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基于Landau's变换的求解美式期权的有限差分法赵文雯;张琪;吕显瑞【摘要】We proposed a finite difference method based on Landau's transformation for the standard American put option pricing problem.Firstly,the Landau's transformation and truncation technique was used to transform the American option problem into a parabolic problem on a regular bounded domain,and then we used the finite difference method to solve the option price and used the Newton iteration method to solve the optimal exercise boundary at the same time.The numerical results show that the algorithm can effectively solve the optimal exercise boundary more smoothly than traditional binomial tree method,and can accurately simulate the American put option price.%针对标准美式看跌期权定价问题给出一种基于Landau's变换的有限差分法.先利用Landau's变换及截断技巧将美式期权问题转化为一个有界规则区域上的抛物问题,再利用有限差分法求解期权价格,并利用Newton迭代法同时求解出最佳实施边界.数值实验结果表明,该算法能快速有效地求解出较传统二叉树法更光滑的最佳实施边界,并能准确地模拟美式看跌期权价格.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2017(055)004【总页数】5页(P898-902)【关键词】美式看跌期权;Landau's变换;有限差分法【作者】赵文雯;张琪;吕显瑞【作者单位】吉林大学数学学院,长春 130012;天津机电职业技术学院,天津300350;吉林大学数学学院,长春 130012;吉林大学数学学院,长春 130012【正文语种】中文【中图分类】O241.8目前, 基于偏微分方程及变分不等式模型求解美式期权的研究已有很多成果, 例如: Cox等[1]给出了求解美式期权的二叉树法; Wang等[2]提出了迎风有限体积格式; Holmes等[3]提出了利用Front-Fixing变换处理求解区域的不规则边界; Zhang 等[4]在Lantos等[5]研究的基础上提出了一种基于完美匹配层求解美式期权的方法; Song等[6]在He[7]研究的基础上提出了预估校正方法. 本文针对美式期权边界不易处理的难点, 利用Landau’s变换给出解决方案, 并利用嵌套Newton迭代的有限差分法同时对期权价格V(S,t)及最佳实施边界B(t)进行求解.美式期权是一种具有提前实施权力的期权, 因此其价格在最佳实施边界一侧符合Black-Scholes(B-S)方程, 而最佳实施边界未知为问题的求解带来很多困难. 以美式看跌期权为例, 假设原生资产价格为S, 时间为t, 期权价格为V(S,t), σ,r,q,T,K分别表示原生资产波动率、无风险利率、原生资产红利率、期权到期时间及看跌期权敲定价格, 则美式看跌期权满足偏微分方程:其中： (K-S)+=max{K-S,0}; B(t)为看跌期权最佳实施边界. 因此, 美式看跌期权当B(t)≤S<+∞时满足B-S方程, 即问题求解区域一侧为未知的不规则边界, 而另一侧无界. 此外, 在求解期权价格过程中, 最佳实施边界未知, 因此还需对最佳实施边界值进行修正.首先, 对式(1)做变换:其中α,β为待定系数. 此时, 原问题将变成如下常系数的扩散问题:其中:利用Landau’s变换将原问题不规则的一侧变成规则边界:对于无界的一侧区域考虑如下引理:引理1[4] 任意给定0∈(0,1), 期权价格满足: V(S,t)≤0, ∀S≥KeL1, 0≤t<T, 其中引理2[8] 最佳实施边界B(t)满足B(T)≥B(t)≥KX. 其中: B(T)=Kmin{r/q,1}; KX为永久美式看跌期权的最佳实施边界,根据引理1和引理2做截断: L=1-L1/ln(X), 则截断后原问题变为此时已将原问题转化为规则区域的问题, 在此基础上可以进行数值求解.下面对式(3)采用θ格式的差分法进行离散, 引入时间剖分Jτ和空间剖分Ih:对式(3)中第一式的各部分做如下差分离散:从而式(3)的θ格式差分离散结果为其中.为了与上述离散方法精度匹配, 对式(3)中第四式采用二阶公式离散, 经过整理可将离散问题写成如下矩阵形式:其中A为N-1阶三对角矩阵, 系数如下:同时满足:定理1 当和足够小时, 系数矩阵A为M-矩阵, 且右端fm非负.证明: 考虑θ=0的情形, 当和足够小时, 易验证系数矩阵A当j=1,2,…,N-2时, 满足当j=N-1时, 满足当j=0时, 满足已知u0≥0, 若um-1≥0, 则可证明当h足够小时有综上, 可以证明系数矩阵A为M-矩阵, 且右端fm非负, 此时能保证数值解的非负性.下面考虑利用式(3)中第三式, 通过Newton迭代法对bm进行求解. 利用定义可知, bm满足方程为了利用Newton迭代法求解, 还需要对式(6)关于bm求导:在利用Q(bm)和Q′(bm)进行Newton迭代时,可以通过求解式(5)得到, 而对于Q′(bm)中的还需要对式(5)关于bm求导, 得其中gm为对Aum=fm求导后得到的右端. 对式(7)求解即可得.综上, 可得求解美式看跌期权的算法如下:算法1 基于Landau’s变换嵌套Newton迭代的差分法.For m=1∶M当j=0时, b(j)=bm-1-km对于j>0,通过式(5),(7)求解um和计算若重复上述运算, 否则bm=b(j), 终止循环;利用bm求解式(5), 得到最佳的um\%;end\%.考虑对一支敲定价格K=10的1年期美式看跌期权进行数值模拟, 其中模型(1)中参数分别为r=0.08, q=0.05, σ=0.2, 数值结果如图1所示. 图1(A)为本文基于Land au’s变换的有限差分法与二叉树法在求解最佳实施边界时的对比结果. 其中本文算法取M=256, N=256, 二叉树法中选取剖分数为M=2 048. 由图1(A)可见, 本文算法能较精确地给出最佳实施边界, 并且运算结果比二叉树法光滑. 图1(B)为通过本文算法得到的期权价格的三维图像. 由图1(B)可见, 本文算法在描述期权价格方面可行、有效.综上, 本文提出了一种基于Landau’s变换求解美式期权定价问题的有限差分法, 并通过数值实验验证了该算法的准确性, 在与二叉树方法对比中, 本文方法能得到更光滑的最佳实施边界曲线, 同时在表述期权价格方面也具有可行性.【相关文献】[1] Cox J C, Ross S A, Rubinstein M. Option Pricing: A Simplified Approach [J]. J Fin Econ, 1979, 7(3): 229-263.[2] WANG Hong, ZHAO Weidong. An Upwind Finite Volume Scheme and Its Maximum-Principle-Preserving ADI Splitting for Unsteady-State Advection-Diffusion Equations [J]. Numer Methods Partial Differ Equ, 2003, 19(2): 211-226.[3] Holmes A D, YANG Hongtao. A Front-Fixing Finite Element Method for the Valuation of American Options [J]. SIAM J Sci Comput, 2008, 30(4): 2158-2180.[4] ZHANG Kai, SONG Haiming, LI Jingzhi. Front-Fixing FEMs for the Pricing of American Options Based on a PML Technique [J]. Appl Anal, 2015, 94(5): 903-931.[5] Lantos N, Nataf F. Perfectly Matched Layers for the Heat and Advection-Diffusion Equations [J]. J Comput Phys, 2010, 229(24): 9042-9052.[6] SONG Haiming, ZHANG Ran. Projection and Contraction Method for the Valuation of American Options [J]. East Asian J Appl Math, 2015, 5(1): 48-60.[7] HE Bingsheng. A Class of Projection and Contraction Methods for Monotone Variational Inequalities [J]. Appl Math Optim, 1997, 35(1): 69-76.[8] 姜礼尚. 期权定价的数学模型和方法 [M]. 2版. 北京: 高等教育出版社, 2008: 151-169. (JIANG Lishang. Mathematical Modeling and Methods of Option Pricing [M]. 2nd ed. Beijing: Higher Education Press, 2008: 151-169.)。
有交易成本的回望期权定价研究
袁国军;杜雪樵
【期刊名称】《运筹与管理》
【年(卷),期】2006(015)003
【摘要】基于标的资产价格的几何布朗运动假设,Black-Scholes模型运用连续交易保值策略成功解决了完全市场下的欧式期权定价问题.然而,在实际的金融市场中,存在着数量可观的交易成本.本文主要研究了在不完全市场下有交易成本的回望期权的定价问题,并且利用Ito公式,得到了在该模型下期权价格所满足的微分方程.【总页数】3页(P141-143)
【作者】袁国军;杜雪樵
【作者单位】合肥工业大学,理学院,安徽,合肥,230009;合肥工业大学,理学院,安徽,合肥,230009
【正文语种】中文
【中图分类】F830.9
【相关文献】
1.跳-扩散模型中有交易成本的亚式期权的定价研究 [J], 刘勇;李娜
2.分数跳-扩散模型下具有交易费用的回望期权定价研究 [J], 王伟伟;韩松
3.分数跳-扩散模型下具有交易费用的回望期权定价研究 [J], 王伟伟;韩松;
4.有交易成本的期权定价研究 [J], 郑小迎;陈金贤
5.CEV过程下有交易费的回望期权定价研究 [J], 袁国军;肖庆宪
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《路径依赖型场外期权定价方法》阅读笔记目录一、导论 (2)1.1 研究背景与意义 (3)1.2 文献综述 (5)1.3 研究内容与方法 (6)二、路径依赖型场外期权概述 (6)2.1 路径依赖型场外期权的定义 (8)2.2 路径依赖型场外期权的特点 (8)2.3 路径依赖型场外期权的应用 (10)三、路径依赖型场外期权定价模型 (11)3.1 传统定价模型 (12)3.2 改进的定价模型 (13)3.2.1 基于随机微分方程的定价模型 (15)3.2.2 基于蒙特卡洛模拟的定价模型 (16)3.2.3 基于人工智能技术的定价模型 (17)四、路径依赖型场外期权定价模型的应用 (19)4.1 企业并购中的路径依赖型场外期权定价 (20)4.2 金融市场的路径依赖型场外期权定价 (21)4.3 其他领域的路径依赖型场外期权定价 (22)五、结论与展望 (23)5.1 研究成果总结 (24)5.2 研究不足与局限性 (26)5.3 未来研究方向与展望 (27)一、导论在金融市场的复杂与多变中，场外期权作为一种灵活且非标准化的金融衍生工具，其定价问题一直是理论研究与实际应用中的热点与难点。
不同于场内期权，场外期权往往具有更复杂的条款和更高的风险性，对其进行精确的定价成为了一项极具挑战性的任务。
“路径依赖型场外期权定价方法”便是在这样的背景下应运而生。
本文旨在探讨如何为这类特殊的场外期权定价，通过引入一种新颖的定价思路和方法，以期更准确地反映场外期权的真实价值，并为投资者提供更为有效的决策参考。
路径依赖型场外期权，其定价过程受到特定历史路径的影响。
这种路径依赖性使得场外期权的定价不再是简单的数学运算，而更多地需要考虑市场参与者的行为、市场条件的变化以及价格动态的相互作用。
传统的定价模型和算法往往难以胜任这一任务。
本文首先回顾了场外期权定价的相关文献，总结了现有研究的不足之处，进而提出了基于路径依赖思想的场外期权定价方法。
CEV过程下脆弱期权定价研究作者：袁国军肖庆宪来源：《金融经济·学术版》2013年第06期摘要：考虑了CEV过程下含有交易对手违约风险的脆弱期权定价。
根据无套利原理和偏微分方程方法，建立了CEV过程下脆弱期权定价模型，得到了定价方程。
然后基于半离散化方法，给出了数值解法，并对数值结果进行了分析。
关键词：期权定价，脆弱期权，CEV过程一、引言近年来，期权的场外市场（OTC Market）发展迅速，但是，由于场外交易的期权不受交易所的担保和保护，使得进入期权交易的双方都有可能违约，都面临着对方的信用风险，从而导致期权可能得不到执行。
与交易所期权不同的是，场外市场上的期权持有者面临着对手可能违约的信用风险，Johnson和Stulz[1]将在OTC上交易的含有信用风险的期权称为脆弱期权。
2007年，美国爆发的“次贷危机”再次说明，OTC市场上交易的金融衍生产品存在着严重的潜在信用风险，也使人们认识到了对含有对手信用风险的金融衍生产品进行合理定价的重要性及其现实意义。
虽然，目前我国资本市场开放受到限制，商业银行的国内业务发展迅猛，使得我国的金融市场在这次金融危机中受到的冲击有限。
但是，随着经济金融全球一体化进程的加剧和我国金融衍生产品市场的迅猛发展，金融机构及其监管部门越来越意识到了对信用风险进行管理并进行合理定价的重要性。
因此，合理评估OTC市场上含有信用风险的期权的价值，有助于为我国的信用风险管理及金融市场的健康发展提供理论上的指导和金融技术上的支持。
Johnson和Stulz[1]最先探讨含有信用风险的期权定价问题，他们首先引进脆弱期权这个术语来定义那些含有交易对手违约风险的期权，并指出了此类期权的大量特征，他们的研究实际上是拓展了Merton[2]的公司债券定价模型。
Hull和White[3]给出了关于脆弱期权的定价公式。
Klein[4]考虑了期权标的资产与对手资产的线性相关性，得到了欧式脆弱期权的定价公式。
