1-5 随机事件的独立性

随机事件的独立性与互斥性知识点随机事件是指在一定的条件下，可能发生也可能不发生的事件。

在概率论中，研究随机事件之间的关系非常重要，其中独立性与互斥性是两个基本概念。

本文将介绍随机事件的独立性与互斥性的定义、性质以及在实际问题中的应用。

一、独立事件的定义与性质独立事件是指两个或多个事件发生的结果不会相互影响的事件。

具体来说，如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 的发生与否不会对事件 B 的发生产生影响，反之亦然。

独立事件的性质如下：1. 乘法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们同时发生的概率等于它们分别发生的概率之积，即P(A∩B) = P(A) × P(B)。

2. 加法公式：对于两个独立事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和减去它们同时发生的概率，即P(A∪B) = P(A) + P(B) - P(A∩B)。

独立事件的性质保证了事件之间的独立性，使得我们可以通过简单的计算得到复杂事件的概率。

二、互斥事件的定义与性质互斥事件是指两个事件不可能同时发生的事件。

具体来说，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么事件 A 的发生就排除了事件 B 的发生，反之亦然。

互斥事件的性质如下：1. 加法公式：对于两个互斥事件 A 和 B，它们至少有一个发生的概率等于它们分别发生的概率之和，即 P(A∪B) = P(A) + P(B)。

互斥事件的性质使得我们可以通过计算事件的发生概率，确定事件之间的关系，从而进行合理的判断和决策。

三、独立事件与互斥事件的区别与联系独立事件和互斥事件都是描述随机事件之间关系的概念，但它们的定义和性质有所不同。

1. 独立事件是指两个或多个事件的发生结果不会相互影响，而互斥事件是指两个事件不可能同时发生。

2. 独立事件的加法公式和乘法公式可以用于计算独立事件的概率，而互斥事件只需要使用加法公式就可以计算。

独立事件和互斥事件在实际问题中有着广泛的应用。

随机事件的独立性与互斥性知识点在概率论中，随机事件的独立性与互斥性是两个非常重要的概念。

理解这两个概念对于解决各种概率问题以及理解随机现象的本质具有关键意义。

首先，我们来谈谈互斥事件。

互斥事件指的是两个事件不能同时发生。

比如说，抛一枚硬币，正面朝上和反面朝上就是互斥事件，因为在一次抛硬币的过程中，不可能既正面朝上又反面朝上。

再比如，从一副扑克牌中抽一张牌，抽到红桃和抽到黑桃就是互斥事件，因为一张牌不可能既是红桃又是黑桃。

用数学语言来表示，如果事件 A 和事件 B 是互斥事件，那么它们的交集为空集，即P(A ∩ B) ＝ 0。

这里的 P 表示概率。

互斥事件的概率计算相对简单。

如果事件 A 和事件 B 互斥，那么事件 A 或者事件 B 发生的概率，就等于事件 A 发生的概率加上事件 B 发生的概率，即 P(A ∪ B) ＝ P(A) ＋ P(B)。

举个例子，一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，从中随机摸出一个球，摸到红球和摸到蓝球就是互斥事件。

摸到红球的概率是 5/8，摸到蓝球的概率是 3/8，那么摸到红球或者蓝球的概率就是 5/8 ＋ 3/8 ＝ 1。

接下来，我们说说独立事件。

独立事件是指一个事件的发生与否不影响另一个事件发生的概率。

比如说，今天下雨和明天考试成绩好不好就是独立事件，今天下雨不会影响明天考试成绩的好坏。

再比如，你第一次抛硬币正面朝上和第二次抛硬币正面朝上也是独立事件，第一次的结果不会影响第二次的结果。

如果事件 A 和事件 B 是独立事件，那么事件 A 发生且事件 B 发生的概率等于事件 A 发生的概率乘以事件 B 发生的概率，即P(A ∩ B) ＝P(A) × P(B)。

举个例子，有两个独立的抽奖活动，抽奖活动甲中奖的概率是 02，抽奖活动乙中奖的概率是 03。

那么同时在甲和乙两个抽奖活动中中奖的概率就是 02 × 03 ＝ 006。

那么，互斥事件和独立事件之间有什么区别和联系呢？区别在于，互斥事件关注的是两个事件能否同时发生，而独立事件关注的是一个事件的发生对另一个事件发生概率的影响。

5.3.5 随机事件的独立性【导学聚焦】【问题导学】预习教材内容，思考以下问题：1．事件A 与B 相互独立的概念是什么？2．如果事件A 与B 相互独立，则A 与B ，B 与A ，A 与B 也相互独立吗？3．两事件互斥与两事件相互独立是一个意思吗？【新知初探】随机事件的独立性1．一般地，当 时，就称事件A 与B 相互独立(简称独立)．如果事件A与B 相互独立，那么A －与B ，A 与B －，A －与B －也相互独立．2．两个事件相互独立的概念也可以推广到有限个事件，即“A 1，A 2，…，A n 相互独立”的充要条件是“其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积”． ■名师点拨两个互斥事件不可能同时发生，但相互独立的两个事件是可以同时发生的，相互独立事件和互斥事件之间没有联系．【自我检测】判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)不可能事件与任何一个事件相互独立．( )(2)必然事件与任何一个事件相互独立．( ) (3)“P (AB )＝P (A )P (B )”是“事件A 与B 相互独立”的充要条件．( )国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为14，15.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1个人去北京旅游的概率为( ) A.5960 B.35C.12D.160两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________．【探究互动】探究点一 相互独立事件的判断【例1】从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，设事件A ＝“抽到K ”，事件B ＝“抽到红牌”，事件C ＝“抽到J ”，那么下列每对事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？(1)A 与B ；(2)C 与A .【规律方法】判断两个事件是否相互独立的方法(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)定义法：如果事件A ，B 同时发生的概率等于事件A 发生的概率与事件B 发生的概率的积，则事件A ，B 为相互独立事件．【跟踪训练】下列事件A ，B 是相互独立事件的是( )A ．一枚硬币掷两次，A ＝“第一次为正面”，B ＝“第二次为反面”B ．袋中有2个白球，2个黑球，不放回地摸球两次，每次摸一球，事件A 为“第一次摸到白球”，事件B 为“第二次摸到白球”C ．掷一枚骰子，A ＝“出现点数为奇数”，B ＝“出现点数为偶数”D ．A 为“甲灯泡能用1 000小时”，B 为“甲灯泡能用2 000小时”探究点二 相互独立事件概率的求法【例2】小王某天乘火车从广州到上海去办事，若当天从广州到上海的三列火车正点到达的概率分别为0.8，0.7，0.9，假设这三列火车之间是否正点到达互不影响．求：(1)这三列火车恰好有两列正点到达的概率；(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率．[互动探究][变问法]在本例条件下，求恰有一列火车正点到达的概率．【规律方法】(1)求相互独立事件发生的概率的步骤是①首先确定各事件之间是相互独立的；②确定这些事件可以同时发生；③求出每个事件的概率，再求乘积．(2)使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．探究点三 相互独立事件的应用【例3】甲、乙两人破译一密码，他们能破译的概率分别为13和14.求： (1)两人都能破译的概率；(2)两人都不能破译的概率；(3)恰有一人能破译的概率．【规律方法】解决此类问题的关键是弄清相互独立的事件，还要注意互斥事件的拆分，以及对立事件概率的求法的运用，即三个公式的联用：P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )(A ，B 互斥)，P (A )＝1－P (A －)，P (AB )＝P (A )P (B )(A ，B 相互独立)．【跟踪训练】某项竞赛分为初赛、复赛、决赛三个阶段，每个阶段选手要回答一个问题．规定正确回答问题者进入下一阶段竞赛，否则被淘汰．已知某选手通过初赛、复赛、决赛的概率分别是34，12，14，且各阶段通过与否相互独立．求该选手在复赛阶段被淘汰的概率．【达标反馈】1．分别抛掷2枚质地均匀的硬币，设“第1枚为正面”为事件A ，“第2枚为正面”为事件B ，“2枚结果相同”为事件C ，有下列三个命题：①事件A 与事件B 相互独立；②事件B 与事件C 相互独立；③事件C 与事件A 相互独立．以上命题中，正确的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．32．(2019·四川省眉山市期末)三个元件T 1，T 2，T 3正常工作的概率分别为12，34，34，将元件T 2，T 3并联后再和元件T 1串联接入电路，如图所示，则此电路不发生故障的概率为________．3．在某段时间内，甲地不下雨的概率为P 1(0<P 1<1)，乙地不下雨的概率为P 2(0<P 2<1)，若在这段时间内两地下雨相互独立，则这段时间内两地都下雨的概率为( )A ．P 1P 2B ．1－P 1P 2C ．P 1(1－P 2)D ．(1－P 1)(1－P 2) 4．甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语．已知甲每轮猜对的概率是34，乙每轮猜对的概率是23；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响，各轮结果亦互不影响．假设“星队”参加两轮活动，则“星队”至少猜对3个成语的概率为________．【参考答案】【新知初探】随机事件的独立性1．P (AB )＝P (A )P (B )【自我检测】答案：(1)√ (2)√ (3)√解析：选B.因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，15.因此，他们不去北京旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1个人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34×45＝35. 解析：记两个实习生把零件加工为一等品分别记为事件A 和B .则P ＝P (AB )＋P (AB )＝23×⎝⎛⎭⎫1－34＋⎝⎛⎭⎫1－23×34＝512. 答案：512【探究互动】探究点一 相互独立事件的判断【例1】【解】 (1)由于事件A 为“抽到K ”，事件B 为“抽到红牌”，故抽到红牌中有可能抽到红桃K 或方块K ，即有可能抽到K ，故事件A ，B 有可能同时发生，显然它们不是互斥事件，更加不是对立事件．以下考虑它们是否为相互独立事件：抽到K 的概率为P (A )＝452＝113， 抽到红牌的概率为P (B )＝2652＝12， 事件AB 为“既抽到K 又抽到红牌”，即“抽到红桃K 或方块K ”，故P (AB )＝252＝126，从而有P (A )P (B )＝P (AB )，因此A 与B 是相互独立事件．(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到K 就不可能抽到J ，抽到J 就不可能抽到K ，故事件C 与事件A 不可能同时发生，A 与C 互斥，由于P (A )＝113≠0. P (C )＝113≠0，P (AC )＝0，所以A 与C 不是相互独立事件，又抽不到K 不一定抽到J ，故A 与C 并非对立事件．【跟踪训练】解析：选A.把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A 是相互独立事件；B 中是不放回地摸球，显然A 事件与B 事件不相互独立；对于C ，其结果具有唯一性，A ，B 应为互斥事件；D 中事件B 受事件A 的影响．探究点二 相互独立事件概率的求法【例2】【解】 用A ，B ，C 分别表示这三列火车正点到达的事件，则P (A )＝0.8，P (B )＝0.7，P (C )＝0.9，所以P (A －)＝0.2，P (B －)＝0.3，P (C －)＝0.1.(1)由题意得A ，B ，C 之间相互独立，所以恰好有两列正点到达的概率为P 1＝P (A －BC )＋P (A B －C )＋P (AB C －)＝P (A －)P (B )P (C )＋P (A )P (B －)P (C )＋P (A )P (B )P (C －)＝0.2×0.7×0.9＋0.8×0.3×0.9＋0.8×0.7×0.1＝0.398.(2)这三列火车至少有一列正点到达的概率为P 2＝1－P (ABC －)＝1－P (A －)P (B －)P (C －)＝1－0.2×0.3×0.1＝0.994.[互动探究][变问法] 解：恰有一列火车正点到达的概率为P 3＝P (ABC －)＋P (A －B C －)＋P (AB －C )＝P (A )P (B －)·P (C －)＋P (A －)P (B )P (C －)＋P (A －)P (B －)P (C )＝0.8×0.3×0.1＋0.2×0.7×0.1＋0.2×0.3×0.9＝0.092.探究点三 相互独立事件的应用【例3】【解】 设“甲能破译”为事件A ，“乙能破译”为事件B ，则A ，B 相互独立，从而A 与B －、A －与B 、A －与B －均相互独立．(1)“两人都能破译”为事件AB ，则P (AB )＝P (A )·P (B )＝13×14＝112. (2)“两人都不能破译”为事件AB ，则P (AB －)＝P (A －)·P (B －)＝[1－P (A )]·[1－P (B )]＝⎝⎛⎭⎫1－13×⎝⎛⎭⎫1－14＝12. (3)“恰有一人能破译”为事件((A B －)∪(A －B ))，则P ((A B －)∪(A －B ))＝P (A B －)＋P (A －B )＝P (A )·P (B －)＋P (A －)·P (B )＝13×⎝⎛⎭⎫1－14＋⎝⎛⎭⎫1－13×14＝512. 【跟踪训练】解：记“该选手通过初赛”为事件A ，“该选手通过复赛”为事件B ，则P (A )＝34，P (B )＝12， 那么该选手在复赛阶段被淘汰的概率P ＝P (AB )＝P (A )P (B )＝34×⎝⎛⎭⎫1－12＝38. 【达标反馈】1．解析：选D.P (A )＝12，P (B )＝12，P (C )＝12，P (AB )＝P (AC )＝P (BC )＝14， 因为P (AB )＝14＝P (A )P (B )，故A ，B 相互独立； 因为P (AC )＝14＝P (A )P (C )，故A ，C 相互独立； 因为P (BC )＝14＝P (B )P (C )，故B ，C 相互独立； 综上，选D.2．解析：记“三个元件T 1，T 2，T 3正常工作”分别为事件A 1，A 2，A 3，则P (A 1)＝12，P (A 2)＝34，P (A 3)＝34. 因为电路不发生故障的事件为(A 2＋A 3)A 1，所以电路不发生故障的概率为P ＝P [(A 2＋A 3)A 1]＝P (A 2＋A 3)P (A 1)＝[1－P (A －1)·P (A －3)]·P (A 1)＝(1－14×14)×12＝1532. 答案：15323．解析：选D.因为甲地不下雨的概率为P 1，乙地不下雨的概率为P 2，且在这段时间内两地下雨相互独立，所以这段时间内两地都下雨的概率为P ＝(1－P 1)(1－P 2)．故选D.4．解析：记事件A ：“甲第一轮猜对”，事件B ：“乙第一轮猜对”，事件C ：“甲第二轮猜对”，事件D ：“乙第二轮猜对”，事件E ：“‘星队’至少猜对3个成语”．由题意知，E ＝ABCD ＋A －BCD ＋A B －CD ＋AB C －D ＋ABC D －.由事件的独立性与互斥性，得P (E )＝P (ABCD )＋P (A －BCD )＋P (A B －CD )＋P (AB C －D )＋P (ABC D －)＝P (A )P (B )P (C )P (D )＋P (A －)P (B )P (C )P (D )＋P (A )P (B －)·P (C )P (D )＋P (A )P (B )P (C －)P (D )＋P (A )P (B )P (C )P (D －)＝34×23×34×23＋2×⎝⎛14×23×34×23＋34×13× ⎭⎫34×23＝23. 所以“星队”至少猜对3个成语的概率为23. 答案：23。

判断随机事件独立性的方法随机事件独立性是概率论与数理统计中的一个重要概念。

判断随机事件是否独立对于许多实际问题的解决具有重要意义。

本文将介绍判断随机事件独立性的方法及其应用。

1. 什么是随机事件独立性在概率论中，独立性是指两个或多个事件的发生不受彼此影响的性质。

具体来说，如果事件A的发生与事件B的发生没有任何关联，即事件A的发生概率与事件B的发生概率的乘积等于事件A与B同时发生的概率，那么事件A和事件B就是独立的。

数学上，可以用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A ∩ B) = P(A) * P(B)，即事件A与事件B同时发生的概率等于事件A的发生概率乘以事件B的发生概率。

2. 判断随机事件独立性的方法2.1. 基于条件概率的方法基于条件概率的方法是判断随机事件独立性的常用方法之一。

根据条件概率的定义，可以使用以下条件来判断两个事件A和B是否独立： - P(A|B) = P(A)，即事件A在事件B发生的条件下的概率等于事件A的概率。

如果满足以上条件，那么可以认为事件A和事件B是独立的。

否则，事件A 和事件B不满足独立性条件。

2.2. 基于频率统计的方法基于频率统计的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。

该方法基于大数定律，通过实际观察和统计事件发生的频率来判断事件之间是否独立。

具体操作时，可以进行一系列独立的实验，统计事件A和事件B同时发生的次数。

如果事件A和事件B的同时发生次数与事件A的发生次数乘以事件B的发生次数之积接近，那么可以认为事件A和事件B是独立的。

否则，事件A和事件B不满足独立性条件。

2.3. 基于协方差的方法基于协方差的方法是另一种常用的判断随机事件独立性的方法。

协方差是衡量两个随机变量之间关联程度的指标，可以通过计算事件A和事件B的协方差来判断它们是否独立。

具体操作时，可以通过以下条件来判断事件A和事件B是否独立： - 协方差(A, B) = 0，即事件A和事件B的协方差为0。

随机事件的独立性与条件概率随机事件是在一定条件下具有不确定性的事件，它的发生与否取决于一系列的因素。

而随机事件的独立性是指事件的发生与其他事件的发生无关，即一个事件的发生与其他事件的发生是相互独立的。

条件概率则是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

1. 随机事件的独立性随机事件的独立性是指一个事件的发生与其他事件的发生无关。

具体来说，对于两个事件A和B，如果事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，那么事件A和事件B就是相互独立的。

例如，假设我们有一个袋子里面有红球和蓝球，事件A表示从袋子中取出一个红球，事件B表示从袋子中取出一个蓝球。

如果每次取球之前都将袋子中的球重新放回，那么事件A的发生与否不会改变事件B的发生概率，因此事件A和事件B是相互独立的。

2. 条件概率条件概率是指在已知某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率。

通常使用P(A|B)来表示在事件B发生的情况下事件A发生的概率。

例如，假设我们有一副扑克牌，事件A表示从中抽取一张黑桃，事件B表示从中抽取一张红心。

如果我们已知事件B发生，也就是已知从中抽取的牌是一张红心，那么事件A发生的概率就会发生变化。

因为已经抽出了一张红心，所以扑克牌中剩余的牌中，黑桃的比例就会减少，从而影响到事件A发生的概率。

3. 独立性与条件概率的关系独立性和条件概率是密切相关的概念。

如果事件A和事件B是相互独立的，那么在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率仍然保持不变，即P(A|B) = P(A)。

这是因为独立事件的发生与其他事件的发生无关，所以在已知事件B发生的情况下，不会对事件A的发生概率造成影响。

然而，如果事件A和事件B不是相互独立的，那么在已知事件B 发生的情况下，事件A的发生概率会发生变化，即P(A|B) ≠ P(A)。

这是因为事件B的发生会对事件A的发生概率产生影响，所以在已知事件B发生的情况下，事件A的发生概率会有所不同。

总结：随机事件的独立性与条件概率是概率论中重要的概念。