三角函数图像变换顺序详解全面

第九节：三角函数的图象变换图像变换有一个很好的口诀，适合所有的函数： 沿正减，沿负加，沿谁变谁； 不管伸，不管缩，变成倒数往前搁。

这个口诀中所有的变换都是对于,x y 而言的。

我们举例来说明这个问题。

我们还要知道，这个口诀适用于二元方程(,)0f x y =。

我们先以圆为例说明这个问题，这是因为圆有中心，比较直观。

设221:1C xy +=，先说平移变换：向右（沿正）平移2个单位，向上（沿正）平移3个单位得：221:()2)13(C x y +-=-，向左（沿负）平移2个单位，向下（沿负）平移3个单位得：221:()2)13(C x y ++=+，向右（沿正）平移2个单位，向下（沿负）平移3个单位得：221:()2)13(C x y ++=-，向左（沿负）平移2个单位，向上（沿正）平移3个单位得：221:()2)13(C x y +-=+，这里，与平时资料中的左加右减完全一致；但是，我们平时所说的上加下减似乎和这里不一致，事实上是一致的： 因为我们所说的上加下减，是指对()y f x =来说的，这里上加是加在了()f x 上，如y=向上平移3个单位是3y =+，也是3y -=再说伸缩变换： 仍以221:1C xy +=为例纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，得2251:()12C x y +=，即225:14x C y +=，横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得2261:()12C x y +=，即226:14y C x +=，纵坐标不变，横坐标变为原来的12倍，得225:(2)1C x y +=，即225:14x C y +=，横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得226:(2)1C x y +=，即226:114y C x +=，个单位长度，则平移后图象的对称轴为)。

三角函数的基本变换三角函数是数学中的重要内容，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。

而三角函数的基本变换是理解和应用三角函数的基础。

本文将介绍三角函数的基本变换，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的平移、伸缩和反射三种变换。

一、正弦函数的基本变换正弦函数的标准公式为：y = A*sin(Bx + C) + D，其中A、B、C、D 为常数，且A不等于0。

对于正弦函数的基本变换，可以通过调整A、B、C、D的值来实现平移、伸缩和反射。

1. 平移平移是指将函数图像沿x轴或y轴方向移动。

当C为正数时，正弦曲线向左平移；当C为负数时，正弦曲线向右平移。

平移的距离由C的绝对值决定，绝对值越大，平移的距离越远。

2. 伸缩伸缩是指将函数图像在x轴或y轴方向进行拉伸或压缩。

当A的绝对值变大时，正弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A的绝对值变小时，正弦曲线的振幅减小，即压缩。

当B的绝对值变大时，正弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，正弦曲线的周期变长，即压缩。

3. 反射反射是指将函数图像关于x轴或y轴进行翻转。

当A为负数时，正弦曲线关于x轴进行翻转；当B为负数时，正弦曲线关于y轴进行翻转。

二、余弦函数的基本变换余弦函数的标准公式为：y = A*cos(Bx + C) + D，其中A、B、C、D为常数，且A不等于0。

余弦函数的基本变换与正弦函数类似，分为平移、伸缩和反射三种变换。

1. 平移余弦函数的平移与正弦函数相同，通过调整C的值来实现。

当C为正数时，余弦曲线向左平移；当C为负数时，余弦曲线向右平移。

2. 伸缩余弦函数的伸缩与正弦函数类似，通过调整A和B的值来实现。

当A的绝对值变大时，余弦曲线在y轴方向上的振幅增大，即拉伸；当A 的绝对值变小时，余弦曲线的振幅减小，即压缩。

当B的绝对值变大时，余弦曲线在x轴方向上的周期变短，即拉伸；当B的绝对值变小时，余弦曲线的周期变长，即压缩。

3. 反射余弦函数的反射与正弦函数类似，通过调整A的值来实现。

三角函数图像平移变换由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ）的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形,请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量"起多大变化，而不是“角变化”多少.途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换）先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位,再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍（ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左（ϕ＞0）或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin （ωx ＋ϕ)的图象。

1。

为得到函数πcos 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数sin 2y x =的图像( A ）A ．向左平移5π12个长度单位B ．向右平移5π12个长度单位 C ．向左平移5π6个长度单位D ．向右平移5π6个长度单位2.要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝⎭的图象（ D ）A ．向右平移π6个单位 B ．向右平移π3个单位 C ．向左平移π3个单位 D ．向左平移π6个单位3.为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ B ）(A ）向右平移6π个单位长度 （B)向右平移3π个单位长度(C)向左平移6π个单位长度 （D)向左平移3π个单位长度4.把函数sin y x =（x R ∈）的图象上所有点向左平行移动3π个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的12倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是CA sin(2)3y x π=-，x R ∈B sin()26x y π=+，x R ∈C sin(2)3y x π=+，x R ∈D sin(2)32y x π=+,x R ∈5.为了得到函数sin(2)3y x π=-的图像，只需把函数sin(2)6y x π=+的图像B（A)向左平移4π个长度单位 （B ）向右平移4π个长度单位 （C ）向左平移2π个长度单位 （D ）向右平移2π个长度单位6.已知函数()sin()(,0)4f x x x R πϖϖ=+∈>的最小正周期为π，为了得到函数()cos g x x ϖ=的图象，只要将()y f x =的图象AA 向左平移8π个单位长度 B 向右平移8π个单位长度 C 向左平移4π个单位长度 D 向右平移4π个单位长度7。

《图象变换的顺序寻根》题根研究一、图象变换的四种类型从函数y = f (x)到函数y = A f ()+m，其间经过4种变换：1.纵向平移——m 变换2.纵向伸缩——A变换3.横向平移——变换4.横向伸缩——变换一般说来，这4种变换谁先谁后都没关系，都能达到目标，只是在不同的变换顺序中，“变换量”可不尽相同，解题的“风险性”也不一样.以下以y = sin x到y = A sin ()+m为例，讨论4种变换的顺序问题.【例1】函数的图象可由y = sin x的图象经过怎样的平移和伸缩变换而得到？【解法1】第1步，横向平移：将y = sin x向右平移，得第2步，横向伸缩：将的横坐标缩短倍，得第3步：纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得第4步：纵向平移：将向上平移1，得【解法2】第1步，横向伸缩：将y = sin x的横坐标缩短倍，得y = sin 2x第2步，横向平移：将y = sin 2x向右平移，得第3步，纵向平移：将向上平移，得第4步，纵向伸缩：将的纵坐标扩大3倍，得【说明】解法1的“变换量”（如右移）与参数值（）对应，而解法2中有的变换量（如右移）与参数值（）不对应，因此解法1的“可靠性”大，而解法2的“风险性”大.【质疑】对以上变换，提出如下疑问：（1）在两种不同的变换顺序中，为什么“伸缩量”不变，而“平移量”有变？（2）在横向平移和纵向平移中，为什么它们增减方向相反——如当<0时对应右移（增方向），而m < 0时对应下移（减方向）？（3）在横向伸缩和纵向伸缩中，为什么它们的缩扩方向相反——如|| > 1时对应着“缩”，而| A | >1时，对应着“扩”？【答疑】对于（2），（3）两道疑问的回答是：这是因为在函数表达式y = A f()+m 中x和y的地位在形式上“不平等”所至. 如果把函数式变为方程式(y+) = f ()，则x、y在形式上就“地位平等”了.如将例1中的变成它们的变换“方向”就“统一”了.对于疑问（1）：在不同的变换顺序中，为什么“伸缩量不变”，而“平移量有变”？这是因为在“一次”替代：x→中，平移是对x进行的.故先平移（x→）对后伸缩（→）没有影响；但先收缩（x→）对后平移（→）却存在着“平移”相关. 这就是为什么（在例1的解法2中）后平移时，有的原因.【说明】为了使得4种变换量与4个参数（A，，，m）对应，降低“解题风险”，在由sin x变到A sin () (> 0) 的途中，采用如下顺序：（1）横向平移：x→（2）横向伸缩：x+→（3）纵向伸缩：sin () →A sin ()（4）纵向平移：A sin () →A sin () + m这正是例1中解法1的顺序.二、正向变换与逆向变换如果把由sin x 到A sin ()+m的变换称作正向变换，那么反过来，由A sin ()+m到sin x变换则称逆向变换.显然，逆向变换的“顺序”是正向变换的“逆”.因为正向变换的一般顺序是：（1）横向平移，（2）横向伸缩，（3）纵向伸缩，（4）纵向平移.所以逆向变换的一般顺序则是：（1）纵向平移，（2）纵向伸缩，（3）横向伸缩，（4）横向平移.如将函数y= 2sin (2－) +1的图像下移1个单位得y=2sin (2x－)，再将纵坐标缩小一半得y=sin(2 x－),再将横坐标扩大2倍得y=sin(x－),最后将图象左移得函数y= sin x.【例2】将y= f (x)·cos x的图象向右平移, 再向上平移1, 所得的函数为y=2sin2 x. 试求f (x)的表达式.【分析】这是图象变换的逆变换问题：已知函数的变换结果，求“原函数”. 我们考虑将“正向变换”的过程倒逆回去而得“逆向变换”的顺序.【解析】将y = 2sin2 x下移1个单位（与正向变换上移1个单位相反），得y = 2sin2 x－1，再将 2sin2x－1左移（与正向变换右移相反）得令f (x)·cos x = 2sin x cos x 得f (x) = 2sin x【说明】由此得原函数为y=f(x)cos x=2sin x cos x=sin2x. 正向变换为sin 2x→2sin2x,其逆变换为2sin2x→sin2x.因为2sin2x=1+sin(2 x－),所以下移1个单位得sin(2 x－),左移得sin2x.三、翻折变换使> 0平移变换x→是“对x而言”，由于x过于简单而易被忽略.强调一下，这里x的系数是+1. 千万不要误以为是由sin(- x)左移而得.其实，x或y的系数变 -1，也对应着两种不同的图象变换：由x→ - x对应着关于y 轴的对称变换,即沿y轴的翻折变换；由f (x) → - f (x)对应着关于x轴的对称变换,即沿x轴的翻折变换.【例3】求函数的单调减区间.【分析】先变换 -3x→3x,即沿y轴的翻折变换.【解析1】，转化为求g(x)=sin(3x－)的增区间令≤≤≤x ≤（f(x)减区间主解）又函数的f(x)周期为，故函数f(x)减区间的通解为≤x ≤【解析2】的减区间为≤≤即是≤x ≤【说明】从图象变换的角度看问题,比较解析1和解析2可知,求f(x)的减区间,实际上分两步进行:(1)先求得f(x)减区间的主解≤x ≤(2)再利用主解进行横向平移(的整数倍)即得f(x)减区间的通解.【思考】本解先将“正数化”，使>0是本解成功的关键. 否则，如果去解不等式组将会使你陷入歧途，不防试试！Welcome !!! 欢迎您的下载，资料仅供参考！。

三角函数b x A y ++=)sin(ϕω的图像变换三角函数的图像变换是历年来高考的重点内容，因此我们有必要对这一问题作一下研究。

下面就三角函数的图像变换的基本题型，做以详细讲析：一、 振幅变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x Af y =的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的纵坐标变为原来的A 倍，即)()(A x Af y x f y =−−−−−−→−=倍纵坐标变为原来的。

例1、要得到)32sin(4π-=x y 的图像，只需将)32sin(π-=x y 的图像( )。

A 、 向上平移4个单位；B 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍； C 、 将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4-倍； D 、 向下平移4个位单位。

分析：由题意可知，将)32sin(π-=x y 图像上的各点的纵坐标变为原来的4倍，就可以得到)32sin(4π-=x y 的图像。

故选B 。

二、 周期变换由函数)(x f y =的图像变换为)(x f y ω=的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上的各点的横坐标变为原来的ω1倍，即)()(1x f y x f y ωω=−−−−−−→−=倍横坐标变为原来的。

例2、如何由x y sin =的图像得到x y 2sin 2=的图像。

解：由x y sin =的图像上各点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到x y sin 2=的图像，再将x y sin 2=的图像各点的横坐标压缩为原来的21倍，得到x y 2sin 2=的图像。

三、 相位变换(左右平移变换)由函数)(x f y =的图像变换为)(ϕ+=x f y 的图像，其主要的方法是将)(x f y =图像上所有点向左或向右平移ϕ个单位。

即)()(0)(ϕϕϕ+=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向左平移 )()(0)(ϕϕϕ-=−−−−−−→−=>x f y x f y 个单位向右平移 例3、如何由)32sin(31π+=x y 的图像得到x y sin =的图像。

三角函数的像变换知识点总结三角函数是数学中重要的一门学科，常常用于解决几何问题、物理问题以及信号处理等领域。

而在实际应用中，常常会遇到对三角函数进行像变换的情况，通过像变换可以改变函数的振幅、频率和相位等性质。

以下是三角函数的像变换相关知识点的总结，包括正弦函数、余弦函数和正切函数的像变换特性以及对应的图像变化。

1. 正弦函数的像变换正弦函数的一般形式为y = A*sin(B(x-C))+D，其中A代表振幅，B代表频率，C代表相位，D代表垂直偏移量。

像变换可以通过改变这些参数来实现。

- 振幅的变化：改变A的值可以改变正弦函数的振幅，当A>1时振幅增大，当0 A时振幅减小，当A<0时振幅变为负数，即使曲线翻转。

- 频率的变化：改变B的值可以改变正弦函数的周期，当B>1时周期缩短，当0 B时周期增加。

- 相位的变化：改变C的值可以改变正弦函数的水平移动，当C>0时函数向右移动C个单位，当0 C时函数向左移动C个单位。

- 垂直偏移量的变化：改变D的值可以改变正弦函数的上下平移，当D>0时整个函数上移D个单位，当0 D时整个函数下移D个单位。

2. 余弦函数的像变换余弦函数的一般形式为y = A*cos(B(x-C))+D，其中A代表振幅，B 代表频率，C代表相位，D代表垂直偏移量。

像变换可以通过改变这些参数来实现。

- 振幅的变化：改变A的值可以改变余弦函数的振幅，变换规律与正弦函数相同。

- 频率的变化：改变B的值可以改变余弦函数的周期，变换规律与正弦函数相同。

- 相位的变化：改变C的值可以改变余弦函数的水平移动，变换规律与正弦函数相同。

- 垂直偏移量的变化：改变D的值可以改变余弦函数的上下平移，变换规律与正弦函数相同。

3. 正切函数的像变换正切函数的一般形式为y = A*tan(B(x-C))+D，其中A代表振幅，B 代表频率，C代表相位，D代表垂直偏移量。

像变换可以通过改变这些参数来实现。

三角函数的图象变换——由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象 初学习三角函数的读者，对三角函数图象的水平方向的平移和伸缩变换感到困难重重，笔者针对此问题提供给读者快速而简便的方法，供选用和实践．指点迷津由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径：途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0)平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0),再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右（ϕ＜0）平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)试试身手例题1、已知函数y=cos 2x+3sinxcosx+1（x ∈R ）,该函数的图象可由y=sinx(x ∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到?【分析】首先，要将函数解析式化简，化成由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋B 的形式，再利用作函数的图像的两个方法“五点法”与图像变换的方法即可求得.【答案】 y=cos 2x+3sinxcosx+1=21cos2x+23sin2x+43=sin(2x+6π)+43.(3)解法1:将函数的图象依次作如下变换:函数y=sinx 的图象−−−−−−−−→−个单位向左平移6π函数y=sin(x+6π)的图象−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−)(21纵坐标不变倍的各点横坐标缩短到原来函数y=sin(2x+6π)的图象.即函数y=cos 2x+3sinxcosx+1（x ∈R ）的图象.解法2: 函数y=sinx 的图象−−−−−−−−−−−−−−−−−−→−)(21纵坐标不变倍的各点横坐标缩短到原来函数y=sin2x 的图象−−−−−−−−→−个单位向左平移12π函数y=sin(2x+6π)的图象.即函数y=cos 2x+3sinxcosx+1（x ∈R ）的图象.巩固练习练习1、已知函数)62sin(21π+=x y 的图象可由x y sin =的图象经过怎样的变换而得到？例题2、已知函数x ∈R.（1）当函数y 取得最大值时，求自变量x 的集合； （2）该函数的图像可由y=sinx(x ∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？【分析】首先，要将函数解析式化简，化成由y ＝A sin(ωx＋ )＋B的形式，再利用图像变换的方法即可求得.【答案】（1）y取得最大值必须且只需即k∈Z.所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为.（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：(i)把函数y=sinx的图像向左平移，得到函数的图像；(ii)把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图像；(iii)把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图像；(IV)把得到的图像向上平移个单位长度，得到函数的图像；综上得到函数的图像.【点评】应用三角公式，将已知函数式化成一个角[即]的简单函数解析式，便可讨论其最值，本题的解答以相应的图像变换给以详细说明，要理解掌握.小试身手1．已知函数y=tan(2x+φ)的图象过点(0,12π)，则φ的值可以是()A -6πB 6πC 12π-D 12π2．要得到函数x y cos 2=的图象，只需将函数)42sin(2π+=x y 的图象上所有的点的（）(A)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变）,再向左平行移动8π个单位长度(B)横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），再向右平行移动4π个单位长度(C)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动4π个单位长度(D)横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动8π个单位长度3. 将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象如图所示，则平移后的图象所对应函数的解析式是A ．sin()6y x π=+ B ．sin()6y x π=-C ．sin(2)3y x π=+ D ．sin(2)3y x π=-4． 已知R a ∈，函数R x a x x f ∈-=|,|sin )(为奇函数，则a ＝（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）±1.5． 为了得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，只需把函数R x x y ∈=,sin 2的图像上所有的点（A ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （B ）向右平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的31倍（纵坐标不变） （C ）向左平移6π个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）把所得（D ）向右平移6π个单位长度，再各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）.6． 下列函数中，图象的一部分如右图所示的是（A ）sin 6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（B ）sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（C ）cos 43y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭（D ）cos 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.1. 【答案】代入点的坐标即可求得答案为A2. 【答案】 由函数s i n ,y x x R =∈的图象经过变换得到函数sin(),y A x x R ωφ=+∈（1）．y=Asinx ，x ∈R(A>0且A ≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到原来的A 倍（2）函数y=sin ωx, x ∈R (ω>0且ω≠1)的图象，可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(ω>1)或伸长(0<ω<1)到原来的ω1倍（纵坐标不变）（3）函数y ＝sin(x ＋ϕ)，x ∈R (其中ϕ≠0)的图象，可以看作把正弦曲线上所有点向左(当ϕ＞0时)或向右(当ϕ＜0时＝平行移动｜ϕ｜个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向：“加左”“减右”)，可以先平移变换后伸缩变换，也可以先伸缩变换后平移变换，但注意：先伸缩时，平移的单位把x 前面的系数提取出来.运用以上知识即可求得答案为C3. 【答案】将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π⎛⎫=- ⎪⎝⎭平移，平移后的图象所对应的解析式为sin ()6y x πω=+，由图象知，73()1262πππω+=，所以2ω=，因此选C. 4．【答案】解法1由题意可知，()()f x f x =--得a=0解法2：函数的定义域为R,又f(x)为奇函数,故其图象必过原点即f(0)=0,所以得a=0,解法3由f(x)是奇函数图象法函数画出()R x a x x f ∈-=,sin 的图象选A5．【答案】先将R x x y ∈=,sin 2的图象向左平移6π个单位长度，得到函数2sin(),6y x x R π=+∈的图象，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到函数R x x y ∈+=),63sin(2π的图像，选择C.6．【答案】从图象看出，41T=1264πππ+=，所以函数的最小正周期为π，函数应为y=sin 2x向左平移了6π个单位，即s i n 2()6y x π=+=sin(2)cos(2)cos(2)3236x x x ππππ+=-++=-，选D.。