期权定价的数值方法

随机抽样值
0.52 1.44 －0.86 1.46 －0.69 －0.74
该时间步长中的 股票价值变化 0.236
0.611 －0.329
0.628 －0.262 －0.280
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（二）、单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟
▪ 蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于标的变量S所遵循 的路径还是仅仅取决于S的最终价值，都可以使用这一方法。同时， 这个过程也可以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况。
期权定价的数值方法
1
二、基本二叉树方法的扩展
▪ 支付连续红利率资产的期权定价 ▪ 支付已知红利率资产的期权定价 ▪ 已知红利额 ▪ 利率是时间依赖的情形
2
连续红利率资产的期权定价
▪ 当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风 险中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q， 因此：
e (rq)t pu (1 p)d
其中
p e(rq)t d ud
u, d表达式仍然适用
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支付已知红利率资产的期权定价
▪ 若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率（红 利与资产价格之比），只要调整在各个结点上的证券价 格，就可算出期权价格。调整方法如下：
▪ 如果it 时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为： Su j d i j , j 0,1, , i
S t t S t r qS t t S t t
或
ln
ห้องสมุดไป่ตู้
S
t
t
ln
S
t
r
q
2
2
t
t
S
t
t
S
t exp
r
q
2
2
t
t
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举例说明
▪ 假设无红利的股票价格运动服从式（8.12），年预期收益 率为14％，收益波动率为每年20％，时间步长为0.01年， 则根据式（8.12）有
d e rq 2 2 t 2 t
u e rq 2 2 t 2 t
优点----概率总是不变的；缺点----二叉树图中的中心线上 的标的资产价格不会再和初始中心值相等。
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三叉树图
Su3
Su2
Su2
Su
Su
Su
S
S
S
S
Sd
Sd
Sd
Sd2 Sd2
Sd3
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三叉树图:一些参数
u e 3t
d1 u
1 x1
2 x1 x2 1 2
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▪ 如果从n元标准正态分布中取样，同样先从单变
量标准正态分布中抽取n个独立变量xi(1≤i≤ n)，
则
k i
i ik xk k 1
其中：
i
2 ik
1
k
j
ik jk i, j
k 1
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模拟运算次数的确定
▪ 如果对估计值要求95％的置信度，则期权价值应 满足
Su S
Sd
Su2-D S-D
除权日
Sd2-D
假设红利数额已知且波动率为常数时的二叉树图
5
▪ 把证券价格分为两个部分：一部分是不确定的，其价值 S *
用 表示，而另一部分是期权有效期内所有未来红利的 现值，假设在期权有效期内只有一次红利。
S*(it) S(it)
it
(8.9)
S* (it) S (it) Der( it) it
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第2节、蒙特卡罗模拟
一、蒙特卡罗模型的基本过程
▪ 蒙特卡罗模拟是一种通过模拟标的资产价格的随机运动 路径得到期权价值期望值的数值方法，也是一种应用十 分广泛的期权定价方法
▪ 蒙特卡罗模拟要用到风险中性定价原理，其基本思路是： ➢ 由于大部分期权价值实际上都可以归结为期权到期回 报的期望值的折现，因此，尽可能地模拟风险中性世 界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种路径结 果下的期权回报的均值，之后贴现可以得到期权价值。
▪ 如果it 时刻在除权日之后，则结点处证券价格调整为：
S (1 )u j d i j
▪ 对在期权有效期内有多个已知红利率的情况， i为0到
it时刻间所有除权日的总红利支付率，
S (1 i )u j d i j 4
已知红利额
若标的资产在未来某确定日期将支付一个确定数额的红利 而不是一个确定的比率，则除权后二叉树的分支将不再重 合，这意味着所要估算的结点的数量可能变得很大，特别 是如果支付多次已知数额红利的情况将更为复杂。
u e f tt 1 p
ud
u e t，d e t
在定价过程中，贴现率也要相应地改为远期利率，其他过 程和普通的二叉树方法相同。类似地，在为指数期权、外 汇期权和期货期权定价时，可以对红利率和外汇无风险收 益率做类似的修正，使其成为时间的函数，进而为这些期 权定价。
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三、构造树图的其它方法和思路
▪ 对偶变量技术 ▪ 控制方差技术 ▪ 重点抽样法 ▪ 间隔抽样法
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对偶变量技术
▪ 对偶变量技术----在一次模拟运算中，计算两个期权价值： 用通常方法计算得到f1，改变计算中所有的符号得到f2 ， 这条模拟路径得到的期权价值是f1和f2的平均值 f ，期权 的最终估计值则是有限个f 的均值。通过这种方法，当一 次模拟中的一个f值高于真实值时，则另一个值必然偏低， 反之亦然。人们发现，这种方法相当有效。估计值的标 准差通常大大小于运算2M次得到的标准差。
▪ 运用重点抽样法进行模拟时要注意，最后从重要路径中 获得的贴现平均值还要再乘上k（重要路径出现的概率）， 才能获得期权价值的最终估计值。
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间隔抽样法
▪ 将市场变量在未来时刻的基本概率分布分为多个区间， 并根据它的概率从每个间隔中抽样。
▪ 假设存在10个可能性基本相等的区间，那么抽样方案就 可设计为每个间隔中抽取的样本各占10％。
pd
t
12
2
r
2
q 2
1 6
pu
t
12
2
r
q
2
2
1 6
pm
2 3
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控制方差技术
▪ 控制方差技术是数值方法的一个辅助技术，可以应用在 二叉树模型、蒙特卡罗模拟和有限差分方法上。
▪ 其基本原理为：期权A和期权B的性质相似（欧式和美
式），且可得期权B的解析定价公式，用同一个树图分别
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控制方差技术
▪ 蒙特卡罗模拟和二叉树模型中的控制方差技术是 相同的，只是在蒙特卡罗中，对于两个类似的期 权，必须使用相同的随机数流和相同的△t平行地 进行两次模拟。
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重点抽样法
▪ 适合于那些大部分路径对定价意义不大的情形，比如一 个深度虚值的看涨期权，大部分路径上的终值为零。
▪ 这时只选取那些标的资产的到期日价值大于其执行价格 的路径，即重要路径为期权定价。这样等于缩小了样本 空间，从而加速了收敛。
➢ 计算这些样本期权回报的均值，得到风险中性世界中 预期的期权回报值。
➢ 用无风险利率贴现，得到这个期权的估计价值。
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二、蒙特卡罗模拟的技术实现
▪ 在风险中性世界中，
dS r q Sdt Sdz
d
ln
S
r
q
2
2
dt
dz
▪ 为了模拟的路径，我们把期权的有效期分为N个长度为
△t时间段，则上式的近似方程为
S
T
S
0
exp
r
q
2
2
T
T
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当回报依赖于多个市场变量时
▪ 当存在多个标的变量时，每次模拟运算中对每个变量的
路径都必须进行抽样，从样本路径进行的每次模拟运算
可以得出期权的终值，假设期权依赖于n个变i 1 i n
量
，其离散形式可以写成：
i t t i t mˆii t t sii t i t
▪ P=0.5的二叉树图 ▪ 三叉树图 ▪ 控制方差技术
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P=0.5的二叉树图
ert pu (1 p)d
2 t pu 2 (1 p)d 2 pu (1 p)d 2
确定参数p、u 和d的固定条件
u 1 d
由此：
该条件是人为给定，也是最常用的条件， 但它并不是唯一的。也可以放弃这个假设， 转而令 p=0.5
f Eˆ erT fT
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随机样本的产生
▪ 是服从标准正态分布的一个随机数。大多数程
序语言都为抽取0到1之间的随机数编制了程序。
如果只有一个单变量,则 可以通过下式获得：
12
Ri 6 i 1
▪ 其中 Ri 1 i 12 是0到1的相互独立的随机数。
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▪ 如果需要从二元标准正态分布中抽取样本，则可 以用如下的方法：x1和x2是用上述方法从单变量 标准正态分布中抽取的独立样本，则
▪ 其中，si为i的波动率, mˆ i为i在风险中性世界中的期望增
长率,ij为i和j之间的瞬间相关系数 ， i（1≤i ≤n）是从 多元标准正态分布中抽取的一组随机样本, i和k之间的 相关系数是ik ,一次模拟运算包括从多元标准正态分布中 获得N组i的样本。把这些样本值代入式（8.16）可以产 生每个i的模拟路径,并由此计算出期权的一个样本值
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随机利率的蒙特卡罗模拟
▪ 如果期权模型中的变量之一本身就是短期无风险利率或 是其他与有关的变量，例如利率衍生产品，则蒙特卡罗 模拟方法与前类似，只是要模拟风险中性世界中r的路径， 每次模拟时既要计算r到期时终值相应带来的期权回报， 又要计算期权有效期内r的平均值。最后折现的时候使用 的贴现率是这个平均值，用数学符号表示为：
▪ 如果样本间隔的数量很多，就可取每个区间内的均值或 是中位数作为该区间的代表样本值。这样也可以提高模 拟运算的效率。