期权定价模型和数值方法1
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期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
期权定价的基本原理及方法
一个简单套利的例子
• 对一个欧式买权，假设 c=3 S0 = 20 T=1 r = 10% K = 18 D=0 • 这个期权的定价是否存在套利机会呢?
为了说明这个问题，我们可以构造如下简单的组合： 卖出一份股票，然后买入一份买权，多余的资金买入相同期限的无风险债券。 该组合初始投入为零。
买权到期时组合的收益情况: 若,ST K 执行期权，获得一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) K (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 若，ST K 不执行期权，通过市场买入一份股票，该组合的收益为 Pay off=(S0 c) * (1 r) ST (20 3) * (1 0.1) 18 0.7 因此，无论股价朝哪个方向运行，我们的策略都可以获得大于0. 元的利润。 7 所以这个期权的定价明显偏低。
11 12 13
期权价格 期权价格
买权价格
0 5
10
5
10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 19 18 17 16 15
期权内在价值 利率增加后的价格 红利率增加后的价格
14
利率对买权价值的影响
红利对买权价值的影响
2年期期权价格 期权内在价值 5年期期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权价格
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
期权内在价值 波动率增加后的价格
期限对买权价值的影响
波动率对卖权价值的影响
买权价格
10 15 20 25 10 15 20 25 0
金融学中的期权定价模型
金融学中的期权定价模型在金融学领域中，期权是一种金融工具，赋予持有人在未来某个特定时间以特定价格购买或出售标的资产的权利。
期权定价模型是为了确定期权合理价格的数学模型。
本文将介绍金融学中常用的期权定价模型，包括布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型。
布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是最为著名和广泛使用的期权定价模型之一。
该模型于1973年由费舍尔·布莱克（Fisher Black）和米伦·斯科尔斯（Myron Scholes）共同提出，并获得了1997年诺贝尔经济学奖。
布莱克-斯科尔斯模型基于一系列假设，包括标的资产价格服从随机几何布朗运动、市场无摩擦、无交易成本等。
根据这些假设，该模型通过偏微分方程推导出了期权的定价公式。
该公式可以用来计算欧式期权的价格，在交易中发挥了重要的作用。
风险中性定价模型（Risk-Neutral Pricing Model）是另一种常用的期权定价模型。
该模型的基本原理是假设市场参与者对风险持中立态度，即市场对未来价格的期望值等于当前价格。
根据这个假设，风险中性定价模型通过建立与衍生品价格相关的风险中性测度，将期权的定价问题转化为风险中性测度下的期望值计算。
相对于布莱克-斯科尔斯模型，风险中性定价模型更加灵活，可以应用于更复杂的市场情况，并且可以解决了一些布莱克-斯科尔斯模型无法解决的问题。
除了布莱克-斯科尔斯模型和风险中性定价模型，金融学中还有其他的期权定价模型，如扩散模型、二叉树模型和蒙特卡洛模拟等。
这些模型都有各自的优势和适用范围，可以根据具体情况选择合适的模型进行期权定价。
需要注意的是，期权定价模型只是一种理论框架，模型的有效性和适用性需要在实践中进行验证。
实际应用中，投资者还需要考虑市场流动性、实际交易成本、波动率预测等因素，并结合自身的投资策略进行决策。
总结而言，金融学中的期权定价模型是为了计算期权的合理价格而设计的数学模型。
期权定价数值方法
期权定价数值方法期权定价是金融学和衍生品定价的重要研究领域之一。
相对于传统的基于解析公式的定价方法，数值方法在期权定价中发挥了重要作用。
本文将介绍几种常用的期权定价数值方法。
第一种方法是蒙特卡洛模拟法。
这种方法通过生成大量的随机路径，从而模拟出期权的未来价格演化情况。
蒙特卡洛模拟法能够处理各种复杂的衍生品，尤其适用于路径依赖型期权的定价。
其基本思想是通过随机游走模拟资产价格的变化，并在到期日计算期权的收益。
蒙特卡洛方法的优点在于简单易懂，适用于任意的收益结构和模型。
缺点是计算复杂度高，需要大量的模拟路径，同时计算结果存在一定的误差。
第二种方法是二叉树模型。
二叉树模型将时间离散化，并用二叉树结构模拟资产价格的变化。
每一步的价格变动通过建立期权价格的递归关系进行计算。
二叉树模型适用于欧式期权的定价，特别是在波动率较低或资产价格较高时效果更好。
二叉树模型的优点在于计算速度快，容易理解，可以灵活应用于各种不同类型的期权。
缺点是对期权到期日的分割存在一定的限制，复杂的期权结构可能需要更多的分割节点。
第三种方法是有限差分法。
有限差分法将连续时间和连续空间离散化，通过有限差分近似式来计算期权价格。
其基本思想是将空间上的导数转化为有限差分的形式，然后通过迭代的方法求解有限差分方程。
有限差分法适用于各种不同类型的期权定价，特别是美式期权。
它是一种通用的数值方法，可以处理多种金融模型。
缺点是计算复杂度高，特别是对于复杂的期权结构和高维度的模型，需要更多的计算资源。
综上所述，期权定价的数值方法包括蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法。
不同的方法适用于不同类型的期权和市场情况。
在实际应用中，可以根据具体的问题选择合适的数值方法进行期权定价。
期权定价是金融学中一个重要的研究领域，它的核心是确定期权合理的市场价值。
与传统的基于解析公式的定价方法相比，数值方法在期权定价中有着重要的应用。
本文将进一步介绍蒙特卡洛模拟法、二叉树模型和有限差分法，并探讨它们的优缺点及适用范围。
期权定价模型
二、期权价值评估的方法（一）期权估价原理1、复制原理基本思想复制原理的基本思想是：构造一个股票和贷款的适当组合，使得无论股价如何变动投资组合的损益都与期权相同，那么创建该投资组合的成本就是期权的价值。
基本公式每份期权价格（买价）＝借钱买若干股股票的投资支出＝购买股票支出－借款额计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd上行股价Su=股票现价S×上行乘数u下行股价Sd=股票现价S×下行乘数d（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd：股价上行时期权到期日价值Cu=上行股价-执行价格股价下行时期权到期日价值Cd=0（3）计算套期保值率：套期保值比率H=期权价值变化/股价变化=(CU-Cd)/(SU-Sd)（4）计算投资组合的成本（期权价值）=购买股票支出-借款数额购买股票支出=套期保值率×股票现价＝H×S0借款数额=价格下行时股票收入的现值＝（到期日下行股价×套期保值率）/（1+r）= H×Sd/（1+r）2、风险中性原理基本思想假设投资者对待风险的态度是中性的，所有证券的预期收益率都应当是无风险利率；假设股票不派发红利，股票价格的上升百分比就是股票投资的收益率。
因此：期望报酬率（无风险收益率）＝（上行概率×股价上升时股价变动百分比）+（下行概率×股价下降时股价变动百分比）＝p×股价上升时股价变动百分比+（1-p）×股价下降时股价变动百分比计算步骤（1）确定可能的到期日股票价格Su和Sd（同复制原理）（2）根据执行价格计算确定到期日期权价值Cu和Cd（同复制原理）（3）计算上行概率和下行概率期望报酬率＝（上行概率×股价上升百分比）+（下行概率×股价下降百分比）（4）计算期权价值期权价值＝(上行概率×Cu+下行概率×Cd)/（1+r）（二）二叉树期权定价模型1、单期二叉树定价模型基本原理风险中性原理的应用计算公式（1）教材公式期权价格＝U=股价上行乘数＝1＋股价上升百分比d=股价下行乘数＝1－股价下降百分比（2）理解公式：（与风险中性原理完全一样）2、两期二叉树模型基本原理把到期时间分成两期，由单期模型向两期模型的扩展，实际上就是单期模型的两次应用。
第12章 期权定价的数值方法
S it S it De
r it
其中， D 表示红利。
26
因此，我们需要先构造不含红利的价格树图，之 后再加上未来红利的现值。在 it 时刻： ◦ 当 it 时，这个树上每个节点对应的证券价 格为： * j i j
S0 u d j 0,1......i
t pd 12 2 t pu 12 2
2 pm 3
32
基本原理：期权 A 和期权 B 的性质相似，我们 可以得到期权 B 的解析定价公式，而只能得到 期权 A 的数值方法解，这时就可以利用期权 B 解析法与数值法定价的误差来纠正期权 A 的数 值法的定价误差。 用 f B 代表期权 B 的真实价值（解析解），f A ˆ 和 ˆ 表 表示关于期权 A 的较优估计值， f fB A 示用同一个二叉树、相同的蒙特卡罗模拟或是同 样的有限差分过程得到的估计值。
e
r q t
pu 1 p d
e
r q t
相应有
p
d ud
式（ 12.5 ）和（ 12.6 ）仍然成立：
u e d e
t t
21
可通过调整在各个节点上的证券价格，算出期权 价格； 如果时刻 i∆t 在除权日之前，则节点处证券价 格仍为：
为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的时 间段，则上式的近似方程为：
S t t S t (r q )S t t S t t (12.9)
(12.10)
或
或
2 ln S t t ln S t r q t t 2
期权定价的数值方法
随机抽样值
0.52 1.44 －0.86 1.46 －0.69 －0.74
该时间步长中的 股票价值变化 0.236
0.611 －0.329
0.628 －0.262 －0.280
19
（二）、单个变量和多个变量的蒙特卡罗模拟
▪ 蒙特卡罗模拟的优点之一在于无论回报结果依赖于标的变量S所遵循 的路径还是仅仅取决于S的最终价值，都可以使用这一方法。同时， 这个过程也可以扩展到那些回报取决于多个标的市场变量的情况。
期权定价的数值方法
1
二、基本二叉树方法的扩展
▪ 支付连续红利率资产的期权定价 ▪ 支付已知红利率资产的期权定价 ▪ 已知红利额 ▪ 利率是时间依赖的情形
2
连续红利率资产的期权定价
▪ 当标的资产支付连续收益率为q的红利时，在风 险中性条件下，证券价格的增长率应该为r-q， 因此：
e (rq)t pu (1 p)d
其中
p e(rq)t d ud
u, d表达式仍然适用
3
支付已知红利率资产的期权定价
▪ 若标的资产在未来某一确定时间将支付已知红利率（红 利与资产价格之比），只要调整在各个结点上的证券价 格，就可算出期权价格。调整方法如下：
▪ 如果it 时刻在除权日之前，则结点处证券价格仍为： Su j d i j , j 0,1, , i
S t t S t r qS t t S t t
或
ln
ห้องสมุดไป่ตู้
S
t
t
ln
S
t
r
q
2
2
t
t
S
t
t
S
t exp
r
q
2
2
带交易费的多资产期权定价模型及数值解法
Ｍ ｕ ｔ ａ ｓ ｔｏ ｔｏ ｒｃｎ ｏ ｅ ｎ ｕ ｅ ｉａ ｔ ｏ ｔ ｒ ｎ ａ ｔ ｎ ｃ ｓｓ ｌｉ ｓ ｅ ｐ ｉｎ ｐ ｉｉ ｇ ｍ ｄ ｌａ ｄ ｎ ｍ ｒｃ ｌｍｅ ｈ － ｄ ｗｉｈ ｔａ ｓ ｃ ｉ ｏ ｔ ｏ
Ｌｉ ｅ，Ｚ ｏ ｈ ｎ ｗｕ ｉ ｈ ｕＳ ｅ ｇ Ｗ
Ｊ ｎ ，０ １ ｕ ． ２ １
带 交 易 费 的 多资产 期权 定 价模 型及 数 值 解 法
黎 伟 ， 周圣武
（ 国矿 业 大 学 理 学 院 ， 苏 徐 州 ２ １ １ ） 中 江 ２ １ ６
摘 要 ： 究 了 考虑 交 易 成 本 的 多 资产 期 权 定 价 问题 ． 先 运 用 证 券 组 合 技 术 和无 套 利 原 理 将 Ｈｏ ｇｒ－ ａｅ－ ｌ 研 首 ｇ ａｄＷｈｌ ｙＷｉ ｌ — ｍｏｔ 型 推 广 为 多资 产 的 情形 ； ｔ模 而后 以极 大 期权 为例 ， 用 变 量 替 换对 模 型 进 行 简 化 ， 建 出 该 模 型 的 一 种 显 式 差 分 运 构
第 ２ 卷第 ２ ９ 期
２１ ０ １年 ６月
徐州师范大学学报 （ 自然 科 学 版 ）
Ｊ ｕ ｎ ｌ ｆＸｕ ｈ ｕ Ｎｏｍａ ｉｅｓｔ （ ｔ ｒｌＳ ｉｎ ｅＥｄｔ ｎ ｏ ｒａ ｚ ｏ ｒ ｌ ｏ Ｕｎｖ ｒ ｉ Ｎａｕ ａ ｃ Ｎｏ ２ ｌ２ ， ．
１７ ９ ３年 ， 国金 融学 家 Ｂａ ｋ和 Ｓ ｈ ｌ 在 有效 市场 和股 票价 格满 足几 何 布 朗运 动等 假设 条 件 下 ， 用 美 ｌｃ ｃ ｏｅ ｓ 运
连续 交易 保值 策 略推 出著名 的 Ｂａ ｋＳ ｈ ｌｓ ｌｃ — ｃ ｏｅ 股票 期权 定价 模 型［ ． １ 然而 ， ］ 在实 际金 融市 场 上 ， 股票 交 易需 要
期权定价的数值方法
可编辑
1
Su p
S 1-p Sd
把期权的有效期分为很多很小的时间间
隔 t ，并假设在每一个时间间隔 t 内证
券价格只有两种运动的可能：
1、从开始的 S 上升到原先的 u 倍，即到达 Su ；
2、下降到原先的 d 倍，即 Sd
相应地，期权价值也会有所不同，分
别为 fu 和 fd 。
可编辑
2
二叉树模型的思想实 际上是在用大量离散 的小幅度二值运动来 模拟连续的资产价格 运动
将 fu fd 代入上式就可得到：
Su Sd
f ert pfu 1 p fd
其中 p ert d
ud
可编辑
4
在风险中性世界里：
（1）所有可交易证券的期望收益都是无风险利率； （2）未来现金流可以用其期望值按无风险利率贴现。在风险中性的条件下, 参数值满足条件：
（ i 为0时刻到 it 时刻之间所有除权日的总红利支付率）
可编辑
9
如何解决节 点不重合的问 题
Su
S
Sd
Su2-D S-D
除权日
Sd2-D
可编辑
10
在已知红利额的情况下,为了使得二叉树的节点重合减少计算量,我 们可以将证券价格分为两个部分：一部分是不确定的；另一部分是期权 有效期内所有未来红利的现值。
可编辑
5
倒推定价法
得到每个结点的资产价格之后，就可以在二叉树模型中采用倒推定价 法，从树型结构图的末端T时刻开始往回倒推，为期权定价。
如果是欧式期权，可通过将 T 时刻的期权价值的预期值在 t 时间
长度内以无风险利率 r 贴现求出每一结点上的期权价值；
如果是美式期权，就要在树型结构的每一个结点上，比较在本时刻提 前执行期权和继续再持有 t 时间，到下一个时刻再执行期权，选择其中 较大者作为本结点的期权价值。（见书本案例 12.1）
期权定价的数值方法1
S 2
2. BS定价公式可用于欧式期权、美式看涨期权定价。对美式 看跌期权定价只能用二叉树、蒙特卡罗模拟等求出。
3. 二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续 运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间 隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。从二叉 树图的末端开始倒推计算出期权价格。
期权定价
作业1
16
1. 列出影响期权价格的6个因素。
期权定价
作业2
17
1. 设c1、c2和c3分别表示协议价格为X1、X2、X3的欧式看涨期 权的价格，其中X3>X2>X1且X3-X2=X2-X1，所有期权的到 期日相同，请证明：
c2 ≤0.5(c1 + c3)
2. 某一协议价格为25元，有效期6个月的欧式看涨期权价格为 2元，标的股票价格为24元，该股票预计在2个月和5个月 后各支付0.50元股息，所有期限的无风险连续复利年利率 均为8%，请问该股票协议价格为25元，有效期6个月的欧 式看跌期权价格等于多少？
若n→∞，即每个阶段所对应的长度无穷小，则完全有理由用两状 态的二叉树来近似表示标的资产价格的连续变化过程
数学意义：用无穷期的二叉树模型来逼近一个标的资产价格连续 变化的期权定价模型
2. 思路：推导出n期的二叉树模型，然后令n趋于无穷
Su4 Su3Su2 SuSu2 SuS
S
S
Sd
Sd
Sd2 Sd2
可能值，直到当前时刻 4. 对美式期权，需在每个结点处进行比较
该结点提前执行时期权的回报 VS 不提前执行时后一结点 期权价值到该点的贴现值
取较大者作为该结点的期权价值
期权定价
8
1. 假设标的资产为不付红利股票,其当前市场价为50元,波动 率为每年40%，无风险连续复利年利率为10%，该股票5个 月期的美式看跌期权协议价格为50元，求该期权的价值
期权定价的数值方法
期权定价的数值方法小结1.当不存在解析解时，可以用不同的数值方法为期权定价，其中主要包括二叉树图方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。
2.二叉树图方法用离散的随机游走模型模拟资产价格的连续运动在风险中性世界中可能遵循的路径，每个小的时间间隔中的上升下降概率和幅度均满足风险中性原理。
从二叉树图的末端开始倒推可以计算出期权价格。
3.蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。
4.有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法、“跳格子方法”和Crank-Nicolson方法等。
5.树图方法和有限差分方法在概念上是相当类似的，它们都可以看成用离散化过程解出偏微分方程的数值方法，都适用于具有提前执行特征的期权，不太适合路径依赖型的期权。
其中二叉树模型由于其简单直观和容易实现，是金融界中应用得最广泛的数值定价方法之一；有限差分方法则日益受到人们的重视。
6.蒙特卡罗方法的优点在于应用起来相当直接，能处理许多盈亏状态很复杂的情况，尤其是路径依赖期权和标的变量超过三个的期权，但是不擅长于处理美式期权，而且往往所需计算时间较长。
二叉树定价方法的基本思想：假设资产价格的运动是由大量的小幅度二值运动构成，用离散的随机游走模型模拟资产价格连续运行可能遵循的路径。
模型中隐含导出的概率是风险中性世界中的概率p，从而为期权定价。
蒙特卡洛模拟的基本思想：由于大部分期权的价值都可以归结为期权到期回报的期望值的贴现，因此尽可能地模拟风险中性世界中标的资产价格的多种运动路径，计算每种结果路径下的期权回报均值，之后贴现就可以得到期权价值。
蒙特卡洛模拟的优点：在大多数情况下，人们可以很直接地应用蒙特卡洛模拟，而无需对期权定价模型有深刻的认识；蒙特卡洛模拟的适用情形相当广泛。
蒙特卡洛模拟的缺点：只能为欧式期权定价，难以处理提前执行期权的的定价情形；为了达到一定的精准度，需要大量的模拟运算。
《金融衍生品》课件_第11章_期权定价数值方法
续复利年利率为 10% ，该股票 5 个月期的
美式看跌期权协议价格为 50 元，求该期权
的价值。
20
美式看跌期权的二叉树定价 (cont.)
• 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为
五段，每段一个月（等于 0.0833 年）。可
u e t 1.1224
以算出
d e
t
0.8909
4、资产价格随机路径模拟（风险中
性概率测度）
（1）常数波动率模型的离散化和模拟
• 在风险中性世界中，为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
（11.4）
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的
时间段，则上式的离散的近似方程为：
（11.5）
6
（２）GARCH模型模拟
模型的离散化形式：
2、欧式期权蒙特卡罗模拟定价
假设标的资长价格服从波动率为常数的几
何布朗运动。对于欧式期权，只需要模拟出
标的资产到期的分布。如欧式看涨期权，第i
条路径下的支付：
()
为标准正态分布的一个随机抽样,
（11.3）=.源自3、蒙特卡罗模拟方法的适用性
• （1）普通的蒙特卡罗模拟方法不适用于美式
（10.23）
（10.24）
其中,
定义为：
（10.25）
３、Heston模型的离散化和模拟
模型的离散化和模拟
5、GARCH模型下的蒙特卡洛模拟定价
二、二叉树模型
1、二叉树模型原理
假设股票当前价格是S，下一期价格有两种可能 (= u)
和 =(Sd)，风险中性下上升概率是p，下跌概率是1-p。
e r q t d
p
ud
美式看跌期权协议价格为 50 元，求该期权
的价值。
20
美式看跌期权的二叉树定价 (cont.)
• 为了构造二叉树，我们把期权有效期分为
五段，每段一个月（等于 0.0833 年）。可
u e t 1.1224
以算出
d e
t
0.8909
4、资产价格随机路径模拟（风险中
性概率测度）
（1）常数波动率模型的离散化和模拟
• 在风险中性世界中，为了模拟路径
dS r q Sdt Sdz
（11.4）
我们把期权的有效期分为 N 个长度为 ∆t 的
时间段，则上式的离散的近似方程为：
（11.5）
6
（２）GARCH模型模拟
模型的离散化形式：
2、欧式期权蒙特卡罗模拟定价
假设标的资长价格服从波动率为常数的几
何布朗运动。对于欧式期权，只需要模拟出
标的资产到期的分布。如欧式看涨期权，第i
条路径下的支付：
()
为标准正态分布的一个随机抽样,
（11.3）=.源自3、蒙特卡罗模拟方法的适用性
• （1）普通的蒙特卡罗模拟方法不适用于美式
（10.23）
（10.24）
其中,
定义为：
（10.25）
３、Heston模型的离散化和模拟
模型的离散化和模拟
5、GARCH模型下的蒙特卡洛模拟定价
二、二叉树模型
1、二叉树模型原理
假设股票当前价格是S，下一期价格有两种可能 (= u)
和 =(Sd)，风险中性下上升概率是p，下跌概率是1-p。
e r q t d
p
ud
期权定价模型和数值方法
期权及其有关概念
3． 期权旳内在价值 买入期权在执行日旳价值CT为 CT=max(ST －E,0)
式中:E表达行权价；ST表达标旳资产旳市场价。 卖出期权在执行日旳价值PT为 PT=max(E－ ST,0) 根据期权旳行权价与标旳资产市场价之间旳关系，期权可分为价内期权（in the
money）(S > E)、平价期权（at the money）(S = E)和价外期权（out of the money）(S < E)。
4. 珞（Rho）ρ ρ为期权旳价值随利率波动旳敏感度，利率增长，使期权价值变大。
5. 伽玛（Gamma）Γ Γ 表达δ与标旳资产价格变动旳关系。
10.3 B－S公式隐含波动率计算
隐含波动率概念
BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格旳体现式：
式中：
隐含波动率是将市场上旳期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反 推出来旳波动率数值。因为期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间旳 定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权旳实际市场价格作为已知量代入定价 公式，就能够从中解出惟一旳未知量，其大小就是隐含波动率。
10.3. 3 隐含波动率计算程序
环节3： 函数求解。 M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：
%TestImpliedVolatility %市场价格 Price=100; %执行价格 Strike=95; %无风险利率 Rate=0.10; %时间（年） Time=0.25; CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格 PutPrice=7.0; %看跌期权交易价格 %调用ImpliedVolatility函数 [Vc,Vp,Cfval,Pfval]=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)
期权定价数值方法
03
数值方法概述
离散化方法
向前离散化
将时间区间[0, T]分成n个小区间 ，以时间段[t_{i-1}, t_i]代替(0 <= i <= n)，并在此小区间上应 用Black-Scholes方程的解。
向后离散化
与向前离散化相反，将时间段 [t_{i-1}, t_i]代替(0 <= i <= n)， 并在此小区间上应用BlackScholes方程的解。
改进方向探讨
采用更高效的算法
结合机器学习技术
研究和发展更高效的数值方法，以减少计 算时间和资源消耗。
利用机器学习算法来优化和改进数值方法 ，提高其效率和准确性。
精细化建模
跨学科融合
在期权定价模型中引入更多的市场因素和 风险因素，以更准确地反映实际情况。
借鉴其他学科（如物理学、化学等）的数 值方法，将其应用于期权定价领域，以寻 求新的突破。
期权定价数值方法
汇报人： 日期:
目录
• 引言 • 常见的期权类型和定价模型 • 数值方法概述 • 数值方法在期权定价中的应用 • 期权定价的数值方法优缺点及
改进方向
目录
• 期权定价数值方法在金融风险 管理中的应用
• 研究展望与未来发展趋势
01
引言
背景介绍
期权定价模型的发展 历程
当前期权定价模型研 究的现状和挑战
随机抽样
从已知概率分布中随机抽取样本点， 通过这些样本点计算期权价格的期望 值。
方差减少技术
通过一些技巧来减少模拟误差，例如 Bootstrap方法。
有限元素法
将标的资产价格变化的空 间离散化，划分为有限个 元素；
解有限元素法的线性方程 组，得到每个时刻的标的 资产价格；
布莱克斯克尔斯期权定价模型
布莱克斯克尔斯期权定价模型汇报人：日期:目录CATALOGUE•引言•布莱克斯克尔斯模型原理•模型应用•模型优势与局限•布莱克斯克尔斯模型与其他模型的比较•未来展望与研究方向01 CATALOGUE引言1背景介绍23布莱克斯克尔斯模型起源于1973年，由费雪·布莱克斯克尔斯（Fischer Black）和迈伦·斯科尔斯（Myron Scholes）提出。
当时，该模型是为了解决金融衍生品，特别是期权定价的问题而建立的。
金融衍生品是一种金融合约，其价值取决于其他金融资产或指标。
模型发展历程布莱克斯克尔斯模型的发展得益于许多重要的突破，其中包括无套利原则：模型利用无套利原则，这意味着在市场上不能通过买卖资产来赚取无风险利润。
欧式期权定价：该模型适用于欧式期权，即只能在到期日行使的期权。
随机过程：模型运用随机过程来描述股票价格的变化。
模型应用领域布莱克斯克尔斯模型被广泛应用于金融衍生品市场，包括期权：该模型用于定价欧式和美式期权。
互换：该模型用于定价利率互换和其他类型的互换合约。
其他衍生品：该模型还可用于定价其他金融衍生品，如期货、认股权证等。
02CATALOGUE布莱克斯克尔斯模型原理基础概念布莱克斯克尔斯模型是一种用于定价欧式期权的数学模型，该模型基于随机过程，并使用偏微分方程来描述。
在该模型中，期权价格被表示为时间t和股票价格S的函数，用C(t,S)表示。
股票价格服从几何布朗运动，即dS = μSdt + σSdwt，其中μ是股票的预期收益率，σ是股票的波动率，wt是威纳过程。
布莱克斯克尔斯模型的期权定价公式为：C(t, S) = SN(d1) - Ke^(-r)(T-t)N(d2)，其中N是正态分布函数，d1和d2是由模型参数确定的公式。
d2 = d1 - σ√(T - t)K 是期权的执行价格，r 是无风险利率，T 是到期时间，t 是当前时间，σ是股票的波动率。
d1 = (ln(S/K) + (r + 0.5σ^2)(T - t)) / (σ√(T - t))期权定价公式参数确定方法参数σ（波动率）通常由历史数据估计得出，也可以使用市场波动率作为其近似值。
美式商品期权的定价模型及其数值解
［ 关键词 ］ 商品期权 ； 费用 ； 储藏 期权定价 ； 片法 切
［ 中图分类号］８０９ ［ Ｆ３ ． 文献标识码］ ［ Ａ 文章编号］６１ ７１（ ０ ） 一 ０７ ０ １ — １ ２ ６０ ＯＯ — ５ ７ ２０ ６
Ａｍｅ ｉ ｎ Ｃ ｍｍｏ ｉ ｔ ｎ Ｐ ｉｉｇＭ ｏ ｅ ｎ ｓＮｕ ｒｃ ｌＳ ｌ ｔ ｎ ｒｃ ｏ ａ ｄｔ Ｏｐｉ ｒｃｎ ｄ ｌ ｄ ｉ ｍｅ ａ ｏｕ ｉ ｙ ｏ ａ ｔ ｉ ｏ
费 用率 ） 。
变动的随机性 ， 以及商品本身数量较多而带来的 储藏 问题 ， 当前 购买商品效益 不佳 、 在 流通 不畅 时， 投资人可以暂缓商品购买 ， 但是购买一个在将 来某一时刻购买商品的权利 ， 并在暂缓采购的过
程中的每一时刻不断进行购买商品的效益评价 ，
以决 定在该 时 刻 是 否实 施 购买 权利 ， 而 不错 过 从
有 区域 （ 为 ∑ 。在这个 区域 内， 权 的价 格 应 记 ） 期
今后可能出现的投资商品的合适时机。
二、 美式 商 品期权 定价模 型
该满足 （ ｔ ＞ ５ 一Ｋ） 而 当 ５ 很大 的时 Ｓ，） （ ； 候， 期权应该执行 ， 这个时候期权处于终止持有区 域（ 记为 ∑ ） 在这 个 区域 内 （ ｔ ＝（ ， Ｓ， ） ５ 一 Ｋ 。在这 两个 区域 中间有一 条最佳实施 边界 ）
［ 市场经济论坛 ］
美 式 商 品期 权 的定 价 模 型 及 其数 值 解
丁正中 ， 王大 鹏
（ 浙江工商大学 ， 浙江 杭 州 ，１０５ ３０３ ）
［ 摘
要］ 商品期权是一种很好的商品风险规避和管理的金融工具。本文从期权定价的角度 出发， 在
Ｂ ｃ —Ｓｈｌ 模 型的基础上推导得到在商品风险 的防范和 管理 中应 用较 为广泛 的商品期权 的定价模型 ． ｌ ｋ ｃｏ ｓ ａ ｅ 并 介绍 了用切片 法采获得其数值 解。
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对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只 有权利而没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后， 只有义务而没有权利。
3．期权的内在价值
买入期权在执行日的价值 为
CT max(ST E, 0)
其中， E为执行价， 为标的资产的市场价。 卖出期权在执行日的价值为
PT max(E ST , )
（3）根据交易方法，可分为场内交易和场外交易。场内交易即 是通常所指的交易所交易，指所有的供求方集中在交易所进行竞 价交易的交易方式。场外交易即是柜台交易，指交易双方直接成 为交易对手的交易方式，其参与者仅限于信用度高的客户。
利用金融衍生物对原生资产进行风险管理的基 本策略是套期保值（或对冲hedging）,即交易者在 现货市场和期货（权）市场同时构作两个数量相 同、方向相反的头寸（positions）。
这就是买入期权和卖出期权平价。 同样施权价、同样到期日的买入期权和卖出期权的价格 必须符合上式，否则就会出现套利机会。
1.3 期权的应用
1．应用期权进行保值
保值是指投资者将自身不愿意承担的风险转让给愿意承 担这种风险的投资者的行为。期权工具可以用来防范不利 的价格波动产生的风险。
（1）持股购入看跌期权 例如：一个持有福特汽车公司股票的投资者可能担心股 票在未来几个月会下跌，于是就购买其“看跌期权”这样
导 论 风险管理与金融衍生品
1、风险和金融衍生品的概念
风险（risk）指结果的不确定性。 金融衍生产品（derivatives)是指其价值依赖于基础资产(或称标的资产） (underlyings assets)价值变动的合约（contracts），它是一种风险管理的工具。 金融衍生品共同特征是保证金交易，即只要支付一定比例的保证金就可进行 全额交易，不需实际上的本金转移，合约的了结一般也采用现金差价结算的 方式进行，只有在满期日以实物交割方式履约的合约才需要买方交足贷款。 因此，金融衍生产品交易具有杠杆效应。保证金越低，杠杆效应越大，风险 也就越大。
以上的权利义务在执行日全部结清，不考虑交易成本和税 收，投资者的现金和在施权日现金流量如下表：
不管在执行日价格如何变化，该组合的价值为0。由于 上述组合为无风险投资组合，期末价值为零。如果假设市 场无套利机会，它的期初价值也必然为零，即
C P S Eert 0
即
C P S Eert
2、金融衍生品的分类
（1）根据产品形态，可以分为远期、期货、期权、掉期四大类。
（2）根据原生资产分类，即股票、利率、汇率和商品。如果再 加以细分，股票类中又包括股票期货、股票期权合约和股票指数 期货和期权合约等；利率类中又可分为以短期存款利率为代表的 利率期货、利率远期、利率期权、利率掉期合约和以长期债券利 率为代表的债券期货、债券期权合约；货币类中包括各种不同币 种之间的比值；商品类中包括各类大宗实物商品。
第一章 期权定价基础
1.1 期权及其有关概念 1.2 买入期权与卖出期权的平价 1.3 期权的应用
期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一 种金融衍生工具。理论和实践均表明，只要投资 者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例， 就可以获得无风险收益。这种组合的确定有赖于 对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期， Black 和 Scholes 通过研究股票价格的变化规律， 运用套期保值的思想，成功的推出了在无分红情 况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从 而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。 这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳 定、完善与繁荣。
设 S为股票市价， C为买入期权价格， P为卖出期权价
格， E为执行价，ST为执行日股Eert票价格， t 为距期权日时间，
r 为利率（常数）。 假设投资者现在以价格 C 出售一单位买入期权，以价
格 P 购入一单位卖出期权，以 S 价格购入一单位期权的标
的股票，以利率 r 借入一笔借期为 t 的现金，金额为 E，ert
1.1 期权及其有关概念
1．期权的定义
期权分为买入期权（Call Option）和卖出期权（Put Option）
买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它赋予期权 持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价 格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它赋予期权 持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价 格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
根据期权的施权价与标的资产市场价之间的关系，期权 可分为币内期权（in the money）（S > E） 、币上期权 （at the money） （S = E） 和币外期权（out of the money） （S < E)。
1.2 买入期权与卖出期权的平价
买入期权、卖出期权和标的资产三者之间存在一种价格 依赖关系，这种依赖关系就称为买入期权、卖出期权平价 （call and put parity）。以欧式股票期权为例，考察一下 这种平价关系。
针对有效期规定不同，期权又分为欧式期权 （European Option）与美式期权（American Option）
欧式期权只有在到期日当天或在到期日之前的某一规定 的时间可以行使的权利
美式期权在到期日之前的任意时刻都可以行使的权利。
2．期权的要素
期权的四个要素：执行价（exercise price或striking price）；执行日（maturing data）；标的资产 （underlying asset）；期权费（option premium）
《期权定价模型与数值方法》
经济数学学院 教师：向开理 2012年04月
期权定价模型和数值方法 导 论 风险管理与金融衍生品 第一章 期权定价基础 第二章 期权定价方法的理论基础__布朗运动、伊藤引 理和Black-Scholes微分方程 第三章 期权定价的树图法和有限差分法 第四章 蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）方法 第五章 参量变化对期权价格的影响
他将来就有权以事先协定的价格出售股票。如果这种股票 的价格真的下跌，那么投资者就可以事先协定的较高价位 售出该股票而获得利润。若股票价格上升 ,期权就变得分文 不值，但投资者只是损失了购买期权的少量期权费，却在 股票上获利。
3．期权的内在价值
买入期权在执行日的价值 为
CT max(ST E, 0)
其中， E为执行价， 为标的资产的市场价。 卖出期权在执行日的价值为
PT max(E ST , )
（3）根据交易方法，可分为场内交易和场外交易。场内交易即 是通常所指的交易所交易，指所有的供求方集中在交易所进行竞 价交易的交易方式。场外交易即是柜台交易，指交易双方直接成 为交易对手的交易方式，其参与者仅限于信用度高的客户。
利用金融衍生物对原生资产进行风险管理的基 本策略是套期保值（或对冲hedging）,即交易者在 现货市场和期货（权）市场同时构作两个数量相 同、方向相反的头寸（positions）。
这就是买入期权和卖出期权平价。 同样施权价、同样到期日的买入期权和卖出期权的价格 必须符合上式，否则就会出现套利机会。
1.3 期权的应用
1．应用期权进行保值
保值是指投资者将自身不愿意承担的风险转让给愿意承 担这种风险的投资者的行为。期权工具可以用来防范不利 的价格波动产生的风险。
（1）持股购入看跌期权 例如：一个持有福特汽车公司股票的投资者可能担心股 票在未来几个月会下跌，于是就购买其“看跌期权”这样
导 论 风险管理与金融衍生品
1、风险和金融衍生品的概念
风险（risk）指结果的不确定性。 金融衍生产品（derivatives)是指其价值依赖于基础资产(或称标的资产） (underlyings assets)价值变动的合约（contracts），它是一种风险管理的工具。 金融衍生品共同特征是保证金交易，即只要支付一定比例的保证金就可进行 全额交易，不需实际上的本金转移，合约的了结一般也采用现金差价结算的 方式进行，只有在满期日以实物交割方式履约的合约才需要买方交足贷款。 因此，金融衍生产品交易具有杠杆效应。保证金越低，杠杆效应越大，风险 也就越大。
以上的权利义务在执行日全部结清，不考虑交易成本和税 收，投资者的现金和在施权日现金流量如下表：
不管在执行日价格如何变化，该组合的价值为0。由于 上述组合为无风险投资组合，期末价值为零。如果假设市 场无套利机会，它的期初价值也必然为零，即
C P S Eert 0
即
C P S Eert
2、金融衍生品的分类
（1）根据产品形态，可以分为远期、期货、期权、掉期四大类。
（2）根据原生资产分类，即股票、利率、汇率和商品。如果再 加以细分，股票类中又包括股票期货、股票期权合约和股票指数 期货和期权合约等；利率类中又可分为以短期存款利率为代表的 利率期货、利率远期、利率期权、利率掉期合约和以长期债券利 率为代表的债券期货、债券期权合约；货币类中包括各种不同币 种之间的比值；商品类中包括各类大宗实物商品。
第一章 期权定价基础
1.1 期权及其有关概念 1.2 买入期权与卖出期权的平价 1.3 期权的应用
期权是人们为了规避市场风险而创造出来的一 种金融衍生工具。理论和实践均表明，只要投资 者合理的选择其手中证券和相应衍生物的比例， 就可以获得无风险收益。这种组合的确定有赖于 对衍生证券的定价。上个世纪七十年代初期， Black 和 Scholes 通过研究股票价格的变化规律， 运用套期保值的思想，成功的推出了在无分红情 况下股票期权价格所满足的随机偏微分方程。从 而为期权的精确合理的定价提供了有利的保障。 这一杰出的成果极大的推进了金融衍生市场的稳 定、完善与繁荣。
设 S为股票市价， C为买入期权价格， P为卖出期权价
格， E为执行价，ST为执行日股Eert票价格， t 为距期权日时间，
r 为利率（常数）。 假设投资者现在以价格 C 出售一单位买入期权，以价
格 P 购入一单位卖出期权，以 S 价格购入一单位期权的标
的股票，以利率 r 借入一笔借期为 t 的现金，金额为 E，ert
1.1 期权及其有关概念
1．期权的定义
期权分为买入期权（Call Option）和卖出期权（Put Option）
买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它赋予期权 持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价 格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它赋予期权 持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价 格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。
根据期权的施权价与标的资产市场价之间的关系，期权 可分为币内期权（in the money）（S > E） 、币上期权 （at the money） （S = E） 和币外期权（out of the money） （S < E)。
1.2 买入期权与卖出期权的平价
买入期权、卖出期权和标的资产三者之间存在一种价格 依赖关系，这种依赖关系就称为买入期权、卖出期权平价 （call and put parity）。以欧式股票期权为例，考察一下 这种平价关系。
针对有效期规定不同，期权又分为欧式期权 （European Option）与美式期权（American Option）
欧式期权只有在到期日当天或在到期日之前的某一规定 的时间可以行使的权利
美式期权在到期日之前的任意时刻都可以行使的权利。
2．期权的要素
期权的四个要素：执行价（exercise price或striking price）；执行日（maturing data）；标的资产 （underlying asset）；期权费（option premium）
《期权定价模型与数值方法》
经济数学学院 教师：向开理 2012年04月
期权定价模型和数值方法 导 论 风险管理与金融衍生品 第一章 期权定价基础 第二章 期权定价方法的理论基础__布朗运动、伊藤引 理和Black-Scholes微分方程 第三章 期权定价的树图法和有限差分法 第四章 蒙特卡罗模拟（Monte Carlo Simulation）方法 第五章 参量变化对期权价格的影响
他将来就有权以事先协定的价格出售股票。如果这种股票 的价格真的下跌，那么投资者就可以事先协定的较高价位 售出该股票而获得利润。若股票价格上升 ,期权就变得分文 不值，但投资者只是损失了购买期权的少量期权费，却在 股票上获利。