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5.3.5 随机事件的独立性1．相互独立事件的定义和性质(1)定义：设A，B为两个事件，一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与事件B相互独立．(简称独立)(2)性质：如果A与B相互独立，那么A与B，A与B，A与B也都相互独立．思考：互斥事件与相互独立事件的区别是什么？[提示]对于n个事件A1，A2，…，A n，如果其中任一个事件发生的概率不受其他事件是否发生的影响，则称n个事件A1，A2，…，A n相互独立．3．独立事件的概率公式(1)若事件A ，B 相互独立，则P (AB )＝P (A )P (B )；(2)若事件A 1，A 2，…，A n 相互独立，则P (A 1A 2…A n )＝P (A 1)×P (A 2)×…×P (A n )．1．设A 与B 是相互独立事件，下列命题中正确的有( )①A 与B 对立；②A 与B 相互独立；③A 与B 互斥；④A －与B 相互独立；⑤P (AB )＝P (A )·P (B )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．5个C [由相互独立事件的性质及概率公式可知②④⑤正确．]2．甲、乙两人独立地解同一问题，甲解对的概率为P 1，乙解对的概率为P 2，那么至少有1人解对的概率是( )A ．P 1＋P 2B ．P 1·P 2C ．1－P 1P 2D ．1－(1－P 1)(1－P 2)D [设甲解对为事件A ，乙解对为事件B ，则P (A )＝P 1，P (B )＝P 2.则P ＝1－P (A －·B )＝1－(1－P 1)(1－P 2)．]3．一个学生通过一种英语能力测试的概率是12，他连续测试两次，那么其中恰有一次通过的概率是( )A.14B.13C.12D.34C [由题意知，恰有一次通过的概率为12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12×12＝12.] 4．在某道路A ，B ，C 三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．35192[由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为512，712，34.在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝512×712×34＝35192.]【例1】(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[思路探究]由题目可获取以下主要信息：(1)给出各对事件共三组；(2)要求判断各对事件是不是相互独立事件．解答本题可先看两个事件中的一个事件发生与否对另一个事件发生的概率是否有影响，再判断两个事件是否相互独立．[解](1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为58，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为47；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为57，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件．(3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB ＝{6}，所以P(A)＝36＝12，P(B)＝26＝13，P(AB)＝16.所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．判断事件是否相互独立的方法(1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(AB)＝P(A)·P(B).(2)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响.1．(1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是()A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面”B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球”C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数”D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁”(2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B()A．相互独立但不互斥B．互斥但不相互独立C．相互独立且互斥D．既不相互独立也不互斥(1)A(2)A[(1)把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A是独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；对于D，事件B受事件A的影响．故选A.(2)对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A 与B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A 与B 可能同时发生，所以事件A 与B 不是互斥事件．故选A.]【例全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85.求：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？[思路探究] 先明确已知事件间的关系，再把所求事件的概率表示成已知事件的概率，最后选择公式计算．[解] 分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A ，B ，C ，则A ，B ，C 两两相互独立，且P (A )＝0.9，P (B )＝0.8，P (C )＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用A － B C －表示，P (A － B C －)＝P (A －)P (B )P (C )＝[1－P (A )][1－P (B )][1－P (C )]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(A －BC )∪(A B C )∪(AB C )表示．由于事件A －BC ，A B C 和AB C 两两互斥，根据概率加法公式和相互独立事件的概率公式，所求的概率为P (A －BC )＋P (A B C )＋P (AB C )＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (C )＋P (A )P (B )P (B )＝[1－P (A )]P (B )P (C )＋P (A )[1－P (B )]P (C )＋P (A )P (B )[1－P (C )]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤(1)首先确定各事件是相互独立的；(2)再确定各事件会同时发生；(3)先求每个事件发生的概率，再求其积．2．公式P(AB)＝P(A)P(B)可推广到一般情形，即如果事件A1，A2，…，A n 相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…A n)＝P(A1)P(A2)…P(A n)．2．某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为25，34，13，若对这三名短跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，则求：(1)三人都合格的概率；(2)三人都不合格的概率；(3)出现几人合格的概率最大．[解]记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A，B，C相互独立，则P(A)＝25，P(B)＝34，P(C)＝13.设恰有k人合格的概率为P k(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率：P3＝P(ABC)＝P(A)·P(B)·P(C)＝25×34×13＝110.(2)三人都不合格的概率：P0＝P(A B C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝35×14×23＝110.(3)恰有两人合格的概率：P2＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A BC)＝2 5×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360.恰有一人合格的概率：P1＝1－P0－P2－P3＝1－110－2360－110＝2560＝512.综合(1)(2)可知P1最大．所以出现恰有一人合格的概率最大．[1．甲、乙二人各进行一次射击比赛，记A＝“甲击中目标”，B＝“乙击中目标”，试问事件A与B是相互独立事件，还是互斥事件？事件A B与A B呢？[提示]事件A与B，A与B，A与B均是相互独立事件，而A B与A B是互斥事件．2．在探究1中，若甲、乙二人击中目标的概率均是0.6，如何求甲、乙二人恰有一人击中目标的概率？[提示]“甲、乙二人恰有1人击中目标”记为事件C，则C＝A B＋A B.所以P(C)＝P(A B＋A B)＝P(A B)＋P(A B)＝P(A)·P(B)＋P(A)·P(B)＝(1－0.6)×0.6＋0.6×(1－0.6)＝0.48.【例3】在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有1个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关闭合的概率都是0.7，计算在这段时间内线路正常工作的概率．[思路探究]该线路是并联电路，当且仅当三个开关都不闭合时，线路才不通，故本题可采用对立事件求解．[解]分别记这段时间内开关J A，J B，J C能够闭合为事件A，B，C.由题意知这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件概率的乘法公式，得这段时间内3个开关都不能闭合的概率是P(A B C)＝P(A)·P(B)·P(C)＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.7)(1－0.7)(1－0.7)＝0.027.所以在这段时间内线路正常工作的概率是1－P(A B C)＝1－0.027＝0.973.概率问题中的数学思想(1)正难则反.灵活应用对立事件的概率关系(P(A)＋P(A)＝1)简化问题，是求解概率问题最常用的方法.(2)化繁为简.将复杂事件的概率转化为简单事件的概率，即寻找所求事件与已知事件之间的关系.“所求事件”分几类(考虑加法公式，转化为互斥事件)还是分几步组成(考虑乘法公式，转化为相互独立事件).(3)方程思想.利用有关的概率公式和问题中的数量关系，建立方程(组)，通过解方程(组)使问题获解.3．设事件A 与B 相互独立，两个事件中只有A 发生的概率和只有B 发生的概率都是14，求事件A 和事件B 同时发生的概率．[解] 在相互独立事件A 和B 中，只有A 发生即事件A B 发生，只有B 发生即事件A B 发生．∵A 和B 相互独立，∴A 与B ，A 和B 也相互独立．∴P (A B )＝P (A )·P (B )＝P (A )·[1－P (B )]＝14， ①P (A B )＝P (A )·P (B )＝[1－P (A )]·P (B )＝14. ②①－②得P (A )＝P (B )．③联立①③可解得P (A )＝P (B )＝12.∴P (AB )＝P (A )·P (B )＝12×12＝14.(教师独具)1．本节课的重点是相互独立事件概率的求法，难点是互斥事件与相互独立事件的区分．2．学习本节课，需要掌握的规律与方法(1)能够判断两个事件是互斥事件还是相互独立事件．(2)应用相互独立事件的公式正确求出概率．3．本节课的易错点是不能正确区分相互独立事件与互斥事件而致误．1．思考辨析(1)若事件A ，B 相互独立，则P (A － B －)＝P (A )P (B )．( )(2)若事件A 与B 相互独立，则B 与B 相互独立．( )[答案] (1)√ (2)×2．坛中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A 1表示第一次摸得白球，A 2表示第二次摸得白球，则A 1与A 2是( )A ．相互独立事件B ．不相互独立事件C ．互斥事件D ．对立事件A [由概率的相关概念得A 1与A 2是互不影响的两个事件，故是相互独立的事件．]3．甲、乙两个袋子中均装有红、白两种颜色的小球，这些小球除颜色外完全相同．其中甲袋装有4个红球、2个白球，乙袋装有1个红球、5个白球．现分别从甲、乙两袋中各随机抽取一个球，则取出的两球都是红球的概率为________．(答案用分数表示)19 [从甲袋中取出一个红球的概率为46＝23，从乙袋中取出一个红球的概率为16，故取出的两个球都是红球的概率为23×16＝19.]4．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14.假设他们破译密码是彼此独立的，试求此密码被破译的概率．[解] 用A ，B ，C 分别表示三人破译出密码，则P (A )＝15，P (B )＝13，P (C )＝14.且P (A －B －C －)＝P (A －)P (B －)P (C －)＝45×23×34＝25，所以此密码被破译的概率为1－25＝35.。
