数学北师大版八年级上册探索勾股定理(第二课时)教学设计

第一章勾股定理1. 探索勾股定理课题：探索勾股定理教学目标1、知识与技能目标用数格子（或割、补、拼等）的办法体验勾股定理的探索过程并理解勾股定理反映的直角三角形的三边之间的数量关系，会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用．2、过程与方法让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法．进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力；进一步体会数学与现实生活的紧密联系．3、情感态度与价值观在探索勾股定理的过程中，体验获得成功的快乐；通过介绍勾股定理在中国古代的研究，激发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想，激励学生发奋学习．教学重点：了结勾股定理的由来，并能用它来解决一些简单的问题。

教学难点：勾股定理的发现教学准备：多媒体课件三、教学过程第一环节：创设情境，引入新课内容：2002年世界数学家大会在我国北京召开，投影显示本届世界数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号．今天我们就来一同探索勾股定理．（板书课题）意图：紧扣课题，自然引入，同时渗透爱国主义教育.效果：激发起学生的求知欲和爱国热情.第二环节：探索发现勾股定理1．探究活动一内容：投影显示如下地板砖示意图，引导学生从面积角度观察图形：问：你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗？ 学生通过观察，归纳发现：结论1 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：从观察实际生活中常见的地板砖入手，让学生感受到数学就在我们身边．通过对特殊情形的探究得到结论1，为探究活动二作铺垫.效果：1．探究活动一让学生独立观察，自主探究，培养独立思考的习惯和能力；2．通过探索发现，让学生得到成功体验，激发进一步探究的热情和愿望. 2．探究活动二内容：由结论1我们自然产生联想：一般的直角三角形是否也具有该性质呢？ （1）观察下面两幅图：（2）填表：（3）你是怎样得到正方形C 的面积的？与同伴交流．（学生可能会做出多种方法，教师应给予充分肯定．）图1 图2 图3 学生的方法可能有： 方法一：如图1，将正方形C 分割为四个全等的直角三角形和一个小正方形，13132214=+⨯⨯⨯=C S ．方法二：如图2，在正方形C 外补四个全等的直角三角形，形成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，133221452=⨯⨯⨯-=C S ． 方法三：如图3，正方形C 中除去中间5个小正方形外，将周围部分适当拼接可成为正方形，如图3中两块红色（或两块绿色）部分可拼成一个小正方形，按此拼法，13542=+⨯=C S ． （4）分析填表的数据，你发现了什么？ 学生通过分析数据，归纳出：结论2 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积．意图：探究活动二意在让学生通过观察、计算、探讨、归纳进一步发现一般直角三角形的性质．由于正方形C 的面积计算是一个难点，为此设计了一个交流环节.效果：学生通过充分讨论探究，在突破正方形C 的面积计算这一难点后得出结论2.3．议一议内容：（1）你能用直角三角形的边长a ，b ，c 来表示上图中正方形的面积吗？ （2）你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？（3）分别以5厘米、12厘米为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度．2中发现的规律对这个三角形仍然成立吗？勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）意图：议一议意在让学生在结论2的基础上，进一步发现直角三角形三边关系，得到勾股定理.效果：1．让学生归纳表述结论，可培养学生的抽象概括能力及语言表达能力；2．通过作图培养学生的动手实践能力. 第三环节：勾股定理的简单应用内容：例题 如图所示，一棵大树在一次强烈台风中于离地面10m 处折断倒下，树顶落在离树根24m 处. 大树在折断之前高多少？（教师板演解题过程） 练习：1．基础巩固练习：求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：2．生活中的应用：小明妈妈买了一部29 in （74 cm ）的电视机. 小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58 cm 长和46 cm 宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？弦股勾?225100x1517意图：练习第1题是勾股定理的直接运用，意在巩固基础知识．效果：例题和练习第2题是实际应用问题，体现了数学来源于生活，又服务于生活，意在培养学生“用数学”的意识．运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容.第四环节：课堂小结内容： 教师提问：1．这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 2．对这些内容你有什么体会？与同伴进行交流． 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：1．知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a ，b ，c分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么222c b a =+．2．方法：（1） 观察—探索—猜想—验证—归纳—应用； （2）“割、补、拼、接”法.3．思想：（1） 特殊—一般—特殊； （2） 数形结合思想．意图：鼓励学生积极大胆发言，可增进师生、生生之间的交流、互动．效果：通过畅谈收获和体会，意在培养学生口头表达和交流的能力，增强不断反思总结的意识.第五环节：布置作业内容：布置作业：1．教科书习题1.1.2．观察下图，探究图中三角形的三边长是否满足222c b a =+？意图：课后作业设计包括了三个层面：作业1是为了巩固基础知识而设计；作业2是为了扩展学生的知识面；作业3是为了拓广知识，进行课后探究而设计，通过此题可让学生进a bcabc一步认识勾股定理的前提条件．效果：学生进一步加强对本课知识的理解和掌握．五、教学设计反思（一）设计理念依据“学生是学习的主体”这一理念，在探索勾股定理的整个过程中，本节课始终采用学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行主动学习．教师只在学生遇到困难时，进行引导或组织学生通过讨论来突破难点.（二）突出重点、突破难点的策略为了让学生在学习过程中自我发现勾股定理，本节课首先情景创设激发兴趣，再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这一特殊情形入手，自然过渡到探究一般直角三角形，学生通过观察图形，计算面积，分析数据，发现直角三角形三边的关系，进而得到勾股定理．。

北师大版初中数学八年级上册第一章勾股定理1.2 一定是直角三角形吗？（教学设计）《一定是直角三角形吗》教学设计一、教材分析本节课是北师大版数学八年级上册第一章《勾股定理》第2节。

教学任务有：探索勾股定理的逆定理，并利用该定理根据边长判断一个三角形是否是直角三角形，利用该定理解决一些简单的实际问题；通过具体的数，增加对勾股数的直观体验。

二、学情分析本课的教学对象是八年级学生。

学生此前学习了三角形的有关知识，了解了直角三角形的定义，掌握了直角三角形的性质，在此基础上学习本课时内容能够加深对三角形的认识，提高学生数形结合的应用与理解。

另外，八年级学生具有好胜、好强、思维活跃的特点，对学习有强烈的求知欲望，他们乐于探索和表现自我，为学生学习本节内容奠定了良好的心理基础。

三、教学目标(一) 知识与能力：1.掌握直角三角形的判定条件。

2.熟记一些勾股数。

3.能对直角三角形的判定条件进行一些综合应用。

（二）过程与方法：1.在观察、猜想、归纳、验证等过程中，培养语言表达能力和初步的逻辑推理能力。

2.在探索过程中，体会数形结合、由特殊到一般及化归等数学思想方法。

3.通过学习直角三角形判定的过程，进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题中抽象出数学问题的能力，建立数学模型。

（三）情感态度价值观：1.通过介绍有关历史资料，激起学生的学习兴趣和解决问题的欲望。

2.通过让学生参加探索与创造，获得参加数学活动成功的经验。

3.通过对定理的综合应用，培养学生学习数学的兴趣及克服困难的勇气，并体验定理在生活实际中的应用性。

四、重点难点重点：运用身边熟悉的事物，从多种角度发展数感，会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，熟悉几组勾股数，并会辨析勾股定理及其逆定理运用的情境。

难点：灵活运用勾股定理及其逆定理。

五、教学过程（一）课堂导入：[师]：同学们好，今天我们继续学习勾股定理，首先请同学们观看一段视频。

[师]：播放视频《一定是直角三角形吗》[师]：为什么通过这样的方式得到的一定是直角三角形呢？今天我们就一起来探究其中的奥秘。

1.1 勾股定理探索教学设计一、教学目标1.理解勾股定理的概念和原理；2.掌握勾股定理的运用方法；3.能够解决与勾股定理相关的实际问题；4.培养学生的逻辑思维和问题求解能力。

二、教学准备1.教师准备：教案、教辅材料、黑板、粉笔等；2.学生准备：课本、笔记本、铅笔、直尺、计算器等。

三、教学过程3.1 导入与热身1.预习复习检测：让学生回答上节课所学的勾股定理的内容，复习相关的知识点；2.导入新课：引入勾股定理的概念，创设问题情境，激发学生的学习兴趣。

3.2 探索与学习1.勾股定理的探索：–学生小组合作，根据给定的直角三角形，测量三条边的长度，并记录在表格中；–让学生观察数据并进行总结，引导学生发现两条短边的平方和等于斜边的平方；–引导学生总结勾股定理的形式表达和几何意义。

2.勾股定理的证明：–引导学生进行勾股定理的证明过程，通过推理和演绎，使学生理解并接受勾股定理的正确性。

3.3 拓展与巩固1.拓展应用：–引导学生观察勾股定理的几何意义，分析其应用场景；–通过示例问题，让学生练习运用勾股定理求解实际问题，如建筑斜坡的高度、电线杆的高度等。

2.合作学习：–分组让学生自主探究边长为整数的勾股数的特点，总结规律；–比较各组的研究结果，引导学生发现整数勾股数的规律。

3.4 总结与评价1.让学生进行知识总结，复述勾股定理的内容和运用方法；2.师生共同评价学生的学习情况，及时纠正错误，激励学生的学习兴趣和持续努力。

四、板书设计1.1 勾股定理探索教学设计- 导入与热身- 探索与学习- 勾股定理的探索- 勾股定理的证明- 拓展与巩固- 拓展应用- 合作学习- 总结与评价五、教学反思本节课通过探索与学习的方式，使学生主动发现和理解勾股定理，通过验证和证明，增强了学生对勾股定理的信心和兴趣。

同时，通过拓展和巩固的环节，培养了学生的问题求解能力和团队协作精神。

但需要注意的是，教师应及时发现学生的问题和困惑，及时给予指导和激励，确保学生能够真正理解和掌握勾股定理的内容和运用方法。

第一章勾股定理1. 1 探索勾股定理第 2 课时教学设计1.学会应用勾股定理，并领会“数与行”相结合的应用思想.2.经历勾股定理应用的过程，掌握勾股定理的使用方法.3.培养良好的合作、交流意识，发展数学观念，体会勾股定理的实际应用.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.四个全等的直角三角形纸片.一、创设情境，引入新知如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教学过程二、合作交流，探究新知勾股定理的初步认识问题1：观察下面地板砖示意图：你发现图中三个正方形的面积之间存在什么关系吗？问题2：观察右边两幅图：完成下表（每个小正方形的面积为单位1）.方法一：割分割为四个直角三角形和一个小正方形.方法二：补补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.方法三：拼将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.分析表中数据，你发现了什么？结论：以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.想一想（1）你能用直角三角形的两直角边的长a，b 和斜边长 c 来表示图中正方形的面积吗？根据前面的结论，它们之间又有什么样的关系呢？（2）以5 cm、12 cm为直角边作出一个直角三角形，并测量斜边的长度.（1）中的规律对这个三角形仍成立吗？勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果a，b和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边那么a2+b2=c2名字的由来我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名.在西方又称毕达哥拉斯定理三、运用新知求下列图形中未知正方形的面积或未知边的长度（口答）：已知直角三角形两边，求第三边.利用勾股定理进行计算：例求斜边长为17 cm、一条直角边长为15 cm的直角三角形的面积.四、巩固新知1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 .2. 判断题①△Rt ABC 的两直角边AB=5, AC=12,则斜边BC=13 ( )②△ABC 的两边a = 6 , b = 8, 则c = 10 ( )3. 填空题在△ABC中, ∠C=90°, AC = 6, CB = 8,则△ABC 的面积为_____,斜边上的高CD 为______.4. 一高为 2.5 米的木梯,架在高为 2.4 米的墙上(如图),这时梯脚与墙的距离是多少?五、归纳小结◆教学反思略.。

1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教学目标【知识与能力】1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.【情感态度价值观】培养学生大胆探索,不怕失败的精神.教学重难点【教学重点】经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.【教学难点】用拼图法验证勾股定理.课前准备【教师准备】教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.教学过程第一环节：引入新课导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).第二环节：新知构建1.勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:讨论交流.师总结:图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 -5采用的是“补”的方法,而图1 - 6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c 的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.ab+c2两种方法.生:得出(a+b)2,4×12(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图1 - 4及“做一做”,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做”的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.2.勾股定理的简单应用思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材P8图1 - 8.【提问】 判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2=c 2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m 处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s 后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?〔解析〕 根据题意,可以画出右图,其中点A 表示小王所在位置,点C ,点B 表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C 是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB 2=BC 2+AC 2,也就是5002=BC 2+4002,所以BC =300.敌方汽车10 s 行驶了300 m,那么它1 h 行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h .[知识拓展] 利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a +b )(a +b ),又可以表示为12(2ab +c 2),所以可得12(a +b )(a +b )=12(2ab +c 2),化简可得a 2+b 2=c 2.第三环节：课堂小结1.勾股定理的验证方法{测量法数格子法面积法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题. 第四环节：检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )解析:A,B,C 都可以利用图形面积得出a ,b ,c 的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C 选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.故选D .2.用四个边长均为a ,b ,c 的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是( )A.c 2=a 2+b 2B.c 2=a 2+2ab +b 2C .c 2=a 2-2ab +b 2D .c 2=(a +b )2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c ,里面的小四边形也为正方形,边长为b-a ,则有c 2=12ab ×4+(b-a )2,整理得c 2=a 2+b 2.故选A .3.如图所示,大正方形的面积是 ,另一种方法计算大正方形的面积是 ,两种结果相等,推得勾股定理是.ab+c2,即(a+b)2=4×解析:如图所示,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×121ab+c2,化简得a2+b2=c2.2ab+c2a2+b2=c2答案:(a+b)24×124.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材第6页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2第3题.2.课后作业【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.132.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是()A.SΔEDA =SΔCEBB.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDEC.S四边形CDAE =S四边形CDEBD.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC ,其中∠DAB =90°,求证a 2+b 2=c 2. 证明:连接DB ,过点D 作BC 边上的高DF ,则DF =EC =b-a. ∵S 四边形ADCB=S ΔACD+S ΔABC=12b 2+12ab , 又∵S 四边形ADCB=S ΔADB+S ΔDCB=12c 2+12a (b-a ),∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB =90°,连接BE.验证a 2+b 2=c 2.证明:连接 , ∵S 五边形ACBED= , 又∵S 五边形ACBED= ,∴ , ∴a 2+b 2=c 2.【答案与解析】1.A(解析:根据勾股定理可得a 2+b 2=13,四个直角三角形的面积和是12ab ×4=13-1=12,即2ab =12,则(a-b )2=a 2-2ab +b 2=13-12=1.故选A.) 2.D(解析:由S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD,可知12ab +12c 2+12ab =12(a +b )2,∴c 2+2ab =a 2+2ab +b 2,整理得a 2+b 2=c 2,∴证明中用到的面积相等的关系是S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD.故选D .)3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c 2=4×12ab +(a-b )2=a 2+b 2. (2)如图所示. (3)∵2ab =(a +b )2-(a 2+b 2)=196-100=96,∴ab =48,∴S =12ab =12×48=24.4.440(解析:如图所示,延长AB 交KL 于P ,延长AC 交LM 于Q ,则ΔABC ≌ΔPFB ≌ΔQCG ,∴PB =AC =8,CQ =AB =6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP =8+6+8=22,DQ =6+8+6=20,∴矩形KLMJ 的面积=22×20=440.故答案为440.)5.D(解析:依题意有:a 2+b 2=大正方形的面积=13,2ab =四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab =6,则a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2=(a 2+b 2)2-2(ab )2=132-2×62=169-72=97.故选D .)6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c 2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a 2+b 2,∵它们的面积都等于边长为a +b 的正方形的面积-4个直角边分别为a ,b 的直角三角形的面积和,∴a 2+b 2=c 2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.7.解:连接D'D ,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,Rt ΔDAB 和Rt ΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S ,则S =12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ,又S =S Rt ΔDBD'+2S Rt ΔABD =12c 2+2×12ab =12c 2+ab ,∴12(a 2+b 2)+ab =12c 2+ab ,因此a 2+b 2=c 2.8.163(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形,∴CG =NG ,CF =DG =NF =GK ,∴S 1=(CG +DG )2=CG 2+DG 2+2CG ·DG =GF 2+2CG ·DG ,S 2=GF 2,S 3=(NG-NF )2=NG 2+NF 2-2NG ·NF ,∴S 1+S 2+S 3=GF 2+2CG ·DG +GF 2+NG 2+NF 2-2NG ·NF =3GF 2=16,∴GF 2=163,∴S 2=163.故答案为163.)9.证明:连接BD ,过点B 作DE 边上的高BF ,则BF =b-a ,∵S 五边形ACBED=S ΔACB +S ΔABE+S ΔADE=12ab +12b 2+12ab ,又∵S五边形ACBED=SΔACB+SΔABD+SΔBDE=12ab +12c 2+12a (b-a ),∴12ab +12b 2+12ab =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.板书设计1.1.21.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用.教学反思成功之处在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回顾,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理”,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.不足之处在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散. 再教设计勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.备课资源古诗中的数学题请你先欣赏下面一首诗:平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前,花离原位两尺远; 能算诸君请解题,湖水如何知深浅?你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗? 〔解析〕 要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如图所示.在Rt ΔBCD 中,由勾股定理建立方程求线段的长.解:如图所示,AD 表示莲花的高度,CD 是水的深度,CB 是莲花吹倒后离原位的距离.欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助！设CD =x 尺,则AD =BD =(x +12)尺. 在Rt ΔBCD 中,∠BCD =90°,由勾股定理得BD 2=CD 2+BC 2,即(x +12)2=22+x 2.解得x =3.75.所以所求的湖水深度为3.75尺.[方法总结] 建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.。

教师引导学生发现三边关系并提出猜想：a 2+ b2=c2教师引导学生对我们的猜想进行验证，所以给定了几组以a,b为直角边的直角三角形,用我们的猜想计算斜边c的长度。

再次引导学生用工具画出满足上图给定直角边的直角三角形，并用刻度尺测量出斜边的长度，检验和公式算出的数值是否一致从而提出猜想。

猜想公式后尝试应用公式计算，求出斜边的长度作图满足条件的直角三角形，并进行测量，发现测量出的斜边和用公式计算出的斜边在误差允许的范围内保持一致。

设计意图：让学生经历作图——测量——猜想——作图——测量——验证的过程，培养学生的动手实践能力和数学探究能力。

并且，作图和测量是数学操作中的两项基本技能，在此环节中得以多次训练，教学结构完整而统一。

同时，也引导传授学生遇到陌生的问题时，要先进行尝试，再大胆猜想，最后进行验证的数学学习思路。

本环节运用了数形结合的思想和从特殊到一般的思想，让学生感受数学探究的方法与乐趣。

环节三.严谨证明，欣赏教师活动：引导学生使用赵爽弦图对勾股定理进行证明，并强调数形结合的思想方法。

同时，展示第二十四届数学家大会的会徽，再次渗透数学文化。

教师继续带领大家欣赏刘徽的“青朱出入图”、欧几里得《几何原本》中的证明，和达芬奇的证明。

并在课件中展示相应的人物简历、文化科普，激发学生兴趣的同时补充数学文化知识。

学生活动：利用“赵爽弦图”尝试证明勾股定理，并在教师的引导下完成定理的证明。

欣赏其他名人的证法，感受数形结合之美。

体会“算两次”和割补法在勾股定理证明中的妙用。

思考讨论是否还有其他的证明方法，激发数学思教师继续带领学生欣赏其他美妙的证法，并且告诉学生勾股定理有500多种证明方法，是证法最多的定理之一，从而引发学生强烈的求知欲望，想要去查找或探索其他证明方法。

考和潜能设计意图： 通过严谨的数学证明教导学生“先猜后证”是数学之道，一个定理的提出除了猜想和尝试外，还需要逻辑严谨的数学证明.定理的证明可以使本节课的思路更加严谨和清晰。

第一章勾股定理1.1 探索勾股定理（第2课时）一、学生起点分析学生的知识技能基础：学生在上节课已经通过测量和数格子的方法，对特殊的直角三角形进行了探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行一般性的验证.学生活动经验基础：学生具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；尤其在在七年级《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.二、教学任务分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.为此本节课的教学目标是：1.了解勾股定理的历史,感受数学文化;2.探究验证勾股定理的三类方法:(1)等面积,两算法;(2) 无字的证明;(3)欧氏几何证明;3.能初步应用勾股定理解决一些实际问题.4.经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想, 培养学生的探究能力和合作精神.教学重点:探究验证勾股定理的三类方法教学难点: 验证勾股定理的三类方法三、教学过程本节课设计了七个教学环节：（一）史话勾股定理；（二）探究勾股定理的三类证明方法；（三）例题讲解,勾股定理的初步应用;（四）课堂练习;（五）拓展延伸；（六）反思小结；（七）布置作业第一环节: 史话勾股定理1．观看关于勾股定理历史的视频视频大致内容：3000多年前，古巴比伦人和古埃及人都已经对发现了勾股定理，在我国1000多年前，周朝数学家商高在提出了：“勾广三，股修四，经隅五”的勾股定理的特例，最早给出证明的是公元前6世纪古希腊数学家毕达哥拉斯，公元前4世纪，欧几里德在«几何原本»中给出了一种很好的证明，在我国最早给出证明的是公元前三世纪的数学家赵爽，稍后一时期的刘徽在«九章算术»用“青朱出入图”这种无字的证明方法验证了勾股定理。