2018秋九年级数学上册 第23章 解直角三角形 23.2 解直角三角形及其应用 第1课时 解直角三

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第3课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数和直角三角形的性质的基础上进行学习的，对于学生来说，这部分内容相对较难，需要学生有一定的抽象思维能力。

教材通过具体的例题和练习题，帮助学生理解和掌握解直角三角形的方法和应用。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对于锐角三角函数和直角三角形的性质有一定的了解。

但是，解直角三角形这部分内容相对较抽象，需要学生具备较强的逻辑思维能力和空间想象能力。

在教学过程中，需要关注学生的学习情况，对于理解有困难的学生，要给予耐心的指导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能目标：使学生理解和掌握解直角三角形的方法和应用。

2.过程与方法目标：通过自主学习和合作交流，培养学生的抽象思维能力和空间想象能力。

3.情感态度与价值观目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

四. 教学重难点1.重点：解直角三角形的方法和应用。

2.难点：对解直角三角形的理解和应用。

五. 教学方法1.情境教学法：通过设置具体的问题情境，引导学生主动探究和解决问题。

2.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，共同解决问题。

3.引导发现法：教师引导学生自主学习，发现和总结解直角三角形的方法和规律。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，帮助学生直观地理解和掌握解直角三角形的方法。

2.练习题：准备适量的练习题，巩固学生的学习效果。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用课件展示一个实际的直角三角形问题，引导学生思考如何解决这个问题，从而引出本节课的主题——解直角三角形。

2.呈现（10分钟）教师通过讲解和示范，向学生介绍解直角三角形的方法和步骤，并通过具体的例题进行讲解，让学生理解和掌握解直角三角形的方法。

23.2 第1课时 解直角三角形知识点 1 已知一边一锐角解直角三角形1．如图23－2－1，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8，则BC 的长是( )A. 4 33 B ．4 C ．8 3 D ．4 3图23－2－12．在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ＝40°，BC ＝3，则AC 等于( ) A ．3sin40° B ．3sin50° C ．3tan40° D ．3tan50°3．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A 的对边a ＝4，cos B ＝23，则斜边c 的长为________．4．如图23－2－2，AD ⊥CD ，∠ABD ＝60°，AB ＝4 m ，∠C ＝45°，则AC ＝________．图23－2－25．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .已知∠B ＝60°，c ＝20，解这个直角三角形．知识点 2 已知两边解直角三角形6．如图23－2－3，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝1，BC ＝3，那么∠B 的度数为( ) A ．60° B ．45° C ．30° D ．15°图23－2－37．在△ABC 中，已知∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别是a ，b ，c .若a ＝3，c ＝6，则下列解该直角三角形的结果中完全正确的一组是( )A ．∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝2 33B ．∠A ＝30°，∠B ＝60°，b ＝ 3C ．∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝ 3D ．∠A ＝45°，∠B ＝45°，b ＝628．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .已知a ＝5，b ＝7，解这个直角三角形．(角度精确到1″)知识点 3 将斜三角形转化为直角三角形 9．已知等腰三角形的腰长为2 3，底边长为6，则底角的度数为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 10．［教材例2变式］如图23－2－4，在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a ，b ，c .若∠A ＝60°，b ＝20 cm ，c ＝30 cm ，求BC 的长．图23－2－411．如图23－2－5，在△ABC 中，AD ⊥BC ，垂足为D .若AC ＝6 2，∠C ＝45°，tan B ＝3，则BD 等于( )A ．2B ．3C ．3 2D ．2 3图23－2－512．如图23－2－6，在△ABC 中，∠A ＝30°，tan B ＝32，AC ＝2 3，则AB 的长度为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．7图23－2－613．［2017·义乌］以Rt △ABC (∠B ＝90°)的锐角顶点A 为圆心，适当长为半径作弧，与边AB ，AC 分别交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A 作直线，与边BC 交于点D ，若∠ADB ＝60°，点D 到AC 的距离为2，则AB 的长为________．14．［2017·临沂］如图23－2－7, 在▱ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O .若AB ＝4，BD ＝10，sin ∠BDC ＝35，则▱ABCD 的面积是________．图23－2－715．在△ABC 中，AB ＝8，∠B ＝30°，AC ＝5，则BC ＝________．16．如图23－2－8，已知 tan C ＝43，点P 在边CA 上，CP ＝5，点M ，N 在边CB 上，PM ＝PN .若MN ＝2，求PM 的长．图23－2－817．如图23－2－9，在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，AE 是BC 边上的中线，cos C ＝22，sin B ＝13，AD ＝1.(1)求BC 的长；(2)求tan ∠DAE 的值．图23－2－918．在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，有一个锐角为60°，BC ＝6.若点P 在直线AC 上(不与点A ，C 重合)，且∠ABP ＝30°，则CP 的长为__________．19．一副三角尺按图23－2－10放置，点C 在FD 的延长线上，AB ∥CF ，∠F ＝∠ACB ＝90°，∠E ＝30°，∠A ＝45°，AC ＝12 2，求CD 的长．图23－2－10教师详解详析1．D [解析] ∵Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝8， ∴cos B ＝BC AB ，即cos 30°＝BC 8，∴BC ＝8×32＝4 3.故选D .2．D3．6 [解析] 由余弦定义，得cos B ＝4c ＝23，解得c ＝6.4．2 6m [解析] 在Rt △ABD 中，∠D ＝90°，∠ABD ＝60°，AB ＝4.∵sin ∠ABD ＝ADAB ，即sin 60°＝AD4，∴AD ＝2 3.∵在Rt △ACD 中，∠D ＝90°，∠C ＝45°，AD ＝2 3， ∴sin ∠ACD ＝AD AC ，即sin 45°＝2 3AC ，∴AC ＝2 6 m .5．解：在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∠B ＝60°，∴∠A ＝180°－∠C－∠B＝180°－90°－60°＝30°，∴a ＝12c ＝12×20＝10，∴b ＝c 2－a 2＝202－102＝10 3. 6．C 7.C8．[解析] 由勾股定理，可先求得c 的值．然后选用tan A ＝ab ，利用计算器求得锐角A ，最后根据两锐角互余，可得另一锐角B 的度数．解：∵a＝5，b ＝7，∴c ＝a 2＋b 2＝52＋72＝74.∵tan A ＝a b ＝57，∴∠A ≈35°32′16″，则∠B≈54°27′44″.9．A [解析] 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2 3，BC ＝6，过点A 作AD⊥BC 于点D ，则BD ＝3.在Rt △ABD 中，cos B ＝BD AB ＝32 3＝32，∴∠B ＝30°，即等腰三角形的底角为30°.10．解：如图，过点C 作CD⊥AB，垂足为D. 在Rt △ACD 中，∵sin A ＝CD AC ，cos A ＝ADAC ，∴CD ＝b sin 60°＝20×32＝10 3，AD ＝b cos 60°＝20×12＝10，BD ＝30－10＝20， ∴BC ＝（10 3）2＋202＝10 7(cm )．11． A[解析] ∵AC＝6 2，∠C ＝45°， ∴AD ＝AC·sin 45°＝6 2×22＝6. ∵tan B ＝3，∴AD BD ＝3，∴BD ＝AD3＝2.故选A .12． B[解析] 过点C 作CD⊥AB 于点D. ∵sin A ＝CDAC，∴CD ＝AC·sin A ＝AC·sin 30°＝2 3×12＝ 3.∵cos A ＝ADAC，∴AD ＝AC·cos 30°＝2 3×32＝3. ∵tan B ＝CD BD ＝32，∴BD ＝2.∴AB ＝AD ＋BD ＝3＋2＝5. 故选B .13．2 3 [解析] 如图，由题意可知AD 平分∠BAC.作DE⊥AC，垂足为E ，则DE ＝2，所以BD ＝DE ＝2.在Rt △ABD 中，tan ∠ADB ＝ABBD ，所以AB ＝2×3＝2 3.14．24 [解析] 根据sin ∠BDC ＝35可以求出△BCD 中BD 边上的高，从而求出▱ABCD 的面积．过点C 作CE⊥BD 于点E ，在Rt △ECD 中，∵sin ∠BDC ＝35＝CE CD ＝CE AB ，AB ＝4，∴CE ＝125，S ▱ABCD ＝2×12×BD×CE＝24.15． 4 3±3[解析] 由于∠C 可能是锐角也可能是钝角，因此要分类求解．如图，过点A 作BC 边的垂线，设垂足为D.首先在Rt △ABD 中，求出AD 的长，进而可在两个直角三角形中求出CD ，BD 的长．16．解：如图，过点P 作PD⊥MN 于点D.∵tan C ＝PD CD ＝43，∴设PD ＝4x ，则CD ＝3x. ∵CP ＝5，∴由勾股定理，得(3x)2＋(4x)2＝52， 解得x ＝1，∴PD ＝4.∵MN ＝2，PM ＝PN ，PD ⊥MN ，∴MD ＝1， ∴PM ＝42＋12＝17.17．解：(1)在△ABC 中，∵AD 是BC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.∵cos C ＝22，∴∠C ＝45°. 在△ADC 中，∵∠ADC ＝90°，AD ＝1，∠C ＝45°，∴CD ＝AD ＝1. 在△ADB 中，∵∠ADB ＝90°，sin B ＝AD AB ＝13，AD ＝1，∴AB ＝ADsin B ＝3，∴BD ＝AB 2－AD 2＝2 2，∴BC ＝BD ＋CD ＝2 2＋1. (2)∵AE 是BC 边上的中线， ∴CE ＝12BC ＝2＋12，∴DE ＝CE －CD ＝2－12，∴tan ∠DAE ＝DE AD ＝2－12.18． 2 3或4 3或6[解析] (1)如图①，∠ABP ＝30°. ∵∠ABC ＝60°，∴∠ACB ＝30°. ∵BC ＝6，∴AB ＝3， ∴AC ＝3 3.在Rt △BAP 中，tan 30°＝APAB ，∴AP ＝AB·tan 30°＝3×33＝3，∴CP＝3 3－3＝2 3.(2)如图②，由图①知AB＝3，AC＝3 3.又∠ABP＝30°，∴AP＝3，∴CP＝3 3＋3＝4 3.(3)如图③，∵∠ABC＝∠ABP＝30°，∠BAC＝90°，∴∠C＝∠P，∴BC＝BP.∵∠C＝60°，∴△CBP是等边三角形，∴CP＝BC＝6.故答案为2 3或4 3或6.19．解：如图，过点B作BM⊥FD于点M.在△ACB中，∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝12 2，∴BC＝AC＝12 2.∵AB∥CF，∴∠BCM＝∠ABC＝45°，∴BM＝BC·sin45°＝12 2×22＝12，∴CM＝BM＝12.在△EFD中，∵∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BMtan60°＝4 3，∴CD＝CM－MD＝12－4 3.。

沪科版数学九年级上册23.2.2 解直角三角形及其应用教学设计例3 如图 23-16，一学生要测量校园内一棵水杉树的高度。

他站在距离水杉树8米的E处,测得树顶端A的仰角∠ACD为52°,已知测角器CE=1.6米，问树高AB为多少米？(精确到0.1m).例4 解决本章引言所提问题。

如图23-17，某校九年级学生要测量当地电视塔的高度AB，因为不能直接到达塔底B处，他们采用在发射台院外与电视塔底B成一直线的C，D两处地面上，用测角器测得电视塔顶部A的仰角分别为45°和30°,同时量得CD为50m，已知测角器高为1m，问电视塔的高度为多少米？(结果精确到1m).例5 如图23-18，一船以20n mile/h的速度向东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60°的方向上，老师提示:解决这个问题的方法，我们称为实际问题数学化，这是解决实际问题常用的方法。

通过学生自己的观察、比较、总结出在这些结论。

实际问题数学化，由实际问题画出平面图形，也能有平面图形想像出实际情景，再根据解直角三角形的来解决实际问题。

并且了解了仰角，俯角的概念。

引导学生再次思考。

加强学生的合作意识，使学生养成大胆猜测和想象的能力，积极参与数学问题的谈论，敢于发表自己的见解。

强调易错点，加继续航行1h到达B处，再测得灯塔C在北偏东30°的方向上，已知灯塔C四周10 n mile 内有暗礁，问这船继续向东航行是否安全？分析：这船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C 到AB航线的距离是否大于10 n mile解直角三角形应用的基本图形①不同地点看同一点(如图①)；②同一地点看不同点(如图②)建筑物BC上有一旗杆AB，由距BC 40m的D处观察旗杆顶部A的仰角54°，观察底部B的仰角为45°，教师再给予点评、引导，然后共同完成问题的解决。

在探索中发现，这样才能理解其中的规律并能加以总结．通过问题的解决和延伸，引发学生自主思考，培养学生解决问题的逻辑思维能力。

解直角三角形及其应用第一课时 教学目标：1、熟练掌握直角三角形除直角外五个元素之间的关系。

2、学会根据题目要求正确地选用这些关系式解直角三角形。

教学重难点：1、重点：会利用已知条件解直角三角形。

2、难点：根据题目要求正确选用适当的三角关系式解直角三角形。

教学过程： 1、复习回顾＊直角三角形三边的关系: 勾股定理 a 2+b 2=c 2. 直角三角形两锐角的关系:两锐角互余 ∠A+ ∠B=90°. ＊直角三角形边与角之间的关系:锐角三角函数＊互余两角之间的三角函数关系: sinA=cosB . ＊同角之间的三角函数关系:＊特殊角30°,45°,60°角的三角函数值.2、新课探究：有以上的关系，如果知道了五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出其余的三个元素。

在直角三角形中，除直角外，由已知元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形。

例1 在RT △ABC 中,∠C=90°,∠B=42°6′,c=287.4,解这个三角形。

解：∠A=90°-42°6′=47°54′a=c ·cosB=287.4×0.7420=213.3b=c ·sinB=287.4×0.6704=192.7例2 在△ABC 中，∠A=55°,b=20cm,c=30cm,求三角形的面积 （精确到0.1cm 2）解：如图，作AB 上的高CD ，在RT △ACD 中，CD=AC ·sinA=b ·sinA.abBcaB A ==cos sin cbB A ==sin cos .cos sin tan AAA =1sin cos 22=+B A 得由,cos c aB =得由,sin cb B =ABCS∆A bc CD AB S ABC sin 2121=⋅∴=∆当∠A=55°，b=20cm,c=30cm 时，有3、练习：(1)在RT △ABC 中，∠C=90°,AC=6, ∠BAC 的平分线AD= ，解此直角三角形。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第1课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容。

本节内容是在学生已经掌握了直角三角形的性质、锐角三角函数的概念和勾股定理的基础上进行学习的。

本节课的主要内容是让学生学会解直角三角形，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

教材中通过丰富的实例，引导学生探究直角三角形的边角关系，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对直角三角形和锐角三角函数的概念有一定的了解。

但在解决实际问题时，还可能存在一定的困难。

因此，在教学过程中，教师需要关注学生的学习情况，及时进行引导和帮助。

三. 教学目标1.知识与技能目标：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2.过程与方法目标：通过观察、操作、探究等活动，培养学生的动手操作能力和解决实际问题的能力。

3.情感态度与价值观目标：让学生体验数学在生活中的应用，提高学生学习数学的兴趣。

四. 教学重难点1.教学重点：让学生掌握解直角三角形的方法，并能运用解直角三角形的知识解决实际问题。

2.教学难点：如何引导学生将实际问题转化为解直角三角形的问题，并运用相应的解决方法。

五. 教学方法1.引导法：教师通过提问、引导，激发学生的思考，引导学生自主探究解直角三角形的方法。

2.实例分析法：教师通过展示实例，让学生观察、操作，培养学生的动手操作能力。

3.小组合作法：学生分组讨论，共同解决实际问题，培养学生的合作意识。

六. 教学准备1.教师准备：教师需要准备相关的教学材料，如PPT、实例、习题等。

2.学生准备：学生需要预习相关内容，了解直角三角形的性质和锐角三角函数的概念。

七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜边长度等，引导学生思考如何解决这些问题。

沪科版数学九年级上册23.2《解直角三角形及其应用》（第2课时）教学设计一. 教材分析《解直角三角形及其应用》是沪科版数学九年级上册第23.2节的内容，主要介绍了解直角三角形的知识和方法。

本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初中的重点和难点内容。

本节课的主要内容包括解直角三角形的定义、解直角三角形的步骤和方法、解直角三角形的应用等。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何知识，对锐角三角函数有一定的了解。

但是，解直角三角形这一概念对于学生来说比较抽象，不易理解。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生通过实际操作来理解解直角三角形的概念，并通过大量的练习来巩固解直角三角形的方法和应用。

三. 教学目标1.理解解直角三角形的定义和意义。

2.掌握解直角三角形的步骤和方法。

3.能够应用解直角三角形解决实际问题。

四. 教学重难点1.解直角三角形的概念和步骤。

2.解直角三角形的应用。

五. 教学方法1.采用问题驱动法，引导学生通过解决实际问题来理解解直角三角形的概念和方法。

2.使用多媒体辅助教学，通过动画和图片来形象地展示解直角三角形的步骤和应用。

3.学生进行小组讨论和合作学习，促进学生之间的交流和合作。

六. 教学准备1.多媒体教学设备。

2.教学PPT。

3.练习题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用多媒体展示一些实际问题，如测量旗杆的高度、计算建筑物的斜面积等，引导学生思考如何利用几何知识解决这些问题。

2.呈现（10分钟）通过PPT呈现解直角三角形的定义、步骤和方法，并配以动画和图片，帮助学生形象地理解解直角三角形的概念。

3.操练（10分钟）学生进行小组讨论，让学生通过实际操作来巩固解直角三角形的方法。

可以让学生分组测量教室内的物品长度、高度等，并计算其斜边长度。

4.巩固（10分钟）让学生独立完成一些解直角三角形的练习题，检验学生对解直角三角形方法的掌握程度。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将解直角三角形的方法应用到实际问题中，如测量山峰的高度、计算桥梁的跨度等。