2821解直角三角形

第 1 页28.2.1解直角三角形知识点1解直角三角形1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝35，BC＝6，则AB的长为()A．4 B．6 C．8 D．102．在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC的长为()A．3sin40°B．3sin50°C．3tan40°D．3tan50°3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，a＝6，b＝2 3，则∠B的度数为________．．4．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝8 3，∠A＝60°，则a＝________，b＝________.5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，由下列条件解直角三角形：(1)已知∠A＝60°，b＝4；(2)已知a＝13，c＝23；(3)已知c＝28 2，∠B＝30°.6．如图28－2－1，在△ABC中，∠C＝90°，sin A＝23，AB＝6，求BC的长．图28－2－1知识点2解直角三角形的应用7．如图28－2－2，为了测量一河岸相对的两电线杆A，B间的距离，在距A点15米的C处(AC⊥AB)测得∠ACB＝50°，则A，B间的距离应为()图28－2－2A．15sin50°米B．15tan50°米C．15tan40°米D．15cos50°米8．2019·金华一座楼梯的示意图如图28－2－3所示，BC是铅垂线，CA是水平线，BA．第 2 页与CA的夹角为θ.现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA＝4米，楼梯宽为1米，则地毯的面积至少为()图28－2－3A.4sinθ平方米B.4cosθ平方米C．(4＋4tanθ)平方米D．(4＋4tanθ)平方米9．如图28－2－4，已知菱形ABCD中，AE⊥BC于点E.若sin B＝23，AD＝6，则菱形ABCD的面积为()图28－2－4A．12 B．12 5 C．24 D．5410．如图28－2－5，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E.设∠ADE＝α，且cosα＝35，AB＝4，则AD的长为()图28－2－5A．3 B.16 3 C.20 3 D.22 311．2019·丽水数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角尺中，含45°角的三角尺的斜边与含30°角的三角尺的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图28－2－6，将一副三角尺的直角顶点重合放在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用所学的数学知识解决这个问题．图28－2－612．如图28－2－7，⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是()图28－2－7A．R2－r2＝a2B．a＝2R sin36°C．a＝2r tan36°D．r＝R cos36°13．如图28－2－8是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过点C．第 3 页作CD⊥AB于点D.已知cos∠ACD＝35，BC＝4，则AC的长为()图28－2－8A．1 B.20 3 C．3 D.16 314．2019·益阳如图28－2－9，电线杆CD的高度为h，两根拉线AC与BC互相垂直，∠CAB＝α，则拉线BC的长度为(A，D，B在同一条直线上)()图28－2－9A.h sinαB.h cosαC.h tanαD．h·cosα15．如图28－2－10，在△ABC中，AB＝AC，cos∠ABC＝45，点D在BC边上，BD ＝6，CD＝AB，则AD的长为__________．．图28－2－1016．如图28－2－11，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，斜边AB上的高CD＝3，BD＝1，解这个直角三角形．图28－2－1117．如图28－2－12，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝ 2 3，求△ABC的面积．图28－2－1218．如图28－2－13，在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，sin B＝45，AC＝8，D为线段BC上一点，并且CD＝2.(1)求BD的长；(2)求cos∠DAC的值．图28－2－13教师详解详析第 4 页1．D[解析] 在Rt△ABC中，∠C＝90°，sin A＝BC AB＝35，BC＝6，∴AB＝BC sin A＝635＝10.2．D[解析] 已知∠C＝90°，∠A＝40°，∴∠B＝50°.∵tan B＝AC BC，即tan50°＝AC3，∴AC＝3tan50°.故选D.3．30°[解析] ∵tan B＝b a，b＝ 2 3，a＝6，∴tan B＝2 36＝33，∴∠B＝30°.4．124 3[解析] 本题是已知一锐角和斜边，解直角三角形，由sin A＝ac，得a＝c·sin A＝8 3·sin60°＝8 3×32＝12，由勾股定理易知b＝4 3.5．解：(1)∵∠A＝60°，∴∠B＝30°.∵tan A＝ab，∴a＝b tan A＝4tan60°＝4 3，∴c＝a2＋b2＝8.即∠B＝30°，a＝4 3，c＝8.(2)由勾股定理，知b＝c2－a2＝（23）2－（13）2＝13，∴a ＝b，∴∠A＝∠B＝45°.即∠A＝∠B＝45°，b＝13.(3)∵∠B＝30°，∴∠A＝60°，b＝12c＝12×28 2＝14 2.又∵cos B＝ac，第 5 页∴a＝c·cos B＝28 2×cos30°＝14 6.即∠A＝60°，a＝14 6，b＝14 2.6．解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴sin A＝BC AB.∵AB＝6，sin A＝23，∴BC6＝23，∴BC＝4.7．B[解析] 由tan∠ACB＝AB AC知AB＝AC·tan∠ACB＝15tan50°.故选B. 8．D9．C[解析] ∵四边形ABCD是菱形，AD＝6，∴AB＝BC＝6.在Rt△ABE中，sin B＝AE AB.∵sin B＝23，∴AE6＝23，解得AE＝4，∴菱形ABCD的面积是6×4＝24.故选C. 10．B[解析] 由已知可得AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ACD＝α.在Rt△DEC中，cosα＝CE CD＝35，即CE4＝35，∴CE＝12 5.根据勾股定理，得DE＝16 5.在Rt△AED中，cosα＝DE AD＝35，即165AD＝35，∴AD＝16 3.故选B.11．解：∵在Rt△ABC中，BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝BC tan A＝ 2 3，则EF＝AC＝ 2 3.∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝6，∴AF＝AC－FC＝ 2 3－6.12．A[解析] ∵⊙O是正五边形ABCDE的外接圆，第 6 页∴∠BOC＝15×360°＝72°.∵OB＝OC，OH⊥BC，∴∠BOH＝12∠BOC＝36°，BH＝12BC＝12a.在Rt△BOH中，OB2－OH2＝BH2，∴R2－r2＝(12a)2＝14a2，则选项A错误．∵sin36°＝BH OB，∴BH＝OB·sin36°，即12a＝R sin36°，∴a＝2R sin36°，则选项B正确．∵tan36°＝BH OH，∴BH＝OH·tan36°，即12a＝r tan36°，∴a＝2r tan36°，则选项C正确．∵cos36°＝OH OB，∴OH＝OB·cos36°，∴r＝R cos36°，则选项D正确．故选A.13．D[解析] ∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠A＋∠B＝90°.∵CD⊥AB，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B.在Rt△ABC中，∵cos B＝cos∠ACD＝BC AB＝35，BC＝4，∴AB＝203，∴AC＝AB2－BC2＝（203）2－42＝163.故选D.14．B[解析] 根据同角的余角相等，得∠CAD＝∠BCD，由cos∠BCD＝CDBC，知BC＝CD cos∠BCD＝h cosα.故选B.15．2 10[解析] 如图，过点A作AE⊥BC于点E.∵AB＝AC，∴BE＝CE.设DE＝x，则BE ＝6＋x，CD＝6＋2x.∵cos∠ABC＝45，AB＝CD＝6＋2x，∴BEAB＝6＋x6＋2x＝45，解得x＝2.∴AB＝10，BE＝8，∴AE＝AB2－BE2＝6.∴在Rt△ADE中，AD＝AE2＋DE2＝210.16．解：在Rt△BCD中，第 7 页BC＝BD2＋CD2＝12＋（3）2＝2，∴sin B＝CD BC＝32，∴∠B＝60°，∴∠A＝90°－∠B＝90°－60°＝30°.在Rt△ABC中，AB＝BC cos B＝2cos60°＝212＝4，∴AC＝AB2－BC2＝42－22＝16－4＝12＝2 3.即∠A＝30°，∠B＝60°，AB＝4，BC＝2，AC＝23.17．[全品导学号：03274103]解：过点C作CD⊥AB于点D，则∠ADC＝∠BDC＝90°.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.∵∠A＝30°，AC＝2 3，∴CD＝12AC＝3，∴BD＝CD＝3.在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD＝AC2－CD2＝12－3＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋3，∴△ABC的面积＝12CD·AB＝12×3×(3＋3)＝3＋3 32. 18．解：(1)在Rt△ABC中，sin B＝ACAB＝45.第 8 页∵AC＝8，∴AB＝10，BC＝AB2－AC2＝102－82＝6，∴BD＝BC－CD＝6－2＝4.(2)在Rt△ACD中，∵AD＝AC2＋CD2＝82＋22＝217，∴cos∠DAC＝AC AD＝8217＝41717.。