11．α是第一象限角，tan α＝34，则sin α＝()A.45 B.35C．－45D．－35解析：选B tan α＝sin αcos α＝34，sin2α＋cos2α＝1，且α是第一象限角，所以sin α＝35.2．(2013·安徽名校模拟)已知tan x＝2，则sin2x＋1＝()A．0 B.95 C.43 D.53解析：选B sin2x＋1＝2sin2x＋cos2xsin2x＋cos2x＝2tan2x＋1tan2x＋1＝95.3．(2013·西安模拟)已知2tan α·sin α＝3，－π2＜α＜0，则sin α＝()A.32B．－32 C.12D．－12解析：选B由2tan α·sin α＝3得，2sin2αcos α＝3，即2cos2α＋3cos α－2＝0，又－π2＜α＜0，解得cos α＝12(cos α＝－2舍去)，故sin α＝－3 2.4．若cos α＋2sin α＝－5，则tan α＝()A.12B．2 C．－12D．－2解析：选B∵cos α＋2sin α＝－5，结合sin2α＋cos2α＝1得(5sin α＋2)2＝0，∵sin α＝－255，cos α＝－55，∵tan α＝2.5．化简sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－αcos π＋α＋sin π－α·cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin π＋α＝________.解析：原式＝cos α·sin α－cos α＋sin α－sin α－sin α＝－sin α＋sin α＝0.答案：01．(教材改编)函数y ＝12sin x ，x ∵[－π，π]的单调性是( )A ．在[－π，0]上是增函数，在[0，π]上是减函数B ．在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π，－π2和⎣⎡⎦⎤π2，π上都是减函数 C ．在[0，π]上是增函数，在[－π，0]上是减函数D ．在⎣⎡⎦⎤π2，π和⎣⎡⎦⎤－π，－π2上是增函数，在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是减函数 答案 B2．函数y ＝tan 2x 的定义域是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π4，k ∵Z B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π8，k ∵Z C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π＋π8，k ∵Z D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x ≠k π2＋π4，k ∵Z 答案 D解析 由2x ≠k π＋π2，k ∵Z ，得x ≠k π2＋π4，k ∵Z ，∵y ＝tan 2x 的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ≠k π2＋π4，k ∵Z . 3．若函数f (x )＝sin ωx (ω＞0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω等于( )A.23B.32 C ．2 D ．3 答案 B解析 ∵f (x )＝sin ωx (ω＞0)过原点，∵当0≤ωx ≤π2，即0≤x ≤π2ω时，y ＝sin ωx 是增函数； 当π2≤ωx ≤3π2，即π2ω≤x ≤3π2ω时， y ＝sin ωx 是减函数．由f (x )＝sin ωx (ω＞0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，在⎣⎡⎦⎤π3，π2上单调递减知，π2ω＝π3，∵ω＝32. 4．(2015·安徽)已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A ．f (2)<f (－2)<f (0) B ．f (0)<f (2)<f (－2)C ．f (－2)<f (0)<f (2)D ．f (2)<f (0)<f (－2) 答案 A解析 由于f (x )的最小正周期为π， ∵ω＝2，即f (x )＝A sin(2x ＋φ)，又当x ＝2π3时，2x ＋φ＝4π3＋φ＝2k π－π2(k ∵Z )，∵φ＝2k π－11π6(k ∵Z )，又φ>0，∵φmin ＝π6，故f (x )＝A sin(2x ＋π6)．于是f (0)＝A sin π6，f (2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫5π6－4， f (－2)＝A sin ⎝⎛⎭⎫－4＋π6＝A sin ⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫13π6－4＝A sin ⎝⎛⎭⎫4－7π6. 又∵－π2<5π6－4<4－7π6<π6<π2，又f (x )在⎝⎛⎭⎫－π2，π2上单调递增， ∵f (2)<f (－2)<f (0)，故选A.5．函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为________，此时x ＝________. 答案 5 3π4＋2k π(k ∵Z )解析 函数y ＝3－2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为3＋2＝5， 此时x ＋π4＝π＋2k π(k ∵Z )，即x ＝3π4＋2k π(k ∵Z )．1．用五点法作正弦函数和余弦函数的简图跟踪练习1 (1)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为__________________________．(2)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为______________________________________．答案 (1)⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∵Z(2)⎣⎡⎦⎤－12－2，1 解析 (1)要使函数有意义必须有⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＞0，cos x －12≥0， 即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ＞0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π＜x ＜π＋2k πk ∵Z ，－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∵Z ， ∵2k π＜x ≤π3＋2k π(k ∵Z )，∵函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |2k π＜x ≤π3＋2k π，k ∵Z .(2)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ，sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤ 2.∵y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2.∵函数的值域为⎣⎡⎦⎤－12－2，1.题型二 三角函数的单调性例2 (1)函数f (x )＝tan ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调递增区间是( ) A.⎣⎡⎦⎤k π2－π12，k π2＋5π12(k ∵Z ) B.⎝⎛⎭⎫k π2－π12，k π2＋5π12(k ∵Z ) C.⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋2π3(k ∵Z ) D.⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∵Z ) (2)已知ω＞0，函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π4在⎝⎛⎭⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是________． 答案 (1)B (2)⎣⎡⎦⎤12，54解析 (1)由k π－π2＜2x －π3＜k π＋π2(k ∵Z )得，踪练习3 (1)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，对于任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6的值为________． (2)已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图象关于直线x ＝5π3对称，则实数a 的值为( )A ．－ 3B ．－33 C. 2 D.22答案 (1)2或－2 (2)B解析 (1)∵f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，∵x ＝π6是函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)的一条对称轴．∵f ⎝⎛⎭⎫π6＝±2.(2)由x ＝5π3是f (x )图象的对称轴，可得f (0)＝f ⎝⎛⎭⎫10π3， 解得a ＝－33.1、 (2014陕西,2,5分,∵∵∵)函数f(x)=cos 的最小正周期是( )A. B.π C.2π D.4π 思路点拨 根据公式T=计算.[答案] B [解析] T===π.故选B.2、(2013江苏,1,5分,∵∵∵)函数y=3sin的最小正周期为________.[答案]π[解析]由题意知ω=2,所以T==π.3、(2015山东烟台模拟,∵∵∵)求下列函数的最小正周期:(1)y=sin;(2)y=|sin x|.思路点拨(1)利用公式求最小正周期;(2)可利用图象法求最小正周期.[答案]答案见解析[解析](1)y=sin,其中ω=2,∵T==π.(2)函数y=|sin x|的图象如下图所示,可知其最小正周期为π.4、(2015四川,5,5分,∵∵∵)下列函数中,最小正周期为π的奇函数是()A.y=sinB.y=cosC.y=sin 2x+cos 2xD.y=sin x+cos x思路点拨利用函数的奇偶性逐项验证.[答案]B[解析]A中,y=cos 2x,最小正周期为π,为偶函数,不符合题意;B中,y=-sin 2x,最小正周期为π,且为奇函数,符合.C,D为非奇非偶的函数.5、(2014陕西西安模拟,∵∵∵)下列函数中是奇函数的是()A.y=-|sin x|B.y=sin(-|x|)C.y=sin |x|D.y=x·sin |x|思路点拨利用f(-x)=-f(x)进行判断.[答案]D[解析]四个函数的定义域都是R,设f(x)=x·sin|x|,则f(-x)=(-x)·sin|-x|=-x·sin|x|=-f(x),∵y=x·sin|x|是奇函数,故选D.6、(2014广东,5,5分,∵∵∵)下列函数为奇函数的是()A.y=2x-B.y=x3sin xC.y=2cos x+1D.y=x2+2x思路点拨根据奇函数的定义判断.[答案]A[解析]由函数奇偶性的定义知,B、C中的函数为偶函数,D中的函数为非奇非偶函数,只有A中的函数为奇函数,故选A.7、(2012天津,6,5分,∵∵∵)下列函数中,既是偶函数,又在区间(1,2)内是增函数的为()A.y=cos 2x,x∵RB.y=log2|x|,x∵R且x≠0C.y=,x∵RD.y=x3+1,x∵R思路点拨根据选项中各个函数的性质判断,有一定的综合性.[答案]B[解析]函数y=cos 2x在区间上单调递减,在区间上单调递增,不合题意,排除A;函数y=是奇函数,排除C;y=x3+1是非奇非偶函数,排除D;y=log2|x|=是偶函数,且在(0,+∞)上是增函数,故选B.8、(2012大纲全国,3,5分,∵∵∵)若函数f(x)=sin (φ∵[0,2π])是偶函数,则φ=()A. B. C. D.思路点拨根据特例来求解.[答案]C[解析]∵f(x)是偶函数,∵=+kπ(k∵Z).∵φ=π+3kπ(k∵Z),又φ∵[0,2π],∵φ=π.9、(2014安徽,14,5分,∵∵∵)若函数f(x)(x∵R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=则f+f=________.思路点拨根据函数的周期性将待求函数值的自变量值转化到分段函数中的定义域范围内,结合奇函数性质求解.[答案][解析]∵f(x)是以4为周期的奇函数,∵f=f=f,f=f=f.∵当0≤x≤1时, f(x)=x(1-x),∵f=×=.∵当1<x≤2时, f(x)=sin(πx),∵f=sin=-.又∵f(x)是奇函数,∵f=-f=-,f=-f=.∵f+f=-+=.10、(2012课标全国,9,5分,∵∵∵)已知ω>0,函数f(x)=sin在单调递减,则ω的取值范围是()A. B. C. D.(0,2]思路点拨利用正弦函数的单调性及单调区间求解.[答案]A[解析]由<x<π得+<ωx+<ωπ+,又y=sin α在(k∵Z)上递减,∵解得由ω>0知+2k>0,∵k>-.若要不等式组有解,则+4k≤+2k,解得k≤,又k∵Z,∵k=0,∵≤ω≤,故选A.11、(2011安徽,9,5分,∵∵∵)已知函数f(x)=sin(2x+φ),其中φ为实数,若f(x)≤对x∵R恒成立,且f>f(π),则f(x)的单调递增区间是()A. (k∵Z)B. (k∵Z)C. (k∵Z)D. (k∵Z)思路点拨恒成立问题可转化为最值问题,然后根据单调区间等知识求解.[答案]C[解析]∵f(x)≤恒成立,∵=1.∵+φ=+kπ,k∵Z.∵φ=+kπ,k∵Z.又∵f>f(π),即sin(π+φ)>sin(2π+φ),∵-sin φ>sin φ,∵2sin φ<0,∵sin φ<0.∵当k=1时,φ=+π=,满足sin φ<0,∵f(x)=sin=-sin.∵要求f(x)的单调递增区间,只需2kπ+≤2x+≤2kπ+,k∵Z,即kπ+≤x≤kπ+,k∵Z.∵f(x)的单调递增区间是(k∵Z).12、(2015上海长宁区一模,∵∵∵)设ω>0,若函数f(x)=2sin ωx在上单调递增,则ω的取值范围是________.思路点拨∵ω>0,先求出f(x)=2sin ωx的单调递增区间,而是其中的一个子集,由集合关系,求出ω的取值范围.[答案][解析]三角函数f(x)=2sin ωx的图象如图.由图知f(x)在上是单调增函数,结合题意得解得0<ω≤.13、(2014福建,7,5分,∵∵∵)已知函数f(x)=则下列结论正确的是()A.f(x)是偶函数B.f(x)是增函数C.f(x)是周期函数D.f(x)的值域为[-1,+∞)思路点拨分段函数问题可以考察各段函数的性质,或结合图象判断.[答案]D[解析]作出f(x)的图象如图所示,可排除A,B,C,故D正确.14、(2014课标∵,6,5分,∵∵∵)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P作直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x),则y=f(x)在[0,π]上的图象大致为()思路点拨列出函数y=f(x)的表达式后判断函数的图象,或取x的几个特殊值来验证.[答案]C[解析]由题图可知:当x=时,OP∵OA,此时f(x)=0,排除A、D;当x∵时,OM=cos x,设点M到直线OP 的距离为d,则=sin x,即d=OMsin x=sin xcos x,∵f(x)=sin xcos x=sin 2x≤,排除B,故选C.15、(2013江西改编,∵∵∵)设f(x)=2sin,若对任意实数x都有|f(x)|≤a,则实数a的取值范围是________.思路点拨对已知条件“对任意实数x都有|f(x)|≤a”的理解是解答关键,把此条件转化为函数f(x)的最大值问题.[答案] [2,+∞) [解析] ∵≤1,∵≤2,即对任意实数x,有|f(x)|≤2,要使|f(x)|≤a 恒成立,只要a 不小于|f(x)|的最大值即可,∵a≥2.[方法与技巧]1．讨论三角函数性质，应先把函数式化成y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0)的形式．2．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期为2π|ω|，y ＝tan(ωx ＋φ)的最小正周期为π|ω|.3．对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t ＝ωx ＋φ，将其转化为研究y ＝sin t 的性质．4．对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题：首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集；其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解． [失误与防范]1．闭区间上最值或值域问题，首先要在定义域基础上分析单调性，含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响．2．要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时ω的符号，若ω<0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数．3．三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得，直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的．A 组 专项基础训练 (时间：35分钟)1．对于函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2，下列说法正确的是( ) A ．f (x )的周期为π，且在[0,1]上单调递增B ．f (x )的周期为2，且在[0,1]上单调递减C ．f (x )的周期为π，且在[－1,0]上单调递增D ．f (x )的周期为2，且在[－1,0]上单调递减 答案 B解析 因为f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π2＝cos πx ，则周期T ＝2，在[0,1]上单调递减，故选B. 2．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx 6－π3(0≤x ≤9)的最大值与最小值之和为( ) A ．2－ 3B ．0C ．－1D ．－1－3 答案 A解析 利用三角函数的性质先求出函数的最值．∵0≤x ≤9，∵－π3≤π6x －π3≤7π6，∵sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∵⎣⎡⎦⎤－32，1.由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∵Z ，解得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∵Z .当k ＝0时，－3π8≤x ≤π8，故选C.12．已知函数f (x )＝2sin ωx (ω＞0)在区间⎣⎡⎦⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( ) A.23 B.32 C ．2 D ．3答案 B解析 ∵ω＞0，－π3≤x ≤π4，∵－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∵ω≥32.13．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∵T 2≥π2－π6， ∵T ≥2π3.∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，∵f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋2π32＝7π12.又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭⎫π6， ∵f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π62＝π3.∵14T ＝7π12－π3＝π4，∵T ＝π. 14.已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________. 答案 3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2，所以ω＝2.∵g (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫k π＋π6，k π＋π3，k ∵Z .。
