圆内接正多边形画法

怎样利用几何画板画圆内接正七边形0
由正七边形的特征，我们知道，每一个点都相当于前面的点逆时针旋转360°/7，抓住这个规律，我们可以用几何画板迭代功能来解决。

下面将详细介绍几何画板圆内接正七边形的绘制方法。

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具体的操作步骤如下：0
1.利用“圆工具”画圆O，在圆O上任取一点A。

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利用“圆工具”画圆O并取圆上的点A0
2.双击圆心O作为旋转中心。

选中A点，选择菜单“变换”——“旋转”，旋转参数选为选择固定角度，然后在框中输入360/7，然后点击“旋转”按钮，将旋转得到的点标签改为B。

连接线段AB。

利用旋转得到点B并构造线段AB0
3.选择A点，选择“变换”——“迭代”，点击B点作为初像。

此时屏幕上显示出迭代的像是正七边形的4条边（因为系统默认非深度迭代的迭代次数是3次）。

单击迭代框的“显示”按钮，选择“增加迭代”。

（或者按键盘的‘＋’或‘－’）。

增加三次迭代后，我们可以看到一个完整的正七边形。

此时的迭代次数为6次。

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选择“变换”——“迭代”命令构造圆内接正七边形0
注意：单击迭代框的“显示”按钮下的“最终迭代”，得到的图像仅是最后一条边。

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4.点击迭代框“结构”按钮，我们可以设置创建的对象，选择“仅保留非点类象”，则迭代的像只有正多边形的各条边，而没有顶点，反之则有。

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构造的没有顶点的圆内接正七边形示例0
以上给大家介绍了几何画板圆内接正七边形的构造方法，其实构造圆内接正多边形的教程还有很多，比如圆内接正五边形，可参考几何画板官网教程：如何在几何画板中绘制正多边形。

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正五边形尺规作图的画法与其他正五边形的画法第一种：圆内接正五边形的画法如下:1、作一个圆,设它的圆心为O；2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；3、作OY的中点M；4、以点M为圆心,MA为半径作圆,交OX于点N；5、以点A为圆心,AN为半径,在圆上连续截取等弧,使弦AB=BC=CD=DE=AN,则五边形ABCDE即为正五边形.第二种作法：1. 以O为圆心,半径长为R画圆,并作互相垂直的直径MN和AP；2. 平分半径OM于K,得OK=KM；3. 以K为圆心,KA为半径画弧与ON交于H, AH即为正五边形的边长；4. 以AH为弦长,在圆周上截得A、B、C、D、E各点,顺次连结这些点.五边形ABCDE即为所求.第三种：圆内接正五边形的画法如下:1、作一个圆,设它的圆心为O；2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；3、作OY的中点M；4、以点M为圆心,MA为半径作圆,交OX于点N；5、以点A为圆心,AN为半径,在圆上连续截取等弧,使弦AB=BC=CD=DE=AN,则五边形ABCDE即为正五边形.以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系,用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段,从而作出整个图形,这是尺规作图中常用的一种方法——等线段法,即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段.正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点,但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实,有的困难一些,有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些,还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法,这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法,也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来,所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题,却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作,得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17世纪的费马,就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家,他研究了形如Fi 〔i为右下角标〕＝22i〔底数2指数2的i次幂〕＋1 的数．费马的一个著名猜想是,当n≥3时,不定方程xn＋yn＝zn没有正整数解．现在他又猜测Fi都是素数,对于i＝0,1,2,3,4时,容易算出来相应的Fi：F0＝3,F1＝5,F2＝17,F3=257,F4=65 537验证一下,这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论,伟大的欧拉发现它竟不是素数,因而,伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5＝641×6 700 417．当然,这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事,不然,何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是,不仅F5不是素数,F6,F7也不是素数,F8,F9,F10,F11等还不是素数,甚至,对于F14也能判断它不是素数,但是它的任何真因数还不知道．至今,人们还只知F0,F1,F2,F3,F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数,于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想,形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．当然,形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难,不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出,而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事．更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年,一位德国数学家高斯,在他仅20岁左右之时发现,当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的,他发现了更一般的结论：正n 边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k〔2的k次幂〕或2k×p1×p2×…×ps,〔1,2…s为右下角标〕其中,p1,p2,…,ps是费马素数．正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数,但不是费马素数．倒是正17边形可尺规作图,高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论,还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样,一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决,而这一问题解决的过程是如此的蹊跷,它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了,而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分,那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分,其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏,由此引导他走上数学道路<他早期曾在语言学与数学之间犹豫过>,而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底,以致有了高斯的定理,我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形,还进而知道了它们为什么能用尺规作图,就因为3和5都是费马素数<3=F0,5＝F1>；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形,乃至于正11边形、正 13边形,现在我们能有把握地说,它们不可能由尺规作图,因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形,即使我们不知道具体如何作,可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外,为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22,因为6= 2· 3而 3=F0．。

圆内接正五边形的画法原理证明
首先我们需要明确一下，正多边形外接圆的半径为正多边形边长的一半，也就是说如果我们要画出一个内接正五边形，那么我们需要先确定它的外接圆。

接下来我们就可以用正五边形的对称性来确定各个顶点的位置了。

我们可以将外接圆分成五个相等的扇形，在每个扇形的两个交点处分别作出正五边形的顶点，这些顶点构成的形状就是所求的内接正五边形。

具体的画法如下：
1.画出外接圆并确定圆心。

2.用直线连接圆心与圆上任意一个点的连线。

3.将圆心与圆上所连接的点称为顶点A。

4.从顶点A开始，沿着圆周的方向逆时针或顺时针依次找到另外四个顶点B、C、D、E。

5.依次连接相邻的顶点，最终得到一个内接正五边形。

画法原理的证明可以通过数学知识进行证明。

我们可以证明，在正五边形中，五个角的大小相等，每个角的大小是108度。

同时我们可以证明，在五个相邻的顶点之间的连线上，两两之间的夹角都是36度。

因此当我们按照一定的方式确定出五个相邻的顶点后，它们构成的图形一定是一个内接正五边形，因为五个顶点与圆心所形成的五个扇形的角度总和为360度，而五个相邻顶点之间的夹角也是相等的，因此五个顶点所组成的内角总和一定是540度，也即五个角的大小之和为540度，因此每个角的大小都是108度，符合正五边形的定义。

正五边形尺规作图的画法及其他正五边形的画法圆内接正五边形的画法如下:1、作一个圆，设它的圆心为O；2、作圆的两条互相垂直的直径AZ和XY；3、作OY的中点M；4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N；5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AN，则五边形ABCDE即为正五边形。

以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系，用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段，从而作出整个图形，这是尺规作图中常用的一种方法——等线段法，即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段。

正多边形的尺规作图是大家感兴趣的．正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五边形的直规作图方法．确实，有的困难一些，有的容易一些．正七边形的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易；一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来，所以断言它是不能用尺规作出的．人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题，却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来．这个悬案一直悬而未决两千余年．17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国业余数学家，他研究了形如Fi （i为右下角标）＝22i（底数2指数2的i次幂）＋1 的数．费马的一个著名猜想是，当n≥3时，不定方程xn＋yn＝zn没有正整数解．现在他又猜测Fi都是素数，对于i＝0，1，2，3，4时，容易算出来相应的Fi：F0＝3，F1＝5，F2＝17，F3=257，F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数．F5=225+1是否素数呢？仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论，伟大的欧拉发现它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！F5是两素数之积：F5＝641×6 700 417．当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6，F7也不是素数，F8，F9，F10，F11等还不是素数，甚至，对于F14也能判断它不是素数，但是它的任何真因数还不知道．至今，人们还只知F0，F1，F2，F3，F4这样5个数是素数．由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如22i＋1的素数只有有限个．但对此也未能加以证明．当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数．由于素数分解的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分解某个Fi也不是一件简单的事．更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅20岁左右之时发现，当正多边形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正n边形可尺规作图的充分且必要的条件是n=2k（2的k次幂）或2k×p1×p2×…×ps，（1，2…s为右下角标）其中，p1，p2，…，ps是费马素数．正7边形可否尺规作图呢？否！因为7是素数，但不是费马素数．倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了正17边形．根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正257边形．就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的猜想相关连．正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了，而正多边形可以换个角度被视为是对圆的等分，那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆作了17等分，其图形更觉完美、好看．高斯本人对此也颇为欣赏，由此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在他逝后的墓碑上就镌刻着一个正17边形图案．高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们对于早已知道如何具体作图的正三边形、正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为3和5都是费马素数(3=F0，5＝F1)；对于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正11边形、正 13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为7、11、13都不是费马素数；对于正257边形、正65 537边形，即使我们不知道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外，为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为4＝22，因为6= 2· 3而 3=F0．。