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23.1.2 30°，45°，60°角的三角函数值知识点 1 特殊角的三角函数值1．如图23－1－32在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°，则sin30°＝________．若AB ＝a ，则BC ＝________，AC ＝________，∴cos30°＝________．图23－1－322．［2017·某某］cos60°的值等于( )A. 3 B ．1 C.22D. 123．如图23－1－33，以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，则tan ∠AOB 的值等于________．图23－1－33知识点 2 含特殊角的三角函数的实数运算 4．计算2tan45°的结果等于( )A.22B ．1 C. 2 D. 325．计算 cos 245°＋ sin 245°的结果等于( )A. 12 B ．1 C. 14 D. 22 6．化简（tan30°－1）2等于( ) A ．1－33B ．－3－1 C.33－1 D. 3－1 7．下列结论中正确的是( ) A ．sin30°＋sin40°＝sin70°B ．cos30°＋cos30°＝cos60°C ．2tan30°＝tan60°D ．tan30°·tan60°＝18．计算：(1)3sin60°－2cos45°＋38；(2)sin60°cos30°－（1－tan60°）2；(3)tan30°＋cos60°sin60°；(4)2sin45°－|－2|－(－2018)0＋(13)－1＋3tan30°.知识点 3 已知三角函数值求特殊角 9．已知tan A ＝1，则锐角A 的度数是( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°10．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，如果cos B ＝12，那么∠A 等于( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°11．在△ABC 中，若⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin A －12＋(33－tan B )2＝0，且∠A ，∠B 为锐角，则∠C 的度数为( )A ．30°B ．60°C ．90°D ．120°12．若α为锐角，当11－tan α无意义时，sin(α＋15°)＋cos(α－15°)的值为________．13．若tan A 的值是方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0的一个根，求锐角A 的度数．14．点M (－sin60°，－cos60°)关于x 轴对称的点的坐标是( ) A ．(32，12) B ．(－32，－12) C ．(－32，12) D ．(－12，－32) 15．［2016·某某二模］已知α，β均为锐角，且满足⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α－12＋（tan β－1）2＝0，则α＋β＝________°.16．［2016·某某］一般地，当α，β为任意角时，sin(α＋β)与sin(α－β)的值可以用下面的公式求得：sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β； sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β.例如：sin90°＝sin(60°＋30°)＝sin60°cos30°＋cos60°sin30°＝32×32＋12×12＝1. 类似地，可以求得sin15°的值是________．17．等腰三角形的底边长为20 cm ，面积为100 33cm 2，求它的各内角的度数．18．如图23－1－34，等边三角形ABC 中，D ，E 分别为AB ，BC 边上的点，且AD ＝BE ，AE 与CD 交于点F ，AG ⊥CD 于点G ，求AGAF的值．图23－1－3419．如图23－1－35，在△ABC 中，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边．若∠B ＝60°，则ca ＋b ＋ab ＋c的值为( )A. 12B.22C ．1 D. 2图23－1－3520．如图23－1－36，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝8，AD 为∠BAC 的平分线，AD ＝16 33，求∠B 的度数及边BC ，AB 的长．图23－1－36 教师详解详析1. 1212a 32a 322.D3. 3，△ABO 是等边三角形，故∠AOB＝60°，∴tan ∠AOB ＝ 3.4．C [解析] 把tan 45°＝1代入原式进行计算，即原式＝2×1＝ 2.故选C . 5．B [解析] cos 45°＝sin 45°＝22，代入原式，得cos 245°＋sin 245°＝(22)2＋(22)2＝12＋12B . 6．A [解析] ∵tan 30°＝33<1, ∴tan 30°－1＜0，∴（tan 30°－1）2＝1－tan 30°＝1－33. 7．D8．解：(1)3sin 60°－2cos 45°＋38 ＝3×32－2×22＋2＝52. (2)原式＝3232－（1－3）2＝1－3＋1＝2－ 3.(3)tan 30°＋cos 60°sin 60°＝(33＋12)÷32＝23＋33.(4)原式＝2×22－2－1＋3＋3×33＝2－2－1＋3＋3＝2＋ 3. 9．B [解析] ∵tan A ＝1，∠A 为锐角，tan 45°＝1， ∴∠A ＝45°.10．B [解析] ∵在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，cos B ＝12，∴∠B ＝60°，∴∠A ＝180°－∠C－∠B＝30°.故选B .11．D12. 3 [解析] 由已知得α＝45°，再代入计算． 13．解：解方程x 2－(1＋3)x ＋3＝0， 得x 1＝1，x 2＝ 3.由题意，知tan A ＝1或tan A ＝3， ∴∠A ＝45°或∠A＝60°.14． C[解析] 关于x 轴对称的两点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数． 15． 75[解析] ∵⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin α－12＋（tan β－1）2＝0，∴sin α＝12，tan β＝1.∵α，β均为锐角，∴＝30°，β＝45°. ∴α＋β＝30°＋45°＝75°. 故答案为75. 16．6－2417．解：如图．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝20 cm .设等腰三角形底边上的高AD 为x cm ，底角为α， 则有12x·20＝100 33，解得x ＝10 33.∵tan α＝10 3310＝33，∴α＝30°，∴顶角为180°－2×30°＝120°.∴该等腰三角形的三个内角的度数分别为30°，30°，120°. 18．解：在△CAD 与△ABE 中， ∵⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝AB ，∠CAD ＝∠ABE ＝60°，AD ＝BE ， ∴△CAD ≌△ABE ， ∴∠ACD ＝∠BAE. ∵∠BAE ＋∠CAE＝60°， ∴∠ACD ＋∠CAE＝60°，∴∠AFG ＝∠ACD＋∠CAE＝60°. 在Rt △AFG 中， ∵sin ∠AFG ＝AGAF ，∴AG AF ＝32. 19．C [解析] 如图，Rt △BDA 中，∵∠B ＝60°， ∴DB ＝c 2，AD ＝3c 2.在Rt △ADC 中，DC 2＝AC 2－AD 2，∴(a －c 2)2＝b 2－34c 2，即a 2＋c 2＝b 2＋ac ，∴c a ＋b ＋a b ＋c ＝c 2＋cb ＋a 2＋ab （a ＋b ）（b ＋c ）＝a 2＋c 2＋ab ＋bcac ＋ab ＋bc ＋b2＝1. 20．解：在Rt △ACD 中， ∵cos ∠CAD ＝AC AD ＝816 33＝32，且∠CAD 为锐角， ∴∠CAD ＝30°. ∵AD 为∠BAC 的平分线， ∴∠BAD ＝∠CAD＝30°， 即∠CAB＝60°，∴∠B ＝90°－∠CAB＝30°. ∵sin B ＝ACAB ，∴AB ＝ACsin B ＝8sin 30°＝16. 又∵cos B ＝BCAB ，∴BC ＝AB·cos B ＝16×32＝8 3.。
23.2 第2课时仰角、俯角问题知|识|目|标通过对实际问题的分析，了解仰角、俯角的定义，并能利用仰角、俯角的定义计算物体的高度．目标会运用解直角三角形解决仰角、俯角问题例1 ［教材补充例题］［xx·南通改编］热气球探测器显示，从热气球A看一栋楼顶部B的仰角α为45°，看这栋楼底部C的俯角β为60°，热气球与楼的水平距离为100 m．按照下列步骤，求这栋楼的高度(计算结果保留根号)．图23－3－4(1)由题意可知，在Rt△ABD中，∠BAD＝________，AD＝________m，则BD＝________m；(2)在Rt△ACD中，∠CAD＝________．根据正切的定义，tan∠DAC＝CDAD，则CD＝AD·tan∠DAC＝________m，∴BC＝BD＋CD＝________m.综上所述，这栋楼的高度为________m.例2 ［高频考题］［xx·荆门金桥］学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高．如图23－2－5，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°.已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶的坡角为30°，且点E，F，D在同一直线上．求旗杆AB的高．(计算结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)图23－2－5【归纳总结】视线、水平线、物体的高构成直角三角形，已知仰角(俯角)和测量点到物体的水平距离，利用解直角三角形的知识就可以求出物体的高度．知识点一 俯角和仰角的概念在进行高度测量过程中，视线与水平线会形成一个夹角，当视线在水平线______时这个夹角叫做仰角； 当视线在水平线______时这个夹角叫做俯角.如图23－2－6所示，∠1是仰角，∠2是俯角．图23－2－6[点拨] (1)仰角和俯角必须是视线与水平线所夹的角，而不是与铅垂线所夹的角；(2)仰角和俯角都是锐角．知识点二 解直角三角形——俯角、仰角问题利用解直角三角形的知识解决有关仰角和俯角的实际问题，通常借助视线、水平线、铅垂线构成的直角三角形进行解答．如图23－2－7所示，直升机在大桥AB 上方的点P 处，此时飞机离地面的高度为a m ，A ，B ，O 三点在一条直线上且PO ⊥AB 于点O ，测得点A 的俯角为α，点B 的俯角为β，求大桥AB 的长度．图23－2－7解：在Rt △POA 中，∵∠APO ＝α，tan ∠APO ＝OAOP，∴OA ＝OP ·tan α.在Rt △POB 中，∵∠BPO ＝β，tan ∠BPO ＝OBOP，∴OB ＝OP ·tan β，∴AB ＝OA －OB ＝OP (tan α－tan β)＝a (tan α－tan β)m.上面的解答过程正确吗？若不正确，请说明理由，并写出正确的解答过程．教师详解详析【目标突破】例1(1)45°100 100 (2)60°100 3 100(1＋3) 100(1＋3)例2[解析] 设AM＝x.过点C作CM⊥AB于点M，则MC＝AM.在Rt△AEF中，用含x 的式子表示EF.在Rt△CFD中，求出FD，从而根据ED＝MC列方程求出x，由此可求出AB 的长．解：如图，过点C作CM⊥AB于点M，则四边形CMED是矩形，且△AMC是等腰直角三角形．设AM＝x，则ED＝MC＝AM＝x，AE＝AM＋ME＝AM＋CD＝x＋3.在Rt△AEF中，EF＝AEtan∠AFE＝x＋3 3.在Rt△CFD中，FD＝CDtan∠CFD＝3 3.∵ED＝MC，∴x＋33＋3 3＝x.解得x＝6 3＋6，∴AB＝AM＋ME－BE＝6 3＋6＋3－1＝6 3＋8≈6×1.73＋8≈18.4(米)．答：旗杆AB的高约为18.4米．【总结反思】[小结] 知识点一上方下方[反思] 不正确．本题错在把从点P观测点A的俯角误认为是∠APO，从点P观测点B 的俯角误认为是∠BPO，只有弄清俯角的定义才能避免这类错误．正解：根据题意，得∠CPA＝α，∠BPC＝β，∴∠PAO＝α，∠PBO＝β.在Rt△POA中，∵tan∠PAO＝OP OA，∴OA＝OPtan∠PAO＝atanαm.在Rt△POB中，∵tan∠PBO＝OPOB，∴OB＝OPtan∠PBO＝atanβm，∴AB＝OA－OB＝(atanα－a tanβ)m.课堂反馈(三十三)1．7tanα2．1200 3 [解析] 由题意可知∠BAC＝60°，则BC＝AC·tan∠BAC＝1200×3＝1200 3(m)．3．3(3－1) [解析] 由题意可知，△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝AB＝3 m．在Rt △ACD中，AC＝AD·tan∠CDA＝3×tan60°＝3 3(m)，∴BC＝AC－AB＝3 3－3＝3(3－1)m.4．解：过点C作CE⊥AB于点E.在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BE＝CD＝5 m，∴∠CBE＝60°.根据正切的定义，得CE＝BE·tan∠CBE＝5 3 m.由题意可知，△ACE是等腰直角三角形，∴AE＝CE＝5 3 m，∴AB＝AE＋BE＝5(3＋1)m.故大树的高度为5(3＋1)m感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。
