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质点系的角动量定理质点系的角动量定理引言角动量是物理学中一个非常重要的概念，它描述了物体围绕某一轴旋转时所具有的特定性质。
在实际应用中，我们经常需要研究由多个质点组成的系统的角动量变化，这就涉及到了质点系的角动量定理。
定义首先，我们来回顾一下单个质点的角动量定义：对于一个质量为m、速度为v、距离某一轴距离为r的质点，它的角动量L可以表示为L = mvr sinθ，其中θ是速度方向与轴线方向之间的夹角。
然后再考虑由N个质点组成的系统，每个质点都有自己的速度和位置。
此时，整个系统所具有的总角动量可以表示为L = Σi=1N L_i，即每个质点所具有的角动量之和。
推导接下来我们来推导一下质点系的角动量定理。
假设一个由N个质点组成的系统，在某一瞬间t1时刻它们所具有的总角动量为L1，在另一瞬间t2时刻它们所具有的总角动量为L2。
那么根据牛顿第二定律和牛顿运动定律，我们可以得到以下的式子：F = ma = m(dv/dt) = d(mv)/dt其中F是质点所受的合力，m是质量，v是速度。
将上式两边同时乘以r sinθ，再对所有质点的角动量求和，可以得到：Σi=1N (r_i x F_i) = d/dt (Σi=1N L_i)其中r_i是第i个质点距离某一轴的距离向量，F_i是它所受的合力向量。
右边表示总角动量随时间的变化率。
根据矢量积的性质，r_i x F_i可以表示为m_iv_ir_isinθ_i，其中θ_i是速度方向与轴线方向之间的夹角。
将其代入上式中可得：Σi=1N m_iv_ir_isinθ_i = d/dt (Σi=1N L_i)这就是质点系的角动量定理。
应用利用质点系的角动量定理，我们可以研究各种旋转系统中角动量随时间变化的规律。
例如，在自由陀螺运动中，陀螺在自身重力作用下绕着固定轴线旋转。
由于陀螺具有一定的自旋角速度，它的角动量会随时间变化。
根据质点系的角动量定理，我们可以推导出陀螺的进动和章动规律。
第五章质点的⾓动量⾓动量守恒定1第五章质点的⾓动量⾓动量守恒定理§5-1 质点的⾓动量⾓动量定理⼀质点的⾓动量我们已经知道，在讨论单个质点或质点系统（包括刚体）的平动运动时，线动量是很有⽤的物理量，例如，在碰撞中线动量是守恒的。
对于单个质点，线动量为v P m =对于质点系统，线动量为v P M =其中M 为系统的总质量⽽v 是质⼼的速度。
在转动运动中，什么量和线动量相类似呢？我们将这个量称之为⾓动量。
下⾯就单个质点这⼀特殊情况来定义⾓动量，以后推⼴到质点系统。
假设有⼀质量为m 和线动量为P 的质点A ，这质点相对于惯性参考系的原点O 的位置⽮量为r 如图()15-所⽰图 ()15-定义这个质点对原点0的⾓动量为v r p r L m ?=?= （5-1）讨论 1）其中r 是代表以给定点0为原点到质点的位置⽮量2）其⼤⼩θsin rmv L = 式中θ是r 与v 之间的夹⾓，它的⽅向垂直与r 与p 所组成的平⾯，并由右⼿螺旋法则确定,见图（5-1）3）我们也可将L 的⼤⼩表⽰为 ()p r p r L ⊥==θsin 或 ()⊥==rp p r L θsin 式中的⊥r 为r 垂直于p 的分量，⊥p 为p 垂直于r 的分量，故⾓动量也可称为动量矩。
4）应当指出，质点的⾓动量与位置⽮量r 和动量p 有关，也就是与参考点0的选择有关。
因此在讲述质点的⾓动量时，必须指明是对哪⼀点的⾓动量。
5）在国际单位制中，⾓动量的量纲为12-T ML ，符号是kg ·sm 2，也可表⽰为J ·s⼆质点的⾓动量定理质点在运动时导致⾓动量L 随时间变化的根本原因是什么？由 v r L m ?= 对其两边微分则 (r L dt d dt d =×)v m =dtd r×r v +m ×()dt m d v 其中 dt=v 故 v ×=v m 0 ()F P v ==dt d dt m d得 r L=dtd ×F （5-2）即：质点m 对参考点o 的⾓动量随时间变化率dtd L等于位置⽮量r 和质点所受的合外⼒F 的⽮量积。
目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Key Words (1)引言 (1)1惯性系中质点系角动量定理 (1)1.1惯性系中角动量定理的推导 (1)1.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论 (2)1.3惯性系中质点对轴的角动量定理 (3)1.4刚体定轴转动时对转轴的角动量 (4)2非惯性系中的角动量定理 (5)3应用 (6)3.1质点系质心系的角动量定理在刚体定轴转动中的应用 (6)3.2刚体做定轴转动时对轴上任一点的角动量定理和应用 (7)结束语： (8)参考文献： (8)对质点系角动量定理的讨论姓名：杜晨阳 学号：20095040038 单位：物理电子工程学院 专业：物理学 指导老师：贾老师 职称：副教授摘 要：通过对质点系角动量定理推导以及讨论其在具体问题中的应用，并且结合其在惯性系、非惯性系以及质心系的情况下的公式和它们之间的联系，明确了解了角动量定理在解决力学相关问题的重要性，从而为解决相关力学问题提供帮助。
关键词：质点系；角动量；参考点；轴；质心To express theorem of angular momentuAbstract: Through to discusse of the particle system and angular momenttheorem andits specific problems, and to combinate with the application in the inertial system, noninertial system under the conditions of the heart and the quality of the formula and the relationship between them,we understanded the angular momentum in solving problems which related to the mechanical theorems and its importance clearly,and proved a lot of help to solve the related mechanical problems.Key Words : Particle, Angular momentum, Reference points, Axis, centroid.引言角动量定理在质点系中的应用在力学相关问题中非常重要，本论文主要是通过上学期对质点系角动量在惯性系，非惯性系，以及质心系内的研究与讨论，总结出的一些公式和规律，为掌握解决问题方法提供方便。
1惯性系中质点系角动量定理1.1惯性系中角动量定理的推导质点系内各质点对参考点O 的角动量的矢量和看作质点系对O 点的角动量，设由n 个质点组成的质点系，在惯性参考系中，各质点的速度分别用1v ，2v ……i v …n v表示，相对于参考点O 的位置矢量分别为1r ,2r ……i r …n r，质量分别为1m ,2m ……i m ……n m 将质点系的角动量记作L。
则L =∑i r ×]1[i i v m （1）而任一质量对于参考点O 的角动量定理用于质点系内的质点I :i M =dtL d i（2） i L 表示质点i 的角动量，质点i 所受的力矩可分为内力矩内i M和外力矩外i M ，于是内i M +外i M =dtL d i（3） 根据牛顿第三定律，质点i 与质点j 之间的相互作用力ij F =-ji F,且二力作用在一条直线上,ij F 与ji F 到点O 的垂直距离都等于d ，故作用力ij F 与反作用力ji F对O 点的力矩大小相等方向相反，可见成对出现的内力对O 点的力矩矢量和为0，即iM内=0，将求和与导数运算交换顺序后，并考虑到∑i L 即质点系的角动量L，得∑∑==dt Ld dt L d dt L d i i（4）为力矩的矢量和，成为质点系对参考点O 的角动量定理。
1.2在惯性系中角动量表达式的一点讨论各种表达式之间有一定的联系。
在惯性系中对动点P 的角动量P L可表示为CP O ii P i i i ii P i ii Pi P v m r L v m r v m r v m r r v m r L ⨯-=⨯-⨯=⨯⎪⎭⎫⎝⎛-=⨯=∑∑∑∑ （5）式中i i i i i O v m v m r L∑∑=⨯=式1表明：质点系相对于惯性系中变动参考点P 的角动量P L ，等于其相对于点O 的角动量O L 与其总动量C v m 平移到点P 后相对同一定点O的角动量P r ×C v m之差。
当动点P 就是质心C 时，由公式得到一般的结果O L =C L +C r ×]2[C v m（6）若把（2）式代入一式，可得一个非常有用的公式，即P L = C L +C r ×C v m - P r ×C v m= C L +(C r -P r) ×C v m （7）= C L +PC r ' ×C v m式（3）表明:质点系相对于惯性系中动点P 的角动量P L 等于其对质心C 的角动量CL与质点系动量C v m 对P 点的角动量PC r ' ×C v m之矢量和。
1.3惯性系中质点对轴的角动量定理[3]现在仅研究几个质点分别与Z 轴的垂直的平面内运动的情况，将其应用于某一点i 得iz M =dt L d iz =()]3[sin dtv m r d i i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛γ （8） 质点i 所有的合力对Z 轴的力矩可分为内力矩内i M和外力矩外i M ，故上式可写作内i M+外i M =()dtv m r d i i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑γsin （9）由于∑内i M=0，其在Z 轴上的投影也等于0，再将求和与求导运算交换顺序，上式可写作∑外i M z =（()dt v m r d i i i i ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑γsin ）=dtL d z （10）其表示质点系所受一切外力对Z 轴的力矩之和，()∑i i i i v m r γsin为质点系对Z 轴的角动量，上式表示质点系对于Z 轴的角动量对时间的变化率等于参考点所受一切外力对于Z 轴的力矩之和，叫做质点对Z 轴的角动量定理。
1.4刚体定轴转动时对转轴的角动量对轴的角动量是作为对点的角动量在坐标轴上的投影而引入的。
由于刚体是较为特殊的质点系所以通过下面的综述使解决刚体的问题变得更为简单。
设OZ 轴即刚体转轴，将公式应用于刚体，刚体对轴的角动量为z L =∑⨯i i i v r m ,因i v =z i r ω⨯，故有i L=（2i i r m ）z ω （11）等式右括号内为各质元质量与其到转动轴线垂直距离平方乘积之和，显然，它决定与刚体本身的质量分布以及转动轴线的位置，i m 叫作刚体对定轴Z 的转动惯量。
用z I 表示]4[2rm iiZ I ∑=. （12）式中2i i r m 为转动惯量。
刚体对Z 轴的角动量可写作z L =z I z ω，将它与动量相比，转动惯量和角速度分别可与惯性质量和速度相比拟。
这转动惯量恰是对一定转轴转动惯性的度量，正是由于这种特性导致刚体这种质点系的角动量定理变得简单了：z z i i I dt dr m ω⨯=∑2 （13）将其变形后可得∑iz M=()z z I d ω⨯，式中dt M iz称为作用于刚体地i 个外力矩的冲量矩。
上式意为刚体对Z 轴角动量的增量等于该轴外力矩冲量矩的代数和，式用冲量矩表述的角动量定理。
并由此又进而推出了转动定理：他表示刚体绕定轴转动时刚体对该轴的转动惯量与角加速度的乘积在数量上等于对此转动轴线的合力矩，叫做刚体定轴转动的转动定理。
由此可以与牛顿第二定律相比:力使质点产生加速度，而力矩产生角加速度。
2非惯性系中的角动量定理在非惯性系(或质心系) 中对定点P (设与上述惯性系中i 点是同一点) 的角动量P L '可表示为pcPC p i i PC i i Ci ii PC Ci i i Pi p v m r L v m r v m r v m r r v m r L ''''''''''⨯+=⨯+⨯=⨯⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⨯=∑∑∑∑ （14） 式（14）表明:在非惯性系中对定点P 的角动量P L,等于其对质心C 的角动量C L '与质心C 对点P 的位矢PC r ' 与PC v m '叉积之矢量]5[和。
虽然式（14）与式（7）形式相似,但其本质不同。
式（7）为在惯性系中对动点P 计算角动量P L,为在非惯性系中对同一点P 为定点 计算角动量P L '.可见,在不同参考系中即便是对同一点如P 点计算角动量,一般也不相等。
但对质心C ，这个特殊点则恒有C L= C L ' 这是因为C L =⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯=⨯∑i c i ci i i ci v v m r v m r '''=i i ci c i ci v m r v m r⨯+⨯∑∑'' （15）显然上式等号右边第一项为i i ci v m r ⨯' =c c v r m '' ⨯=0×c v=0 , 第二项为i i ci v m r ''⨯=C L '即有C L =C L ' . 这说明:在惯性系中对质心C 计算角动量C L与在质心系中对质心C 计算角动量C L ' 总是相等的, 这正是质心的一个重要特征，考虑到C L=C L ' 。
则由式（9）与（10）可得P L - P L ' = ⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯pc cPC v m v m r ''=p pc v m r⨯' （16）从式（1）可以看出, 在两个相互平动的参考系中对同一点P 计算角动量所得值一般是不等的,除非是对质心C 或PC r ' 与PC v平行时才有P L = P L ' ， 这一点应当特别注意.表中式c pc p Ca m r m dtJ d⨯-=''' （17） 在平动加速参考系中对质心以外的其他参考点来说,合外力矩不等于角动量的时间变化率, 出现附加项(惯性力力矩) pc r '×（-c a m ）。
c cM dtL d ''= （18） 若参考点P 与质心C 重合,则pc r '= 0 ,此时附加项为零,式（17）与式（18）等价;若pc r ' 平行于c a , 则附加项也为零, 式（17）与式（18）等价;若c a = 0 （p v不一定为零）,则附加项也为零,式（17）与式（18）也等价。
