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《随机事件的独立性》知识清单一、什么是随机事件的独立性在概率论中，随机事件的独立性是一个非常重要的概念。
如果两个随机事件 A 和 B 满足：P(AB) ＝ P(A)P(B)，那么我们就说事件 A 和事件 B 是相互独立的。
简单来说，就是事件 A 的发生与否不会影响事件 B 发生的概率，事件 B 的发生与否也不会影响事件 A 发生的概率。
举个例子，假设我们抛一枚均匀的硬币两次。
第一次抛硬币得到正面记为事件 A，第二次抛硬币得到正面记为事件 B。
由于每次抛硬币的结果都是相互独立的，所以事件 A 和事件 B 是相互独立的。
二、判断随机事件独立性的方法1、利用定义直接计算 P(AB)、P(A) 和 P(B)，然后检查是否满足 P(AB) ＝P(A)P(B)。
2、直观判断如果两个事件的发生没有直接的关联或相互影响，那么它们可能是独立的。
但这种方法并不总是准确，还需要通过计算来确认。
三、独立事件与互斥事件的区别独立事件强调的是概率上的关系，即一个事件的发生不影响另一个事件发生的概率。
互斥事件则是指两个事件不能同时发生，即 P(AB) ＝ 0。
例如，从一副扑克牌中抽取一张牌，抽到红桃记为事件 A，抽到黑桃记为事件 B。
这两个事件是互斥的，因为一张牌不可能既是红桃又是黑桃。
但如果从一副扑克牌中两次独立地抽取牌，第一次抽到红桃记为事件 C，第二次抽到黑桃记为事件 D，那么事件 C 和事件 D 是独立的。
四、多个随机事件的独立性对于多个随机事件，如果任意两个事件之间都是相互独立的，那么称这些事件是两两独立的。
但两两独立并不意味着这些事件整体相互独立。
例如，有三个事件 A、B、C，如果 P(AB) ＝ P(A)P(B)，P(AC) ＝P(A)P(C)，P(BC) ＝ P(B)P(C)，只能说明 A、B 两两独立，B、C 两两独立，A、C 两两独立。
但要判断它们整体相互独立，还需要满足P(ABC) ＝ P(A)P(B)P(C)。
第五章统计与概率5.3.5随机事件的独⽴性（教案）随机事件的独⽴性【教学⽬标】1．在具体情境中，了解两个事件相互独⽴的概念.2．能利⽤相互独⽴事件同时发⽣的概率公式解决⼀些简单的实际应⽤问题.【教学重难点】1．独⽴性的概念.2．独⽴性的应⽤.【教学过程】⼀、问题导⼊五⼀劳动节学校放假三天，甲、⼄两名同学都打算去敬⽼院做志愿者，甲同学准备在三天中随机选⼀天，⼄同学准备在前两天中随机选⼀天，记事件A：甲选的是第⼀天，B：⼄选的是第⼀天。
（1）直觉上，你觉得A事件是否发⽣会影响B事件发⽣的概率吗？（2）求出P（A），P（B），P（AB）的值，观察这三个值之间的关系.⼆、新知探究1．相互独⽴事件的判断【例】从⼀副扑克牌(去掉⼤、⼩王)中任取⼀张，设事件A＝“抽到K”，事件B＝“抽到红牌”，事件C＝“抽到J”，那么下列每对事件是否相互独⽴？是否互斥？是否对⽴？为什么？（1）A与B；（2）C与A．【解】（1）由于事件A为“抽到K”，事件B为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K或⽅块K，即有可能抽到K，故事件A，B有可能同时发⽣，显然它们不是互斥事件，更加不是对⽴事件．以下考虑它们是否为相互独⽴事件：抽到K的概率为P（A）＝452＝113，抽到红牌的概率为P（B）＝2652＝12，事件AB为“既抽到K⼜抽到红牌”，即“抽到红桃K或⽅块K”，故P(AB)＝252＝126，从⽽有P（A）P（B）＝P(AB)，因此A与B是相互独⽴事件．（2）从⼀副扑克牌(去掉⼤、⼩王)中任取⼀张，抽到K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发⽣，A 与C 互斥，由于P （A ）＝113≠0.P （C ）＝113≠0，P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独⽴事件，⼜抽不到K 不⼀定抽到J ，故A 与C 并⾮对⽴事件．【教师总结】⼀般地，当P (AB )＝P （A ）P （B ）时，就称事件A 与B 相互独⽴(简称独⽴)．如果事件A与B 相互独⽴，那么A －与B ，A 与B －，A －与B －也相互独⽴．两个事件相互独⽴的概念也可以推⼴到有限个事件，即“A 1，A 2，…，A n 相互独⽴”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发⽣的概率都等于它们各⾃发⽣的概率之积”．2．相互独⽴事件概率的求法【例】⼩王某天乘⽕车从⼴州到上海去办事，若当天从⼴州到上海的三列⽕车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列⽕车之间是否正点到达互不影响．求：（1）这三列⽕车恰好有两列正点到达的概率；（2）这三列⽕车⾄少有⼀列正点到达的概率．【解】⽤A ，B ，C 分别表⽰这三列⽕车正点到达的事件，则P （A ）＝0.8，P （B ）＝0.7，P （C ）＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1．（1）由题意得A ，B ，C 之间相互独⽴，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P （B ）P （C ）＋P （A ）P (B －)P （C ）＋P （A ）P （B ）P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398．（2）这三列⽕车⾄少有⼀列正点到达的概率为P 2＝1－P (ABC －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994．3．相互独⽴事件的应⽤【例】甲、⼄两⼈破译⼀密码，他们能破译的概率分别为13和14.求：（1）两⼈都能破译的概率；（2）两⼈都不能破译的概率；（3）恰有⼀⼈能破译的概率．【解】设“甲能破译”为事件A ，“⼄能破译”为事件B ，则A ，B 相互独⽴，从⽽A 与B －、A －与B ．A －与B －均相互独⽴．（1）“两⼈都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P （A ）·P （B ）＝13×14＝112.（2）“两⼈都不能破译”为事件AB ，则P (AB －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P （A ）]·[1－P （B ）]＝? ????1－13×? ??1－14＝12. （3）“恰有⼀⼈能破译”为事件((A B －)∪(A －B ))，则P ((A B －)∪(A －B ))＝P (A B －)＋P (A －B )＝P （A ）·P (B －)＋P (A －)·P （B ）＝13×? ????1－14＋? ????1－13×14＝512. 三、课堂检测1．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正⾯”为事件A ，“第2枚为正⾯”为事件B ，“2枚结果相同”为事件C ，有下列三个命题：①事件A 与事件B 相互独⽴；②事件B 与事件C 相互独⽴；③事件C 与事件A 相互独⽴．以上命题中，正确的个数是( )A ．0))B ．1C ．2))D ．3解析：选D ．P （A ）＝12，P （B ）＝12，P （C ）＝12，P (AB )＝P (AC )＝P (BC )＝14，因为P (AB )＝14＝P （A ）P （B ），故A ，B 相互独⽴；因为P (AC )＝14＝P （A ）P （C ），故A ，C 相互独⽴；因为P (BC )＝14＝P （B ）P （C ），故B ，C 相互独⽴；综上，选D ．2．(2019·四川省眉⼭市期末)三个元件T 1，T 2，T 3正常⼯作的概率分别为12，34，34，将元件T 2，T 3并联后再和元件T 1串联接⼊电路，如图所⽰，则此电路不发⽣故障的概率为________．解析：记“三个元件T 1，T 2，T 3正常⼯作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34.因为电路不发⽣故障的事件为(A 2＋A 3)A 1，所以电路不发⽣故障的概率为P ＝P [(A 2＋A 3)A 1]＝P (A 2＋A 3)P (A 1)＝[1－P (A －1)·P (A －3)]·P (A 1)＝(1－14×14)×12＝1532.答案：15323．在某段时间内，甲地不下⾬的概率为P 1(0A ．P 1P 2))B ．1－P 1P 2C ．P 1(1－P 2)))D ．(1－P 1)(1－P 2)解析：选D ．因为甲地不下⾬的概率为P 1，⼄地不下⾬的概率为P 2，且在这段时间内两地下⾬相互独⽴，所以这段时间内两地都下⾬的概率为P ＝(1－P 1)(1－P 2)．故选D ．4．甲、⼄两⼈组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、⼄各猜⼀个成语．已知甲每轮猜对的概率是34，⼄每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、⼄猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，则“星队”⾄少猜对3个成语的概率为________．解析：记事件A ：“甲第⼀轮猜对”，事件B ：“⼄第⼀轮猜对”，事件C ：“甲第⼆轮猜对”，事件D ：“⼄第⼆轮猜对”，事件E ：“‘星队’⾄少猜对3个成语”．由题意知，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －.由事件的独⽴性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P （A ）P （B ）P （C ）P （D ）＋P (A －)P （B ）P （C ）P （D ）＋P （A ）P (B －)·P （C ）P （D ）＋P （A ）P （B ）P (C －)P （D ）＋P （A ）P （B ）P （C ）P (D －)＝34×23×34×23＋2×? ?14×23×34×23＋34×13× ?34×23＝23. 所以“星队”⾄少猜对3个成语的概率为23.答案：23。
