第23章：解直角三角形知识点强化记忆

23.1.3 一般锐角的三角函数值知识点 1 互余两角的正弦、余弦的关系1．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果sin A ＝23，那么cos B 的值为( )A. 23B. 53C. 52D ．不能确定 2．如果α是锐角，且sin α＝0.8，那么cos(90°－α)等于( )A ．0.8B ．0.75C ．0.6D ．0.23．若α是锐角，sin α＝cos50°，则α等于( )A ．20°B ．30°C ．40°D ．50°4．已知sin42°54′＝0.6807，如果cos α＝0.6807，那么α＝________. 5．化简下列各式：(1)1－sin70°＋cos20°； (2)2sin10°3cos80°.知识点 2 用计算器求锐角的三角函数值6．利用计算器计算sin30°时，依次按键sin 30＝，显示的结果是( ) A ．0.5 B ．0.707 C ．0.866 D ．17．用计算器计算cos44°的结果(精确到0.01)是( ) A ．0.90 B ．0.72 C ．0.69 D ．0.668．用计算器求下列三角函数值(精确到0.0001)： (1)sin75.6°； (2)cos37.1°； (3)tan25°.知识点 3 用计算器求锐角的度数9．已知三角函数值，用计算器求锐角A .(角度精确到1″) (1)sin A ＝0.3035； (2)cos A ＝0.1078；(3)tan A ＝7.5031.知识点 4 锐角三角函数的增减情况10．三角函数值sin30°，cos16°，cos43°之间的大小关系是( ) A ．cos43°＞cos16°＞sin30° B ．cos16°＞sin30°＞cos43° C ．cos16°＞cos43°＞ sin30° D ．cos43°＞sin30°＞cos16° 11．若45°＜α＜90°，则sin α________cos α；若0°＜α＜45°，则sin α________cos α.(填“>”“<”或“＝”)12．用不等号连接下面的式子： (1)tan19°________tan21°； (2)cos18°________sin18°.13．若α为锐角，且cos α＜1，则α的取值范围是__________．14．在△ABC 中，∠C ＝90°，设sin B ＝n ，当∠B 是最小的内角时，n 的取值范围是( )A ．0<n <22B ．0<n <12 C ．0<n <33 D ．0<n <3215．若α＜60°，且sin(60°－α)＝0.75，则cos(30°＋α)＝________．16．观察下列等式：①sin30°＝12，sin60°＝32；②sin45°＝22，sin45°＝22； ③sin60°＝32，sin30°＝12； …根据上述规律，计算：sin 2α＋sin 2(90°－α)＝________.(0°<α<90°)17．如图23－1－37，已知两点A (2，0)，B (0，4)，且∠1＝∠2，则sin β＝________．图23－1－3718．如图23－1－38，在△ABC 中，CD ⊥AB 于点D ，如果sin A ＝cos B ＝13，证明△ABC 为直角三角形．图23－1－3819．设β为任意锐角，你能说明tan β与sin β之间的大小关系吗？若能，请比较大小；若不能，请说明理由．20．如图23－1－39所示，△ABC 与△A ′B ′C ′都是等腰三角形，且AB ＝AC ＝5，A ′B ′＝A ′C ′＝3.若∠B ＋∠B ′＝90°，则△ABC 与△A ′B ′C ′的面积比为( )图23－1－39A ．25∶9B ．5∶3 C. 5∶ 3 D ．5 5∶3 321．如图23－1－40所示，在△ABC 中，D 是AB 的中点，DC ⊥AC ，且tan ∠BCD ＝13，求tan A 的值．图23－1－401．A [解析] 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＋∠B＝90°，则cos B ＝sin A ＝23.故选A .2．A [解析] 一个角的正弦值等于它的余角的余弦值，即cos (90°－α)＝sin α＝0.8. 3．C [解析] 由sin α＝cos (90°－α)，可知α＝90°－50°＝40°.故选C . 4．47°6′5．解：(1)原式＝1－sin 70°＋sin 70°＝1. (2)原式＝2sin 10°3sin 10°＝23.[点评] 本题主要考查互余两角的三角函数的互化． 6．A7．B [解析] 本题要求熟练应用计算器，对计算器显示的结果，根据近似数的概念用四舍五入法取近似数．8．[解析] 以度为单位的锐角，按sin ，cos ，tan 键后直接输入数字，再按＝得到锐角的正弦，余弦，正切值．解：(1)按sin 7 5 . 6 ＝显示0.968583161，即sin 75.6°≈0.9686. (2)按cos 3 7 . 1＝显示0.797583928，即cos 37.1°≈0.7976. (3)按tan 2 5＝显示0.466307658，即tan 25°≈0.4663.9．解：(1)∠A≈17°40′5″. (2)∠A≈83°48′41″. (3)∠A≈82°24′30″.10．C [解析] 根据余角三角函数之间的关系，sin 30°＝ cos 60°，而cos 16°＞cos 43°＞cos 60°，即cos 16°＞cos 43°＞ sin 30°.11．＞ ＜ [解析] (方法一)取特殊值法：当45°＜α＜90°时，取α＝60°，sin 60°＝32，cos 60°＝12，此时sin 60°＞cos 60°，因此应填“＞”；当0°＜α＜45°时，取α＝30°，sin 30°＝12，cos 30°＝32，由sin 30°＜cos 30°，此时sin α＜cos α，应填“＜”．(方法二)统一转化为正弦，利用锐角的正弦值随着角度的增大而增大比较．∵cos α＝sin (90°－α)(α为锐角)， 当45°＜α＜90°时，α＞90°－α， ∴sin α＞sin (90°－α)， ∴sin α＞cos α；当0°＜α＜45°时，α＜90°－α，∴sin α＜sin (90°－α)，∴sin α＜cos α. 12．(1)＜ (2)＞ [解析] (1)由于正切值随锐角的增大而增大，因为19°＜21°，所以tan 19°＜tan 21°，应填“＜”．(2)由cos 18°＝sin (90°－18°)＝sin 72°，因为72°＞18°，所以sin 72°＞sin 18°，即cos 18°＞sin 18°.13．0°＜α＜90° 14． A[解析] 根据题意，知0°＜∠B＜45°，再根据sin 45°＝22和一个锐角的正弦值随着角度的增大而增大进行分析，有0＜n ＜22.故选A . 15．0.75 [解析] cos (30°＋α)＝cos [90°－(60°－α)]＝sin (60°－α)＝0.75. 16． 1[解析] 根据①②③可得出规律，即sin 2α＋sin 2(90°－α)＝1(0°＜α＜90°)． 17.2 55 [解析] ∵∠1＝∠2，∴sin β＝cos ∠1＝OB AB ＝422＋42＝2 55.18．证明：在Rt △ACD 中，sin A ＝CDAC .在Rt △BCD 中，cos B ＝BDBC ，∴CD AC ＝BD BC ，即CD BD ＝AC BC， ∴Rt △ACD ∽Rt △CBD ，∴∠ACD ＝∠B. ∵∠A ＋∠ACD＝90°，∴∠A ＋∠B＝90°，∴△ABC 为直角三角形．19．解：能．如图，设β是Rt △ABC 的一个锐角，令∠B＝β，则tan β＝ACBC ，sin β＝AC AB .因为BC<AB ，所以AC BC >ACAB，所以tan β＞sin β.20．A [解析] 如图，过点A 作AD⊥BC 于点D ，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′.∵△ABC 与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B ＝∠C，∠B ′＝∠C′，BC ＝2BD ，B ′C ′＝2B′D′，∴AD ＝AB·sin B ，A ′D ′＝A′B′·sin B ′，BC ＝2BD ＝2AB·cos B ，B ′C ′＝2B′D′＝2A′B′·cos B ′，∵∠B ＋∠B′＝90°，∴sin B ＝cos B ′，sin B ′＝cos B.∵S △ABC ＝12AD·BC＝12AB·sin B ·2AB ·cos B ＝25sin B ·cos B ，S △A ′B ′C ′＝12A′D′·B′C′＝12A′B′·sin B ′·2A ′B ′·cos B ′＝9sin B ′·cos B ′，∴S △ABC ∶S △A ′B ′C ′＝25∶9.21．解：如图，过点D 作CD 的垂线交BC 于点E.∵tan ∠BCD ＝13＝DECD，∴可设DE ＝x ，则CD ＝3x.∵CD ⊥AC ，CD ⊥DE ，∴DE ∥AC.又∵D 为AB 的中点，∴E 为BC 的中点， ∴DE ＝12AC ，∴AC ＝2DE ＝2x.在Rt △ACD 中，∠ACD ＝90°，AC ＝2x ，CD ＝3x ， ∴tan A ＝CD AC ＝3x 2x ＝32.。

第23章解直角三角形本章热点专题训练【知识与技能】1.了解锐角三角函数的概念,记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值.2.能够正确地使用计算器,由已知锐角的度数求出它的三角函数值,由已知的三角函数值求出相应的锐角的度数.3.会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【过程与方法】通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想.【情感态度】通过解直角三角形的学习,体会数学在解决实际问题中的作用.【教学重点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.【教学难点】会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题.一、知识结构【教学说明】引导学生回顾本章知识点,使学生系统地了解本章知识及它们之间的关系二、释疑解惑,加深理解1.正切的概念：在Rt△ABC中,我们把锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切.记作：tanA=AA∠∠的对边的邻边2.坡度的概念：坡面的高度h和水平长度l的比叫做坡面的坡度（或坡比）,记作i=h/l,即：（坡度通常写成h:l的形式）.坡面与水平面的夹角叫做坡角.记作α,即i=h/l=tanα.坡度越大,坡角越大,坡面就越陡.3.正弦的概念：在直角三角形中,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦.记作sinA,即：sinA＝A∠的对边斜边4.余弦的概念：在直角三角形中,我们把锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦.记作cosA,即：cosA=A∠的邻边斜边.5.锐角三角函数的概念：锐角A的正切、正弦、余弦都叫做锐角A的三角函数.6.正弦和余弦的关系：任意一个锐角的正（余）弦值,等于它的余角的余（正）弦值.7.特殊角三角函数值：8.解直角三角形的概念：在直角三角形中,除直角外,由已知的元素求出未知元素的过程,叫做解直角三角形.9.仰角和俯角的概念：当我们进行测量时,在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方的角叫做仰角,在水平线下方的角叫做俯角.【教学说明】引导学生回忆本章所学的有关概念,知识点.加深学生印象.三、运用新知,深化理解1.已知,如图,D是BC边的中点,∠BAD=90°,tanB=2/3,求sin∠DAC.2.计算：tan230°＋cos230°－sin245°tan45°3.如图所示,菱形ABCD的周长为20cm,DE⊥AB,垂足为E,sinA=3/5,则下列结论正确的个数为（）①DE＝3cm；②BE＝1cm；③菱形的面积为15cm2；④BD＝10A.1个B.2个C.3个D.4个【分析】由菱形的周长为20cm知菱形边长是5cm.综上所述①②③正确.故选C.答案：C4.如图所示,一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向,与灯塔P的距离为80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处,求此时轮船所在的B处与灯塔P的距离(结果保留根号).【分析】由题意知△ABP中∠A＝60°,∠B＝45°,∠APB＝75°,由此联想到两个三角板拼成的三角形.因此很自然作PC⊥AB交AB于C.解：过点P作PC⊥AB,垂足为C,则∠APC＝30°,∠BPC＝45°,AP＝80,∴当轮船位于灯塔P南偏东45°方向时,轮船与灯塔P的距离是6海里.【教学说明】通过上面的解题分析,再对整个学习过程进行总结,能够促进理解,提高认识水平,从而促进数学观点的形成和发展.四、复习训练,巩固提高1.如图,△ABC是等边三角形,P是∠ABC的平分线BD上一点,PE⊥AB于点E,线段BP的垂直平分线交BC于点F,垂足为点Q.若BF=2,则PE的长为（）A.2B.2C. 3D.3【分析】∵△ABC是等边三角形,点P是∠ABC的平分线上一点,∴∠EBP=∠QBF=30°,∵BF=2,FQ⊥BP,在Rt△BEP中,∵∠EBP=30°,∴PE=1/2BP=3.故选C.2.如图,为了测量某山AB的高度,小明先在山脚下C点测得山顶A的仰角为45°,然后沿坡角为30°的斜坡走100米到达D点,在D点测得山顶A的仰角为30°,求山AB的高度.（参考数据：3≈1.73）解：过D作DE⊥BC于E,作DF⊥AB于F,设AB=x,在Rt△DEC中,∠DCE=30°,CD=100,∴3.在Rt△ABC中,∠ACB=45°,∴BC=x.则AF=AB－BF=AB－DE=x－50,DF=BE=BC＋CE=x＋3.答：山AB的高度约为236.2米.3.如图,小红同学用仪器测量一棵大树AB的高度,在C处测得∠ADG=30°,在E处测得∠AFG=60°,CE=8米,仪器高度CD=1.5米,求这棵树AB的高度（结果保留两位有效数字,3≈1.732）.解：根据题意得：四边形DCEF、DCBG是矩形,∴GB=EF=CD=1.5米,DF=CE=8米.设AG=x米,GF=y米,在Rt△AFG中,在Rt△ADG中,二者联立,解得3∴3米,FG=4米.∴AB=AG＋3＋1.5≈8.4（米）.∴这棵树AB的高度为8.4米.。

沪科版九年级数学上册第23章解直角三角形知识点【考点1 锐角三角函数的定义】【方法点拨】锐角角A的正弦（sin）,余弦（cos）和正切（tan）,都叫做角A的锐角三角函数。

正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.【例1】（2020•平房区二模）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，若BC＝m，则AB的长为（）A．mcosαB．m•cosαC．m•sinαD．m•tanα【考点2 网格中的锐角三角函数值计算】【方法点拨】解决此类问题的关键在于构造直角三角形，利用勾股定理求解各边的长度，有时还会运用面积法来求解关键边的长度.【例2】（2020•岳麓区模拟）如图，在6×6的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的顶点上，则tan∠BAC的值是（）【考点3 锐角三角函数的增减性】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握锐角三角函数的增减性，当角度在0°～90°间变化时，正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）【例3】（2019秋•新乐市期中）sin58°、cos58°、cos28°的大小关系是（）A．cos28°＜cos58°＜sin58°B．sin58°＜cos28°＜cos58°C．cos58°＜sin58°＜cos28°D．sin58°＜cos58°＜cos28°【考点5 互余两角三角函数的关系】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握互余角的三角函数间的关系：sin(90°-α)=cosα, cos(90°-α)=sinα, 【例5】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，垂足为D．给出下列四个结论：①sinα＝sin B；②sinβ＝sin C；③sin B＝cos C；④sinα＝cosβ．其中正确的结论有．【考点6 特殊角的三角函数值的计算】【方法点拨】解决此类问题的关键在于熟记特殊角三角函数值：【例6】（2020•灌云县模拟）计算：（1）2sin30°+3cos60°﹣4tan45°（2）cos230°1+sin30°+tan260°【考点8 解直角三角形】【方法点拨】解决此类问题的关键在于解直角三角形（Rt△ABC,∠C＝90°）①三边之间的关系：a2+b2=c2；②两锐角之间的关系：∠A＋∠B＝90°；③边角之间的关系；正弦（sin）等于对边比斜边，余弦（cos）等于邻边比斜边正切（tan）等于对边比邻边.；④解直角三角形中常见类型：①已知一边一锐角．②已知两边．【例8】（2020秋•沙坪坝区校级月考）如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC＝14，AD＝12，sin B=45．（1）求线段CD的长度；（2）求cos∠C的值．【考点9 解斜三角形】【方法点拨】解决此类问题的关键在于作垂线将斜三角形分割成两个直角三角形，进而通过解直角三角形进行求解. 【例9】（2020春•牡丹江期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，则BC的长是（）A．6√2B．2√19C．2√13D．9【考点10 解直角三角形（作垂线）】【例10】（2019•包头模拟）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，∠BCD＝120°，∠ADC+∠ABC＝180°．（1）求△BCD的面积；（2）求cos∠ADB．【考点11 解直角三角形的应用（实物建模问题）】【例11】（2020•芝罘区一模）如图1，图2分别是网上某种型号拉杆箱的实物图与示意图，根据商品介绍，获得了如下信息：滑杆DE、箱长BC、拉杆AB的长度都相等，即DE＝BC＝AB，点B、F在线段AC上，点C在DE上，支杆DF＝30cm，CE：CD＝1：3，∠DCF＝45°，∠CDF＝30°．请根据以上信息，解决下列问题；（1）求AC的长度（结果保留根号）；（2）求拉杆端点A到水平滑杆ED的距离（结果保留到1cm）．参考数据：√2≈1.41，√3≈1.73，√6≈2.45．【考点12 解直角三角形的应用（坡度坡脚问题）】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握坡度坡脚问题：（1）坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，一般用i表示，常写成i=1：m的形式．（2）把坡面与水平面的夹角α叫做坡角，坡度i与坡角α之间的关系为：i=h/l=tanα．（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题．【例12】（2020•海陵区一模）水坝的横截面是梯形ABCD，现测得坝顶DC＝4m，坡面AD的坡度i为1：1，坡面BC的坡角β为60°，坝高3m，（√3≈1.73）求：（1）坝底AB的长（精确到0.1）；（2）水利部门为了加固水坝，在保持坝顶CD不变的情况下降低AD的坡度（如图），使新坡面DE的坡度i为1：√3，原水坝底部正前方2.5m处有一千年古树，此加固工程对古树是否有影响？请说明理由．【考点13 解直角三角形的应用（俯角仰角问题）】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握俯角仰角问题：（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角．（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．【例13】（2020•赛罕区二模）如图，在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC，数学兴趣小组的同学在斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45°，然后他们沿着坡度为1：2.4的斜坡AP攀行了26米，在坡顶A处又测得该塔的塔顶B的仰角为76°．求：（1）坡顶A到地面水平线PO的距离；（2）古塔BC的高度．（结果用非特殊角三角函数和根号表示即可）【考点14 解直角三角形的应用（方位角问题）】【方法点拨】解决此类问题的关键在于掌握方位角问题：（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数．（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角．【例14】（2020•锦州一模）如图，在一条东西走向的公路MN的同侧有A，B两个村庄，村庄B位于村庄A的北偏东60°的方向上（∠QAB＝60°），公路旁的货站P位于村庄A的北偏东15°的方向上，已知P A平分∠BPN，AP＝2km，求村庄A，B之间的距离．（计算结果精确到0.01km，参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732，√6≈2.449）。

解直角三角形一、锐角三角函数 （一）、锐角三角函数定义在直角三角形ABC 中，∠C=900，设BC=a ，CA=b ，AB=c ，锐角A 的四个三角函数是： (1) 正弦定义：在直角三角形中ABC ，锐角A 的对边与斜边的比叫做角A 的正弦，记作sinA ，即sin A =ca, （2）余弦的定义：在直角三角行ABC ，锐角A 的邻边与斜边的比叫做角A 的余弦，记作cosA ，即cos A =cb , （3）正切的定义：在直角三角形ABC 中，锐角A 的对边与邻边的比叫做角A 的正切，记作tanA ，即tan A =ba， (4)锐角A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切,记作cotA 即aA A A b的对边的邻边cot =∠∠=锐角A 的正弦、余弦，正切、余切都叫做角A 的锐角三角函数。

这种对锐角三角函数的定义方法，有两个前提条件： （1）锐角∠A 必须在直角三角形中，且∠C=900；（2）在直角三角形 ABC 中，每条边均用所对角的相应的小写字母表示。

否则，不存在上述关系注意:锐角三角函数的定义应明确(1)c a ， c b ，b a ，ab四个比值的大小同△ABC 的三边的大小无关，只与锐角的大小有关，即当锐角A 取固定值时，它的四个三角函数也是固定的；（2）sinA 不是sinA 的乘积，它是一个比值，是三角函数记号，是一个整体，其他三个三角函数记号也是一样；（3）利用三角函数定义可推导出三角函数的性质，如同角三角函数关系，互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等； （二）、同角三角函数的关系 （1）平方关系：122sin=∂+COS α(2)倒数关系：tan ａ cota=1 (3)商数关系：∂∂=∂∂∂=sin cos cot ,cos sin tan 注意：（1）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同事还要注意它们的变形公式。

(2)()∂∂sin sin22是的简写，读作“∂sin 的平方”，不能将∂∂22sin 写成sin前者是a 的正弦值的平方，后者无意义；（3）这里应充分理解“同角”二字，上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同，如1cot tan ,1223030cossin22=•=∂+∂，而1cossin 22=+∂β就不一定成立。