九年级数学《圆内接正多边形》

正多边形和圆【学习目标】1. 了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2 .理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中央角之间的关系,会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形：3 .会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】要点一、正多边形的概念各边相等,各角也相等的多边形是正多边形.要点进阶：判断一个多边形是否是正多边形,必须满足两个条件：(1)各边相等：(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等,矩形的各角都相等,但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).要点二、正多边形的重要元素1 .正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切,只要把一个圆分成相等的一些弧,就可以作出这个圆的内接正多边形,这个圆就是这个正多边形的外接圆.2 .正多边形的有关概念(1) 一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中央.(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径.(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中央角.(4)正多边形的中央到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距.3 .正多边形的有关计算f«-2Y1800(1)正n边形每一个内角的度数是i——L------------------- ；360°(2)正n边形每个中央角的度数是—:n360°(3)正n边形每个外角的度数是—.n要点进阶：要熟悉正多边形的根本概念和根本图形,将待解决的问题转化为直角三角形.要点三、正多边形的性质1 .正多边形都只有一个外接圆,圆有无数个内接正多边形.2 .正n边形的半径和边心距把正n边形分成2 n个全等的直角三角形.3 .正多边形都是轴对称图形,对称轴的条数与它的边数相同,每条对称轴都通过正n边形的中央：当边数是偶数时,它也是中央对称图形,它的中央就是对称中央.4,边数相同的正多边形相似.它们周长的比,边心距的比,半径的比都等于相似比,面积的比等于相似比的平方.5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆要点进阶：〔1〕各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形：〔2〕各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.要点四.正多边形的画法1 .用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等,因此作相等的圆心角〔即等分顶点在圆心的周角〕可以等分圆：根据同圆中相等弧所对的弦相等,依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2 .用尺规等分圆对于一些特殊的正n边形,可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在.0中,用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份,从而作出正四边形.再逐次平分各边所对的弧〔即作NAOB 的平分线交出于E〕就可作出正八边形、正十六边形等,边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知,正六边形的边长与其半径相等,所以,在.0中,任画一条直径AB,分别以A、B为圆心,以.0的半径为半径画弧与..相交于C、D和E、F,那么A、C、E、B、F、D是..的6等分点.显然,A、E、F〔或C、B、D〕是..的3等分点.要点进阶：面正n边形的方法：〔1〕将一个圆n等份,〔2〕顺次连结各等分点.【典型例题】类型一、正多边形的概念例1.如下图,正五边形的对角线AC和BE相交于点M.〔1〕求证：AC/7ED：〔2〕求证：ME=AE.例2.如图,正方形ABCD内接于OO, E为DC的中点,直线BE交.0于点F,假设OO的半径为小云那么BF的长为.举一反三：【变式】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于〔〕A. 3： 4B. <3： 2C. 2： <3 D・ 1： 2类型二、正多边形和圆的有关计算例3.如图,AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线.〔1〕在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中,连接两个顶点,使连接的线段与AG平行,并说明理由：〔2〕两边延长AB、CD、EF、GH,使延长线分别交于点P、Q、M、N,假设AB=2,求四边形PQMN的例4. 如图〔1〕所示,圆内接aABC中,AB=BC=CA, OD、0E为..的半径,OD_LBC于点F, OE±AC于点G,求证：阴影局部四边形OFCG的面积是^畋的面积的3图⑴举一反三：【变式】如下列图,假设NDOE保持120°角度不变,求证：当ND0E绕着0点旋转时,由两条半径和AABC 的两条边围成的图形,图中阴影局部的面积始终是AABC的面积的,.3【稳固练习】一、选择题1 .等边三角形的内切圆半径,外接圆半径和高的比是〔〕A. 1 ： 2：B. 2： 3： 4C. 1 ： 2D. 1： 2： 32 .将边长为3cm的正三角形各边三等分,以这六个分点为顶点构成一个正六边形,那么这个正六边形的面积为〔〕A 30 2 D 3有二「3小：n , 二A. -------- c mB. ----------------- cmC. --------- c mD. 3,3cin2 4 83 .如图,4PQR是.0的内接正三角形,四边形ABCD是.0的内接正方形,BC〃QR,那么NA0Q=〔〕4 .周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S,、Si、S6,那么它们的大小关系是〔〕.A. S6>S：>S3B. S5>S I>S GC. S6>S3>S ID.5 .如下图,八边形ABCDEFGH是正八边形,其外接..的半径为点,那么正八边形的面积5为〔〕.A. —B. 4及C. 8D.426 .先作半径为杂的圆的内接正方形,接着作上述内接正方形的内切圆,再作上述内切圆的内接正方形,…,那么按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为〔〕A.〔劣°13.〔挈C. 〔6〕6 口.〔6〕7二、填空题7 . 一个正方形与圆有相等的周长,那么圆面积与正方形的面积比为.8 .如下图,正六边形内接于圆0,圆0的半径为10,那么图中阴影局部的面积为.9 .半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为.10 .如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,点P是其对角线BE上一动点,连接PC、PD,那么△ PCD 的周长的最小值是.11 .如下图,有一个圆.和两个正六边形Ti、L. L的6个顶点都在圆周上,工的6条边都和圆0相切〔我们称兀,T：分别为圆0的内接正六边形和外切正六边形〕.〔1〕设L,O的边长分别为a, b,圆.的半径为r,那么r：a二〔2〕正六边形T,, T二的面r：b=积比SjS二的值是.12 .如下图,正方形ABCD中,边长AB=3,.0与.O'外切且与正方形两边相切,两圆半径为R、r,贝lj R+r=.三、解做题13 .如图,正六边形ABCDEF的边长为2必m,点P为六边形内任一点.那么点P到各边距离之和为多少cm?14 .如图①、②、③,正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是..的内接三角形、内接四边形、内接五边形,点M、N分别从点B、C开始,以相同的速度中O0上逆时针运动.〔1〕求图①中NAPB的度数：〔2〕图②中,NAPB的度数是,图③中NAPB的度数是:〔3〕根据前而探索,你能否将此题推广到一般的正n边形情况？假设能,写出推广问题和结论：假设不能,请说明理由.15 .如图,正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异,我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度〞.在研究“接近度〞时,应保证相似图形的“接近度〞相等.〔1〕设正n边形的每个内角的度数为m°,将正n边形的“接近度〞定义为1180-m .于是,18〔Hn 越小,该正n边形就越接近于圆,①假设"20,那么该正n边形的“接近度〞等于:②当“接近度〞等于时,正n边形就成了圆.〔2〕设一个正n边形的半径〔即正n边形外接圆的半径〕为R,边心距〔即正n边形的中央到各边的距离〕为r,将正n边形的“接近度〞定义为|R-r|,于是|R-r越小,正n边形就越接近于圆. 你认为这种说法是否合理？假设不合理,请给出正n边形“接近度〞的一个合理定义.。

第04讲_圆内接正多边形知识图谱正多边形和圆知识精讲一. 正多边形的概念及性质1. 正多边形的定义：各角相等，各边相等的多边形叫做正多边形．2. 正多边形的相关概念：（1）正多边形的中心：我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；（2）正多边形的半径：外接圆的半径叫做正多边形的半径；（3）正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角；（4）正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．补充说明：正多边形的性质：（1）正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形；（2）正多边形都是轴对称图形，正n边形共有n条通过正n边形中心的对称轴；（3）偶数条边的正多边形既是轴对称图形，也是中心对称图形，其中心就是对称中心．二. 正多边形与圆的关系1. 把一个圆n等分，依次连结各个等分点所得到的多边形是这个圆的内接正n边形；这个圆叫这个正n边形的外接圆；经过各等分点作圆的切线，以相邻切线交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形．2. 定理：任何一个正多边形都有一个外接圆和一个内切圆；并且这两个圆是同心圆．三. 正多边形有关的计算1. 正n边形的每个内角都等于()2180nn-⋅︒；2. 正n边形的每一个外角与中心角相等，等于360n︒；3. 设正n 边形的边长为n a ，半径为R ，边心距为n d ，周长为n C ，面积为n S ；则：222111422n n n n n n n n n R d a C na S n d a d C =+==⋅⋅=⋅，，三点剖析考点：正多边形的概念、性质及相关计算重难点：正多边形相关计算．易错点：对正多边形相关的概念混淆不清．正多边形的相关概念例题1、 下面给出六个命题：①各角相等的圆内接多边形是正多边形；②各边相等的圆内接多边形是正多边形；③正多边形是中心对称图形；④各角均为120︒的六边形是正六边形；⑤边数相同的正n 边形的面积之比等于它们边长的平方比；⑥各边相等的圆外切多边形是正多边形．其中，正确的命题是_____________． 【答案】 ②⑤【解析】 ①错误，反例：矩形各角相等但不是正四边形；②正确，边相等则各边所对的圆心角相等，由半径和圆心角可构成 个全等的等腰三角形，则多边形的各内角也相等；③错误，正奇数边形不是中心对称图形；④错误，在正六边形的基础上作任意一组对边的平行线，仍然截出一个六边形，各内角均为，但不是正六边形；⑤正确，相似的性质；⑥错误，只要使切点与圆心的连线不平分多边形的边长即可．例题2、 若正多边形的一个外角为60º，则这个正多边形的中心角的度数是（ ） A.30° B.60° C.90° D.120° 【答案】 B【解析】 由于任意多边形的外角和均为360°，所以这个正多边形的边数为360660=，所以正六边形的中心角的度数为360606︒=︒．例题3、 正六边形的边心距与边长之比为（ ）A.3：3B.3：2C.1：2D.2：2【答案】 B【解析】 此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a ，由勾股定理即可求得OC 的长，继而求得答案．如图：设六边形的边长是a ， 则半径长也是a ；经过正六边形的中心O 作边AB 的垂线OC ，则AC=12AB=12a ，∴OC=22OA AC -=32a ，a n d nR O CBA∴正六边形的边心距与边长之比为：32a：a=3：2．故选B．例题4、已知：线段a（如图）（1）求作：正六边形ABCDEF，使边长为a（用尺规作图，要保留作图痕迹，不写作法及证明）（2）若a=2cm，则半径R=______cm，边心距r=______cm，周长p=______cm，面积S=______cm2．【答案】（1）（2）2，3，12，63【解析】（1）如图，正六边形ABCDEF即为所求；（2）∵a=2cm，∴半径R=2cm．∵OA=OB=AB=a，∴∠OAB=60°，∴r=OG=OA•sin60°=2×332cm．∵a=2cm，∴周长p=6a=12cm，∴S正六边形ABCDEF=6S△OAB=6×12×2×3=63（cm2）．相关计算例题1、如图，⊙O是△ABC的内切圆，若∠ABC=70°，∠ACB=40°，则∠BOC=__________________°．【答案】125【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，∴∠OBC=∠ABC=35°，∠OCB=∠ACB=20°，∴∠BOC=180°﹣∠OBC﹣∠OCB=180°﹣35°﹣20°=125°．例题2、已知正六边形的边长为2，则它的内切圆的半径为（）A.1B.3C.2D.23【答案】B【解析】如图，连接OA、OB，OG；∵六边形ABCDEF是边长为2的正六边形，∴△OAB是等边三角形，∴OA=AB=2，∴OG=OA•sin60°=2×32=3，∴边长为2的正六边形的内切圆的半径为3．例题3、如图1、2、3、…..、n，M、N分别是O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、五边形ABCDE、…..、正n边形ABCDE…..的边AB、BC上的点，且BM CN=，连接OM、ON．（1）求图1中MON∠的度数；（2）图2中MON∠的度数是____________，图3中MON∠的度数是____________；（3）试探究MON∠的度数与正n边形边数n的关系（直接写出答案）．【答案】（1）120︒；（2）90︒，72︒；（3）360 n︒【解析】解：分别连接OB、OC，（1）AB AC=ABC ACB∴∠=∠OC OB=，O是外接圆的圆心，CO ACB∴∠平分30OBC OCB∴∠=∠=︒30OBM OCN∴∠=∠=︒BM CN=，OC OB=OMB ONC∴∆∆≌BOM NOC∴∠=∠60BAC∠=︒120BOC∴∠=︒120MON BOC∴∠=∠=︒（2）同（1）可得MON∠的度数是90︒；图3中MON∠的度数是72︒（3）由（1）可知，360==1203MON︒∠︒；在（2）中，360==904MON︒∠︒；在（3）中360==725MON︒∠︒…..，故当n时，360 MONn︒∠=．随练1、如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠CAD=___________度．【答案】 36【解析】 ∵五边形ABCDE 是正五边形，∴AB =BC =CD =DE =EA =72°，∴∠CAD=12×72°=36°．随练2、 已知正多边形的半径与边长相等，那么正多边形的边数是（ ） A.4 B.5 C.6 D.8 【答案】 C【解析】 ∵正多边形的半径与边长相等，∴正多边形的相邻的两条半径与一条边围成一个正三角形， ∴正多边形的中心角为60°∵正多边形所有中心角的和为360°， ∴360606︒÷︒=，∴正多边形的边数为6，随练3、 若等边三角形的边长是12厘米，则其内切圆的面积为 ． 【答案】 12π平方厘米． 【解析】 如图，作OD ⊥AB ， ∵等边三角形的边长为12厘米， ∴AD=6厘米．又∵∠DAO=12∠BAC=12×60°=30°，∴tan30°=6DO DOAD ==33， ∴DO=23厘米，∴其内切圆的面积=π（23）2=12π． 故答案为：12π平方厘米．随练4、 如图，ABCD 是O ⊙的内接正方形，PQRS 是半圆的内接正方形，那么正方形PQRS 与正方形ABCD 的面积之比为____________．【答案】 2:5 【解析】随练5、 已知圆内接正方形的面积为2，求该圆的外切正三角形的外接圆的外切正六边形的面积．SOR Q P D CBA【答案】 3【解析】 如图，设AB 是圆内接正方形的边长，CD 是外切正三角形的边长，EF 是外切正六边形的边长，连结OA OB OC OE 、、、．∵AB 是内接正方形的边长，内接正方形面积为2，∴290AB OA OB AOB ==∠=︒，，∴1OA OB ==．∵CD 是外切正三角形的边长，∴60OA CD AOC ⊥∠=︒，，∴22OC OA ==． ∵EF 是外切正六边形的边长，∴602OC EF OEF OE EF CE ⊥∠=︒==，，，∴323CE ==， ∴43EF ，∴263436683EOF S S ∆===⎝⎭随练6、 已知直角三角形的外接圆半径为6，内切圆半径为2，那么这个三角形的面积是（ ） A.32 B.34 C.27 D.28 【答案】 D【解析】 暂无解析弧长与扇形的面积知识精讲一．弧长公式1.圆的周长：2πR C =2.弧长公式：π180nl R =（其中，l 表示弧长，n 表示这段弧所对圆心角度数值；R 表示该弧所在圆的半径）．二．扇形面积公式1.圆的面积公式：2πS R =2.扇形面积公式：21π3602n S R lR ==扇形（n 表示扇形圆心角度数值；R 表示半径）．三．圆锥、圆柱的侧面积与全面积1.圆锥（1）圆锥的侧面积：1=22S r l rl ππ=侧（以下公式中的l 均指扇形母线长）；（2）圆锥的全面积：221=+=+22S S S r r l r rl ππππ=+全底侧；（3）圆锥的体积：213V r h π=；（4）圆锥的高、底面半径、母线之间的关系：222r h l +=；（5）设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，侧面展开图的圆心角为n ︒；则有：360S r n l S ==底侧O BADC2.圆柱（1）圆柱的侧面积：=2S r h π侧（2）圆柱的全面积：2=2πr 2πS S S rh=++侧全底四．不规则图形面积的巧算一般利用拼凑法，割补法，把不规则图形切割拼接成面积容易计算的图形再进行计算，例如：弓形面积：=S S S -弓形三角形扇形．三点剖析一．考点：弧长、扇形面积公式，圆锥的侧面积、全面积计算 二．重难点：1.计算扇形面积，计算圆锥的侧面积；2.计算扇形面积的时候，除了用圆心角求面积，也可以用弧长求面积； 三．易错点：1.圆锥相关面积计算时，注意每个量对应关系； 2.计算圆锥侧面积时，注意母线和圆锥的高是不相等的．弧长公式例题1、 一个扇形的半径为8cm ，弧长为163cm π，则扇形的圆心角为__________． 【答案】 120︒【解析】 设扇形圆心角为n ︒，根据弧长公式可得：8161803n ππ=，解得：120n =︒．例题2、 如图，在Rt ∴ABC 中，∴C=90°，∴A=20°，BC=3，以点C 为圆心，BC 的长为半径的∴C 交AB 于点D ，交AC 于点E ，则（劣弧）的长为（ ）A.πB.πC.πD.π【答案】 A【解析】 连接CD ，如图所示， ∴∴C=90°，∴A=20°， ∴∴B=70°．l2πrrOh 2πrh O r∴CB=CD，∴∴BDC=∴B=70°，∴∴BCD=40°，∴的长为=．故选A．例题3、如图，半径为2cm的圆O与地面相切于点B，圆周上一点A距地面高为（2+3）cm，圆O沿地面BC 方向滚动，当点A第一次接触地面时，圆O在地面上滚动的距离为．【答案】53πcm．【解析】作AD⊥BC于D，OE⊥AD于E，则AE=2+3﹣2=3，又OA=2，∴sin∠AOE=32 AEOA=，∴∠AOE=60°，则AB的长为()6090251803ππ+⨯⨯=，则圆O在地面上滚动的距离为53πcm，故答案为：53πcm．例题4、如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，CD与⊙O相切于点E，AD⊥CD于点D．（1）求证：AE平分∠DAC；（2）若AB=4，∠ABE=60°．①求AD的长；②求出图中阴影部分的面积．【答案】（1）AE平分∠DAC（2）①3；②43π﹣3【解析】（1）证明：连接OE，如图，∵CD与⊙O相切于点E，∴OE⊥CD，∵AD⊥CD，∴OE∥AD，∴∠DAE=∠AEO，∵AO=OE，∴∠AEO=∠OAE，∴∠OAE=∠DAE，∴AE平分∠DAC；（2）解：①∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∠ABE=60°．∴∠EAB=30°，在Rt△ABE中，BE=12AB=12×4=2，AE=3BE=23，在Rt△ADE中，∠DAE=∠BAE=30°，∴DE=12AE=3，∴AD=3DE=3×3=3；②∵OA=OB，∴∠AEO=∠OAE=30°，∴∠AOE=120°，∴阴影部分的面积=S扇形AOE﹣S△AOE=S扇形AOE﹣12S△ABE=21202360π﹣12•12•23•2=43π﹣3．例题5、【答案】5π【解析】暂无解析随练1、 如图，以AB 为直径的⊙O 与弦CD 相交于点E ，且AC=2，AE=3，CE=1．则BD 的长是（ ）A.39π B.239πC.33π D.233π【答案】 B【解析】 连接OC ，∵△ACE 中，AC=2，AE=3，CE=1， ∴AE 2+CE 2=AC 2，∴△ACE 是直角三角形，即AE ⊥CD ，∵sinA=CE AC =12，∴∠A=30°， ∴∠COE=60°，∴CE OC =sin ∠COE ，即1OC =32，解得OC=233，∵AE ⊥CD ， ∴BC =BD ，∴BD =BC =23603180π⨯=239π．随练2、 如图，等边三角形MNP 的边长为1，线段AB 的长为4，点M 与A 重合，点N 在线段AB 上．MNP △沿线段AB 按A B −−→的方向滚动，直至MNP △中有一个点与点B 重合为止，则点P 经过的路程为__________．【答案】43π 【解析】 该题考查的是弧长的计算．点P 经过的路程是两段弧，半径为1，圆心角为120︒，根据1=180n Rπ进行计算即可．故点P 经过的路程为：1201421803ππ⨯⨯⨯=．故答案为：43π．A (M )PNB扇形面积公式例题1、如图，一扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条和AC的夹角为120°，长为25cm，贴纸部分的宽BD 为15cm，若纸扇两面贴纸，则贴纸的面积为（）A.175πcm2B.350πcm2C.πcm2D.150πcm2【答案】B【解析】∴AB=25，BD=15，∴AD=25-15=10，∴S贴纸=（﹣）×2=350πcm2，例题2、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，⊙O的半径为3，弦CD的长为3cm，则图中阴影部分面积是_____．【答案】π﹣33 4【解析】∵弦CD⊥AB于点E，∴CE=32，∵OC=3，∴OE=32，∴∠OCE=30°，∴∠COD=120°，∴图中阴影部分面积=()21203360π⋅⨯﹣12×3×32=π﹣334，例题3、如图（a），有一张矩形纸片ABCD，其中AD=6cm，以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，将矩形纸片ABCD沿DE折叠，使点A落在BC上，如图（b）．则半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积为．【答案】（3π﹣）cm2．【解析】作OH∴DK于H，连接OK，∴以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，∴AD=2CD，∴A'D=2CD，∴∴C=90°，∴∴DA'C=30°，∴∴ODH=30°，∴∴DOH=60°，∴∴DOK=120°，∴扇形ODK的面积为=3πcm2，∴∴ODH=∴OKH=30°，OD=3cm，∴OH=cm，DH=cm；∴DK=3cm，∴∴ODK的面积为cm2，∴半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是：（3π﹣）cm2．随练1、如图，正方形ABCD的边长为2，连接BD，先以D为圆心，DA为半径作弧AC，再以D为圆心，DB 为半径作弧BE，且D、C、E三点共线，则图中两个阴影部分的面积之和是（）A.12π B.12π+1 C.π D.π+1【答案】A【解析】∵AB=2，∴BD=22，S阴影=S扇形BDE﹣12S扇形ACD=()24522360π﹣12×904360π⨯=π﹣12π=12π，故选A．随练2、如图，三个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分面积的和是（结果保留π）．【答案】．【解析】根据图示知，∴1+∴2=180°﹣90°﹣45°=45°，∴∴ABC+∴ADC=180°，∴图中阴影部分的圆心角的和是90°+90°﹣∴1﹣∴2=135°，∴阴影部分的面积应为：S==．故答案是：．圆锥例题1、如图，圆锥的底面半径r为6cm，高h为8cm，则圆锥的侧面积为（）A.30πcm2B.48πcm2C.60πcm2D.80πcm2【答案】C【解析】∴h=8，r=6，可设圆锥母线长为l，由勾股定理，l==10，=×2×6π×10=60π，圆锥侧面展开图的面积为：S侧所以圆锥的侧面积为60πcm2．h=23cm，底面半径r=2cm，则圆锥体的全面积为____cm2．A.43πB.8πC.12πD.（43+4）π【答案】C【解析】本题利用了圆的周长公式和扇形面积公式求解，牢记公式是解答本题的关键．表面积=底面积+侧面积=π×底面半径2+底面周长×母线长÷2．底面圆的半径为2，则底面周长=4π，∵底面半径为2cm、高为23cm，∵圆锥的母线长为4cm，∵侧面面积=12×4π×4=8π； 底面积为=4π，全面积为：8π+4π=12πcm 2． 故选：C ．例题3、 将半径为3cm 的圆形纸片沿AB 折叠后，圆弧恰好能经过圆心O ，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为__________．【答案】22．【解析】 过O 点作OC AB ⊥，垂足为D ，交O 于点C ，由折叠的性质可知，1122OD OC OA ==，由此可得，在Rt AOD ∆中，30A ∠=︒，同理可得30B ∠=︒，在AOB ∆中，由内角和定理，得180120AOB A B ∠=︒-∠-∠=︒AB ∴的长为12032180ππ⨯=设围成的圆锥的底面半径为r ，则22r ππ=1r cm ∴=∴圆锥的高为223122-=随练1、 圆锥的底面半径为4cm ，高为3cm ，则它的表面积为（ ） A.12πcm 2 B.20πcm 2 C.26πcm 2 D.36πcm 2【答案】 D【解析】 底面周长是2×4π＝8πcm ，底面积是：42π＝16πcm 2． 母线长是：22345+=，则圆锥的侧面积是：218π520πcm 2⨯⨯=，则圆锥的表面积为16π＋20π＝36πcm 2．随练2、 已知扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π，则此扇形的面积是______． 【答案】163π【解析】 ∵扇形的圆心角为120°，所对的弧长为83π， ∴l=120R 81803⨯=ππ， 解得：R=4，则扇形面积为12Rl=163π随练3、 如图，在菱形ABCD 中，AB=2，∠C=120°，以点C 为圆心的与AB ，AD 分别相切于点G ，H ，与BC ，CD 分别相交于点E ，F ．若用扇形CEF 作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高是__________．【答案】 2【解析】 如图：连接CG ， ∵∠C=120°， ∴∠B=60°，∵AB 与相切，∴CG ⊥AB ，在直角△CBG 中，CG=BC•sin60°=2×=3，即圆锥的母线长是3， 设圆锥底面的半径为r ，则：2πr=，∴r=1．则圆锥的高是：=2．不规则图形面积的巧算例题1、 如图，AB 是∴O 的直径，弦CD ∴AB ，∴CDB=30°，CD=2，则S 阴影=（ ）A.πB.2πC.D.π【答案】 D【解析】 如图，CD ∴AB ，交AB 于点E ， ∴AB 是直径，∴CE=DE=CD=， 又∴∴CDB=30° ∴∴COE=60°， ∴OE=1，OC=2， ∴BE=1，∴S ∴BED =S ∴OEC ， ∴S 阴影=S 扇形BOC ==．故选：D ．例题2、如图，半圆O的直径AB=2，弦CD∴AB，∴COD=90°，则图中阴影部分的面积为．【答案】．【解析】∴弦CD∴AB，∴S∴ACD=S∴OCD，∴S阴影=S扇形COD=•π•=×π×=．例题3、如图，⊙O是△ACD的外接圆，AB是直径，过点D作直线DE∥AB，过点B作直线BE∥AD，两直线交于点E，如果∠ACD=45°，⊙O的半径是4cm（1）请判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求图中阴影部分的面积（结果用π表示）．【答案】（1）DE为⊙O的切线（2）（24﹣4π）cm2【解析】（1）DE与⊙O相切．理由如下：连结OD，BD，则∠ABD=∠ACD=45°，∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴△ADB为等腰直角三角形，∵点O为AB的中点，∴OD⊥AB，∵DE∥AB，∴OD⊥DE，∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线；（2）∵BE∥AD，DE∥AB，∴四边形ABED为平行四边形，∴DE=AB=8cm，∴S阴影部分=S梯形BODE﹣S扇形OBD=12（4+8）×4﹣2904360π••=（24﹣4π）cm2．随练1、 如图，四边形ABCD 是菱形，∠A=60°，AB=2，扇形EBF 的半径为2，圆心角为60°，则图中阴影部分的面积是____________．【答案】23π﹣3 【解析】 如图，连接BD ．∵四边形ABCD 是菱形，∠A=60°， ∴∠ADC=120°， ∴∠1=∠2=60°，∴△DAB 是等边三角形， ∵AB=2，∴△ABD 的高为3，∵扇形BEF 的半径为2，圆心角为60°， ∴∠4+∠5=60°，∠3+∠5=60°， ∴∠3=∠4，设AD 、BE 相交于点G ，设BF 、DC 相交于点H ，在△ABG 和△DBH 中，234A AB BD ⎧∠=∠⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABG ≌△DBH （ASA ），∴四边形GBHD 的面积等于△ABD 的面积，∴图中阴影部分的面积是：S 扇形EBF ﹣S △ABD =260213602π⨯-×2×3=23π﹣3．随练2、 如图，在∴BCE 中，点A 时边BE 上一点，以AB 为直径的∴O 与CE 相切于点D ，AD ∴OC ，点F为OC 与∴O 的交点，连接AF ． （1）求证：CB 是∴O 的切线；（2）若∴ECB=60°，AB=6，求图中阴影部分的面积．【答案】（1）证明见解析；（2）π．【解析】（1）证明：连接OD，与AF相交于点G，∴CE与∴O相切于点D，∴OD∴CE，∴∴CDO=90°，∴AD∴OC，∴∴ADO=∴1，∴DAO=∴2，∴OA=OD，∴∴ADO=∴DAO，∴∴1=∴2，在∴CDO和∴CBO中，，∴∴CDO∴∴CBO，∴∴CBO=∴CDO=90°，∴CB是∴O的切线．（2）由（1）可知∴3=∴BCO，∴1=∴2，∴∴ECB=60°，∴∴3=∴ECB=30°，∴∴1=∴2=60°，∴∴4=60°，∴OA=OD，∴∴OAD是等边三角形，∴AD=OD=OF，∴∴1=∴ADO，在∴ADG和∴FOG中，，∴∴ADG∴∴FOG，∴S∴ADG=S∴FOG，∴AB=6，∴∴O的半径r=3，∴S阴=S扇形ODF==π．随练3、如图，直径AB为10的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B旋转到点B′，则图中阴影部分的面积是．【答案】 ．【解析】 如图，∴AB=AB ′=8，∴BAB ′=60° ∴图中阴影部分的面积是： S=S 扇形B ′AB +S 半圆O ′﹣S 半圆O =+π×52﹣π×52 =π．拓展1、 若正六边形的边长为4，则它的内切圆面积为（ ） A.9π B.10π C.12π D.15π【答案】 C【解析】 连接OD 、OE ，作OM ⊥DE 于M ， ∵六边形ABCDEF 是边长为4的正六边形， ∴△ODE 是等边三角形， ∴OD ＝DE ＝4，∴3sin 604232OM OD =•︒=⨯=，∴它的内切圆面积2(23)12=π⨯=π．2、 边长为4的正六边形的边心距________，中心角等于________度，边长为________． 【答案】 23；60；4【解析】 六边形每个中心角度数为360÷6＝60°，根据每个中心角都分六边形为等边三角形，∵正六边形的边长为4， 则每个等边三角形的高即圆心距为：sin 6023CO BO =⋅︒=．3、正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为________．【答案】 2:3 【解析】 暂无解析4、 如图，正十二边形A 1A 2…A 12，连接A 3A 7，A 7A 10，则∠A 3A 7A 10=________________．【答案】 75°【解析】 设该正十二边形的圆心为O ，如图，连接A 10O 和A 3O ，由题意知，∧3110A A A =512⊙O 的周长，∴∠A3OA10=536012⨯=150°，∴∠A 3A 7A 10=75°，5、 （1）已知：如图1，ABC ∆是O ⊙的内接正三角形，点P 为弧BC 上一动点，求证：PA PB PC =+ （2）如图2，四边形ABCD 是O ⊙的内接正方形，点P 为弧BC 上一动点，求证:2PA PC PB =+（3）如图3，六边形ABCDEF 是O ⊙的内接正六边形，点P 为弧BC 上一动点，请探究PA PB PC 、、三者之间有何数量关系，并给予证明.【答案】 见解析【解析】 （1）证明：延长BP 至E ,使PE PC =,连结CE .OCABPPODAB COPFDCA1260,3460∠=∠=︒∠=∠=︒60,CPE PCE ∴∠=︒∴∆是等边三角形.，,360,CE PC E ∴=∠=∠=︒又EBC PAC ∠=∠， BEC APC ∴∆∆≌ PA BE PB PC ∴==+.（2）证明：过点B 作BE PB ⊥交PA 于E ,122390,13∠+∠=∠+∠=︒∴∠=∠,又45APB ∠=︒，,2,BP BE PE PB ∴=∴=,,AB BC ABE CBP PC AE =∴∆∆∴=≌.2PA AE PE PC PB ∴=+=+（3）答:3PA PC PB =+证明：在AP 上截取AQ PC =,连结BQ ,,BAP BCP AB BC ∠=∠=,,ABQ CBP ∴∆≅∆BQ BP ∴=.又30,APB ∠=︒3PQ PB ∴=，3PA PQ AQ PB PC ∴=+=+6、 如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，点E 在对角线AC 上，EC ＝BC ＝DC ．（1）若∠CBD ＝39°，求∠BAD 的度数；（2）求证：∠1＝∠2．【答案】 （1）78°（2）见解析【解析】 （1）∵BC ＝DC ，∴∠CBD ＝∠CDB ＝39°，∵∠BAC ＝∠CDB ＝39°，∠CAD ＝∠CBD ＝39°，∴∠BAD ＝∠BAC ＋∠CAD ＝39°＋39°＝78°；（2）∵EC ＝BC ，∴∠CEB ＝∠CBE ，而∠CEB ＝∠2＋∠BAE ，∠CBE ＝∠1＋∠CBD ，∴∠2＋∠BAE ＝∠1＋∠CBD ，∵∠BAE ＝∠BDC ＝∠CBD ，∴∠1＝∠2．7、 如图，在等腰Rt △ABC 中，AC=BC=22，点P 在以斜边AB 为直径的半圆上，M 为PC 的中点．当点P 沿半圆从点A 运动至点B 时，点M 运动的路径长是（ ）321E C B ADO PO Q AB C D E F PA.2πB.πC.22D.2 【答案】 B 【解析】 取AB 的中点O 、AE 的中点E 、BC 的中点F ，连结OC 、OP 、OM 、OE 、OF 、EF ，如图， ∵在等腰Rt △ABC 中，AC=BC=22，∴AB=2BC=4，∴OC=12AB=2，OP=12AB=2， ∵M 为PC 的中点，∴OM ⊥PC ，∴∠CMO=90°，∴点M 在以OC 为直径的圆上，点P 点在A 点时，M 点在E 点；点P 点在B 点时，M 点在F 点，易得四边形CEOF 为正方形，EF=OC=2， ∴M 点的路径为以EF 为直径的半圆，∴点M 运动的路径长=12•2π•1=π．8、 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1，将其放入平面直角坐标系，使A 点与原点重合，AB 在x 轴上，△ABC沿x 轴顺时针无滑动的滚动，点A 再次落在x 轴时停止滚动，则点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积为________．【答案】 12π+【解析】 ∵∠C ＝90°，AC ＝BC ＝1， ∴22112AB =+=；根据题意得：2△ABC 绕点B 顺时针旋转135°，BC 落在x 轴上；△ABC 再绕点C 顺时针旋转90°，AC 落在x 轴上，停止滚动；∴点A 的运动轨迹是：先绕点B 旋转135°，再绕点C 旋转90°；如图所示：∴点A 经过的路线与x 轴围成的图形是：一个圆心角为135°，半径为2的扇形，加上△ABC ，再加上圆心角是90°，半径是1的扇形；∴点A 经过的路线与x 轴围成图形的面积22135(2)190111136023602⨯π⨯⨯π⨯=+⨯⨯+=π+．9、如图，在正方形ABCD中，AB＝2，连接AC，以点C为圆心、AC长为半径画弧，与BC的延长线交于点E，则图中AE的长为________．【答案】32 2π【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴222CA AB==，∠ACB＝45°，∴∠ACE＝135°，∴AE的长度13522321802π==π．10、如图，从一张腰长为60cm，顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD，用此剪下的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面（不计损耗），则该圆锥的高为（）A.10cmB.15cmC.10cmD.20cm【答案】D【解析】过O作OE⊥AB于E，∵OA=OD=60cm，∠AOB=120°，∴∠A=∠B=30°，∴OE=OA=30cm，∴弧CD的长==20π，设圆锥的底面圆的半径为r，则2πr=20π，解得r=10，∴圆锥的高==20．11、用一个圆心角为120°，半径为3的扇形做一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为________．【答案】1【解析】 暂无解析12、 若扇形的半径为30cm ，圆心角为60°，则此扇形围成圆锥的底面半径为 cm ． 【答案】 5 【解析】 设圆锥的底面半径为r ，根据题意得2π•r=6030180π⨯，解得r=5， 即圆锥的底面半径为5cm ．故答案为5．13、 将△ABC 绕点B 逆时针旋转到△A′BC′，使A 、B 、C′在同一直线上，若∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4cm ，则图中阴影部分面积为________cm 2．【答案】 4π【解析】 ∵∠BCA ＝90°，∠BAC ＝30°，AB ＝4cm ，∴BC ＝2，23AC =，∠A′BA ＝120°，∠CBC′＝120°，∴阴影部分面积＝（S △A′BC′＋S 扇形BAA ′）－S 扇形BCC′－S △ABC 222120π(42)4πcm 360=⨯-=． 14、 一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如图方式剪得一个正方形，边长都为1，则扇形纸板和圆形纸板的面积比是__________．【答案】 5：4【解析】 如图1，连接OD ，∵四边形ABCD 是正方形，∴∠DCB=∠ABO=90°，AB=BC=CD=1，∵∠AOB=45°，∴OB=AB=1，由勾股定理得：OD=222+1=5，∴扇形的面积24555=3608ππ⨯（）； 如图2，连接MB 、MC ，∵四边形ABCD 是⊙M 的内接四边形，四边形ABCD 是正方形，∴∠BMC=90°，MB=MC ，∴∠MCB=∠MBC=45°，∵BC=1，∴MC=MB=22， ∴⊙M 的面积是π×（22）2=12π， ∴扇形和圆形纸板的面积比是515=824ππ÷（）．15、 如图，△ABC 中，AC ＝BC ，AB ＝4，∠ACB ＝90°，以AB 的中点D 为圆心DC 长为半径作14圆DEF ，设∠BDF ＝α（0°＜α＜90°），当α变化时图中阴影部分的面积为________（14圆：∠EDF ＝90°，14圆的面积21π4r =⋅）【答案】 π－2【解析】 作DM ⊥AC 于M ，DN ⊥BC 于N ，连接DC ，如图所示：∵CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，∴∠A ＝∠B ＝45°，DM AD =，DN =， ∴DM ＝DN ，∴四边形DMCN 是正方形，∴∠MDN ＝90°，∴∠MDG ＝90°－∠GDN ，∵∠EDF ＝90°，∴∠NDH ＝90°－∠GDN ，∴∠MDG ＝∠NDH ，在△DMG 和△DNH 中，MDG NDH DMG DNH DM DN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DMG ≌△DNH （AAS ），∴四边形DGCH 的面积＝正方形DMCN 的面积，∵正方形DMCN 的面积2218DM AB ==21428=⨯=， ∴四边形DGCH 的面积218AB =， ∵扇形FDE 的面积22290πππ4π3601616CD AB ⋅⨯===， ∴阴影部分的面积＝扇形面积－四边形DGCH 的面积＝π－2．16、 如图，ABCD 是平行四边形，AB 是O 的直径，点D 在O 上1AD OA ==，则图中阴影部分的面积为__________.【答案】 34 【解析】 连接DO EO BE ，，，过点D DF AB F ⊥作于点，1AD OA AD AO DO ==∴==，，AOD ∴∆是等边三角形，ABCD 四边形是平行四边形，//60DC AB CDO DOA ∴∴∠=∠=︒，， ODE ∴∆是等边三角形，同理可得出OBE ∆是等边三角形且3个等边三角形全等， ∴阴影部分面积等于BCE ∆面积，36012DF ADsin DE EC =︒===，， ∴图中阴影部分的面积为：34．。

8 圆内接正多边形A 卷1．边长为a 的正六边形的边心距是__________，周长是____________，面积是___________.2．如图1，正方形的边长为a ，以顶点B 、D 为圆心，以边长a 为半径分别画弧，在正方形内两弧所围成图形的面积是___________.(1) (2) (3)3．圆内接正方形ABCD 的边长为2，弦AE 平分BC 边，与BC 交于F ，则弦AE 的长为__________.4．正六边形的面积是18，则它的外接圆与内切圆所围成的圆环面积为_________.5．圆内接正方形的一边截成的小弓形面积是2π-4，则正方形的边长等于__________.6．正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为___________.7．在半径为R 的圆中，内接正方形与内接正六边形的边长之比为___________.8．同圆的内接正n 边形与外切正n 边形边长之比是______________.9．正三角形与它的内切圆及外接圆的三者面积之比为_____________.10．正三角形的外接圆半径为4cm ，以正三角形的一边为边作正方形，则此正方形的外接圆半径长为___________.3B 卷1．正方形的内切圆半径为r ，这个正方形将它的外接圆分割出四个弓形，其中一个弓形的面积为_________.2．如果正三角形的边长为a ，那么它的外接圆的周长是内切圆周长的_______倍.3．如图2，正方形边长为a ，那么图中阴影部分的面积是__________.4．正多边形的一个内角等于它的一个外角的8倍，那么这个正多边形的边数是________.5．半径为R 的圆的内接正n 边形的面积等于__________.6．如果圆的半径为a ，它的内接正方形边长为b ，该正方形的内切圆的内接正方形的边长为c ，则a,b,c 间满足的关系式为___________.7．如图3，正△ABC 内接于半径为1cm 的圆，则阴影部分的面积为___________.8．如果圆内接正六边形的边长为10cm ，则它的边心距为_______cm ，正六边形的一边在圆上截得的弓形面积是____________.9．已知正方形的边长为a ，以各边为直径在正方形内画半圆，则所围成的阴影部分(如图)的面积为__________.10．周长相等的正方形和正六边形的面积分别为和，则和的大小关系为__________.24S 6S 4S 6S参考答案A 卷1．2．3．点B 到弦AE 的垂线段长为，由勾股定理或射影定理，求得弦AE 的长为. 4．由正六边形的面积为18，得正六边形的边长为2，边心距为3，从而正六边形的外接圆半径为2，内切圆半径为3，故所围成的圆环面积为3π. 5．设所求正方形的边长为x ，则外接圆的半径为，正方形的一边截成的小弓形面积为，即 = 2π- 4，于是，得正方形的边长等于4.6．设正三角形的边长为a ，则内切圆半径为，外接圆半径为，高为，故内切圆半径、外接圆半径和高的比为1：2：3.7．内接正方形的边长为R ，内接正六边形的边长为R ，其比为：1.8．设圆的半径为R ，则同圆的内接正π边形和外切正n 边形的边分别为2Rsin和2Rtg ，其比为cos . 9．设正三角形的边长为a ，则内切圆半径为，外接圆半径为，其面积分别为、和，三者之比为3：π：4π . 10．求得正三角形的边长即所作正方形的边长为4，从而外接圆的半径长为2.2233;6;23a a 222a a -π552558333x 22224181x x ππ-224181x x ππ-a 63a 33a 2322n ︒180n ︒180n︒180a 63a 33243a 2121a π231a π336B 卷1．由已知得正方形的边长为2r ， 从而正方形的外接圆半径为r ，所求弓形的面积为. 2．边长为a 的正三角形的外接圆半径和内切圆半径分别为、，其周长分别为的πa 和，故它的外接圆周长是内切圆周长的2倍. 3．阴影部分面积为 4．设所求正多边形的边数为n ，则它的一个内角等于， 相应的外角等于180°- ， 则由已知，得=8×(180°-)，解之，得n = 18. 5．半径为R 的圆的内接正n 边形的边长为2Rsin ，边长距为Rcos ， 则正n 边形的面积为= 6．半径为a 的圆的内接正方形的边长为a ，即 b =a ； 边长为b 的正方形的内切圆的内接正方形的边长为b ，即 C = b ， 从而得知 a =c ，故a,b,c 三者之间的关系为：7．设正△ABC 的边长为a ，则=1，a=， 于是阴影部分的面积为π· 8．边心距×10=5()； 正六边的一边在圆上截得的弓形的面积减去三角形的面积，即 22)221(r -πa 33a 63332a π3322241)22(21)2(41a a a πππ=-︒⋅-180)2(n n ︒⋅-180)2(nn ︒⋅-180)2(n n ︒⋅-180)2(nn n ︒180n︒180n n nR n R n R n ︒⋅︒=︒⋅︒⋅⋅180cos 180sin 180cos 180sin 2212222222222c a b +=a 333))(433()3(431222cm -=⋅-π2332cm )(325350104310321222cm -=⋅-⋅⋅ππ9．图中四个半圆都通过正方形的中心，用正方形的面积减去四隙的面积，剩下的就是阴影部分的面积，而正方形的面积减去两个半圆的面积就得两个空隙的面积，故所求阴影部分的面积为 10．设周长为a ，则正方形的正六边形的边长分别为，其面积分别为，故.22])2([22222a a a a a -=⨯⋅--ππa a 6141和222243)61(436161a a a =⋅⋅和64S S <。

圆内接正多边形什么是圆内接正多边形？圆内接正多边形，指的是一个正多边形可以恰好放在一个圆内，且正多边形的每个顶点都在圆周上。

圆内接正多边形也被称为圆内正多边形或圆多边形。

一个圆内接正多边形的特点是，它的每条边相等且每个角都是相等的。

这使得圆内接正多边形在数学、科学、工程和建筑等领域中有广泛的应用。

怎样构造圆内接正多边形？构造圆内接正多边形有多种方法。

以下介绍两种常见的方法：1. 中心构造法中心构造法是一种基于圆的方法。

它的步骤如下：1.以圆心为中心，画一个圆。

2.从圆心出发，以圆的半径为边长画出一个正四边形。

3.用圆上的点作为四边形的顶点，连接四个顶点和圆心，得到一个正八边形。

4.以同样的方式在正八边形的每个顶点上构造正四边形，得到一个正十六边形。

5.重复上述步骤，每一次都在前一个正多边形的顶点上构造正四边形，直到构造出一个足够接近圆内接正多边形的正多边形。

2. 分割法分割法是另一种构造圆内接正多边形的方法。

它的步骤如下：1.在圆上任取一点，作为第一个多边形的一个顶点。

2.以两个相邻点和圆心为中心，画出一个小扇形，将圆划分成若干个小扇形。

3.每个小扇形内部的角度等于圆心角（360度）的一部分，可以计算出每个小扇形的角度。

4.根据所要构造的正多边形的边数，将圆分割成相应的小扇形。

5.将每个小扇形的两个端点连线，得到一个近似圆内接正多边形。

可以根据实际需要逐渐增加分割的扇形数，使得构造出的正多边形更加接近于圆内接正多边形。

圆内接正多边形的性质除了每条边长度相等、每个角度相等外，圆内接正多边形还有其他几个重要的性质：1.圆内接正多边形的内角和等于360度。

2.圆内接正多边形的对角线相等，且交于圆心。

3.圆内接正多边形的外接圆的半径等于正多边形的边长的一半。

此外，圆内接正多边形的周长和面积可以很容易地计算出来，便于在实际问题中应用。

圆内接正多边形的应用圆内接正多边形在数学和其他领域中有广泛的应用，如：1.圆内接正多边形可以用来构建复杂的图形和形状，如著名的黄金分割比例、立体的正十二面体等。

圆内接正多边形课件圆内接正多边形课件正多边形是我们初中数学课程中的重要内容之一。

在这个主题下，我们将讨论圆内接正多边形，并为大家准备了一份精美的课件，以帮助大家更好地理解和掌握这一概念。

一、什么是圆内接正多边形？圆内接正多边形是指一个正多边形的顶点都位于一个圆的圆周上，并且正多边形的每条边都是圆的切线。

这意味着正多边形的外接圆与内切圆是同一个圆。

二、圆内接正多边形的性质1. 内切圆的半径圆内接正多边形的内切圆半径等于正多边形的边长的一半。

这是因为内切圆的半径与切线垂直，而正多边形的边是切线，所以内切圆的半径与正多边形的边长垂直，且长度相等。

2. 外接圆的半径圆内接正多边形的外接圆半径等于正多边形的边长的一半除以正多边形的正弦值。

这是由正多边形的内角和正弦函数的关系得出的。

3. 内角和外角圆内接正多边形的内角和外角具有特殊的关系。

内角等于360度除以正多边形的边数，而外角则等于内角的补角。

三、圆内接正多边形的构造方法1. 三角形最简单的圆内接正多边形是三角形，也就是正三角形。

我们可以通过将一个等边三角形的顶点与圆的圆心相连，得到一个圆内接正三角形。

2. 四边形构造圆内接正四边形的方法有多种，其中一种方法是通过正三角形的对称性构造。

我们可以先构造一个正三角形，然后在正三角形的一条边上继续构造一个等边三角形，最后将两个等边三角形的底边相连，得到一个圆内接正四边形。

3. 五边形及更多边形通过类似的方法，我们可以继续构造圆内接正五边形、六边形等更多边形。

每次构造时，都需要利用前一个正多边形的一条边来构造下一个正多边形。

四、圆内接正多边形的应用圆内接正多边形在几何学和工程学中有广泛的应用。

例如，在建筑设计中，圆内接正多边形可以用来构造规则的地基或者建筑平面图。

在制造业中，圆内接正多边形可以用来设计规则的零件或者工件。

此外，圆内接正多边形还可以用来解决一些有关面积和周长的问题。

由于圆内接正多边形具有对称性，我们可以利用这一特点来简化计算，得到更精确的结果。

3.8 圆内接正多边形1．了解圆内接正多边形的有关概念；(重点)2．理解并掌握圆内接正多边形的半径和边长、边心距、中心角之间的关系；(重点)3．掌握圆内接正多边形的画法．(难点)一、情境导入这些美丽的图案，都是在日常生活中我们经常能看到的．你能从这些图案中找出正多边形来吗？二、合作探究探究点：圆内接正多边形【类型一】圆内接正多边形的相关计算已知正六边形的边心距为3，求正六边形的内角、外角、中心角、半径、边长、周长和面积．解析：根据题意画出图形，可得△OBC是等边三角形，然后由三角函数的性质，求得OB 的长，继而求得正六边形的周长和面积．解：如图，连接OB ，OC ，过点O 作OH ⊥BC 于H ，∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴∠BOC ＝16×360°＝60°，∴中心角是60°.∵OB ＝OC ，∴△OBC 是等边三角形，∴BC ＝OB ＝OC .∵OH ＝3，sin ∠OBC ＝OH OB ＝32，∴OB ＝BC ＝2.∴内角为180°×（6－2）6＝120°，外角为60°，周长为2×6＝12，S 正六边形ABCDEF ＝6S △OBC ＝6×12×2× 3＝63. 方法总结：圆内接正六边形是一个比较特殊的正多边形，它的半径等于边长，对于它的计算要熟练掌握．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第11题【类型二】 圆内接正多边形的画法如图，已知半径为R 的⊙O ，用多种工具、多种方法作出圆内接正三角形．解析：度量法：用量角器量出圆心角是120度的角；尺规作图法：先将圆六等分，然后再每两份合并成一份，将圆三等分．解：方法一：(1)用量角器画圆心角∠AOB ＝120°，∠BOC ＝120°；(2)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法二：(1)用量角器画圆心角∠BOC ＝120°；(2)在⊙O 上用圆规截取AC ︵＝AB ︵；(3)连接AC ，BC ，AB ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法三：(1)作直径AD ；(2)以D 为圆心，以OA 长为半径画弧，交⊙O 于B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA ，则△ABC 为圆内接正三角形．方法四：(1)作直径AE ；(2)分别以A ，E 为圆心，OA 长为半径画弧与⊙O 分别交于点D ，F ，B ，C ；(3)连接AB ，BC ，CA (或连接EF ，ED ，DF )，则△ABC (或△EFD )为圆内接正三角形．方法总结：解决正多边形的作图问题，通常可以使用的方法有两大类：度量法、尺规作图法；其中度量法可以画出任意的多边形，而尺规作图只能作出一些特殊的正多边形，如边数是3、4的整数倍的正多边形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第5题【类型三】正多边形外接圆与内切圆的综合如图，已知正三角形的边长为2a.(1)求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积；(2)根据计算结果，要求圆环的面积，只需测量哪一条弦的大小就可算出圆环的面积？(3)将条件中的“正三角形”改为“正方形”、“正六边形”你能得出怎样的结论？(4)已知正n边形的边长为2a，请写出它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积．解析：正多边形的边心距、半径、边长的一半正好构成直角三角形，根据勾股定理就可以求解．解：(1)设正三角形ABC的中心为O，BC切⊙O于点D，连接OB、OD，则OD⊥BC，BD＝DC ＝a.则S圆环＝π·OB2－π·OD2＝πOB2－OD2＝π·BD2＝πa2；(2)只需测出弦BC(或AC，AB)的长；(3)结果一样，即S圆环＝πa2；(4)S圆环＝πa2.方法总结：正多边形的计算，一般是过中心作边的垂线，连接半径，把内切圆半径、外接圆半径、边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第4题【类型四】圆内接正多边形的实际运用如图①，有一个宝塔，它的地基边缘是周长为26m的正五边形ABCDE(如图②)，点O 为中心(下列各题结果精确到0.1m)．(1)求地基的中心到边缘的距离；(2)已知塔的墙体宽为1m ，现要在塔的底层中心建一圆形底座的塑像，并且留出最窄处为1.6m 的观光通道，问塑像底座的半径最大是多少？解析：(1)构造一个由正多边形的边心距、半边和半径组成的直角三角形．根据正五边形的性质得到半边所对的角是360°10＝36°，再根据题意中的周长求得该正五边形的半边是26÷10＝2.6，最后由该角的正切值进行求解；(2)根据(1)中的结论，塔的墙体宽为1m 和最窄处为1.6m 的观光通道，进行计算．解：(1)作OM ⊥AB 于点M ，连接OA 、OB ，则OM 为边心距，∠AOB 是中心角．由正五边形性质得∠AOB ＝360°÷5＝72°，∴∠AOM ＝36°.∵AB ＝15×26＝5.2，∴AM ＝2.6.在Rt △AMO 中，边心距OM ＝AM tan36°＝ 2.6tan36°≈3.6(m)．所以，地基的中心到边缘的距离约为3.6m ； (2)3.6－1－1.6＝1(m)．所以，塑像底座的半径最大约为1m.方法总结：解决问题关键是将实际问题转化为数学问题来解答．熟悉正多边形各个元素的算法．三、板书设计圆内接正多边形1．正多边形的有关概念2．正多边形的画法3．正多边形的有关计算本节课新概念较多，对概念的教学要注意从“形”的角度去认识和辨析，但对概念的严格定义不能要求过高．在概念教学中，要重视运用启发式教学，让学生从“形”的特征获得对几何概念的直观认识，鼓励学生用自己的语言表述有关概念，再进一步准确理解有关概念的文字表述，促进学生主动学习．所以在教学的过程中应尽量使用多媒体教学手段.。

一、考点突破1. 了解圆内接正多边形的有关概念。

2. 理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系。

3. 会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形。

二、重难点提示重点：圆内接正多边形的定义及相关性质。

难点：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系。

考点精讲 1. 圆内接正多边形的有关概念 ① 顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形。

这个圆叫做该正多边形的外接圆。

② 正多边形的中心、半径、边心距、中心角正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心；正多边形的外接圆的半径叫做这个正多边形的半径；正多边形的中心到正多边形一边的距离叫做这个正多边形的边心距；正多边形的每一边所对的外接圆的圆心角叫做这个正多边形的中心角。

如图：五边形ABCDE 是⊙O 的内接正五边形， 圆心O 叫做这个正五边形的中心； OA 是这个正五边形的半径； OM 是这个正五边形的边心距。

AOB 叫做这个正五边形的中心角。

A E【要点诠释】① 只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以做出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆。

② 求正n 边形中心角的常用方法：正n 边形有n 条边，每条边对应一个中心角，所以正n 边形的中心角为。

（正n 边形中心角度数与正n 边形的一个外角相等）2. 特殊的圆内接正多边形的半径、弦心距、边长之间的关系① 正三角形——在中进行：；② 正四边形——在中进行，；③ 正六边形——在中进行，。

D E OC OB O D B A CA A B【规律总结】正多边形的外接圆半径R 与边长a 、边心距r 之间的关系：R 2＝r 2＋（a ）2，连接正n 边形的半径，弦心距，把正n 边形的有关计算转化为直角三角形中的问题。

典例精讲例题1 （义乌市）一张圆心角为45°的扇形纸板和圆形纸板按如下图所示方式分别剪成一个正方形，边长都为1，则扇形和圆形纸板的面积比是（ ）A. 5：4B. 5：2C.：2D.：思路分析：先画出图形，分别求出扇形和圆的半径，再根据面积公式求出面积，最后求出比值即可。

北师大版《数学》九年级下册第三章 圆3.6 圆内接正多边形【知识要点】知识点1圆内接正多边形定义 ：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.【典例解析】在圆内接正六边形ABCDEF 中，半径4=OC ，BC OG ⊥，垂足为G ，求这个正六边形的中心角、边长和边心距.解：连接OD∵六边形ABCDEF 为正六边形 ∴︒=︒=∠606360COD ∴COD ∆为等边三角形. ∴4==OC CD在COG Rt ∆中，4=OC ，2=CG∴32=OG∴正六边形ABCDEF 中心角为︒60，边长为4，边心距为32.分析 ：题目是有关正多边形的计算的具体应用，通过例题的学习，巩固有关正多边形的概念，能运用正多边形的知识解决圆的有关计算问题.【达标测评】拓展练习1 （2014•呼和浩特，第6题3分）已知⊙O 的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（ ）A ． 3B ． 3C ．D ．考点： 垂径定理；等边三角形的性质．分析： 先求出正三角形的外接圆的半径，再求出正三角形的边长，最后求其面积即可． 解答： 解：如图所示，连接OB 、OC ，过O 作OD ⊥BC 于D ，∵⊙O 的面积为2π∴⊙O 的半径为∵△ABC为正三角形，∴∠BOC==120°，∠BOD=∠BOC=60°，OB=，∴BD=OB•sin∠BOD==，∴BC=2BD=，∴OD=OB•cos∠BOD=•cos60°=，∴△BOC的面积=•BC•OD=××=，∴△ABC的面积=3S△BOC=3×=．故选C．本题考查的是三角形的外接圆与外心，根据题意画出图形，利用数形结合求解是解答此题的关键．难度：中2 (2014年天津市，第21题10分)已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB 的平分线交⊙O于点D．（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．考点：圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．分析：（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．解答：解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，∴∠CAB=∠BDC=90°．∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，∴由勾股定理得到：AC===8．∵AD平分∠CAB，∴=，∴CD=B D．在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，∴易求BD=CD=5；（Ⅱ）如图②，连接OB，O D．∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，∴∠DAB=∠CAB=30°，∴∠DOB=2∠DAB=60°．又∵OB=OD，∴△OBD是等边三角形，∴BD=OB=O D．∵⊙O的直径为10，则OB=5，∴BD=5．点评：本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．难度：中3 （2014•湘潭，第25题）△ABC为等边三角形，边长为a，DF⊥AB，EF⊥AC，（1）求证：△BDF∽△CEF；（2）若a=4，设BF=m，四边形ADFE面积为S，求出S与m之间的函数关系，并探究当m为何值时S取最大值；（3）已知A、D、F、E四点共圆，已知tan∠EDF=，求此圆直径．（第1题图）考点：相似形综合题；二次函数的最值；等边三角形的性质；圆周角定理；解直角三角形分析：（1）只需找到两组对应角相等即可．（2）四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和，借助三角函数用m表示出AD、DF、AE、EF的长，进而可以用含m的代数式表示S，然后通过配方，转化为二次函数的最值问题，就可以解决问题．（3）易知AF就是圆的直径，利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF．在△AFC中，知道tan∠EAF、∠C、AC，通过解直角三角形就可求出AF长．解答：解：（1）∵DF⊥AB，EF⊥AC，∴∠BDF=∠CEF=90°．∵△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°．∵∠BDF=∠CEF，∠B=∠C，∴△BDF∽△CEF．（2）∵∠BDF=90°，∠B=60°，∴sin60°==，cos60°==．∵BF=m，∴DF=m，BD=．∵AB=4，∴AD=4﹣．∴S△ADF=AD•DF=×（4﹣）×m=﹣m2+m．同理：S△AEF=AE•EF=×（4﹣）×（4﹣m）=﹣m2+2．∴S=S△ADF+S△AEF=﹣m2+m+2=﹣（m2﹣4m﹣8）=﹣（m﹣2）2+3．其中0＜m＜4．∵﹣＜0，0＜2＜4，∴当m=2时，S取最大值，最大值为3．∴S与m之间的函数关系为：S═﹣（m﹣2）2+3（其中0＜m＜4）．当m=2时，S取到最大值，最大值为3．（3）如图2，∵A、D、F、E四点共圆，∴∠EDF=∠EAF．∵∠ADF=∠AEF=90°，∴AF是此圆的直径．∵tan∠EDF=，∴tan∠EAF=．∴=．∵∠C=60°，∴=tan60°=．设EC=x，则EF=x，EA=2x．∵AC=a，∴2x+x=A．∴x=．∴EF=，AE=．∵∠AEF=90°，∴AF==．∴此圆直径长为．点评：本题考查了相似三角形的判定、二次函数的最值、三角函数、解直角三角形、圆周角定理、等边三角形的性质等知识，综合性强．利用圆周角定理将条件中的圆周角转化到合适的位置是解决最后一小题的关键．难度：中4 （2014•攀枝花，第23题12分）如图，以点P（﹣1，0）为圆心的圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=2，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．考点：圆的综合题．分析：（1）连接PA，运用垂径定理及勾股定理即可求出圆的半径，从而可以求出B、C 点的坐标．（2）由于圆P是中心对称图形，显然射线AP与圆P的交点就是所需画的点M，连接MB、MC即可；易证四边形ACMB是矩形；过点M作MH⊥BC，垂足为H，易证△MHP≌△AOP，从而求出MH、OH的长，进而得到点M的坐标．（3）易证点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，从而得到∠MQG=2∠MBG．易得∠OCA=60°，从而得到∠MBG=60°，进而得到∠MQG=120°，所以∠MQG是定值．解答：解：（1）连接PA，如图1所示．∵PO⊥AD，∴AO=DO．∵AD=2，∴OA=．∵点P坐标为（﹣1，0），∴OP=1．∴PA==2．∴BP=CP=2．∴B（﹣3，0），C（1，0）．（2）连接AP，延长AP交⊙P于点M，连接MB、MC．如图2所示，线段MB、MC即为所求作．四边形ACMB是矩形．理由如下：∵△MCB由△ABC绕点P旋转180°所得，∴四边形ACMB是平行四边形．∵BC是⊙P的直径，∴∠CAB=90°．∴平行四边形ACMB是矩形．过点M作MH⊥BC，垂足为H，如图2所示．在△MHP和△AOP中，∵∠MHP=∠AOP，∠HPM=∠OPA，MP=AP，∴△MHP≌△AOP．∴MH=OA=，PH=PO=1．∴OH=2．∴点M的坐标为（﹣2，）．（3）在旋转过程中∠MQG的大小不变．∵四边形ACMB是矩形，∴∠BMC=90°．∵EG⊥BO，∴∠BGE=90°．∴∠BMC=∠BGE=90°．∵点Q是BE的中点，∴QM=QE=QB=QG．∴点E、M、B、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上，如图3所示．∴∠MQG=2∠MBG．∵∠COA=90°，OC=1，OA=，∴tan∠OCA==．∴∠OCA=60°．∴∠MBC=∠BCA=60°．∴∠MQG=120°．∴在旋转过程中∠MQG的大小不变，始终等于120°．点评：本题考查了垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、特殊角的三角函数、图形的旋转等知识，综合性比较强．证明点E、MB、G在以点Q为圆心，QB为半径的圆上是解决第三小题的关键．难度：难5．（2014•湖北黄石,第19题7分）如图，A、B是圆O上的两点，∠AOB=120°，C是AB弧的中点．（1）求证：AB平分∠OAC；（2）延长OA至P使得OA=AP，连接PC，若圆O的半径R=1，求PC的长．第5题图考点：菱形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．分析：（1）求出等边三角形AOC和等边三角形OBC，推出OA=OB=BC=AC，即可得出答案；（2）求出AC=OA=AP，求出∠PCO=90°，∠P=30°，即可求出答案．解答：（1）证明：连接OC，∵∠AOB=120°，C是AB弧的中点，∴∠AOC=∠BOC=60°，∵OA=OC，∴△ACO是等边三角形，∴OA=AC，同理OB=BC，∴OA=AC=BC=OB，∴四边形AOBC是菱形，∴AB平分∠OAC；（2）解：连接OC，∵C为弧AB中点，∠AOB=120°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴OAC是等边三角形，∵OA=AC，∴AP=AC，∴∠APC=30°，∴△OPC是直角三角形，∴．点评：本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目比较典型，难度适中．难度：中基础题：1．（2014•四川成都,第14题4分）如图，AB是⊙O的直径，点C在AB的延长线上，CD切⊙O于点D，连接AD．若∠A=25°，则∠C=40度．考点：切线的性质；圆周角定理．专题：计算题．分析：连接OD，由CD为圆O的切线，利用切线的性质得到OD垂直于CD，根据OA=OD，利用等边对等角得到∠A=∠ODA，求出∠ODA的度数，再由∠COD为△AOD外角，求出∠COD度数，即可确定出∠C的度数．解答：解：连接OD，∵CD与圆O相切，∴OD⊥DC，∵OA=OD，∴∠A=∠ODA=25°，∵∠COD为△AOD的外角，∴∠COD=50°，∴∠C=40°．故答案为：40点评：此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及外角性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．难度：中2．（2014•贵州黔西南州, 第18题3分）如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=．第1题图考点：圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．分析：根据勾股定理求出BC的长，再将tan∠ADC转化为tanB进行计算．解答：解：∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°，∴BC==12，∴tan∠ADC=tanB===，故答案为．点评：本题考查了圆周角定理和三角函数的定义，要充分利用转化思想．难度：易3. （2014•湖北黄冈,第14题3分）如图，在⊙O中，弦CD垂直于直径AB于点E，若∠BAD=30°，且BE=2，则CD=4．第2题图考点：垂径定理；解直角三角形．专题：计算题．分析：连结OD，设⊙O的半径为R，先根据圆周角定理得到∠BOD=2∠BAD=60°，再根据垂径定理由CD⊥AB得到DE=CE，在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，利用余弦的定义得cos∠EOD=cos60°=，即=，解得R=4，则OE=2，DE=OE=2，所以CD=2DE=4．解答：解：连结OD，如图，设⊙O的半径为R，∵∠BAD=30°，∴∠BOD=2∠BAD=60°，∵CD⊥AB，∴DE=CE，在Rt△ODE中，OE=OB﹣BE=R﹣2，OD=R，∵cos∠EOD=cos60°=，∴=，解得R=4，∴OE=4﹣2=2，∴DE=OE=2，∴CD=2DE=4．故答案为4．点评：本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和解直角三角形．难度：中4．（2014•广西来宾，第18题3分）如图，点A、B、C均在⊙O上，∠C=50°，则∠OAB= 40度．考点：圆周角定理．分析：由∠C=50°求出∠AOB的度数，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理，即可求得答案．解答：解：∵∠C=50°，∴∠AOB=2∠C=100°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA==40°．故答案为：40．点评：此题考查了圆周角定理，用到的知识点是圆周角定理、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，注意数形结合思想的应用．难度：易5．（2014•黔南州，第19题5分）如图，直径为10的⊙A经过点C（0，6）和点O（0，0），与x轴的正半轴交于点D，B是y轴右侧圆弧上一点，则cos∠OBC的值为．考点：勾股定理；圆周角定理；锐角三角函数的定义．分析：连接CD，易得CD是直径，在直角△OCD中运用勾股定理求出OD的长，得出cos∠ODC的值，又由圆周角定理，即可求得cos∠OBC的值．解答：解：连接CD，∵∠COD=90°，∴CD是直径，即CD=10，∵点C（0，6），∴OC=6，∴OD==8，∴cos∠ODC===，∵∠OBC=∠ODC，∴cos∠OBC=．故答案为．点评：此题考查了圆周角定理，勾股定理以及三角函数的定义．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握转化思想的应用．难度：易。

正多边形和圆【学习目标】1.了解正多边形和圆的有关概念及对称性；2.理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用正多边形和圆的有关知识画正多边形；3.会进行正多边形的有关计算.【要点梳理】要点一、正多边形的概念各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．要点进阶：判断一个多边形是否是正多边形，必须满足两个条件：(1)各边相等；(2)各角相等；缺一不可.如菱形的各边都相等，矩形的各角都相等，但它们都不是正多边形(正方形是正多边形).要点二、正多边形的重要元素1.正多边形的外接圆和圆的内接正多边形正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．2.正多边形的有关概念(1)一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．(2)正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．(3)正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．(4)正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．3.正多边形的有关计算(1)正ｎ边形每一个内角的度数是；(2)正ｎ边形每个中心角的度数是；(3)正ｎ边形每个外角的度数是.要点进阶：要熟悉正多边形的基本概念和基本图形，将待解决的问题转化为直角三角形.要点三、正多边形的性质1.正多边形都只有一个外接圆，圆有无数个内接正多边形.2.正ｎ边形的半径和边心距把正ｎ边形分成2ｎ个全等的直角三角形.3.正多边形都是轴对称图形，对称轴的条数与它的边数相同，每条对称轴都通过正n边形的中心；当边数是偶数时，它也是中心对称图形，它的中心就是对称中心.4.边数相同的正多边形相似。

它们周长的比，边心距的比，半径的比都等于相似比，面积的比等于相似比的平方．5.任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆要点进阶：（1）各边相等的圆的内接多边形是圆的内接正多边形；（2）各角相等的圆的外切多边形是圆的外切正多边形.要点四、正多边形的画法1.用量角器等分圆由于在同圆中相等的圆心角所对的弧也相等，因此作相等的圆心角(即等分顶点在圆心的周角)可以等分圆；根据同圆中相等弧所对的弦相等，依次连接各分点就可画出相应的正n边形.2.用尺规等分圆对于一些特殊的正ｎ边形，可以用圆规和直尺作图.①正四、八边形.在⊙O中，用尺规作两条互相垂直的直径就可把圆分成4等份，从而作出正四边形. 再逐次平分各边所对的弧(即作∠AOB的平分线交于 E) 就可作出正八边形、正十六边形等，边数逐次倍增的正多边形.②正六、三、十二边形的作法.通过简单计算可知，正六边形的边长与其半径相等，所以，在⊙O中，任画一条直径AB，分别以A、B为圆心，以⊙O的半径为半径画弧与⊙O相交于C、D和E、F，则A、C、E、B、F、D是⊙O的6等分点.显然，A、E、F(或C、B、D)是⊙O的3等分点.同样，在图(3)中平分每条边所对的弧，就可把⊙O 12等分…….要点进阶：画正n边形的方法：（1）将一个圆n等份，（2）顺次连结各等分点.【典型例题】类型一、正多边形的概念例1.如图所示，正五边形的对角线AC和BE相交于点M．(1)求证：AC∥ED；(2)求证：ME＝AE．例2.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F，若⊙O的半径为，则BF的长为．举一反三：【变式】同一个圆的内接正六边形和外切正六边形的周长的比等于（）A．3：4 B．：2 C．2： D．1：2类型二、正多边形和圆的有关计算例3.如图，AG是正八边形ABCDEFGH的一条对角线．（1）在剩余的顶点B、C、D、E、F、H中，连接两个顶点，使连接的线段与AG平行，并说明理由；（2）两边延长AB、CD、EF、GH，使延长线分别交于点P、Q、M、N，若AB=2，求四边形PQMN的面积．例4. 如图（1）所示，圆内接△ABC中，AB＝BC＝CA，OD、OE为⊙O的半径，OD⊥BC于点F，OE⊥AC于点G，求证：阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的13．图（1）举一反三：【变式】如下图，若∠DOE保持120°角度不变，求证：当∠DOE绕着O点旋转时，由两条半径和△ABC 的两条边围成的图形，图中阴影部分的面积始终是△ABC的面积的13．【巩固练习】一、选择题1.已知等边三角形的内切圆半径，外接圆半径和高的比是（）A．1：2：B．2：3：4 C．1：：2 D．1：2：32．将边长为3cm的正三角形各边三等分，以这六个分点为顶点构成一个正六边形，则这个正六边形的面积为 ( )A．233cm2B．334cm2 C．338cm2 D．33cm23．如图，△PQR是⊙O的内接正三角形，四边形ABCD是⊙O的内接正方形， BC∥QR，则∠AOQ=（）A．60° B．65° C．72° D．75°第3题第5题PDRCQBOA4．周长是12的正三角形、正方形、正六边形的面积分别是S3、S4、S6，则它们的大小关系是( )． A．S6＞S4＞S3 B．S3＞S4＞S6 C．S6＞S3＞S4 D．S4＞S6＞S35.如图所示，八边形ABCDEFGH是正八边形，其外接⊙O的半径为2，则正八边形的面积S为（）．A.22B. 42C. 8D.46．先作半径为的圆的内接正方形，接着作上述内接正方形的内切圆，再作上述内切圆的内接正方形，…，则按以上规律作出的第7个圆的内接正方形的边长为（）A． B． C． D．二、填空题7．一个正方形与圆有相等的周长，则圆面积与正方形的面积比为________．8．如图所示，正六边形内接于圆O，圆O的半径为10，则图中阴影部分的面积为________．9．半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为．10．如图，在边长为2的正六边形ABCDEF中，点P是其对角线BE上一动点，连接PC、PD，则△PCD 的周长的最小值是．11．如图所示，有一个圆O和两个正六边形T1、T2．T1的6个顶点都在圆周上，T2的6条边都和圆O相切（我们称T1，T2分别为圆O的内接正六边形和外切正六边形）．（1）设T1，T2的边长分别为a，b，圆O的半径为r，则r:a= ； r:b= ；（2）正六边形T1，T2的面积比S1:S2的值是．第11题图第12题图12．如图所示，已知正方形ABCD中，边长AB＝3，⊙O与⊙O′外切且与正方形两边相切，两圆半径为R、r，则R+r= ．三、解答题13.如图，正六边形ABCDEF的边长为2cm，点P为六边形内任一点．则点P到各边距离之和为多少cm？14．如图①、②、③，正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE分别是⊙O的内接三角形、内接四边形、内接五边形，点M、N分别从点B、C开始，以相同的速度中⊙O上逆时针运动．（1）求图①中∠APB的度数；（2）图②中，∠APB的度数是，图③中∠APB的度数是；（3）根据前面探索，你能否将本题推广到一般的正n边形情况？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．15．如图，正三角形、正方形、正六边形等正n边形与圆的形状有差异，我们将正n边形与圆的接近程度称为“接近度”.在研究“接近度”时，应保证相似图形的“接近度”相等.（1）设正n边形的每个内角的度数为m°，将正n边形的“接近度”定义为|180-m|.于是，|180-m|越小，该正n边形就越接近于圆，①若n=20，则该正n边形的“接近度”等于；②当“接近度”等于时，正n边形就成了圆．（2）设一个正n边形的半径（即正n边形外接圆的半径）为R，边心距（即正n边形的中心到各边的距离）为r，将正n边形的“接近度”定义为|R-r|，于是|R-r|越小，正n边形就越接近于圆.你认为这种说法是否合理？若不合理，请给出正n边形“接近度”的一个合理定义．。

北师大版数学九年级下册《8 圆内接正多边形》教学设计一. 教材分析《8 圆内接正多边形》这一节主要让学生了解圆内接正多边形的概念，以及如何判断一个多边形是否为圆内接正多边形。

学生通过这一节的学习，应该能理解圆内接正多边形的性质，并能够运用这些性质解决相关问题。

二. 学情分析九年级的学生已经学习了多边形的内角和定理，对多边形的性质有一定的了解。

但是，对于圆内接正多边形的概念和性质可能还比较陌生，需要通过实例和引导来帮助他们理解和掌握。

三. 教学目标1.让学生理解圆内接正多边形的概念和性质。

2.培养学生运用圆内接正多边形的性质解决实际问题的能力。

3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。

四. 教学重难点1.圆内接正多边形的概念和性质。

2.如何判断一个多边形是否为圆内接正多边形。

五. 教学方法采用问题驱动法，通过引导学生思考和探索，让学生自主发现圆内接正多边形的性质。

同时，运用实例和练习题，让学生在实际操作中巩固所学知识。

六. 教学准备1.PPT课件。

2.练习题和答案。

3.多边形的模型或图片。

七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些多边形的图片，引导学生思考：这些多边形有什么共同的特点？从而引出圆内接正多边形的概念。

2.呈现（15分钟）通过PPT课件，呈现圆内接正多边形的性质，引导学生主动探究，发现这些性质。

同时，用实例来解释这些性质，让学生更好地理解。

3.操练（15分钟）让学生分组，每组选取一个多边形，判断它是否为圆内接正多边形，并说明理由。

然后，让学生互相交换，看看其他组的结果，从而加深对圆内接正多边形性质的理解。

4.巩固（10分钟）出示一些练习题，让学生独立完成，检验他们对圆内接正多边形性质的掌握程度。

同时，教师要及时批改，给予反馈，帮助学生巩固所学知识。

5.拓展（10分钟）引导学生思考：圆内接正多边形还有什么其他的性质？让学生通过自主探究，发现更多的规律。

6.小结（5分钟）让学生总结这一节课所学的圆内接正多边形的性质，以及如何判断一个多边形是否为圆内接正多边形。

3.8圆内接正多边形教案课题：3.8圆内接正多边形课型：新授课年级：九年级教学目标：1、了解正多边形的概念、正多边形和圆的关系；2、会通过等分圆心角的方法等分圆周，画出所需的正多边形；3、能够用直尺和圆规作图，作出一些特殊的正多边形；4、理解正多边形的中心、半径、边心距、中心角等概念.学习重点：正多边形的概念及正多边形与圆的关系.学习难点：利用直尺与圆规作特殊的正多边形.教法与学学指导：本节课主要采用“学研一体的教学模式”.坚持“教与学、知识与能力的辩证统一”和“使每个学生都得到充分发展”的原则，采用讲练结合法、引导学生自主学习、合作学习和探究学习．鼓励学生多思、多说、多练．课前准备：教师：多媒体课件、三角板.学生：圆规，铅笔、直尺、练习本.教学过程：一、创设情境，导入新课观察下列图形，你能说出这些图形的特征吗？提问：1．等边三角形的边、角各有什么性质？2．正方形的边、角各有什么性质？【处理方式】学生根据教师提出的问题进行思考，回忆学过的有关知识，进而回答教师提出的问题．【设计意图】培养学生的思维品质，将正多边形与圆联系起来．并由此引出今天的课题．二、探究新知，尝试发现活动一：观察生活中的一些图形，归纳它们的共同特征，引入正多边形的概念概念：叫做正多边形.（注：各边相等与各角相等必须同时成立）提问：矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？如果一个正多边形有n(n≥3)条边，就叫正n边形．等边三角形有三条边叫正三角形，正方形有四条边叫正四边形．活动二：分析、发现：问题：正多边形与圆有什么关系呢?发现：正三角形与正方形都有内切圆和外接圆，并且为同心圆．分析：正三角形三个顶点把圆三等分；正方形的四个顶点把圆四等分．要将圆五等分，把等分点顺次连结，可得正五边形．要将圆六等分呢?师生共同归纳：顶点都在同一个圆上的正多边形叫做圆内接正多边形，这个圆叫做该正多边形的外接圆.把圆分成n(n≥3)等份：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形.活动三：探究等分圆周问题：为什么等分圆周就能得到正多边形呢？教师在学生思考、交流的基础上板书证明正五边形的过程：如图，∵AB BC CD DE EA====∴AB BC CD DE EA====3BAD CAE AB==∴C D∠=∠同理可证：A B C D E∠=∠=∠=∠=∠∴五边形ABCDE是正五边形．∵A、B、C、D、E在⊙O上，∴五边形ABCDE是圆内接正五边形．教师提出问题后，学生思考、交流自己的见解，教师组织学生进行证明，方法不限.说明：(1)要判定一个多边形是不是正多边形，除根据定义来判定外，还可以根据这个定理来判定，即：依次连结圆的n(n≥3)等分点，所得的多边形是正多边形；(2)要注意定理中的“依次”、“相邻”等条件．(3)此定理被称为正多边形的判定定理，我们可以根据它判断一多边形为正多边形或根据它作正多边形．在师生共同作图的基础上，归纳出：正多边形与圆有着密切的联系．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，且它的每一条直径所在的直线都是它的对称轴具有旋转不变性．正多边形也是轴对称图形，正n边形有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，且绕中心旋转360n︒，都能和原来的图形重合．结合图4，给出正多边形的中心、半径、中心角、边心距等概念．同样说明正多边形与圆有着很多内在的联系．A【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨.【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形的性质、相关概念.活动四：例题探究例．如图：在圆内接正六边形ABCDEF中，半径是OA=4，OM⊥AB垂于M，求这个正六边形的中心角，边长和边心距．分析：要求正六边形的边长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂于M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．解：连接OA，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于3606︒=60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．因此，所求的正六边形的边长为4．在Rt△OAM中，OA=4，AM=12AB=2利用勾股定理，可得边心距OM=22AMOA-=2224-=32【处理方式】学生先试着独立完成，如有疑难可在学习小组内交流，师进行点拨.【设计意图】学生经过思考、讨论、交流，进一步熟悉正多边形的本质特征，掌握运用正多边形德性质、解决问题，进一步体会图形的特点及在生活中的应用.活动五：做一做利用尺规作一个已知圆的内接正六边形．分析：要画正六边形，首先要画一个圆，然后对圆六等分．在学生作图的基础上，教师组织学生，分析作图．师生归纳出等分圆周的方法：1.用量角器等分圆：依据：同圆或等圆中相等的圆心角所对应的弧相等．操作：两种情况：其一是依次画出相等的圆心角来等分圆，这种方法比较准确，但是麻烦；其二是先用量角器画一个圆心角，然后在圆上依次截取等于该圆心角所对弧的等弧，于是得到圆的等分点，这种方法比较方便，但画图的误差积累到最后一个等分点，使画出的正多边形的边长误差较大．2.用尺规等分圆.思考：如何作正八边形正三角形、正十二边形？【处理方式】提供充分的时间，鼓励学生用自己的语言表述，教师巡回引导，并集思广益.从而提高学生观察归纳、语言表达、合作交流等能力.【设计意图】鼓励学生用自己的语言表述，在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.活动六：方案设计某学校在教学楼前的圆形广场中，准备建造一个花园，并在花园内分别种植牡丹、月季和杜鹃三种花卉.为了美观，种植要求如下：（1）种植4块面积相等的牡丹、4块面积相等的月季和一块杜鹃.（注意：面积相等必须由数学知识作保证）（2）花卉总面积等于广场面积（3）花园边界只能种植牡丹花，杜鹃花种植在花园中间且与牡丹花没有公共边.请你设计种植方案：（设计的方案越多越好；不同的方案类型不同．）要求①尺规作图；②说明画法；③指出作图依据；④学生独立完成．教师巡视，对画的好的学生给予表扬，对有问题的学生给予指导．教师要关注学生对问题的理解，对等分圆周方法的掌握程度．教师提出问题后，让学生认真思考后，设计出最美的图案，并用实物投影展示自己的作品．【处理方式】学生以小组为单位,进行组内交流、讨论、设计自己的作品.教师指导小组讨论，适时进行点拨.【设计意图】解决操作层面问题．可提议用不同方法，以体现学生的创造性．此阶段通过“观察-联想-质疑-归纳-表达”展现知识的形成过程和学生的思考过程，发展学生的智力品质，让学生在获取知识的同时领会一定的数学思想和思维方法，实现学法指导的目的.四、课堂小结：谈一谈,通过本节课的学习,你有哪些收获?【处理方式】学生小组内畅所欲言，互讲本节课的内容，总结本节课所学习的知识和应注意的问题，教师对小组总结情况进行评价.【设计意图】在学习成果分享中发挥学生的主体意识训练学生概括归纳知识的能力，从而使所学的知识系统化、条理化，提高他们的表达能力和归纳总结能力.五、达标检测，反馈提高1．如图1所示，正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，则∠ADB 的度数是（ ）．A ．60°B ．45°C ．30°D ．22．5°2、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为（ ）A B ,3:2:1C ,1:2:3D3．圆内接正五边形ABCDE 中，对角线AC 和BD 相交于点P ，则∠APB 的度数是（ ）． A ．36° B ．60° C ．72° D ．108°4．若半径为5cm 的一段弧长等于半径为2cm 的圆的周长，•则这段弧所对的圆心角为（ ） A ．18° B ．36° C ．72° D ．144°(1) (2)5．若正六边形的边长为1，那么正六边形的中心角是______度，半径是______，边心距是______，它的每一个内角是______．6．有一个边长为3cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个正六边形，则这个圆形纸片的最小半径为 .7．在△ABC 中，∠ACB=90°，∠B=15°，以C 为圆心，CA 长为半径的圆交AB 于D ，如图2所示，若AC=6，则AD 的长为________．8．如图所示，已知⊙O 的周长等于6 cm ，求以它的半径为边长的正六边形ABCDEF 的面积．【设计意图】设计此组题旨在从正反两方面灵活掌握圆内接正多边形的相关知识，同时锻炼了学生逆向思维能力，也为后续的学习做了铺垫．目的是加强学生对圆内接正多边形的 理解，同时也锻炼学生的发散思维．六.分层作业，自由拓展（1）必做题：课本99页 习题3.10 第1题、2题、3题.. （2）选做题：试一试如图⑴⑵⑶⑷，M ，N 分别为⊙O 的内接正三角形ABC ，正四边形ABCD ，正五边形ABCDE ，…正n 边形ABCDE …的边 AB ，BC 上的点，且BM=CN ，连结OM ，ON ， ⑴ 求图⑴中∠MON 的度数 ⑵ 图⑵中∠MON 的度数是 .⑶ 请探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系为 .⑴ ⑵ ⑶ ⑷【设计意图】作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则，尊重学生的个体差异，满足多样化的学习需要，让不同的人在数学上得到不同的发展．板书设计：。