高中数学第二章基本初等函数Ⅰ2.2.1.1对数练习含解析新人教A版必修

学习资料对数的运算［A组学业达标］1．log23·log32的值为(）A．1B．－1C．2 D．－2解析：log23·log32＝错误!·错误!＝1.答案:A2．求值:2log510＋log50.25＝（)A．0 B．1C．2 D．4解析:2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案：C3．2log32－log3错误!＋log38的值为（）A.错误!B．2C．3 D。

错误!解析：原式＝log34－log3错误!＋log38＝log3错误!＝log39＝2.答案：B4．2错误!＋2log23的值是(）A．12 2 B．9＋ 2C．9错误!D．84错误!解析：∵错误!＋2log23＝log2错误!＋log29＝log29错误!，又∵a log a x＝x，∴原式＝9错误!.答案：C5．若lg a，lg b是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则错误!2的值等于（) A．2 B.错误!C．4 D。

错误!解析：由一元二次方程的根与系数的关系得lg a＋lg b＝2,lg a·lg b＝错误!，∴错误!2＝（lg a－lg b)2＝(lg a＋lg b）2－4lg a·lg b＝22－4×错误!＝2.6．log 816＝__________.解析:log 816＝log 2324＝错误!.答案：错误!7．（lg 5)2＋lg 2·lg 50＝__________.解析：(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝（lg 5）2＋lg 2(lg 5＋lg 10）＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1。

答案:18．计算：（1）log 535－2log 5错误!＋log 57－log 51.8；(2）log 2错误!＋log 212－错误!log 242－1.解析：(1)原式＝log 5（5×7)－2（log 57－log 53）＋log 57－log 5错误!＝log 55＋log 57－2log 57＋2log 53＋log 57－2log 53＋log 55＝2.(2)原式＝log 2错误!＋log 212－log 2错误!－log 22＝log 2错误!＝log 2错误!9．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的质量约是原来的75％，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的错误!（结果保留1个有效数字）？（lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)解析:设物质的原有量为a ，经过t 年，该物质的剩余量是原来的13，由题意可得a ·0.75t ＝错误!a ，∴错误!t ＝错误!，两边取以10为底的对数得lg 错误!t ＝lg 错误!。

学习资料对数[A组学业达标］1．将错误!－2＝9写成对数式，正确的是(）A．log9错误!＝－2B．log错误!9＝－2C．log错误!（－2)＝9 D．log9(－2)＝错误!解析：根据对数的定义,得log错误!9＝－2,故选B。

答案：B2．方程2log3x＝错误!的解是（）A．x＝错误!B．x＝错误!C．x＝错误!D．x＝9解析：∵2log3x＝2－2，∴log3x＝－2,∴x＝3－2＝错误!.答案：A3．使对数log a（－2a＋1)有意义的a的取值范围为(）A．a＞错误!且a≠1 B．0＜a＜错误!C．a＞0且a≠1 D．a＜错误!解析：由对数的概念可知使对数log a(－2a＋1)有意义的a需满足错误!解得0＜a＜错误!.答案：B4．下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A．e0＝1与ln 1＝0B．＝错误!与log8错误!＝－错误!C．log39＝2与＝3D．log77＝1与71＝7解析：由指对互化的关系：a x＝N⇔x＝log a N可知A、B、D都正确；C中log39＝2⇔9＝32.答案：C5．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则log x（y x)的值是()A．1 B．0C．x D．y解析：由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，得(x－2）2＋（y－1)2＝0，∴x＝2,y＝1,∴log x（y x）＝log2(12)＝0。

答案:B6．lg 10 000＝__________；lg 0.001＝__________.解析:由104＝10 000知lg 10 000＝4,10－3＝0.001得lg 0。

001＝－3. 答案：4 －37．方程log 2(1－2x ）＝1的解x ＝__________。

解析：∵log 2（1－2x )＝1＝log 22， ∴1－2x ＝2， ∴x ＝－错误!。

经检验满足1－2x 〉0. 答案:－错误!8．已知log 7（log 3(log 2x )）＝0，那么＝__________.解析:由题意得：log 3(log 2x ）＝1，即log 2x ＝3， 转化为指数式则有x ＝23＝8,∴x －12＝8－错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!.答案：错误!9．将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式． （1)53＝125； (2)4－2＝116；（3）log 错误!8＝－3； （4)log 3错误!＝－3. 解析：(1）∵53＝125，∴log 5125＝3. （2)∵4－2＝错误!，∴log 4错误!＝－2. (3)∵log 错误!8＝－3,∴错误!－3＝8。

2.2.1 对数与对数运算疱丁巧解牛知识·巧学·升华 一、对数 1.对数一般地，如果a x=N （a ＞0，a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.对数式的对数就是原指数式的指数，只是表示形式不同而已，即已知指数式a b=N ，用a 、N 表示b 的运算叫对数运算，记作b=log a N.对数式是指数式的另一种表达形式，对数运算是指数运算的逆运算.常用符号“log ”表示对数，但它仅是一个符号而已.同“+、-、×、”等符号一样，表示一种运算.要从以下几个方面来理解对数的概念．（1）会依据定义把指数式写成对数式.例如：∵32=9，∴2是以3为底9的对数.记作log 39=2； ∵41=4，∴1是以4为底4的对数.记作log 44=1； ∵20=1，∴0是以2为底1的对数.记作log 21=0； ∵318=21，∴-31是以8为底21的对数.记作log 821=-31.（2）log a N=b 中规定底数a ＞0且a ≠1.这是因为若a ＜0，则N 为某些值时，b 不存在，如log （-2）21；若a=0，N 不为0时，b 不存在，如log 03，N 为0时，b 可为任意正数，是不唯一的，即log 00有无数个值；若a=1，N 不为1时，b 不存在，如log 12，N 为1时，b 可为任意数，是不唯一的，即log 11有无数个值.总之，就规定了a ＞0且a ≠1.(3)只有正数才有对数，零和负数没有对数.在解决有关对数问题时，容易忽视对数的真数大于零的问题．因为底数a ＞0且a ≠1，由指数函数的性质可知，对任意的b ∈R ，a b＞0恒成立，并且由于在实数范围内，正数的任何次幂都是正数，所以N ＞0.（4）指数式、对数式、根式的关系及相应各字母的名称.记忆要诀 指数式进行的是乘方运算，由a 、b 求N ；根式进行的是开方运算，由N 、b 求a ；对数式进行的是对数运算，由a 、N 求b. （5）对数恒等式：①Na alog =N ；②log a a b=b.证明：①∵a b=N ，∴b=log a N.∴a b=Nalog =N ，即Na alog =N.②∵a b =N ，∴b=log a N.∴b=log a N=log a a b,即log a a b=b. 如5log 33=5，6log 44=6,log 335=5,3222log =32等.要熟记对数恒等式的形式，会使用这一公式化简对数式.要点提示 证明对数恒等式，一要注意指数与对数式的互化，二要紧扣对数的定义. （6）两个特殊的对数式：log a a=1；log a 1=0.证明：∵a 1=a ，∴log a a=1.∵a 0=1，∴log a 1=0，即底的对数等于1，1的对数等于0. 2.常用对数当底数a=10时，对数log a N 叫做常用对数，记作lgN.（1）常用对数是指底数为10的对数，它的形式可由log 10N 缩写为lgN ，其中lgN 默认它的底数为10. （2）会求常用对数的值.若真数易转化成以10为底的幂的形式，可直接求值.如lg10，lg100，lg0.001等，∵102=100，∴lg100=2.又∵10-3=0.001，∴lg0.001 =-3.一般情况下，可通过.如lg200 1，lg0.032，lg187.5等.使用计算器时，应先按上真数，然后再按lg2 001≈3.301 2，lg0.032≈-1.494 9，lg187.5≈2.273 0.因为对数表只能查得1≤a ＜10的对数，所以对于不在该范围内的数，使用对数表求值时，应先用科学记数法把真数表示成a ×10n（1≤a ＜10，n ∈Z )的形式，运用后面的对数性质化简后，再求值.联想发散 要会使用科学记数法记数.当N ＞10时，可把N 写成a ×10n的形式，其中n比N 的整数位数少1，如10 001=1.000 1×104；当0＜N ＜1时，可把N 写成a ×10-n，其中n 是从左边第一个不是0的数字算起前面所有0的个数，如0.001 02=1.02×10-3. 3.自然对数在科学技术中，常常使用以无理数e=2.718 28…为底的对数.以e 为底的对数叫做自然对数.log e N 通常记作lnN.①自然对数与常用对数的关系： lnN ≈2.302 6lgN. ②可直接使用计算器求自然对数值.它的使用规则同常用对数一样，也是先按真数值，再按ln 键，即可直接求出常用对数值.如ln34≈3.526 4，也可查表，求自然对数的值. 要点提示 自然对数与常用对数是对数的两个特例，只有它们才既能查表，又能使用计算器求值. 二、对数运算1．积、商、幂的对数运算性质 （1）log a MN=log a M+log a N ，两个正因数积的对数等于同一底数的各因数对数的和．该法则可以推广到若干个正因数积的对数，即log a （N 1·N 2·…·N k ）=log a N 1+log a N 2+…+log a N k . （2）log aNM=log a M-log a N. 两个正数商的对数等于同一底数的被除数的对数减去除数的对数.（3）log a M n=nlog a M （n ∈R ）.正数幂的对数等于幂指数乘以同一底数幂的底数的对数对数的运算法则既可正用，也可逆用，由积、商的运算法则可知，若逆用该公式，可把对数式转化成同底数的对数的和、差的形式．误区警示 使用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，只有各个对数式都存在时，等式才成立.例如：lg （-2）（-3）存在，但lg （-2），lg （-3）不存在，lg （-10）2存在，但lg （-10）不存在等.因此不能得出lg （-2）（-3）=lg （-2）+lg （-3），lg （-10）2=2lg （-10）. 2.换底公式（1）换底公式：log a b=abc c log log （a ＞0，a ≠1，c ＞0，c ≠1，b ＞0）.证明：设log a b=c ，则a c=b.两边取以c 为底的对数，得clog c a=log c b ， 所以c=a b c c log log ，即log a b=abc c log log .换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简，凡是所求对数式的底数与题设中的对数底数不同的，都可考虑用换底公式求解，使用换底公式推论的前提是底数或真数能化成幂的形式.①换底公式的证明要紧扣对数的定义，证明的依据是 若M ＞0，N ＞0，M=N ，则log a M=log a N.②自然对数与常用对数的关系可以通过换底公式建立关系： lnN=e N lg lg ≈4343.0lg N≈2.302 6lgN. ③可把一般对数式转化成常用对数或自然对数，通过计算器或查表求值. ④换底公式可用于对数式的化简、求值或证明. （2）换底公式的三个推论：n a b n log =log a b ，m a b n log =nmlog a b ，log a b ·log b a=1. 推广：log a b ·log b c ·log c d ·…·log e a=1. 问题·思路·探究问题1 对数运算性质的实质是什么？思路：对数运算性质是指数运算性质的拓展引申，它们之间可以互相转化.探究:由于指数运算中遇到次数高的指数进行乘、除、乘方和开方时运算量太大，操作很繁，而对数运算恰恰将指数运算这些弱点克服，可以将乘、除、乘方和开方时运算转化为对数的加、减、乘的运算，从而降低了运算难度，加快了运算速度，简化了计算方法，有力地促进了涉及与高次数运算有关领域如天文、航海、工程、贸易及军事的发展.问题2 式子log a M n=nlog a M 表明真数的指数可以直接拿到对数式前作系数，那请问：底数的指数也可以直接拿到对数式前作系数吗？若不能，有没有类似性质呢？怎么证明呢？ 思路：log a M n与nlog a M 与log a nM=n1log a M 的结合使进行对数运算时更加简便快捷，同时也提醒我们在进行对数运算过程中，如果运算性质不能直接运用时，可以通过先化成指数式，变形后再化成对数式的方法达到计算的目的探究:一般不能，比如2=log 416=log 2216而，2log 216=8≠log 2216=2,但有类似的性质，这个性质是 log a nM=n 1log a M. 证明如下：令log a M=x,则M=a x,所以n 1=log a M=n 1x ，而M n a log =x a a n log =a x n a log =x ·n 1，所以M n a log =n1log a M.典题·热题·新题例1 (2020浙江高考,理)已知0＜a ＜1，log a m ＜log a n ＜0，则（ ）A.1＜n ＜mB.1＜m ＜nC.m ＜n ＜1D.n ＜m ＜1 思路解析：∵0<a<1,∴y=log a x 为减函数，由log a m<log a n<0,可得1<n<m. 答案：A例2 设log 189=a ，18b=5，求log 3645.思路解析：本题是条件求值问题，解题的关键是把结论化成已知的形式，换底是显然的.解：∵18b=5，∴b=log 185. ∴log 3645=aba b a b a -+=-+=++=++=29log 2918log 12log 19log 5log 36log 45log 18181818181818.深化升华 换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，该公式既可正用，又可逆用，使用时的关键是选择底数，换底的目的是实现对数式的化简. 例3 计算：lg25+32lg8+lg5·lg20+lg 22. 思路解析：本题主要考查对数的运算性质. 解：原式=lg25+328lg +lg210·lg （10×2）+lg 22 =lg25+lg4+（lg10-lg2）（lg10+lg2）+lg 22=lg100+lg 210-lg 22+lg 22=2+1=3.深化升华 对于对数的运算性质要熟练掌握，并能够灵活运用，在求值的过程中，要注意公式的正用和逆用. 例4 设3x=4y=36，求yx 12+的值. 思路解析：本题主要考查对数的定义及运算性质.从所求的值来看，解题的关键是设法把x 、y 表示出来，再结合对数的运算性质就可以求出数值. 解：∵3x=4y=36，∴x=log 336，y=log 436.则x1=log 363，y 1=log 364.∴x 2+y1=2log 363+log 364=log 36（32×4）=1. 深化升华 指数式化为对数式后，两对数式的底不同，但真数相等，式子两端取倒数之后，利用对数的换底公式可消除差异.例5 已知a 、b 、c 均为正数，3a =4b =6c，求证：cb a 212=+. 思路解析：本题主要考查对数的定义及其运算性质.从求证的结论看，解题的关键是设法把a 、b 、c 从连等号式中分离出来，为便于找出a ，b ，c 的关系，不妨设3a =4b =6c=k （k ＞0），则a 、b 、c 就可用这一变量k 表示出来，再结合对数的运算性质就可证得结论.证明：设3a =4b =6c=k ，则k ＞0.由对数的定义得a=log 3k ，b=log 4k ，c=log 6k ， 则左边=kk b a 43log 1log 212+=+=2log k 3+log k 4=log k 9+log k 4=log k 36， 右边=k c 6log 22==2log k 6=log k 36，∴cb a 212=+. 深化升华 证明恒等式常用的方法（1）作差比较法；（2）化简较为复杂的一边等于较简单的一边； （3）化简左、右两边，使它们等于同一式子；（4）先证明另一恒等式，再推出所要求证的恒等式.例6 设a 、b 同号，且a 2+2ab-3b 2=0，求log 3（a 2+ab+b 2）-log 3（a 2-ab+b 2）的值.思路解析：本题考查对数性质的应用.已知只告诉我们关于a 、b 的一个齐次方程，因此不可能求出a 、b 的值，只能求出a 、b 的关系式，从求证的结论看，由对数的运算性质可得真数也是一个齐次式，这样就把条件同结论联系到一起了.解：∵a 、b 同号，∴b ≠0.把方程a 2+2ab-3b 2=0两边同除以b 2，得（b a ）2+2（ba）-3=0. ∴（b a +3）（b a -1）=0，得b a =1或ba=-3（舍去）.∴a=b. ∴log 3（a 2+ab+b 2）-log 3（a 2-ab+b 2）=log 3（3a 2）-log 3a 2=log 33=1.深化升华 ：条件代数式的求值同条件代数式的化简、证明一样，解题的关键是找到题设与结论的联系，可化简结论，用上条件，可化简条件得出结论，也可同时化简条件与结论等.。

课时23 对数的运算(2)换底公式的应用a b c abc A ．1 B ．2 C ．3 D ．5答案 A解析 ∵log a x ＝1log x a ＝2，∴log x a ＝12. 同理log x c ＝16，log x b ＝13. ∴log abc x ＝1log x abc ＝1log x a ＋log x b ＋log x c＝1. 2．若log 34·log 48·log 8m ＝log 416，则m ＝________.答案 9解析 由换底公式，得lg 4lg 3×lg 8lg 4×lg m lg 8＝lg m lg 3＝log 416＝2，∴lg m ＝2lg 3＝lg 9，∴m ＝9.3．设3x ＝4y ＝36，求2x ＋1y的值． 解 由已知分别求出x 和y ，∵3x ＝36,4y＝36，∴x ＝log 336，y ＝log 436，由换底公式得： x ＝log 3636log 363＝1log 363，y ＝log 3636log 364＝1log 364， ∴1x ＝log 363，1y＝log 364， ∴2x ＋1y＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝log 3636＝1. 4．计算：(1)log 89×log 2732；(2)log 927；(3)log 21125×log 3132×log 513； (4)(log 43＋log 83)(log 32＋log 92)．解 (1)log 89×log 2732＝lg 9lg 8×lg 32lg 27＝lg 32lg 23×lg 25lg 33＝2lg 33lg 2×5lg 23lg 3＝109； (2)log 927＝log 327log 39＝log 333log 332＝3log 332log 33＝32； (3)log 21125×log 3132×log 513＝log 25－3×log 32－5×log 53－1＝－3log 25×(－5log 32)×(－log 53)＝－15×lg 5lg 2×lg 2lg 3×lg 3lg 5＝－15； (4)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3 ＝12＋14＋13＋16＝54.运用换底公式不熟练致误23A.14 B.12C ．2D ．4 易错分析 本题易在使用对数的运算公式时，尤其换底公式的使用过程中发生错误． 答案 D正解 log 29×log 34＝lg 9lg 2×lg 4lg 3＝2lg 3lg 2×2lg 2lg 3＝2×2＝4.一、选择题1.log 29log 23＝( )A.12 B ．2 C.32 D.92答案 B解析 由换底公式log 39＝log 29log 23.∵log 39＝2，∴log 29log 23＝2.2．已知log 23＝a ，log 37＝b ，则log 27＝() A ．a ＋b B ．a －b C ．ab D.ab答案 C解析 log 27＝log 23×log 37＝ab .3．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100答案 A解析 ∵2a ＝5b ＝m ，∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m .1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2，∴m 2＝10.又∵m >0，∴m ＝10，选A.4.1log 1419＋1log 1513等于( )A ．lg 3B ．－lg 3C.1lg 3 D ．－1lg 3答案 C解析 原式＝log 1914＋log 1315＝log 1312＋log 1315＝log 13110＝log 310＝1lg 3.选C. 5．已知2a ＝3b ＝k (k ≠1)，且2a ＋b ＝ab ，则实数k 的值为( )A ．6B ．9C ．12D ．18答案 D解析 a ＝log 2k ，b ＝log 3k ，由2a ＋b ＝ab 得2log 2k ＋log 3k ＝log 2k ·log 3k ，即2lg k lg 2＋lg k lg 3＝k2lg 2lg 3，得2lg 3＋lg 2＝lg k ，即k ＝18.二、填空题6．方程log 3(x －1)＝log 9(x ＋5)的解是________．答案 4解析 由换底公式得log 9(x ＋5)＝12log 3(x ＋5)．∴原方程可化为2log 3(x －1)＝log 3(x ＋5)，即log 3(x －1)2＝log 3(x ＋5)，∴(x －1)2＝x ＋5.∴x 2－3x －4＝0，解得x ＝4或x ＝－1.又∵⎩⎪⎨⎪⎧ x －1>0，x ＋5>0，∴x >1，故x ＝4.7．若log a b ·log 3a ＝4，则b 的值为________．答案 81解析 log a b ·log 3a ＝4，即log 3a ·log a b ＝4，即log 3b ＝4，∴34＝b ，∴b ＝81.8．已知2x ＝72y ＝A ，且1x ＋1y ＝1，则A 的值是________．答案 98解析 ∵2x ＝72y ＝A ，∴x ＝log 2A,2y ＝log 7A .∴1x ＋1y ＝1log 2A ＋2log 7A＝log A 2＋2log A 7＝log A 2＋log A 49＝log A 98＝1.∴A ＝98.三、解答题9．计算下列各式的值：(1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 5－lg 4；(2)lg 5(lg 8＋lg 1000)＋(lg 23)2＋lg 16＋lg 0.06. 解 (1)原式＝1－3lg 2lg 5－2lg 2＝1－3lg 21－3lg 2＝1； (2)原式＝lg 5(3lg 2＋3)＋3(lg 2)2－lg 6＋lg 6－2＝3lg 5×lg 2＋3lg 5＋3lg 22－2＝3lg 2(lg 5＋lg 2)＋3lg 5－2＝3(lg 2＋lg 5)－2＝3－2＝1.10．已知x ，y ，z 为正数，3x ＝4y ＝6z,2x ＝py .(1)求p ；(2)求证：1z －1x ＝12y. 解 (1)设3x ＝4y ＝6z ＝k (显然k >0，且k ≠1)，则x ＝log 3k ，y ＝log 4k ，z ＝log 6k .由2x ＝py ，得2log 3k ＝p log 4k ＝p ·log 3k log 34. ∵log 3k ≠0，∴p ＝2log 34.(2)证明：1z －1x ＝1log 6k －1log 3k ＝log k 6－log k 3＝log k 2＝12log k 4＝12y ，∴1z －1x ＝12y.►2.2.2 对数函数及其性质。

课时21 对数对数的意义①若M ＝N ，则log a M ＝log a N ； ②若log a M ＝log a N ，则M ＝N ； ③若log a M 2＝log a N 2，则M ＝N ； ④若M ＝N ，则log a M 2＝log a N 2. A ．①与② B ．②与④ C ．② D ．①②③④ 答案 C解析 对于①，当M ＝N ≤0时，log a M 与log a N 无意义，因此①不正确；对于②，对数值相等，底数相同，因此，真数相等，所以②正确；对于③，有M 2＝N 2，即|M |＝|N |，但不一定有M ＝N ，③错误；对于④，当M ＝N ＝0时，log a M 2与log a N 2无意义，所以④错误，由以上可知，只有②正确．2．求下列各式中x 的取值范围： (1)lg (x －10)； (2)log (x －1)(x ＋2)； (3)log (x ＋1)(x －1)2.解 (1)由题意有x －10>0，即x >10，即为所求； (2)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2>0，x －1>0且x －1≠1，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－2，x >1且x ≠2，∴x >1且x ≠2；(3)由题意有⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x ＋1>0且x ＋1≠1，解得x >－1且x ≠0，x ≠1.3答案507解析 因为m ＝log 37，所以3m ＝7，则3m ＋3－m ＝7＋7－1＝507.4．将下列指数式化成对数式，对数式化成指数式： (1)35＝243；(2)2－5＝132；(3)log 1381＝－4；(4)log 2128＝7.解 (1)log 3243＝5；(2)log 2132＝－5；(3)13－4＝81；(4)27＝128.对数性质的应用(1)log 8x ＝－23；(2)log x 27＝34；(3)log 3(2x ＋2)＝1.解 (1)由log 8x ＝－23，得x ＝8－23＝(23)－23＝23×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝2－2＝14；(2)由log x 27＝34，得x 34＝27.∴x ＝2743＝(33)43＝34＝81；(3)由log 3(2x ＋2)＝1，得2x ＋2＝3， 所以x ＝12.对数恒等式的应用(2)计算23＋log23＋35－log39.解(1)令t＝10x，则x＝lg t，∴f(t)＝lg t，即f(x)＝lg x，∴f(3)＝lg 3；(2)23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋353log39＝23×3＋359＝24＋27＝51.一、选择题1．下列四个命题，其中正确的是( )①对数的真数是非负数；②若a>0且a≠1，则log a1＝0；③若a>0且a≠1，则log a a＝1；④若a>0且a≠1，则a log a2＝2.A．①②③ B．②③④C．①③ D．①②③④答案 B解析①对数的真数为正数，①错误；②∵a0＝1，∴log a1＝0，②正确；③∵a1＝a，∴log a a＝1，③正确；④由对数恒等式a log a N＝N，得a log a2＝2，④正确．2．2x＝3化为对数式是( )A．x＝log32 B．x＝log23C．2＝log3x D．2＝log x3答案 B解析由2x＝3得x＝log23，选B.3．化简：0.7log 0.78等于( ) A ．2 2 B ．8 C.18 D ．2答案 B解析 由对数恒等式a log aN ＝N ，得0.7log 0.78＝8.∴选B. 4．若log 2(log x 9)＝1，则x ＝( ) A ．3 B ．±3 C．9 D ．2 答案 A解析 ∵log 2(log x 9)＝1，∴log x 9＝2，即x 2＝9， 又∵x >0，∴x ＝3.5．若log a 3＝m ，log a 2＝n ，则a m ＋2n的值是( )A ．15B ．75C ．12D ．18 答案 C解析 由log a 3＝m ，得a m＝3，由log a 2＝n ，得a n＝2， ∴am ＋2n＝a m ·(a n )2＝3×22＝12.二、填空题6．已知log 2x ＝2，则x －12＝________.答案 12解析 ∵log 2x ＝2，∴x ＝22＝4， 4－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.7．若lg (ln x )＝0，则x ＝________. 答案 e解析 ∵lg (ln x )＝0，∴ln x ＝1，∴x ＝e.8．若集合{x ，xy ，lg xy }＝{0，|x |，y }，则log 8(x 2＋y 2)＝________. 答案 13解析 ∵x ≠0，y ≠0，∴lg xy ＝0，∴xy ＝1， 则{x,1,0}＝{0，|x |，y }，∴x ＝y ＝－1， log 8 (x 2＋y 2)＝log 82＝log 8813＝13.三、解答题9．(1)已知log 189＝a ，log 1854＝b ，求182a －b的值；(2)已知log x 27＝31＋log 32，求x 的值．解 (1)18a ＝9,18b＝54，182a －b＝a218b＝9254＝8154＝32； (2)∵log x 27＝31×3log 32＝31×2＝6， ∴x 6＝27，∴x ＝2716＝(33)16＝ 3.10．求下列各式中x 的值：(1)log 4(log 3x )＝0；(2)lg (log 2x )＝1； (3)log 2[log 12(log 2x )]＝0.解 (1)∵log 4(log 3x )＝0，∴log 3x ＝40＝1， ∴x ＝31＝3；(2)∵lg (log 2x )＝1，∴log 2x ＝10，∴x ＝210＝1024；(3)由log 2[log 12(log 2x )]＝0，得log 12(log 2x )＝1，log 2x ＝12，x ＝ 2.。

第1课时对数1.若7x=8,则x=()A. B.log87 C.log78 D.log7x答案:C2.方程的解是()A. B. C. D.9解析:∵=2-2,∴log3x=-2,∴x=3-2=.答案:A3.若log a=c(a>0,且a≠1,b>0),则有()A.b=a7cB.b7=a cC.b=7a cD.b=c7a解析:∵log a=c,∴a c=.∴(a c)7=()7.∴a7c=b.答案:A4.在对数式b=log3(m-1)中,实数m的取值范围是()A.RB.(0,+∞)C.(-∞,1)D.(1,+∞)解析:由m-1>0,得m>1,故实数m取值范围是(1,+∞).答案:D5.下列指数式与对数式互化不正确的一组是()A.e0=1与ln 1=0B.与log8=-C.log39=2与=3D.log77=1与71=7解析:log39=2应转化为32=9.答案:C6.已知lg a=2.31,lg b=1.31,则等于()A. B. C.10 D.100解析:因为lg a=2.31,lg b=1.31,所以a=102.31,b=101.31,所以.答案:B7.已知log3[log3(log4x)]=0,则x=.解析:log3[log3(log4x)]=0⇒log3(log4x)=1⇒log4x=3⇒x=43⇒x=64.答案:648.的值等于.解析:=2×=2×(=2×=2.答案:29.已知a>0,且a≠1,若log a2=m,log a3=n,则a2m+n=. 解析:∵log a2=m,log a3=n,∴a m=2,a n=3.∴a2m+n=(a m)2·a n=22×3=12.答案:1210.若log3(a+1)=1,则log a2+log2(a-1)=.解析:∵log3(a+1)=1,∴a+1=3,解得a=2.∴log a2+log2(a-1)=log22+log21=1+0=1.答案:111.求下列各式中x的值:(1)log2x=-;(2)log x(3+2)=-2;(3)log5(log2x)=1; (4)x=log27.解:(1)由log2x=-,得=x,故x=.(2)由log x(3+2)=-2,得3+2=x-2,故x=(3+2-1.(3)由log5(log2x)=1,得log2x=5,故x=25=32.(4)由x=log27,得27x=,即33x=3-2,故x=-.12:(1)lo2;(2)log7;(3)log2(log93).解:(1)设lo2=x,则=2,即2-4x=2,∴-4x=1,x=-,即lo2=-.(2)设log7=x,则7x=.∴x=,即log7.(3)设log93=x,则 9x=3,即32x=3,∴x=.设log2=y,则2y==2-1,∴y=-1.∴log2(log93)=-1.13.已知x2+y2-4x-2y+5=0,求log x y x的值.解:由x2+y2-4x-2y+5=0,得(x-2)2+(y-1)2=0,即x=2,y=1.所以log x y x=log212=log21=0.14x的取值范围:(1)log2(x-10);(2)log(x-1)(x+2).解:(1)由题意知x-10>0,所以x>10.故x的取值范围是{x|x>10}.(2)由题意知即所以x>1,且x≠2,故x的取值范围是{x|x>1,且x≠2}.。

第1课时对数知识点对数1．对数的概念(1)定义如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N.log a N是一个数，是一种取对数的运算，结果仍是一个数，不可分开书写．(2)相关概念①底数与真数其中，a叫做对数的底数，N叫做真数．②常用对数与自然对数通常将以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记作lg_N；以无理数e＝2.718 28…为底数的对数称为自然对数，并且把log e N记为ln_N.2．对数与指数间的关系当a>0，a≠1时，a x＝N⇔x＝log a N.前者叫指数式，后者叫对数式．3．对数的性质性质1零和负数没有对数性质21的对数是0，即log a1＝0(a>0，且a≠1)性质3底数的对数是1，即log a a＝1(a>0，且a≠1)指数式、对数式中各个字母的名称变化如下表：式子名称a x N指数式a x＝N 底数指数幂对数式x＝log a N 底数对数真数[小试身手]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log a N 是log a 与N 的乘积．( )(2)(－2)3＝－8可化为log (－2)(－8)＝3.( ) (3)对数运算的实质是求幂指数．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√2．把指数式a b＝N 化为对数式是( )A ．log b a ＝NB ．log a N ＝bC ．log N b ＝aD ．log N a ＝b 解析：根据对数定义知a b＝N ⇔log a N ＝b . 答案：B3．把对数式log a 49＝2写成指数式为( ) A ．a 49＝2 B ．2a ＝49 C ．492＝a D ．a 2＝49解析：根据指数式与对数式的互化可知，把log a 49＝2化为指数式为a 2＝49. 答案：D4．已知log x 16＝2，则x 等于( ) A ．±4 B．4 C ．256 D ．2解析：由log x 16＝2可知x 2＝16，所以x ＝±4， 又x >0且x ≠1，所以x ＝4. 答案：B类型一 指数式与对数式的互化例1 (1)根据对数定义，将下列指数式写成对数式： ①3x＝127； ②⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＝64；③⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝116； ④512-＝15.(2)根据对数定义，把下列对数式写成指数式： ①log a 1＝0(a >0，a ≠1)； ②log 1612＝－14；③ln 10＝x .【解析】 (1)①log 3127＝x ；②log 1464＝x ；③log 12116＝x ；④log 515＝－12.(2)①a 0＝1(a >0，a ≠1)；②1614-＝12；③e x＝10.(1)把指数式转化成对数式时，应注意底数保持不变，幂作为真数，指数作为对数．(2)指数式与对数式互化过程中，应注意底数保持不变．真数与幂；对数与指数分别对应．,方法归纳指数式与对数式互化的思路(1)指数式化为对数式将指数式的幂作为真数，指数作为对数，底数不变，写出对数式． (2)对数式化为指数式将对数式的真数作为幂，对数作为指数，底数不变，写出指数式．,跟踪训练1 将下列指数式与对数式互化：(1)25＝32; (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫12－2＝4；(3)log 381＝4; (4)log 134＝m .解析：(1)log 232＝5；(2)log 124＝－2；(3)34＝81；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫13m ＝4.底数不变，指数与对数，幂与真数相对应． 类型二 对数基本性质的应用 例2 求下列各式中的x 的值． (1)log 2(log 3x )＝0； (2)log 5(log 2x )＝1； (3)log (3＋1)23－1＝x .【解析】 (1)因为log 2(log 3x )＝0， 所以log 3x ＝1， 所以x ＝3.(2)因为log5(log2x)＝1，所以log2x＝5，所以x＝25＝32.(3)23－1＝23＋12＝3＋1，所以log(3＋1)23－1＝log(3＋1)(3＋1)＝1，所以x＝1.利用性质log a a＝1，log a1＝0求值．方法归纳利用对数性质求值的方法(1)求多重对数式的值的解题方法是由内到外，如求log a(log b c)的值，先求log b c的值，再求log a(log b c)的值．(2)已知多重对数式的值，求变量值，应从外到内求，逐步脱去“log”后再求解．跟踪训练2 求下列各式中的x的值．(1)log8[log7(log2x)]＝0；(2)log2[log3(log2x)]＝1.解析：(1)由log8[log7(log2x)]＝0得log7(log2x)＝1，所以log2x＝7，所以x＝27＝128.(2)由log2[log3(log2x)]＝1得log3(log2x)＝2，所以log2x＝32，所以x＝29＝512.多种对数求值先内到外，利用性质逐一求值．类型三对数恒等式a log a N＝N(a＞0，且a≠1，N＞0)的应用例3 求下列各式的值：(1)2log23＋3log32；(2)22＋log 213；(3)101＋lg 2； (4)e－1＋ln 3.【解析】 (1)因为22log 3＝3,33log 2＝2，所以原式＝3＋2＝5. (2)原式＝22×221log 3＝4×13＝43.(3)原式＝10×10lg 2＝10×2＝20.(4)原式＝e －1×e ln 3＝1e ×3＝3e.化成a log a N ＝N 形式，再求值． 方法归纳利用对数恒等式化简的关键是利用指数幂的相关运算性质把式子转化为a log a N 的形式． 跟踪训练3 计算：(1)931log 42＝________；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1＋log 32＝________. 解析：(1)931log 42＝(912)3log 4＝33log 4＝4.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫133log 2＝3×(3－1) 3log 2＝3×(33log 2)－1＝3×2－1＝32. 答案：(1)4 (2)32不同底的先化成同底，再利用对数恒等式求值．[基础巩固](25分钟，60分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．对于下列说法： (1)零和负数没有对数；(2)任何一个指数式都可以化成对数式； (3)以10为底的对数叫做自然对数； (4)以e 为底的对数叫做常用对数． 其中错误说法的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：只有符合a >0，且a ≠1，N >0，才有a x＝N ⇔x ＝log a N ，故(2)错误．由定义可知(3)(4)均错误．只有(1)正确．答案：C2．将⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9写成对数式，正确的是( )A ．log 913＝－2 B ．log 139＝－2C ．log 13(－2)＝9 D ．log 9(－2)＝13解析：根据对数的定义，得log 139＝－2，故选B.答案：B3．若log a 2b ＝c 则( ) A ．a 2b＝c B ．a 2c＝b C ．b c ＝2a D ．c 2a＝b解析：log a 2b ＝c ⇔(a 2)c＝b ⇔a 2c＝b . 答案：B 4．33log 4－2723－lg 0.01＋ln e 3等于( )A ．14B ．0C ．1D ．6解析：3log 34－2723－lg 0.01＋ln e 3＝4－3272－lg 1100＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.答案：B5．已知log a 12＝m ，log a 3＝n ，则a m ＋2n等于( )A ．3 B.34C ．9 D.92解析：由已知得a m ＝12，a n＝3.所以am ＋2n＝a m ×a 2n ＝a m ×(a n )2＝12×32＝92.故选D.答案：D二、填空题(每小题5分，共15分) 6．求下列各式的值： (1)log 636＝________； (2)ln e 3＝________； (3)log 50.2＝________； (4)lg 0.01＝________. 解析：(1)log 636＝2. (2)ln e 3＝3.(3)log 50.2＝log 55－1＝－1. (4)lg 0.01＝lg 10－2＝－2. 答案：(1)2 (2)3 (3)－1 (4)－2 7．计算： 3－π2＋ln e 2＝________.解析：3－π2＋ln e 2＝π－3＋2＝π－1.答案：π－1 8．10lg 2－ln e＝________.解析：ln e ＝1， 所以原式＝10lg2－1＝10lg 2×10－1＝2×110＝15.答案：15三、解答题(每小题10分，共20分) 9．将下列指数式与对数式互化： (1)log 216＝4; (2)log 1327＝－3；(3)log3x ＝6; (4)43＝64；(5)3－2＝19； (6)⎝ ⎛⎭⎪⎫14－2＝16.解析：(1)24＝16；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13－3＝27；(3)(3)6＝x ；(4)log 464＝3； (5)log 319＝－2；(6)log 1416＝－2.10．计算下列各式： (1)2ln e ＋lg 1＋3log 3 2；(2)3log 34－lg 10＋2ln 1.解析：(1)原式＝21＋0＋2＝2＋2＝4.(2)原式＝3log 34－1＋20＝3log 34÷31＋1 ＝43＋1＝73. [能力提升](20分钟，40分)11．已知f (2x＋1)＝x3，则f (4)等于( )A.13log 25B.13log 23 C.23 D.43解析：令2x＋1＝4，得x ＝log 23， 所以f (4)＝13log 23，选B.答案：B12．若log (x －1)(3－x )有意义，则x 的取值范围是________． 解析：由已知得⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1.解得1<x <3且x ≠2.即x 的取值范围是(1,2)∪(2,3)． 答案：(1,2)∪(2,3)13．求下列各式中x 的值： (1)log 3(log 2x )＝0； (2)log 2(lg x )＝1； (3)552log 3－＝x ； (4) (a log a b)log b c＝x (a >0，b >0，c >0，a ≠1，b ≠1)．解析：(1)∵log 3(log 2x )＝0，∴log 2x ＝1.∴x ＝21＝2. (2)∵log 2(lg x )＝1，∴lg x ＝2.∴x ＝102＝100. (3)x ＝552log 3－＝525log 53＝253. (4)x ＝(alog a b)log b c＝blog b c＝c .14．计算下列各式： (1)10lg 3－(10)4log 1＋eln 6；(2)222log 3－＋332log 6－＋.解析：(1)原式＝3－(10)0＋6 ＝3－1＋6 ＝8.(2)原式＝22÷22log 3＋3－2·33log 6＝4÷3＋19×6＝43＋23 ＝2.。