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中南大学概率论与数理统计课件(1.5事件的独立性与独立试验概型)

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概率论与数理统计：1-5事件的独立性

概率论与数理统计：1-5事件的独立性
相互独立.
(2) 若事件A与B相互独立, 则以下三对事件也相互独立.
1 A 与 B；2 A 与 B；3 A 与 B.
注 称此为二事件的独立性关于逆运算封闭.
例1 甲, 乙两人同时向敌机开炮,已知甲 击中敌机的概率为0.6, 乙击中敌机的概 率为0.5, 求敌机被击中的概率.
解 设 A={ 甲击中敌机 }，B={ 乙击中敌机 }，
1 P A1A2 An 1 P(A1)P(A2 )…P(An )
例3 若每个人血清中含有肝炎病毒的概率为0.4%, 假
设每个人血清中是否含有肝炎病毒相互独立，混合
100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率.
解 记 Ai {第i个人的血清含有肝炎病毒},i 1, 2, ,100. B {100个人的混合血清中含有肝炎病毒}
解 由于在四面体中红, 白, 黑分别出现两面, 因此 P( A) P(B) P(C ) 1 ,
2 又由题意知 P( AB) P(BC ) P( AC ) 1 ,
4
故有
P(
AB)
P( A)P(B)
1 4
,
P
(
BC
)
P(
AC
)
P(B)P(C ) P( A)P(C )
1, 4 1, 4
解 设以 Hi (i 0,1,2,3) 表示事
件"随机地取出3 件乐器,
其中恰有 i 件音色不纯",
H0 , H1, H2, H3 是 的一个划分,
以 A表示事件"这批乐器被接收". 已知一件音色 纯的乐器 , 经测试被认为音色纯的概率为 0.99 , 而一件音色不纯的乐器,经测试被认为音色纯的 概率为0.05, 并且三件乐器的测试是相互独立的, 于是有 P( A H0 ) (0.99)3, P( A H1 ) (0.99)2 0.05,

概率论与数理统计课件(1-4)独立性

概率论与数理统计课件(1-4)独立性
0.8 0.7 0.8 0.7 0.94 .
或者 P A B 1 P A B 1 P A B
1 P A P B 0.94.
或者 P A B P AB A B AB
P AB P A B AB 0.94 .
A、B独立
概率的性质
= P(A)- P(AB) = P(A)- P(A) P(B) =P(A)[1- P(B)] = P(A) P(B ) 故 A与 B独立 练习： B与 A独立
定理 以下四事件等价： (1) 事件A、B相互独立；
(2) 事件A、B相互独立；
(3) 事件A、B相互独立； (4) 事件A、B相互独立。
解：由题意
P( AB) P( AB)
A与B独立，则 A与B ；与B也独立 A
P( A) P(B) P( A) P(B)
P ( A)1 P ( B) 1 P ( A)P ( B)
1 P ( A) P ( B ) 3
练习 设两个相互独立的事件A与B都不发生的 概率为1/9， A发生B不发生的概率与B发生A不 发生的概率相等，则P(A)=( 2/3 )
解：由题意

P( AB) P( AB)
P ( A) P ( B)
上一题 结论
2
A与B独立，则 A与B 也独立
P( AB) P( A) P(B) 1 P( A)
2 P ( A) 3
例 设0<P(A)<1,则 A与B相互独立 P(B | A) P(B) P(B | A) P(B)
可见
P(A)= P(A|B)
, 即事件A、B独立.

中南大学概率论与数理统计课件(1.5事件的独立性与独立试验概型)

中南大学概率论与数理统计课件(1.5事件的独立性与独立试验概型)

解 情形（1）的样本空间为
Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}
P(A) 1 , P(B) 3 , P(AB) 1
2
4
2
此种情形下，事件A、B是不独立的。
例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。
解 情形（2）的样本空间为
Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
P(A) 6 , P(B) 1 , P(AB) 3
8
2
8
此种情形下，事件A、B是独立的。
定理1.5 下列四组事件，有相同的独立性：
（1）A与B；（2）A与B； （3）A与B；（4）A与B 证明 若A、B独立，则 P(AB) P(A) P(B) P( AB) P( A U B) 1 P( A U B)
P4(k) C4k pk q4k (0 k 4)
(2) 设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则
P(B) P4 (2) P4 (3) P4 (4) 0.8918
例 设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好 命中3次的概率。
解 该试验为5重贝努利试验，且 n=5,p=0.7;q=0.3;k=3
（2）甲、乙两人依次有放回地连续抽取两张，求甲 乙两人至少有一人中奖的概率。
解 设A表示事件“甲中奖”，B表示事件“乙中奖”。
（1）由于是不放回地抽样，故有
P(AB) P(A)P(B A)
C51C31 C41C21
C120
C82

概率论及数理统计：1.5 事件的独立性

概率论及数理统计：1.5 事件的独立性

同时成立：
P( AB) P( A)P(B)
两两相互独立
P( AC ) P( A)P(C )
(1)
P(C ) P( A)P(B)P(C ) (2)
注1：三个事件A,B,C相互独立的性质类似两个事件的性质.
例 八组事件 A, B,C; A, B,C; A, B,C 任何一组相互独立，则其它各组也相互独立
解 设取出的5个数按由小到大排列为
x1 x2 x3 x4 x5
令 ( x3 4) 表示所求的事件 ( x3 4) ( x3 4) ( x3 3)
( x3 4) : 1,1,2,3,3; 1,1,2,3,4;
1,1,4,4,5; 1,1,4,5,8;
— 所取的5个数字中至少有3个数字不大于4
P( AB) P( AC ) P( ABC ) P( A) P(B) P(C ) P(BC )
P( A)P(B C )
结论：
若 n 个事件 A1, A2, …, An 相互独立，将这 n个事件 任意分成 k 组，同一个事件不能同时 属于两个不 同的组，则对每组的事件进行求和、积、差、对立 等运算所得到的 k 个事件也相互独立
P( A1 A2 An ) P( A1 )P( A2 ) P( An )
事件独立性的判别: 常根据实际问题的意义
例 已知事件 A, B, C 相互独立，证明事件
A 与 B C 也相互独立
证 P A(B C ) P(B C ) P A(B C )
P(B) P(C ) P(BC )
Pn(k ) k = 0, 1 , 2, …, n
例 八门炮同时独立地向一目标各射击一发炮 弹, 若有不少于2发炮弹命中目标时, 目标 就被击毁. 如果每门炮命中目标的概率为

1.5事件的独立性(课件)

1.5事件的独立性(课件)

定义 两个事件 A 与 B , 如果其中任何一个 事件发生的概率， 都不受另一个事件发生与否 的影响,则称事件 A 与 B 是相互独立的.
例 掷一枚均匀的骰子,(1)A表示“点数小于 则 B表示“点数为奇数” 5”,
P ( A)
4 6
2 3
P(B)
1 2 1 3
3 6
P ( AB )
一个独立试验序列.
定义1.8 由一个贝努利试验 独立重复进行,形成 的随机试验序列称为贝努利试验序列. 由一个贝努利试验 独立重复进行n次,形成的 随机试验序列 称为n 重贝努利试验. 在n 重贝努利试验中， 事件A发生 每一次试验, 的概率都是 p , 事件 A 发生的概率都是 q 1 p
P ( A1 ) P ( A 5 ) P ( A 6 )
A1 , A 2 , ..., A n 两两独立.
A1 , A 2 , ..., A n 相互独立
例 一个袋中装有4个球,其中全红、全黑、全白色 的球 各一个,另一个是涂有红、黑、白三色的彩球. 事件A、B、C 分别表示取到的球上 从中任取一个, 有红色、黑色、 白色, 判别A,B,C的独立性. 2 2 解 P(A) 2 P(B ) P (C )
§1.5 事件的独立性
一般地
P ( A B ) P ( A)
但在有些情况下， 事件B发生与否并不影响事件 A发生的机会. 如 甲、乙两人各掷一次硬币,
B表示 “乙掷出正面”,
A表示 “甲掷出正面”, 又如， 某校毕业班进行统考，
B表示 “乙同学英语及格.” A表示 “甲同学数学及格.”
一、两个事件的独立性 当事件B对事件A 发生的概率 没有任何影响时, 应有 P A B P ( A ) 其中 P ( B ) 0 当事件A对事件B 发生的概率 没有任何影响时, 应有 P B A P ( B ) 其中 P ( A ) 0 当 P ( B ) 0 时,

高等数学-概率1.5 独立试验概型

高等数学-概率1.5 独立试验概型

例1、将一枚均匀的硬币，重复抛掷5次， 求其中恰有两次出现正面的概率。
解：抛掷5次硬币，恰有两次出现正面， 2 可能的情况一共有 C5 10 种，用 Bk ， k 1, 2,,10 分别表示这10种情况中的一种； Ai 表 示 “i 第 i 1, 正 次 抛 掷出2,现 ,5 ； B面”， 表 示 “P B1 5 次 硬 B10 有 两 次 出 现 正 P B 抛 掷 B2 币 恰 面”。 P B1 P B2 P B10 则
0 3 0
3 0
0.488
例3、甲、乙二人打网球，假定每盘比赛甲 胜乙的概率为0.6，乙胜甲的概率为0.4， 若采取5盘3胜的比赛规则，问甲胜的可能 性有多大？

解：将比赛一盘看成一次试验，比赛5盘就 p 1 是5重伯努利试验， 0.6 ， p 0.4
设 B 表示“甲获胜”，则甲获胜有以下几 种 可能情况： B1 B2 “甲连胜3盘，总比分3比0获胜”； “前三盘甲2胜1负，第4盘胜，总比 B3 分3比1获胜”； “前4盘甲2胜2负，第5盘胜，总比分 3比2获胜”；
例5、设每门炮击中飞机的概率为0.6，想 要以99％的概率击中飞机，问：至少需要 多少门炮同时射击？
解：设至少需要 n 门炮同时射击。用 Ai 表 示“第i 门炮击中飞机”。
n n n n P Ai 1 P Ai 1 1 0.6 1 0.4 i 1 i 1
事件独立的性质：




A 事件 A 与 B ，A 与 B ，A 与 B ， 与 B 中有 一对独立，则其余三对也独立。 若 P A 0（ P B 0），则 A 与 B 独立 的充要条件是 P A B P A ，P B A P B 。 必然事件 和不可能事件 与任何事件 都是独立的。 若事件 A 与 B 满足 P A P B 0 ，则 A 与 B 独立和 A 与 B 互斥不能同时发生。

1.5独立性及伯努利概型 《概率论与数理统计》课件

1.5独立性及伯努利概型 《概率论与数理统计》课件
则称 A1,A2,An 相互独立.
n 个事件相互独立，则必须满足 2n n1个等式.
显然 n 个事件相互独立，则它们中的任意
m （2 mn）个事件也相互独立.
2.事件独立性的性质
定理1.5.1 四对事件{A、B}，{ A , B }，{A，B }、
{ A 、B }中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
证明 不失一般性.设事件 A 与 B 独立，仅证 A 与 B
相互独立，其余情况类似证明 因为 P ( A B ) P ( B A ) P ( B A ) P B ( B ) P ( A )B
又 A 与 B 独立，所以 P (A)B P (A )P (B )
从而 P ( A B ) P ( B ) P ( A ) P ( B ) P ( B ) 1 P ( ( A ) P ) ( A ) P ( B ) 所以， A 与 B 相互独立.
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是
P(A)= 1 , P(B)= 3 , P(AB)= 1
2
4
2
由此可知 P(AB) P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、
男、男），（男、男、女），（男、女、男），
（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），
（女、男、女），（女、女、女）｝
= 1 P(A1A2An) = 1 P(A 1)P(A 2)P(A n)
这个公式比起非独立的场合，要简便的多，它 在实际问题中经常用到.
例1.5.6 假若每个人血清中含有肝炎病的概率为 0.4%，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病 毒的概率？
解: 设 A i={第 i 个人血清中含有肝炎病毒}

《概率论与数理统计》课件ch1-5

《概率论与数理统计》课件ch1-5

Ch1-5-9
利用独立的性质计算其并的概率
若 A1, A2, …, An 相互独立, 则
P ( Ai ) 1 (1 P( Ai ))
i 1
i 1
n
n
P( Ai ) P( A1 A2 An )
i 1
n
1 P( A1 A2 An ) n 1 P( A1 A2 An ) 1 P( Ai )
Ch1-5-2
注
1.事件 A 与 B 相互对称,无任何限制
2.若
P( A) 0, 则P( B) P( B A)
若 P( B) 0, 则P( A) P( A B)
3. Ω、Ф与任意事件独立
4.区别“A 与 B 相互独立”和 “A 与 B 互斥
5.四对事件
Ch1-5-3
A, B; A, B ; A , B; A , B
0 p , q 1, p q 1
P( A )P( B C )
P( AB ) P( AC ) P( ABC )
练习1-5-1 3人对某目标独立射击一次,命中 概率分别为0.4,0.5,0.7.求3人中(1)恰1人击中 (2)至少1人击中的概率 解 令 Ai =“第i人击中” i =1,2,3
Ch1-5-8
则 (1) P( A1 A2 A3 A1A2 A3 A1 A2 A3 )
§1.５
事件的独立性
Ch1-5-1
一. 事件的独立性
若
P( AB ) P( B ) P( B | A ) P( A ) P( AB ) P( A ) P( A | B ) P( B )
事件A,B 发生与否不影响对方发生的概率 可视为事件A 与B 相互独立

概率论与随机过程：1-5,6独立性 伯努利试验概型

概率论与随机过程：1-5,6独立性 伯努利试验概型

(*)例 2 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 三人击中的概率分别为0.4、0.5、0.7. 飞 机被一 人击中而击落的概率为0.2,被两人击中而击落的 概率为0.6, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求 飞机被击落的概率.
解: 设B={飞机被击落}，
Ai={飞机被i个人击中}, i=1,2,3
1. P(B|A)>0 3. P(A|B)=0
2. P(A|B)=P(A) 4. P(AB)=P(A)P(B)
定理5.1.2 若两事件A、B独立，则 A与B, A与B, A与B 也相互独立.
证明: 仅证A与 B 独立
A、B独立
概率的性质 P(A B)= P(A - A B)
= P(A)- P(AB)= P(A)- P(A) P(B)
例3：电路系统的可靠性。如图，两个系统各有 2n个元件，其中系统Ⅰ先串联后并联，系统 Ⅱ 先并联后串联。求两个系统的可靠性大小 并加以比较。
A1 A2
An
A1
A2
B1 B2
Bn
B1
B2
系统Ⅰ
解：Ⅰ.设Ai表示第i个元件正常工作。 A：Ⅰ中第一条支路正常工作，
B：Ⅰ中第二条支路正常工作，
A∪B：表示Ⅰ系统正常工作
问事件A、B是否独立？
解： 由于 P(A)=4/52=1/13, P(B)=26/52=1/2
P(AB)=2/52=1/26 可见, P(AB)=P(A)P(B)
因此，事件A、B独立.
本问题也可以通过条件概率来解决:
由于 P(A)=1/13, P(A|B)=2/26=1/13
P(A)= P(A|B), 所以事件A、B独立.
练：投掷一枚均匀的骰子。 （1）设A表示“掷得点数小于5”，B表示“掷 得 奇数点”，问A,B是否独立？ 独立。 （2）设A表示“掷得点数小于4”，B表示“掷 得奇数点”，问A,B是否独立？ 不独立。

概率论与数理统计probability1.5

概率论与数理统计probability1.5
第五节
引例
事件的独立性
已知袋中有5只红球, 3只白球.从袋中有放回
地取球两次,每次取1球.设第i次取得白球为事件 Ai ( i=1, 2 ) .求 P(A2 ) , P(A2 | A1 ) ,P(A2 | A1 )
因为是有放回地取球，无论第一次取的是 红球还是白球，第二次都是在5红3白中取 一球，取到白球的概率都是3/8 ,也就是说
例2. 有一均匀的八面体, 各面涂有颜色如下
1 红 黑 黄 2 红 黑 3 红 黑 4 5 6 黑 黄 黄 黄 7 8 红
将八面体向上抛掷一次, 观察向下一面出现的颜色。 设A:出现红色; B:出现黑色; C:出现黄色，试判断
P(AB) P(A)P(B), P(AC) P(A)P(C), P(BC) P(B)P(C), P(ABC) P(A)P(B)P(C)
所以不可能事件 与任意随机事件A相互独立.
3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则
A 与 B、A 与 B、A 与 B
也相互独立.
证明其一： A,B 相互独立 A,B 相互独立
证明 由于 AB A AB
且
AB A
（差事件的概率） P(AB) P(A AB) P(A) P(AB)
2）与两个随机事件相互独立类似：
如果 A1 , A2 , , An 这 n 个随机事件相互独立，则
Ai1 , Ai2 , Aim , Aim1 , , Ain 这n个随机事件也相互独立。
其中 i1 , i2 , in 是 1, 2, , n 的一个排列, 1 m n
注意：在
解： 显然 P(A) P(B) P(C) 4 1
8
2
1 P(ABC) 8

概率论与数理统计1.5课件

概率论与数理统计1.5课件
所P 以 A B P ， A P B
这表明，事件 A 与 B 不相互独立．
例2
甲、乙二人各投篮一次，设甲投中的概率为0.7，乙 投中的概率为0.8，求甲、乙两人至少有一人投中的 概率. 解： 记A=“甲投中”，B=“乙投中”
显然A与B相互独立，故
甲、乙两人至少有一人投中的概率
P A B P ( A ) P ( B ) P A B
这表明，事件 A 是否发生对事件 B 是否发生在概率上是没有影响的，即 事件 A 与 B 呈现出某种独立性．
由此，我们引出事件独立性的概念
注意
两事件A与B是否独立依赖于概率测度P(●)。如在例1中， 取事件A={HH，HT}(甲币出现H), C={HT，TH}(甲、 乙两硬币不出现同一面)，并设两硬币出现正面H的概 率均为p，出现反面T的概率均为q=1-p，则
(2) 如果未取到黒球就一直取下去，直到取到黑球为止， 求恰好3次的概率及至少取3次的概率。
例7
一辆飞机场的交通车载有25名乘客途经9个站，每个乘 客都等可能在这9站中任意一站下车(且不受其它乘客 下车与否的影响)，交通车只在有乘客下车时才停车， 求交通车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条 件下在第j站停车的概率。并判断“第i站停车”与 “第j站停车”两个事件是否独立。
3)若随机事件 A 与 B 相互独立，则下列各事 件也相互独立. A与B、A与B、A与B
证：为方便起见，只证 A 与 B 相互独立即可
由于
P A B P B P AB
P B P A P B 事 A 与 件 B 的独 1P A P B
PAPB
所以，事A件与B相互独立．
4) 对概率不等于0的两个事件，互不相容与相
A={HH，HT} B={HH，TH} AB={HH}

概率论与数理统计1.5 事件的独立性

概率论与数理统计1.5 事件的独立性
1.5
甲、乙两人轮流射击目标。 乙是否击中与甲是否击中有关系吗？
袋中5个红球、3个黑球，从中有放回地 取出两球。 第一次取到球的颜色与第二次取到球的 颜色有联系吗？
事件的独立性
若两事件A、B满足 P(AB)= P(A) P(B)， 则称A、B相互独立。 概率为零的事件与任何事件相互独立。 概率为1的事件与任何事件相互独立。
k n k
nk
补 (2007, 数一)某人向一目标射击，每次击中
目标的概率为p, 则此人第4次射击恰好第2次 击中目标的概率是多少？
设每次试验成功的概率为p, 重复进行试验 直到第n次才取得r次成功的概率是多少？
注意要点
n重伯努利试验是概率论中非常重要的模型， 只要题目中出现“将……重复进行n次”， “对……重复观察n次”等说法时，可考虑用 n重伯努利试验；
注意要点
事件的独立性与事件在样本空间中的位置没 有直接关系，一般不能通过画图来描述；
有时独立性是根据问题背景判断出来。
定理：若两事件A、B独立，则
A与B 、 A 与B、 A 与B 也相互独立.
证：
独立性
什么关系？ 互不相容
若AB独立，则P(AB)=P(A) P(B) 若AB=Φ，则P(A+B)=P(A)+P(B)
若P(A)>0,P(B)>0,则A、B互不相容
和A、B相互独立不能同时成立。 互不相容是对一次试验的可能结果之 间的关系而言； 相互独立可看作是对两次试验的可能 结果之间的关系判断.
例1.设甲、乙两人分别破译同一个密码， 设甲、乙能独自译出的概率分别是
0.4与0.25，现各破译一次，试求
1.此密码能被译出的概率。
P(AB)= P(A)P(B)

1.5 事件的独立性

1.5 事件的独立性

请问：如图的两个事件是否独立？ 我们来计算： 因 P(AB)=0, 而 P(A) ≠ 0, P(B) ≠0。 即 P(AB) ≠ P(A)P(B)。 故 A与B不独立。
即: 若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则 A
与B不独立。
其逆否命题是：若A与B独立，且 P(A)>0, P(B)>0, 则 A与B一定不互斥。
1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0，
2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
设A, B为独立事件，且P(A)>0, P(B)>0, 下面四个结论中，正确的是：
1. P(B|A)>0， 3. P(A|B)=0 ，
2. P(A|B)=P(A)， 4. P(AB)=P(A)P(B)。
k 个事件 Ai1 , Ai2 , Aik 也相互独立；
◎ 若事件A1, A2, …, An相互独立，则B1, B2, …, Bn也相互独立，其中 Bi 或为Ai ，或为Āi ， i=1, 2, …, n 。
1.5.3 独立性概念在计算概率中的应用
对独立事件，许多概率的计算可得到简化。
例2: 三人独立地去破译一份密码, 已知每个人 能译出的概率分别为1/5，1/3，1/4。问三人中 至少有一人能将密码译出的概率是多少？
解 ： 设事件 Ai( i=1,2,3,4 ) 为“第 i 个继电器 接点闭合”, L 至 R 为通路这一事件可表示为：
A A1 A2 A3 A4.
1
2
L
3
4R
由和事件的概率公式及 A1, A2, A3, A4的相互独 立性，得到
P( A) P( A1A2 A3 A4 ) P( A1A2 ) P( A3 A4 ) P( A1A2 A3 A4 )

概率论与数理统计1.5事件的独立性

概率论与数理统计1.5事件的独立性

概率论与数理统计1.5事件的独立性概率论与数理统计的概念"事件的独立性"是指事件A与事件B之间没有共同点或联系，A发生不会影响B的发生，反之亦然，只要当给定的概率分布，事件的独立性也可以用来衡量两个事件之间的联系程度。

在大多数情况下，来讨论两个事件之间的独立性，通常讨论其概率，比如A和B是独立的就意味着，如果每个事件发生的概率都是一样的，那么它们每一个发生的概率也是一样的，这也意味着A、B是特征独立的，它们各自发生的概率不受对方的影响；当对给定的概率分布，两个事件的独立性也可以用来衡量它们之间的联系程度，尤其是在检验它们之间是否有统计相关时，可以用两个独立的事件的概率比较，以确定两个事件的独立性，因而事件的独立性是统计概率理论中非常重要的概念，广泛应用于现实问题的推断和分析当中。

要想知道两个事件是否是独立的，一般通过比较他们的概率来确定，如果两个事件之间没有共同点，或者是它们之间没有关联，那么就可以用它们的概率相乘来验证其独立性。

例如，A和B的独立性可以按照P（A）*P（B）= P（A和B）来验证，即如果此式成立，则说明A与B是独立事件，反之则不是。

事件的独立性不但在单独的概率计算中用到，还可以用在计算多个条件概率和条件独立性，信息论和模式识别领域里，事件独立性也经常使用。

例如，在机器学习领域，特征独立性是重要的一项假设，其可以依据特征之间事件的独立性，通过构建朴素贝叶斯模型来识别和分类数据等。

总而言之，事件的独立性是概率论与数理统计中一个非常重要的概念，它是概率论的基本概念，广泛应用于现实中的推断分析中，使用了它可以方便的得出更准确的答案，也有利于更准确的预测，从而使得事件独立性得到充分发挥。

概率论与数理统计ppt课件(完整版)

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27
( 1)
n 1
例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列 事件的概率:
(1) P ( A B ); (2) P ( A B); (3) P ( A B); (4)P( A B ).
28
§5. 条件概率
(一)条件概率: 设试验E的样本空间为S, A, B是事件, 要考虑 在A已经发生的条件下B发生的概率, 这就是条件概 率问题.
P(B) P( A).
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
26
性质4. 对任一事件 A,
P( A) 1.
性质5. 对任一事件A, P( A) 1 P( A).
性质6. 对任意两事件 A, B有 P( A B) P( A) P(B) P( AB ).
推广
P( A B C) P ( A) P ( B ) P (C )
1 对于每一个事件 B, 有 1 P(B | A) 0.
0
2 P(S | A) 1.
0
3 设B 1 , B 2 , 两两互不相容, 则 P( B i | A ) P(B i | A).
i 1 i 1
0
此外, 条件概率具有无条件概率类似性质.例如：
(1) P( | A) 0.
m( A) P ( A) m( )
(其中m( ) 是样本空间的度量 , m( A) 是构成事件A 的子区域的度量) 这样借助于几何上的度 量来合理 规定的概率称为 几何概率 . 说明 当古典概型的试验结果为连续无穷多个时, 就归结为几何概率.
20
会面问题
例1 甲、乙两人相约在 0 到 T 这段时间内, 在预

概率论与数理统计PPT课件

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例6: (抽签问题)一袋中有a个红球，b个白球，记a＋b＝n． 设每次摸到各球的概率相等，每次从袋中摸一球， 不放回地摸n次。 设 { 第k次摸到红球 }，k＝1,2,…,n．求 解1：
号球为红球，将n个人也编号为1,2,…,n．
----------与k无关
可设想将n个球进行编号： 其中
18
性质：
19
§4 等可能概型（古典概型）
定义：若试验E满足：S中样本点有限(有限性)出现每一样本点的概率相等(等可能性)
称这种试验为等可能概型(或古典概型)。
20
例1：一袋中有8个球，编号为1－8，其中1－3 号为红球，4－8号为黄球，设摸到每一 球的可能性相等，从中随机摸一球， 记A={ 摸到红球 }，求P(A)．
31
三、全概率公式与Bayes公式
定义：设S为试验E的样本空间，B1,B2,…,Bn 为E的一组事件。若： 则称B1,B2,…,Bn为S的一个划分,或称为一组完备事件组。
即：B1,B2,…,Bn至少有一发生是必然的，两两同时发生又是不可能的。
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定理：设试验E的样本空间为S，A为E的事件。B1,B2,…,Bn为S的一个划分，P(Bi)>0，i=1,2,…,n； 则称：
试验序号
n =5
n =50
n =500
nH
fn(H)
nH
fn(H)
nH
fn(H)
12345678910
2315124233
0.40.60.21.00.20.40.80.40.60.6
22252125242118242731
0.440.500.420.500.480.420.360.480.540.62

概率论与数理统计0105

概率论与数理统计0105
成立，则称事件 A 与 B 相互独立
注1 如果二事件A与B独立，则 A与B, A与B, A与B 也是独立的.
注2 n 个事件 A1, A2 , , An 相互独立是指对其中的任意
k个事件 Ai1 , Ai2 , , Aik , 1 i1 i2 ik n
等式 P( Ai1 Ai2 Aik ) P( Ai1 )P( Ai2 ) P( Aik ) 总成立 2
Pn (m) Cnm pm (1 p)nm ( p 1 p)n 1
m0
m0
例4 设N件产品中有K 件是次品，N K 件是正品，现从 N
件中任意抽取1件产品，在检查过它是正品或是次品后再放回.
这样共抽取了 n 次，求事件 A { n 件产品中恰有 k 件次品}
的概率， k 0,1, 2, , n
另解 P(A B) 1 P(A B) =1 P( AB)
=1 P( A)P(B) 1 (1 0.9)(1 0.8)
=0.98.
3
例2 验收100件产品的方案如下：从中任取3件进行独立地测试， 如果至少有一件被断定为次品，则拒绝接收该批产品，设一 件次品经测试后被断定为次品的概率为0.95，一件正品经测试 后被断定为正品的概率为0.99. 并已知这100件产品中恰有4件 次品，求该批产品能被接收的概率.
二、独立试验序列
Pn (m) Cnm pm (1 p)nm (m 0,1,n)
1
§1.5 事件的独立性
一、事件的独立性 如果二事件中任一事件的发生不影响另一事件的概
率，则称它们是相互独立 的. 即
P(A | B) P(A)
定义 设 A 和 B 是两个事件，如果等式
P(AB) P(A)P(B)
1
C2nnΒιβλιοθήκη 1 22n98
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则称事件A，B，C相互独立。
事件A，B，C相互独立与事件A，B，C两两 注 独立不同，两两独立是指上述式子中前三个式 意
子成立。因此，相互独立一定两两独立，但反
之不一定。
例
设同时抛掷两个均匀的正四面体一次，每 一个四面体标有号码1，2，3，4。令 A={第一个四面体的触地面为偶数} B={第二个四面体的触地面为奇数} C={两个四面体的触地面同时为奇数，或者同
1.5 事件的独立性
一、事件的独立性引例 P(B A) P(B)
例 一个盒子中有６只黑球、４只白球，从中有放回 地摸球。求（1） 第一次摸到黑球的条件下，第二 次摸到黑球的概率；（2） 第二次摸到黑球的概 率。
解 A={第一次摸到黑球}，B={第二次摸到黑球}
则 P(B A) 6 0.6 10
P(B) C33 0.23 C32 0.22 0.8 0.104
1
2
3
4
5
解 设Ai表示事件“第i个继电器闭合”，B表示事件 “自左至右是通路”，则
B A1A2 A4 A5 A1A3 A5 A2 A3 A4 P(B) P( A1A2 ) P( A4 A5 ) P( A1A3 A5 ) P( A2 A3 A4 )
P( A1A2 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A5 ) P( A1A2 A3 A4 )
1 P(A1)P(A2 )P(A3 )
＝1－(1－ 0.02)(1－ 0.01)(1－ 0.05) ＝ 0.0783
例1.26 现有10张彩票，其中有5张“发”，3张 “财”，其余都是“白”．规定一个人只有同时摸到 “发”和“财”才算中奖。
（1）甲、乙两人依次不放回地连续抽取两张，求甲、 乙两人都中奖的概率；
P(A) P(B) 1
例 甲乙二人向同一目标射击，甲击中目标的概 率为0.6，乙击中目标的概率为0.5。试计算 1）两人都击中目标的概率；2）恰有一人击 中目标的概率；3）目标被击中的概率。
解 设A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”
则 P(A) 0.6, P(B) 0.5
P(AB) P(A)P(B) 0.60.5 0.3
事件的独立性 判别
定理1.4
设Ａ、Ｂ为任意两个随机事件，且P(A)>0.则
A与B相互独立 P(B A) P(B).
证 A与B相互独立 P( AB) P( A)P(B)
P(B) P( AB) P( A)P(B A) P(B A)
P( A)
P( A)
例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。
解 情形（2）的样本空间为
Ω={（男男男），（男男女），（男女男），（女男男） （男女女），（女男女），（女女男），（女女女）}
P(A) 6 , P(B) 1 , P(AB) 3
8
2
8
此种情形下，事件A、B是独立的。
定理1.5 下列四组事件，有相同的独立性：
（1）A与B；（2）A与B； （3）A与B；（4）A与B 证明 若A、B独立，则 P(AB) P(A) P(B) P( AB) P( A U B) 1 P( A U B)
（2）甲、乙两人依次有放回地连续抽取两张，求甲 乙两人至少有一人中奖的概率。
解 设A表示事件“甲中奖”，B表示事件“乙中奖”。
（1）由于是不放回地抽样，故有
P(AB) P(A)P(B A)
C51C31 C41C21
C120
C82
2 0.095 21
（2）由于是有放回地抽样，故A与B是相互独立的，
所求概率为
P( A) C53 0.73 0.32 0.3087
例 设某电子元件的使用寿命在1000小时以上的概 率为0.2，当三个电子元件相互独立使用时，求在使 用了1000小时的时候，最多只有一个损坏的概率。
解 设A表示“元件使用1000小时不坏”，则
P(A) 0.2
设B表示“三个元件中至多一个损坏”，则
四次抽样中Ａ恰好发生两次（有两次取到次品）的情况有
A1 A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 ,
A1 A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4 , A1 A2 A3 A4
C
2 4
6
因为Ａ1，Ａ2，Ａ3，Ａ4 相互独立，所以
P( A1A2 A3 A4 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 )
设Ａ1 ，Ａ2 ，Ａ3 分别表示第一、第二、第三道工 序出现次Ｐ品（Ａ，1则）＝依2题%意, ：ＰＡ（Ａ1 2,）Ａ＝21,%Ａ,3 Ｐ相（互Ａ独3）立＝，5%且 又设Ａ表示加工出来的零件是次品, 则
A＝Ａ1∪Ａ2∪Ａ3 方法２ （用对立事件的概率关系）
P(A) 1 P(A) 1 P(A1 A2 A3 )
解 情形（1）的样本空间为
Ω={（男男），（男女），（女男），（女女）}
P(A) 1 , P(B) 3 , P(AB) 1
2
4
2
此种情形下，事件A、B是不独立的。
例如 一个家庭中有若干个小孩，假设生男生女是 等可能的，令A={一个家庭中有男孩、又有女孩}， B={一个家庭中最多有一个女孩}，对下列两种情形， 讨论A与B的独立性：（1）家庭中有两个小孩； （2）家庭中有三个小孩。
P( AB AB) P( A)P(B) P( A)P(B) 0.5
P(AU B) P(A) P(B) P(A)P(B) 0.8
有限多个事件的独立性
定义1.9 如果事件A，B，C满足
P(AB)=P(A)P(B) P(AC)=P(A)P(C)
P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B)P(C)
P4(k) C4k pk q4k (0 k 4)
(2) 设Ｂ表示至少有2粒出苗的事件,则
P(B) P4 (2) P4 (3) P4 (4) 0.8918
例 设某人打靶，命中率为0.7，重复射击5次，求恰好 命中3次的概率。
解 该试验为5重贝努利试验，且 n=5,p=0.7;q=0.3;k=3
设随机试验E只有两种可能的结果:A及 A,且
P(A)=p,在相同的条件下将E重复进行n次独立试 验,则称这一串试验为n重贝努利试验，简称贝努 利试验(Bernoulli trials).
例 一批产品的次品率为 5%，从中每次任取一个， 检验后放回，再取一个， 连取 4 次．求 4 次中恰有 2 次取到次品的概率．
P( A)
C51C31 C120
1 , P(B) 3
1, 3
P( AB) P( A)P(B) 1 1 1 , 33 9
所以 P( A B) P( A) P(B) P( AB)
111 5. 339 9
例1.27 图中有5个继电器接点，假使每一继电器接 点闭合的概率为p，且个继电器接点闭合与否相互独 立，求自左至右是通路的概率。
时为偶数}
试讨论A、B、C的相互独立性。
A={第一个…为偶数}；B={第二个…为奇数} C={两个…同时为奇数，或者同时为偶数}
解 试验的样本空间为
(1,1) (1, 2) (1,3) (1, 4) (2,1) (2, 2) (2,3) (2, 4)
(3,1) (3, 2) (3,3) (3, 4) (4,1) (4, 2) (4,3) (4, 4)
Cn2
P( Ai Aj Ak ) P( Ai )P( Aj )P( Ak ) LLLLLLLLL
Cn3
P( A1A2 L An ) P( A1)P( A2 )L P( An ) Cnn
那么称A1, A2 ,L , An是相互独立的。
立的多个事件，有
(1) 若 A1, A2,L , An 相互独立，则
Pn
(k)
C
k n
pk
q
nk
其中 q 1 p
( k＝ 0，1，2，...，n )
例 有一批棉花种子,其出苗率为0.67,现每穴种4粒种子,
(1) 求恰有ｋ粒出苗的概率(0≤k≤4)； (2) 求至少有两粒出苗的概率．
解 (1) 该试验为4 重贝努利试验
n 4, p 0.67, q 1 p 0.33
n
P( A1A2 L An ) P( A1)P( A2 )L P( An ) P( Ai ) i 1
(2) 若 A1, A2,L , An 相互独立，则
n
n
P(U Ai ) 1 P( Ai )
i 1
i 1
例 加工某一种零件需要经过三道工序，设三道工序 的次品率分别为2%，1%，5% ，假设各道工序是互不 影响的．求加工出来的零件的次品率． 解
1P(A) P(B) P(AB)
1 P(A) P(B) P(A)P(B)
1 P(A)1 P(B) P(A)P(B)
所以，A与B 独立。
概念辨析
事件Ａ与事件Ｂ独立
P(AB) P(A) P(B)
事件Ａ与事件Ｂ互不相容
AB P(AB) 0
事件Ａ与事件Ｂ为对立事件
AB AU B
P(B) P( A1A2 ) P( A4 A5 ) P( A1A3 A5 ) P( A2 A3 A4 ) P( A1A2 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A5 ) P( A1A2 A3 A4 )
P( A1A3 A4 A5 ) P( A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 )