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课题鲁教版七年级数学（上）第三章 1.探索勾股定理（二）作者及工作单位教材分析《探索勾股定理》是鲁教版七年级上册第三章第一节，本节有二课时，本课是第二课时，主要内容是探索勾股定理的证明。
勾股定理是直角三角形三边之间的一种美妙关系，将数与形密切联系起来，在几何学中占有非常重要的位置。
同时勾股定理在生产、生活中也有很大的用途。
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要的结论，它有着广泛的应用，通过对勾股定理的学习，学生将在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
同时在勾股定理的探索中，让学生发展合情推理能力，为以后的学习打下基础。
因为勾股定理的出现，使数学从单一的纯计算进入了几何图形的证明，所以为了让学生感受数形结合这一数学思想，让学生亲自动手，互相协作，因此引入了“等积法”证明勾股定理。
学情分析学生经历了一年的初中学习，具备了一定的归纳、总结、类比、转化以及数学表达的能力，对现实生活中的数学知识充满了强烈的好奇心与探究欲，并能在老师的指导下通过小组成员间的互助合作，发表自己的见解。
另外，在学本节课时，通过前置知识的学习，学生对直角三角形有了初步的认识，并能从直观把握直角三角形的一些特征，为此在授课时要抓住学生的这些特点，激发学生学习数学的兴趣，建立他们的自信心，为学生空间观念的发展、数学活动经验的积累、个性的发挥提供机会。
教学目标知识与技能：1. 掌握勾股定理，初步理解割补拼接的面积证法.通过动手实践理解勾股定理的证明过程。
2. 能利用勾股定理进行简单的几何计算 过程与方法：通过实践、猜想、拼图、证明等操作深刻感受数学知识的发生发展过程 情感、态度、价值观：通过对勾股定理的历史介绍及交流，让学生体会它的文化价值，提高学习数学的兴趣和信心。
教学重点和难点重点：掌握勾股定理的内容及其初步应用 难点：勾股定理的证明教学过程教学环节教师活动学生活动和预设学生活动 设计意图一、 设情景问题， 引入课题1.名言激趣：数学是上帝用来书写宇宙的文字。
第01讲探索勾股定理(2种题型)【知识梳理】一、勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.要点诠释：(1)勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.(2)利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的. (3)理解勾股定理的一些变式：a2=c2-b2，b2=c2-a2，c2=a+b2-2ab.二、勾股定理的证明方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图(1)所示的正方形. 图(1)中S四边形ABCD =a+b2=c2+4×12ab，所以a2+b2=c2. 方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图(2)所示的正方形. 图(2)中S四边形ABCD =c2=b-a2+4×12ab，所以c2=a2+b2.方法三：如图(3)所示，将两个直角三角形拼成直角梯形. S四边形ABCD =a+ba+b2=2×12ab+12c2，所以a2+b2=c2.三、勾股定理的作用1.已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；2.用于解决带有平方关系的证明问题；3. 利用勾股定理，作出长为n的线段.【考点剖析】题型一、勾股定理的应用1在△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．(1)若a=5，b=12，求c；(2)若c=26，b=24，求a．2如图所示，在多边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=45°，∠B=∠D=90°，求多边形ABCD的面积．【变式】2.1已知：如图，在△ABC，BC=2，S△ABC=3，∠ABC=135°，求AC、AB的长．3长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图方式折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求DE的长．【思路点拨】在折叠的过程中，BE=DE．从而设BE即可表示AE．在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．题型二、勾股定理的证明4如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AM是中线，MN⊥AB，垂足为N，试说明AN2-BN2=AC2．5请用两种方法证明：△ABC中，若∠C=90°，则a2+b2=c26图中大正方形是由4个全等直角三角形和一个小正方形拼成的，其中每个直角三角形两直角边为a，b，斜边为c，你能通过此图验证得到勾股定理吗？请说说你的理由．7做8个全等的直角三角形，设它们的两条直线边分别为a，b，斜边为c，再做3个边长分别为a，b，c的正方形，把它们按图4，图5所示的方式拼成两个正方形．利用两个正方形的面积相等来证明勾股定理：a2+b2=c2．8如图，已知∠C=∠D=90°，D，E，C三点共线，各边长如图所示，请利用面积法证明勾股定理．【过关检测】一．选择题1(2022春•西华县期中)如图，这是用面积为18的四个全等的直角三角形拼成的“赵爽弦图”．如果大正方形的边长为9，那么小正方形的边长为()A.1B.2C.3D.42(2022春•高安市期中)勾股定理被誉为“几何明珠”，如图是我国古代著名的“赵爽弦图”，它由4个全等的直角三角形拼成，已知大正方形面积为25，小正方形面积为1，若用a、b表示直角三角形的两直角边(a>b)，则下列说法：①a2+b2=25，②a-b=1，③ab=12，④a+b=7．正确的是()A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④二．填空题3用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形ABCD和一个小正方形EFGH，这就是著名的“赵爽弦图”，若AB=15，AF=12，则小正方形EFGH的面积为 4(2022春•台江区期中)在△ABC中，∠C=90°，若AB=2，则AB2+BC2+AC2= ．5(2022春•长垣市期中)如图是一株美丽的勾股树，所有四边形都是正方形，所有三角形是直角三角形，若正方形A、B、C面积为2、8、5，则正方形D的面积为 ．61876年美国总统加菲尔德利用图验证了一个十分著名的定理，这个定理称为，该定理的结论其数学表达式为．7(2022春•新邵县期中)如图所示，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，DE ⊥AC，垂足为点E，若BD=3，则DE的长为．三．解答题8(2022春•巢湖市校级期中)学习勾股定理之后，同学们发现证明勾股定理有很多方法．某同学提出了一种证明勾股定理的方法：如图1点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，如图2所示，该同学用图1、图2的面积不变证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．9如图所示是用硬纸板做成的四个完全相同的直角三角形和一个边长为c 的正方形，直角三角形两条直角边的长分别是a ，b ，斜边的长为c ，请你将它们拼成一个能推导勾股定理的图形．(1)画出拼成的这个图形的示意图；(2)推导勾股定理．10【阅读理解】我国古人运用各种方法证明勾股定理，如图①，用四个直角三角形拼成正方形，通过证明可得中间也是一个正方形．其中四个直角三角形直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ．图中大正方形的面积可表示为(a +b )2，也可表示为c 2+4×12ab ，即(a +b )2=c 2+4×12ab ，所以a 2+b 2=c 2．【尝试探究】美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”如图②所示，用两个全等的直角三角形拼成一个直角梯形BCDE ，其中△BCA ≌△ADE ，∠C =∠D =90°，根据拼图证明勾股定理．【定理应用】在Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边长分别为a 、b 、c ．求证：a 2c 2+a 2b 2=c 4-b 4．。
第一章勾股定理1探索勾股定理第2课时勾股定理的证明及应用教学目标教学反思1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在教学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.通过对勾股定理的探索，在探索实践中理解并掌握勾股定理并且会运用勾股定理.教学重难点重点：会验证勾股定理，并能应用勾股定理解决一些实际问题.难点：经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.教学过程导入新课教师提出问题：1.勾股定理的内容是什么？（指名学生回答）2.上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形进行探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？教师：事实上，现在已经有数百种勾股定理的验证方法，这节课我们就来验证一下勾股定理.设计意图：回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度，介绍世界上一些验证方法，激发学生的学习兴趣.探究新知一、预习新知让学生自主预习课本第5页.提出问题：如下图，分别以直角三角形的三条边为边向外作正方形，你能利用这幅图说明勾股定理的正确性吗？验证，并让学生发表自己的见解，再小组讨论勾股定理是否正确.设计意图：通过让学生自己动手作图、验证不仅能锻炼学生的动手能力，还能加深对勾股定理的理解.二、合作探究验证勾股定理为了计算上图中大正方形的面积，小明对这个大正方形进行了适当割补后得到了下面两个图.问题1：你可以利用两种方法来表示图1中的大正方形的面积吗？ 学生先独立思考，再小组交流得到答案(a +b )2和2ab +c 2. 问题2：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 学生：(a +b )2 = 2ab +c 2，化简后得到a 2+b 2 = c 2. 从而利用图1验证了勾股定理，此方法称为毕达哥拉斯法.教师：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，利用整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？问题3：图2中小正方形的边长是多少？问题4：你可以利用两种方法来表示图2中的大正方形的面积吗？ 问题5：你可以得到怎样的等式？从而能得到什么？ 提出几个问题让学生根据问题独立探究，再小组交流，最后请一位同学上台讲解利用图2验证勾股定理.图2中小正方形边长是b －a ，(b －a)2和c 2－2ab 都可以表示图2中小正方形的面积，根据同一图形面积相等得到(b －a)2= c 2－2ab ，化简后得到a 2+b 2 = c 2.从而利用图2也验证了勾股定理，图2我们又称为赵爽弦图. 设计意图：教师层层设问引导学生来完成勾股定理的验证，通过两个图形让学生体会数形结合的思想并体会成功的快乐，学生先拼图从形上感知，再利用面积验证，比较容易掌握本节课的重点内容.前面已经讨论了直角三角形的三边长满足的关系，那么锐角三角形和钝角三角形是否也满足这一关系呢？观察下图，利用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a 2+b 2 2如果一个三角形不是直角三角形，那么它的三边长a ，b ，c 不满足a 2+b 2 = c 2，通过这个结论，学生将对直角三角形的三边关系有进一步认识.巩固练习证明：∵ S 梯形ABCD = S △ABE +S △BCE +S △EDA ，教学反思又∵ S 梯形ABCD =12(a +b )2，S △BCE = S △EDA = 12ab ，S △ABE = 12c 2，∴ 12(a +b )2 = 2×12ab +12c 2，∴ a 2+b 2= c 2，即勾股定理得证． 典型例题 【例1】作8个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，再作三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，将它们如下图所示拼成两个正方形．222.a +b ，因此它们的面积相等．我们再用不同的方法来表示这两个正方形的面积，即可证明勾股定理．【证明】由图易知，这两个正方形的边长都是a +b ， ∴ 它们的面积相等．左边大正方形面积可表示为a 2+b 2+12ab ×4， 右边大正方形面积可表示为c 2+12ab ×4. ∵ a 2+b 2+12ab ×4 = c 2+12ab ×4，∴ a 2+b 2 = c 2.【总结】根据拼图，通过对拼接图形的面积的不同表示方法，建立相等关系，从而验证勾股定理．典型例题【例2】如图是某沿江地区交通平面图，为了加快经济发展，该地区拟修建一条连接M ，O ，Q 三城市的沿江高速公路，已知沿江高速公路的建设成本为5 000万元/km ，该沿江高速公路的造价预计是多少？【问题探索】总造价计算公式是解决此题目的关键，总造价 = 每千米造价×千米数.【解】在Rt △OMN 中，根据勾股定理得 MN 2+ON 2 = OM 2， ∴ 302+402 = OM 2， ∴ OM = 50 km. 同理O Q = 130 km ，∴ 造价为（50+130）×5 000 = 900 000（万元）. 答：造价预计是900 000万元. 【总结】解答本题的关键是先利用勾股定理求出高速公路的长度，再求总造价．教学反思课堂练习1.若等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则它的面积为()A．30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm22.放学以后，小丽和小红从学校出发，分别沿东南方向和西南方向回家.若小丽和小红行走的速度都是40 m/min，小丽走了15 min回到家，小红走了20 min回到家，则小丽家和小红家间的距离为()A．600 m B．800 mC．1 000 m D．不确定3.直角三角形两直角边长分别为8 cm，15cm，则斜边上的高为______.4.某农舍的大门是一个木制的矩形栅栏，它的高为2 m，宽为1.5 m，现在需要在相对的顶点间用一块木板加固，则这块木板的长为______.5.如图，高速公路的同侧有A，B两个村庄，它们到高速公路所在直线MN的距离分别为AA1 = 2 km，BB1 = 4 km，A1B1 = 8 km.现要在高速公路上A1，B1之间设一个出口P，使A，B两个村庄到P的距离之和最短，求这个最短距离之和．参考答案1.D2.C3.12017cm 4.2.5 m5.解：如图作点B关于MN的对称点B′，连接AB′交A1B1于点P，连接BP.则AP+BP = AP+PB′ = AB′，易知点P即为到点A，B距离之和最短的点．过点A作AE⊥BB′于点E，则AE = A1B1 = 8 km，B′E = AA1+BB1 = 2+4 = 6( km)．由勾股定理，得B′A2 = AE 2+B′E 2 = 82+62，∴AB′ = 10 km，即AP+BP = AB′ = 10 km.故出口P到A，B两村庄的最短距离之和是10 km.课堂小结(学生总结，老师点评)勾股定理的内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.验证方法：两种证法.布置作业1.（必做题）习题1.2第1，3题2.（选做题）第4题板书设计1 探索勾股定理教学反思第2课时勾股定理的证明及应用1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.两种证明方法.。
1.1、探索勾股定理（一）教学目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力。
重点、难点重点：了解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：勾股定理的发现。
1.1、探索勾股定理（二）教学目标1、经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动发展学生的探究意识和合作交流的习惯2、掌握勾股定理和它的简单应用。
重点难点重点：能熟练应用拼图法证明勾股定理．难点：用面积证勾股定理．1.2 能得到直角三角形吗教学目的知识与技能：掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用；教学思考：进一步发展数感，增加对勾股数的直观体验，培养从实际问题抽象出数学问题的能力，建立数学模型．解决问题：会通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，并会辨析哪些问题应用哪个结论．重点、难点重点：探索并掌握直角三角形的判别条件。
难点：运用直角三角形判别条件解题1.3.蚂蚁怎样走最近教学目标教学知识点：能运用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题.教学重点难点：重点：探索、发现给定事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用它们解决生活实际问题.难点：利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.第二章实数2.1. 数怎么又不够用了（一）教学目标(一)教学知识点1.通过拼图活动，让学生感受无理数产生的实际背景和引入的必要性.2.能判断给出的数是否为有理数；并能说出理由.(二)能力训练要求1.让学生亲自动手做拼图活动，感受无理数存在的必要性和合理性，培养大家的动手能力和合作精神.2.通过回顾有理数的有关知识，能正确地进行推理和判断，识别某些数是否为有理数，训练他们的思维判断能力.教学重点1.让学生经历无理数发现的过程.感知生活中确实存在着不同于有理数的数.2.会判断一个数是否为有理数.教学难点1.把两个边长为1的正方形拼成一个大正方形的动手操作过程.2.判断一个数是否为有理数.2.1、数怎么又不够用了(二)教学目标：1.借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近的思想.2.会判断一个数是有理数还是无理数.教学重点：1.无理数概念的探索过程.2.用计算器进行无理数的估算.3.了解无理数与有理数的区别，并能正确地进行判断.教学难点：1.无理数概念的建立及估算.2.2 平方根(一)教学目标：1.了解数的算术平方根的概念，会用根号表示一个数的算术平方根.2.了解求一个正数的算术平方根与平方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根.3.了解算术平方根的性质.教学重点：了解算术平方根的概念、性质，会用根号表示一个正数的算术平方根.教学难点：了解算术平方根的概念、性质.2.2平方根(二)教学目标：1.了解平方根的概念、开平方的概念.2.明确算术平方根与平方根的区别与联系.3.进一步明确平方与开方是互为逆运算..教学重点：1.了解平方根、开平方的概念.2.了解开方与乘方是互逆的运算，会利用这个互逆运算关系求某些非负数的算术平方根和平方根.3.了解平方根与算术平方根的区别与联系.教学难点：1.平方根与算术平方根的区别与联系.2.负数没有平方根，即负数不能进行开平方运算的原因.2.3 立方根教学目标：1.了解立方根的概念，会用根号表示一个数的立方根.2.能用立方运算求某些数的立方根，了解开立方与立方互为逆运算.3.了解立方根的性质.4.区分立方根与平方根的不同.教学重点：立方根的概念.教学难点：1.正确理解立方根的概念.2.会求一个数的立方根.3.区分立方根与平方根的不同之处.教学方法：类比学习法.2.5 用计算器开方教学目标：1、会用计算器求平方根和立方根。
第08讲探索勾股定理（第2课时）（1个知识点+12大题型+18道强化训练）课程标准学习目标①勾股定理的应用 1. 掌握勾股定理的应用；知识点01：勾股定理的应用勾股定理的作用已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；用于解决带有平方关系的证明问题；3．与勾股定理有关的面积计算；4．勾股定理在实际生活中的应用．【即学即练1】1．如图所示的是一个长方体笔筒，底面的长、宽分别为8cm和6cm，高为10cm，将一支长为18cm的签字笔放入笔筒内，则签字笔露在笔筒外的的长度最少为（）A ．10cmB ．()18102cm -【答案】B 【分析】长方体内斜对角线是最长的，当签字笔在笔筒里对角放置的时候露在外面的长度最小，求出笔筒的对角线长度即可得签字笔露在外面的最短长度．【详解】解：由题意知：笔筒底面对角长为A ．28mB ．【答案】C 【分析】滑行的距离最短，即是沿着E 三点构成直角三角形，AE 可得出AE 的距离．12AD=米，DE=△中，在Rt ADE22121620AE=+=即滑行的最短距离为故选：C．题型01 求梯子滑落高度1．如图，将长为10m的梯子AB斜靠在墙上，使其顶端A距离地面6m．若将梯子顶端A向上移动2m，则梯子底端B向左移动（）A．10m B．6m C．4m D．2m【答案】D【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画出对应几何图形，求出B C¢即可求解.【详解】解：如图所示：一段距离，则下滑的距离（大于、小于或等于）1米．(1)求OA 的长度．(2)如果梯子下滑0.4m ，则梯子滑出的距离是否等于0.4m ？请通过计算来说明理由．题型02 求旗杆高度1．某兴趣小组要测量学校旗杆的高度，他们发现系在旗杆顶端的绳子刚好垂到地面，若紧拉绳子的末端向后退6m 后发现绳子末端到地面的距离为2m ，则旗杆的高度是（ ）A ．5mB ．10mC ．13mD ．17m 【答案】B【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解决问题的关键是熟练掌握勾股定理解直角三角形．【详解】解：如图，设旗杆的高度AB 为m x ，则绳子AC 的长度为m x ，过点C 作CE AB ^于点E ，则6m EC BD ==，2m CD EB ==，在Rt AEC △中，根据勾股定理可得()22226x x -+=，解得10x =，\旗杆的高度是10m ，故选：B ．2．如图1，在综合实践小组测量旗杆高度的活动中，同学们发现旗杆上的绳子垂到地面还多出了1米，如图2，当把绳子向外拉直并使绳子底端刚好落到点C 处，经过测量此时绳子底端C 到旗杆底部A 的距离是5米，则旗杆AB 的高度为 米【答案】12【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设旗杆的高度为x 米，则AB x =米，()1BC x =+米，在Rt ABC △中，由勾股定理得()22215x x +=+，解方程即可得到答案．【详解】解：设旗杆的高度为x 米，则AB x =米，()1BC x =+米，由题意得：5AC =米，在Rt ABC △中，由勾股定理得222AC AB BC =+ ，∴()22215x x +=+，解得12x =，∴12AB =米，∴旗杆的高度为12米，故答案为：12．3．小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过如图勘测，得到如下记录：①测得水平距离BC 的长为12米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB 的长为13米；③小龙牵线放风筝的手到地面的距离CD 长为1.5米．(1)求风筝到地面的距离线段AD 的长；(2)如果小龙想要风筝沿CA 方向再上升4米，BC 和CD 的长度不变，则他应该再放出_____米线．题型03 求小鸟飞行距离1．如图，有两棵树AB 和CD （都与水平地面AC 垂直），树AB 高8米，树梢D 到树AB 的水平距离DE （DE AB ^）的长度为8米，2AE CD ==米，一只小鸟从树梢D 飞到树梢B ，则它至少要飞行的长度为（ ）A ．10米B ．9米C ．8米D ．7米∵DE AB^∴90BED Ð=°∵树AB 高8米，AE =∴6BE =米，8DE =另一棵树的树梢，那么小鸟至少飞行 米．【答案】26【分析】本题考查了勾股定理与实际问题，根据题意构建模型，过点B 作BA CD ^，交CD 于点A ，由题意可得20m CD =，10m BE =，24m DE =，根据题意可证明四边形ADEB 是矩形，24AB DE m ==，10m AD BE ==，可得10m AC =，在t R BAC V 中，90BAC Ð=°，根据勾股定理得26m BC =，即可得，掌握两点之间线段最短，矩形的判定，勾股定理，根据题意构建出模型是解题的关键．【详解】解：如图所示，过点B 作BA CD ^，交CD 于点A ，由题意可得20m CD =，10m BE =，24m DE =，∵90BAD ADE DEB Ð=Ð=Ð=°，小鸟从一棵树的树梢A点处飞到另一棵树的树梢B点处，则小鸟至少要飞行多少米？题型04 求大树折断前的高度1．《九章算术》是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．其中记载了一道“折竹抵地”问题；今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺．问折高者几何？大意是；“一根竹子，原高一丈（一丈=10尺），中部有一处折断，竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，”问折断处离地面的高度是多少尺？（ ）A．4B．92C．9120D．10920离为1.5m，一只蜗牛从树顶端的A处出发，以20cm/min的速度沿树干向上爬行，则它爬到折断处C所需的时间为min．意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，求折断处离地面的高度．【答案】4.55尺【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么222a b c +=．设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可．【详解】解：设竹子折断处离地面x 尺，则斜边为(10)x -尺，根据勾股定理得2223(10x)x +=-，解得： 4.55x =答：折断处离地面的高度是4.55尺．题型05 解决水杯中筷子问题1．一支铅笔斜放在圆柱体的笔筒中，如图所示，笔筒的内部底面直径是6cm ，内壁高8cm ．若这支铅笔在笔筒外面部分长度是5cm ，则这支铅笔的长度是（ ）cm ．A ．10B ．15C ．20D ．25【答案】B 【分析】首先根据题意画出图形，利用勾股定理计算出AC 的长度．然后结合题意即可求解．此题主要考查了勾股定理的应用，正确得出笔筒内铅笔的长度是解决问题的关键．【详解】解：如图：根据题意可得图形：△中：AC在Rt ABC∵这支铅笔在笔筒外面部分长度是∴这支铅笔的长度是故选：B．2．如图，已知钓鱼杆鱼竿AC转动到AC¢的位置，此时露在水面上的鱼线B C¢¢长度为4米，则BB¢的长为米．FG=），当筷子GE倒向杯壁时（筷子底端不动），筷子顶端正好触到杯壁D，筷子露出杯子外1cm（即1cm求筷子GE的长度．【答案】13cm【分析】设杯子的高度是cm x ，则筷子的高度为()1cm x +，根据勾股定理列出方程，解方程即可得到答案，根据勾股定理列出方程是解题的关键．【详解】解：设杯子的高度是cm x ，则筷子的高度为()1cm x +，∵杯子的直径为10cm ，∴5cm DF =，在Rt DEF V 中，由勾股定理得：2225(1)x x +=+，解得12x =，∴筷子()12113cm EG =+=．答：筷子GE 的长度为13cm ．题型06 解决航海问题1．两只蜗牛从同一地点同时出发，一只以3m /min 的速度向北直行，一只以4m /min 的速度向东直行，1min 后两只蜗牛相距（ ）A ．5mB ．C ．D ．4.5m【答案】A【分析】本题考查勾股定理，分别计算一分钟两只蜗牛行走的路程，再根据勾股定理计算即可．【详解】解：313´=，414´=，∵一只以3m /min 的速度向北直行，一只以4m /min 的速度向东直行，∴夹角为直角，∵222345+=，∴1min 后两只蜗牛相距5m ，故选：A ．2．如图，甲、乙两船同时从港口A 出发，甲船以30海里/时的速度沿北偏东35°方向航行，乙船沿南偏东55°方向航行，2小时后，甲船到达C 岛，乙船到达B 岛，若C ，B 两岛相距100海里，乙船的速度是 海里/时．Q 60AC \=海里．35EAC Ð=°Q ，55FAB Ð=90CAB \Ð=°．100BC =Q 海里，22100AB BC AC \=-=Q 乙船也用2小时，时派出甲、乙两艘搜救艇同时从港口O出发，甲搜救艇以12海里/时的速度沿北偏东40°的方向向A地出发，乙搜救艇以16海里/时的速度沿南偏东50°的方向向B地出发，2小时后，甲、乙两艘搜救艇同时到达遇险船只A，B处．求此时甲、乙两艘搜救艇之间的距离AB．题型07 求河宽1．为了培养学生的数学核心素养，提高学生发现问题，分析问题，解决问题的能力．2024年昭通市某学校的156班组织了一次课外研学活动．在研学活动中，王宇同学欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点F 与欲到达地点E 相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程HF 比河的宽度EH 多2米，则河的宽度EH 是（ ）．A ．8米B ．12米C ．16米D ．24米【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知EFH △为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边EH 的长度．【详解】解：根据题意可知10EF =米，设EH x =，则2HF x =+，Rt EFH △中，由勾股定理得222FH EF EH =+，即()222210x x +=+，解得24x =．∴该河的宽度EH 为24米．故选：D ．2．《九章算术》是古代数学著作，书中记载：“今有开门去阃（读kǔn ，门槛）一尺，不合二寸，问：门广几何？”题目大意是如图①、图②（图②为图①的俯视示意图），今推开双门，门框上点C 和点D 到门槛AB 的距离DE 为1尺（1尺10=寸），双门间的缝隙CD 为2寸，则门宽AB 的长是 寸．【答案】1013．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“测量隧道长度”的项目式学习活动．项目主题测量隧道的长度AB 测量工具测角仪、测距仪等测量示意图 数据说明90ACB ABC Ð+Ð=°，750BC =米，210AC =米特别说明测量过程中注意保障人身安全！请你根据以上测量结果，计算隧道的长度AB ．题型08 求台阶上地毯长度1．如图，要为一段高为5米， 长为13米的楼梯铺上红地毯，则红地毯的长度至少为（ ）A ．18米B ．17 米C ．13米D ．12米∴地毯的长度至少是12517+=米．故选B．2．某楼梯如图所示，欲在楼梯上铺设红色地毯，已知这种地毯每平方米售价为30元，楼梯宽为2m，则地毯的长为m，购买这种地毯至少需要元．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？【答案】(1)每一级台阶的高为2分米．题型09 判断汽车是否超速1．如图，小蓓要赶上去实践活动基地的校车，她从点A知道校车自点B处沿x轴向原点O方向匀速驶来，她立即从A处搭一辆出租车，去截汽车．若点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（8，0），汽车行驶速度与出租车相同，则小蓓最快截住汽车的坐标为（ ）A．（3，0）B．（3.5，0）C．（174，0）D．（5，0）【答案】C【分析】在D点小蓓与汽车相遇，则小蓓的行进路线为AD，设OD＝x，在直角△ACD中，AD为斜边，已知AC，CD，即可求AD，且BC＝OB﹣OC＝8，根据BD＝AD的等量关系可以求得x，即可求相遇点D的坐标．【详解】解：作出题目中给出的图形：已知AC＝3，OC＝2，OB＝8，在D点小蓓与汽车相遇，设OD＝x，则CD＝x﹣2，的C 处，过了5s 后，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m ，则这辆小汽车的速度是 m /s ．建成通车，在该路段MN 限速5m/s ，为了检测车辆是否超速，在公路MN 旁设立了观测点C ，从观点C 测得一小车从点A 到达点B 行驶了10s ．若测得45CAN Ð=°，60CBN Ð=°，100m BC =．此车超速了吗？请说明理由．∴小车平均速度(5031010AB ==而()5315-<∴此车没有超速．题型10 判断是否受台风影响1．如图，铁路MN 和公路PQ 在点O 处交会，公路PQ 上点A 距离点O 是270m ，与MN 这条铁路的距离是200m ．如果火车行驶时，周围250m 以内会受到噪音的影响，那么火车在铁路MN 上沿ON 方向以72km /h 的速度行驶时，点A 处受噪音影响的时间是（ ）A ．15秒B ．13.5秒C ．12.5秒D ．10秒∵公路PQ 上点A 距离点O 是270m ∴200m AC =，∵250m AB AD ==，∴由勾股定理得：2BC AB =400m BC =，500m AB =，已知距离火车250m 以内会受到噪音的影响．（1）学校C 到铁路AB 的距离是 m ．（2）火车在AB 路段行驶时，学校C 受到火车噪音影响的时间是 min ．（3）如果火车在下课时间穿过该路段，并确保学校受到火车噪音影响的时间控制在10分钟以内（10min t £），那么其行驶速度至少应增加到m /min ．∵300m AC =，400m BC =，AB =∴222AB AC BC =+，∴ABC V 是直角三角形，∴1122ABC S AC BC AB CD =×=×V ，即当250m CE CF ==时，正好影响学校，极端气候，有极强的破坏力．如图，有一台风中心沿东西方向AB由点A行驶向点B，已知点C为一海港，^时，A点到B，C两点的距离分别为500km和300km，以台风中心为圆心周围250km以内为受当AC BC影响区域．(1)求BC；(2)海港C受台风影响吗？为什么？(3)若台风的速度为35km/h，则台风影响该海港持续的时间有多长？（3）解：当250km EC =，FC ()2270km ED EC CD =-=Q ，140km EF \=，Q 题型11 选址使两地距离相等1．如图，高速公路上有A 、B 两点相距10km ，C 、D 为两村庄，已知4DA km =，6CB km =．DA AB ^于A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个服务站E ，使得C 、D 两村庄到E 站的距离相等，则EA 的长是（ ）km ．A ．4B ．5C ．6D 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是本题的关键．根据题意设出BE 的长为xkm ，再由勾股定理列出方程求解即可．【详解】解：设BE x =，则()10AE x km =-，由勾股定理得：在Rt ADE V 中，222224(10)DE AD AE x =+=+-，在Rt BCE V 中，222226CE BC BE x =+=+，由题意可知：DE CE =，所以：222264(10)x x +=+-，解得：4x km =．所以，EB 的长是4km ．所以，()1046EA km =-=．故选：C ．2．如图，在笔直的铁路上A ，B 两点相距20km ，C 、D 为两村庄，8km DA =，14km CB =，DA AB ^于点A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等，求AE = km ．8km DA =，6km CB =．现在要在公路AB 上建一个土特产产品收购站E ，使得C ，D 两商场到E 站的距离相等，(1)求E 站应建在离A 点多少km 处？(2)若某人从商场D以5km/h的速度匀速步行到收购站E，需要多少小时？题型12 最短路径问题、和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，1．如图是一块长、宽、高分别是6cm4cm沿着长方体的表面到长方体上和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是（）A ．(3cm +BCD 但有三种情况：当：3AD =，4610DB =+=．22310109cm AB =+=．当4=AD ，639DB =+=．97cm AB =．此时一只蚂蚁正好在杯子外壁，离杯子上沿2cm 与蜂蜜相对的点A 处，则蚂蚁从外壁A 处到达内壁B 处的最短距离为 cm ．3．【问题背景】如图一条步道．为了提升公园内人与自然的和谐品质，尽量避免人类活动影响鸟类生活，现对步道进行升级改造，要求步道离小岛至少40米．为了测得步道离岛的距离，施工人员计划实施如下方案：如图2，记小岛为点P ，首先在笔直的步道1l 上找一处A （1AP l ^），一工人沿步道1l 从点A 出发直走80米到达B 处，又继续前行80米到达点C 处，接着从C 处沿与步道1l 垂直的方向行走，当到达D 处时，P 、B 、D 刚好在同一直线上，最后工人测得CD 的长为75米．请根据以上信息，回答下面的问题：【问题探究】（1）求小岛离步道1l 的垂直距离PA ．【问题拓展】（2）在第（1）问的条件下，如图3，有相邻的另一条笔直步道2l ，小岛P 到2l 的距离PM a =米，点A 到L ₂的距离()80AN a =-米，在MN 之间有一任意点E ，当PE AE +的最小值为100米时，①MN = 米（直接写出结果）．②为了避免人类活动影响鸟类生活，请问步道2l 是否符合要求？请用学过的数学知识说明原因．【方法迁移】（3）若将x ，3x -，2，2分别看作四条线段的长，结合图2，构造适当的几何图形求代数式的最小值为 （直接写出）．过Q 作2QH l ∥交AN 的延长线于∵2PM l ^，PM MQ =即2l 垂直平分PE EQ \=，PE AE QE AE AQ \+=+³，当A 、Q 、E 三点共线时PE +即100AQ =米∵2AN l ^，2QH l ∥AN QH \^即90AHQ Ð=°，MNHQ1．如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为20dm 3dm 2dm 、、．A 和B 是这个台阶上两个相对的端点，点A 处有一只蚂蚁，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点B 的最短路程为（ ）A B ．20dm C ．25dm D ．35dm【答案】C 【分析】本题的是平面展开﹣最短路径问题，解答此类问题时要先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．先将图形平面展开，再由勾股定理根据两点之间线段最短进行解答．【详解】解：三级台阶平面展开图为长方形，长为20dm ，则蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B 点最短路程为xdm ，由勾股定理得：()22222023325x éù=++´=ëû，解得：()25dm x =．故选：C ．2．如图，在学校工地的一根空心钢管外表面距离左侧管口2cm 的点M 处有一只小蜘蛛，它要爬行到钢管内表面距离右侧管口5cm 的点N 处觅食，已知钢管横截面的周长为18cm ，长为15cm ，则小蜘蛛需要爬行的最短距离是（ ）A ．5cmB ．4cmC ．D ．15cm 由题意得：2cm AM BC ==，BD =∴()1155218cm CN =+-=，而成，如图，在ABD △中，,AB AD AE BD =^，若10,6BC CD ==，则22AC AD -的值为（ ）A ．16B ．24C ．32D ．60【答案】D 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，平方差公式的应用，先证明DE BE =，222AD AE DE =+，222AC AE CE =+，再结合平方差公式可得答案；【详解】解：∵,AB AD AE BD =^，∴DE BE =，222AD AE DE =+，222AC AE CE =+，∴2222AC AD CE DE -=-()()CE DE CE DE =+-()CE BE CD=+×BC CD=×∵10,6BC CD ==，∴2210660AC AD ´-==；故选D4．勾股定理是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一．如图，当秋千静止时，踏板B 离地的垂直高度0.8m BE =，将它往前推3m 至C 处时(即水平距离3m CD =)，踏板离地的垂直高度2.6m CF =，它的绳索始终拉直，则绳索AC 的长是（ ）A ．3.4mB ．3.6mC ．3.8mD ．4.2m【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．由题意可知， 2.6m DE CF ==，0.8m BE =，3m CD =，设m AB AC x ==，根据勾股定理列方程求解即可．【详解】解：由题意可知， 2.6m DE CF ==，0.8m BE =，3m CD =，1.8m BD \=，设m AB AC x ==，则()1.8m AD x =-，由勾股定理得：222AD CD AC +=，()2221.83x x \-+=，解得： 3.4x =，即绳索AC 的长是3.4m ，故：A ．5．如图，圆柱形笔筒的内部底面直径是9cm ，内壁高为12cm ．将一根长18cm 的铅笔放置于笔筒中（铅笔的直径忽略不计），铅笔露在笔筒外的长度为cm a ，则a 的取值范围是（ ）A ．912a <<B ．612a ££C ．39a <<D ．36a ££置时，露在水面上的鱼线B C ¢¢长为2米，则CC ¢的长为（ ）A ．1米B ．2)-米CD ．2)米走两步后的落点与出发点间的最远距离为．走两步后的落点与出发点间的最远距离的点为故答案为：25．8．如图，圆柱的底面周长是10cm之相对的上底面点B，那么它爬行的最短路程为．【答案】13cm/13厘米【分析】本题考查勾股定理的应用—最短路径问题，将圆柱体展开，利用勾股定理求出最短路径的长即可．【详解】解：把圆柱沿母线展开，点B展开后的对应点为B¢，利用两点之间线段最短可判断蚂蚁爬行的最短路径为AB¢，如图所示：由题意，得：12cm,AC =在Rt ACB ¢△中，由勾股定理，得：故答案为：13cm ．A 的北偏东方向上，距离为13海里，岛B 和岛C 之间的距离为5海里，则岛B 在岛C 的北偏西 方向上.【答案】52°/52度【分析】本题主要考查了方向角、勾股定理的逆定理，平行线的性质，关键是根据勾股定理的逆定理得90ABC Ð=°．先根据勾股定理的逆定理得90ABC Ð=°，再根据方向角的定义和平行线的性质计算即可．【详解】解：如图，过点C 作CF EB∥12AB =Q 海里，13AC =海里，5BC =海里，222AB BC AC \+=，90ABC \Ð=°，38BAD Ð=°Q ，AD BE P ，38ABE BAD \Ð=Ð=°，52CBE \Ð=°，∵BE CF ∥，52BCF CBE \Ð=Ð=°，\岛B 在岛C 的北偏西52°方向上．故答案为：52°．10．在笔直的铁路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，10km DA =，15km CB =，DA AB ^于A ，CB AB ^于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等．则E 应建在距A km ．【答案】15【分析】此题主要考查了勾股定理的应用．利用DE CE =，再结合勾股定理求出即可．【详解】解：设km AE x =，则25km ()=-BE x ，DE CE =Q ，2222AD AE BE BC \+=+，故222210(25)15x x +=-+，解得；15x =．故答案为：15．11．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm ，底面周长为10cm ，在容器内壁离容器底部3cm 的点B 处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm 的点A 处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是 cm ．【答案】13【分析】本题考查了最短路径问题，将圆柱侧面展开，作出点A 关于EF 的对称点A ¢，根据两点之间线段最短可知A B ¢的长度即为所求，利用勾股定理求出A B ¢即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是解题的关键．12．如图1是一种伸缩式的鞋架，它有平放和斜放两种使用方式．鞋架每侧有O ，P ，Q 为各支架的中点．鞋架平放得图2，面板BH 的长为24cm ，此时鞋架高度为54cm ，则支架AD 的长为 cm ；鞋架斜放得图3，此时调节杆AL 的端点L 正好卡在面板BH 的调节孔点G 处，13cm AL =，10cm HG =，60AOB Ð=°，则鞋架最高点H 到地面MN 的距离是cm ．\5469OK =¸=，22AO AK OK \=+22129=+15=，230AD AO \==（如图，连接AB ，过Q ALB \V 是等边三角形，60LBA \Ð=°，30RHB \Ð=°，12RB HB \=()110132=+232=，2HR HB RB \=-3RB =米），且绳索保持拉直的状态，求此时木马上升的高度．由题意得：AC△中，由勾股定理得：在Rt ACF2AF AC=-=-则BF AB即木马上升的高度为正前方60m处的C点，测得小汽车所在的B点与车速检测仪A之间的距离为100m．(1)求B，C间的距离．(2)这辆小汽车超速了吗？请说明理由．(1)这个梯子的顶端距地面有多高？(2)如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？【答案】(1)梯子顶端距离地面的高度为24米(2)梯子的底端在水平方向滑动了8米【分析】本题主要考查了勾股定理在解直角三角形中的应用，熟练掌握并正确计算是解题的关键．（1）利用勾股定理可以得出梯子的顶端距离地面的高度；（2）由（1）可以得出梯子的初始高度，下滑4米后，可得出梯子的顶端距离地面的高度，再次使用勾股定理，可以得出梯子的底端在水平方向滑动的距离．习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度CE ，他们进行了如下操作：①测得水平距离BD 的长为15米；②根据手中剩余线的长度计算出风筝线BC 的长为25米；③牵线放风筝的小明的身高为1.6米．(1)求风筝的垂直高度CE ；(2)如果小明想风筝沿CD 方向下降12米，则他应该往回收线多少米？【答案】(1)风筝的高度CE 为21.6米；(2)他应该往回收线8米．【分析】本题考查了勾股定理的应用；（1）利用勾股定理求出CD 的长，再加上DE 的长度，即可求出CE 的高度；（2）根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）解：在Rt CDB △中，由勾股定理得，222222515400CD BC BD =-=-=，所以，20CD =（负值舍去），所以，20 1.621.6CE CD DE =+=+=（米)，答：风筝的高度CE 为21.6米；（2）解：由题意得，12CM =，\22BM DM BD \=+2517BC BM \-=-=\他应该往回收线8米．17．在一条东西走向的河流一侧有一村庄由C 到A 的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点D （,,A D B 在同一条直线上），并新修一条路CD ，测得 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米．(1)求CDB Ð的度数；(2)求原来的路线AC 的长．【答案】(1)90°(2)8.45千米【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键．（1）利用勾股定理的逆定理推导BCD △为直角三角形，即可获得答案；（2）设AB AC x ==，则 2.5AD x =-，在Rt ACD △中，利用勾股定理解得x 的值，即可获得答案．【详解】（1）解：根据题意，可知 6.5CB =千米，6CD =千米， 2.5BD =千米，∵22222.5642.25BD CD +=+=，226.542.25CB ==，∴222BD CD CB +=，∴BCD △为直角三角形，90CDB Ð=°；（2）由（1）可知，90CDB Ð=°，即CD AB ^，设AB AC x ==，则 2.5AD AB BD x =-=-，在Rt ACD △中，可有222AD CD AC +=，后再沿北偏西30°方向走了500米到达目的地C 点．(1)判断ABC V 的形状；(2)求A 、C 两点之间的距离；(3)确定目的地C 在营地A 的什么方向．【答案】(1)ABC V 的形状是直角三角形，(2)A 、C 两点之间的距离是1000米；(3)目的地C 在营地A 的北偏东30°方向上．【分析】（1）求出FBC Ð，根据平角的定义求出CBA Ð即可；（2）根据勾股定理求出AC 即可；（3）根据1000AC =，500BC =，求出30CAB Ð=°即可．【详解】（1）解：ABC V 的形状是直角三角形，理由是：EF AD ∥，60EBA DAB \Ð=Ð=°，Q ∴15002BG AG CG AC ====∴BCG V 是等边三角形，∴60ACB Ð=°，∴30CAB Ð=°，6030DAC DAB CAB Ð=Ð-Ð=°-即目的地C 在营地A 的北偏东【点睛】本题综合考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，方向角，两点之间的距离等知识点，关键。
探索勾股定理〔 2〕课型新授课知识与 1.掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法.2.运用勾股解决一些实际问题 .教能力学过程与目方法标情感态度1.学会用拼图的方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题的能力.2.在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识.利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的一大奉献 . 借此对学生进行爱国主义教育 . 并使学生在拼图的过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学的兴趣 . 进一步体会数学的地位和作用。
与价值观教学勾股定理的证明及其应用.重点教学勾股定理的证明难点教学方法教学用具板书设计1、教师引导和学生自主探索相结合的方法.2、在用拼图的方法验证勾股定理的过程中. 教师要引导学生善于联想，将形的问题与数的问题联系起来，让学生自主探索，大胆地联系前面知识，推导出勾股定理，并自己尝试用勾股定理解决实际问题 .一张硬纸板、剪刀、直尺、课件§探索勾股定理 ( 二 )由上图可得 c2=1ab×4+( b－a)2一、用拼图法验证勾股定理222；2即 a+b =c2、议一议3、例题讲解4、稳固练习5、课时小结由上图得 ( a+b) 2=1ab× 4+c22即 a2+b2=c2教学过程教师活动引入：上节我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容：1、拼一拼〔通过课件出示〕(1)在一张硬纸板上画 4 个如右图所示全等的直角三角形 . 并把它们剪下来 .(2)用这 4 个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边 c 为边长的正方形，并与同学们交流。
教师在学生拼图的过程中提问：你们拼出了几种符合要求的大正方形？并思考每种大正方形的面积可表示为什么？在同学交流形成共识后老师找同学到投影仪前摆放：〔学生会有两种摆放形式，找两个同学演示〕［生］我拼出了如下列图所示的图形，中间是一个边长为 c 的正方形.观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是( a+b). 我们可以用两种方法表示这个大正方形的面积。
探索勾股定理〔2〕教学设计教学设计思想：勾股定理是反映自然界根本规律的一条重要结论本节意图让学生自己经过观察、归纳、猜测和验证，发现勾股定理初中学生思维活泼，求知欲强，好奇心浓，所以处理教材内容上尽量发挥学生的学习主动性设计方格纸上计算面积，用拼图的方法验证等活动，以真正实现学生在知识、智力、能力和全面提高为面向全体学生，进行小组合作学习，通过交流、议论、取长补短，引导学生团结协作，互帮互学，从而到达共同提高的目的教学目标〔一〕知识与技能1掌握勾股定理，了解利用拼图验证勾股定理的方法2运用勾股解决一些实际问题〔二〕过程与方法1学会用拼图方法验证勾股定理，培养学生的创新能力和解决实际问题能力2在拼图过程中，鼓励学生大胆联想，培养学生数形结合的意识〔三〕情感、态度与价值观利用拼图方法验证勾股定理，是我国古代数学家一大奉献借助对学生进行爱国主义教育并在拼图过程中获得学习数学的快乐，提高学习数学兴趣教学重点勾股定理的证明及其应用教学难点勾股定理证明教学方法教师引导和学生自主探索相结合的方法在用拼图方法验证勾股定理的过程中教师要引导学生善于联想，将形问题与数的问题联系起来，让学生自主探索，大胆地联系前面知识，推导出勾股定理，并自己尝试用勾股定理解决实际问题教具准备每个学生准备一张硬纸板教学过程〔一〕创设问题情景，引入新课［师］我们曾学习过整式的运算，其中平方差公式；完全平方公式是非常重要的内容谁还能记得当时这两个公式是如何推出的？［生］利用多项式乘以多项式的法那么从公式的左边就可以推出右边例如，所以平方差公式是成立的［生］还可以用拼图的方法来推出例如：我们可以用一个边长为a的正方形，一个边长为b的正方形，两个长和宽分别为a和b的长方形可拼成如下列图所示的边长为的正方形，那么这个大的正方形的面积可以表示为；又可以表示为所以［师］由此我们可以看出用拼图的方法推证数学中的结论非常直观上一节课我们已经通过数格子通过一些特例大胆地猜测出了勾股定理同时又利用一些特例验证了勾股定理，但我们注意到我们不可能拿所有的直角三角形一一验证，靠一些特例归纳、猜测出来的结论不一定正确因此我们需要用另一种方法说明直角三角形三边的关系〔二〕合作学习探索新知1拼一拼〔1〕在一张硬纸板上画4个如下列图所示全等的直角三角形并把它们剪下来〔2〕用这4个直角三角形拼一拼，摆一摆，看能否得到一个含有以斜边c为边长的正方形，你能利用它说明勾股定理吗？〔对于上面2个问题，教师要引导学生大胆联想，将形与数的问题联系起来鼓励学生大胆的拼摆，只要符合要求，教师都应予以鼓励，然后在小组内交流，同时提示学生根据自己拼出的图形，联系的拼图推证方法说明勾股定理〕［生］我拼出了如下列图所示的图形，中间是一个边长为c的正方形观察图形我们不难发现，大的正方形的边长是要利用这个图说明勾股定理，我们只要用两种方法表示这个大正方形的面积即可大正方形面积可以表示为：，又可以表示为：比照这两种表示方法，可得出化简、整理得因此我们得到了勾股定理［生］我拼出了和这个同学不一样的图，如下列图所示，大正方形的边长是c，小正方形的边长为，利用这个图形也可以说明勾股定理因为大正方形的面积也有两种表示方法，既可以表示为，又可以表示为比照两种表示方法可得，化简得同样得到了勾股定理［师］真棒！同学们用拼图的方法，大胆地验证了勾股定理利用拼图的方法验证勾股定理，是我国古代数学家的伟大奉献在后面的课题学习中，我们还要继续研究它在所有的几何定理中，勾股定理的证明方法也许是最多的了有人做过统计，说有五百余种1940年，国外有人收集了勾股定理的365种证法，编了一本书其实，勾股定理的证法不止这些，之所以选用了365种，也许他是幽默地想让人注意，勾股定理的证明简直到了每天一种的地步［生］老师，我在查资料时，还发现勾股定理的证明还和美国的一个总统有关系，是这样吗？［师］是的1876年4月1日，美国俄亥俄州共和议员加菲尔德，颇有兴趣地在?新英格兰教育日志?上发表了他提出的一个勾股定理的证明据他说，这是一种思想体操，并且还淘气地声称，他的这个证明是得到两议员“一致赞同的〞由于1881年加菲尔德当上了美国第二十届总统，这样，他曾提出的那个证明也就成了数学史上的一段佳话［生］能给我们介绍一下这位总统的证明方法吗？［师］可以如下列图所示这就是这位总统用两个全等的直角三角形拼出的图形，和第一个同学用全等的四个直角三角形拼出来的图形比照一下，有联系［生］总统拼出的图形恰好是第一个同学拼出的大正方形的一半［师］同学们不妨自己从上图中推导出勾股定理［生］上面的图形整体上拼成一个直角梯形所以它的面积有两种表示方法既可以表示为，又可以表示为比照两种表示方法可得化简，可得［师］很好同学们如果感兴趣的话，不妨自己也去寻找几种证明勾股定理的方法2议一议［师］前面我们讨论了直角三角形三边满足的关系那么锐角三角形或钝角三角形的三边是否也满足这一关系呢？［师］上图中的△ABC和△A′B′C′是什么三角形？［生］△ABC，△A′B′C′在小方格纸上，不难看出△ABC中，∠BCA＞90°；△A′B′C′中，∠A′B′C′，∠B′C′A′，∠B′A′C′都是锐角，所以△ABC是钝角三角形，△A′B′C′是锐角三角形［师］△ABC的三边上“长〞出三个正方形谁来帮我数一下每个正方形含有几个小格子［生］以b为边长的正方形含有9个小格子，所以这个正方形的面积b2=9个单位面积；以a 为边长的正方形中含有8个小格子，所以这个正方形的面积a2=8个单位面积；以c为边长的正方形中含有29个小格子，所以这个正方形的面积c2=29个单位面积a2b2=97=16个单位面积，c2=29个单位面积，所以在钝角三角形ABC中a2b2≠c2［师］锐角三角形A′B′C′中，如何呢？［生］以a为边长的正方形含5个小格子，所以a2=5个单位面积；以b为边长的正方形含有8个小格子，所以b2=8个单位面积；以c为边长的正方形含9个小格子，所以c2=2b2=58=′B′C′中，a2b2≠c2［师］通过对上面两个图形的讨论可进一步认识到只有在直角三角形中，a，b，c三边才有a2b2=c2〔其中a、b是直角边，c为斜边〕这样的关系［生］老师，我发现在钝角三角形ABC中，虽然a2b2≠c2，但它们之间也有一种关系a2b2＜c2；在锐角三角形A′B′C′中，a2b2＞c2它们恒成立吗？［师］这位同学很善于思考，确实如此同学们课后不妨验证一下，你一定会收获不小3例题讲解〔三〕回忆反思提炼升华这节课，我们用拼图的方法验证了勾股定理，并运用勾股定理解决了生活中的实际问题（四）当堂达标稳固提升1填空题〔1〕某养殖厂有一个长2米、宽1.5米的矩形栅栏，现在要在相对角的顶点间加固一条木板，那么木板的长应取________米〔2〕有两艘渔船同时离开某港口去捕鱼，其中一艘以16海里/时的速度向东南方向航行，另一艘以12海里/时的速度向东北方向航行，它们离开港口一个半小时后相距_________海里〔3〕如图：隔湖有两点A、B，为了测得A、B两点间的距离，从与AB方向成直角的BC方向上任取一点C，假设测得CA=50 m,CB=40 m，那么A、B两点间的距离是_________2一个等腰三角形的底边和腰的长分别为12 cm和10 cm，求这个三角形的面积3如图：要修建一个育苗棚，棚高h=1.8 m,棚宽a=2.4 m,棚的长为12 m,现要在棚顶上覆盖塑料薄膜，试求需要多少平方米塑料薄膜？参考答案1〔1〕〔2〕30 〔3〕30米2如图：等边△ABC中BC=12 cm，AB=AC=10 cm作AD⊥BC，垂足为D，那么D为BC中点，BD=CD=6 cm在Rt△ABD中，AD2=AB2－BD2=102－62=64∴AD=8 cm=BC·AD=×12×8=48〔cm2〕∴S△ABD3解：在直角三角形中，由勾股定理可得：直角三角形的斜边长为3 m,所以矩形塑料薄膜的面积是：3×12=36〔m2〕〔五〕布置作业，课堂延伸1课本习题2课后读一读“漫话勾股定理〞3收集关于勾股定理的证明方法〔六〕板书设计〔七〕教学反思在课堂教学中，运用我校所创立的“学导练，当堂清〞教学模式，注意了调动学生的积极性让学生满怀激情地投入到合作探究的学习活动中因此，课堂效率较高对于勾股定理证明，我注意充分挖掘了其内涵特别是让学生事先进行调查，再在课堂上进行展示，这极大地调动了学生，既加深了对勾股定理文化的理解，又培养了他们收集、整理资料的能力为了突破勾股定理的验证一难点，我设计了拼图活动，先让学生回忆乘法公式的图形证明，再合作交流，动手操作，探究得到方法1和方法2最后通过加菲尔德的证明加深对这一知识的理解，这样结缔皮容易地突破了本节课的难点。
第一章勾股定理1 探索勾股定理第1课时勾股定理（1）1.经历测量和用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系.2.探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力.3.利用勾股定理，已知直角三角形的两边求第三边长.4.在勾股定理的探索过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想.5.经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识.6.通过对勾股定理历史的了解，感受数学变化，激发学习热情.7.在探究活动中，体现解决问题方法的多样性，培养学生的合作交流意识和探索精神.【教学重点】探索勾股定理.【教学难点】用测量和数格子的方法探索勾股定理.一、创设情境，导入新课我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边.对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系.那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理.出示投影1（章前的图文P1），介绍数学家曾用这个图形作为与“外星人”联系的信号.【教学说明】通过复习旧知识，引入新课.出示投影，介绍与勾股定理有关的背景，激发学生的学习兴趣.二、思考探究，获取新知勾股定理做一做：1.在纸上画若干个直角三角形，分别测量它们的三条边，看看三边长的平方之间有怎样的关系？与同伴交流.【教学说明】学生根据教师的要求完成这个问题，自主交流发现直角三角形的性质.2.观察教材图1—2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位.正方形B中有个小方格.即B的面积为个面积单位.正方形C中有个小方格，即C的面积为个面积单位.你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问.教材图1—2中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？【教学说明】通过观察特殊图形下方格数与正方形面积之间的转化，进一步体会探索勾股定理.归纳得出结论：S A+S B=S C.3.教材图1—3中，A、B、C之间是否还满足上面的关系？你是如何计算的？【教学说明】通过观察计算一般情况下方格数与正方形面积之间的转化，进一步加强对勾股定理的理解.4.如果直角三角形两直角边分别是1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？说明你的理由.【教学说明】渗透从特殊到一般的数学思想，充分发挥学生的主体地位，让学生体会到观察、猜想、归纳的思想，也让学生的分析问题、解决问题的能力得到了提高.议一议：你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？【教学说明】学生自主探究，发现直角三角形的性质，并整合成精确的语言将之表达出来，有利于培养学生综合概括能力和语言表达能力.【归纳结论】直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方.这就是著名的“勾股定理”.也就是说：如果直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，那么a2+b2=c2.我国古代称直角三角形的较短的直角边为勾，较长的直角边为股，斜边为弦，这便是勾股定理的由来.三、运用新知，深化理解1.在直角三角形ABC中，∠C=90°，若a=5,b=12，则c= .2.在直角三角形的ABC中，它的两边长的比是3∶4，斜边长是20，则两直角边长分别是.【教学说明】学生的完成，加深对勾股定理的理解和检测对勾股定理的简单运用，对学生的疑惑或出现的错误及时指导，并进行强化.【答案】1.13；2.12，16四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有什么困惑？【教学说明】教师引导学生回顾新知识，加强对勾股定理的理解，进一步完善了学生对知识的梳理.完成练习册中本课时相应练习.本节内容重在探索与发现，要给充分的时间让学生讨论与交流.适当的练习以巩固所学也是必要的，当然，这些内容还需在后面的教学内容再加深加广.第2课时勾股定理（2）1.经历运用拼图的方法说明勾股定理是正确的过程，在数学活动中发展学生的探究意识和合作交流的习惯.2.掌握勾股定理和它的简单应用.3.通过从实际问题中抽象出直角三角形这一模型，初步掌握转化和数形结合的思想方法.4.经历探究勾股定理在实际问题中的应用过程，感受勾股定理的应用方法.5.在数学活动中发展了学生的探究意识和合作交流的习性；体会勾股定理的应用价值，通过本节课学习，让学生体会到数学来源于生活，又应用到生活中，增加学生应用数学知识解决实际问题的经验和感受.【教学重点】能熟练应用拼图法证明勾股定理.【教学难点】用面积证勾股定理.一、创设情境，导入新课我们已经通过数格子的方法发现了直角三角形三边的关系，究竟是几个实例，是否具有普遍的意义，还需要加以论证，下面就是今天所要研究的内容.【教学说明】让学生经历从特殊到一般的数学方法，明白数学问题是需要通过一定的论证才能说明它的正确性，为后面学习证明打下埋伏.二、思考探究，获取新知勾股定理的验证及简单运用做一做：1.画一个直角三角形，分别以这个直角三角的三边为边长向外作正方形，你能利用这个图证明勾股定理的正确性吗？你是如何做的？与同伴进行交流.【教学说明】让学生进一步体会探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想.2.为了计算教材图1—4中大正方形的面积，小明对这个大正方形适当割补后，得到教材P51—5、1—6图.（1）将所有三角形和正方形的面积用a，b，c的关系式表示出来；（2）教材图1—5、1—6中正方形ABCD的面积分别是多少？你们有哪些表示方式？与同伴进行交流.（3）你能分别利用教材图1—5、1—6验证勾股定理吗？【教学说明】学生通过各种方法验证勾股定理的正确性，加深对勾股定理的理解，又让学生体会到一题多解.【归纳结论】勾股定理的证明方法达300多种，请同学们利用业余时间探究、讨论并阅读教材P7-8的其它证明勾股定理的方法，以开阔事学们的视野.三、运用新知，深化理解1.一块长3m，宽2.2m的薄木板能否从一个长2m，宽1m的门框内通过，为什么？2.飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？【教学说明】让学生从实际生活的角度大胆的去考虑，用生活经验和学过的知识去解答.并学会把实际问题抽象为直角三角形的数学模型的过程，能够熟练地将勾股定理应用到现实生活中去.【答案】1.能，让薄木板的宽从门框的对角线斜着通过.2.分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形.如图，图中△ABC的∠C=90°，AC=4000米，AB=5000米欲求飞机每时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于△ABC的斜边AB=5000米，AC=4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算.解：由勾股定理得BC2=AB2-AC2=52-42=9（km2）即BC=3千米飞机20秒飞行3千米.那么它1小时飞行的距离为：3600/20×3=540（千米/时）答：飞机每小时飞行540千米.四、师生互动，课堂小结通过这节课的学习，你学会了哪几种证明勾股定理的方法？还有哪些疑问？【教学说明】总结归纳帮助学生进一步掌握解决实际问题的关键是抽象出相应的数学模型.完成练习册中本课时相应练习.了解多种证明勾股定理的方法，有助于加深对勾股定理内容的理解，但这需要花一定的时间，可以让学生课外了解.并运用所学知识解决实际问题，体验数学来源于生活，生活中也蕴含着许多数学道理.2 一定是直角三角形吗1.掌握直角三角形的判别条件，并能进行简单应用.2.通过用三角形的三边的数量关系来判断三角形的形状，体验数形结合方法的应用.3.敢于面对数学学习中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的成功经验，进一步体会数学的应用价值，发展运用数学的信心和能力，初步形成积极参与数学活动的意识.【教学重点】探索并掌握直角三角形的判别条件.【教学难点】运用直角三角形判别条件解题.一、创设情境，导入新课展示一根用13个等距的结把它分成等长的12段的绳子，请三个同学上台，按老师的要求操作.甲：同时握住绳子的第一个结和第十三个结.乙：握住第四个结.丙：握住第八个结.拉紧绳子，让一个同学用量角器，测出这三角形其中的最大角.发现这个角是多少度？古埃及人曾经用这种方法得到直角，这三边满足了什么条件？怎样的三角形才能成为直角三角形呢？这就是我们今天要研究的内容.【教学说明】利用古埃及人得到直角的方法，学生亲自动手实践，体验从实际问题中发现数学，同时明确了本节课的研究问题.既进行了数学史的教育，又锻炼了学生的动手实践、观察探究的能力.二、思考探究，获取新知直角三角形的判别做一做：下面的三组数分别是一个三角形的三边a、b、c.5、12、137、24、258、15、171.这三组数都满足a2+b2=c2吗？2.分别用每组数为三边作三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？3.如果三角形的三边长为a、b、c，并满足a2+b2=c2.那么这个三角形是直角三角形吗？【教学说明】鼓励学生大胆发言，让他们体验通过实际的计算和探究得到结论的乐趣，增强了他们勇于探索的精神.【归纳结论】如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2+b2=c2的三个正整数，称为勾股数.大家可以想这样的勾股数是很多的.今后我们可以利用“三角形三边a、b、c满足a2+b2=c2时，三角形为直角三角形”来判断三角形的形状，同时也可以用来判定两条直线是否垂直的方法.三、运用新知，深化理解1.下列几组数能否作为直角三角形的三边长？说说你的理由.（1）9,12,15;（2）15,36,39;（3）12,35,36;（4）12,18,22.2.已知△ABC中BC=41，AC=40，AB=9，则此三角形为三角形，是最大角.3.四边形ABCD中已知AB=3，BC=12，CD=13，DA=4，且∠DAB=90°，求这个四边形的面积.【教学说明】学生独立完成，能够加深判断一个三角形是直角三角形的条件的理解，帮助学生答疑解惑，及时指导，矫正强化.在完成上述题目后，引导学生完成《创优作业》中本课时的“课堂自主演练”部分.【答案】1.（1）（2）两组能作为直角三角形的三边长.∵92+122=152，152+362=392.∴这两个三角形都是直角三角形.2.直角，∠A3.解：连结BD，在△ABD中，∠DBA=90°，BD2=AB2+AD2=32+42，BD=5.在△DBC中，∵52+122=132，即DB2+BC2=DC2，∴△DBC为直角三角形，∠DBC=90°，∴S四边形ABCD=S△DAB+S△DBC=12×3×4+12×5×12=36.四、师生互动，课堂小结1.判断一个三角形是直角三角形的条件.2.今天的学习，你有哪些收获？还有哪些困惑？与同学交流.【教学说明】及时反馈教与学双边活动的结果，查漏补缺，让学生养成系统整理知识的好习惯.1.教材P10-11习题1.3第2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这是勾股定理的逆向应用.大部分同学只要能正确掌握勾股定理的话，都不难理解.当然勾股定理的理解是关键.3勾股定理的应用1.能运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题.2.学生观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念.3.在将实际问题抽象成几何图形的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想.4.在不同条件，不同环境中反复运用勾股定理及直角三角形的判定条件，使学生达到熟练、灵活运用的程度.在解决问题的过程中，培养学生的空间观念，提高学生建立数学模型的能力.5.通过解决实际问题，提高了学生应用数学的意识和锻炼了学生与他人交流合作的意识，再次感悟勾股定理和直角三角形判定的应用价值.【教学重点】探索发现给定事物中隐含的勾股定理及直角三角表判定条件，并用它们解决生活中的实际问题.【教学难点】利用数学中的建模思想构造直角三角形，灵活运用勾股定理及直角三角形的判定，解决实际问题.一、创设情境，导入新课勾股定理的应用前几节课我们学习了勾股定理，你还记得它有什么作用吗？例如：欲登12米高的建筑物，为安全需要，需使梯子底端离建筑物5米，至少需要多长的梯子？日常生活当中，我们还会遇到下面的问题.【教学说明】回忆勾股定理，巩固旧知识，解决实际问题，完成知识的过渡，为学生学习新知识又一次打下了坚实的基础.二、思考探究，获取新知蚂蚁怎么走最近？出示问题：有一个圆柱，它的高等于12厘米，底面半径等于3厘米.在圆柱的底面A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是多少？（π的取值3）.（1）同学们可自己做一个圆柱，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么？你画对了吗？（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱的侧面爬行的最短路程是多少？【教学说明】让学生经历把曲面上两点之间的距离转化为平面上两点之间线段最短更为直观，再次利用勾股定理解决生活中较为复杂的实际问题，使所学的知识得到充分运用.【归纳结论】我们知道，圆柱的侧面展开图是一长方形.好了，现在咱们就用剪刀沿母线AA′将圆柱的侧面展开（如下图）.我们不难发现，刚才几位同学的走法：哪条路线是最短呢？你画对了吗？第（4）条路线最短.因为“两点之间的连线中线段最短”.三、运用新知，深化理解1.甲、乙两位探险者，到沙漠进行探险.某日早晨8∶00甲先出发，他以6千米/时的速度向东行走.1小时后乙出发，他以5千米/时的速度向北进行，上午10∶00，甲、乙两人相距多远？2.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？【教学说明】学生独立解决，把生活中的实际问题转化为解直角三角形，对学生所学的知识进行强化，以利于教师及时纠正.【答案】1.分析：首先我们需要根据题意将实际问题转化成数学模型.解：（如图）根据题意，可知A是甲、乙的出发点，10∶00时甲到达B点，则AB=2×6=12（千米）；乙到达C点，则AC=1×5=5（千米）.在Rt△ABC中，BC2=AC2+AB2=52+122=169=132，所以BC=13千米.即甲、乙两人相距13千米.2.分析：从题意可知，没有告诉铁棒是如何插入油桶中，因而铁棒的长是一个取值范围而不是固定的长度，所以铁棒最长时，是插入至底部的A点处，铁棒最短时是垂直于底面时.解：设伸入油桶中的长度为x米，则应求最长时和最短时的值.（1）x2=1.52+22，x2=6.25，x=2.5所以最长是2.5+0.5=3（米）.（2）x=1.5，最短是1.5+0.5=2（米）.答：这根铁棒的长应在2～3米之间（包含2米、3米）.四、师生互动，课堂小结通过本节课的学习，你掌握了哪些知识？还有哪些疑问？【教学说明】学生梳理知识，加强教与学的互通，进一步提高课堂教学的效果.1.教材P14~15第1、2、3、4题.2.完成练习册中本课时相应练习.这节课的内容综合性比较强，可能有些同学掌握得不是太好，今后要继续加强这方面的训练.本章归纳总结1.掌握勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形，能灵活运用它们解决实际问题.2.通过梳理本章知识点，回顾解决实际问题中所涉及的数形合的思想和逆向思维思考问题，以便能熟练灵活运用.3.让学生养成把已有的知识建立联系的思维习性，积极参与数学活动，在活动中学会思考、讨论、交流和合作，激发他们的求知欲望.4.用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形解决简单问题.【教学难点】能理解运用勾股定理解题的基本过程；掌握在复杂图形中确定相应的直角三角形，根据勾股定理建立方程.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回顾本章知识点，构建知识结构框架，让学生比较系统地了解本章知识及它们之间的相互联系.二、释疑解惑，加深理解1.勾股定理的证明勾股定理的证明方法有多种，一般是采用剪拼的方法，它把“数与形”巧妙地联系起来，是几何与代数沟通的桥梁，同时也为后面的四边形、圆、圆形变换、三角函数等知识的学习提供了方法和依据.说明：利用面积相等是证明勾股定理的关键所在.2.勾股定理中的分类讨论在勾股定理的实际运用中，如果不明给出直角三角形中有两条边的长，要求第三条边的长就需要分两种情况讨论，即第一种情况是告诉两条直角边长求斜边，第二种情况是告诉一条直角边和斜边长求另一条直角边.3.曲面两点间的距离问题在解决曲面中两点间的距离时，往往是要将曲面问题转化为同一平面内两点之间的距离，这是解决问题的关键.三、典例精析，复习新知例1 一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕是DE（如图所示），求CD的长.【分析】设CD为x，∵AD=BD，∴AD=8-x. ∴在△ACD中，根据勾股定理列出关于x的方程即可求解.解：由折叠知，DA=DB.在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，若设CD=xcm，则AD=DB=（8-x）cm，代入上式得62+x2=（8-x）2，解得x=7/4=1.75(cm)，即CD的长为1.75cm.例2有一个立方体礼盒如图所示，在底部A处有一只壁虎，C′处有一只蚊子，壁虎急于捕捉到蚊子充饥.（1）试确定壁虎所走的最短路线；（2）若立方体礼盒的棱长为20cm，则壁虎如果想在半分钟内捕捉到蚊子，每分钟至少要爬行多少厘米？（保留整数）【分析】求几何表面的最短距离时，通常可以将几何体表面展开，把立体图形转化为平面图形.解：（1）若把礼盒上的底面A′B′C′D′竖起来，如图所示，使它与立方体的正面（ABB′A′）在同一平面内，然后连接AC′，根据“两点间线段最短”知线段AC′就是壁虎捕捉蚊子所走的最短路线.（2）由（1）得，△ABC′是直角三角形，且AB=20，BC′=40.根据勾股定理，得AC′2=AB2+BC′2=202+402,AC′≈44.7（cm）,44.7÷0.5≈90（cm/min）.所以壁虎要想在半分钟内捕捉到蚊子，它每分钟至少爬行90厘米（只入不舍）.【教学说明】师生共同回顾本章主要知识，对于例题中需要注意的事项教师可以适当点评，便于学生熟练加以运用.四、复习训练，巩固提高1.已知在△ABC中，∠B=90°，一直角边为a，斜边为b，则另一条直角边c满足c2= .2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=12，c-b=8，则b= ，c= .3.如图所示，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，AC=2.1，BC=2.8.求：（1）△ABC的面积；（2）斜边AB的长；（3）斜边AB上的高CD的长；（4）斜边被分成的两部分AD和BD的长.【答案】1.b2-a2；2.5，13；3.解：（1）S△ABC=12AC×BC=12×2.1×2.8=2.94.（2）AB2=AC2+BC2=2.12+2.82=12.5,∴AB=3.5.（3）由三角形的面积公式得12AC×BC=12AB×CD，所以12×2.1×2.8=12×3.5×CD，解得CD=1.68.（4）在Rt△ACD中，由勾股定理得AD2+CD2=AC2，∴AD2=AC2-CD2=2.12-1.682=（2.1+1.68）(2.1-1.68)=3.78×0.42=2×1.89×2×0.21=22×9×0.214×0.21.∴AD=2×3×0.21=1.26.∴BD=AB-AD=3.5-1.26=2.24.五、师生互动，课堂小结本节复习课你能灵活运用勾股定理和如何判断一个三角形是直角三角形的解决问题吗？还有哪些不足？【教学说明】教师引导学生归纳本章主要的知识点，对于遗漏或需要强调的地方，教师应及时补充和点拨.1.复习题4.5第11、12题.2.完成练习册中本课时相应练习.勾股定理是解决线段计算问题的主要依据，它单独命题比较少见，更多时候是与其他知识综合应用，在综合题中如何找到适当的直角三角形是解题的关键.。
第一章勾股定理1．探索勾股定理（2）一、学情与教材分析1.学情分析学生的知识技能基础：学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.学生活动经验基础：学生在以前数学学习中已经经历了很多独立探究和合作学习的过程，具有了一定的自主探究经验和合作学习的经验，具备了一定的探究能力和合作与交流的能力；学生在七年级《七巧板》及《图案设计》的学习中已经具备了一定的拼图活动经验.2.教材分析本节课是八（上）勾股定理第1节第2课时，是在上节课已探索得到勾股定理之后的内容，具体学习任务：通过拼图验证勾股定理并体会其中数形结合的思想；应用勾股定理解决一些实际问题，体会勾股定理的应用价值并逐步培养学生应用数学解决实际问题意识和能力，为后面的学习打下基础.二、教学目标1.掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.2.在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.3.在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化，增强爱国情感，并通过应用勾股定理解决实际问题，培养应用数学的意识.三、教学重难点教学重点：用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题.教学难点：验证勾股定理.四、教法建议1.教学方法：引导——探究——应用.2.课前准备：教具：教材，课件，电脑.学具：教材，铅笔，直尺，练习本.五、教学设计（一）课前设计1.预习任务结合课本上P5页1-5和1-6，应用等面积法证明勾股定理，（提示：图中的正方形的面积可以表示为边长的平方，也可以表示成小正方形加上四个直角三角形的面积）2.预习自测一、选择题1. 利用四个全等的直角三角形可以拼成如图所示的图形，这个图形被称为弦图．观察图形，可以验证（）公式．A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 B．（a+b）2=a2﹣2ab+b2C．c2=a2+b2 D．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2答案：C解析：∵大正方形的面积表示为：c2又可以表示为：ab×4+（b﹣a）2，∴c2=ab×4+（b﹣a）2，c2=2ab+b2﹣2ab+a2，∴c2=a2+b2．故选C．点拨：利用两种方法表示出大正方形的面积，根据面积相等可以整理出c2=a2+b2．二、填空题2. 如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是_________．答案：勾股定理解析：我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，它解决的数学问题是勾股定理．点拨：观察我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”，发现它验证了勾股定理．3. 如图，由四个直角三角形拼成2个正方形，则4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即_________+_________=_________化简得：a2+b2=c2．答案：4×ab、（b﹣a）2、c2．解析：如图所示，4个直角三角形面积+小正方形面积=大正方形面积，即 4×ab+（b﹣a）2=c2，故答案是：4×ab、（b﹣a）2、c2．点拨：根据直角三角形的面积公式和正方形的面积公式进行填空．（二）课堂设计本节课设计了六个教学环节：第一环节：知识回顾；第二环节：探究发现；第三环节：数学小史；第四环节：知识运用；第五环节：随堂检测；第六环节：课堂小结．第一环节：知识回顾内容：教师提出问题：（1）勾股定理的内容是什么？（请一名学生回答）（2）上节课我们仅仅是通过测量和数格子，对具体的直角三角形探索发现了勾股定理，对一般的直角三角形，勾股定理是否成立呢？这需要进一步验证，如何验证勾股定理呢？事实上，现在已经有几百种勾股定理的验证方法，这节课我们也将去验证勾股定理.意图：（1）复习勾股定理内容；（2）回顾上节课探索过程，强调仍需对一般的直角三角形进行验证，培养学生严谨的科学态度；（3）介绍世界上有数百种验证方法，激发学生兴趣.效果：通过这一环节，学生明确了：仅仅探索得到勾股定理还不够，还需进行验证.当学生听到有数百种验证方法时，马上就有了去寻求属于自己的方法的渴望.第二环节：探究发现活动1： 教师导入，小组拼图.教师：今天我们将研究利用拼图的方法验证勾股定理，请你利用自己准备的四个全等的直角三角形，拼出一个以斜边为边长的正方形.（请每位同学用2分钟时间独立拼图，然后再4人小组讨论.）活动2：层层设问，完成验证一.学生通过自主探究，小组讨论得到两个图形：图2在此基础上教师提问：（1）如图1你能表示大正方形的面积吗？能用两种方法吗？（学生先独立思考，再4人小组交流）；（2）你能由此得到勾股定理吗？为什么？（在学生回答的基础上板书(a+b)2=4×21ab+c 2.并得到222c b a =+）从而利用图1验证了勾股定理.活动3 ： 自主探究，完成验证二.教师小结：我们利用拼图的方法，将形的问题与数的问题结合起来，联系图1整式运算的有关知识，从理论上验证了勾股定理，你还能利用图2验证勾股定理吗？（学生先独立探究，再小组交流，最后请一个小组同学上台讲解验证方法二）意图：设计活动1的目的是为了让学生在活动中体会图形的构成，既为勾股定理的验证作铺垫，同时也培养学生的动手、创新能力.在活动2中，学生在教师的层层设问引导下完成对勾股定理的验证，完成本节课的一个重点内容.设计活动3，让学生利用另一个拼图独立验证勾股定理的目的是让学生再次体会数形结合的思想并体会成功的快乐.效果：学生通过先拼图从形上感知，再分析面积验证，比较容易地掌握了本节课的重点内容之一，并突破了本节课的难点.第三环节：数学小史活动内容：由学生利用所搜集的与勾股定理相关的资料进行介绍.国内调查组报告：用图2验证勾股定理的方法，据载最早是三国时期数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，我国历史上将图2弦上的正方形称为弦图.2002年的数学家大会（ICM-2002）在北京召开，这届大会会标的中央图案正是经过艺术处理的弦图，这既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动的风车，欢迎来自世界各地的数学家们！国际调查组报告：勾股定理与第一次数学危机.约公元前500年，毕达哥拉斯学派的弟子希帕索斯(Hippasus)发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线的长度是不可公度的.按照毕达哥拉斯定理(勾股定理)，若正方形边长是1，则对角线的长不是一个有理数，它不能表示成两个整数之比，这一事实不但与毕氏学派的哲学信念大相径庭，而且建立在任何两个线段都可以公度基础上的几何学面临被推翻的威胁，第一次数学危机由此爆发.据说，毕达哥拉斯学派对希帕索斯的发现十分惶恐、恼怒，为了保守秘密，最后将希帕索斯投入大海.不能表示成两个整数之比的数，15世纪意大利著名画家达.芬奇称之为“无理的数”，无理数的英文“irrational”原义就是“不可比”.第一次数学危机一直持续到19世纪实数的基础建立以后才圆满解决.我们将在下一章学习有关实数的知识 .趣闻调查组报告：勾股定理的总统证法.在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景……他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使他循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形……于是这位中年人不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题.他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法. 1876年4月1日，他在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法.1881年，这位中年人—伽菲尔德就任美国第二十任总统.后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法.说明：这个环节完全由学生来组织开展，教师可在两天前布置任务，让部分同学收集勾股定理的资料，并在上课前拷贝到教师用的课件中便于展示，内容可灵活安排.意图：（1（2）学生加强了对数学史的了解，培养学习数学的兴趣；（3）通过让部分学生搜集材料，展示材料，既让学生得到充分的锻炼，同时也活跃了课堂气氛.效果：学生热情高涨，对勾股定理的历史充满了浓厚的兴趣，同时也为中国古代数学的成就感到自豪.也有同学提出：当代中国数学成就不够强，还应发奋努力.有同学能意识这一点，这让我喜出望外.第四环节：知识运用a b内容：例题：我方侦察员小王在距离东西向公路400m处侦察，发现一辆敌方汽车在公路上疾驰.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距400m，10s 后，汽车与他相距500m，你能帮小王计算出敌方汽车的速度吗？意图：（1）初步运用勾股定理解决实际问题，培养学生应用数学的意识和能力；（2）体会勾股定理的应用价值.效果：学生对这样的实际问题很感兴趣，基本能把实际问题转化为数学问题并顺利解决.一组生活中勾股定理的应用练习，共3道题.（1）教材P6练习题1.（2）一个25m长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AO上，这时的AO距离为24m，如果梯子的顶端A沿墙下滑4m，那么梯子底端B也外移4m吗？（3）受台风麦莎影响，一棵高18m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高？说明：这一环节设计了3道题，设计时注意了题目的梯度，由浅入深，第一题为书上练习题，学生容易解决，第二道题虽然计算难度不大，但考查学生的实际应用能力，第三道题是应用勾股定理建立方程求解，有一定难度.意图：在例题的基础上进行拓展，训练学生将实际问题转化为数学问题，再运用勾股定理解决问题.效果：小部分学生在完成第二题时，由于欠缺生活常识时，不能准确地理解题意，约有一半同学对第3道题束手无策，主要是缺乏利用勾股定理建立方程求解的这种思路，经同学点拨，教师引导，绝大部分同学最后都能解决这个问题，通过3个小题的训练，总体感觉学生对勾股定理的应用更加熟练，并对勾股定理的应用价值体会更深.第五环节：随堂检测一、选择题1. 下列选项中，不能用来证明勾股定理的是（）A．B．C．D．答案：D解析：A，B，C都可以利用图形面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理；故A，B，C选项不符合题意；D、不能利用图形面积证明勾股定理，故此选项正确．故选D．点拨：根据图形的面积得出a，b，c的关系，即可证明勾股定理，分别分析得出即可．2．“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个正方形拼成的大正方形．如图，每一个直角三角形的两条直角边的长分别是3和6，则中间小正方形与大正方形的面积差是（）A．﹣9 B．﹣36 C．﹣27 D．﹣34答案：B解析：根据题意得：小正方形的面积=（6﹣3）2=9，大正方形的面积=32+62=45，9﹣45=36．故选B．点拨：由正方形的性质和勾股定理求出小正方形和大正方形的面积，即可得出小正方形与大正方形的面积差．二、填空题3. 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽弦图它是由四全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的短直角边为a，较长直角边为b，下列说法：①a2+b2=13；②b2=1；③a2﹣b2=12；④ab=6．其中正确结论序号是_________．答案：①④解析：直角三角形的斜边长是c，则c2=a2+b2，大正方形的面积是13，即c2=a2+b2=13，①正确；∵小正方形的面积是1，∴b﹣a=1，则（b﹣a）2=1，即a2+b2﹣2ab=1，∴ab=6，故④正确；根据图形可以得到a2+b2=13，b﹣a=1，而b=1不一定成立，故②错误，进而得到③错误．故答案是：①④点拨：根据勾股定理，知两条直角边的平方等于斜边的平方，此题中斜边的平方即为大正方形的面积13，2ab即四个直角三角形的面积和，从而判断．4. 利用图（1）或图（2）两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理，这个定理称为_________，该定理的结论其数学表达式是_________．答案：勾股定理、a2+b2=c2．解析：用图（2）较简单，如图正方形的面积=（a+b）2，用三角形的面积与边长为c的正方形的面积表示为4×ab+c2，即（a+b）2=4×ab+c2化简得a2+b2=c2．这个定理称为勾股定理．故答案为：勾股定理、a2+b2=c2．点拨：通过图中三角形面积、正方形面积之间的关系，证明勾股定理．三、解答题5. 勾股定理是一条古老的数学定理，它有很多种证明方法．（1）请你根据图1填空；勾股定理成立的条件是_________三角形，结论是_________（三边关系）（2）以图1中的直角三角形为基础，可以构造出以a、b为底，以a+b为高的直角梯形（如图2），请你利用图2，验证勾股定理；答案：（1）直角；a2+b2=c2；（2）见解析解析：（1）勾股定理指的是在直角三角形中，两直角边的平方的和等于斜边的平方．故答案是：直角；a2+b2=c2；（2）∵Rt△ABE≌Rt△ECD，∴∠AEB=∠EDC，又∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°．∵S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED，∴．整理，得a2+b2=c2．点拨：（1）根据图示直接填空；（2）利用S梯形ABCD =SRt△ABE+SRt△DEC+SRt△AED进行解答．第六环节：课堂小结教师提问：通过这节课的学习，你有什么样的收获？师生共同畅谈收获.目的：（1）归纳出本节课的知识要点，数形结合的思想方法；（2）教师了解学生对本节课的感受并进行总结；（3）培养学生的归纳概括能力.效果：由于这节课自始至终都注意了调动学生学习的积极性，所以学生谈的收获很多，包括利用拼图验证勾股定理中蕴含的数形结合思想，学生对勾股定理的历史的感悟及对勾股定理应用的认识等等.布置作业：1．习题1.2 T2，32．上网或查阅有关书籍，搜集至少1种勾股定理的其它证法，至少1个勾股定理的应用问题，一周后进行展评.意图：（1）巩固本节课的内容.（2）充分发挥勾股定理的育人价值.分层作业基础型：一、选择题1. 历史上对勾股定理的一种证法采用了下列图形：其中两个全等的直角三角形边AE、EB在一条直线上．证明中用到的面积相等关系是（）A．S△EDA =S△CEBB．S△EDA+S△CEB=S△CDBC．S四边形CDAE =S四边形CDEBD．S△EDA+S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD答案：D解析：∵由S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．可知ab+c2+ab=（a+b）2，∴c2+2ab=a2+2ab+b2，整理得a2+b2=c2，∴证明中用到的面积相等关系是：S△EDA +S△CDE+S△CEB=S四边形ABCD．故选D．点拨：用三角形的面积和、梯形的面积来表示这个图形的面积，从而证明勾股定理．2. “赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲，如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若（a+b）2=21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为（）A．3 B．4 C．5 D．6答案：C解析：如图所示：∵（a+b）2=21，∴a2+2ab+b2=21，∵大正方形的面积为13，2ab=21﹣13=8，∴小正方形的面积为13﹣8=5．故选：C．点拨：观察图形可知，小正方形的面积=大正方形的面积﹣4个直角三角形的面积，利用已知（a+b）2=21，大正方形的面积为13，可以得出直角三角形的面积，进而求出答案．二、填空题3. 如图，以Rt△ABC的三边向外作正方形，若最大正方形的边长为6cm，以AC 为边的正方形的面积为25，则正方形M的面积为________．答案：11=AB2，25=AC2，AC2+AB2=BC2=6×6，解析：根据题意知，SM=36﹣25=11（cm2）．∴SM故答案是：11cm2．点拨：根据正方形的面积公式以及勾股定理解答即可．4. 如图，已知△ABC中，AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8．则△ABC的周长为_________．答案：48解析：在直角三角形ABD中，AB=17，AD=8，根据勾股定理，得BD=15；在直角三角形ACD中，AC=10，AD=8，根据勾股定理，得CD=6；∴BC=15+6=21，∴△ABC的周长为17+10+21=48，故答案为：48．点拨：分别在两个直角三角形中求得线段BD和线段CD的长，然后求得BC的长，从而求得周长．三、解答题5. 我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，试求：（a+b）2的值．答案：B解析：根据勾股定理可得a2+b2=13，四个直角三角形的面积是：ab×4=13﹣1=12，即：2ab=12则（a+b）2=a2+2ab+b2=13+12=25．点拨：根据勾股定理可以求得a2+b2等于大正方形的面积，然后求四个直角三角形的面积，即可得到ab的值，然后根据（a+b）2=a2+2ab+b2即可求解．能力型：一、选择题1. 如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52 B．42 C．76 D．72答案：C解析：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x，则x2=122+52=169，解得x=13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选：C．点拨：由题意∠ACB为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进一步求得四个．二、填空题2. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为3cm，则图中所有正方形的面积之和为_______cm2．答案：27解析：∵最大的正方形的边长为3cm，∴正方形G的面积为9cm2，由勾股定理得，正方形E的面积+正方形F的面积=9cm2，正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积=9cm2，∴图中所有正方形的面积之和为27cm2，故答案为：27．点拨：根据正方形的面积公式求出正方形G的面积，根据勾股定理计算即可．3. 魏晋时期，伟大数学家刘徽利用如图通过“以盈补虚，出入相补”的方法，即“勾自乘为朱方，股自乘为青方，令出入相补，各从其类”证明了勾股定理，若图中BF=2，CF=4，则AE的长为_______．答案：6解析：∵BF=2，CF=4，∴BC=BF+CF=2+4=6，∵AB∥EC，∴=，即=，解得：CE=12，在Rt△ADE中，AD=6，DE=DC+CE=6+12=18，根据勾股定理得：AE==6，故答案为：6．点拨：由BF+CF求出BC的长，即为正方形ABCD的边长，由AB与CE平行，得比例求出CE的长，由DC+CE求出DE的长，在直角三角形ADE中，利用勾股定理求出AE的长即可．三、解答题4. （1）如图1是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式；（2）如图2，Rt△ABC≌Rt△CDE，∠B=∠D=90°，且B，C，D三点共线．试证明∠ACE=90°；（3）请利用（1）中的公式和图2证明勾股定理．答案：见解析解析：（1）这个公式为（a+b）2=a2+2ab+b2；证明：由图可知大正方形被分成了一个小正方形和两个长方形，大正方形的面积=（a+b）2，两个长方形的面积=（a+b）b+ab，小正方形的面积=a2，那么大正方形的面积=（a+b）b+ab+a2=（a+b）2=a2+2ab+b2．（2）∵Rt△ABC≌Rt△CDE，∴∠BAC=∠DCE，∴∠ACB+∠DCE=∠ACB+∠BAC=90°；由于B，C，D共线，所以∠ACE=180°﹣（∠ACB+∠DCE）=180°﹣90°=90°．（3）梯形ABDE的面积为（AB+ED）•BD=（a+b）（a+b）=（a+b）2；另一方面，梯形ABDE可分成三个直角三角形，其面积又可以表示成ab+ab+c2．所以，（a+b）2=ab+ab+c2．即a2+b2=c2．点拨：（1）用面积分割法证明：大正方形的面积等于小正方形和两个长方形的面积之和，从而推出平方和公式．（2）利用全等三角形对应角相等，直角三角形的两个锐角互余，推出直角；（3）用面积分割法法证明勾股定理：梯形ABDE的面积=三角形ABC的面积+三角形CDE的面积+三角形ACE的面积．探究型：一、解答题1. 教材第九章中探索乘法公式时，设置由图形面积的不同表示方法验证了乘法公式．我国著名的数学家赵爽，早在公元3世纪，就把一个矩形分成四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形拼成了一个大的正方形（如图①），这个图形称为赵爽弦图，验证了一个非常重要的结论：在直角三角形中两直角边a、b与斜边c满足关系式a2+b2=c2，称为勾股定理．（1）爱动脑筋的小明把这四个全等的直角三角形拼成了另一个大的正方形（如图②），也能验证这个结论，请你帮助小明完成验证的过程．（2）小明又把这四个全等的直角三角形拼成了一个梯形（如图③），利用上面探究所得结论，求当a=3，b=4时梯形ABCD的周长．（3）如图④，在每个小正方形边长为1的方格纸中，△ABC的顶点都在方格纸格点上．请在图中画出△ABC的高BD，利用上面的结论，求高BD的长．答案：见解析解析：（1）证明：由图得，×ab×4+c2=（a+b）×（a+b），整理得，2ab+c2=a2+b2+2ab，即a2+b2=c2；（2）解：∵a=3，b=4，∴c==5，梯形ABCD的周长为：a+c+3a+c═4a+2c=4×3+2×5=22；（3）解：如图4，BD是△ABC的高．∵S=AC•△ABCBD=AB×3，AC==5，∴BD===．点拨：（1）根据四个全等的直角三角形的面积+阴影部分小正方形的面积=大正方形的面积，代入数值，即可证明；（2）由（1）中结论先求出c的值，再根据周长公式即可得出梯形ABCD的周长；（3）先根据高的定义画出BD，由（1）中结论求出AC的长，再根据△ABC的面积不变列式，即可求出高BD的长．2. 勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2．证明：连接DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b﹣a．∵S四边形ADCB =S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB =S△ADB+S△DCB=c2+a（b﹣a）∴b2+ab=c2+ a（b﹣a）∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．证明：连结_______，过点B作______________，则_________．∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=______________．又∵S五边形ACBED=______________=ab+c2+a（b﹣a），∴______________=ab+c2+a（b﹣a），∴a2+b2=c2．答案：BD，BF⊥DE于F，BF=b﹣a，ab+ b2+ab，S△ACB +S△ABE+S△ADE，ab+b2+ ab．解析：证明：连结BD，过点B作BF⊥DE于F，则BF=b﹣a，∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED =S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a（b﹣a），∴。
1.1、探索勾股定理（一）教学目标1、经历用数格子的办法探索勾股定理的过程，进一步发展学生的合情推理意识，主动探究的习惯，进一步体会数学与现实生活的紧密联系。
2 、探索并理解直角三角形的三边之间的数量关系，进一步发展学生的说理和简单推理的意识及水平。
重点、难点重点：理解勾股定理的由来并能用它解决一些简单问题。
难点：勾股定理的发现。
教学过程一、创设问题的情境，激发学生的学习热情：我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。
对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存有着两边相等和三边相等的特殊关系。
那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存有着特殊的关系，这就是我们这个节要研究的问题：勾股定理。
出示投影1（章前的图文 P1 ）我国是最早理解勾股定理的国家之一介绍商高（三千多年前周期数学家）。
出示投影2。
（书中P2 图1一2）并回答：1、观察图1一2，正方形A中有个小方格，即A的面积为个面积单位。
正方形B 中有个小方格．即B的面积为个面积单位。
正方形C 中有个小方格，即C的面积为个面积单位。
2、你是怎样得出上面结果的？在学生交流回答的基础上教师接着发问。
3、图l一2 中，A、B、C之间的面积之间有什么关系？在学生交流后形成共识老师板书。
A + B＝C ，接着提出图1一1中A、B、C的关系呢？二、做一做出示投影3（书中P3 图1一3，图1一4 )提问：1、图1一3中，A 、B、C之间有什么关系？2、图1 一4中，A 、B 、C 之间有什么关系？3、从图1一l 、1一2 、1一3 、l一4中你发现了什么？在学生讨论、交流形成共识后，老师总结：以直角三角形两直角边为边的正方形面积和，等于以斜边为边的正方形面积。
三、议一议1、图1一1、1一2、1一3、1一4中，你能用三角边的边长表示正方形的面积吗？2、你能发现直角三角形三边长度之间的关系吗？在同学的交流基础上，老师板书：直角三角边的两直角边的平方和等于斜边的平方。
