空1V = 21p 空0V （3）解（1）、（2）、（3）得 饱p = 1.0大气压 （4） 0p 空 = 2.0大气压 （5）O A B y x z x 0图复16 - 6θ1p 空 = 1.0大气压 （6） 由于饱p =1.0大气压，可知汽缸中气体的温度K 373T 0= （7）根据题意，经两次膨胀，气体温度未改变。
2．设水蒸汽为水υ摩尔。
经第一次膨胀，水全部变成水蒸气，水蒸气的压强仍为饱p ，这时对于水蒸气和空气分别有饱p 1V = 水υR 0T （8） 1p 空1V = 空υR 0T = 2 R 0T （9）同此二式及（5）、（6）式可得水υ= 2摩尔 （10）3．在第二次膨胀过程中，混合气体可按理想气体处理，有22V p 总 = 11V p 总 （11）由题意知，,V 2V ,V 4V 0102==再将（2）式代入，得0.1p 2=总大气压 （12）评分标准 本题20分。
第1问、正确求得（7）式占9分；第2问、正确求得（10）式占7分；第3问、正确求得（12）式占有4分。
二、1．在图复解16 – 2 - 1所示的光路图中，入射光AB 经透镜1L 折射后沿BC 射向2L ，经2L 折射后沿CD 出射。
AB 、BC 、CD 与透镜主轴的交点分别为P 、P '和P ''，如果P 为物点，因由P 沿主轴射1O 的光线方向不变，由透镜性质可知，P '为P 经过1L 所成的像，P ''为P '经2L 所成的像，因而图中所示的1u 、1v 、2u 、2v 之间有下列关系：u 1v 1u 2v 2d L 1L 2B P Ah O 1O 2P′h′αα′βCP″图复解16 - 2 - 1f 1 212222111v u d f 1v 1u 1f 1v 1u 1+==+=+ ()()()321当入射光线PB 与出射光线平行时，图中的α'=α，利用相似三角形关系可求得,u v h h 12=' 12v u h h =' 从而求得1212v u u v =（4） 联立方程式（1）、（2）、（3）、（4），消去1v 、2u 、2v ，可得)f f (d df u 2111+-=（5） 具体运算过程如下；由（1）式可得 1f v u v 1111-= （a ） 由（2）式可得 1f u v u 2222-= （b ） 由（4）式可得 1122u v v u =（d ） 由（a ）、（b ）、（d ）式可得11222211v f f u ,f u f v ==即 以上式代入（3）式可得 2111,112f f d f v v f f 1d +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=即 （c ） 以（c ）式代入（1）式得 )f f (d df f f f d f d f f v v f u 211212112111111+-=--=-= （5） 由于 d 、1f 、2f 均已给定，所以1u 为一确定值，这表明：如果入射光线与出射光线平行，则此入射光线必须通过主轴上一确定的点，它在1L 的左方与1L 相距)f f (d df u 2111+-=处。
又由于1u 与α无关，凡是通过该点射向1L 的入射光线都和对应的出射光线相互平行。
2．由所得结果（5）式可以看出，当d ＞21f f +时，1u ＞0，此情况下的光路图就是图复解16 – 2 – 1 所示。
当d = 21f f +时，1u →∞，α= 0，此时入射光线和出射光线均平行于主轴，光路如图复解16 – 2 – 2所示。
当d ＜21f f +时，1u ＜0，这表明P 点在1L 右方，对1L 来说，它是虚物。
由（1）式可知，此时1v ＞ 0，由1122v f fu =可知2u ＞0，又由1122u v v u =＜0可知2u ＜0，所以此时的光路图如图复解16 – 2 – 3 。
h h′f 1f 2O 1O 2dP′d = f 1 + f 22h h′O 1O 2P′P″dP ααd ＜ f 1 + f 2图复解16 - 2 - 2图复解16 - 2 - 3评分标准 本题25分。
第1问17分，其中（1）、（2）、（3）式各2分，（4）式分，（5）式3分，结论4分；第2问8分，其中图复解16 – 2 - 1，16 –2 - 3各给3分，图复解16 – 2 - 2给2分。
三、根据题中所给的条件，当圆环内通过电流I 时，圆环中心的磁感强度B =r2I0μ 穿过圆环的磁量可近似为 φ ≈ B C =Ir 2I0πμ （1） 根据法拉第电磁感应定律，电流变化产生的感生电动势的大小t r2t 0∆∆Iπμ=∆∆Φ=ε （2） 圆环的电阻 R = t2r 0∆∆II πμ=I ε （3）根据题设条件r = 0.05 m, 270A N 104--⋅⨯π=μ, I = 100 A, t∆∆I≤610-安培/ 年 ≈ 3×1410-安培/秒，代入（3）式得R ≤ 3×Ω-2310 （4）由电阻与电阻率ρ、导线截面积S 、长度l 的关系R = S lρ 及已知导线的直径d = 1mm ,环半径r = 5mm ，得电阻率ρ = m 105.7r8d R l S R 292⋅Ω⨯==-。
评分标准 本题25分。
求得（1）、（2）、（3）、（4）、（5）式各得5分；其中（5）式只要数量级对即可。
四、1、双星均绕它们的连线的中点作圆周运动，设运动速度率为v ，向心加速度满足下面的方程：222L G M 2/L v M = （1） L2GMv =（2） 周期 )(GML2Lv2/L 2T ππ=计算 （3）2．根据观测结果，星体的运动周期计算观测T N1T =＜计算T （4）这说明双星系统中受到的向心力大于本身的引力，故它一定还受到其它指向中心的作用力。
按题意这一作用来源于均匀分布的暗物质，均匀分布在球体内的暗物质对双星系统的作用与一质量等于球内暗物质的总质量M '位于中点处的质点相同。
考虑暗物质作用于后双星的速度即为观察到的速度 观v ，则有()()L2M 4M G v 2/L M M G L GM 2/L v M 2222'+='+=观观()()65因为在轨道一定时，周期和速度成反比，由（4）式得v 1N1v 1=观 （7） 把（2）、（6）式代入（7）式得M 41N M -=' （8） 设所求暗物质的密度为ρ，则有()()33L 2M 1N 3M 41N 2/L 34π-=ρ-=ρπ故 （9）评分标准 本题20分。
