九年级数学上册第23章解直角三角形专题训练新版沪科版

沪科版九年级数学上册《第二十三章解直角三角形》单元测试卷-附答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________(满分150分，限时120分钟)一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，满分40分)1.(2023安徽淮南模拟)如果Rt△ABC的各边长都扩大为原来的3倍，那么锐角A 的正弦值、余弦值()A.都扩大为原来的3倍B.都缩小为原来的13C.没有变化D.不能确定2.(2023安徽宿州埇桥期末)三角函数sin 30°、cos 16°、cos 43°之间的大小关系是()A.cos 43°>cos 16°>sin 30°B.cos 16°>sin 30°>cos 43°C.cos 16°>cos 43°>sin 30°D.cos 43°>sin 30°>cos 16°3.(2023安徽巢湖三中月考)若sin(70°-α)=cos 50°，则锐角α的度数是()A.50°B.40°C.30°D.20°4.在△ABC中，∠C=90°，tan A=2，则cos A的值为()A.√55B.2√55C.12D.25.(2023安徽阜阳质检)下列运算中，值为14的是() A.sin 45°×cos 45° B.tan 45°-cos230°C.tan30°cos60°D.(tan 60°)-16.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=β，CD⊥AB，垂足为D，那么下列线段的比值不一定等于sin β的是()A.ADBD B.ACABC.ADACD.CDBC7.(2023安徽池州月考)如图，将△ABC放在每个小正方形的边长均为1的网格中，点A，B，C均在格点上，则tan A的值是()A.√55B.12C.2D.√1058.【新考法】一配电房的示意图如图所示，它是一个轴对称图形，已知AB=3 m，∠ABC=α，则房顶A离地面EF的高度为()A.(4+3sin α)mB.(4+3tan α)mC.(4+3sinα)m D.(4+3tanα)m9.(2023安徽合肥庐江期末)如图，在△ABC中，sin B=12，AB=8，AC=5，且∠C 为锐角，cos C的值是()A.35B.45C.√32D.3410.【新情境·双翼闸机】下图是一个地铁站入口的双翼闸机示意图，它的双翼展开时，双翼边缘的端点A与B之间的距离为12 cm，双翼的边缘AC=BD=64 cm，且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时，可以通过闸机的物体的最大宽度为()A.76 cmB.(64√2+12)cmC.(64√3+12)cmD.64 cm二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，满分20分)11.如果tan α=1，那么锐角α=度.12.如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，BC=6，AC=8，设∠BCD=α，则tan α=.13.如图，已知tan O=4，点P在边OA上，OP=5，点M、N在边OB上，PM=PN，3如果MN=2，那么PM=.，BC=12，D是AB的中点，过点B 14.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，cos A=35作线段CD的垂线，交CD的延长线于点E.(1)线段CD的长为;(2)cos∠DBE的值为.三、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分) 15.计算:2cos 30°-tan 260°3tan45°+√(sin60°−1)2.16.(2023广西梧州模拟)构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要体现，某数学兴趣小组在尝试计算tan 15°时，采用以下方法:如图，在Rt △ACB 中，∠C =90°，∠ABC =30°，延长CB 使BD =AB ，连接AD ，得∠D =15°，设AC =1，则AB =2，BC =√3，所以tan 15°=ACCD =2+√3=√3(2+√3)×(2−√3)=2-√3，类比这种方法，计算tan 22.5°的值(画出计算所需图形，并用文字、计算说明).四、(本大题共2小题，每小题8分，满分16分)17.(2021广东潮州中考)如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，作BC的垂直平分线交AC于点D，延长AC至点E，使CE=AB.(1)若AE=1，求△ABD的周长;BD，求tan∠ABC的值.(2)若AD=1318.(2023安徽合肥瑶海期末)有一架长为6米的梯子AB，将它的上端A靠着墙面，下端B放在地面上，梯子与地面所成的角记为α，地面与墙面互相垂直(如图1所示).一般满足50°≤α≤75°时，人才能安全地使用这架梯子.(1)当梯子底端B距离墙面2.5米时，人是否能安全地使用这架梯子?(2)当人能安全地使用这架梯子，且梯子顶端A离地面最高时，梯子开始下滑，如果梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点处停止，梯子底端B也随之向后平移到地面上的点E处(如图2所示)，此时人是否能安全地使用这架梯子?请说明理由.(参考数据:sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26)五、(本大题共2小题，每小题10分，满分20分)19.如图，数学兴趣小组成员在热气球A上看到横跨河流两岸的大桥BC，并测得B，C两点的俯角分别为53°和45°，已知大桥BC与地面在同一水平面上，其长度为75米，又知此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，试求此时热气球(体积忽略不计)附近的温度.(参考数据:sin53°≈45,cos53°≈3 5,tan53°≈43)20.【方程思想】李老师给班级布置了一个实践活动，测量某广场纪念碑的高度，使用卷尺和测角仪测量.如图，纪念碑设在1.2 m的石台上，他们先在点B处测得纪念碑最高点A的仰角为22°，然后沿水平方向前进21 m，到达点N处，在点C 处测得点A的仰角为45°，BM=CN=1.7 m，求纪念碑的高度.(结果精确到0.1 m，参考数据:sin 22°≈0.37，cos 22°≈0.93tan 22°≈0.40，√2≈1.41)六、(本题满分12分)21.【主题教育·生命安全与健康】某校为检测师生体温，在校门安装了某型号测温门，如图，已知测温门AD的顶部A距地面2.2 m.某数学兴趣小组为了解测温门的有效测温区间，做了如下实践:身高为1.6 m的组员在地面N处时测温门开始显示额头温度，此时在额头B处测得A的仰角为20°，在地面M处时，测温门停止显示额头温度，此时在额头C处测得A的仰角为60°.求有效测温区间MN的长度.(参考数据:sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36，√3≈1.73，额头到地面的距离以身高计，计算结果精确到0.1 m)七、(本题满分12分)22.如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°.沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1∶√3，AB=16米，AE=24米.(1)求点B距水平面AE的高度BH;(2)求广告牌CD的高度.(测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据:√2≈1.414，√3≈1.732)八、(本题满分14分)23.(2022四川自贡中考)某数学兴趣小组自制测角仪到公园进行实地测量，活动过程如下:(1)[探究原理]制作测角仪时，将细线一端固定在量角器圆心O处，另一端系小重物G.测量时，使支杆OM、量角器90°刻度线ON与铅垂线OG相互重合(如图①)，绕点O转动量角器，使观测目标P与直径两端点A、B共线(如图②)，此时目标P的仰角∠POC=∠GON.请说明这两个角相等的理由;(2)[实地测量]如图③，公园广场上有一棵树，为测树高，同学们在观测点K处测得树顶端P 的仰角∠POQ=60°，观测点与树的距离KH为5米，点O到地面的距离OK为1.5米，求树高PH;(√3≈1.73，结果精确到0.1米)(3)[拓展探究]公园高台上有一凉亭，为测量凉亭顶端P 距地面的高度PH (如图④)，同学们经过讨论，决定先在水平地面上选取观测点E 、F (E 、F 、H 在同一直线上)，分别测得点P 的仰角为α、β，再测得E 、F 间的距离为m 米，点O 1、O 2到地面的距离O 1E 、O 2F 均为1.5米.求PH (用α、β、m 表示).参考答案与解析1.C Rt △ABC 的各边长都扩大为原来的3倍后，所得的三角形与Rt △ABC 是相似的，∴锐角A 的大小是不变的，∴锐角A 的正弦值、余弦值没有变化.2.C ∵sin 30°=cos 60°，16°<43°<60°，余弦值随着角度的增大而减小，∴cos 16°>cos 43°>sin 30°.3.C ∵sin(70°-α)=cos 50°，∴70°-α+50°=90°，解得α=30°.故选C.4.A 在△ABC 中，∠C =90°，设∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，因为tan A =ab =2，所以a =2b ，由勾股定理得c =√a 2+b 2=√5b所以cos A =bc =√5b =√55.5.Bsin 45°×cos 45°=√22×√22=12，故A 不符合题意;tan 45°-cos 230°=1-(√32)2=1-34=14，故B 符合题意;tan30°cos60°=√3312=23√3，故C 不符合题意;(tan 60°)-1=(√3)-1=√33，故D 不符合题意. 6.AAD BD不一定等于sin β，故A 符合题意;∵△ABC 是直角三角形，∴sin β=AC AB，故B 不符合题意; ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠ACD +∠A =∠B +∠A =90°∴∠ACD =∠B ，∴sin β=ADAC，故C 不符合题意;∵△BCD 是直角三角形，∴sin β=CDBC，故D 不符合题意.7.B 如图，取格点D ，连接BD由题意得AD 2=22+22=8，BD 2=12+12=2，AB 2=12+32=10，∴AD 2+BD 2=AB 2 ∴△ABD 是直角三角形，∴∠ADB =90°，在Rt △ABD 中 AD =2√2，BD =√2，∴tan A =BDAD =√22√2=12. 8.A 过点A 作AD ⊥BC 于点D ，如图∵AD ⊥BC ，∠ABC =α，∴sin α=AD AB=AD3，∴AD =3sin α m ，∴房顶A 离地面EF 的高度=AD +BE =(4+3sin α)m .9.A 如图，过点A 作AD ⊥BC ，垂足为D∴∠ADB =∠ADC =90°在Rt △ABD 中，sin B =12，AB =8，∴AD =AB ·sin B =8×12=4在Rt △ADC 中，AC =5，∴CD =√AC 2−AD 2=√52−42=3，∴cos C =CD AC =35.10.A 如图所示，过A 作AE ⊥CP 于E ，过B 作BF ⊥DQ 于F ，在Rt △ACE 中，AE =12AC =12×64=32(cm)，同理可得BF =32 cm ，∵点A 与B 之间的距离为12 cm ，∴通过闸机的物体的最大宽度为32+12+32=76(cm).11.45解析 ∵tan α=1，∴锐角α=45度. 12.34解析 ∵CD ⊥AB ，∠ACB =90°，∴∠α+∠B =∠A +∠B =90°，∴∠α=∠A ∴tan α=tan A =68=34.13.√17解析 如图，过P 作PD ⊥OB ，交OB 于点D∵tan O =PD OD =43，∴设PD =4x ，则OD =3x∵OP =5，由勾股定理得(3x )2+(4x )2=52，∴x =1(已舍负)，∴PD =4 ∵PM =PN ，PD ⊥OB ，MN =2，∴MD =ND =12MN =1在Rt △PMD 中，由勾股定理得PM =√MD 2+PD 2=√17. 14.(1)152(2)2425解析 (1)在Rt △ABC 中，cos A =AC AB =35∴设AC =3x ，则AB =5x ，∴BC =√AB 2−AC 2=√(5x)2−(3x)2=4x ∵BC =12，∴4x =12，∴x =3，∴AB =15，AC =9，∵D 是AB 的中点 ∴CD =12AB =152.(2)∵∠ACB =90°，D 是AB 的中点，∴△CBD 的面积=12×△ABC 的面积，∴12CD ·BE =12×12AC ·BC ，∴152BE =12×9×12，∴BE =365，在Rt △BDE 中cos ∠DBE =BE BD=365152=2425.15.解析原式=2×√32-(√3)23×1+1-√32=√3-1+1-√32=√32. 16.解析 如图，在等腰直角△ABC 中，∠C =90°，延长CB 至点D ，使得AB =BD ，则∠BAD =∠D.∵∠ABC =45°=∠BAD +∠D =2∠D ，∴∠D =22.5° 设AC =1，则BC =1，AB =√2AC =√2 ∴CD =CB +BD =CB +AB =1+√2 ∴tan 22.5°=tan D =ACCD =1+√2=√2−1(1+√2)×(√2−1)=√2-1.17.解析 (1)如图，连接BD ，设BC 的垂直平分线交BC 于点F ，∴BD =CD ∴C △ABD =AB +AD +BD =AB +AD +DC =AB +AC. ∵AB =CE ，∴C △ABD =AC +CE =AE =1 故△ABD 的周长为1.(2)设AD =x ，∴BD =3x.∵BD=CD，∴AC=AD+CD=4x在Rt△ABD中，AB=√BD2−AD2=√(3x)2−x2=2√2x∴tan∠ABC=ACAB =2√2x=√2.18.解析(1)在Rt△AOB中，cos α=OBAB∴OB=AB·cos α当α=50°时，OB=AB·cos α≈6×0.64=3.84当α=75°时，OB=AB·cos α≈6×0.26=1.56.∵1.56<2.5<3.84∴此时人能安全地使用这架梯子.(2)此时人不能安全地使用这架梯子.理由如下:当∠ABO=75°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin 75°≈6×0.97=5.82(米)∵梯子顶端A沿着墙面下滑1.5米到墙面上的D点∴OD=AO-AD=5.82-1.5=4.32(米).当∠ABO=50°时∵sin∠ABO=AOAB∴AO=AB·sin∠ABO≈6×0.77=4.62(米)∵4.32<4.62∴此时人不能安全地使用这架梯子.19.解析过A作AD⊥BC，交CB的延长线于点D，如图所示则∠ACD=45°，∠ABD=53°，在Rt△ACD中，tan∠ACD=ADCD∴CD=ADtan45°=AD1=AD在Rt△ABD中，tan∠ABD=ADBD ，∴BD=ADtan53°≈AD43=34AD由题意得AD-34AD=75，∴AD=300 m，∵此时地面气温为20 ℃，海拔每升高100米，气温会下降约0.6 ℃，∴此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为20-300100×0.6=18.2(℃).答:此时热气球(体积忽略不计)附近的温度约为18.2 ℃.20.解析延长BC交AF于E，延长AF交MN的延长线于D，如图则四边形BMNC、四边形BMDE是矩形∴BC=MN=21 m，DE=CN=BM=1.7 m∵∠AEC=90°，∠ACE=45°∴△ACE是等腰直角三角形∴CE=AE设AE=CE=x m∴BE=(21+x)m∵∠ABE=22°∴tan 22°=AE BE =x21+x≈0.40，解得x =14∴AE =14 m∴AD =AE +ED =14+1.7=15.7(m) ∴纪念碑的高度=15.7-1.2=14.5(m). 答:纪念碑的高度约为14.5 m . 21.解析 延长BC 交AD 于点E则DE =CM =BN =1.6 m ，BC =MN ，∠AEB =90° ∵AD =2.2 m∴AE =AD -DE =2.2-1.6=0.6(m) 在Rt △ACE 中，∠ACE =60° ∴CE =AE tan60°=√3≈0.35(m)在Rt △ABE 中，∠ABE =20° ∴BE =AE tan20°≈0.60.36≈1.67(m)∴MN =BC =BE -CE =1.67-0.35=1.32(m) ∴有效测温区间MN 的长度约为1.32 m .22.解析 (1)Rt △ABH 中，tan ∠BAH =√3=√33 ∴∠BAH =30°，∴BH =12AB =8米.(2)如图，过B 作BG ⊥DE 于G 由(1)得BH =8米，易得AH =8√3米∴BG=HE=AH+AE=(8√3+24)米，在Rt△BGC中，∠CBG=45°∴CG=BG=(8√3+24)米.在Rt△ADE中，∠DAE=60°，AE=24米，∴DE=√3AE=24√3米.∴CD=CG+GE-DE=8√3+24+8-24√3=32-16√3≈4.3(米).答:广告牌CD的高约为4.3米.23.解析(1)∵∠COG=90°，∠AON=90°∴∠POC+∠CON=∠GON+∠CON∴∠POC=∠GON.(2)由题意可得KH=OQ=5米，QH=OK=1.5米，∠PQO=90°，∠POQ=60°在Rt△PQO中，tan∠POQ=PQOQ∴tan 60°=PQ5∴PQ=5√3米∴PH=PQ+QH=5√3+1.5≈10.2(米)即树高PH约为10.2米.(3)由题意可得O1O2=m米，O1E=O2F=DH=1.5米，tan β=PDO2D ，tan α=PDO1D∴O2D=PDtanβ，O1D=PDtanα∵O1O2=O2D-O1D，∴m=PDtanβ-PD tanα∴PD=mtanα·tanβtanα−tanβ米，∴PH=PD+DH=(mtanα·tanβtanα−tanβ+1.5)米。

第23章 解直角三角形一、选择题(每小题4分，共40分) 1．在△ABC 中，∠C ＝90°，若sin A ＝22，则sin B 等于( ) A. 12B. 22C. 32D ．1 2．如图23－Z －1，在Rt △ABC 中，斜边AB 的长为m ，∠A ＝35°，则直角边AC 的长是( ) A ．m ·sin35° B ．m ·cos35° C. m sin35° D. mcos35°图23－Z －13．△ABC 在网格中的位置如图23－Z －2所示(每个小正方形的边长为1)，AD ⊥BC 于点D ，下列选项中，错误．．的是( ) A ．sin α＝cos α B ．tan ∠ACD ＝2 C ．sin β＝cos β D ．tan α＝1图23－Z －24．在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若a ＝3，b ＝4，c ＝5，则tan A 的值是( )A. 34B. 43C. 35D. 45 5．下列式子中不成立的是( ) A. 2cos45°＝2sin30°B ．sin30°×cos60°＝12sin 245°C ．cos45°－sin45°＝0D ．sin(30°＋30°)＝sin30°＋sin30°6．如图23－Z －3，已知45°＜∠A ＜90°，则下列各式中成立的是( ) A ．sin A ＝cos A B ．sin A ＞cos A C ．sin A ＞tan A D ．sin A ＜cos A图23－Z －37．在△ABC 中，∠ACB ＝90°，sin A ＝35，D 是AB 的中点，则 tan ∠BCD ＋ tan ∠ACD 等于( )A. 2512B.75C. 43D. 838．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为(0，3)，点B 在x 轴上，且sin ∠OAB ＝45，则点B 的坐标为( )A ．(4，0)B ．(－4，0)C ．(4，0)或(－4，0)D ．(5，0)或(－5，0)9．如图23－Z －4所示，小明从A 地沿北偏东30°方向走100 3m 到B 地，再从B 地向正南方向走200 m 到C 地，此时小明离A 地( )A ．60 mB ．80 mC ．100 mD ．120 m图23－Z －410．如图23－Z －5，在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，D 是AC 上一点，若tan ∠DBA ＝15，则AD 的长为( )A ．2 B. 3 C. 2 D ．1图23－Z －5二、填空题(每小题5分，共20分)11．如图23－Z －6，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，BC ＝15，tan A ＝158，则AB ＝________.图23－Z －612.如图23－Z －7，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝8，BC ＝6，CD ⊥AB ，垂足为D ，则 tan ∠BCD 的值是________．图23－Z －713．如图23－Z－8，在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，已知EC＝1, cos B＝513，则这个菱形的面积是________．图23－Z－814．如图23－Z－9，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC⊥AB，AD＝CD，tan∠DCA＝错误!，AC＝8，则AB的长度是________．图23－Z－9三、解答题(共40分)15．(8分)如图23－Z－10，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2 3，求AB的长．图23－Z－1016．(8分)如图23－Z－11是某小区的一个健身器材的示意图，已知BC＝0.15 m，AB＝2.70 m，∠BOD＝70°，求端点A到底面CD的距离．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin70°≈0.94，cos70°≈0.34，tan70°≈2.75)图23－Z－1117．(12分)如图23－Z－12，某小区①号楼与⑪号楼隔河相望．李明家住在①号楼，他很想知道⑪号楼的高度，于是他测量了一些数据．他先在B点测得C点的仰角为60°，然后到42米高的楼顶A处，测得C点的仰角为30°，请你帮助李明计算⑪号楼的高度CD.图23－Z－1218．(12分)如图23－Z －13，台风中心位于点O 处，并沿北偏东45°方向﹙OC 方向﹚以40千米/时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O 的正东方向，距离60 2千米的地方有一城市A .(1)A 市是否会受到此台风的影响？为什么？(2)在点O 的北偏东15°方向上，距离80千米的地方还有一城市B ，则B 市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受影响，请说明理由．图23－Z －131. B2．B [解析] cos A ＝AC AB ，即cos 35°＝ACm，∴AC ＝m·cos 35°.3．C [解析] 先构建直角三角形，再根据三角函数的定义，sin α＝cos α＝22 2＝22，tan ∠ACD ＝21＝2，sin β＝cos (90°－β)，故选C .4．A 5.D6．B [解析] 根据锐角的正弦值随角度的增大而增大，余弦值随角度的增大而减小判断．也可用特殊值检验．7．A [解析] 如图，由sin A ＝35，设BC ＝3k ，AB ＝5k.由勾股定理得AC ＝4k.根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得CD ＝AD ＝BD ，∴∠BCD ＝∠B，∠ACD ＝∠A，故tan ∠BCD ＋tan ∠ACD ＝43＋34＝2512.8．C [解析] ①如图，点B 在x 轴的正半轴上． ∵sin ∠OAB ＝45，∴设OB ＝4x ，AB ＝5x ，∴由勾股定理，得32＋(4x)2＝(5x)2，解得x ＝1，∴OB ＝4. 则点B 的坐标是(4，0)；②同理，当点B 在x 轴的负半轴上时，点B 的坐标是(－4，0)． 则点B 的坐标是(4，0)或(－4，0)． 9．C10．A [解析] 如图，过点D 作DE⊥AB，垂足为E.易证△ADE 为等腰直角三角形，AE ＝DE.在Rt △BDE 中，tan ∠DBA ＝DE BE ＝AE BE ＝15，所以BE ＝5AE.在等腰直角三角形ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，由勾股定理可求出AB ＝6 2，所以AE ＝ 2.在等腰直角三角形ADE 中，利用勾股定理可求出AD 的长为2.故选A .11．17 [解析] ∵tan A ＝BC AC ，即158＝15AC ，∴AC ＝8.根据勾股定理，得AB ＝AC 2＋BC 2＝82＋152＝17.12.34 [解析] 在Rt △ABC 与Rt △BCD 中，∵∠A ＋∠B＝90°，∠BCD ＋∠B＝90°，∴∠A ＝∠BCD.∴tan ∠BCD ＝tan A ＝BC AC ＝68＝34.故答案为34.13.3916 [解析] 设BE ＝5x ，由cos B ＝513，得AB ＝13x ，AE ＝12x ，则13x ＝5x ＋1，解得x ＝18.所以菱形的面积＝BC·AE＝13x·12x＝3916. 14．6 [解析] 由题意，得∠DCA＝∠DAC＝∠ACB.在Rt △ABC 中求解．15．解：如图，过点C 作CD⊥AB 于点D ，则∠ADC＝∠BDC＝90°. ∵∠B ＝45°，∴∠BCD ＝∠B＝45°，∴CD ＝BD. ∵∠A ＝30°，AC ＝2 3， ∴CD ＝3，∴BD ＝CD ＝ 3. 由勾股定理得AD ＝AC 2－CD 2＝3， ∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋ 3.16．解：如图，过点A 作AE⊥直线CD 于点E ，过点B 作BF⊥AE 于点F. ∵OD ⊥CD ，∠BOD ＝70°，∴AE ∥OD ， ∴∠A ＝∠BOD＝70°.在Rt △ABF 中，∵AB ＝2.7，∴AF ＝2.7×cos 70°≈2.7×0.34＝0.918(m )，∴AE ＝AF ＋BC≈0.918＋0.15＝1.068≈1.1(m )．答：端点A 到底面CD 的距离约是1.1 m .17．解：如图，过点A 作AE⊥CD 于点E. 在Rt △BCD 中，∵tan ∠CBD ＝CDBD ，∴CD ＝BD·tan 60°＝3BD. 在Rt △ACE 中，∵tan ∠CAE ＝CEAE ，∴CE ＝AE·tan 30°＝BD·tan 30°＝33BD. ∵CD －CE ＝AB ， 即3BD －33BD ＝42， ∴BD ＝21 3. ∴CD ＝3BD ＝63(米)． 答：⑪号楼的高度CD 为63米．18．解：(1)不会．理由：如图，过点A 作AE⊥OC 于点E.在Rt △AOE 中，sin 45°＝AEOA ，∴AE ＝60 2×22＝60(千米)． ∵60千米＞50千米，∴A 市不会受到此台风的影响．(2)会．如图，过点B 作BF⊥OC 于点F.精品 Word 可修改 欢迎下载 在Rt △BOF 中，∵∠BOF ＝45°－15°＝30°，sin 30°＝BF OB，∴BF ＝80×12＝40(千米)． ∵40千米＜50千米，∴B 市会受到台风的影响．如图，以B 为圆心，50千米为半径作圆交OC 于点G ，H.在Rt △BGF 中，∵BF ＝40千米， ∴GF ＝502－402＝30(千米)．同理，FH ＝30千米．∴GH ＝60千米，60÷40＝1.5(时)，∴B 市受到台风影响的时间为1.5小时．。

沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为a，AC=7米，则树高BC为（）A.7sina米B.7cosa米C.7tana米D. 米2、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF＝（）A. B. C. D.3、我国的“蛟龙号”创造了世界同类潜水器最大下潜深度纪录7062米．如图，在某次任务中，“蛟龙号”在点A处测得正前方海底沉船C的俯角为45°，然后在同一深度向正前方直线航行600米到点B，此时测得海底沉船C的俯角为60°，那么“蛟龙号”在点B下潜到沉船C处，下潜的垂直深度是（）米．A.600﹣600B.600+600C.900﹣300D.900+3004、如图,木工师傅在板材边角处作直角时,往往使用“三弧法”,其作法是：①作线段,分别以为圆心,以长为半径作弧,两弧的交点为；②以为圆心,仍以长为半径作弧交的延长线于点；③连接下列说法不正确的是( )A. B. C.点是的外心 D.5、轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A.25B.25C.50D.256、sin60°等于（）A. B. C. D.17、如图，在△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则sinB的值为（）A. B. C. D.8、如图，⊙M过点O（0，0），A（﹣，0），B（0，1），点C是x轴上方弧AB上的一点，连接BC，CO，则∠BCO的度数是（）A.15°B.30°C.45°D.60°9、如图所示，△ABC的顶点是正方形网格的格点，则sinA的值为 .A. B. C. D.110、如图，△ABC的三个顶点在正方形网格的格点上，则tan∠A的值是（）A. B. C. D.11、已知为锐角，且，则等于（）A.50°B.60°C.70°D.80°12、小明沿着坡度为1：2的山坡向上走了10m，则他升高了（）A.5mB.2 mC.5 mD.10m13、如图，若△ABC和△DEF的面积分别为S1， S2，则（）A.S1= S2B.S1= S2C.S1= S2D.S1=S214、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3．下列选项中，正确的是（）A.sinA=B.cosA=C.tanA=D.cotA=15、在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB的值等于（）A. B. C. D.1二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，是等边三角形，中线，交于点，，则的长为________.17、如图，边长为1的小正方形网格中，⊙O的圆心在格点上，则∠AED的余弦值是________．18、如图，半径为2的⊙O与含有30°角的直角三角板ABC的AC边切于点A，将直角三角板沿CA边所在的直线向左平移，当平移到AB与⊙O相切时，该直角三角板平移的距离为________.19、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°．小华用剪刀沿DE剪去∠A，得到一个四边形．则∠1+∠2=________度．20、 tan30°﹣＝________.21、在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝，tanB＝，AB＝10，则△ABC的面积为________．22、菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，∠AOC＝45°，OC＝，则点B的坐标为________．23、如图，取两根等宽的纸条折叠穿插，拉紧，可得边长为2的正六边形．则原来的纸带宽为________。

第23章《解直角三角形》章节测试卷一．选择题（共9小题，满分27分，每小题3分）1．在△ABC 中，∠A 、∠B 都是锐角，且sinA =32，cosB =12，则△ABC 是（ ）.A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．钝角三角形2．直角三角形纸片ABC ，两直角边BC =4，AC =8，现将△ABC 纸片按如图那样折叠，使A 与电B 重合，折痕为DE ，则tan ∠CBE 的值是（ ）A ．12B ．34C ．1D ．433．如图，△ABC 的顶点分别在单位长度为1的正方形网格的格点上，则sin ∠BAC 的值为（ ）A ．5B ．55C ．12D ．2534．如图，在△ABC 中，∠C =90°，点D 、E 分别在BC 、AC 上，AD 、BE 交于F ，若BD=CD =CE ，AF =DF ，则tan ∠ABC 的值为( )A ．12B ．23C ．34D ．455．一块直角三角板ABC 按如图放置，顶点A 的坐标为(0,1)，直角顶点C 的坐标为(−3,0)，∠B =30°，则点B 的坐标为（ ）A. (−3−33,33)B ．(−3+3,3)C ．(−3+33,33)D ．(−3−3,33)6．在Rt △ABC 中，∠A =90°，有一个锐角为60°，BC =6，若点P 在直线AC 上（不与点A 、C 重合），且∠ABP =30°，则CP 的长为（ ）A ．6或23B ．6或43C ．23或43D ．6或23或437．如图，延长等腰Rt ΔABC 斜边AB 到D ，使BD =2AB ，连接CD ，则tan ∠BCD 的值为（ ）A ．23B ．1C ．13D ．128．如图，在△ABC 中，∠ACB =90∘，分别以AB ，AC ，BC 为边向外作正方形，连结CD ，若sin∠BCD=35，则tan ∠CDB 的值为（ ）A ．23B ．34C ．710D ．9139．如图1是由四个全等的直角三角形组成的“风车”图案，其中∠AOB =90°，延长直角三角形的斜边恰好交于另一直角三角形的斜边中点，得到如图2，若IJ =2，则该“风车”的面积为（ ）A ．2+1B ．22C ．4−2D ．42二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）10．如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D ，E 分别在AC ，BC 边上，且AD =3，BE =4，连接AE ，BD ，交于点F ，BD=10，cos ∠AFD=32，则AE 的长为 ．11．如图，在菱形ABCD 中，tan ∠ABC =43，AE ⊥BC 于点E ，AE 的延长线与DC 的延长线交于点F ，则S △ECF :S 四边形ADCE = ．（S 表示面积）12．如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4，E是对角线BD上一动点（点E不与点B，D重合），当△ABE是等腰三角形时，DE=．13．如图，已知点P是菱形ABCD的对角线AC延长线上一点，过点P分别作AD，DC延长线的垂线，垂足分别为点E，F．若∠ABC=120°，AB=6，则PE−PF的值为．14．如图，在正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，P是线段MN上的一点，BP的延长线交4D 于点E，连接PD，PC，将△DEP绕点P顺时针旋转90°得△GFP，则下列结论：①CP=GP，②tan∠CGF=1；③BC垂直平分FG；④若AB=4，点E在AD边上运动，则D，F两点之间距离的2．其中结论正确的序号有．最小值是3215．如图，△A B1A1，△A1B2A2，△A2B3A3，…是等边三角形，直线y=33x+2经过它们的顶点A，A1，A2，A3，…，点B1，B2，B3，…在x轴上，则线段B2022B2023的长度是．16．如图，E、F、G、H分别是矩形的边AB、BC、CD、AD上的点，AH=CF，AE=CG，∠EHF=60°，∠GHF=45°，若AH=2，AD=5+3，则四边形EFGH的周长为．三．解答题（共7小题，满分52分）17．（6分）计算：(1)2sin60°−tan45°2−tan30°⋅tan60°−2cos30°+6sin245°． (2)(π−1)0+4sin45°−8+|−3|．18．（6分）如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，若AD=6，BC=12，tan∠ACD=32．求：(1)CD的长；(2)sin∠ABC的值．19．（8分）（2023春·河南南阳·九年级统考期中）如图，已知点A（7，8）、C（0，6），AB⊥x轴，垂足为点B，点D在线段OB上，DE∥AC，交AB于点E，EF∥CD，交AC于点F．（1）求经过A、C两点的直线的表达式；（2）设OD＝t，BE＝s，求s与t的函数关系式；（3）是否存在点D，使四边形CDEF为矩形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．20．（8分）（1）在如图1的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C，D均为格点（小正方形的顶点)．求证：∠ABC=∠D．（2）在如图2所示的正方形网格图中，每个小正方形的边长为1，A，B，C均为格点，请你仅用无刻度的直尺在线段AC上求作一点P，使得∠PBA=∠C，并简要说明理由．21．（9分）如图，小明为测量宣传牌AB的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为60°．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为30°（A、B、D、E在同一直线上．）然后，小明沿坡度为i=1:2.5的斜坡从C走到F处，此时DF正好与地面CE平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为45°．(1)填空：∠DAF=__________度，∠BDC=__________度；(2)求F距离地面CE的高度（结果保留根号）；(3)求宣传牌AB的高度（结果保留根号）．22．（9分）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对（sad），如图①，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时sadA=底边腰=BCAB．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：(1)sad90°=________．(2)对于0°<A<180°，∠A的正对值sadA的取值范围是________．(3)如图②，已知sinA=35，其中∠A为锐角，试求sadA的值．23．（9分）已知：△ABC 中，AB =AC ，D 为直线BC 上一点．(1)如图1，BH ⊥AD 于点H ，若AD =BD ，求证：BC =2AH ．(2)如图2，∠BAC =120°，点D 在CB 延长线上，点E 在BC 上且∠DAE=120°，若AB =6，DB=23，求CE 的值．(3)如图3，D 在CB 延长线上，E 为AB 上一点，且满足：∠BAD=∠BCE ，AE BE=23，若tan ∠ABC =34，BD =5，求BC 的长．答案解析一.选择题1．B【分析】根据特殊角的三角函数值求出∠A=60°，∠B=60°，然后利用三角形内角和定理求出∠C的度数，即可解答．【详解】解：∵sinA=32，cosB=12，∴∠A=60°，∠B=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴△ABC是等边三角形，故选：B．2．B【分析】根据折叠的性质得出BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理得出B C2+C E2=B E2，列出方程求出x的值，最后根据正切的定义，即可解答．【详解】解：∵△ADE沿DE折叠得到△BDE，∴BE=AE，设CE=x，则BE=AE=8−x，在Rt△BCE中，根据勾股定理可得：B C2+C E2=B E2，即42+x2=(8−x)2，解得：x=3，∴tan∠CBE=CEBC =34，故选：B．3．B【分析】过B作BD⊥AC于点D，根据勾股定理得出AB,AC的值，再利用面积公式求出BD的值，由sin∠BAC=BDBA可得角的正弦值．【详解】解：如图，过B作BD⊥AC于点D根据勾股定理得：AB =32+42=5，AC =32+62=35∴S ΔABC =12AC ⋅BD =4×6−12×3×1−12×3×4−12×6×3=152, ∴BD =5∴sin ∠CAB=BD AB =55故选：B ．4．C 【分析】如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，证明△AGF ≌△DBF (AAS )，则AG =BD =12BC ，证明△AEG ∽△CEB ，则AE CE =AG BC =12，解得AE =12CE ，AC =32CE ，根据tan ∠ABC =ACBC，计算求解即可．【详解】解：如图，过A 作AG ∥BC ，交BE 的延长线于G ，∴∠G =∠DBF ，在△AGF 和△DBF 中，∵{∠G =∠DBF∠AFG =∠DFB AF =DF，∴△AGF ≌△DBF (AAS )，∴AG =BD =12BC ，∵∠G =∠CBE ，∠AEG =∠CEB ，∴△AEG ∽△CEB ，∴AE CE =AG BC=12，解得AE =12CE ，∴AC =32CE ，∴tan ∠ABC=AC BC =32CE 2CE =34，故选：C ．5．D【分析】过点B 作BE ⊥OC 于点E ，根据ΔABC 为直角三角形可证明ΔBCE ∽ΔCAO ，求出AC =10，求出BC ，再由比例线段可求出BE ，CE 长，则答案可求出．【详解】解：过点B 作BE ⊥OC 于点E ，∵△ABC 为直角三角形，∴∠BCE +∠ACO =90°，∴ΔBCE ∽ΔCAO ，∴ BE OC =BC AC =EC OA ，在Rt △ACO 中，AC =A O 2+C O 2=12+32=10，在Rt △ABC 中，∠CBA=30°，∴ tan ∠CBA=CA BC ，∴ BC =CA tan ∠CBA =10tan30°=30，∴ BE3=3010=EC1，解得BE =33，EC =3，∴ EO =EC +CO =3+3，∴点B 的坐标为(−3−3，33)．故选：D ．6．D【分析】根据点P在直线AC上的不同位置，∠ABP=30°，利用特殊角的三角函数进行求解．【详解】如图1：当∠C=60°时，∠ABC=30°，与∠ABP=30°矛盾；如图2：当∠C=60°时，∠ABC=30°，∵∠ABP=30°，∴∠CBP=60°，∴△PBC是等边三角形，∴CP=BC=6；如图3：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°−30°=30°，∴PC=PB，∵BC=6，∴AB=3，∴PC=PB=3cos30°=332=23如图4：当∠ABC=60°时，∠C=30°，∵∠ABP=30°，∴∠PBC=60°+30°=90°，∴PC=BCcos30°=632=43故选：D7．A【分析】过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，设AC=BC=a，根据勾股定理得AB=2a，由等腰直角三角形的性质得∠ABC=∠BAC=45°，从而得BD=2AB=22a，在Rt△BDE中，解直角三角形得DE=2a，BE=2a，进而求得CE=BC+BE=3a即可求得tan∠BCD．【详解】解：过点D作DE垂直于CB的延长线于点E，如下图，设AC=BC=a，∵AC⊥BC，AC=BC=a，∴AB=A C2+B C2=2a，∠ABC+∠BAC=90°，∠ABC=∠BAC，∴∠ABC=∠BAC=45°，BD=2AB=22a，∴∠DBE=∠ABC=45°，∵DE⊥CE，∴DE=BD·sin∠DBE=22a·sin45°=2a，BE=BD·cos∠DBE=22a·cos45°=2a，∴CE=BC+BE=3a，∴tan∠BCD=DECE =2a3a=23，故选：A．8．D【分析】过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，可得△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，根据sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5 a，得CE＝B C2−B E2＝4 a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，设AC＝x，AB＝y，然后利用勾股定理和三角形的面积可得y2−9＝133，进而利用锐角三角函数即可解决问题．【详解】解：如图，过点B作BE⊥CD于点E，过点C作CF⊥AB于点F，∴△ABC，△BED，△BEC，△BCF都是直角三角形，∵sin∠BCD＝35，∴sin∠BCE＝BEBC =35，设BE＝3a，BC＝5a，∴CE＝B C2−B E2＝4a，过点C作DB延长线于点G，得矩形CFBG，∴BF＝CG，设AC＝x，AB＝y，在Rt△ABC中，根据勾股定理，得AB2﹣AC2＝BC2，∴y2﹣x2＝25a2，∵S△ABC＝12×AB•CF＝12×AC•BC，∴y•CF＝5ax，∴CF＝5axy，在Rt△BCF中，根据勾股定理，得BF＝B C2−C F2＝25a2−(5axy )2＝25ya，∴BF＝CG＝25ya，在正方形ABDH中，AB＝BD＝y，在Rt△BDE中，根据勾股定理，得DE＝B D2−B E2＝y2−9a2，∴CD＝CE+ED＝4a +y2−9a2，∵S△CBD＝12×CD•BE＝12×BD•CG，∴CD•BE＝BD•CG，∴(4a +y2−9a2)×3＝y×25ya，∴y2−9a2＝133a，∴tan∠CDB＝tan∠EDB＝BEDE ＝3ay2−9a2＝913．故选：D．9．B【分析】连接AC,由题意可得Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH，进而说明△OAC为等腰直角三角形，再说明分CD、GI垂直平分AB，进而说明∠OBH=∠OHB=45°，然后再运用解直角三角形求得AI，然后再求得三角形AOB的面积，最后求风车面积即可．【详解】解：如图：连接AC由题意可得：Rt△AOB≌Rt△DCO≌Rt△EOF≌Rt△GOH∴OA=OC, ∠OAB= ∠OCD∵∠AOC=∠AOB=90°∴△OAC为等腰直角三角形又∵∠OAB= ∠OCD：∴∠AJD=180°-∠ADJ-∠OAB=180°-∠ODC-∠OCD=90°，即AJ⊥CD又∵CJ=DJ∴AJ垂直平分CD同理：GI垂直平分AB∴AC=AD,AJ是等腰三角形顶角∠CAD的角平分线即∠DAJ=12∠CAD=12×45°=22.5°易得IH=BJ,IJ=IB+BJ=IB+IH 又∵IB=IA∴IJ=IB+BJ=IH+IA= 2在Rt△ABO中，∠ABH=∠BAH=22.5°∴∠OBH=OHB=45°设OB=OH=a，即AH=BH=2OB=2a∴tan∠A=BOAO =aa+2a=2−1∴IHIA=tan∠A=2−1设IH=（2−1）x，AI=x ∴IH+IA=2x=2，即x=1∴S△ABH =12×AB×IH=2−1又∵SΔBOHSΔABH =OHAH=12∴S△BOH =1−22∴S△AOB =S△ABH+S△BOH=2−1+1−22=22∴S风车=4S△AOB=4×22=22．故选B．二．填空题10．53【分析】过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，勾股定理求得DG，过点D作DH⊥BG，证明G,H重合，进而勾股定理即可求解．【详解】解：如图所示，过点A作AG∥BE，BG∥AE交于点G，连接DG，则四边形AGBE是平行四边形，∴AG=BE=4，∵∠C=90°，则BC⊥AC∴AG⊥AC∴△ADG是直角三角形，∴DG=5∵cos∠AFD=32∴∠AFD=30°∵AE∥BG∴∠DBG=30°∵DG=5,DB=10过点D作DH⊥BG，∵sin∠DBG=12∴DH=12DB=5,∴G,H重合，∴AE=BG=BH=53故答案为：53．11．4:21【分析】设AE=4k，则BE=3k，根据勾股定理求出AB=5k，然后证明△CEF∽△DAF，最后根据相似三角形的性质求解即可．【详解】解∶∵tan∠ABC=43，AE⊥BC，∴tan∠ABC=43=AEBE，设AE=4k，则BE=3k，∴AB =A E 2+B E 2=5k ，∵四边形ABCD 是菱形，∴CB ∥AD ，AD =BC =AB =5k ，∴CE =BC −BE =2k ，∵CB ∥AD ，∴△CEF ∽△DAF ，∴S △CEF S△DAF =(CE DA )2=(2k 5k )2=425，∴S △CEFS 四边形ADCE =S △CEF S △DAF −S △CEF =425−4=421．故答案为：4:21．12．2或52或75【分析】分AB =AE,BE =BA,EA =EB 三种情况，分别画出图形，即可求解．【详解】解：在矩形ABCD 中，AB =3,AD =4，∴∠BAD=90°，∴BD =A B 2+A D 2=32+42=5，当AB =AE 时，过点A 作AF ⊥AD 于点F ，则AF ⊥BD ，∴cos ∠ABD=AB BD =BF AB ，∴BF =AB 2BD =95∴DE =BD −BE =BD −2BF =5−185=75，当BA =BE 时，DE =BD −BE =5−3=2，当EA =EB 时，过点E 作EG ⊥AB 于点G ，∴EG ∥AD ，AG =GB ，∴BE ED=BG AG =1，∴DE =12BD=52，综上所述DE = 2或52或75，故答案为：2或52或75．13．33【分析】如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP 为∠BCD ，∠FCM 的平分线，则PF =PM ，PE −PF =PE −PM =EM ，由题意知，EM 为△ABD 底边AD 上的高，由菱形ABCD ，∠ABC=120°，AB =6，可得∠BAD=60°，根据EM=AB ⋅sin ∠BAD ，计算求解，进而可得结果．【详解】解：如图，延长BC 交EP 于M ，由菱形的性质可知，CP为∠BCD，∠FCM的平分线，∵PF⊥CF，PM⊥CM，∴PF=PM，∴PE−PF=PE−PM=EM，由题意知，EM为△ABD底边AD上的高，∵菱形ABCD，∠ABC=120°，AB=6，∴∠BAD=60°，∴EM=AB⋅sin∠BAD=33，∴PE−PF=33，故答案为：33．14．①②③【分析】延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，由已知可得MN为AB，CD的垂直平分线，由垂直平分线的性质和图形旋转的性质可得①的结论正确；利用三角形的内角和定理和等腰三角形的性质计算可得∠BCG=45°，由四边形内角和定理通过计算可得∠EHF=90°；利用平行线的性质可得BC⊥FG，则∠CGF=45°，可说明②的结论正确；通过证明点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上，利用圆周角定理可得∠FAB=45°，得到A，F，C三点共线，得到△CGF为等腰直角三角形，则③的结论正确；由题意点F在对角线AC上运动，当EF⊥AC时，EF的值最小，连接AC，解直角三角形的知识可得④的结论不正确．【详解】解：延长GF交AD于点H，连接FC，FB，FA，如图，∵正方形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，∴MN是线段BA，CD的垂直平分线．∴PD=PC，PA=PB．∵△FPG是△PED绕点P顺时针旋转90°得到，∴△FPG≌△PED，∴PD=PG．∴PC=PG．∴①的结论正确；∵PD=PC，∴∠PDC=∠PCD=1(180°−∠DPC)．2∵PC=PG，∴∠PCG=∠PGC=1(180°−∠CPG)．2∴∠PCD+∠PCG=1[360°−(∠DPC+∠CPG)]．2∵∠DPC+∠CPG=90°，∴∠PCD+∠PCG=135°．∵∠BCD=90°，∴∠BCG=45°．∵△FPG≌△PED，∴∠DEP=∠GFP．∵∠HFP+∠PFG=180°，∴∠DEP+∠HFP=180°．∵∠DEP+∠HFP+∠EHF+∠EPF=360°，∴∠EHF+∠EPF=180°．∴∠EPF=90°，∴∠EHF=90°．即GH⊥AD．∵AD//BC，∴GF⊥BC．∴∠CGF=45°．∴tan∠CGF=1．∴②的结论正确；∵PA=PB，PM⊥AB，∴∠APM=∠BPM，∵PM//AE，∴∠PEA=∠BPM，∠PAE=APM．∴∠PEA=∠PAE．∴PA=PE．∵PE=PF，∴PA=PB=PE=PF．∴点A，B，E，F在以点P为圆心，PA为半径的同一个圆上．∴∠FAB=12∠FPB=12×90°=45°．∴点F在对角线AC上，∴∠FCB=45°．∵∠BCG=∠CGF=45°，∴△FCG为等腰直角三角形．∵BC平分∠FCG，∴BC垂直平分FG．∴③的结论正确；由以上可知：点F在正方形的对角线AC上运动，∴当EF⊥AC时，EF的值最小．此时点E与点D重合，∴DF=AD⋅sin45°=4×22=22．∴④的结论不正确．综上，结论正确的序号有：①②③，故答案为：①②③．15．220233【分析】设直线y=33x+2与x轴交于点C，求出点A、C的坐标，可得OA=2,OC=23，推出∠C B1A1=90°，∠C B1A=30°，然后求出C B1=2O B1=43=22×3，C B2=2C B1=83=23×3，C B3=2C B2=163=24×3，…，进而可得C B2022=22023×3，C B2023=22024×3，再求出B2022B2023即可．【详解】解：如图所示，设直线y =33x +2与x 轴交于点C ，当x =0时，y =2；当y =0时，x =−23，∴ A (0,2)，C (−23,0)，∴ OA=2，OC =23，∴ tan ∠ACO =OA OC=223=33，∴ ∠ACO=30°，∵ △A B 1A 1是等边三角形，∴ ∠A A 1B 1=∠A B 1A 1=60°，∴ ∠C B 1A 1=90°，∠C B 1A =30°，∴ AC =A B 1，∵ AO⊥C B 1，∴ O B 1=OC =23，∴ C B 1=2O B 1=43=22×3，同理，C B 2=2C B 1=83=23×3，C B 3=2C B 2=163=24×3，……，∴ C B 2022=22023×3，C B 2023=22024×3，∴ B 2022B 2023=22024×3−22023×3=220233，故答案为：220233．16．8+46【分析】先构造15° 的直角三角形，求得15° 的余弦和正切值；作EK ⊥FH ，可求得EH:EF =2:6；作∠ARH=∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，构造“一线三等角”，先求得FT 的长，进而根据相似三角形求得ER ，进而求得AE ，于是得出∠AEH =30°，进一步求得结果．【详解】解：如图1，Rt △PMN 中，∠P =15°，NQ =PQ ，∠MQN =30°，设MN=1，则PQ =NQ =2，MQ=3，PN =6+2，∴cos15°=6+24，tan15°=2−3，如图2，作EK ⊥FH 于K ，作∠AHR =∠BFT =15°，分别交直线AB 于R 和T ，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C ，在△AEH 与△CGF 中，{AE =CG ∠A =∠C AH =CF，∴△AEH ≌△CGF(SAS)，∴EH =GF ，同理证得△EBF ≌△GDH ，则EF =GH ，∴四边形EFGH 是平行四边形，设HK=a ，则EH=2a ，EK =3a ，∴EF =2EK =6a ，∵∠EAH =∠EBF =90°，∴∠R=∠T =75°，∴∠R=∠T=∠HEF=75°，可得：FT=BFcos15°=3+36+24=26，AR=AH⋅tan15°=4−23，△FTE∽△ERH，∴FTER =EFEH，∴26ER =62，∴ER=4，∴AE=ER−AR=23，∴tan∠AEH=223=33，∴∠AEH=30°，∴HG=2AH=4，∵∠BEF=180°−∠AEH−∠HEF=75°，∴∠BEF=∠T，∴EF=FT=26，∴EH+EF=4+26=2(2+6)，∴2(EH+EF)=4(2+6)，∴四边形EFGH的周长为：8+46，故答案为：8+46．三．解答题17．（1）原式=2×32−12−33×3−2×32+6×(22)2=3−12−1−3+6×12=3−1−3+3=2．（2）原式=1+4×22−22+3 =1+22−22+3=4．18．（1）解：∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°，在Rt△ADC中，tan∠ACD=ADCD =32，AD=6，∴CD=4；（2）解：由（2）得CD=4，∴BD=BC−CD=8，∴AB=A D2+B D2=10，在Rt△ABD中，sin∠ABD=ADAB =35，即sin∠ABC=35．19．解：（1）设直线AC的表达式为y＝kx+b 将点A、C的坐标代入，得得：{7k+b=8b=6，解得：{k=27b=6，故直线AC的表达式为：y＝27x+6；（2）∵OD＝t，BE＝s，AB⊥x轴∴则点D（t，0），点E（7，s）∵DE∥AC可设直线DE的解析式为y＝27x+c将点D的坐标代入0＝27t+c解得：c=﹣27t∴直线的表达式为：y＝27x﹣27t，将点E的坐标代入，得s＝2﹣27t（根据点D在线段OB上，可得0＜t＜7）；（3）存在，理由：设点D（t，0），由（2）BE＝2﹣27t，四边形CDEF为矩形，则∠CDE＝90°，∵∠EDB +∠CDO ＝90°，∠CDO +∠OCD ＝90°，∴∠OCD ＝∠BDE ，∴tan ∠OCD ＝tan ∠BDE ，∴ODOC ＝BE BD即t 6＝2−27t 7−t，解得：t ＝127或7（因为0＜t ＜7，故舍去7），故点D 的坐标为（127，0）．20．（1）如图所示，取格点E ，F ，连接BF,AF ，AE,CE ，∵BF =12+12=2，DF =32+32=32，∴tan ∠D =BF DF=232=13，∵CE =1，BE =3，∴tan ∠ABC=CE BE=13，∴tan ∠D =tan ∠ABC ，∴∠ABC=∠D ；（2）解：如图，取格点D ，E ，同理（1）可得，在Rt△AEC中，tan∠ACE=1，2，在Rt△ABD中，tan∠ABD=12∴tan∠ACE=tan∠ABD，∴∠ACE=∠ABD，直线BD与AC的交点为所求的点P．21．（1）解：由题意，得AD⊥DF，∴∠ADF=90°∴∠DAF=90°−∠AFD=90°−45°=45°，由题意，得FD∥CE，∴∠CDF=∠ECD=30°∴∠BDC=∠ADF+∠CDF=90°+30°=120°．（2）解：如图，过点F作FG⊥EC于G，由题意得，FG∥DE,DF∥GE,∠FGE=90°，∴四边形DEGF是矩形．∴FG=DE．在Rt △CDE 中，DE =CE ⋅tan ∠DCE=6×tan30°=23（米），∴FG =23（米）．答：F 距离地面CE 的高度为23米；（3）解：∵斜坡CF 的坡度为i =1:2.5，∴Rt △CFG 中，CG = 2.5FG =23× 2.5=53（米），∴FD =EG =(53+6)（米）．∴在Rt △AFD 中，∠AFD=45°，∴AD =FD =(53+6)米．在Rt △BCE 中，BE =CE ⋅tan ∠BCE =6×tan60°=63（米），∴AB =AD +DE −BE =53+6+23−63=(6+3)（米）．答：宣传牌AB 的高度约为(6+3)米．22．（1）解：如图，∠BAC=90°,AB =AC ,sad90°=BC AB ,∵cos45°=AB BC=22,∴sad90°=BCAB = 2.（2）解：如图，点A 在BC 的中垂线上，当点A 向BC 靠近时，∠A 增大，逐渐接近180°，腰长AB 接近12BC ，AB >12BC 相应的sadA =BC AB <2；当点A 远离BC 时，∠A 减小，逐渐接近0°，腰长AB 逐渐增大，相应的sadA =BCAB 逐渐接近0，sad A =BCAB >0；∴0<sadA <2（3）解：如图，在AB 上截取AH=AC ，过H 作HD ⊥AC 于D ，sinA =35=DH AH ，设HD =3x,AH =AC =5x ，则，AD =A H 2−H D 2=4x ,∴DC =AC −AD =5x −4x =x ．Rt △HDC 中，HC =C D 2+H D 2=10x ，∴sadA =CH AH =10x 5x =105．23．（1）解：证明：如图1，过点A 作AN ⊥BC 于N ，∵AB =AC ，∴BN =12BC ，∵AD =BD ，∴∠ABD =∠BAD ，在△ABN 和△BAH 中，{∠ANB=∠BHA=90°∠ABD=∠DABAB=BA，∴△ABN≌△BAH(AAS)，∴BN=AH，∴12BC=AH，∴BC=2AH；（2）如图2，在AC上取一点F，使EF=EC，连接EF，∵∠BAC=∠DAE=120°，∴∠DAB=∠EAC，∵AB=AC，∴∠ABE=∠C=∠CFE=30°，∴∠ABD=∠AFE=150°，∴△ABD∽△AFE，∴ABAF =BDEF，即6AF=23EF，∴AFEF=3，设EF=a，则AF=3a，∵EF=CE=a，∠C=30°，∴CF=2EF·cos30°=3a，∴6−3a=3a，∴a=3，∴CE=EF=3；（3）如图3，过点A作AP⊥BC于P，作AG∥CE交BC的延长线于G，设AE=2m，BE=3m，则AB=AC=5m，∵tan∠ABC=34=AP BP ，∴ BP AB =45，∴BP =CP =4m ，BC =8m ，∵∠BAD =∠BCE =∠G ，∠ABD =∠GCA ，∴△ABD ∽△GCA ，∴ CG AB =AC BD ，即CG 5m =5m 5，∴CG =5m 2，∵AG ∥CE ，∴ BE AE =BC CG ，∴ 3m 2m =8m5m 2，∴m =1615，∴BC =8m =12815．。

解直角三角形专题训练1．如图，矩形ABCD 是供一辆机动车停放的车位示意图．请你参考图中数据，计算车位所占街道的宽度EF ．（参考数据：64.040sin ≈︒，77.040cos ≈︒，84.040tan ≈︒，结果精确到0.1m ．）在Rt△CDF 中，CD ＝5.4，∠DCF ＝40o，∴DF ＝CD ·sin40o≈5.4×0.64≈3.46． 在Rt△ADE 中，AD ＝2.2，∠ADE ＝∠DCF ＝40o，∴DE ＝AD ·cos40o≈2.2×0.77≈1.69． ∴EF ＝DF ＋DE ≈5.15≈5.2（m ）． 即车位所占街道的宽度为5.2m ．2．小刚有一块含有30°角的直角三角板，他想测量其短直角边的长度，而手中另外只有一个量角器，于是他采用了如下的办法，并获得了相关数据：第一步，他先用三角板标有刻度的一边测出量角器的直径AB 的长度为9cm ；第二步，将三角板与量角器按如图所示的方式摆放，并量得∠BOC 为80°(O 为AB 的中点)． 请你根据小刚测得的数据，求出三角板的短直角边AC 的长．(参考数据：sin80°＝0.98，cos80°＝0.17，tan80°＝5.67；sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84，结果精确到0.1cm ．)3．如图，点A 、B 为地球仪的南、北极点，直线AB 与放置地球仪的平面交于点D ，所成的角度约为67°，半径OC 所在的直线与放置平面垂直，垂足为点E .DE =15cm,ADOA 的长. (精确到0.1cm)【参考A BCO数据：sin67°≈0.92,cos67°≈0.39,tan67°≈2.36】解：在Rt △ODE 中，DE =15，∠ODE =67°.∵cos∠ODE =.∴OD ≈≈38.46(cm) (4分)∴OA =OD -AD ≈38.46-14≈24.5(cm). 答：半径OA 的长约为24.5cm.4．如图，两条笔直的公路AB 、CD 相交于点O ，∠AOC 为36°.指挥中心M 设在OA 路段上，与O 地的距离为18千米.一次行动中，王警官带队从O 地出发，沿OC 方向行进.王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话.通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话.【参考数据：sin36°=0.59，cos36°=0.81，tan36°=0.73.】解：过点M 作MH⊥OC 于点H.在Rt△MOH 中，sin∠MOH=OMMH.（3分） ∵OM=18，∠MOH=36°，∴MH=18×sin36°=18×0.59=10.62>10.即王警官在行进过程中不能实现与指挥中心用对讲机通话.（6分）5．如图，望远镜调节好后，摆放在水平地面上．观测者用望远镜观测物体时，眼睛（在A 点）距离地面的距离AD =91cm ，沿AB 方向观测物体的仰角α=33°，望远镜前端（B 点）与眼睛（A 点）之间的距离AB=153cm ，求点B 到水平地面的距离BC 的长．（精确到0.1cm ） 【参考数据：sin33°=0.54,cos33°=0.84,tan33°=0.65】解：过点A 作AE ⊥BC 于点E ．在Rt △ABE 中，ABBE=αsin ．∵AB=153，α=33°，∴62.8254.015333sin =⨯=⋅= AB BE ．BC= BE+EC =BE +AD=+91=173.62≈173.6(cm)．答：求点B 到水平地面的距离BC 的长㎝．6．平放在地面上的直角三角形铁板ABC 的一部分被沙堆掩埋，其示意图如图所示．量得角A 为54°，斜边AB 的长为2.1m ，BC 边上露出部分BD 长为0.9m ．求铁板BC 边被掩埋部分CD 的长．（结果精确到0.1m ）【参考数据：sin54°=0.81，cos54°=0.59，tan54°=1.38】 解：在△ABC 中，∠C =90，sin BCA AB=， ∵∠A =54，AB =2.1， ∴sin 2.1sin54BC AB A ==⨯2.10.81 1.701.=⨯=∵BD =0.9，∴CD= BC －BD=≈0.8．答：铁板BC 边被掩埋部分CD 的长约为0.8m ．7．如图，有一个晾衣架放置在水平地面上.在其示意图中，支架OA 、OB 的长均为108cm ，支架OA 与水平晾衣杆OC 的夹角AOC ∠为59º，求支架两个着地点之间的距离AB ．（结果精确到0.1cm ） 【参考数据：sin59º=0.86,cos59º=0.52,tan59º=1.66】 解：过点O 作OD ⊥AB 于D .∵OA =OB ,∴AB=2 AD ． ∵CO ∥AB ,∴∠OAD =∠AOC =59º. 在Rt △ADO 中，∠ADO =90，cos ADOAD OA∠=，∵OA =108， ∴cos 108cos591080.5256.16AD OA OAD =⋅∠=⨯=⨯=. ∴AB =2×≈112.3(cm). 答：支架两个着地点之间的距离AB m ．8．如图，岸边的点A 处距水面的高度AB 为2.17米，桥墩顶部点C 距水面的高度CD 为12.17米．从点A 处测得桥墩顶部点C 的仰角为26°，求岸边的点A 与桥墩顶部点C 之间的距离．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin26°=0.44，cos26°=0.90，tan26°=0.49】 由题意知,DE ＝AB ＝2.17,∴CE ＝CD DE -＝12.17 2.17-＝10. 在Rt △CAE 中,∠CAE ＝26︒,sin CAE ∠＝CEAC , ∴AC ＝sin CE CAE ∠＝10sin 26︒＝100.4422.7≈(米) .答:岸边的点A 与桥墩顶部点C 之间的距离约为22.7米.9．如图，为测量某建筑物的高度AB ，在离该建筑物底部24米的点C 处，目测建筑物顶端A 处，视线与水平线夹角∠ADE 为39°，目高CDAB .（结果精确到0.1米）【参考数据：sin39°=0.63，cos39°=0.78，tan39°=0.81】 由题意知，DE =CB =24，BE =CD =1.5，在Rt△ADE 中，∠AED =90°，∠ADE =39°，DEAEADE =∠tan ， ∴AE =DE ·tan∠ADE =24×tan 391=19.44． ∴AB =AE +EB =+1.5=2≈20.9（米）． 答：建筑物的高度AB 约为20.9米．10．如图，海上B C 、两岛分别位于A 岛的正东和正北方向，一艘船从A 岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C 岛,此时测得B 岛在C 岛的南偏东43︒，求A B 、两岛之间的距离．（结果精确到0.1海里）【参考数据：sin 430.68cos430.73tan 430.93︒=︒=︒=，，】北43°A BC11．如图，为了测量某某解放纪念碑的高度AB ，在与纪念碑底部B 相距27米的CDC 测得纪念碑顶端A 的仰角为47°，求纪念碑的高度．（结果精确到0.1米.）【参考数据：sin 470.731︒=，cos470.682︒=，tan 47 1.072︒=】由题意知，DE =CB =24，BE =CD =1.5，在Rt△ADE 中，∠AED =90°，∠ADE =39°，DEAEADE =∠tan ，（3分） ∴AE =DE ·tan∠ADE =24×tan 391=19.44． ∴AB =AE +EB =+1.5=2≈20.9（米）． 答：建筑物的高度AB 约为20.9米．12．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12米．求大厅两层之间的距离BC 的长．（结果精确到0.1米）【参考数据：sin31°=0.515，cos31°=0.857，tan31°=0.601】BC =AB sin31≈6.213．将直尺摆放在三角板上，使直尺与三角板的边分别交于点D 、E 、F 、G ，如图①所示．已知∠CGD ＝42︒．（1）求∠CEF 的度数．（2）将直尺向下平移，使直尺的边缘通过点B ，交AC 于点H ，如图②所示．点H 、B 的读数分别为4、13.4，求BC 的长（精确到0.1）．【参考数据：sin42︒=0.67，cos42︒=0.74，tan42︒=0.90】图①图②（1）∵∠C ＝90︒，∠CGD ＝42︒， ∴∠CDG ＝90︒－∠CGD ＝48︒． ∵DG ∥EF ，∴∠CEF ＝∠CDG ＝48︒． （2）由平移，得∠CBH =42．∵点H 、B 的读数分别为4、13.4，∴HB = 9.4． 在Rt △CBH 中，BC ＝BH ·cos ∠CBH ×cos42︒×≈7.0．14．某工厂有一种梯形材料(如图所示)，其中AD //BC ，90C ∠=︒，53B ∠=︒，180AB =cm ，AD 的长大于40cm ．现在要求利用这种材料制作长为160cm ，宽为40cm 的矩形工件．按图中的方式从AD 边上的点E 处沿虚线切割下一个宽为40cm 的矩形工件EFCD ．通过计算说明，切割下的矩形工件是否符合要求．【参考数据：sin530.80︒=，cos530.60︒=，tan53 1.33︒=．】解：过A 作AG BC ⊥于G ，得到矩形AGCD ．∴AG CD =． 在Rt △ABG 中，sin AGB AB=， ∴sin 1800.80144(cm)CD AG AB B ==⋅=⨯=． ∵144160<，∴切割下的矩形不符合要求．15.从水平地面到水平观景台之间有一段台阶路和一段坡路，示意图如下．台阶路AE 共有8个台阶，DE 40 ABCF每个台阶的宽度均为0.5m ，台阶路AE 与水平地面夹角∠EAB 为28︒．坡路EC 长7m ，与观景台地面的夹角∠ECD 为15︒．求观景台地面CD 距水平地面AB 的高度BD (精确到0.1m)．【参考数据：sin28°=0.47，cos28°=0.88，tan28°=0.53；sin15°=0.26，cos15°=0.97，tan15°=0.27】解：作EM ⊥CD 于M ，EN ⊥AB 于N ．在△ANE 中，∠ENA =90°，ANENEAN =∠tan ， ∵∠BAE =28°，AN =×8=4， ∴tan EN AN =⋅28°=4×=2.12． 在△CME 中，∠CME =90°，CEMEECM =∠sin ， ∵∠DCE =15°，EC =7，∴sin ME CE =⋅15°=7×=1.82． ∴NE +ME =+=3.94 ≈ 3.9．答：水平地面到观景台的高度约为m ．16．如图，某数学活动小组为了测量我市文化广场的标志建筑“太阳鸟”的高度AB ，在DCD ，测得最高点A 的仰角为︒6.32，再向“太阳鸟”的方向前进20米至D '处，测得最高点A 的仰角为︒45，点D 、D '、B 在同一条直线上．求“太阳鸟”的高度AB ．（精确到0.1米） 【参考数据：sin ︒6.32=0.54，cos ︒6.32=0.84，=tan ︒6.32=0.64】解：如图，在Rt △C AE '中，45AC E '∠=︒，904545C AE '∠=︒-︒=︒，∴AE C E '=．在Rt △ACE 中，AE = CE ×tan ∠ACE ， ∴AE =()tan CC C E ACE ''+⨯∠=（20+AE ）×tan ° =（20+AE ）×．MN∴AE =56.3536.064.020≈⨯．∴AB = AE+EB = AE+CD ≈≈36.8(米)．答：“太阳鸟”高AB 约为36.8米．。

沪科版九年级上册数学第23章解直角三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、在中，，是斜边上的高，那么下列选项中与的值不相等的是（）A. B. C. D.2、如图，等腰△ 中，，MN是边BC上一条运动的线段点M不与点B重合，点N不与点C重合，且，交AB于点D，交AC于点E，在MN从左至右的运动过程中，△ 和△ 的面积之和A.保持不变B.先变小后变大C.先变大后变小D.一直变大3、如图某飞机于空中处探测到目标，此时飞机高度从飞机上看地平题图面指挥台的俯角为，则飞机到指挥台的距离为（）A. B. C. D.4、如图，已知△ABC的三个顶点均在格点上，则cosA的值为（）A. B. C. D.5、如图，在平行四边形中，对角线、相交成的锐角，若，，则平行四边形的面积是A.6B.8C.10D.126、如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别与BC，AC交于点D，E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F，若⊙O的半径为，∠CDF=15°，则阴影部分的面积为（）A. B. C. D.7、如图，在菱形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于CD的长为半径作弧，两弧相交于M、N两点；②作直线MN,且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE.则下列说法错误的是（）A.∠ABC＝60 °B.S△ABE ＝2S△ADEC.若AB＝4，则BE＝D.sin∠CBE＝8、在△ABC中，若∠A，∠B满足|sinA-|＋(1－tanB)2＝0，则∠C的度数是( )A.45°B.60°C.75°D.105°9、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=，则cosB的值是（）A. B. C. D.10、如图，直径为10的⊙A经过点C（0，5）和点O（0，0），B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则cos∠OBC的值为（）A. B. C. D.11、如图，已知A点坐标为（5，0），直线y=x+b(b>0)与y轴交于点B，连接AB，∠a=75°，则b的值为（）A.3B.C.4D.12、如图，某数学活动小组在吉林广播电视塔周边做数学测算活动、在C处测得最高点A的仰角为α，在D处测得最高点A的仰角为β，点C，B，D在同一条水平直线上，且吉林广播电视塔的高度AB为h（m），则CD之间的距离为（）A.h•（tanα+tanβ）mB.C.D.13、如图，为了测量一条河流的宽度，一测量员在河岸边相距200米的P、Q两点分别测定对岸一棵树T的位置，T在P的正北方向，且T在Q的北偏西70°方向，则河宽（PT的长）可以表示为（）A.200tan70°米B. 米C.200sin70°米D. 米14、如图，在中，.若，，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.15、如图，在△ABC中，D为AB边上一点，E为CD中点，AC= ，∠ABC=30°，∠A=∠BED=45°，则BD的长为（）.A. B. C. D.二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB，垂足为D，则tan∠BCD的值是________．17、一艘货轮以18 ㎞/h的速度在海面上沿正东方向航行，当行驶至A处时，发现它的东南方向有一灯塔B，货轮继续向东航行30分钟后到达C处，发现灯塔B在它的南偏东15°方向，则此时货轮与灯塔B的距离是________km.18、如图，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B，如果AB＝2000米，则他实际上升了________米.19、如图，C为半圆内一点，O为圆心，直径AB长为2cm，∠BOC=60°，∠BCO=90°，将△BOC绕圆心O逆时针旋转至△B′OC′，点C′在OA上，则边BC扫过区域（图中阴影部分）的面积为________cm2．20、为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固，如图，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD．已知迎水坡面AB=12米，背水坡面CD= 米，∠B=60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE= ，则CE的长为________米．21、如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2 ，BC＝.将△ABC绕点A 按逆时针方向旋转90°得到△AB′C′，连结B′C，则sin ∠ACB′＝________．22、如图所示，平行四边形内有两个全等的正六边形，若阴影部分的面积记为，平行四边形的面积记为,则的值为________.23、图1为一艺术拱门，下部为矩形ABCD，AB、AD的长分别为m和4m，上部是圆心为O的劣弧CD，∠COD＝120°.现欲以点B为支点将拱门放倒，放倒过程中矩形ABCD所在的平面始终与地面垂直，如图2所示.设BC与地面水平线所成的角为，记拱门上的点到地面的距离为h，当h取最大值时，此时为________°.24、如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在处，若的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为________．25、计算：﹣（﹣）﹣2﹣2cos60°=________．三、解答题(共5题，共计25分)26、计算：27、已知α是锐角，且sin （α＋15°）＝，计算－4cosα－（π－3.14）0＋tanα＋的值.28、计算：（﹣）0+（）﹣1﹣|tan45°﹣|29、今年第18号台风“米娜”于10月1号上午出现在温州附近海域．如图，台风“米娜”的中心位于点处，周围都会受到台风影响．现在台风正往南偏东的方向移动，在的正南方出有一座小镇．在台风移动过程中，小镇是否会受到影响，判断并说明理由．30、9月中旬，全球最强台风“莫兰蒂”登陆福建，A市接到台风警报时，台风中心位于A市正南方向的B处，正以15km/h的速度沿BC方向移动．已知A市到BC的距离AD=30km，如果在距离台风中心45km（包括45km）的区域内都将受到台风影响，试问A市受到台风影响的时间是多长？（结果精确到0.01h，参考数值：≈2.236）参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、B2、B3、C4、D5、D6、A7、C8、C9、A10、B12、D13、B14、C15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、30、。

第23章《解直角三角形》单元测试卷一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列运算正确的是（ ）A ．B ．CD2．如图，一个钟摆的摆长为米，当钟摆向两边摆动时，摆角为，且两边的摆动角度相同，则它摆至最高位置与其摆至最低位置时的高度之差为（）A ．米B ．米C ．米D ．米3．如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上，，连接AC ，过点O 作交AC 的延长线于P ．若，则的值是（ ）ABC ．D ．34．如图，在边长为1的的正方形网格中，为与正方形网格线的交点，下列结论中不正确的是（ ）2tan 30tan 60=︒︒sin 70sin 40sin 30︒-=︒︒3=6=OB 1.5BOD ∠2a AC ()1.5 1.5cos α- 1.51.5cos α⎛⎫- ⎪⎝⎭()1.5 1.5sin α- 1.51.5sin α⎛⎫- ⎪⎝⎭:1:2OC BC =OP AB ∥()1,1P tan OAP ∠1344⨯D ABA ．B ．C ．D ．5．综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片对折，折痕为，再把点A 折叠在折痕上，其对应点为，折痕为，连接，若，的值为（ ）ABCD ．6．中国最早的一部数学著作《周髀算经》中记载着勾股定理，约1400年后的汉代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用数形结合的方法给出了勾股定理的证明．这就是如图所示的“赵爽弦图”，若，则小正方形与直角三角形的面积比为（ ）A ．B ．1：1 C ． D ．1：57．任意一张正方形先对折再翻折然后加上废旧的草杆就能做成一个简易的纸风车，迎着风就会哗啦啦转动起来，小小的纸风车带来童年满满的回忆．如图是彤彤折叠的一个纸风车，风车由四个全等的直角三角形组成，其中∠DOG 为90°．延长直角三角形的斜边，恰好交于四个直角三角形的斜边中点，若，那么这个风车的面积为（ ）1tan 2A =90ACB ∠=︒12CD AB ≠cos B =ABCD EF EF A 'DP A B '2AB =BC =tan A BF '∠12sin cos αα-=2IJ =A ．B ．C ． D8．如图，定直线MN PQ ，点B 、C 分别为MN 、PQ 上的动点，且BC=12，BC 在两直线间运动过程中始终有∠BCQ=60°．点A是MN 上方一定点，点D 是PQ下方一定点，且AE BC DF ，AE=4，DF=8，BC 在平移过程中，AB+CD 的最小值为（ ）A ． B ． C ． D．9．如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标是，点C 的坐标是，点是x 轴上的动点，点B 在x 轴上移动时，始终保持是等边三角形（点P 不在第二象限），连接，求得的最小值为（）A． B ．4 C ． D ．210．如图，MN 是正方形ABCD 的对称轴，沿折痕DF ，DE 折叠，使顶点A ，C 落在MN 上的点G ．给出4个结论：①∠BFE ＝30°；②△FGM ∽△DEG ；③；④．其中正确的是（ ）41+∥∥∥(0,2)(0,2)-(,0)B x ABP V PC 12AP PC +tan 2FDC ∠=+(2DCE DAF S =△△A ．①②③B ．②③④C ．①③④D ．①②④二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．若．12．如图，平面内几条线段满足．AB 、CD 的交点为E ，现测得，，，则CD 的长度为 ．13．如图，中，，以为轴，轴经过点，建立平面直角坐标系，已知，将沿着轴翻折，的对应点为，若抛物线 ，恰好过、、，则14．在平面直角坐标系中，已知，，点是直线上的一点，连接、．当在一定范围内取值时，直线上总存在点，使得，则此时的取值范围为 ．15．如图，菱形绕A 点顺时针旋转，B 、C 、D 的对应点分别为、、，若和D3090αβ︒<<<︒cos βα=10AB BC ==AD BC ⊥AD DE =3tan 4DAE ∠=Rt ABC △90C ∠=︒AB x y C AC =tan 2BCO ∠=ACB V x C C ':l 2()y a x h k =-+A B C 'k =()0,2A -()1B -C y x b =-+AC BC b y x b =-+C 30ACB ∠=︒b ABCD 60︒1B 1C 1D 1B重合，菱形面积为，则阴影的面积＝ ．16．如图，现有一矩形纸片，为矩形的对角线，，为上一点，沿线段将折叠为，交于点，连接，作点关于线段对称的点，点恰好落在对角线上，连接，．则的大小为 ；的长为 ．17．如图，三角形中，于，以为边作菱形，使点落在边上，点在上，交于点，若，，则的长为 ．18．如图，在平面直角坐标系中，的顶点A 在直线上，顶点B 在x 轴上，垂直轴，且在直线上，；过点作直线的垂线，垂足为，交x 轴于，过点作垂直x 轴，交于点，连接，得到第一个；过点作直线的垂线，垂足为，交x 轴于，过点作垂直x 轴，交于点，连接，得到第二个；如此下去，……，则的面积是 ．ABCD 21DCC △2cm ABCD AC ABCD 30CAD ∠=︒AD =E BC DE DEC V DEF V DE AC G FG G DF H H AC DH FH AGD ∠︒CE ABC AD BC ⊥D AB ABEF E BC G EF BG AC M 180AMG F ∠+∠=︒3tan ,104FAM BG ∠==AD ABC V 1:l y x =AB x OB =C 2:l y =2BC l ⊥A 2l 1C 1B 1B 11A B 1l 1A 11A C 111A B C △1A 2l 2C 2B 2B 22A B 1l 2A 22A C 222A B C △202320232023A B C V三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）计算下列的三角函数值（写出计算过程，保留计算结果）：．20．（8分）如图所示，，上有一点，，，（1）用含的表达式表示出AC 的长度（2）用含的表达式表示出点D 到AC的距离sin 60-︒90ABC ∠=︒AB D 3m DB =37DCB ∠=︒()ACB AB BD ϑ∠=>ϑϑ21．（10分）如图．△ABC 中．AC=4．D 为AC的中点．E 、F 分别为AD 、CD 上的动点．过E 作PE ⊥AD ．且DE+2PE=2．连接PF ．（1）求sin ∠C ；（2）连接AP ．①求证AP ∥BC ；②请直接写出的最大值．22．（10分）如图，计划在山顶A 的正下方沿直线CD 方向开通穿山隧道EF ．在点E 处测得山顶A 的仰角为45°，在距E 点80m 的C 处测得山顶A 的仰角为30°，从与F 点相距10m 的D 处测得山顶A 的仰角为45°，点C 、E 、F 、D 在同一直线上，求隧道EF 的长度．23．（10分）圣·索菲亚教堂坐落于中国黑龙江省，是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美，如图，小明为了估算索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高为6m ，在它们之间的地面上的点M （B ，M ，D 三点共线）处测得建筑物顶A ，教堂顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得教堂顶C 的仰角为30°，那么小明计算索菲亚教堂的高度为多少？ （保留根号，，24．（12分）（2022·河北石家庄·校联考三模）小明在一段斜坡上进行跑步训练．在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动，无人机速度为，距水平地面的高度总为（在直线上运动）现就小明训练中部分路段作出如图函数图象：已知AB sin15︒=cos15︒=tan15︒=OA AB -3m/s 15m 15y =，斜坡的坡度：，斜坡的坡角为．（1）点坐标为______，段关于的函数解析式为______；（2）小明在斜坡上的跑步速度是______，并求段关于的函数解析式；（3）若小明沿方向运动，求无人机与小明之间距离不超过10m 的时长．（参考数据：，，）OA =OA 1i =3AB 22.5︒A OA y x AB m/s AB y x O A B --5sin22.513︒≈12cos22.513︒≈5tan 22.512︒≈答案1．D【分析】根据锐角三角函数值的计算，以及二次根式的运算，逐一进行判断即可．解：A 、，选项错误，不符合题意；B 、，选项错误，不符合题意；C，选项错误，不符合题意；D，选项正确，符合题意．故选D ．2．A【分析】由题可知，秋千摆到最低点时，点为弧的中心 ，由垂径定理知，．再根据锐角三角函数解三角形求得即可．解：∵点为弧的中点，为圆心，由垂径定理知，，，∵，∴，∵，在中，由三角函数可得，∴，故选：A ．3．C【分析】由可知，OP 与x 轴的夹角为45°，又因为，则为等腰直角形，设OC=x ，OB=2x ，用勾股定理求其他线段进而求解．解：∵P 点坐标为（1，1），则OP 与x 轴正方向的夹角为45°，又∵，则∠BAO=45°，为等腰直角形，2tan 30tan 60≠︒︒=sin 70sin 40sin 30︒︒︒-≠3≠=1046==-=A BD BD AC ⊥BC DC =OC A BD O BD AC ⊥BC DC =»»AB AD =2BOD a ∠=BOA a ∠= 1.5OB OA ==Rt OBC V 1.5cos OC a =1.5 1.5cos AC OA OC a =-=-()1,1P OP AB ∥OAB V OP AB ∥OAB V∴OA=OB ，设OC=x ，则OB=2OC=2x ，则OB=OA=3x ，∴．4．C【分析】由勾股定理分别算出三边的长度，再利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，再根据锐角三角函数进行求解，通过证明继而进行判断即可．解：由题意得，，，是直角三角形，，故B 正确，不符合题意；，故A 正确，不符合题意；，，，，，，，故C 错误，符合题意；D 正确，不符合题意；故选：C ．5．Atan 133OC x OAP OA x ∠===ABC ∆AED AFB ∆∆:2222222222420,125,3425AC BC AB =+==+==+=222AC BC AB ∴+=ABC ∴∆90ACB ∠=︒∴1tan 2BC A AC ===DE BF ∥ ,AED AFB ADE ABF ∴∠=∠∠=∠AED AFB ∴∆∆:12ED AE BF AF ∴==3BF = 32DE ∴=3514222CD AB ∴=-==cos BC B AB =【分析】先证明，，，，，再利用正切的定义求解即可.解：∵矩形纸片对折，折痕为，，，∴，，，由折叠可得：∴，∴，∴.故选A6．B【分析】在中，根据锐角三角函数的定义得出，代入，两边平方得出，由“赵爽弦图”，结合图形可知等于小正方形的边长，那么．再根据，即可求解．解：如图．在中，∵，∴．∵，∴，2EF AB CD===CF BF DE===90DEA∠='︒90A FB'∠=︒AD A D'==32A E'==31222A F'=-=ABCD EF2AB=BC=2EF AB CD===CF BF DE===90DEA∠='︒90A FB'∠=︒AD A D'==32A E'==31222A F'=-=tan A BF'∠==Rt ABC△sin cosBC ACAB ABαα==，sin cosαα-=215BC ACAB-⎛⎫=⎪⎝⎭BC AC-15SS=小正方形大正方形4S S S+=小正方形直角三角形大正方形Rt ABC△90ACB∠=︒sin cosBC ACAB ABαα==，sin cosαα-=22BC ACAB AB⎛⎫-=⎪⎝⎭∴，即．设，则，∴，∴．故选：B ．7．A【分析】连接由题意可得，进而说明为等腰直角三角形，再说明垂直平分、垂直平分，进而说明，然后再运用解直角三角形求得，然后再求得三角形的面积，最后求风车面积即可．解：如图：连接由题意可得： ，为等腰直角三角形又 ：，，即又垂直平分同理：垂直平分是等腰三角形顶角的角平分线即由题意可得又，215BC AC AB -⎛⎫= ⎪⎝⎭15S S=小正方形大正方形S k =小正方形5S k =大正方形()14S S S k =-=直角三角形大正方形小正方形1S kSk==小正方形直角三角形,AC Rt Rt Rt Rt AOB DCO EOF GOH V V V V ≌≌≌OAC V AJ CD G I AB 45OBH OHB ∠=∠=︒A I AOB ACRt Rt Rt Rt AOB DCO EOF GOHV V V V ≌≌≌,OA OC ∴=OAB ∠=OCD∠90AOC AOB ∠=∠=︒ OAC ∴V OAB ∠= OCD ∠180AJD ADJ OAB ∴∠=︒-∠-∠18090ODC OCD =︒-∠-∠=︒AJ CD⊥CJ DJ= AJ ∴CDG I AB,AC AD AJ ∴=CAD ∠DAJ ∠=12CAD ∠=124522.5⨯︒=︒,IH BJ IJ IB BJ IB IH ==+=+IB IA = IJ IB BJ IH IA ∴=+=+=在中，，，设，即 ，，设），，，即，，又，．故选A ．8．C【分析】如图所示，过点F作交BC 于H ，连接EH ，可证明四边形CDFH 是平行四边形，得到CH=DF=8，CD=FH ，则BH=4，从而可证四边形ABHE 是平行四边形，得到AB=HE ，即可推出当E 、F 、H 三点共线时，EH+HF 有最小值EF 即AB+CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，证明四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，得到EG=BC=12，然后通过勾股定理和解直角三角形求出ET 和TF 的长即可得到答案．解：如图所示，过点F 作交BC 于H ，连接EH ，Rt ABO △22.5ABH BAH ∠=∠=︒45OBH OHB ∴∠==︒OB OH a ==AH BH ==OB =atan A ∴∠=1BO AO ==∴tan 1IHA IA==∠IH =1x AI x =IH IA ∴+==1x =∴112ABH S AB IH =⨯⨯=V ΔΔBOH ABHS OH S AH ==∴1BOH S =V ∴11AOB ABH BOH S S S =+=+=V V V ∴44AOB S S ===△风车FH CD ∥FH CD ∥∵，∴四边形CDFH 是平行四边形，∴CH=DF=8，CD=FH ，∴BH=4，∴BH=AE=4， 又∵，∴四边形ABHE 是平行四边形，∴AB=HE ，∵，∴当E 、F 、H 三点共线时，EH+HF 有最小值EF 即AB+CD 有最小值EF ，延长AE 交PQ 于G ，过点E 作ET ⊥PQ 于T ，过点A 作AL ⊥PQ 于L ，过点D 作DK ⊥PQ 于K ，∵，∴四边形BEGC 是平行四边形，∠EGT=∠BCQ=60°，∴EG=BC=12，∴同理可求得，，∴， ∵AL ⊥PQ ，DK ⊥PQ ，∴，∴△ALO ∽△DKO，∴，∴∴，∴，∴，故选C ．BC DF FH CD ∥∥，AE BC ∥EH FHEF +≥MN PQBC AE ∥∥，=cos =6=sin GT GE EGT ET GE EGT ⋅⋅∠，∠8GL AL==，4KF DK ==，2TL =AL DK ∥2AL AODK DO==2133AO AD DO AD ====24OL OK ===，42TF TL OL OK KF =+++=EF ==9．C【分析】如图1所示，以OA 为边，向右作等边△AOD ，连接PD ，过点D 作DE ⊥OA 于E ，先求出点D 的坐标，然后证明△BAO ≌△PAD 得到∠PDA=∠BOA=90°，则点P 在经过点D 且与AD 垂直的直线上运动，当点P 运动到y 轴时，如图2所示，证明此时点P 的坐标为（0，-2）从而求出直线PD 的解析式；如图3所示，作点A 关于直线PD 的对称点G ，连接PG ，过点P 作PF ⊥y 轴于F ，设直线PD 与x 轴的交点为H ，先求出点H 的坐标，然后证明∠HCO=30°，从而得到，则当G 、P 、F 三点共线时，有最小值，即有最小值，再根据轴对称的性质求出点G 在x 轴上，则OG 即为所求．解：如图1所示，以OA 为边，向右作等边△AOD ，连接PD ，过点D 作DE ⊥OA 于E ，∵点A 的坐标为（0，2），∴OA=OD=2，∴OE=AE=1，∴，∴点D 的坐标为；∵△ABP 是等边三角形，△AOD 是等边三角形，∴AB=AP ，∠BAP=60°，AO=AD ，∠OAD=60°，∴∠BAP+∠PAO=∠DAO+∠PAO ，即∠BAO=∠PAD ，∴△BAO ≌△PAD （SAS ），∴∠PDA=∠BOA=90°，∴点P 在经过点D 且与AD垂直的直线上运动，12AP PC GP PF +=+GP PF +12AP PC+DE ==)当点P 运动到y 轴时，如图2所示，此时点P 与点C 重合，∵△ABP 是等边三角形，BO ⊥AP ，∴AO=PO=2，∴此时点P 的坐标为（0，-2），设直线PD 的解析式为，∴，∴，∴直线PD 的解析式为；如图3所示，作点A 关于直线PD 的对称点G ，连接PG ，过点P 作PF ⊥y 轴于F ，连接CG ，设直线PD 与x 轴的交点为H ，∴点H 的坐标为，∴∴∠OCH=30°，y kx b =+12b b +==-⎪⎩2k b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩2y =-0⎫⎪⎭tan OH OCH OC ∠==∴，由轴对称的性质可知AP=GP ，∴，∴当G 、P 、F 三点共线时，有最小值，即有最小值，∵A 、G 两点关于直线PD 对称，且∠ADC=90°，∴AD=GD ，即点D 为AG 的中点，∵点A 的坐标为（0，2），点D 的坐标为，∴AG=2AD=2OA=4，∵AC=4，∠CAG=60°，∴△ACG 是等边三角形，∵OC=OA ，∴OG ⊥AC ，即点G 在x 轴上，∴由勾股定理得∴当点P 运动到H 点时，有最小值，即有最小值，最小值即为OG 的长，∴的最小值为故选：C ．10．D【分析】设，根据折叠的性质得，，根据轴对称的性质得出，即可判断①，从而得出,，继而判断②，设，则，解,即可判12PF PC =12AP PC GP PF +=+GP PF +12AP PC +)OG ==GP PF +12AP PC +12AP PC +,ADF CDE αβ∠=∠=,FDG GDE αα∠=∠=1sin 2DN DGN DG ∠==30DGN ∠=︒15α=︒30β=︒FG AF x ==2FM a x =-Rt GFM △(,2DCE DAF S V V断④．解：设，根据折叠的性质得，，四边形是正方形，则，，设正方形的边长为，则，MN是正方形ABCD 的对称轴，，，，，，，故①正确，，,，，，△FGM ∽△DEG ；故②正确，设，则，在中，，解得，即，，，，,ADF CDE αβ∠=∠=,FDG GDE αα∠=∠= ABCD 2290ADC αβ∠=+=︒45αβ∴+=︒4a4AD DG DC a === 2DN a ∴=1sin 2DN DGN DG ∴∠==30DGN ∴∠=︒90FGD A ∠=∠=︒ 60FGM ∴∠=︒30BFE ∴∠=︒()1180752AFD GFD BFE ∴∠=∠=︒-∠=︒15α∴=︒30β=︒30MFG BFE GDE β∠=∠=︒==∠ 90B DGE C ∠=∠=∠=︒∴FG AF x ==2FM a x =-GFM △cos cos30FM MFG MG ∠==︒=2a x x -∴=(42x a =(42AF a =275FDC AFD αβ∠=+=︒=∠ tan tan 22AD FDC AFD AF ∠=∠===≠30EDC ∠=︒ tan 304EC DC a ∴=⋅︒=，，，，故④正确故①②④正确，故选D ．二、填空题11．【分析】根据锐角三角函数的增减性判断出与的大小、与化简计算即可．解：∵，∴故答案为：12．【分析】延长交于，过作交于，根据“字形”可知，得到相似比，设，在中，根据勾股定理得，结合条件得出，再利用相似比即可求出的长度．21482DCE a a =⨯=△(42,4AF a AD a == ∴(2DAF S △(((21122442822AD AF a a a =⨯⨯⨯=⨯⨯⨯=(2DCE DAF S =△△1cos βcos αcos β3090αβ︒<<<︒cos cos ,cos βαβ<<cos βαcos cos 1cos ββα=-+-cos cos cos 1cos βαβα=-++-1=1503AD CB F B BG CD ∥AF G A ,ADE AGB FBG FCD ∆∆∆∆::,DE AD BG BFBG AG CD CF==AG BG x ==Rt BFG ∆222FG BF BG +=254x =CD解：延长交于，过作交于，如图所示：，，，，，,,,,,,设，则，在中，根据勾股定理得,，解得，，解得，故答案为：．13．【分析】根据题意得出，进而根据正切的定义，得出的坐标，进而求得点的坐标，根据轴对称的性质求得的坐标，待定系数法求得解析式，进而化为顶点式，即可求解．解：∵中，，，AD CB F B BG CD ∥AF G ,AED ABG FBG C ∴∠=∠∠=∠,A A F F ∠=∠∠=∠ ,ADE AGB FBG FCD ∴∆∆∆∆::,DE AD BG BF BG AG CD CF∴==AD DE = BG AG ∴=AD BC ⊥ 90F ∴∠=︒ 10AB BC ==3tan 4DAE ∠=6,8BF AF ∴==AG BG x ==8FG x =-Rt BFG ∆222FG BF BG +=()22286x x ∴-+=254x =2564106CD ∴=+503CD =503258-BCO CAO ∠=∠,A C B C 'Rt ABC △90C ∠=︒CO AB ⊥∴，∴，∵，∴，设，则，则，∵∴，即，，∵，∴，即，∵将沿着轴翻折，的对应点为，∴，设抛物线解析式为，将点代入得，解得：∴抛物线解析式为故答案为：．14．且【分析】先确定点，点的位置，并连接，过点作轴于，交轴于，作关于的对称点，连接，过点作交轴于，过点作交轴于，解出所在直线的解析式，再证明，由此解出直线，直线的解析式，由此即可求解．解：根据题意，在平面直角坐标系中标出点，点，连接，作图如下，过点作轴于，交轴于，作关于的对称点，连接，过点作交轴于，过点作交轴于，则，直线和直线是符合条件的直90,90ABC CAB ABC COB ∠+∠=︒∠+∠=︒BCO CAO ∠=∠tan 2BCO ∠=tan 2CO CAO AO∠==AO a =2CO a =AC =AC =1,2OA CO ==()1,0A -()0,2C tan 2CO BCO BO∠==4BO =()4,0B ACB V x C C '()0,2C '-()()14y a x x =+-()0,2C '-42a -=-12a =()()()22111325143422228y x x x x x ⎛⎫=+-=--=-- ⎪⎝⎭258-62b -≤≤2b ≠-A B AB B BD y ⊥D BC AB ⊥y C C AB C 'AC 'C CE AB ∥x E C 'C F AB '∥y F AB 30ACB AC B '∠=∠=︒CE C F 'A B AB B BD y ⊥D BC AB ⊥y C C AB C 'AC 'C CE AB ∥x E C 'C F AB '∥y F 30ACB AC B '∠=∠=︒CE C F '线，理由如下，设过点，点的直线方程为，∴，解得，，∴所在直线的解析式为，∵，∴直线，直线是符合条件的直线，∵，，轴，∴，∴，在中，，∴，则，∵，∴，且，∴，∴，把代入得，，∵点与点关于对称，∴，，∵，∴，，∴是等边三角形，y x b =-+()0,2A -()1B -(0)y kx m k =+≠21m m =-⎧⎪⎨+=-⎪⎩2k m ⎧=⎪⎨⎪=-⎩AB 2y =-CE AB ∥CE C F 'y x b =-+()0,2A -()1B -BD y ⊥2,1OA BD OD ==211AD OA OD =-=-=Rt △ABD tan BD BAD AD ∠===2AB ===60BAD ∠=︒30ABD ∠=︒BC AB ⊥30ACB ∠=︒2224AC AB ==⨯=422OC AC OA =-=-=(0,2)C (0,2)C y x b =-+2b =C C 'AB 30AC B ACB '∠=∠=︒BC BC '=C F AB '∥60BAC BAC AC F ''∠=∠=∠=︒4AC AC '==C A F V ¢∴，则，∴，把代入得，∵点不能与点重合，∴，∴的取值范围为且．15．【分析】如图，过作交的延长线于，过作于，由旋转的性质可得：，可得，由菱形面积求解，证明，，可得，，，可得解：如图，过作交的延长线于，过作于，由旋转的性质可得：，∴，∵菱形面积为，∴解得：，由菱形的性质可得：，，∴，∴，4AF AC AC '===246OF OA AF =+=+=(0,6)-F (0,6)-F y x b =-+6b =-C A 2b ≠-b 62b -≤≤2b ≠-C 1CH C D ⊥1C D H B BK AD ⊥K 60BAD ∠=︒sin 60BK AB AB =︒=g 6AB =AB CD ∥16CD C D ==1120ADC ADC ∠=︒=∠1120CDC ∠=︒60CDH ∠=︒sin 60CH CD =︒=g C 1CH C D ⊥1C D H B BK AD ⊥K 60BAD ∠=︒sin 60BK AB AB =︒=g ABCD 22AD AB AB ==g 6AB =AB CD ∥16CD C D ==1120ADC ADC ∠=︒=∠1120CDC ∠=︒∴，∴∴故答案为：．16． 75 【分析】证明，可得；再证明，求出，可得结论．解：由折叠的性质可知，，，关于对称，，，，，，，．，，，，，，，，，，故答案为：75；60CDH ∠=︒sin 60CH CD =︒=g 162S =⨯⨯=阴影8-15CDG FDG ∠=∠=︒AGD ∠AG AD ==CE CG =AC CDG FDG ∠=∠G H DF DF AC ∴⊥30CAD ∠=︒ 60ADF ∴∠=︒90ADC ∠=︒ 906030CDF ∴∠=︒-︒=︒15CDG FDG ∴∠=∠=︒901575AGD ∴∠=︒-︒=︒AD = 90ADC ∠=︒30CAD ∠=︒8cos30ADAC ∴==︒90BCD ADC ∠=∠=︒ 15CDE ∠=︒75CED ∴∠=︒75ADG ∠=︒75AGD CGE ∠=∠=︒ 75ADG AGD ∴∠=∠=︒75CEG CGE ∠=∠=︒AD AG ∴==8CE CG ==-8-17．6【分析】菱形的性质得到，推出，外角的性质，得到，进而得到，过点作于点，推出，利用锐角三角函数和勾股定理求出的长即可．解：∵四边形为菱形，∴，∴，∵，∴，过点作于点，设交于点，则，∵，且，∴，∵，∴，∵，∴，在中，，设，则：，180,BEF F C FAC ∠+∠=︒∠=∠AMG BEF ∠=∠C BGE ∠=∠BGE FAC ∠=∠B BH GE ⊥H AD BH =BH ABEF ,AB BE EF AF BE ==∥180,BEF F C FAC ∠+∠=︒∠=∠180AMG F ∠+∠=︒AMG BEF ∠=∠B BH GE ⊥H ,AC EF N 90BHG ∠=︒,AMG MGN MNG BEF ENC C ∠=∠+∠∠=∠+∠MNG ENC ∠=∠BGE C FAM ∠=∠=∠AD BE ⊥ABEF BE AD EF BH S ⋅=⋅=菱形BE EF =AD BH =Rt BHG V 4t a an 3t n BH BGH HG FAM =∠=∠=3,4BH x HG x ==510BG x ===∴，∴；故答案为：．18．【分析】解直角三角形得出，，求出，，得出，，总结得出，从而得出．解：∵∴，∵轴，∴点A 的横坐标为∵，∴点A∴，∴，∵，∴设，则，∴∴，∴，∵，∴，2x =6AD BH ==6230AOB ∠=︒60BOC ∠=︒ABC S =V 111ABC A B C ∽△△222ABC A B C V V ∽1114A B C ABC S S =V V ()22222242A B C ABC ABC S S S =⋅=⋅V V V ()2222n n n n n A B C ABC ABC S S S ==V V V 2023202320232202322A B C S ⨯==V OB =()B AB x ⊥1:l y x =tan AB AOB OB ∠===30AOB ∠=︒2:l y =(),C C C x y C C y =tan C C yBOC x ∠==60BOC ∠=︒1cos 602OC OB =⨯︒==sin 60BC OB =⨯︒==130AOC BOC AOB ∠=∠-∠=︒1AOB AOC ∠=∠∴平分，∵，，∴∵，，∴，∴∴∴∵，∴，∴，∵，，，∴，∴，∴，∴，，∵轴，轴，∴，，∵轴，轴，轴，∴，∴，，∵，∴，，OA BOC∠12AC l⊥AB OB⊥1AC AB==1AB AC=OA OA=1Rt RtOAB OACV V≌1OC OB==11CC OC OC=-==12ABC OAB ACC BOCS S S S=--V V V V1112222=⨯⨯=2BC l⊥90BCO∠=︒906030CBO∠=︒-︒=︒112B C l⊥2BC l⊥222B C l⊥2112B BC C B C∥∥112230C B O C B O CBO∠=∠=∠=︒1122C B O C B O CBO AOB∠=∠=∠=∠1AO AB=112A O A B=AB x⊥11A B x⊥112OB OB=1212OB OB=AB x⊥11A B x⊥22A B x⊥1122AB A B A B∥∥11112AB OBA B OB==22214AB OBA B OB==2112B BC C B C∥∥11112BC OBB C OB==22214BC OBB C OB==∴，∵，∴，同理，∴，，∴，∴故答案为：．三、解答题19．20．（1）解：在中，，，，∴，在中，，，∴；（2）解：在中，，，1111AB BC A B B C =111903060ABC A B C ∠=∠=︒-︒=︒111ABC A B C ∽△△222ABC A B C V V ∽1114AB C ABC S S=V V ()22222242A B C ABC ABC S S S =⋅=⋅V V V ()2222n n n n n A B C ABC ABCS S S ==V V V 2023202320232202322A B C S ⨯==V 2sin 60-︒=41=5=Rt BDE △90DBC ∠=︒3m DB =37DCB ∠=︒3m tan 37tan 37DB BC ==︒︒Rt ABC △90ABC ∠=︒()ACB AB BD ϑ∠=>33tan 37m cos cos tan 37cos BC AC ACB ϑϑ︒===∠︒Rt ABC △90ABC ∠=︒()ACB AB BD ϑ∠=>∴，则，设点D 到AC 的距离为h ，由得．21．（1）解：连接BD ，如下图，∵∴是等腰三角形．∵D 为AC 的中点，∴．∵，∴，∴，∴；（2）解：①∵，设，则，∴．3tan m tan 37tan AB BC ϑϑ==︒⋅3tan 3tan 3tan 373tan 37tan 37AD AB BD ϑϑ-︒=-=-=︒︒1122ADC S AC h AD BC =⋅=⋅V 33tan 3tan 37ta 3tan 73t c n 3o 7an 37s AD BC h ACϑϑ⋅︒==︒-︒⨯︒n cos 3tan 33tan ta 773cos ϑϑϑ=-︒︒AB AC ==ABC V BD AC ⊥4AC =122AD DC AC ===1BD ===sin BD C BC ∠===22DE PE +=PE x =+2=2DE x 2-2DE x =∵由（1）得，，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴；②由①，，PE ⊥AD ，∴．∵E 、F 分别为AD 、CD 上的动点，使为中点，则，，∴．∵ ，且，x 不能小于0，∴，解得，∴，∴当时，．22．解：过点A 作AG ⊥CD于点G ，如图所示：由题意得：，∴△EAD 是等腰直角三角形，2AD =2DE AD AE AE =-=-2AE x =1tan 22PE x A AE x ∠===2CD =1tan 2DB C DC ∠==tan tan A C ∠=∠A C ∠=∠AP BC ∥2AE x =PE x =AP =E AP PF ==2AE EF x ==4244CF AE x =-=-22DE PE +=02DE ≤≤02-22x ≤≤01x <≤)44PF x x +=-=1x =PF 80m,10m,45,30CE DF AEF ADE ACE ==∠=∠=︒∠=︒∴AG=EG=DG ，设AG=EG=DG=x ，∴，∴，解得：，∴，∴；答：隧道EF 的长度米．23．解：如图，过作于，则四边形是矩形，∴，，∵，∴设，则，，∴，∵，∴，，解得：∴，tan 30AG CG==︒80x+=40x =()40m AG EG DG ===()()2401070m EF ED DF =-=-=+()70A AF CD ⊥F ABDF 6==DF AB AF BD =15AMB ∠=︒(6212tan15AB MB ===+︒DM x =2CM x =CD 6CF =-12AF BD DM BM x ==+=++30CAF ∠=︒tan 30CF AF︒==)1236x ++=-6x =+618CD ==+=∴索菲亚教堂的高度为米．24．（1）解：如图，过A 点作于点，，，，斜坡的坡度：：，，，点A 坐标为，设段关于的函数解析式为，代入，，解得：，段关于的函数解析式，故答案为：；．（2）解：在中，，，，，，，在训练过程中，始终有一架无人机在小明正上方随他一起运动．无人机速度为，小明在斜坡上跑步的时间为：，()18AC OB ⊥C AC OB ⊥ 90ACO ACB ∠∠∴==︒OA = OA i AC =1OC =310m AC ∴=30m OC =∴()30,10OA y x 0y kx k =≠（）()3010A ，3010k =13k x =OA ∴y x ()10303y x x =≤≤()3010，()10303y x x =≤≤Rt ABC V 10m AC =22.5ABC ∠=︒5sin sin 22.513AC ABC AB ∠==︒≈ 5tan tan 22.512AC ABC BC ∠==︒≈26AB m ∴≈24BC m ≈ 3/m s ∴AB 2438s ÷=（）小明在斜坡上的跑步速度是：，，，，，设段关于的函数解析式为：代入，，得：，解得：，段关于的函数解析式为；故答案为：．（3）解：在段上无人机与小明之间的距离为时，则有：，解得：，无人机飞行的时间为；在段上，无人机与小明之间距离为时，则有：，解得：，无人机飞行的时间为，无人机与小明之间距离不超过的时长为：．∴AB 13268m /s 4÷=（）30m OC = 24m BC =54m OB OC BC ∴=+=()540B ∴，AB y x 0y mx n m =+≠（）3010A （，）540B （，）3010540m n m n +=⎧⎨+=⎩5121356m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩AB ∴y x ()51353054126y x x =-+≤≤134OA 10m 115103x -=15x =∴1535s ÷=（）AB 10m 51351510126x --+=（42x =∴42314s ÷=（）∴10m 1459s -=（）。