下载文档原格式
第八章蒙特卡洛期权定价方法在金融计算中蒙特卡洛模拟是一种重要的工具：可以用来评估投资组合管理规则、为期权定价、模拟套期保值交易策略、估计风险价值。
蒙特卡洛方法主要的优势在于对大多数情况都适用、易于使用、灵活。
它把随机波动性和奇异期权的很多复杂特性都考虑进去了，更倾向于使用处理高维问题，而网格和PDF分析框架却不适用。
蒙特卡洛模拟潜在的劣势在于它的计算量大。
多次的重复需要完善我们所关注的置信区间的估计。
利用方差缩减技术和低差异序列可以部分的解决这个问题。
本章的目的是解释这些技术在一些例子上的应用，包括一些路径依赖型期权。
这章是第四章的延伸，在第四章里我们讨论了蒙特卡洛积分。
需要强调的是蒙特卡洛方法是概念上的一个数字积分工具，即使我们适用更多的“模拟”或“抽样”。
在使用低差异序列而不是伪随机生成时这需要牢记。
如果可能，我们可以把模拟的结果和分析公式进行比较。
很明显我们这样做的目标是一个纯粹的教学。
如果你要计算一个矩形房间的面积，你只需要用房间的长度乘以房间的宽度即可，而不必要计算有多少次一块标准砖与这个表面相匹配。
尽管如此，你还是应该学会在一些简单案例中首先适用模拟的方法，在这些简单的例子中我们可以检验答案的一致性；更进一步，我们也要看为达到方差减小的目的分析公式可用于的模拟期权可能更有力的控制变量。
蒙特卡洛应用的出发点是生成样本路径，这个生成的样本路径给予一个描述价格（或利率）动态的随机微分方程。
在8.1节我们解释几何布朗运动的路径生成；在一个具体例子中模拟两个对冲策略，我们也会讨论布朗桥，它是适时推进模拟样本的一个替代方案。
在8.2节将讨论交换期权，它被用作为一个如何将这种方法推广到多维过程的一个简单实例。
在8.3节我们考虑一个弱路径依赖型期权的例子，这是个下跌敲出看跌期权；我们加入了有条件的蒙特卡洛和为减小方差抽样的重要性。
在8.4节将讨论到强路径依赖型期权，同时我们证明了运用控制变量和低差异序列为算术平均亚式期权定价。
蒙特卡洛模拟算法蒙特卡洛模拟算法是一种基于随机抽样的数值计算方法，常用于求解复杂的数学问题。
它的核心思想是通过生成大量的随机样本来近似计算某个问题的解。
蒙特卡洛模拟算法的应用领域非常广泛，包括金融、物理、工程、生物等多个领域。
蒙特卡洛模拟算法的基本步骤如下：1. 定义问题：首先需要明确要解决的问题是什么，例如计算一个复杂函数的积分、估计一个金融衍生品的价格等。
2. 确定随机变量：根据问题的特点，确定需要模拟的随机变量，这些随机变量通常是与问题相关的参数或输入。
3. 生成随机样本：根据所选的随机变量，生成一组符合其分布的随机样本。
这里的样本数目通常很大，以保证结果的精确性。
4. 计算问题的解：利用生成的随机样本，通过对样本进行某种运算或计算，得到问题的解。
这个运算方式根据问题的不同而不同，可以是简单的求和、平均值，也可以是复杂的模型拟合等。
5. 分析结果：最后，需要对得到的结果进行统计分析，包括计算均值、方差、置信区间等，以评估结果的可靠性和精确度。
蒙特卡洛模拟算法的优点在于它的灵活性和可扩展性。
通过增加样本数目，可以提高结果的精确性。
而且，蒙特卡洛模拟算法并不要求问题的解具有解析表达式，因此适用于各种复杂的问题。
下面以金融衍生品定价为例，来说明蒙特卡洛模拟算法的应用。
假设我们需要估计某个期权的价格，期权的价格受到多个因素的影响，包括标的资产价格、波动率、无风险利率等。
这些因素通常都是随机的，因此我们可以使用蒙特卡洛模拟算法来估计期权的价格。
我们需要确定模型的参数和随机变量。
假设期权的价格可以通过Black-Scholes模型来计算，我们需要确定标的资产价格的初始值、波动率、无风险利率等参数，并生成这些参数的随机样本。
然后，我们根据所选的参数，生成一组符合其分布的随机样本。
例如，可以使用正态分布来生成标的资产价格的随机样本，使用波动率的历史数据来估计波动率的分布。
接下来，我们利用生成的随机样本，通过Black-Scholes模型来计算期权的价格。
期权定价中的蒙特卡洛模拟方法期权定价是金融市场中的一个重要问题。
近年来，蒙特卡洛模拟方法在期权定价中得到了广泛的应用。
蒙特卡洛模拟方法是一种基于随机模拟的数值计算方法，通过生成大量的随机样本来估计某些数量的数值。
下面将介绍蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的基本原理及应用。
蒙特卡洛模拟方法采用随机数生成器生成大量的随机数，并利用这些随机数进行模拟计算。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法可以用来估计期权的价格以及其他相关的风险指标，例如风险价值和概率分布等。
在蒙特卡洛模拟方法中，首先需要确定期权定价模型。
常用的期权定价模型包括布朗运动模型和风险中性估计模型等。
然后，根据期权定价模型，生成一个或多个随机数来模拟期权价格的变动。
通过对多个随机样本进行模拟计算，我们可以获得期权价格的分布情况及其他相关指标的估计值。
在期权定价中，蒙特卡洛模拟方法的精确度主要取决于两个方面：模拟路径的数量和模拟路径的长度。
路径的数量越多，模拟结果的精确度越高。
路径的长度越长，模拟结果的稳定性越好。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛。
例如，在欧式期权定价中，可以使用蒙特卡洛模拟方法来估计期权的风险价值和概率分布等指标。
在美式期权定价中，由于存在提前行权的可能性，蒙特卡洛模拟方法可以用来模拟期权的提前行权时机并确定最佳行权策略。
此外，在一些复杂的期权定价中，例如亚式期权和障碍期权等，蒙特卡洛模拟方法也可以提供有效的定价方法。
总之，蒙特卡洛模拟方法是期权定价中一种重要的数值计算方法。
它通过生成大量的随机样本来估计期权的价格及相关指标，具有较高的灵活性和精确度。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中广泛应用，为金融市场中的投资者和交易员提供了重要的决策工具。
蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用非常广泛，下面将进一步介绍其在不同类型期权定价中的具体应用。
首先是欧式期权定价。
欧式期权是指在未来某个特定时间点（到期日）才能行使的期权。
蒙特卡洛模拟方法可以用来估计欧式期权的价格和概率分布等指标。
拟蒙特卡洛模拟方法在期权定价中的应用研究杨首樟1，任燕燕2（1.伯明翰大学，英国；2.山东大学 经济学院，山东济南 250100）摘要：不断变化的市场利率、汇率，难以预测的突发事件，以及各种复杂情形都对金融衍生产品定价方法提出了更高的要求。
蒙特卡洛模拟是一种比较有效的衍生品定价方法，它通过伪随机序列模拟标的资产价格的路径，对相应的期权进行定价，但它存在着一定的弊端：收敛速度慢，不能通过增加模拟次数有效地逼近真值。
拟蒙特卡洛模拟对蒙特卡洛模拟进行了改进，用低差异序列代替伪随机序列，提高了模拟的准确性。
论文利用蒙特卡洛和拟蒙特卡洛模拟方法 对欧式期权进行定价，对两种方法进行比较分析，结果表明在低维情况下拟蒙特卡洛模拟方法可以得到更加精确地效果，收敛速度也比较快；在高维情况下通过修正也达到同样的效果。
关键词： 蒙特卡洛；拟蒙特卡洛； 欧式期权；Black-Scholes定价模型中图分类号：F830.91;F224 文献编码：A DOI:10.3969/j.issn.1003-8256.2017.01.0070 引言在过去的二十年中，期权作为管理风险和投机的工具得到了迅速的发展，同时也引发了对于期权定价的研究。
由于期权的价格受市场供求的影响，进而影响交易双方的收益，使得期权定价研究成为期权交易中的一个重要部分。
但由于市场的复杂性以及不可预见性，使得期权的定价非常复杂，当所求问题的维度不高于三维的时候，运用传统的数值方法，例如，二叉树方法、有限差分法等就可以得到比较理想的结果，但当问题的维度比较高的时候，这些传统数值方法表现就不太理想，这就是所谓的“维度灾难”。
为了解决更加复杂的问题，诸多学者提出了蒙特卡洛方法。
蒙特卡洛方法的基本思想是通过建立一个统计模型或者随机过程，使它的参数等同于所求问题的解，再通过反复的随机取样，计算参数的估计值和统计量，从而得到所求问题的近似解，当抽样次数越多的时候近似解就越接近于真实值，其基本原理就是大数定理和中心极限定理。
拟蒙特卡罗方法在期权定价中的应用
随着金融系统的复杂性持续增加，研究人员开发出了新的方法来解决期权定价问题。
其中最有效的方法就是拟蒙特卡罗方法（MCP）。
MCP可以计算复杂的收益潜力和风险，以及将投资行为的分析数据转换为令人信服的价格预测。
MCP的主要作用是预测期权有效价格水平，主要通过仿真的方式，计算不同的期权行为的潜在风险和收益。
MCP把所有发生的期权行为收缩成一个称为风险限制的模型，这个模型将偏序关系定义为一种数学对象，可以实现在任何时间点都能计算出最优收益价格，也可以使研究人员在期权定价中建立自己的价格表现规则。
MCP同样也可以用来验证和估计多个变量之间的线性关系，并确定投资组合中的风险因素。
MCP可以用来评估复杂的期权定价模型，并为定价提供准确的参数估计，还可以利用MCP来调整期权行为的模型，而不会受到任何金融和市场模型的有效性约束。
总而言之，拟蒙特卡罗方法在期权定价中有着广泛的应用，并为金融工程师提供了一种更有效的期权定价方法。
蒙特卡罗模拟在期权定价中的应用研究蒙特卡罗模拟是一种重要的金融工程方法，广泛应用于期权定价、风险管理、金融衍生品估值等领域。
蒙特卡罗模拟的核心思想是通过随机模拟，计算所需的数学期望值，从而得出目标结果。
在期权定价领域，蒙特卡罗模拟能够帮助投资者更好地理解市场风险与收益，减少不确定性，提高投资收益。
一、期权定义与定价模型期权是一种金融工具，它赋予购买者在未来某个时间内买入或卖出某种资产的权利，而不是义务。
期权的价格由多种因素决定，如股票价格、剩余到期时间、波动率等。
根据期权价格与未来股票价格的关系，期权被分为两类，即认购期权和认沽期权。
认购期权是指购买者有权在未来固定时间内以固定价格购买股票，认沽期权则是指购买者有权在未来固定时间内以固定价格出售股票。
根据期权定价的模型，我们可以将其分为两类：基于风险中性定价理论的模型和基于实证数据的模型。
前者通过假设市场上不存在套利空间，以确定的无风险利率对期权进行定价；后者则基于市场实际数据，逐步优化模型参数，通过历史数据预测未来。
二、蒙特卡罗模拟在期权定价中的应用蒙特卡罗模拟在期权定价中的应用较为广泛。
它通过生成大量随机序列，利用随机样本点的模拟结果，来计算期权的价值。
具体来说，这个过程可以分为以下几步：1. 生成随机序列随机序列是蒙特卡罗模拟的核心。
在期权定价中，我们常常采用随机变量模拟股票价格随时间变化的情况，从而得出期权价格。
以欧式期权为例，我们可以根据股票的风险中性测度构造几何布朗运动随机过程，通过此过程生成随机序列。
2. 计算随机路径下的收益/损失随机序列产生后，我们需要计算每个随机路径下对应的期权价格。
具体来说，也依靠几何布朗运动过程，计算在这一路径下期权实际收益/损失的数值。
3. 取期望值估算期权价格我们通过模拟得到多个随机序列的期权收益/损失，然后将所有结果求和取平均值，得出期望值。
而期望值即为期权在当前股票价格等因素下的市场价格，也是蒙特卡罗模拟得出的期权价格。
蒙特卡洛定价方法蒙特卡洛定价方法是一种金融工程中常用的定价方法，广泛应用于期权定价、风险管理等领域。
它基于蒙特卡洛模拟，通过大量的随机模拟来计算出期权的预期价值，从而得出期权的定价结果。
蒙特卡洛定价方法的原理是通过随机模拟资产价格的未来走势，然后根据这些模拟结果计算出期权的预期收益，最终通过对这些预期收益进行加权平均来得到期权的定价。
具体步骤如下：1. 建立资产价格模型：首先，需要根据所研究的资产类型，建立一个适当的资产价格模型。
常见的资产价格模型包括布朗运动模型、几何布朗运动模型等。
2. 随机模拟价格路径：根据资产价格模型，使用随机数生成器模拟资产价格的未来走势。
一般情况下，可以根据资产价格的历史波动率和随机数生成器生成一系列符合资产价格模型的随机价格路径。
3. 计算期权收益：对于每条随机价格路径，根据期权的执行条件和收益规则，计算出期权在该价格路径下的收益。
4. 加权平均：对所有随机价格路径下计算得到的期权收益进行加权平均，得到期权的预期收益。
5. 折现：将期权的预期收益折现到当前时点，得到期权的预期价值。
蒙特卡洛定价方法的优点是可以考虑多种不确定性因素，并且相对于传统的解析解方法，它更加灵活，适用于各种复杂的金融产品。
然而，蒙特卡洛定价方法也存在一些缺点，比如计算量大、收敛速度慢等。
在实际应用中，蒙特卡洛定价方法可以用于期权定价、风险管理等领域。
例如，在期权定价中，可以使用蒙特卡洛定价方法来计算欧式期权的价格；在风险管理中，可以使用蒙特卡洛模拟来评估投资组合的风险暴露度。
蒙特卡洛定价方法是一种重要的金融工程方法，通过随机模拟和加权平均的方式，可以较为准确地计算出期权的预期价值。
它在期权定价、风险管理等领域有着广泛的应用前景。
随着计算机技术的不断进步，蒙特卡洛定价方法将会在金融领域发挥更加重要的作用。
,为独立同分布的随机变量序列，若2,则有pξ是由同一总体中得到的抽样，那么由,,n,为独立同分布的随机变量序列，若,[2,D μξ<∞则有k =∑1)exp(x=⎰η，并计算样本均值,,nKolmogorov,,)]S，T,,)T S 是关于标的资产价格路径的预期n t T <<=2,)n，1,2,n），则如果用日数据计算波动率，从表可看出，由蒙特卡洛方法模拟的认购权证价格的模拟值比由Black-Scholes公式计算的理论值更接近实际值。
为了更直观的比较，由蒙特卡洛方法模拟的认股权证价格与Black-Scholes模型的精确值和市场价格比较的结果如下图。
其中SJ代表实际值，MC代表蒙特卡洛方法求得的模拟值，+，并令其解为2,) 2,,}k，跳跃尺度()2()(,)()!N t W S r N t λτλτσ-exp(λλμ=，()(exp()1)(N t r r λ=--+1σσστ=+◆无形资产——专利池的期权定价模问题专利池的市场价值V 依赖于企业使用专利池技术前后生产产品所获得的收益S 和成本C 及时间t ，这三个变量均可用跳扩散模型：()(1)dXdt dW Y dN Xμλνσ=-++-通过构造由V 和它所依赖的两个变量S 、C 组成的资产组合，利用带跳的伊藤引理获得V 与S 、C 所遵循的带跳的随机微分方程，并根据实际情况在一些假设条件下给出该方程的终边值条件，最终获得V 的求解公式。
构造无风险资产组合S S C V V S V C ∏=--一方面V∏的微分的期望为：()()V S C E d r V V S V C dt ∏=--另一方面，222211()()22((,,)(,,))S t S SS C CC S C SC S S S S S E d V S V C V SCV dtE V Y S C t V S C t dt v V Sdtσσσσλλ∂∏=++++-- 新产品发明专利池的市场价值V 所遵循的方程为年,根据市场需求,计划建成一条年生产100吨的生产线,其20年的成本,包括设备的直接制造成本和运营期间的管理费、工资等。
若在期初计划投资1000万,以后20年每年的生产量不变,生产成本按每年的通货胀率 10%递增。
假设在初期预计该项技术20年总收益为4000万,其收益率为25%,方差为20%。
1.3()0.02,25%,10%,0.6S S C S t t r Y λμμ=====(0)4000,(0)1000,4000,0.005S C n t ===∆=新产品发明专利池的市场价值 V=8050●在一次付清许可费用情况下的价格模型： 新产品发明专利池的价格P 所遵循的方程为：222211()22((,,)(,,))0t S S S C S SS C CC S C SC S S P r v P S rP C S P C P SCP E P Y S C t P S C t rP λσσσσλ+-+++++--= (,,)max((()()),0)(,,)0 as 0(,,)0 as C (,,) as P S C T S T C T P S C t S P S C t P S C t S S αα=-→→→→∞→→∞在一次付清许可费用情况下的新产品发明专利池的价格为：(,,)(,,)P S C t V S C t α=1.3()0.02,25%,10%,0.5,0.6(0)4000,(0)1000,4000,0.005S S C S t t r Y S C n t λμμα=========∆=在一次付清许可费用情况下新产品发明专利池的价格 P=5450。
●在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下的价格模型新产品发明专利池技术产生的收益S 遵循模型 ()(1)S S S S S S S dS q dt dW Y dN Sμλνσ=--++- 引进新产品发明专利池技术后的成本 C 遵循模型C C dC dt dW C μσ=+构造无风险资产组合P S C P P S P C ∏=-- 一方面P ∏的微分的期望为()()P S C E d r P P S P C dt ∏=--新产品发明专利池的价格 P 所遵循的方程为： 另一方面，P∏的微分及其期望为:222211()()22((,,)(,,))P t S S S SS C CC S C SC S S S S S E d P q P S S P C P SCP dt E P Y S C t P S C t dt v P Sdtσσσσλλ∏=-++++-- 新产品发明专利池的价格 P 所遵循的方程为：222211()22((,,)(,,))0t S S S S C S SS C CC S C SC S S P r q v P S rP C S P C P SCP E P Y S C t P S C t rP λσσσσλ+--+++++--= (,,)max((()()),0)(,,)0 as 0(,,)0 as C (,,) as P S C T S T C T P S C t S P S C t P S C t S S αα=-→→→→∞→→∞21()22ln (,), (1)1SY SY S SY SY S S Y N E Y e μσμσν+=-=-期权的价格公式：()2()0()(,,)(,,,,)()!S S S N t q BS N t S e P S C t V Se C r N t λττλτατσ---∞-==∑212(,,,,)()()()(),S S q q r BS V Se C r S t e d C t e d T t ττττστ---=Φ-Φ=-212SY SY S eμσλλ-+=22221()2S C S C SY S N t σσσσσσ-=+++ 2122()1(1)()2SY SY S S S SY SY N t r r q e μσλμστ-+=---++ 1.3()0.02,25%,10%,10%,0.6(0)4000,(0)10004000,0.005S S C S S t t r q Y S C n t λμμ=========∆=在首付加每期按收益固定比率支付许可费用情况下新产品发明专利池的价格P=855。
§6. 最小二乘蒙特卡洛模拟与美式期权定价运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法为美式期权定价的基本原理与蒙特卡洛模拟方法基本相同，并且用最小二乘回归同时还可解决各样本时点上继续持有期权价值的确定和各样本路径的最优停时的确定。
其基本思路是：在期权的有效期内，将其标的资产价格过程离散化，随机模拟出标的资产价格的多条样本路径，从而得到每个时刻资产价格的截面数据。
选取以某时刻资产价格为变量的一组基函数作为解释变量，下一时刻期权价值的贴现值作为被解释变量，进行最小二乘法回归求得该时刻期权的持有价值，并与该时刻期权的内在价值作比较，若后者较大，则应该立即执行期权，否则，就应继续持有期权。
最小二乘蒙特卡洛模拟方法定价的基本实现步骤：首先，随机生成标的资产价格的多条样本路径；然后，从到期时刻逆向求解，比较期权的内在价值与持有价值，确定出各时刻期权价值和每条样本路径的最优停时；最后，将所有样本的的期权价值求取按无风险利率贴现的算数平均值便是模拟的期权价值。
下面，我们运用最小二乘蒙特卡洛模拟方法对单个标的资产的美式看跌期权进行定价，其算法实现步骤如下：第一步：随机生成标的资产价格过程的多条样本路径*,,,,)]T t S S *,,,,T t S S 为标的资产价格的路径，*,,,,)T t S S 的期权价值。
上式定义的用最小二乘蒙特卡洛方法进行模拟的期权价值。
{0,1,,}N ，随机变量,,N S ，重复执行3,,0的期权持有价值。
对于每条样本路径{0,1,,}N 执行，或是永不执行。
具体设计程令初值t *=变；如果执行期权，则t N *=1,2,,}M也不同，所以应分别进行贴现求均值，最终得到初,,,)]j T t S S *=∑已知股票价格为50，美式看跌期权执行价为编制最小二乘蒙特卡洛模拟的MATLAB程序如下：function price=AmericanOptLSM(S0,K,r,T,sigma,N,M) dt=T/N;R=exp((r-sigma^2/2)*dt+sigma*sqrt(dt)*randn(N,M)); S=cumprod([S0*ones(1,M);R]);ExTime=N*ones(M,1);CF=zeros(size(S));CF(end,:)=max(K-S(end,:),0);for ii=N:-1:2Idx=find(S(ii,:)<K);X=S(ii,Idx)';X1=X/S0;Y=CF(ii+1,Idx)'*exp(-r*dt);R=[ones(size(X1)) (1-X1) 1/2*(2-4*X1+X1.^2)];a=R\Y;C=R*a;Jdx=max(K-X,0)>C;nIdx=setdiff((1:M),Idx(Jdx));CF(ii,Idx(Jdx))=max(K-X(Jdx)',0);ExTime(Idx(Jdx))=ii;CF(ii,nIdx)=exp(-r*dt)*CF(ii+1,nIdx);endPrice=mean(CF(2,:))*exp(-r*dt)%%%%% 绘制标的股票价格模拟图%%%%%x1=[0:N];y1=S';y2=mean(S');subplot(2,1,1)plot(x1,y1)subplot(2,1,2)plot(x1,y2)xlabel('期权存续期间')ylabel('股价的模拟路径')%%%%% 绘制期权价值模拟图%%%%% figure;x2=[1:N];y3=CF(2:end,:)';for i=1:My4(i)=y3(i,ExTime(i));endplot(x2,y3,ExTime,y4,'*')xlabel('期权的最优停止时间')ylabel('期权价值的模拟路径')模拟的美式看跌期权的价格路径如下图所示：模拟的期权价值路径及其最优停时如下图：本例中的美式看跌期权价格为：price=AmericanOptLSM(50,50,0.1,5/12,0.4,50,100000) Price=4.2654§7. 改进蒙特卡洛方法计算效率的常用几种方差减少技术方差减少技术的共性是利用模型特点，调整或修正模拟的输出变量，从而降低估计值的方差。
